拓扑学的产生

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数学发展中的历史人物与成就

数学发展中的历史人物与成就

数学发展中的历史人物与成就数学是一门古老而重要的学科,它的发展历程中涌现出了许多杰出的历史人物,他们的贡献对数学学科的发展起到了重要作用。

本文将介绍几位数学史上的重要人物及其成就,带领读者一起回顾数学的演进历程。

1. 毕达哥拉斯毕达哥拉斯(公元前570年-公元前495年)是古希腊数学史上的重要人物之一。

他提出了著名的毕达哥拉斯定理,即直角三角形斜边的平方等于两直角边的平方和。

这个定理为几何学和三角学的发展奠定了基础。

他还发现了整数的奇偶性与平方数的关系,为数论的研究做出了重要贡献。

2. 欧几里得欧几里得(公元前330年-公元前275年)是古希腊数学家,《几何原本》的作者。

他以其几何学的成就而闻名于世。

欧几里得的《几何原本》是一部系统而完整的几何学教科书,内容包括了平面几何和立体几何的基本定理与推论。

这部作品对后世的几何学研究产生了深远的影响,直到现代仍然被广泛应用。

3. 阿基米德阿基米德(公元前287年-公元前212年)是古希腊科学家和数学家,被誉为科学史上最有天赋的人之一。

他在数学、物理学和工程学等领域都有重要贡献。

阿基米德在几何学中使用了方法论和证明技巧,提出了许多关于测量和计算的理论和方法。

他发明了杠杆原理、浮力定律,并计算了圆周率的上限和下限,为解析几何学的发展奠定了基础。

4. 卡尔·弗里德里希·高斯卡尔·弗里德里希·高斯(1777年-1855年)是德国著名数学家、物理学家和天文学家。

他是现代数学的奠基人之一,对数学的发展做出了深远的贡献。

高斯的贡献涵盖了数论、代数学、几何学和物理学等多个领域。

他提出了高斯消元法,并发现了正多边形的构造方法。

他的研究对数学分析和数论的发展产生了重要影响,并被广泛应用于科学和工程领域。

5. 埃米尔·勒雅维尔埃米尔·勒雅维尔(1882年-1968年)是法国著名数学家,被誉为20世纪最伟大的数学家之一。

拓扑心理学

拓扑心理学

第五,在民主型群体中,群体结构更为稳定,而 在专制型群体中,群体的统一性依赖于领导者的 努力,当领导者的影响力不发生作用时,群体的 结构就趋于解体。
第六,民主型群体中,“我们”的意识很强,而 在专制型群体中,自我意识更加明显。
第七,放任型群体中的一个明显的特点是缺乏明 确的目标,工作效率低,情绪低沉。
团体动力学理论
Kurt Lewin
一、 勒温心理动力场理论
(一)心理环境 行为公式: B=f(PE): B 行为 f 函数 P个体 ,E 环境 即行为随环境和人这两个因素的变化而变化。即不同的人对同一
环境可产生不同的行为,同一个人对不同的环境可产生不同的行为。
不是指客观的环境事实,而指我们头脑里的事实或者说实际影 响一个人发生某一行为的心理事实
状态。这种状态或使人念念不忘某事,或使人坐立不安。只有需求得到 满足,这个紧张系统才能消除,心理才能恢复平静。其公式是需求导致 紧张,心理状态出现不平衡;需求满足,紧张消除,心理状态恢复平衡。
蔡格尼克效应:对未完成任务记忆要比已完成任务记忆更为长久这一倾向
激发勒温对动机问题研究的是他对心理学研究所 街对面咖啡馆的一个男招待的观察。一天晚上, 他与他的一些研究生在那个咖啡馆聚会,
--- 需求又两种:即生理需求和准需求。 准需求:指在心理环境中对心理事件起实际影响的需求,如做出许 诺就会产生完成许诺的愿望,考试的日期接近了想要复习,这是一种 心理需要。勒温所说的需求一般指对心理事件有实际影响的准需求。
(三) 行为动力
2.紧张 需求导致了一种紧张的心理系统,也就是产生了一种具有动力的心理
第十四章勒温的拓扑心理学
场论: 库尔特·勒温(1890-1947)
✓ 德裔犹太人,美国心理学家;心脏病死于1947年; ✓ 拓朴心理学的创始人,因为其在研究内容及其研

拓扑学的起源

拓扑学的起源

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20世纪的拓扑学家及其贡献
总结词
20世纪的拓扑学家在拓扑学领域做出了卓 越的贡献,推动了拓扑学的进一步发展。
详细描述
在20世纪,许多杰出的数学家投身于拓扑 学的研究,如艾伦伯格、霍普夫、吴文俊等 。他们的工作在拓扑学领域做出了卓越的贡 献,推动了拓扑学的进一步发展,使得拓扑
学成为数学领域中一门重要的学科。
欧几里得的几何学
欧几里得几何学是古希腊数学家欧几里得创立的几何体系,它为拓扑学的发展奠定了基 础。欧几里得几何学强调图形的内在性质和不变性,对后来的拓扑学发展产生了深远影
响。
近代的拓扑研究
19世纪的拓扑研究
19世纪是拓扑学发展的关键时期。数学家们开始深入研究图 形的拓扑性质,并逐渐形成了专门的拓扑学分支。其中,德 国数学家费利克斯·克莱因和德国数学家埃德蒙·诺伊维奇等人 在这一时期做出了重要贡献。
20世纪的拓扑学发展
20世纪是拓扑学迅速发展的时期。在这一时期,拓扑学的研 究领域不断扩大,涉及到了代数拓扑、微分拓扑、几何拓扑 等多个方向。同时,拓扑学与其他数学分支的交叉研究也取 得了重要进展。
现代的拓扑学发展
拓扑学与其他领域的交叉研究
随着科学技术的发展,拓扑学逐渐与其他领域产生了越来越多的交叉研究。例 如,拓扑学与物理学、化学、生物学等领域的结合,为解决实际问题提供了新 的思路和方法。
拓扑学的起源
• 拓扑学的历史背景 • 拓扑学的数学基础 • 拓扑学的应用领域 • 拓扑学与其他数学分支的关系 • 拓扑学的重要人物与事件
目录
Part
01
拓扑学的历史背景
古代的拓扑观念
古代文明中的拓扑思考
古埃及、古希腊和古罗马的数学家们通过对几何形状的观察和比较,开始形成了早期的 拓扑观念。例如,他们研究了图形的内在性质,如封闭性、连通性和对称性。

