平行四边形和特殊四边形提高练习常考题和培优题
初中数学平行四边形提高题与常考题和培优题(含解析).doc

学习必备欢迎下载数学平行四边形提高题与常考题和培优题(含解析 )一.选择题(共12 小题)1.如图, DE 是△ ABC的中位线,过点 C 作 CF∥ BD 交 DE 的延长线于点 F,则下列结论正确的是()A.EF=CF B.EF=DE C.CF< BD D.EF> DE2.如图,在△ ABC中,∠ ABC=90°,AB=8,BC=6.若 DE 是△ ABC的中位线,延长 DE 交△ ABC的外角∠ ACM 的平分线于点 F,则线段 DF 的长为()A.7B.8C.9D.103.如图,在△ ABC中, AB=4,BC=6,DE、DF 是△ ABC的中位线,则四边形B EDF 的周长是()A.5B.7C.8D.104.如图,在△ ABC中,点 D,E 分别是边 AB,AC 的中点, AF⊥ BC,垂足为点 F,∠ ADE=30°, DF=4,则 BF 的长为()A.4B.8C.2D.45.如图,将矩形纸片ABCD沿其对角线 AC 折叠,使点 B 落到点 B′的位置, AB′与 CD交于点 E,若 AB=8, AD=3,则图中阴影部分的周长为()A.11 B.16 C.19D.226.如图,在 ?ABCD中, AB=6,BC=8,∠ C 的平分线交 AD 于 E,交 BA 的延长线于 F,则 AE+AF的值等于()A.2B.3C.4D.67.如图,平行四边形ABCD的周长是 26cm,对角线 AC 与 BD 交于点 O,AC⊥AB,E 是 BC中点,△ AOD的周长比△ AOB的周长多 3cm,则 AE的长度为()A.3cm B.4cm C.5cm D.8cm8.如图,在 ?ABCD中, AB=12,AD=8,∠ ABC的平分线交 CD 于点 F,交 AD 的延长线于点 E,CG⊥BE,垂足为 G,若 EF=2,则线段 CG的长为()A.B.4C.2D.9.关于 ?ABCD的叙述,正确的是()A.若 AB⊥ BC,则 ?ABCD是菱形B.若 AC⊥BD,则 ?ABCD是正方形C.若 AC=BD,则 ?ABCD是矩形 D.若 AB=AD,则 ?ABCD是正方形10.如图,在 ?ABCD中, BF平分∠ ABC,交 AD 于点 F,CE平分∠ BCD,交 AD 于点 E,AB=6,EF=2,则 BC长为()A.8B.10 C.12D.1411.如图,将 ?ABCD沿对角线 AC折叠,使点 B 落在 B′处,若∠ 1=∠ 2=44°,则∠B为()A.66°B.104°C.114°D.124°12.已知菱形 OABC在平面直角坐标系的位置如图所示,顶点A(5,0),OB=4,点 P 是对角线 OB上的一个动点,D(0,1),当 CP+DP最短时,点 P 的坐标为()A.(0,0) B.(1,)C.(,)D.(,)二.填空题(共12 小题)13.如图,在平行四边形ABCD中, AB=4,BC=5,∠ABC=60°,平行四边形 ABCD 的对角线 AC、 BD交于点 O,过点 O 作 OE⊥ AD,则 OE=.14.如图,在△ ABC中,点 D、E、F 分别是边 AB、BC、CA 上的中点,且 AB=6cm,AC=8cm,则四边形 ADEF的周长等于cm.15.如图,?ABCD中,∠ABC=60°,E、F 分别在 CD和 BC的延长线上, AE∥BD,EF⊥BC, EF=3,则 AB 的长是.16.有 3 个正方形如图所示放置,阴影部分的面积依次记为 S1,S2,则 S1:S2=.17.如图,在△ ABC中,∠ ACB=90°, M 、N 分别是 AB、 AC的中点,延长BC至点 D,使 CD= BD,连接 DM、DN、MN.若 AB=6,则 DN=.18.如图,在 ?ABCD中, E 为边 CD 上一点,将△ ADE沿 AE 折叠至△ AD′E处,AD′与 CE交于点 F.若∠ B=52°,∠ DAE=20°,则∠ FED′的大小为.19.如图,在 Rt△ABC中,∠ B=90°,AB=4,BC>AB,点 D 在 BC上,以 AC 为对角线的平行四边形ADCE中, DE的最小值是.20.如图,把平行四边形 ABCD折叠,使点 C 与点 A 重合,这时点 D 落在 D1,折痕为 EF,若∠ BAE=55°,则∠ D1AD= .21.如图,△ APB中, AB=2,∠ APB=90°,在 AB 的同侧作正△ ABD、正△ APE和正△ BPC,则四边形 PCDE面积的最大值是.22.如图,已知菱形 ABCD的边长 2,∠ A=60°,点 E、 F 分别在边 AB、AD 上,若将△ AEF沿直线 EF折叠,使得点 A 恰好落在 CD边的中点 G 处,则 EF= .23.如图,在菱形ABCD中,过点 B 作 BE⊥AD, BF⊥CD,垂足分别为点E,F,延长 BD 至 G,使得 DG=BD,连结 EG, FG,若 AE=DE,则=.24.如图,在正方形ABCD中,对角线 AC 与 BD 相交于点 O,E 为 BC上一点,CE=5,F 为 DE 的中点.若△ CEF的周长为 18,则 OF的长为.三.解答题(共16 小题)25.如图,四边形 ABCD是平行四边形, AE 平分∠ BAD,交 DC的延长线于点E.求证: DA=DE.26.如图,已知△ ABC,AD 平分∠ BAC交 BC于点 D,BC的中点为 M ,ME∥ AD,交 BA 的延长线于点 E,交 AC 于点F.( 1)求证: AE=AF;( 2)求证: BE= (AB+AC).27.已知:如图,矩形ABCD的对角线 AC、 BD 相交于点 O,CE∥DB,交 AB 的延长线于点 E.求证: AC=EC.28.如图,平行四边形ABCD中, BD⊥ AD,∠ A=45°,E、F 分别是 AB、CD上的点,且 BE=DF,连接 EF交 BD 于 O.(1)求证: BO=DO;(2)若 EF⊥ AB,延长 EF交 AD 的延长线于 G,当 FG=1时,求 AE的长.29.如图,在四边形ABCD中,∠ ABC=90°, AC=AD, M ,N 分别为 AC,CD的中点,连接 BM,MN,BN.(1)求证: BM=MN;(2)∠ BAD=60°,AC平分∠ BAD,AC=2,求 BN 的长.30.在平行四边形 ABCD中, E 是 AD 上一点, AE=AB,过点 E 作直线 EF,在EF 上取一点 G,使得∠ EGB=∠EAB,连接 AG.(1)如图①,当 EF与 AB 相交时,若∠ EAB=60°,求证: EG=AG+BG;(2)如图②,当 EF与 CD相交时,且∠ EAB=90°,请你写出线段 EG、AG、BG 之间的数量关系,并证明你的结论.31.如图,四边形 ABCD为平行四边形,∠ BAD的角平分线 AE 交 CD于点 F,交BC的延长线于点 E.(1)求证: BE=CD;(2)连接 BF,若 BF⊥AE,∠ BEA=60°,AB=4,求平行四边形 ABCD的面积.32.如图, ?ABCD中, AB=2,AD=1,∠ ADC=60°,将 ?ABCD沿过点 A 的直线 l 折叠,使点 D 落到 AB 边上的点 D′处,折痕交 CD边于点 E.(1)求证:四边形 BCED′是菱形;(2)若点 P 是直线 l 上的一个动点,请计算 PD′+PB 的最小值.33.如图,在 ?ABCD中,连接 BD,在 BD 的延长线上取一点E,在 DB的延长线上取一点 F,使 BF=DE,连接 AF、 CE.求证: AF∥CE.34.如图,在 ?ABCD中,E 是 BC的中点,连接 AE并延长交 DC的延长线于点 F.(1)求证: AB=CF;(2)连接 DE,若 AD=2AB,求证: DE⊥AF.35.如图, ?ABCD的对角线 AC、BD 相交于点 O,EF过点 O 且与 AB、CD分别相交于点 E、 F,连接 EC.(1)求证: OE=OF;(2)若 EF⊥ AC,△ BEC的周长是 10,求 ?ABCD的周长.36.如图,在 ?ABCD中, E、 F 分别为边 AD、BC 的中点,对角线A C分别交 BE,DF于点 G、H.求证: AG=CH.37.如图,分别以Rt△ ABC的直角边 AC 及斜边 AB 向外作等边△ ACD及等边△ABE,已知:∠ BAC=30°,EF⊥AB,垂足为 F,连接 DF.(1)试说明 AC=EF;(2)求证:四边形 ADFE是平行四边形.38.如图,BD 是△ ABC的角平分线,它的垂直平分线分别交AB,BD,BC于点 E,F,G,连接 ED,DG.( 1)请判断四边形EBGD的形状,并说明理由;( 2)若∠ ABC=30°,∠ C=45°,ED=2 ,点 H 是 BD 上的一个动点,求HG+HC 的最小值.39.如图 1,已知点 E,F,G,H 分别是四边形 ABCD各边 AB,BC, CD,DA 的中点,根据以下思路可以证明四边形 EFGH是平行四边形:( 1)如图 2,将图 1 中的点 C 移动至与点 E 重合的位置, F,G,H 仍是 BC,CD,DA 的中点,求证:四边形CFGH是平行四边形;(2)如图3,在边长为1 的小正方形组成的5×5 网格中,点A,C,B 都在格点上,在格点上画出点D,使点 C 与BC,CD,DA 的中点F,G,H 组成正方形CFGH;(3)在( 2)条件下求出正方形 CFGH的边长.40.