随机过程复习提纲

e t2 2
令 Y=X ,则 Y~N(μ，σ2)，由前面的命题知 Y 的特征函数是
g e g e t ix
t
2 2 t it
， 2
Y
X
6 ． 设 X1,X2…Xn 是 相 互 独 立 的 随 机 变 量 ， 且 Xi~b(ni,p),i=1,2,…n, 则
X n n
Y
i 1
n
i ~ b i1 i , p
k
k nk
, q 1 p, k 1,2..n.
n
e C p q
gt
itk
k
k nk
n
k 0
C e p q
有特征函数定义，可知
k it
k nk
n
k 0
eit pq n
k
(3)令 X~p(λ),则 p( X k)
,0, k 0,1...n
e k!
有特征函数定义可知：
Y
E
itaX b
E
iat X
ibt
ibtE
iat X
ibt
at
X
11．求以下各分布的随机变量 X 的特征函数 g(t).
(1)两点分布 b(1,p)
(5)正态分布 N(μ，σ2)
(2)二项分布 b(n,p)
(6)指数分布 Exp(λ)
(3)泊松分布 p(λ)
(7)均匀分布 U(a,b)
e 解 g(t) 1
itx
x2 2 dx
2
e e e 由于 ix
x2
itx 2
x
x2 2 ，且
1
itx
x2 2 dx
，故由积分号下求导公式有
2
g ixe e de '
(t)
1
2
itx
x2 2 dx
i
ixt
2
x2
2
e e
i 2
2
x
itx 2
t
itx
x2 2 dx
itx
1 x dx
x e 0
1
it xdx令U it x
1
0
U
it
eU 1 dU
it
it
1
it
第二章：
1、随机过程若按状态空间与参数集分类可分为离散参数链，连续参数链，随机 序列，随机过程四类. 2、若{X(t)，t∈T}是零均值的二阶矩过程，若对任意的 t1<t2≤t3<t4，则 X(t)为正交
由于 B(t1)，B(t2)- B(t1)，…,B(tn)-B(tn-1)相互独立,而且 B(tk)-B(tk-1)∽N(0,σ2(tk-tk-1)),
所以[B(t1),B(t2)-B(t1),…,B(tn)-B(tn-1)]是 n 维正态向量,于是:
B(t1 ) 1 0 ... 0 B(t1)
证 因为 Xi~b(ni,p),所以其特征函数为
g t Xi
peitq ni ,i 1,2,...n,
n
由特征函数的性质知，Y xi 的特征函数为 i 1
n
n
n
g g t
t
Y
X i 1
i
i 1
peitq ni
pe q it
ni , i1
X n 再有唯一性定理知Y n i 1
8、求随机相位正弦波 X（t）=acos（t ），t∈（- , ）的均值函数，方差 函数和自相关函数，其中 a 和 是正常数， ～U(0,2 )。
证明：（1）假设 a<s<t<b,RX(s,t)=E[X(s) X(t) ]
=E[X(s) X(t) - X(s) X(s) ] =E X(s) 2=F(s)同理若 s<s<t<b,则 RX(s,t)=F(t) 所以 RX(s,t)=F(min(s,t)) (2)对任意的 a<s<t<b，求证 F(s)≤F(t)即 F(t)-F(s)≥0 F(t)-F(s)=E X(t) 2-E X(s) 2 =E[X(t) X(t) ]-RX(s,t) =E[X(t) X(t) ]- E[X(s) X(t) ] =E{[X(t)-X(s)] X(t) } =E{[X(t)-X(s)][ X(t) - X(s) X(s) ]} =E{[X(t)-X(s)][ X(t) - X(s) ]}+ E{[X(t)-X(s)][ X(s) X(a) ]} =E X(t)- X(s) 2≥0 所以 F(t)是[a,b]上的非负单调不减函数,证毕. 7、设 A, B 是两个随机变量.试求随机过程 X（t）=At+B,t∈（- , ）的均值函数 和自相关函数。如果 A，B 相互独立，且 A～N(0,1),B～U(0,2),问 X（t）的均值函 数和自相关函数又是什么
增量过程的充分条件是 E X t2 Xt1 X(t4 )-X(t3 ) 0
3、设随机过程 X(t)=Y+Zt，t>0,其中 Y，Z 是相互独立的 N（0，1）随机变量，求{ X(t)， t>0}的一维和二维概率密度族. 解：由于 X 与 Z 是相互独立的正态随机变量，故其线性组合仍为正态随机变量，
n i1
i
t
1 2
n i1
2 2 i
X n
再由唯一性定理知Y
i 1
n
i ~ N i1
,
i
2 i
9． 设商店在一天的顾客数 N 服从参数λ=1000 的泊松分布，又设每位顾客所花
的钱数 Xi 服从 N(100,502)，求商店日销售 Z 的平均值。
n
解：由条件知 z X i i 1
证明:(1)因为
p（s）=
p k
sk
，则
p′（s）= kpk sk1，令
s↑1，得
EX= kp k
k 0
k 1
k 1
p′(1)。
（2）同理可证 DX=p〞(1)+ p′(1) —[p′(1)] 2
3.设 X 服从 B(n,p),求 X 的特征函数 g(t)及 EX,EX2,DX.