拓扑学的基本概念-定义说明解析

拓扑学的基本概念-定义说明解析

拓扑学的基本概念-概述说明以及解释1.引言1.1 概述拓扑学是数学中的一个分支,研究的是空间中的形状、连通性和变化性质。

它主要关注的是不同空间对象之间的关系,而不考虑其具体的度量尺寸或几何特征。

拓扑学起源于18世纪,经过数学家们的不断探索和研究,逐渐形成了一套完整的理论体系。

在拓扑学中,我们关注的是空间对象之间的相互关系,而不关心它们的形状如何变化或者具体的度量尺寸。

例如,我们可以将两个球看作是相同的,因为它们都具有一个孔,而不关心它们的大小或者表面的形状。

这种抽象的思维方式使得拓扑学成为解决很多实际问题的强大工具,例如网络连通性分析、形状识别等。

拓扑学的基本概念包括拓扑空间、拓扑结构、连通性等。

拓扑空间是指一个具有拓扑结构的集合,通过给定的一组开集来定义集合中元素的关系。

拓扑结构则是用来描述集合中元素之间的邻近性和连通性的规则。

而连通性则是指一个空间对象是否是连通的,即是否可以通过一条连续的路径将其所有点连接起来。

拓扑学作为一门基础学科,在多个领域都有广泛的应用。

例如,在计算机科学中,拓扑学被用来描述网络中节点之间的连通性和通信路径;在物理学中,拓扑学被用来研究物质的相变性质;在生物学中,拓扑学被用来研究DNA的结构和蛋白质的折叠等。

这些应用领域的发展与拓扑学的基本概念密不可分。

本文将从拓扑学的起源、基本概念、拓扑空间与拓扑结构以及拓扑学的应用领域等方面进行介绍。

通过对这些内容的系统阐述和分析,旨在帮助读者更好地理解拓扑学的基本概念和应用,以及其在解决实际问题中的重要性。

接下来的章节将详细介绍这些内容,以期能够为读者提供一个全面而深入的拓扑学知识框架。

1.2 文章结构文章结构部分的内容可以根据以下方式进行编写:文章结构部分:本篇文章将按照以下结构组织和介绍拓扑学的基本概念:1. 引言:首先,我们将概述本文的主题和目的,为读者提供一个整体的概览。

接着,我们将介绍文章的结构,明确每个部分的内容和安排。

几何学的发展简史 学习课件

几何学的发展简史  学习课件
一对应关系,在此基础上,进一步建立作为点 的轨迹的曲线、曲面与其方程之间的联系,把 研究曲线与曲面的几何问题,归结为研究其方 程的代数问题,进而为用代数的方法研究曲线 和曲面创造了条件,奠定了基础. 空间轨迹与 平面轨迹相比要复杂得多,但它的方程的建立, 以及对某些问题的处理,两者却非常相似.
本章的知识结构为:
点 轨迹
第一章 第二章
坐标 方程
曲曲 面线
普参 通数
第三章 平面与直线
方程与关系
一般曲面 第四章 常见曲面和二次曲面
一般曲线 第五章 二次曲线的一般理论
第一章 矢量与坐标
为了把代数的方法引入到几何中来,首 先必须把空间的几何结构代数化,这是解析
几何的基础. 本章的主要目的是系统地介绍矢 量代数的基本知识,这实质上就是一个使空间 结构代数化的过程. 矢量虽然不是数,但是可 以像数那样去运算,因此在几何中引进了矢量, 就把代数运算带到几何中来了,从而使我们 可以利用矢量代数的方法来研究几何问题。
空间直线之间位置关系的解析表达式,给出
距离、夹角等计算公式.
点位式
本章的知识结构为:平面的方程 一般式
点向式 →直线的方程 一般式
点法式 → 相关位置
射影式
第四章 柱面、锥面、旋转曲面与二次曲面
本章介绍柱面、锥面、旋转曲面与二次曲
面,其中柱面、锥面、旋转曲面具有较为突
(黎曼:双曲几何,罗氏:椭圆几何)
五.几何学的尖端----拓扑学的产生(1900年~)
﹜ ﹛ 初等代数
解析几何
数学分析
初等数学
高等数学
初等几何
高等代数
﹛平面几何
初等几何 立体几何
﹛ 解析几何 平面解析几何 空间解析几何

数学的三个发展时期现代数学时期

数学的三个发展时期现代数学时期

数学的三个发展时期——现代数学时期现代数学时期是指由19世纪20年代至今,这一时期数学主要研究的是最一般的数量关系和空间形式,数和量仅仅是它的极特殊的情形,通常的一维、二维、三维空间的几何形象也仅仅是特殊情形。