我们给出如下定义:顺次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形叫中点四边形.(1)如图 1,四边形 ABCD中,点 E,F,G,H 分别为边 AB,BC,CD,DA 的中点.求证:中点四边形 EFGH是平行四边形;(2)如图 2,点 P 是四边形 ABCD内一点,且满足 PA=PB,PC=PD,∠APB=∠CPD,点 E,F,G,H 分别为边 AB, BC,CD,DA 的中点,猜想中点四边形EFGH的形状,并证明你的猜想;(3)若改变( 2)中的条件,使∠ APB=∠CPD=90°,其他条件不变,直接写出中点四边形 EFGH的形状.(不必证明)数学平行四边形提高题与常考题和培优题(含解析 )参考答案与试题解析一.选择题(共12 小题)1.( 2016?厦门)如图, DE是△ ABC的中位线,过点 C 作 CF∥BD 交 DE的延长线于点 F,则下列结论正确的是()A.EF=CF B.EF=DE C.CF< BD D.EF> DE【分析】首先根据三角形的中位线定理得出AE=EC,然后根据 CF∥BD 得出∠ ADE= ∠ F,继而根据AAS 证得△ ADE≌△ CFE,最后根据全等三角形的性质即可推出EF=DE.【解答】解:∵ DE是△ ABC的中位线,∴E为 AC中点,∴AE=EC,∵CF∥BD,∴∠ ADE=∠F,在△ ADE和△ CFE中,∵,∴△ ADE≌△ CFE(AAS),∴DE=FE.故选 B.【点评】本题考查了三角形中位线定理和全等三角形的判定与性质,解答本题的关键是根据中位线定理和平行线的性质得出AE=EC、∠ADE=∠F,判定三角形的全等.2.(2016?陕西)如图,在△ ABC中,∠ ABC=90°,AB=8,BC=6.若 DE 是△ ABC 的中位线,延长DE 交△ ABC的外角∠ ACM 的平分线于点F,则线段 DF 的长为()A.7 B.8 C.9 D.10【分析】根据三角形中位线定理求出DE,得到DF∥BM,再证明EC=EF= AC,由此即可解决问题.【解答】解:在 RT△ABC中,∵∠ ABC=90°,AB=8,BC=6,∴ AC===10,∵DE是△ABC的中位线,∴DF∥BM,DE=BC=3,∴∠ EFC=∠ FCM,∵∠ FCE=∠ FCM,∴∠ EFC=∠ ECF,∴EC=EF= AC=5,∴DF=DE+EF=3+5=8.故选 B.【点评】本题考查三角形中位线定理、等腰三角形的判定和性质、勾股定理等知识,解题的关键是灵活应用三角形中位线定理,掌握等腰三角形的判定和性质,属于中考常考题型.3.(2016?来宾)如图,在△ ABC中, AB=4, BC=6,DE、 DF 是△ ABC的中位线,则四边形 BEDF的周长是()A.5 B.7 C.8 D.10【分析】由中位线的性质可知DE=,DF= , DE∥BF,DF∥ BE,可知四边形 BEDF为平行四边形,从而可得周长.【解答】解:∵ AB=4, BC=6, DE、DF 是△ ABC的中位线,∴DE= =2,DF==3,DE∥BF, DF∥BE,∴四边形 BEDF为平行四边形,∴四边形 BEDF的周长为: 2× 2+3× 2=10,故选 D.【点评】本题主要考查了三角形中位线的性质,利用中位线的性质证得四边形BEDF为平行四边形是解答此题的关键4.(2016?葫芦岛)如图,在△ ABC中,点 D, E 分别是边 AB,AC 的中点, AF⊥BC,垂足为点 F,∠ ADE=30°,DF=4,则 BF 的长为()A.4B.8C.2D.4【分析】先利用直角三角形斜边中线性质求出AB,再在 RT△ ABF 中,利用30 角所对的直角边等于斜边的一半,求出AF 即可解决问题.【解答】解:在 RT△ABF中,∵∠ AFB=90°,AD=DB,DF=4,∴AB=2DF=8,∵AD=DB, AE=EC,∴DE∥BC,∴∠ ADE=∠ABF=30°,∴AF= AB=4,∴ BF= = =4 .故选 D.【点评】本题考查三角形中位线性质、含 30 度角的直角三角形性质、直角三角形斜边中线性质、勾股定理等知识,解题的关键是灵活应用这些知识解决问题,属于中考常考题型.5.( 2017?河北一模)如图,将矩形纸片ABCD沿其对角线 AC折叠,使点 B 落到点 B′的位置,AB′与 CD交于点 E,若 AB=8,AD=3,则图中阴影部分的周长为()A.11 B.16 C.19D.22【分析】首先由四边形 ABCD为矩形及折叠的特性,得到B′C=BC=AD,∠B′=∠B=∠D=90°,∠ B′EC=∠DEA,得到△ AED≌△ CEB′,得出 EA=EC,再由阴影部分的周长为 AD+DE+EA+EB′+B′C+EC,即矩形的周长解答即可.【解答】解:∵四边形 ABCD为矩形,∴ B′C=BC=AD,∠ B′=∠B=∠D=90°∵∠ B′EC=∠DEA,在△ AED和△ CEB′中,,∴△ AED≌△ CEB′(AAS);∴EA=EC,∴阴影部分的周长为AD+DE+EA+EB′+B′C+EC,=AD+DE+EC+EA+EB′+B′C,=AD+DC+AB′+B′C,=3+8+8+3,=22,故选 D.【点评】本题主要考查了图形的折叠问题,全等三角形的判定和性质,及矩形的性质.熟记翻折前后两个图形能够重合找出相等的角是解题的关键.6.(2016?泰安)如图,在 ?ABCD中, AB=6,BC=8,∠C 的平分线交 AD 于 E,交BA 的延长线于 F,则 AE+AF的值等于()A.2B.3C.4D.6【分析】由平行四边形的性质和角平分线得出∠F=∠FCB,证出 BF=BC=8,同理:DE=CD=6,求出 AF=BF﹣AB=2,AE=AD﹣DE=2,即可得出结果.【解答】解:∵四边形 ABCD是平行四边形,∴AB∥CD,AD=BC=8,CD=AB=6,∴∠ F=∠DCF,∵ CF平分∠ BCD,∴∠ FCB=∠DCF,∴∠ F=∠FCB,∴BF=BC=8,同理: DE=CD=6,∴AF=BF﹣AB=2,AE=AD﹣DE=2,∴AE+AF=4;故选: C.【点评】本题考查了平行四边形的性质、等腰三角形的判定;熟练掌握平行四边形的性质,证明三角形是等腰三角形是解决问题的关键.7.( 2016?绵阳)如图,平行四边形 ABCD的周长是 26cm,对角线 AC 与 BD 交于点 O,AC⊥AB, E 是 BC 中点,△ AOD的周长比△ AOB 的周长多 3cm,则 AE 的长度为()A.3cm B.4cm C.5cm D.8cm【分析】由?ABCD的周长为 26cm,对角线 AC、BD 相交于点 O,若△ AOD 的周长比△ AOB的周长多 3cm,可得 AB+AD=13cm,AD﹣AB=3cm,求出 AB 和 AD的长,得出 BC的长,再由直角三角形斜边上的中线性质即可求得答案.【解答】解:∵ ?ABCD的周长为 26cm,∴AB+AD=13cm,OB=OD,∵△ AOD的周长比△ AOB 的周长多 3cm,∴( OA+OD+AD)﹣( OA+OB+AB)=AD﹣AB=3cm,∴AB=5cm,AD=8cm.∴BC=AD=8cm.∵AC⊥AB,E 是 BC中点,∴ AE= BC=4cm;故选: B.【点评】此题考查了平行四边形的性质、直角三角形斜边上的中线性质.熟练掌握平行四边形的性质,由直角三角形斜边上的中线性质求出 AE 是解决问题的关键.8.(2016?济南)如图,在 ?ABCD中, AB=12,AD=8,∠ ABC的平分线交 CD 于点F,交 AD 的延长线于点 E,CG⊥ BE,垂足为 G,若 EF=2,则线段 CG的长为()A.B.4C.2D.【分析】先由平行四边形的性质和角平分线的定义,判断出∠ CBE=∠CFB=∠ABE=∠E,从而得到 CF=BC=8,AE=AB=12,再用平行线分线段成比例定理求出 BE,然后用等腰三角形的三线合一求出 BG,最后用勾股定理即可.【解答】解:∵∠ ABC的平分线交 CD 于点 F,∴∠ ABE=∠CBE,∵四边形 ABCD是平行四边形,∴DC∥AB,∴∠ CBE=∠CFB=∠ABE=∠E,∴CF=BC=AD=8,AE=AB=12,∵ AD=8,∴DE=4,∵DC∥AB,∴,∴,∴EB=6,∵CF=CB,CG⊥BF,∴ BG= BF=2,在 Rt△BCG中, BC=8, BG=2,根据勾股定理得, CG= = =2,故选: C.【点评】此题是平行四边形的性质,主要考查了角平分线的定义,平行线分线段成比例定理,等腰三角形的性质和判定,勾股定理,解本题的关键是求出AE,记住:题目中出现平行线和角平分线时,极易出现等腰三角形这一特点.9.(2016?河北)关于 ?ABCD的叙述,正确的是()A.若 AB⊥ BC,则 ?ABCD是菱形B.若 AC⊥BD,则 ?ABCD是正方形C.若AC=BD,则 ?ABCD是矩D.若AB=AD,则 ?ABCD是正方形形A、【分析】由菱形的判定方法、矩形的判定方法、正方形的判定方法得出选项B、D 错误, C 正确;即可得出结论.