空间向量的基本定理

§9.5.4 空间向量的基本定理

教学目标：

⒈了解空间向量基本定理及其推论；

⒉理解空间向量的基底、基向量的概念

教学重点：向量的分解（空间向量基本定理及其推论）．

教学难点：空间作图．

教学方法：讲授法．

教学过程设计：

一、复习引入

1．复习向量与平面平行、共面向量的概念．

区别：（1）向量与平面平行时，向量所在的直线可以在平面内，而直线与平面平行时两者是没有公共点的．

（2）平行于同一平面的向量叫做共面向量．共面向量不一定是在同一平面内的，但可以平移到同一平面内．

2．空间共面向量定理及其推论．

（1）共面向量定理：如果两个向量a 、b 不共线，则向量p 与向量a 、b 共面的充要条件是存在实数对x ，y ，使得 p = x a+y b ．

（2）共面向量定理的推论：空间一点P 在平面MAB 内的充要条件是存在有序实数对x ，y ，使得MB y MA x MP +=，或对于空间任意一定点O ，有 MB y MA x OM OP ++=．② OB y OA x OM y x OP ++--=)1( ③

今天我们将对平面向量基本定理加以推广，应用上面的三个公式我们可以解决与四点共面有关的问题，得出空间向量基本定理．

二、新课讲授

问题1：右图中的向量AB 、AD 、'AA 是不共面的三个向量，请问向量'AC 与它们是什么关系？由此可以得出什么结论？''AA AD AB AC ++=．

由此可知，始点相同的三个不共面向量之和，等于以这三个向

量为棱的平行六面体的以公共始点为始点的对角线所示向量．

问题2：如果向量AB 、AD 、'AA 分别和向量a 、b 、c 共线，能否

用向量a 、b 、c 表示向量'AC ？'AC ＝x a +y b +z c

事实上，对空间任一向量'AC ，我们都可以构造出上述平行六

面体，由此我们得到了空间向量基本定理：

如果三个向量a 、b 、c 不共面，那么对于空间任一向量p ，存在一个唯一的有序实数组x 、y 、z ，使 p ＝x a +y b +z c ．

证明：存在性：（见课本P 31）

唯一性：设另有一组实数x ’、y ’、z ’，使得p ＝x ’a +y ’b +z ’c ，则有

x a +y b +z c ＝x ’a +y ’b +z ’c ，

∴(x －x ’ ) a +(y －y ’ )b +( z －z ’ )c ＝0．

∵a 、b 、c 不共面，

∴x －x ’＝y －y ’＝z －z ’＝0， 即x ＝x ’且y ＝y ’且z ＝z ’．

故实数x 、y 、z 是唯一的．

由上述定理可知，空间任一向量均可以由空间不共面的三个向量生成，我们把｛a 、b 、c ｝叫做空间的一个基底，a 、b 、c 都叫做基向量．

说明：①空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底．

②三个向量不共面就隐含着它们都不是零向量．（零向量与任意非零向量共线，与任意两个非零向量共面）

③一个基底是不共面的三个向量构成的一个向量组，一个基向量是指基底中的某一个向量．

由定理的证明过程（P 32第一行）可以得到下面的推论：

设O 、A 、B 、C 是不共面的四个点，则对空间任一点P ，都存在一个唯一的有序实数组x 、y 、z ，使 OC z OB y OA x OP ++=．

说明：若x ＋y ＋z ＝１，则根据共面向量定理得：P 、A 、B 、C 四点共面．

例４（见课本P 32）

三、课堂练习

课本P 32 练习

四、课时小结

⒈空间向量基本定理也成为空间向量分解定理，它与平面向量基本定理类似，区别仅在于基底中多了一个向量，从而分解结果中多了以“项”.证明的思路、步骤也基本相同．

⒉空间向量基本定理的推论意在用分解定理确定点的位置，它对于今后用向量方法解几何问题很有用，也为今后学习空间向量的直角坐标运算作准备．

五、课后作业

⒈课本P 36 习题9.5 ⒈ ⒉

教学后记：