抽象代数、拓扑学、泛函分析是整个现代数学科学的主体部分。

它们是大学数学专业的课程,非数学专业也要具备其中某些知识。

变量数学时期新兴起的许多学科,蓬勃地向前发展,内容和方法不断地充实、扩大和深入。

18、19世纪之交,数学已经达到丰沛茂密的境地,似乎数学的宝藏已经挖掘殆尽,再没有多大的发展余地了。

然而,这只是暴风雨前夕的宁静。

19世纪20年代,数学革命的狂飙终于来临了,数学开始了一连串本质的变化,从此数学又迈入了一个新的时期——现代数学时期。

19世纪前半叶,数学上出现两项革命性的发现——非欧几何与不可交换代数。

大约在1826年,人们发现了与通常的欧几里得几何不同的、但也是正确的几何——非欧几何。

这是由罗巴契夫斯基和里耶首先提出的。

非欧几何的出现,改变了人们认为欧氏几何唯一地存在是天经地义的观点。

它的革命思想不仅为新几何学开辟了道路,而且是20世纪相对论产生的前奏和准备。

后来证明,非欧几何所导致的思想解放对现代数学和现代科学有着极为重要的意义,因为人类终于开始突破感官的局限而深入到自然的更深刻的本质。

从这个意义上说,为确立和发展非欧几何贡献了一生的罗巴契夫斯基不愧为现代科学的先驱者。

1854年,黎曼推广了空间的概念,开创了几何学一片更广阔的领域——黎曼几何学。

非欧几何学的发现还促进了公理方法的深入探讨,研究可以作为基础的概念和原则,分析公理的完全性、相容性和独立性等问题。

1899年,希尔伯特对此作了重大贡献。

在1843年,哈密顿发现了一种乘法交换律不成立的代数——四元数代数。

不可交换代数的出现,改变了人们认为存在与一般的算术代数不同的代数是不可思议的观点。

它的革命思想打开了近代代数的大门。

另一方面,由于一元方程根式求解条件的探究,引进了群的概念。

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经过过20世纪30年代中期起布尔巴基学 派的补充(一致性空间、仿紧性等)和整理, 一般拓扑学趋于成熟,成为第二次世界大战 后数学研究的共同基础。从其方法和结果对 于数学的影响看,紧拓扑空间和完备度量空 间的理论是最重要的。紧化问题和度量化问 题也得到了深入的研究。公理化的一般拓扑 学晚近的发展可见一般 学,为拓扑学开拓了新的面貌。拓扑学的研 究就变成了关于任意点集的对应的概念。拓 扑学中一些需要精确化描述的问题都可以应 用集合来论述。 因为大量自然现象具有连续性,所以拓 扑学具有广泛联系各种实际事物的可能性。 通过拓扑学的研究,可以阐明空间的集合结 构,从而掌握空间之间的函数关系。
上面的几个例子所讲的都是一些和几何 图形有关的问题,但这些问题又与传统的几 何学不同,而是一些新的几何概念。这些就 是“拓扑学”的先声。 拓扑学是数学中一个重要的、基础性的 分支。它最初是几何学的一个分支,主要研 究几何图形在连续变形下保持不变的性质, 现在已成为研究连续性现象的重要的数学分 支。
之间的几何关系来表示网络结构,反映出网 络中各个实体之间的结构关系。拓扑设计是 建设计算机网络的第一步,也是实现各种网 络协议的基础,它对网络性能、可靠性与通 信代价有很大影响。网络拓扑主要是指通信 子网的拓扑构型。
组合拓扑学的奠基人是H.庞加莱。他是在分析 学和力学的工作中,特别是关于复函数的单值化和 关于微分方程决定的曲线的研究中,引向拓扑学问 题的,但他的方法有时不够严密,他的主要兴趣在 n维流形。 在1895~1904年间,他创立了用剖分研究流 形的基本方法。他引进了许多不变量:基本群、同 调、贝蒂数、挠系数,并提出了具体计算的方法。 他引进了许多不变量:基本群、同调、贝蒂数、挠 系数,他探讨了三维流形的拓扑分类问题,提出了 著名的庞加莱猜想。他留下的丰富思想影响深远, 但他的方法有时不够严密,过多地依赖几何直观。 特别是关于复函数的单值化和关于微分方程决定的 曲线的研究中,

拓扑学的产生

拓扑学的产生

他们把代数拓扑学的基本精神概括为: 把拓扑问题转化为代数问题,通过计算来求 解。同调群,以及在30年代引进的上同调环, 都是从拓扑到代数的过渡(见同调论)。 直到今天,三角形与圆形同胚;而直线 与圆周不同胚,同调论(包括上同调)所提 供的不变量仍是拓扑学中最易于计算的,因 而也最常用的。不必加以区别。
拓扑学的另一渊源是分析学的严密化。他是在 分析学和力学的工作中, 实数的严格定义推动G.康托尔从1873年起系统 地展开了欧氏空间中的点集的研究,得出许多拓扑 概念,如聚点(极限点)、开集、闭集、稠密性、 连通性等。在点集论的思想影响下,分析学中出现 了泛函数(即函数的函数)的观念,把函数集看成 一种几何对象并讨论其中的极限。这终于导致抽象 空间的观念。这样,B.黎曼在复函数的研究中提出 了黎曼面的几何概念, 到19、20世纪之交,已经形成了组合拓扑学与 点集拓扑学这两个研究方向。这是萌芽阶段。
L.E.J.布劳威尔在1910~1912年间提出 了用单纯映射逼近连续映射的方法, 许多重 要的几何现象,用以证明了不同维的欧氏空 间不同胚,它们就不同胚。引进了同维流形 之间的映射的度以研究同伦分类,并开创了 不动点理论。他使组合拓扑学在概念精确、 论证严密方面达到了应有的标准,成为引人 瞩目的学科。 紧接着,J.W.亚历山大1915年证明了贝 蒂数与挠系数的拓扑不变性。如连通性、紧 性),
二,拓扑学的发展阶段
十九世纪中期,黎曼在复函数的研究 中强调研究函数和积分就必须研究形势分析 学。从此开始了现代拓扑学的系统研究。 拓扑学建立后,由于其它数学学科的发 展需要,它也得到了迅速的发展。特别是黎 曼创立黎曼几何以后,他把拓扑学概念作为 分析函数论的基础,更加促进了拓扑学的进 展。
在点集论的思想影响下,黎曼本人解决了 可定向闭曲面的同胚分类问题。如聚点(极 限点)、开集、闭集、稠密性、连通性等。 在几何学的研究中黎曼明确提出n维流形的概 念(1854)。得出许多拓扑概念,