【解答】解:∵ ?ABCD中, AB⊥BC,∴四边形 ABCD是矩形,不一定是菱形,选项 A 错误;∵ ?ABCD中, AC⊥BD,∴四边形 ABCD是菱形,不一定是正方形,选项 B 错误;∵?ABCD中, AC=BD,∴四边形 ABCD是矩形,选项 C 正确;∵?ABCD中, AB=AD,∴四边形 ABCD是菱形,不一定是正方形,选项 D 错误;故选: C.【点评】本题考查了平行四边形的性质、菱形的判定方法、矩形的判定方法、正方形的判定方法;熟练掌握矩形、菱形、正方形的判定方法是解决问题的关键.10.( 2016?丹东)如图,在 ?ABCD中, BF平分∠ ABC,交 AD 于点 F,CE平分∠BCD,交 AD 于点 E,AB=6,EF=2,则 BC长为()A.8B.10 C.12D.14【分析】由平行四边形的性质和角平分线得出∠ABF=∠AFB,得出 AF=AB=6,同理可证 DE=DC=6,再由 EF的长,即可求出BC的长.【解答】解:∵四边形 ABCD是平行四边形,∴AD∥BC,DC=AB=6,AD=BC,∴∠ AFB=∠FBC,∵BF平分∠ABC,∴∠ABF=∠FBC,则∠ABF=∠AFB,∴AF=AB=6,同理可证: DE=DC=6,∵EF=AF+DE﹣AD=2,即 6+6﹣AD=2,解得: AD=10;故选: B.【点评】本题主要考查了平行四边形的性质、等腰三角形的判定;熟练掌握平行四边形的性质,证出 AF=AB是解决问题的关键.11.( 2016?河北)如图,将 ?ABCD沿对角线 AC折叠,使点 B 落在 B′处,若∠ 1= ∠ 2=44°,则∠ B 为()A.66°B.104°C.114°D.124°【分析】由平行四边形的性质和折叠的性质得出∠ACD=∠BAC=∠B′AC,由三角形的外角性质求出∠BAC=∠ACD=∠B′AC=∠1=22°,再由三角形内角和定理求出∠B 即可.【解答】解:∵四边形 ABCD是平行四边形,∴AB∥CD,∴∠ACD=∠BAC,由折叠的性质得:∠ BAC=∠B′AC,∴∠ BAC=∠ACD=∠B′AC=∠ 1=22°,∴∠ B=180°﹣∠ 2﹣∠ BAC=180°﹣44°﹣22°=114°;故选: C.【点评】本题考查了平行四边形的性质、折叠的性质、三角形的外角性质以及三角形内角和定理;熟练掌握平行四边形的性质,求出∠BAC的度数是解决问题的关键.12.(2016?咸宁)已知菱形 OABC在平面直角坐标系的位置如图所示,顶点A(5,0),OB=4,点P是对角线OB上的一个动点,D(0,1),当CP+DP最短时,点 P 的坐标为()A.(0,0) B.(1,)C.(,)D.(,)【分析】如图连接 AC,AD,分别交 OB 于 G、P,作 BK⊥ OA 于 K.首先说明点 P就是所求的点,再求出点 B 坐标,求出直线 OB、 DA,列方程组即可解决问题.【解答】解:如图连接 AC,AD,分别交 OB 于 G、P,作 BK⊥ OA 于 K.∵四边形 OABC是菱形,∴AC⊥OB,GC=AG,OG=BG=2 ,A、 C 关于直线 OB 对称,∴PC+PD=PA+PD=DA,∴此时 PC+PD最短,= =,在 RT△ AOG中, AG=∴ AC=2,∵ OA?BK= ?AC?OB,∴ BK=4, AK==3,∴点 B 坐标( 8,4),∴直线 OB解析式为 y= x,直线 AD 解析式为 y=﹣x+1,由解得,∴点 P坐标(,).故选 D.【点评】本题考查菱形的性质、轴对称﹣最短问题、坐标与图象的性质等知识,解题的关键是正确找到点 P 位置,构建一次函数,列出方程组求交点坐标,属于中考常考题型.二.填空题(共12 小题)13(.2017?新城区校级模拟)如图,在平行四边形ABCD中,AB=4,BC=5,∠ABC=60°,平行四边形 ABCD的对角线 AC、BD 交于点 O,过点 O 作 OE⊥AD,则 OE=.【分析】作 CF⊥AD 于 F,由平行四边形的性质得出∠ ADC=∠ABC=60°,CD=AB=4,OA=OC,求出∠ DCF=30°,由直角三角形的性质得出 DF= CD=2,求出 CF= DF=2,证出 OE是△ ACF的中位线,由三角形中位线定理得出OE的长即可.【解答】解:作 CF⊥AD 于 F,如图所示:∵四边形 ABCD是平行四边形,∴∠ ADC=∠ABC=60°,CD=AB=4,OA=OC,∴∠ DCF=30°,∴DF= CD=2,∴CF= DF=2 ,∵CF⊥AD,OE⊥AD, CF∥OE,∵OA=OC,∴OE是△ ACF的中位线,∴OE= CF= ;故答案为:.【点评】本题考查了平行四边形的性质、直角三角形的性质、勾股定理、三角形中位线定理等知识;熟练掌握平行四边形的性质,证出 OE 是三角形的中位线是解决问题的关键.14.( 2016?张家界)如图,在△ ABC中,点 D、E、F 分别是边 AB、BC、CA 上的中点,且 AB=6cm, AC=8cm,则四边形 ADEF的周长等于 14 cm.【分析】首先证明四边形ADEF是平行四边形,根据三角形中位线定理求出DE、EF即可解决问题.【解答】解:∵ BD=AD, BE=EC,∴ DE= AC=4cm,DE∥AC,∵ CF=FA,CE=BE,∴ EF= AB=3cm,EF∥AB,∴四边形 ADEF是平行四边形,∴四边形 ADEF的周长 =2( DE+EF)=14cm.故答案为 14.【点评】本题考查三角形中位线定理、平行四边形的判定和性质等知识,解题的关键是出现中点想到三角形中位线定理,记住三角形中位线平行于第三边且等于第三边的一半,属于中考常考题型.15.( 2017 秋?海宁市校级月考)如图,?ABCD中,∠ ABC=60°,E、F 分别在 CD 和 BC的延长线上, AE∥BD,EF⊥ BC,EF=3,则 AB 的长是.【分析】根据直角三角形性质求出CE长,利用勾股定理即可求出AB 的长.【解答】解:∵四边形 ABCD是平行四边形,∴AB∥DC,AB=CD,∵ AE∥BD,∴四边形 ABDE是平行四边形,∴AB=DE=CD,即 D 为 CE中点,∵ EF⊥BC,∴∠ EFC=90°,∵ AB∥CD,∴∠ DCF=∠ABC=60°,∴∠ CEF=30°,∵EF=3,∴ CE= =2 ,∴AB= ,故答案为:.【点评】本题考查了平行线性质,勾股定理,直角三角形斜边上中线性质,含30度角的直角三角形性质等知识点的应用,此题综合性比较强.16.(2017?河北区模拟)有 3 个正方形如图所示放置,阴影部分的面积依次记为S1,S2,则 S1:S2= 4:9 .【分析】设大正方形的边长为 x,再根据相似的性质求出 S1、S2与正方形面积的关系,然后进行计算即可得出答案.【解答】解:设大正方形的边长为x,根据图形可得:∵= ,∴= ,∴=,∴ S1=S正方形ABCD,∴S1= x2,∵= ,∴=,∴S2= S正方形ABCD,∴S2= x2,∴S1:S2= x2: x2=4:9.故答案是: 4:9.【点评】此题考查了正方形的性质,用到的知识点是正方形的性质、相似三角形的性质、正方形的面积公式,关键是根据题意求出S1、S2与正方形面积的关系.17.(2016?随州)如图,在△ ABC中,∠ACB=90°,M、N 分别是 AB、AC的中点,延长 BC至点 D,使 CD= BD,连接 DM、DN、MN.若 AB=6,则 DN=3 .【分析】连接 CM,根据三角形中位线定理得到NM=CB,MN∥ BC,证明四边形 DCMN 是平行四边形,得到 DN=CM,根据直角三角形的性质得到CM= AB=3,等量代换即可.【解答】解:连接 CM,∵ M、N 分别是 AB、AC的中点,∴NM= CB,MN ∥BC,又 CD= BD,∴MN=CD,又 MN∥BC,∴四边形 DCMN 是平行四边形,∴DN=CM,∵∠ ACB=90°,M 是 AB 的中点,∴CM= AB=3,∴DN=3,故答案为: 3.【点评】本题考查的是三角形的中位线定理、直角三角形的性质、平行四边形的判定和性质,掌握三角形的中位线平行于第三边,并且等于第三边的一半是解题的关键.18.(2016?武汉)如图,在?ABCD中,E 为边CD上一点,将△ADE沿AE 折叠至△AD′E处,AD′与CE交于点F.若∠B=52°,∠DAE=20°,则∠FED′的大小为36° .【分析】由平行四边形的性质得出∠D=∠ B=52°,由折叠的性质得:∠ D′=∠ D=52°,∠EAD′=∠DAE=20°,由三角形的外角性质求出∠ AEF=72°,与三角形内角和定理求出∠ AED′=108,°即可得出∠ FED′的大小.【解答】解:∵四边形 ABCD是平行四边形,∴∠ D=∠ B=52°,由折叠的性质得:∠ D′=∠D=52°,∠ EAD′=∠DAE=20°,∴∠ AEF=∠D+∠ DAE=52°+20°=72°,∠ AED′=180﹣°∠ EAD′﹣∠ D′=108,°∴∠ FED′=108﹣°72°=36°;故答案为: 36°.【点评】本题考查了平行四边形的性质、折叠的性质、三角形的外角性质以及三角形内角和定理;熟练掌握平行四边形的性质和折叠的性质,求出∠ AEF和∠AED′是解决问题的关键.19.( 2016?东营)如图,在Rt△ABC中,∠ B=90°,AB=4,BC> AB,点 D 在 BC 上,以 AC为对角线的平行四边形ADCE中, DE的最小值是4.【分析】首先证明 BC∥AE,当 DE⊥BC 时, DE 最短,只要证明四边形ABDE是矩形即可解决问题.