欧拉常数

概述

欧拉常数（Euler-Mascheroni constant)

欧拉-马歇罗尼常数(Euler-Mascheroni constant)是一个主要应用于数论的数学常数。它的定义是调和级数与自然对数的差值的极限。

由无穷级数理论可知，调和级数

是发散的。但可以证明，

存在极限。由不等式

可得

故

有下界。而

再一次根据不等式

，取

，即可得

所以

单调递减。由单调有界数列极限定理，可知

必有极限，即

存在。该极限被称作欧拉常数，现在通常将该常数记为γ。欧拉常数性质

欧拉常数与伽玛函数的关系

欧拉常数与黎曼函数的关系

欧拉常数积分

欧拉常数级数展开式

欧拉常数连分数展开式

（OEIS中的数列A002852）。

欧拉常数渐近展开式

计算方法

Xavier Gourdon在1999年使用以下算法计算欧拉常数到了108,000,000位：对给定的

，计算：

则有

其中，

= 4.970625759544232... 满足方程

。

对给定的

，此方法可以得到接近

位的十进制小数精度。