解：X 的分布列为 P(X=k)= Cnk pk qn1 ,q=1-p,k=0,1,2,...n,
B(t
2
)
.
1.
1 .
...
0.
B(t 2 ) - B(t1) .
. . B(t n )
. . 1
.
. 1
... .
.
.
.
... 1 B(t n ) - B(t n-1)
即[B(t1),B(t2),…,B(tn)] 是 n 维正态
随
机
向
量
[B(t1),B(t2)-B(t1),…,B(tn)-B(tn-1)] 的 线 性 变
n
i ~ b i1 i , p
7．
设
X1,X2…Xn
是相互独立的随机变量，且
X ~ ,i 1,2,...n,
i
i
则
X n
Y
i 1
~ n
i
i1 i
证 因为 X i ~ i, 所以其特征函数为
g e t
e ,i it1
i
1,2,...n
Xi
n
有特征函数的性质知，Y X i 的特征函数为 i 1
g
t
n
eitk
k 0
Cnk
pk qnk
kn0Cnk
peit
k
qnk
peit
n q
由性质得
EX i g,0 i d dt
peitq n np t 0
EX 2
i
2
g
" 0
i
d2 dt 2
peit q n npq n2 p2 t 0
DX EX 2
EX
2
npq
4． 设 X~N(0,1),求特征函数 g(t).
而 EN=1000，EX1=100,故 EZ=EN·EXi=1000×100=100000(元)
10．设随机变量 X 的特征函数为 gx(t),Y=aX+b,其中 a,b 为任意实数，证明 Y 的特
征函数 gY(t)为 gY t eitb g X at.
g e e e e e e g 证
t
f
(x)
x , x 0
0, x0
则有特征函数定义，可得：
e g(t) itx f xdx
e e itx x dx 0
e
it xdx
0
e
it x
it
0
1
it
1
it
(7)设
X~U(a,b),则可知密度函数为
f
(x)
b
1
a
,a
x
b
0,其它
e g(t) itx f xdx
要计算{X(t)，t>0}的一、二维随机概率密度，只要计算数字特征 mx(t)，DX(t)， 即可. mx(t)=E(Y+Zt)=EY+tEZ=0，DX(t)=D(Y+Zt)=DY+t2DZ=1+t2， BX(s,t)=EX(s)X(t)- mx(s) mx(t)=E(Y+Zs)(Y+Zt)=1+st，
(4)几何分布 Ge(p)
(8)伽马分布Г(α，λ)
解：(1) 令 X~b(1,p),则 P(X=0)=1-p=q,p(x)=p.