【解答】解:∵四边形 ADCE是平行四边形,∴BC∥AE,∴当 DE⊥BC时, DE最短,此时∵∠ B=90°,∴AB⊥BC,∴DE∥AB,∴四边形 ABDE是平行四边形,∵∠ B=90°,∴四边形 ABDE是矩形,∴DE=AB=4,∴DE的最小值为4.故答案为 4.【点评】本题考查平行四边形的性质、垂线段最短等知识,解题的关键是找到DE的位置,学会利用垂线段最短解决问题,属于中考常考题型.20.( 2016?常德)如图,把平行四边形 ABCD折叠,使点 C 与点 A 重合,这时点 D 落在 D1,折痕为 EF,若∠ BAE=55°,则∠ D1AD= 55° .【分析】由平行四边形的性质和折叠的性质得出∠D1∠,得出∠ 1AE= BAD D AD= ∠BAE=55°即可.【解答】解:∵四边形 ABCD是平行四边形,∴∠ BAD=∠C,由折叠的性质得:∠ D1AE=∠ C,∴∠ D1AE=∠ BAD,∴∠ D1AD=∠ BAE=55°;故答案为: 55°.【点评】本题考查了平行四边形的性质、折叠的性质;由平行四边形和折叠的性质得出∠ D1AE=∠BAD 是解决问题的关键.21.(2016?常州)如图,△APB中,AB=2,∠APB=90°,在 AB 的同侧作正△ ABD、正△ APE和正△ BPC,则四边形 PCDE面积的最大值是1.【分析】先延长 EP交 BC于点 F,得出 PF⊥BC,再判定四边形 CDEP为平行四边形,根据平行四边形的性质得出:四边形 CDEP的面积 =EP×CF=a× b= ab,最后根据 a2+b2=4,判断ab 的最大值即可.【解答】解:延长 EP交 BC于点 F,∵∠ APB=90°,∠ APE=∠BPC=60°,∴∠ EPC=150°,∴∠ CPF=180°﹣150°=30°,∴PF平分∠BPC,又∵PB=PC,∴PF⊥BC,设 Rt△ABP中, AP=a, BP=b,则CF= CP= b,a2+b2=22=4,∵△ APE和△ ABD都是等边三角形,∴AE=AP,AD=AB,∠ EAP=∠DAB=60°,∴∠ EAD=∠PAB,∴△ EAD ≌△ PAB (SAS ),∴ ED=PB=CP ,同理可得:△ APB ≌△ DCB (SAS ),∴ EP=AP=CD ,∴四边形 CDEP 是平行四边形,∴四边形 CDEP 的面积 =EP ×CF=a × b = ab ,又∵( a ﹣b )2=a 2﹣2ab+b 2≥ 0,∴ 2ab ≤a 2+b 2=4,∴ ab ≤1,即四边形 PCDE 面积的最大值为 1.故答案为: 1【点评】本题主要考查了等边三角形的性质、 平行四边形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质,解决问题的关键是作辅助线构造平行四边形的高线.22.( 2016?盐城)如图,已知菱形 ABCD 的边长AB 、AD 上,若将△ AEF 沿直线 EF 折叠,使得点2,∠ A=60°,点 E 、F 分别在边 A 恰好落在 CD 边的中点 G 处,则EF=.【分析】延长 CD ,过点 F 作 FM ⊥CD 于点 M ,连接 GB 、 BD ,作 FH ⊥AE 交于点H ,由菱形的性质和已知条件得出∠ MFD=30°,设 MD=x ,则 DF=2x , FM= x ,2 2 2,解方程得出 DF=0.6, 得出 MG=x+1,由勾股定理得出( x+1) +(x )( ﹣ 2x )= 2AF=1.4,求出 AH= AF=0.7,FH= ,证明△ DCB是等边三角形,得出 BG⊥CD,由勾股定理求出 BG= ,设 BE=y,则 GE=2﹣y,由勾股定理得出()2+y2(= 2 ﹣y)2,解方程求出 y=0.25,得出 AE、 EH,再由勾股定理求出 EF即可.【解答】解:延长 CD,过点 F 作 FM⊥CD于点 M ,连接 GB、BD,作 FH⊥ AE交于点 H,如图所示:∵∠ A=60°,四边形 ABCD是菱形,∴∠ MDF=60°,∴∠ MFD=30°,设 MD=x,则 DF=2x, FM= x,∵DG=1,∴ MG=x+1,∴( x+1)2 +(x)2=(2﹣2x)2,∴DF=0.6, AF=1.4,∵CD=BC,∠ C=60°,∴△ DCB是等边三角形,∵G 是 CD的中点,∴BG⊥CD,∵BC=2,GC=1,∴BG= ,设 BE=y,则 GE=2﹣ y,∴()2+y2=(2﹣y)2,解得: y=0.25,∴ AE=1.75,∴ EH=AE﹣AH=1.75﹣0.7=1.05,∴EF===.故答案为:.【点评】本题考查了菱形的性质、翻折变换的性质、勾股定理、等边三角形的判定与性质等知识;本题综合性强,难度较大,运用勾股定理得出方程是解决问题的关键.23.( 2016?丽水)如图,在菱形ABCD中,过点 B 作 BE⊥AD,BF⊥CD,垂足分别为点 E,F,延长 BD 至 G,使得 DG=BD,连结 EG,FG,若 AE=DE,则=.【分析】连接AC、EF,根据菱形的对角线互相垂直平分可得AC⊥BD,根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得AB=BD,然后判断出△ABD 是等边三角形,再根据等边三角形的三个角都是60°求出∠ADB=60°,设EF 与BD相交于点 H,AB=4x,然后根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半求出 EH,再求出 DH,从而得到 GH,利用勾股定理列式求出 EG,最后求出比值即可.【解答】解:如图,连接 AC、 EF,在菱形 ABCD中, AC⊥BD,∵BE⊥AD,AE=DE,∴ AB=BD,又∵菱形的边 AB=AD,∴△ ABD是等边三角形,∴∠ ADB=60°,设 EF与 BD 相交于点 H, AB=4x,∵AE=DE,∴由菱形的对称性, CF=DF,∴ EF是△ ACD的中位线,∴DH= DO= BD=x,在 Rt△EDH中, EH= DH= x,∵DG=BD,∴ GH=BD+DH=4x+x=5x,在 Rt△EGH中,由勾股定理得, EG===2x,所以,==.故答案为:.【点评】本题考查了菱形的性质,等边三角形的判定与性质,勾股定理,三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半,难点在于作辅助线构造出直角三角形以及三角形的中位线.24.( 2016?青岛)如图,在正方形ABCD中,对角线 AC与 BD 相交于点 O,E 为BC上一点, CE=5,F 为 DE 的中点.若△ CEF的周长为 18,则 OF的长为.【分析】先根据直角三角形的性质求出 DE 的长,再由勾股定理得出 CD 的长,进而可得出 BE的长,由三角形中位线定理即可得出结论.【解答】解:∵ CE=5,△ CEF的周长为 18,∴CF+EF=18﹣5=13.∵F为 DE的中点,∴DF=EF.∵∠ BCD=90°,∴CF= DE,∴EF=CF= DE=6.5,∴DE=2EF=13,∴CD===12.∵四边形 ABCD是正方形,∴BC=CD=12,O 为 BD 的中点,∴OF是△ BDE的中位线,∴OF= (BC﹣CE)= (12﹣5)= .故答案为:.【点评】本题考查的是正方形的性质,涉及到直角三角形的性质、三角形中位线定理等知识,难度适中.三.解答题(共16 小题)25.( 2016?北京)如图,四边形 ABCD是平行四边形, AE平分∠ BAD,交 DC 的延长线于点 E.求证: DA=DE.【分析】由平行四边形的性质得出 AB∥ CD,得出内错角相等∠ E=∠ BAE,再由角平分线证出∠ E=∠DAE,即可得出结论.【解答】证明:∵四边形 ABCD是平行四边形,∴AB∥CD,∴∠ E=∠BAE,∵AE平分∠BAD,∴∠BAE=∠DAE,∴∠E=∠DAE,∴DA=DE.【点评】本题考查了平行四边形的性质、平行线的性质、等腰三角形的判定;熟练掌握平行四边形的性质,证出∠ E=∠ DAE是解决问题的关键.26.( 2016?淄博)如图,已知△ ABC,AD 平分∠ BAC交 BC于点 D, BC的中点为M, ME∥ AD,交 BA 的延长线于点 E,交 AC于点 F.(1)求证: AE=AF;(2)求证: BE= (AB+AC).【分析】(1)欲证明 AE=AF,只要证明∠ AEF=∠ AFE即可.(2)作 CG∥EM,交 BA的延长线于 G,先证明 AC=AG,再证明 BE=EG即可解决问题.【解答】证明:(1)∵ DA 平分∠ BAC,∴∠ BAD=∠CAD,∵ AD∥EM,∴∠ BAD=∠AEF,∠CAD=∠AFE,∴∠ AEF=∠AFE,∴ AE=AF.(2)作 CG∥EM,交 BA 的延长线于 G.∵EF∥CG,∴∠ G=∠ AEF,∠ ACG=∠ AFE,∵∠ AEF=∠AFE,∴∠ G=∠ ACG,∴AG=AC,∵ EM∥ CG,∴= ,∵ BM=CM,∴BE=EG,∴BE= BG= (BA+AG)= (AB+AC).【点评】本题考查三角形中位线定理、角平分线的性质、等腰三角形的判定和性质等知识,解题的关键是添加辅助线,构造等腰三角形,以及三角形中位线,属于中考常考题型.27.( 2017 春?