拓扑心理学简介

拓扑心理学简介

简介拓扑心理学是德国格式塔心理学家勒温根据动力场说,采用拓扑学及向心理学错觉图量学的表述方式,研究人及其行为的一种心理学体系。

勒温否定了刺激-反应的公式,而认为行为可表示为人和环境的函数,行为是随人和环境的变化而变化的。

这个环境不是纯客观的环境,也不是科夫卡所说的行为环境,因为行为环境实际上是意识中的环境。

勒温的所谓环境叫做心理环境,是仅仅对行为有所影响的环境,他称之为准环境。

编辑本段详细介绍勒温否定了刺激-反应的公式,而采取了B=f(P,E)的公式,认为行为(B)等于人(P)和环境(E)的函数,行为是随人和环境的变化而变化的。

这个环境不是纯客观的环境,也不是K.科夫卡所说的行为环境,因为行为环境实际上是意识中的环境。

勒温的所谓环境叫做心理环境,是仅心理学错觉图仅对行为有所影响的环境,他称之为准环境。

准环境被区分为三种,即准实在的环境、准社会的环境和准概念的环境。

仅举一例说明准实在的环境,其他两种环境的意义就可以类推而知。

他说:“比如一个儿童知道他的母亲在家或不在家,他在花园中的游戏的行为便可随之而不同,可是我们不能假定这个母亲是否在家的事实存在于儿童的意识之内。

”这就说明勒温的心理环境有别于科夫卡的行为环境。

勒温将人和环境描绘为生活空间。

这个生活空间不包括人生的一切事实,而仅包括指定的人及其行为在某一时间内的有关事实。

必须指出,勒温的研究超出了格式塔心理学原有的知觉研究范围。

他要致力于人的行为动力、动机或需要和人格的研究,为格式塔心理学开辟了新的园地。

他以为环境的事物对于人不是无关痛痒的。

有些事物吸引人,具有引值(正的原子值),是人所愿意接近和取得的;有些事物排拒人,具有拒值(负的原子值),是人所不愿意接受或拒绝的。

这个一引一拒是与人的需要有关的。

勒温把需要区分为基本需要和准需要。

饥思食、渴思饮,这种生理需要属于前者。

写好了信要投邮筒,毕业期近要写论文,这种需要属于后者,是勒温研究需要时的主要对象。

《拓扑学的产生》课件

《拓扑学的产生》课件
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拓扑学是研究空间中的连续性质的数学分支。本课件将介绍拓扑学的起源、 基本概念以及在不同领域的重要应用。
什么是拓扑学?
拓扑学是研究空间中的连续性质的数学分支。它研究的对象是那些在保持空 间形状的连续变形下不变的性质。
拓扑学的历史背景
拓扑学的起源可以追溯到18世纪,但它在20世纪得到了广泛发展。拓扑学的 发展与几何学和分析学的交叉影响密不可分。
2
信号传播
拓扑学可以帮助研究神经信号在脑内的传播路径和传输效率。
3
认知能力
拓扑学研究还可以探索脑网络的拓扑特征与认知能力之间的关系。
拓扑学在数据分析中的应用
拓扑学在数据分析中扮演着重要的角色,可以帮助发现数据集中的重要特征和关系。
拓扑数据分析中的持久性理论
拓扑数据分析的持久性理论是一种用于分析数据集中的拓扑特征和形态变化的数学工具。
拓扑物理学的ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ沿研究
拓扑物理学是一个快速发展的研究领域,正在探索新的拓扑态和拓扑现象。
拓扑学的挑战和前景
拓扑学领域还面临一些挑战,但它仍然具有广阔的应用前景,将继续为我们 的科学和技术进步做出贡献。
基于拓扑数据分析的人工智能
拓扑数据分析在人工智能中的应用是一种基于拓扑学的新兴领域,可以帮助机器学习系统更好地理解和利用数 据。
拓扑学在量子物理学上的应用
拓扑学被广泛应用于量子物理学中,特别是在拓扑绝缘体和拓扑量子场论的 研究中起到了重要作用。
拓扑绝缘体的发现
拓扑绝缘体是拓扑学的重要应用之一,可以在材料中实现导电和绝缘两种性 质的结合。
地图学
拓扑学在地图学中有广泛的 应用,可以帮助解决路径规 划和区域分析等问题。
计算机图形学

拓扑学的产生与发展

拓扑学的产生与发展

拓扑学的产生与发展拓扑学是数学的一个分支学科,研究的是空间中点、线、面等几何形体的性质,以及它们之间的关系。

拓扑学的发展可以追溯到18世纪末19世纪初,然而真正成为一个独立的学科,则是在20世纪初。

最早的拓扑学概念可以追溯到欧几里得几何学,就是研究平面和空间中的基本对象及其性质。

然而,拓扑学的真正发展起步是通过对欧拉多面体定理的研究。

欧拉在1750年提出了欧拉公式,即V-E+F=2,其中V表示顶点数,E表示边数,F表示面数。

欧拉通过研究各种多面体的顶点、边和面的数目之间的关系,发现符合这个公式的多面体只有五种。

这个发现对于拓扑学的发展起到了重要的推动作用。

19世纪初,高斯和拉普拉斯开始研究平面上的曲线,尤其是封闭曲线。

他们发现,通过曲线上一个点周围的环绕数(逆时针计数为正,顺时针计数为负),可以判断曲线是否闭合。

这个环绕数可以看作是拓扑学中的一个基本概念,即同伦。

19世纪末,庞加莱开始研究多维空间中的连通性问题。

他引入了拓扑学中的同伦和同伦不变量的概念,即两个空间通过连续变形相互等价。

庞加莱的研究对于现代拓扑学的发展起到了重要的奠基作用。

20世纪初,拓扑学逐渐成为一个独立的学科,并开始发展自己的独特理论和方法。

一个重要的里程碑是由墨菲斯提斯在1905年提出的“距离”概念。

他引入了距离空间的概念,即在空间中两个点之间的距离可以度量,而不仅仅是通过拓扑性质的相关性进行研究。

这种引入距离的方法大大推动了拓扑学的发展,使得拓扑学可以更加与实际问题相结合。

随着拓扑学的发展,许多重要的概念和定理被提出,如连通性、紧性、同调论等。

这些概念和定理使得拓扑学可以应用于更广泛的领域,如材料科学、生物学、计算机科学等。

例如,在材料科学中,拓扑学被应用于研究材料的电子结构和导电性质;在生物学中,拓扑学被应用于研究蛋白质的结构和功能;在计算机科学中,拓扑学被应用于网络拓扑和分布式计算等问题。

总的来说,拓扑学的产生和发展是一个漫长而复杂的过程,它起源于对几何形体性质的研究,经过数学家们的不断探索和推动,逐渐成为一个独立的学科,并为许多领域的科学研究提供了重要的工具和方法。

