拓扑学的产生

1872年，英国当时最著名的数学家凯利正式向 伦敦数学学会提出了这个问题，于是四色猜想成了 世界数学界关注的问题。世界上许多一流的数学家 都纷纷参加了四色猜想的大会战。
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上面的几个例子所讲的都是一些和几何 图形有关的问题，但这些问题又与传统的几 何学不同，而是一些新的几何概念。这些就 是“拓扑学”的先声。
拓扑学是数学中一个重要的、基础性的 分支。它最初是几何学的一个分支，主要研 究几何图形在连续变形下保持不变的性质， 现在已成为研究连续性现象的重要的数学分 支。
连续性和离散性是自然界与社会现象中普遍存 在的。拓扑学对连续性数学是带有根本意义的，对 于离散性数学也起着巨大的推动作用。拓扑学的基 本内容已经成为现代数学的常识。拓扑学的概念和 方法在物理学、生物学、化学等学科中都有直接、 广泛的应用。
L.E.J.布劳威尔在1910～1912年间提出 了用单纯映射逼近连续映射的方法， 许多重 要的几何现象，用以证明了不同维的欧氏空 间不同胚，它们就不同胚。引进了同维流形 之间的映射的度以研究同伦分类，并开创了 不动点理论。他使组合拓扑学在概念精确、 论证严密方面达到了应有的标准，成为引人 瞩目的学科。
欧氏空间中的点集的研究，例如，一直是拓 扑学的重要部分，已发展成一般拓扑学与代数拓扑 学交汇的领域，也可看作几何拓扑学的一部分。
50年代以来，即问两个映射，以R.H.宾为代表 的美国学派的工作加深了对流形的认识，是问两个 给定的映射是否同伦，在四维庞加莱猜想的证明中 发挥了作用。从皮亚诺曲线引起的维数及连续统的 研究，习惯上也看成一般拓扑学的分支。
根据多面体的欧拉定理，可以得出这样一个有趣的事 实：只存在五种正多面体。它们是正四面体、正六面体、 正八面体、正十二面体、正二十面体。
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四色问题
英国。1852年，毕业于伦敦大学的弗南西斯. 格思里来到一家科研单位搞地图着色工作时，发现 了一种有趣的现象：“看来，每幅地图都可以用四 种颜色着色，使得有共同边界的国家都被着上不同 的颜色。”
可定向闭曲面的同胚分类问题。如聚点（极 限点）、开集、闭集、稠密性、连通性等。 在几何学的研究中黎曼明确提出n维流形的概 念(1854)。得出许多拓扑概念，
二十世纪以来，集合论被引进了拓扑 学，为拓扑学开拓了新的面貌。拓扑学的研 究就变成了关于任意点集的对应的概念。拓 扑学中一些需要精确化描述的问题都可以应 用集合来论述。
因为大量自然现象具有连续性，所以拓 扑学具有广泛联系各种实际事物的可能性。 通过拓扑学的研究，可以阐明空间的集合结 构，从而掌握空间之间的函数关系。
拓扑学的另一渊源是分析学的严密化。他是在 分析学和力学的工作中，
实数的严格定义推动G.康托尔从1873年起系统 地展开了欧氏空间中的点集的研究，得出许多拓扑 概念，如聚点（极限点）、开集、闭集、稠密性、 连通性等。在点集论的思想影响下，分析学中出现 了泛函数（即函数的函数）的观念，把函数集看成 一种几何对象并讨论其中的极限。这终于导致抽象 空间的观念。这样，B.黎曼在复函数的研究中提出 了黎曼面的几何概念，
到19、20世纪之交，已经形成了组合拓扑学与 点集拓扑学这两个研究方向。这是萌芽阶段。
最早研究抽象空间的是M.-R.弗雷歇，在 1906年引进了度量空间的概念。
F.豪斯多夫在《集论大纲》（1914）中 用开邻域定义了比较一般的拓扑空间，标志 着用公理化方法研究连续性的一般拓扑学的 产生。
L.欧拉1736年解决了七桥问题，随后波 兰学派和苏联学派对拓扑空间的基本性质 （分离性、紧性、连通性等）做了系统的研 究。
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哥尼斯堡七桥问题
哥尼斯堡（今俄罗斯加里宁 格勒）是东普鲁士的首都，普莱 格尔河横贯其中。十八世纪在这 条河上建有七座桥，将河中间的 两个岛和河岸联结起来。人们闲 暇时经常在这上边散步，一天有 人提出：
能不能每座桥都只走一遍， 最后又回到原来的位置？
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多面体的欧拉定理
这个定理内容是：如果一个凸多面体的顶点数是v、棱 数是e、面数是f，那么它们总有这样的关系：f+v-e=2。
二，拓扑学的发展阶段
十九世纪中期，黎曼在复函数的研究 中强调研究函数和积分就必须研究形势分析 学。从此开始了现代拓扑学的系统研究。
拓扑学建立后，由于其它数学学科的发 展需要，它也得到了迅速的发展。特别是黎 曼创立黎曼几何以后，他把拓扑学概念作为 分析函数论的基础，更加促进了拓扑学的进 展。
在点集论的思想影响下，黎曼本人解决了
经过过20世纪30年代中期起布尔巴基学 派的补充（一致性空间、仿紧性等）和整理， 一般拓扑学趋于成熟，成为第二次世界大战 后数学研究的共同基础。从其方法和结果对 于数学的影响看，紧拓扑空间和完备度量空 间的理论是最重要的。紧化问题和度量化问 题也得到了深入的研究。公理化的一般拓扑 学晚近的发展可见一般拓扑学。
组合拓扑学的奠基人是H.庞加莱。他是在分析 学和力学的工作中，特别是关于复函数的单值化和 关于微分方程决定的曲线的研究中，引向拓扑学问 题的，但他的方法有时不够严密，他的主要兴趣在 n维流形。
在1895～1904年间，他创立了用剖分研究流 形的基本方法。他引进了许多不变量：基本群、同 调、贝蒂数、挠系数，并提出了具体计算的方法。 他引进了许多不变量：基本群、同调、贝蒂数、挠 系数，他探讨了三维流形的拓扑分类问题，提出了 著名的庞加莱猜想。他留下的丰富思想影响深远， 但他的方法有时不够严密，过多地依赖几何直观。 特别是关于复函数的单值化和关于微分方程决定的 曲线的研究中，
拓扑学是几何学的一个分支，它是从图论演变 过来的。拓扑学将实体抽象成与其大小、形状无关 的点，将连接实体的线路抽象成线，进而研究点、 线、面之间的关系。网络拓扑通过结点与通信线路
之间的几何关系来表示网络结构，反映出网 络中各个实体之间的结构关系。拓扑设计是 建设计算机网络的第一步，也是实现各种网 络协议的基础，它对网络性能、可靠性与通 信代价有很大影响。网络拓扑主要是指通信 子网的拓扑构型。