泉山区校级月考)已知:如图,矩形 ABCD的对角线 AC、BD 相交于点 O,CE∥DB,交 AB的延长线于点 E.求证: AC=EC.【分析】先由矩形的对角线相等得出 AC=DB,再证明四边形 CDBE是平行四边形,得出对边相等 DB=CE,即可得出 AC=CE.【解答】证明:∵四边形 ABCD 是矩形,∴AC=DB, AB∥DC,∴DC∥BE,又∵ CE∥ DB,∴四边形 CDBE是平行四边形,∴DB=CE,∴AC=CE.【点评】本题考查了矩形的性质以及平行四边形的判定与性质;熟练掌握矩形的性质和证明平行四边形是解决问题的关键.28.( 2016?梅州)如图,平行四边形 ABCD中,BD⊥AD,∠A=45°,E、 F 分别是AB、CD上的点,且 BE=DF,连接 EF交 BD于 O.(1)求证: BO=DO;(2)若 EF⊥ AB,延长 EF交 AD 的延长线于 G,当 FG=1时,求 AE的长.【分析】(1)由平行四边形的性质和 AAS证明△ OBE≌△ ODF,得出对应边相等即可;(2)证出 AE=GE,再证明 DG=DO,得出 OF=FG=1,即可得出结果.【解答】(1)证明:∵四边形 ABCD是平行四边形,∴ DC∥AB,∴∠ OBE=∠ODF.在△ OBE与△ ODF中,∴△ OBE≌△ ODF(AAS).∴BO=DO.(2)解:∵ EF⊥AB,AB∥DC,∴∠ GEA=∠GFD=90°.∵∠ A=45°,∴∠G=∠ A=45°.∴AE=GE∵BD⊥AD,。
2020年初二数学平行四边形和特殊四边形提高练习与常考题和培优题(含解析)

作者:非成败作品编号:92032155GZ5702241547853215475102时间:2020.12.13初二数学平行四边形和特殊四边形提高练习常考题和培优题一.选择题(共5小题)1.如图,把大小相同的两个矩形拼成如下形状,则△FBD是()A.等边三角形B.等腰直角三角形C.一般三角形D.等腰三角形2.如图,正方形ABCD和正方形CEFG中,点D在CG上,BC=,CE=3,H 是AF的中点,那么CH的长是()A.3.5 B.C. D.23.如图,在矩形ABCD中,AB=4,BC=8,对角线AC、BD相交于点O,过点O 作OE垂直AC交AD于点E,则AE的长是()A.3 B.5 C.2.4 D.2.54.如图,在△ABC中,CF⊥AB于F,BE⊥AC于E,M为BC的中点,EF=7,BC=10,则△EFM的周长是()A.17 B.21 C.24 D.275.如图,在矩形ABCD中,AB=6,AD=8,P是AD上不与A和D重合的一个动点,过点P分别作AC和BD的垂线,垂足为E、F,则PE+PF的值为()A.10 B.4.8 C.6 D.5二.填空题(共4小题)6.如图,在矩形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,AE平分∠BAD交BC 于点E,若∠CAE=15°,则∠BOE的度数等于.7.如图,将平行四边形ABCD的边DC延长到E,使CE=CD,连接AE交BC于F,∠AFC=n∠D,当n=时,四边形ABEC是矩形.8.如图,在正五边形ABCDE中,连接AC、AD、CE,CE交AD于点F,连接BF,则线段AC、BF、CD之间的关系式是.9.如图,在平面直角坐标系中,O为原点,四边形OABC是矩形,A(﹣10,0),C(0,3),点D是OA的中点,点P在BC边上运动,当△ODP是腰长为5的等腰三角形时,点P的坐标是.三.解答题(共31小题)10.如图,正方形ABCD中,AE=AB,直线DE交BC于点F,求∠BEF的度数.11.如图,梯形ABCD中,AD∥BC,AB=CD,对角线AC、BD交于点O,AC⊥BD,E、F、G、H分别为AB、BC、CD、DA的中点.(1)求证:四边形EFGH为正方形;(2)若AD=1,BC=3,求正方形EFGH的边长.12.如图,点E、F分别是正方形ABCD的边CD和AD的中点,BE和CF交于点P.求证:AP=AB.13.如图,点P为正方形ABCD对角线BD上一点,PE⊥BC于E,PF⊥DC于F.(1)求证:PA=EF;(2)若正方形ABCD的边长为a,求四边形PFCE的周长.14.如图1,在正方形ABCD中,点E为BC上一点,连接DE,把△DEC沿DE折叠得到△DEF,延长EF交AB于G,连接DG.(1)求∠EDG的度数.(2)如图2,E为BC的中点,连接BF.①求证:BF∥DE;②若正方形边长为6,求线段AG的长.15.如图①,在正方形ABCD中,F是对角线AC上的一点,点E在BC的延长线上,且BF=EF.(1)求证:BF=DF;(2)求证:∠DFE=90°;(3)如果把正方形ABCD改为菱形,其他条件不变(如图②),当∠ABC=50°时,∠DFE=度.16.已知正方形ABCD中,对角线AC、BD相交于O.①如图1,若E是AC上的点,过A 作AG⊥BE于G,AG、BD交于F,求证:OE=OF②如图2,若点E在AC的延长线上,AG⊥EB交EB的延长线于G,AG延长DB 延长线于点F,其它条件不变,OE=OF还成立吗?17.如图,点P是菱形ABCD中对角线AC上的一点,且PE=PB.(1)求证:PE=PD;(2)求证:∠PDC=∠PEB;(3)若∠BAD=80°,连接DE,试求∠PDE的度数,并说明理由.18.如图,正方形ABCD中,AB=1,点P是BC边上的任意一点(异于端点B、C),连接AP,过B、D两点作BE⊥AP于点E,DF⊥AP于点F.(1)求证:EF=DF﹣BE;(2)若△ADF的周长为,求EF的长.19.如图,正方形ABCD的对角线AC、BD的交点为O,以O为端点引两条互相垂直的射线OM、ON,分别交边AB、BC于点E、F.(1)求证:0E=OF;(2)若正方形的边长为4,求EF的最小值.20.如图,在正方形ABCD中,点E是边AD上任意一点,BE的垂直平分线FG 交对角AC于点F.求证:(1)BF=DF;(2)BF⊥FE.21.已知:如图所示,四边形ABCD中,∠ABC=∠ADC=90°,M是AC上任一点,O是BD的中点,连接MO,并延长MO到N,使NO=MO,连接BN与ND.(1)判断四边形BNDM的形状,并证明;(2)若M是AC的中点,则四边形BNDM的形状又如何?说明理由.22.如图,在△ABC中,O是边AC上的一动点,过点O作直线MN∥BC,设MN 交∠BCA的平分线于点E,交∠BCA的外角平分线于点F.(1)求证:OE=OF;(2)当点O运动到何处时,四边形AECF是矩形?23.(1)如图矩形ABCD的对角线AC、BD交于点O,过点D作DP∥OC,且DP=OC,连接CP,判断四边形CODP的形状并说明理由.(2)如果题目中的矩形变为菱形,结论应变为什么?说明理由.(3)如果题目中的矩形变为正方形,结论又应变为什么?说明理由.24.如图1,已知AB∥CD,AB=CD,∠A=∠D.(1)求证:四边形ABCD为矩形;(2)E是AB边的中点,F为AD边上一点,∠DFC=2∠BCE.①如图2,若F为AD中点,DF=1.6,求CF的长度:②如图2,若CE=4,CF=5,则AF+BC=,AF=.25.如图,直线a、b相交于点A,C、E分别是直线b、a上两点且BC⊥a,DE ⊥b,点M、N是EC、DB的中点.求证:MN⊥BD.26.如图所示,在梯形ABCD中,AD∥BC,∠B=90°,AD=24cm,BC=26cm,动点P从点A出发沿AD方向向点D以1cm/s的速度运动,动点Q从点C开始沿着CB方向向点B以3cm/s的速度运动.点P、Q分别从点A和点C同时出发,当其中一点到达端点时,另一点随之停止运动.作者:非成败作品编号:92032155GZ5702241547853215475102时间:2020.12.13(1)经过多长时间,四边形PQCD是平行四边形?(2)经过多长时间,四边形PQBA是矩形?(3)经过多长时间,当PQ不平行于CD时,有PQ=CD.27.如图,E、F是正方形ABCD的边AD上的两个动点,满足AE=DF.连接CF 交BD于G,连接BE交AG于H.已知正方形ABCD的边长为4cm,解决下列问题:(1)求证:BE⊥AG;(2)求线段DH的长度的最小值.28.如图,点M是矩形ABCD的边AD的中点,点P是BC边上一动点,PE⊥MC,PF⊥BM,垂足为E、F.(1)当矩形ABCD的长与宽满足什么条件时,四边形PEMF为矩形?猜想并证明你的结论.(2)在(1)中,当点P运动到什么位置时,矩形PEMF变为正方形,为什么?29.某校数学兴趣小组开展了一次课外活动,过程如下:如图①,正方形ABCD 中,AB=4,将三角板放在正方形ABCD上,使三角板的直角顶点与D点重合.三角板的一边交AB于点P,另一边交BC的延长线于点Q.(1)求证:AP=CQ;(2)如图②,小明在图1的基础上作∠PDQ的平分线DE交BC于点E,连接PE,他发现PE和QE存在一定的数量关系,请猜测他的结论并予以证明;(3)在(2)的条件下,若AP=1,求PE的长.30.如图,在菱形ABCD中,AB=4cm,∠ADC=120°,点E、F同时由A、C两点出发,分别沿AB、CB方向向点B匀速移动(到点B为止),点E的速度为1cm/s,点F的速度为2cm/s,经过t秒△DEF为等边三角形,求t的值.31.