数学史话:数学史话(1)概述

数学史话:数学史话(1)概述

1、概述数学是研究现实世界中数量关系和空间形式的科学。

简单地说,就是研究数和形的科学。

由于生活和劳动上的需求,即使是最原始的民族,也知道简单的计数,并由用手指或实物计数发展到用数字计数。

在中国,最迟在商代,即已出现用十进制数字表示大数的方法;至秦汉之际,即已出现完满的十进位制。

在不晚于公元一世纪的《九章算术》中,已载了只有位值制才有可能进行的开平方、开立方的计算法则,并载有分数的各种运算以及解线性联立方程组的方法,还引入了负数概念。

刘徽在他注解的《九章算术》中,还提出过用十进制小数表示无理数平方根的奇零部分,但直至唐宋时期(欧洲则在16世纪斯蒂文以后)十进制小数才获通用。

在这本著作中,刘徽又用圆内接正多边形的周长逼近圆周长,成为后世求圆周率的一般方法。

虽然中国从来没有过无理数或实数的一般概念,但在实质上,那时中国已完成了实数系统的一切运算法则与方法,这不仅在应用上不可缺,也为数学初期教育所不可少。

至于继承了巴比伦、埃及、希腊文化的欧洲地区,则偏重于数的性质及这些性质间的逻辑关系的研究。

早在欧几里得的《几何原本》中,即有素数的概念和素数个数无穷及整数惟一分解等论断。

古希腊发现了有非分数的数,即现称的无理数。

16世纪以来,由于解高次方程又出现了复数。

在近代,数的概念更进一步抽象化,并依据数的不同运算规律,对一般的数系统进行了独立的理论探讨,形成数学中的若干不同分支。

开平方和开立方是解最简单的高次方程所必须用到的运算。

在《九章算术》中,已出现解某种特殊形式的二次方程。

发展至宋元时代,引进了“天元”(即未知数)的明确观念,出现了求高次方程数值解与求多至四个未知数的高次代数联立方程组的解的方法,通称为天元术与四元术。

与之相伴出现的多项式的表达、运算法则以及消去方法,已接近于近世的代数学。

在中国以外,九世纪阿拉伯的花拉米子的著作阐述了二次方程的解法,通常被视为代数学的鼻祖,其解法实质上与中国古代依赖于切割术的几何方法具有同一风格。

回忆西南联大时代的老师许宝騄先生

回忆西南联大时代的老师许宝騄先生

回忆西南联大时代的老师许宝騄先生徐利治大连理工大学教授(一)国际一流的对多元统计作出了卓越贡献的许宝騄先生离别人世将近30年了。

今年2000年正好是许先生诞生90周年,相信海内外的弟子们都将以崇敬缅怀的心情来纪念我国这位世界级的统计数学大家和导师。

40年代我求学于昆明西南联大(抗日战争年代由北大、清华、南开三校联合而成的大学)时期,由于钟开莱先生的热诚介绍,我有幸接触到许宝騄先生,并能不时从他那里得到教诲和指导,至今印象清新,仍历历在目。

1948-49年许先生任教于北大,有一段时间长住一所德国医院疗养身体。

那时我在清华做助教,曾多次进城去拜望许先生。

他往往神态显得十分爽健,也很健谈,例如,可以从恩格斯的《自然辩证法》谈到国家大事和世界发展趋势等等。

记得有一次许先生忽然告诉我,他很想读读《自然辩证法》。

谈话中他很赞赏前苏联的数学成就,尤其是对Kolmogorov学派十分推崇。

在1948年辽沈战役后,许先生已确信“国民党败局已定”,并对当年北大、清华的学生爱国民主运动十分同情,还提到了一二九运动时期他所熟悉的个别先进人物的名字…。

以上所诉,都是50年前的事了。

我的印象是,许先生作为体弱多病的杰出数学家,当年能深切关心国家大事、能接受先进思想且有明辨是非的爱国主义正义感,这在旧社会老一辈的知识界人物中确是难能可贵的!(二)1951年秋我从英国返回国内后,每次从清华去北大时总要抽时间去拜访许先生。

1952年冬我调到长春吉林大学工作后,就不能走访许先生了。

但只要每次到北京出差或开会时,也总要去看望许先生并且往往能长谈一二小时。

在与许先生多次接触交谈中,我感到在数学学术思想方面得到他的教益和启发是很多的。

我们知道,许先生是一位英国派硬分析工夫极深的数学家,理所当然地他对英国分析数学家Hardy与Littlewood是很称道的。

但是有一次他却对我说,如果把Hardy的贡献与德国数学大家Hilbert的成就作比较,那么他认为:“每一个数学系毕业生可以不知道Hardy的贡献成果,但却不可以不知道Hilbert所贡献的数学知识。

勒温的拓扑心理学

勒温的拓扑心理学

勒温的拓扑心理学勒温的生平与思想渊源勒温,心理学家,场论的创始人,社会心理学的先驱,传播学研究中守门理论的创立者,以研究人类动机和团体动力学而著名。

勒温生于德国波森省的莫基诺(今属波兰),15岁时搬到柏林。

先后学过药学和生物学,对哲学已很感兴趣。

曾师从格式塔心理学主要代表W。

克勒,先后受教于弗赖堡大学、慕尼黑大学及柏林大学,曾与苛勒、考夫卡同学,在斯图姆夫的指导下,1914年在柏林大学获得哲学博士学位。

服四年军役后,回柏林大学任苛勒领导的心理学研究所助理,1922年任讲师,1926年任教授。

1932年赴美任斯坦福大学客座教授。

翌年,因反对纳粹迫害而移居美国,先在康乃尔大学任教两年,后任爱荷华大学儿童福利研究所儿童心理学教授。

1945年到麻省理工学院任团体动力学研究中心主任,兼加利福尼亚大学伯克莱分校和哈佛大学客座教授。

他和他的同事们进行了关于团体气氛和领导风格的研究。

试图用团体动力学的理论来解决社会实际问题,这一理论对以后的社会心理学发展有很大的影响。

拓扑心理学的理论观点:勒温的心理动力场理论心理环境和其它格式塔心理学家一样,勒温也把行为作为心理学的研究对象,他提出的行为公式是B=f(PE),在这个公式里,B代表行为,f是指函数关系(也可以称为一项定律),P是指具体的一个人,E是指全部的环境。

用文字来解释这个公式的话,就是说行为是随着人与环境这两个因素的变化而变化,即不同的人对同一的环境条件会产生不同的行为,同一个人对不同的环境条件会产生不同的行为,甚至同一个人,如果情境条件发生了改变,对同一个环境也会产生不同的行为,勒温的这种描述显然比较符合客观实际状况。