则根据特征函数的定义，得：
g t
eitX
k p, k
1,2...n.
k 1
e e it•0 q it•1 p
e q p it
C p q (2)令 X~b(n,p),则 pX பைடு நூலகம்
g g e e n
t
Y i 1
n
t
Xi
i 1
e it1
i
n
e it1
i
i 1
X n
再由唯一性定理知Y
i 1
~ n 。
i
i1 i
X 8． 设 X1，X2…Xn 是相互独立的随机变量，且 ~ N , 2 ,i 1,2,...n ，则
i
i
i
X n
Y
i 1
n
2
tg(t)
于是得微分方程 g’(t)+tg(t)=0
e 解得方程的通解为 g(t)
t2
C 2
由于 g(0)=1,所以 C=0，
于是得
X
的特征函数为
g (t )
e t2 2
5． 设随机变量 Y~N(μ，σ2)，求 Y 的特征函数是 gY(t).
解：设
X~N(0,1),则由例知
X
的特征函数
g (t )
i ~ N i1
,
i
2 i
。
X 证 因为 ~ N , 2 , 所以其特征函数为
i
i
i
g e t
iit 12
t2
i
2
,
i
1,2,...n
Xi
n
有特征函数的性质知，Y X i 的特征函数为 i 1
g g e e n t Y i 1
n
t
Xi
i 1
iiit 12 t2 2
t i
换,所以[B(t1),B(t2),…,B(tn)]是 n 维正态随机向量,n=1,2,…,故{B(t),t≥0}是正态过程.
6、设{X(t)，t∈[a,b]}是正交增量过程，且 X(a)=0，定义 F(t)表示 E X(t) 2=RX(t,t)，t
∈T，则有：
(1)RX(s,t)=F(min(s,t)) (2)F(t)是[a,b]上的非负单调不减函数.
=
=
，
故随机过程{X(t)，t>0}的一、二维概率密度分别为
ft(x)=
exp{-
}，t>0，
fs,t(x1,x2)=
.exp{
[
]},s,t>0,其
中
4、设{X(t)，t≧0}是实正交增量过程，X(0)=0，V 是标准正态随机变量，若对任意
的 t≧0，X(t)与 V 相互独立,令 Y(t)=X(t)+V，求随机过程{Y(t)，t≧0}的协方差函数.
第一章：
1． 填空 若 X1,X2,…,Xn 是 相 互 独 立 的 随 机 变 量 , 且 gi(t) 是 Xi 的 特 征 函 数 ,i=1,2,…,n) 则 X=X1+X2+…Xn 的特征函数 g(t)= ＿g1(t) g2(t)…gn(t) 2.设 P(S)是 X 的母函数，试证: (1)若 E(X)存在，则 EX=P′(1) (2)若 D(X)存在，则 DX = P"(1)+ P′(1)-[ P′(1)]2
e b itx 1 dx a ba
则
e 1 b itx dx ba a
e
b
1
ait
itx b a
e e
b
1
ait
itb
ita
x e
(8)设 x~Г(α,λ),则密度函数 f x,,
1
x , x0
0, x 0
e g(t) itx f xdx
则
e x e 0
解：依题意知 EX(t)=0，EV=0,DV=1,所以
EY(t)=E[X(t)+V]=EX(t)+EV=0，
BY(t1，t2)=E(X(t1)+V)(X(t2)+V)
=E[X(t1)X(t2))]+EV2=σ2X(min(t1,t2))+1.
5、试证明维纳过程是正态过程。
证明：设{B(t)，t≥0}是参数为σ2 的维纳过程，对于任意的 n，任取 0≤t1<t2<…<tn，
ee
p q
q it •
1 q
it
p it
e e 1 q
it
(5)设
X~N(μ，σ2),因为当μ=0,σ=1
时得出特征函数为
g (t )
e t2 2
，令
X=σx+μ,
则 X 的特征函数为
22
22
e e e e g(t) it g t it 2
it 2
e (6)设
X~Exp(λ),则可知密度函数
k
gt itk
e e k 0
k!
e e
1
it k
k 0 k!
e e e it
e e it1
(4)设 X~Ge(p),则 p(X=k)=pqk-1,q=1-p,k=1,2…n
有特征函数定义知：
e q
g(t)
p itk
k 1
k 1
e q p it k q k 1