如图,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,点D是AC的中点,作∠ADB的角平分线DE交AB于点E,(1)求证:DE∥BC;(2)若AE=3,AD=5,点P为BC上的一动点,当BP为何值时,△DEP为等腰三角形.请直接写出所有BP的值.32.已知:如图,BF、BE分别是∠ABC及其邻补角的角平分线,AE⊥BE,垂足为点E,AF⊥BF,垂足为点F.EF分别交边AB、AC于点M、N.求证:(1)四边形AFBE是矩形;(2)BC=2MN.33.如图,在边长为5的菱形ABCD中,对角线BD=8,点O是直线BD上的动点,OE⊥AB于E,OF⊥AD于F.(1)对角线AC的长是,菱形ABCD的面积是;(2)如图1,当点O在对角线BD上运动时,OE+OF的值是否发生变化?请说明理由;(3)如图2,当点O在对角线BD的延长线上时,OE+OF的值是否发生变化?若不变请说明理由,若变化,请直接写出OE、OF之间的数量关系,不用明理由.34.如图,已知Rt△ABD≌Rt△FEC,且B、D、C、E在同一直线上,连接BF、AE.(1)求证:四边形ABFE是平行四边形.(2)若∠ABD=60°,AB=2cm,DC=4cm,将△ABD沿着BE方向以1cm/s的速度运动,设△ABD运动的时间为t,在△ABD运动过程中,试解决以下问题:(1)当四边形ABEF是菱形时,求t的值;(2)是否存在四边形ABFE是矩形的情形?如果存在,求出t的值,如果不存在,请说明理由.35.已知,矩形ABCD中,AB=4cm,BC=8cm,AC的垂直平分线EF分别交AD、BC于点E、F,垂足为O.(1)如图1,连接AF、CE.求证:四边形AFCE为菱形.(2)如图1,求AF的长.(3)如图2,动点P、Q分别从A、C两点同时出发,沿△AFB和△CDE各边匀速运动一周.即点P自A→F→B→A停止,点Q自C→D→E→C停止.在运动过程中,点P的速度为每秒1cm,设运动时间为t秒.①问在运动的过程中,以A、P、C、Q四点为顶点的四边形有可能是矩形吗?若有可能,请求出运动时间t和点Q的速度;若不可能,请说明理由.②若点Q的速度为每秒0.8cm,当A、P、C、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时,求t的值.36.如图1,E,F是正方形ABCD的边上两个动点,满足AE=DF,连接CF交BD 于G,连接BE交AG于点H(1)求证:AG⊥BE;(2)如图2,连DH,若正方形的边长为4,则线段DH长度的最小值是.37.如图,在菱形ABCD中,AB=2,∠DAB=60°,点E时AD边的中点,点M时AB边上的一个动点(不与点A重合),延长ME交CD的延长线于点N,连接MD,AN.(1)求证:四边形AMDN是平行四边形.(2)填空:①当AM的值为时,四边形AMDN是矩形;②当AM的值为时,四边形AMDN是菱形.38.如图,已知正方形OABC的边长为4,顶点A、C分别在x、y轴的正半轴上,M是BC的中点,点P(0,m)是线段oc上的一动点9点P不与点O、C重合0,直线PM交AB的延长线于点D.(1)求点D的坐标;(用含m的代数式表示)(2)若△APD是以AP边为一腰的等腰三角形,求m的值.39.如图,在△ABC中,∠ABC=90°,点D为AC的中点,过点C作CE⊥BD于点E,过点A作BD的平行线,交CE的延长线于点F,在AF的延长线上截取FG=BD,连接BG、DF.(1)证明:四边形BDFG是菱形;(2)若AC=10,CF=6,求线段AG的长度.40.如图,在正方形ABCD中,点E在边AD上,点F在边BC的延长线上,连接EF与边CD相交于点G,连接BE与对角线AC相交于点H,AE=CF,BE=EG.(1)求证:EF∥AC;(2)求∠BEF大小;(3)若EB=4,则△BAE的面积为.初二数学平行四边形和特殊四边形提高练习常考题和培优题参考答案与试题解析一.选择题(共5小题)1.(2012春•炎陵县校级期中)如图,把大小相同的两个矩形拼成如下形状,则△FBD是()A.等边三角形B.等腰直角三角形C.一般三角形D.等腰三角形【分析】根据正方形性质得出FG=BC,∠G=∠C=90°,GB=CD,根据SAS证△FGB ≌△BCD,推出∠FBG=∠BDC,BF=BD,求出∠DBC+∠FBG=90°,求出∠FBD的度数即可.【解答】解:∵大小相同的两个矩形GFEB、ABCD,∴FG=BE=AD=BC,GB=EF=AB=CD,∠G=∠C=∠ABG=∠ABC=90°,∵在△FGB和△BCD中,∴△FGB≌△BCD,∴∠FBG=∠BDC,BF=BD,∵∠BDC+∠DBC=90°,∴∠DBC+∠FBG=90°,∴∠FBD=180°﹣90°=90°,即△FBD是等腰直角三角形,故选B.【点评】本题考查了等腰直角三角形,全等三角形的性质和判定,正方形性质的应用,关键是证出△FGB≌△BCD,主要考查学生运用性质进行推理的能力.2.(2015春•江阴市期中)如图,正方形ABCD和正方形CEFG中,点D在CG上,BC=,CE=3,H是AF的中点,那么CH的长是()A.3.5 B.C. D.2【分析】根据正方形的性质求出AB=BC=,CE=EF=3,∠E=90°,延长AD交EF于M,连接AC、CF,求出AM=4,FM=2,∠AMF=90°,根据正方形性质求出∠ACF=90°,根据直角三角形斜边上的中线性质求出CH=AF,根据勾股定理求出AF即可.【解答】解:∵正方形ABCD和正方形CEFG中,点D在CG上,BC=,CE=3,∴AB=BC=,CE=EF=3,∠E=90°,延长AD交EF于M,连接AC、CF,则AM=BC+CE=4,FM=EF﹣AB=2,∠AMF=90°,作者:非成败作品编号:92032155GZ5702241547853215475102时间:2020.12.13∵四边形ABCD和四边形GCEF是正方形,∴∠ACD=∠GCF=45°,∴∠ACF=90°,∵H为AF的中点,∴CH=AF,在Rt△AMF中,由勾股定理得:AF==2,∴CH=,故选:C.【点评】本题考查了勾股定理,正方形的性质,直角三角形斜边上的中线的应用,解此题的关键是能正确作出辅助线,并求出AF的长和得出CH=AF,有一定的难度.3.(2015春•泗洪县校级期中)如图,在矩形ABCD中,AB=4,BC=8,对角线AC、BD相交于点O,过点O作OE垂直AC交AD于点E,则AE的长是()A.3 B.5 C.2.4 D.2.5【分析】根据矩形的性质得出∠CDE=90°,AD=BC=8,AB=DC=4,AO=OC,根据线段垂直平分线性质得出AE=CE,在Rt△CDE中,由勾股定理得出CE2=CD2+DE2,代入求出即可.【解答】解:∵在矩形ABCD中,AB=4,BC=8,∴∠CDE=90°,AD=BC=8,AB=DC=4,AO=OC,∵OE⊥AC,∴AE=CE,在Rt△CDE中,由勾股定理得:CE2=CD2+DE2,即AE2=42+(8﹣AE)2,解得:AE=5,故选B.【点评】本题考查了矩形的性质,勾股定理,线段垂直平分线性质的应用,解此题的关键是得出关于AE的方程.4.(2015秋•无锡期中)如图,在△ABC中,CF⊥AB于F,BE⊥AC于E,M为BC的中点,EF=7,BC=10,则△EFM的周长是()A.17 B.21 C.24 D.27【分析】根据CF⊥AB于F,BE⊥AC于E,M为BC的中点,利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半,求出FM和ME的长,即可求解.【解答】解:∵CF⊥AB,M为BC的中点,∴MF是Rt△BFC斜边上的中线,∴FM=BC=×10=5,同理可得,ME=BC=×10=5,又∵EF=7,∴△EFM的周长=EF+ME+FM=7+5+5=17.故选A .【点评】此题主要考查学生对直角三角形斜边上的中线这个知识点的理解和掌握,解答此题的关键是利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半,求出FM 和ME 的长.5.(2015春•乌兰察布校级期中)如图,在矩形ABCD 中,AB=6,AD=8,P 是AD 上不与A 和D 重合的一个动点,过点P 分别作AC 和BD 的垂线,垂足为E 、F ,则PE +PF 的值为( )A .10B .4.8C .6D .5【分析】连接OP ,利用勾股定理列式求出BD ,再根据矩形的对角线相等且互相平分求出OA 、OD ,然后根据S △AOD =S △AOP +S △DOP 列方程求解即可.【解答】解:如图,连接OP ,∵AB=6,AD=8,∴BD===10,∵四边形ABCD 是矩形,∴OA=OD=×10=5,∵S △AOD =S △AOP +S △DOP , ∴××6×8=×5•PE +×5•PF ,解得PE +PF=4.8.故选B .【点评】本题考查了矩形的性质,三角形的面积,熟记性质并利用三角形的面积列出方程是解题的关键.二.填空题(共4小题)6.(2016春•东平县期中)如图,在矩形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,AE平分∠BAD交BC于点E,若∠CAE=15°,则∠BOE的度数等于75°.