心理动力场心理场是勒温心理学体系中的一个最重要概念,同时也是其理论的核心。

场这个概念是勒温从物理学中借用过来的,勒温认为心理场就是由一个人的过去、现在的生活事件经验和未来的思想愿望所构成的一个总和,也就是说,心理场包括一个人已有生活的全部和对将来生活的预期。

拓扑学的产生

拓扑学的产生
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四色问题
英国。1852年,毕业于伦敦大学的弗南西斯. 格思里来到一家科研单位搞地图着色工作时,发现 了一种有趣的现象:“看来,每幅地图都可以用四 种颜色着色,使得有共同边界的国家都被着上不同 的颜色。”
1872年,英国当时最著名的数学家凯利正式向 伦敦数学学会提出了这个问题,于是四色猜想成了 世界数学界关注的问题。世界上许多一流的数学家 都纷纷参加了四色猜想的大会战。
经过过20世纪30年代中期起布尔巴基学 派的补充(一致性空间、仿紧性等)和整理, 一般拓扑学趋于成熟,成为第二次世界大战 后数学研究的共同基础。从其方法和结果对 于数学的影响看,紧拓扑空间和完备度量空 间的理论是最重要的。紧化问题和度量化问 题也得到了深入的研究。公理化的一般拓扑 学晚近的发展可见一般拓扑学。
连续性和离散性是自然界与社会现象中普遍存 在的。拓扑学对连续性数学是带有根本意义的,对 于离散性数学也起着巨大的推动作用。拓扑学的基 本内容已经成为现代数学的常识。拓扑学的概念和 方法在物理学、生物学、化学等学科中都有直接、 广泛的应用。
拓扑学是几何学的一个分支,它是从图论演变 过来的。拓扑学将实体抽象成与其大小、形状无关 的点,将连接实体的线路抽象成线,进而研究点、 线、面之间的关系。网络拓扑通过结点与通信线路
二,拓扑学的发展阶段
十九世纪中期,黎曼在复函数的研究 中强调研究函数和积分就必须研究形势分析 学。从此开始了现代拓扑学的系统研究。
拓扑学建立后,由于其它数学学科的发 展需要,它也得到了迅速的发展。特别是黎 曼创立黎曼几何以后,他把拓扑学概念作为 分析函数论的基础,更加促进了拓扑学的进 展。
在点集论的思想影响下,黎曼本人解决了
维欧氏空间作为光滑的子流形。为了研究微
分流形上的向量场,他还提出了纤维丛的概

数学发展史上的四个高峰

数学发展史上的四个高峰

数学发展史上的四个高峰
数学是一门古老而重要的学科,它贯穿了人类文明的发展历程。

在数学发展史上,有许多里程碑式的事件和人物,但其中有四个高峰,对数学的发展产生了重大的影响。

第一个高峰是古希腊的数学,这是数学史上最早的高峰之一。

在这个时期,许多伟大的数学家如毕达哥拉斯、欧几里得、阿基米德等人创立了数学的基础理论。

他们发明了许多数学工具和方法,如比例、勾股定理、尺规作图等,这些成果对以后的数学发展产生了深远的影响。

第二个高峰是17世纪的微积分学。

牛顿和莱布尼茨分别独立地发明了微积分学,这是数学史上的另一个里程碑。

微积分学为研究变化和运动提供了工具和语言,成为物理学、工程学等领域的基础。

第三个高峰是19世纪的代数学。

在这个时期,高斯、阿贝尔、狄利克雷等代数学家创立了现代代数学的基础理论,如群论、域论、线性代数等。

这些理论成为了许多应用数学领域的基础,如密码学、编码理论等。

第四个高峰是20世纪的拓扑学。

拓扑学研究的是空间和形状的性质,它的发展对现代数学和物理学都有深远的影响。

在20世纪,许多伟大的数学家如康托尔、希尔伯特、普朗克等人推动了拓扑学的发展,创立了拓扑学的基础理论。

以上四个高峰是数学发展史上最为重要的里程碑之一,它们的成果和理论深刻地影响了现代数学和相关领域的发展。

拓扑学的产生与发展

拓扑学的产生与发展

拓扑学的产生与发展邓一凡0401120摘要:拓扑学作为数学上一个重要的分支,主要是研究各种“空间”在连续性的变化下不变的性质,自从18世纪开始出现萌芽以来,对微分几何,分析学,抽象代数,经济学等其他学科产生了重大的影响。

而随着时代的发展,拓扑学更会在科学中起到更加重要的作用和影响力。

As an important branch of mathematics , Topology is to study a variety of "space" in the continuity of the invariant under changes in the nature, since the 18th century began to sprout since the differential geometry, analytical science, abstract algebra, economics, etc. other disciplines have had a significant impact. With the development of the times, topology in science will play a more important role and have more influence.关键字:拓扑学欧拉四色问题七桥问题庞加莱正文:拓扑学的定义:(1)Topology原意为地貌,起源于希腊语Τοπολογ。