【分析】由矩形ABCD,得到OA=OB,根据AE平分∠BAD,得到等边三角形OAB,推出AB=OB,求出∠OAB、∠OBC的度数,根据平行线的性质和等角对等边得到OB=BE,根据三角形的内角和定理即可求出答案.【解答】解:∵四边形ABCD是矩形,∴AD∥BC,AC=BD,OA=OC,OB=OD,∠BAD=90°,∴OA=OB,∠DAE=∠AEB,∵AE平分∠BAD,∴∠BAE=∠DAE=45°=∠AEB,∴AB=BE,∵∠CAE=15°,∴∠DAC=45°﹣15°=30°,∠BAC=60°,∴△BAO是等边三角形,∴AB=OB,∠ABO=60°,∴∠OBC=90°﹣60°=30°,∵AB=OB=BE,∴∠BOE=∠BEO=(180°﹣30°)=75°.故答案为75°.【点评】本题主要考查了三角形的内角和定理,矩形的性质,等边三角形的性质和判定,平行线的性质,角平分线的性质,等腰三角形的判定等知识点,解此题的关键是求出∠OBC的度数和求OB=BE.7.(2014春•武昌区期中)如图,将平行四边形ABCD的边DC延长到E,使CE=CD,连接AE交BC于F,∠AFC=n∠D,当n=2时,四边形ABEC是矩形.【分析】首先根据四边形ABCD是平行四边形,得到四边形ABEC是平行四边形,然后证得FC=FE,利用对角线互相相等的四边形是矩形判定四边形ABEC是矩形.【解答】解:当∠AFC=2∠D时,四边形ABEC是矩形.∵四边形ABCD是平行四边形,∴BC∥AD,∠BCE=∠D,由题意易得AB∥EC,AB∥EC,∴四边形ABEC是平行四边形.∵∠AFC=∠FEC+∠BCE,∴当∠AFC=2∠D时,则有∠FEC=∠FCE,∴FC=FE,∴四边形ABEC是矩形,故答案为:2.【点评】此题考查了平行四边形的性质以及矩形的判定.此题难度适中,注意掌握数形结合思想的应用,解题的关键是了解矩形的判定定理.8.(2015春•南长区期中)如图,在正五边形ABCDE中,连接AC、AD、CE,CE 交AD于点F,连接BF,则线段AC、BF、CD之间的关系式是AC2+BF2=4CD2.【分析】首先根据菱形的判定方法,判断出四边形ABCF是菱形,再根据菱形的性质,即可判断出AC⊥BF;然后根据勾股定理,可得OB2+OC2=BC2,据此推得AC2+BF2=4CD2即可.【解答】解:∵五边形ABCDE是正五边形,∴AB∥CE,AD∥BC,∴四边形ABCF是平行四边形,又∵AB=BC=CD=DE=EA,∴四边形ABCF是菱形,∴AC⊥BF,∴OB2+OC2=BC2,∵AC=2OC,BF=2OB,∴AC2+BF2=(2OC)2+(2OB)2=4OC2+4OB2=4BC2,又∵BC=CD,作者:非成败作品编号:92032155GZ5702241547853215475102时间:2020.12.13∴AC2+BF2=4CD2.故答案为:AC2+BF2=4CD2.【点评】(1)此题主要考查了菱形的判定和性质的应用,要熟练掌握,解答此题的关键是要明确:菱形是在平行四边形的前提下定义的,首先它是平行四边形,但它是特殊的平行四边形,特殊之处就是“有一组邻边相等”,因而就增加了一些特殊的性质和不同于平行四边形的判定方法.(2)此题还考查了勾股定理的应用:在任何一个直角三角形中,两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方,要熟练掌握.9.(2015春•株洲校级期中)如图,在平面直角坐标系中,O为原点,四边形OABC 是矩形,A(﹣10,0),C(0,3),点D是OA的中点,点P在BC边上运动,当△ODP是腰长为5的等腰三角形时,点P的坐标是(﹣4,3),或(﹣1,3),或(﹣9,3).【分析】先由矩形的性质求出OD=5,分情况讨论:(1)当OP=OD=5时;根据勾股定理求出PC,即可得出结果;(2)当PD=OD=5时;①作PE⊥OA于E,根据勾股定理求出DE,得出PC,即可得出结果;②作PF⊥OA于F,根据勾股定理求出DF,得出PC,即可得出结果.【解答】解:∵A(﹣10,0),C(0,3),∴OA=10,OC=3,∵四边形OABC是矩形,∴BC=OA=10,AB=OC=3,∵D是OA的中点,∴AD=OD=5,分情况讨论:(1)当OP=OD=5时,根据勾股定理得:PC==4,∴点P的坐标为:(﹣4,3);(2)当PD=OD=5时,分两种情况讨论:①如图1所示:作PE⊥OA于E,则∠PED=90°,DE==4,∴PC=OE=5﹣4=1,∴点P的坐标为:(﹣1,3);②如图2所示:作PF⊥OA于F,则DF==4,∴PC=OF=5+4=9,∴点P的坐标为:(﹣9,3);综上所述:点P的坐标为:(﹣4,3),或(﹣1,3),或(﹣9,3);故答案为:(﹣4,3),或(﹣1,3),或(﹣9,3).【点评】本题考查了矩形的性质、坐标与图形性质、等腰三角形的性质、勾股定理;熟练掌握矩形的性质,并能进行推理计算是解决问题的关键.三.解答题(共31小题)10.(2012春•西城区校级期中)如图,正方形ABCD中,AE=AB,直线DE交BC 于点F,求∠BEF的度数.【分析】设∠BAE=x°,根据正方形性质推出AB=AE=AD,根据等腰三角形性质和三角形的内角和定理求出∠AEB和∠AED的度数,根据平角定义求出即可.【解答】解:设∠BAE=x°,∵四边形ABCD是正方形,∴∠BAD=90°,AB=AD,∵AE=AB,∴AB=AE=AD,∴∠ABE=∠AEB=(180°﹣∠BAE)=90°﹣x°,∠DAE=90°﹣x°,∠AED=∠ADE=(180°﹣∠DAE)=[180°﹣(90°﹣x°)]=45°+x°,∴∠BEF=180°﹣∠AEB﹣∠AED,=180°﹣(90°﹣x°)﹣(45°+x°),=45°,答:∠BEF的度数是45°.【点评】本题考查了三角形的内角和定理,等腰三角形性质,正方形性质的应用,解此题的关键是如何把已知角的未知角结合起来,题目比较典型,但是有一定的难度.11.(2012秋•高淳县期中)如图,梯形ABCD中,AD∥BC,AB=CD,对角线AC、BD交于点O,AC⊥BD,E、F、G、H分别为AB、BC、CD、DA的中点.(1)求证:四边形EFGH为正方形;(2)若AD=1,BC=3,求正方形EFGH的边长.【分析】(1)先由三角形的中位线定理求出四边相等,然后由AC⊥BD入手,进行正方形的判断.(2)连接EG,利用梯形的中位线定理求出EG的长,然后结合(1)的结论求出EH2=2,也即得出了正方形EHGF的边长.【解答】(1)证明:在△ABC中,∵E、F分别是AB、BC的中点,∴EF=同理FG=,GH=,HE=在梯形ABCD中,∵AB=DC,∴AC=BD,∴EF=FG=GH=HE∴四边形EFGH为菱形.设AC与EH交于点M在△ABD中,∵E、H分别是AB、AD的中点,∴EH∥BD,同理GH∥AC又∵AC⊥BD,∴∠BOC=90°.∴∠EHG=∠EMC=∠BOC=90°∴四边形EFGH为正方形.(2)解:连接EG,在梯形ABCD中,∵E、G分别是AB、DC的中点,∴EG=(AD+BC)=(1+3)=2,在Rt△HEG中,EG2=EH2+HG2,4=2EH2,EH2=2,则EH=.即四边形EFGH的边长为.【点评】此题考查了等腰梯形的性质及三角形、梯形的中位线定理,解答本题的关键是根据三角形的中位线定理得出EH=HG=GF=FE,这是本题的突破口.12.(2013秋•青岛期中)如图,点E、F分别是正方形ABCD的边CD和AD的中点,BE和CF交于点P.求证:AP=AB.【分析】延长CF、BA交于点M,先证△BCE≌△CDF,再证△CDF≌△AMF得BA=MA 由直角三角形中斜边中线等于斜边的一半,可得Rt△MBP中AP=BM,即AP=AB.【解答】证明:延长CF、BA交于点M,∵点E、F分别是正方形ABCD的边CD和AD的中点,∴BC=CD,∠BCE=∠CDF,CE=DF,∴△BCE≌△CDF,∴∠CBE=∠DCF.∵∠DCF+∠BCP=90°,∴∠CBE+∠BCP=90°,∴∠BPM=∠CBE+∠BCP=90°.又∵FD=FA,∠CDF=∠MAF,∠CFD=∠MFA,∴△CDF≌△AMF,∴CD=AM.∵CD=AB,∴AB=AM.∴PA是直角△BPM斜边BM上的中线,∴AP=BM,即AP=AB.【点评】本题考查了正方形各边长相等、各内角为直角的性质,全等三角形的判定和对应边相等的性质,直角三角形斜边中线长为斜边长一半的性质,本题中求证△CDF≌△AMF是解题的关键.作者:非成败作品编号:92032155GZ5702241547853215475102时间:2020.12.1313.(2015春•禹州市期中)如图,点P为正方形ABCD对角线BD上一点,PE⊥BC于E,PF⊥DC于F.(1)求证:PA=EF;(2)若正方形ABCD的边长为a,求四边形PFCE的周长.【分析】(1)连接PC,证四边形PFCE是矩形,求出EF=PC,证△ABP≌△CBP,推出AP=PC即可;(2)证△CBD是等腰直角三角形,求出BF、PF,求出周长即可.【解答】解:证明:(1)连接PC,∵四边形ABCD是正方形,∴AB=CB,∠ABD=∠CBD=45°,∠C=90°,在△ABP与△CBP中,,∴△ABP≌△CBP(SAS),∴PA=PC,∵PE⊥BC,PF⊥CD,∴∠PFC=90°,∠PEC=90°.