形式上讲,拓扑学主要研究“拓扑空间”在“连续变换”下保持不变的性质。

简单的说,拓扑学是研究连续性和连通性的一个数学分支。

主要研究拓扑空间在拓扑变换下的不变性质和不变量拓扑学早期的发展:拓扑学最初被称为形势几何学,这是莱布尼茨于1679年提出的,他预见到现在所称的组合拓扑学.最早为人所知的拓扑学定理可能是所谓的欧拉公式,这是指任何闭的凸多面体的顶点数v,棱数e和面数f有关系v-e+f=2.用现代说法,它是一个拓扑不变量,称为欧拉示性数.但据史学家考证,笛卡儿在1639年就知道它,并且莱布尼茨通过笛卡儿未发表的手稿于1675年得知这一结果.另一著名的结果是哥尼斯堡七桥问题的解决,欧拉在1736年将问题表成能否一笔画一个给定的图,并给出了一般性的解答.德国数学家高斯(Gauss,C.F.)于1827年得到曲面上曲率的积分与欧拉示性数的关系,他于1823年在电动力学中用线积分定义了空间中两条封闭曲线的环绕数.利斯廷(Listing,J.B.)于1848年第一次采用了拓扑学一词,而黎曼(Riemann,B.)于1851年定义了黎曼面,引进了连通性和亏格,实际上解决了可定向闭曲面的分类问题,给拓扑学的建立以巨大的推动.1858年,默比乌斯(Mo¨bius,A.F.)和利斯廷独立地发现了单侧的曲面,现被更确切地称为不可定向曲面.默比乌斯于1863年恰当地指出形势几何学的定义.拓扑学正式成为一门独立的学科是庞加莱(Poincaré,H.)实现的.他于1892年发表了题为“论形势分析”的短文,然后于1895年发表了题为“形势分析”的120页的长文,介绍它的概念,其中有同调、贝蒂数、相交、基本群,甚至隐含着上同调;建立了对偶定理和欧拉-庞加莱公式.随后直到1904年,他连续发表了五篇补充,为改进前述长文中的缺点创立了剖分方法,定义了挠系数,开始探讨三维流形的拓扑分类,构造出基本群不平凡而一维贝蒂数平凡的三维流形,并提出了著名的庞加莱猜想:基本群平凡的三维闭流形同胚于三维球面.这几篇文章奠定了组合拓扑学的基础,其思想非常丰富,观念很深刻,影响很深远,尽管不够严密或缺乏证明,但后来的进展正是从此入手,将这门学科建立在严格的逻辑上而发展为后来的组合拓扑学、代数拓扑学,进而发展出微分拓扑学等学科和分支.从此以后,拓扑学得到了蓬勃的发展,也为不同学科提供了宝贵的数学支持。

拓扑学历史

拓扑学历史

萌芽拓扑学起初叫形势分析学,这是德国数学家莱布尼茨1679年提出的名词。

欧拉在1736年解决了七桥问题,1750年发表了多面体公式;高斯1833年在电动力学中用线积分定义了空间中两条封闭曲线的环绕数。

Topology这个词是由J.B.利斯廷提出的(1847),源自希腊文τόπος和λόγος(“位置”和“研究”)。

这是拓扑学的萌芽阶段。

1851年,德国数学家黎曼在复变函数的研究中提出了黎曼面的几何概念,并且强调为了研究函数、研究积分,就必须研究形势分析学。

黎曼本人解决了可定向闭曲面的同胚分类问题。

组合拓扑学的奠基人是法国数学家庞加莱。

他是在分析学和力学的工作中,特别是关于复函数的单值化和关于微分方程决定的曲线的研究中,引向拓扑学问题的。

他的主要兴趣在流形。

在1895~1904年间,他创立了用剖分研究流形的基本方法。

他引进了许多不变量:基本群、同调、贝蒂数、挠系数,探讨了三维流形的拓扑分类问题,提出了著名的庞加莱猜想。

拓扑学的另一渊源是分析学的严密化。

实数的严格定义推动康托尔从1873年起系统地展开了欧氏空间中的点集的研究,得出许多拓扑概念,如聚点(极限点)、开集、闭集、稠密性、连通性等。

在点集论的思想影响下,分析学中出现了泛函(即函数的函数)的观念,把函数集看成一种几何对象并讨论其中的极限。

这终于导致抽象空间的观念。

点集拓扑最早研究抽象空间的是M.-R.弗雷歇。

他在1906年引进了度量空间的概念。

F.豪斯多夫在《集论大纲》(1914)中用开邻域定义了比较一般的拓扑空间,标志着用公理化方法研究连续性的一般拓扑学的产生。

随后波兰学派和苏联学派对拓扑空间的基本性质(分离性、紧性、连通性等)做了系统的研究。

经过20世纪30年代中期起布尔巴基学派的补充(一致性空间、仿紧性等)和整理,一般拓扑学趋于成熟,成为第二次世界大战后数学研究的共同基础。

欧氏空间中的点集的研究,例如,一直是拓扑学的重要部分,已发展成一般拓扑学与代数拓扑学交汇的领域,也可看作几何拓扑学的一部分。

佛洛依德第一拓扑学

佛洛依德第一拓扑学

佛洛依德第一拓扑学
佛洛依德第一拓扑学是心理学家西格蒙德·佛洛伊德提出的一种心理学理论。

这一理论描述了人类心理结构中的不同层次和如何
互相作用。

佛洛依德将人的心理活动归结为三个层次:意识、前
意识和潜意识。

在佛洛依德的第一拓扑学中,意识是人们能够直接感知和意识
到的心理活动。

它包括我们在当下能够想起和思考的那些内容。

我们可以通过注意力来选择性地关注某些事物,并将其纳入意识。

前意识是我们能够轻松地唤起和思考的心理内容。

这些内容可
能不在我们的意识中,但我们可以通过引起注意而将它们带入意识。

前意识包括那些我们可能想起的事物、明显的记忆以及当前
并非意识到的思维。

潜意识是我们意识下的心理活动,无法被直接感知和意识到。

潜意识包含着被抑制的欲望、冲突和不愿面对的经历等内容。


对我们行为和情绪产生了深远的影响,尽管我们不能直接认识到它。

佛洛依德第一拓扑学的关键观点是人的心理活动不仅仅存在于
意识中,而是更广泛地涵盖了前意识和潜意识。

我们的不自觉思
维和潜意识的影响对我们的行为和情绪产生了深远的影响。

了解佛洛依德的第一拓扑学有助于我们更好地理解人的心理活动,并认识到我们的思维和行为背后可能存在着更深层次的动机。

通过自我观察和深入分析,我们可以更好地认识自己,并意识到
一些潜在的心理冲突和压抑的欲望。

这有助于我们更好地理解和
管理自己的情绪和行为。

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可定向闭曲面的同胚分类问题。如聚点(极 限点)、开集、闭集、稠密性、连通性等。 在几何学的研究中黎曼明确提出n维流形的概 念(1854)。得出许多拓扑概念,
二十世纪以来,集合论被引进了拓扑 学,为拓扑学开拓了新的面貌。拓扑学的研 究就变成了关于任意点集的对应的概念。拓 扑学中一些需要精确化描述的问题都可以应 用集合来论述。
因为大量自然现象具有连续性,所以拓 扑学具有广泛联系各种实际事物的可能性。 通过拓扑学的研究,可以阐明空间的集合结 构,从而掌握空间之间的函数关系。
拓扑学的另一渊源是分析学的严密化。他是在 分析学和力学的工作中,
实数的严格定义推动G.康托尔从1873年起系统 地展开了欧氏空间中的点集的研究,得出许多拓扑 概念,如聚点(极限点)、开集、闭集、稠密性、 连通性等。在点集论的思想影响下,分析学中出现 了泛函数(即函数的函数)的观念,把函数集看成 一种几何对象并讨论其中的极限。这终于导致抽象 空间的观念。这样,B.黎曼在复函数的研究中提出 了黎曼面的几何概念,
L.E.J.布劳威尔在1910~1912年间提出 了用单纯映射逼近连续映射的方法, 许多重 要的几何现象,用以证明了不同维的欧氏空 间不同胚,它们就不同胚。引进了同维流形 之间的映射的度以研究同伦分类,并开创了 不动点理论。他使组合拓扑学在概念精确、 论证严密方面达到了应有的标准,成为引人 瞩目的学科。
经过过20世纪30年代中期起布尔巴基学 派的补充(一致性空间、仿紧性等)和整理, 一般拓扑学趋于成熟,成为第二次世界大战 后数学研究的共同基础。从其方法和结果对 于数学的影响看,紧拓扑空间和完备度量空 间的理论是最重要的。紧化问题和度量化问 题也得到了深入的研究。公理化的一般拓扑 学晚近的发展可见一般拓扑学。
到19、20世纪之ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ,已经形成了组合拓扑学与 点集拓扑学这两个研究方向。这是萌芽阶段。
最早研究抽象空间的是M.-R.弗雷歇,在 1906年引进了度量空间的概念。
F.豪斯多夫在《集论大纲》(1914)中 用开邻域定义了比较一般的拓扑空间,标志 着用公理化方法研究连续性的一般拓扑学的 产生。
L.欧拉1736年解决了七桥问题,随后波 兰学派和苏联学派对拓扑空间的基本性质 (分离性、紧性、连通性等)做了系统的研 究。
欧氏空间中的点集的研究,例如,一直是拓 扑学的重要部分,已发展成一般拓扑学与代数拓扑 学交汇的领域,也可看作几何拓扑学的一部分。
50年代以来,即问两个映射,以R.H.宾为代表 的美国学派的工作加深了对流形的认识,是问两个 给定的映射是否同伦,在四维庞加莱猜想的证明中 发挥了作用。从皮亚诺曲线引起的维数及连续统的 研究,习惯上也看成一般拓扑学的分支。
拓扑学的产生
哥尼斯堡七桥问题
哥尼斯堡(今俄罗斯加里宁 格勒)是东普鲁士的首都,普莱 格尔河横贯其中。十八世纪在这 条河上建有七座桥,将河中间的 两个岛和河岸联结起来。人们闲 暇时经常在这上边散步,一天有 人提出:
能不能每座桥都只走一遍, 最后又回到原来的位置?
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多面体的欧拉定理
这个定理内容是:如果一个凸多面体的顶点数是v、棱 数是e、面数是f,那么它们总有这样的关系:f+v-e=2。
根据多面体的欧拉定理,可以得出这样一个有趣的事 实:只存在五种正多面体。它们是正四面体、正六面体、 正八面体、正十二面体、正二十面体。
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四色问题
英国。1852年,毕业于伦敦大学的弗南西斯. 格思里来到一家科研单位搞地图着色工作时,发现 了一种有趣的现象:“看来,每幅地图都可以用四 种颜色着色,使得有共同边界的国家都被着上不同 的颜色。”
1872年,英国当时最著名的数学家凯利正式向 伦敦数学学会提出了这个问题,于是四色猜想成了 世界数学界关注的问题。世界上许多一流的数学家 都纷纷参加了四色猜想的大会战。
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上面的几个例子所讲的都是一些和几何 图形有关的问题,但这些问题又与传统的几 何学不同,而是一些新的几何概念。这些就 是“拓扑学”的先声。
二,拓扑学的发展阶段
十九世纪中期,黎曼在复函数的研究 中强调研究函数和积分就必须研究形势分析 学。从此开始了现代拓扑学的系统研究。
拓扑学建立后,由于其它数学学科的发 展需要,它也得到了迅速的发展。特别是黎 曼创立黎曼几何以后,他把拓扑学概念作为 分析函数论的基础,更加促进了拓扑学的进 展。
在点集论的思想影响下,黎曼本人解决了
组合拓扑学的奠基人是H.庞加莱。他是在分析 学和力学的工作中,特别是关于复函数的单值化和 关于微分方程决定的曲线的研究中,引向拓扑学问 题的,但他的方法有时不够严密,他的主要兴趣在 n维流形。
在1895~1904年间,他创立了用剖分研究流 形的基本方法。他引进了许多不变量:基本群、同 调、贝蒂数、挠系数,并提出了具体计算的方法。 他引进了许多不变量:基本群、同调、贝蒂数、挠 系数,他探讨了三维流形的拓扑分类问题,提出了 著名的庞加莱猜想。他留下的丰富思想影响深远, 但他的方法有时不够严密,过多地依赖几何直观。 特别是关于复函数的单值化和关于微分方程决定的 曲线的研究中,
拓扑学是数学中一个重要的、基础性的 分支。它最初是几何学的一个分支,主要研 究几何图形在连续变形下保持不变的性质, 现在已成为研究连续性现象的重要的数学分 支。
连续性和离散性是自然界与社会现象中普遍存 在的。拓扑学对连续性数学是带有根本意义的,对 于离散性数学也起着巨大的推动作用。拓扑学的基 本内容已经成为现代数学的常识。拓扑学的概念和 方法在物理学、生物学、化学等学科中都有直接、 广泛的应用。
拓扑学是几何学的一个分支,它是从图论演变 过来的。拓扑学将实体抽象成与其大小、形状无关 的点,将连接实体的线路抽象成线,进而研究点、 线、面之间的关系。网络拓扑通过结点与通信线路
之间的几何关系来表示网络结构,反映出网 络中各个实体之间的结构关系。拓扑设计是 建设计算机网络的第一步,也是实现各种网 络协议的基础,它对网络性能、可靠性与通 信代价有很大影响。网络拓扑主要是指通信 子网的拓扑构型。
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