又∵∠C=90°,∴四边形PFCE是矩形,∴EF=PC,∴PA=EF.(2)由(1)知四边形PFCE是矩形,∴PE=CF,PF=CE,又∵∠CBD=45°,∠PEB=90°,∴BE=PE,又BC=a,∴矩形PFCE的周长为2(PE+EC)=2(BE+EC)=2BC=2a.【点评】本题主要考查正方形的性质,全等三角形的性质和判定等知识点的连接和掌握,能证出AP=PC是解此题的关键.14.(2015秋•福建校级期中)如图1,在正方形ABCD中,点E为BC上一点,连接DE,把△DEC沿DE折叠得到△DEF,延长EF交AB于G,连接DG.(1)求∠EDG的度数.(2)如图2,E为BC的中点,连接BF.①求证:BF∥DE;②若正方形边长为6,求线段AG的长.【分析】(1)由正方形的性质可得DC=DA.∠A=∠B=∠C=∠ADC=90°,由折叠的性质得出∠DFE=∠C,DC=DF,∠1=∠2,再求出∠DFG=∠A,DA=DF,然后由“HL”证明Rt△DGA≌Rt△DGF,由全等三角形对应角相等得出∠3=∠4,得出∠2+∠3=45°即可;(2)①由折叠的性质和线段中点的定义可得CE=EF=BE,∠DEF=∠DEC,再由三角形的外角性质得出∠5=∠DEC,然后利用同位角相等,两直线平行证明即可;②设AG=x,表示出GF、BG,根据点E是BC的中点求出BE、EF,从而得到GE 的长度,再利用勾股定理列出方程求解即可;【解答】(1)解:如图1所示:∵四边形ABCD是正方形,∴DC=DA.∠A=∠B=∠C=∠ADC=90°,∵△DEC沿DE折叠得到△DEF,∴∠DFE=∠C,DC=DF,∠1=∠2,∴∠DFG=∠A=90°,DA=DF,在Rt△DGA和Rt△DGF中,,∴Rt△DGA≌Rt△DGF(HL),∴∠3=∠4,∴∠EDG=∠3+∠2=∠ADF+∠FDC,=(∠ADF+∠FDC),=×90°,=45°;(2)①证明:如图2所示:∵△DEC沿DE折叠得到△DEF,E为BC的中点,∴CE=EF=BE,∠DEF=∠DEC,∴∠5=∠6,∵∠FEC=∠5+∠6,∴∠DEF+∠DEC=∠5+∠6,∴2∠5=2∠DEC,即∠5=∠DEC,∴BF∥DE;②解:设AG=x,则GF=x,BG=6﹣x,∵正方形边长为6,E为BC的中点,∴CE=EF=BE=×6=3,∴GE=EF+GF=3+x,在Rt△GBE中,根据勾股定理得:(6﹣x)2+32=(3+x)2,解得:x=2,即线段AG的长为2.【点评】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理、翻折变换的性质;熟练掌握正方形的性质,并能进行推理论证与计算是解决问题的关键.15.(2016春•召陵区期中)如图①,在正方形ABCD中,F是对角线AC上的一点,点E在BC的延长线上,且BF=EF.(1)求证:BF=DF;(2)求证:∠DFE=90°;(3)如果把正方形ABCD改为菱形,其他条件不变(如图②),当∠ABC=50°时,∠DFE=50度.【分析】(1)根据正方形的四条边都相等可得BC=DC,对角线平分一组对角可得∠BCF=∠DCF,然后利用“边角边”证明即可;(2)易证∠FBE=∠FEB,又因为∠FBE=∠FDC,所以可证明∠FEB=∠FDC,进而可证明∠DFE=90°;(3)根据全等三角形对应角相等可得∠CBF=∠CDF,根据等边对等角可得∠CBF=∠E,然后求出∠DFE=∠DCE,再根据两直线平行,同位角相等可得∠DCE=∠ABC,从而得解.【解答】(1)证明:在正方形ABCD中,BC=DC,∠BCF=∠DCF=45°,∵在△BCF和△DCF中,,∴△BCF≌△DCF(SAS);∴BF=DF;(2)证明:∵BF=EF,∴∠FBE=∠FEB,又∵∠FBE=∠FDC,∴∠FEB=∠FDC,又∵∠DGF=∠EGC,∴∠DFG=∠ECG=90°,即∠DFE=90°;(3)证明:由(1)知,△BCF≌△DCF,∴∠CBF=∠CDF,∵EE=FB,∴∠CBF=∠E,∵∠DGF=∠EGC(对顶角相等),∴180°﹣∠DGF﹣∠CDF=180°﹣∠EGC﹣∠E,即∠DFE=∠DCE,∵AB∥CD,∴∠DCE=∠ABC,∴∠DFE=∠ABC=50°,故答案为:50.【点评】本题考查了正方形的性质,全等三角形的判定与性质,菱形的性质,等边对等角的性质,熟记正方形的性质确定出∠BCF=∠DCF是解题的关键.16.(2015秋•泗县期中)已知正方形ABCD中,对角线AC、BD相交于O.①如图1,若E是AC上的点,过A 作AG⊥BE于G,AG、BD交于F,求证:OE=OF②如图2,若点E在AC的延长线上,AG⊥EB交EB的延长线于G,AG延长DB 延长线于点F,其它条件不变,OE=OF还成立吗?【分析】①由正方形的性质得出OA=OB,AC⊥BD,得出∠BOE=∠AOF=90°,由角的互余关系得出∠OBE=∠OAF,由ASA证明△BOE≌△AOF,得出对应边相等即可;②由正方形的性质得出OA=OB,AC⊥BD,得出∠BOE=∠AOF=90°,由角的互余关系得出∠OBE=∠OAF,由ASA证明△BOE≌△AOF,得出对应边相等即可.【解答】①证明:∵四边形ABCD是正方形,∴OA=OB,AC⊥BD,∴∠BOE=∠AOF=90°,作者:非成败作品编号:92032155GZ5702241547853215475102时间:2020.12.13∴∠OEB+∠OBE=90°,∵AG⊥BE,∴∠AGE=90°,∴∠OEB+∠OAF=90°,∴∠OBE=∠OAF,在△BOE和△AOF中,,∴△BOE≌△AOF(ASA),∴OE=OF;②解:OE=OF还成立;理由如下:∵四边形ABCD是正方形,∴OA=OB,AC⊥BD,∴∠BOE=∠AOF=90°,∴∠OEB+∠OBE=90°,∵AG⊥BE,∴∠AGE=90°,∴∠OEB+∠OAF=90°,∴∠OBE=∠OAF,在△BOE和△AOF中,,∴△BOE≌△AOF(ASA),∴OE=OF.【点评】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质;熟练掌握正方形的性质,并能进行推理论证是解决问题的关键.17.(2016春•邳州市期中)如图,点P是菱形ABCD中对角线AC上的一点,且PE=PB.(1)求证:PE=PD;(2)求证:∠PDC=∠PEB;(3)若∠BAD=80°,连接DE,试求∠PDE的度数,并说明理由.【分析】(1)由菱形的性质得出AB=BC=CD=AD,AB∥CD,∠DCP=∠BCP,由SAS 证明△CDP≌△CBP,得出PB=PD,再由PE=PB,即可得出结论;(2)由等腰三角形的性质得出∠PBC=∠PEB,由全等三角形的性质得出∠PDC=∠PBC,即可得出∠PDC=∠PEB;(3)由四边形内角和定理得出∠DPE=100°,由等腰三角形的性质和三角形内角和定理即可得出结果.【解答】(1)解:∵四边形ABCD是菱形,∴AB=BC=CD=AD,AB∥CD,∠DCP=∠BCP,在△DCP和△BCP中,,∴△CDP≌△CBP(SAS),∴PB=PD,∵PE=PB,∴PE=PD;(2)证明:∵PE=PB,∴∠PBC=∠PEB,∵△CDP≌△CBP,∴∠PDC=∠PBC,∴∠PDC=∠PEB;(3)解:如图所示:∠PDE=40°;理由如下:在四边形DPEC中,∵∠DPE=360°﹣(∠PDC+∠PEC+∠DCB)=360°﹣(∠PEB+∠PEC+∠DCB)=360°﹣(180°+80°)=100°,∵PE=PD∴∠PDE=∠PED=40°.【点评】本题考查了菱形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质;熟练掌握菱形的性质,证明三角形全等是解决问题的关键.18.(2016春•昆山市期中)如图,正方形ABCD中,AB=1,点P是BC边上的任意一点(异于端点B、C),连接AP,过B、D两点作BE⊥AP于点E,DF⊥AP于点F.(1)求证:EF=DF﹣BE;(2)若△ADF的周长为,求EF的长.【分析】(1)由正方形的性质得出AD=AB,证出∠DAF=∠ABE,由AAS证明△ADF ≌△BAE,得出AF=BE,DF=AE,即可得出结论;(2)设DF=a,AF=b,EF=DF﹣AF=a﹣b>0,由已知条件得出DF+AF=,即a+b=,由勾股定理得出a2+b2=1,再由完全平方公式得出a﹣b即可.【解答】(1)证明:∵BE⊥AP,DF⊥AP,∴∠DFA=∠AEB=90°,∠ABE+∠BAE=90°,∵四边形ABCD为正方形,∴AD=AB,∠DAB=90°=∠DAF+∠BAE,∴∠DAF=∠ABE,在△ADF和△BAE中,,∴△ADF≌△BAE(AAS),∴AF=BE,DF=AE,∴EF=AE﹣AF=DF﹣BE;(2)解:设DF=a,AF=b,EF=DF﹣AF=a﹣b>0,∵△ADF的周长为,AD=1,∴DF+AF=,即a+b=,由勾股定理得:DF2+AF2=AD2,即a2+b2=1,∴(a﹣b)2=2(a2+b2)﹣(a+b)2=2﹣=,∴a﹣b=,即EF=.【点评】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识;熟练掌握正方形的性质,由勾股定理得出a与b的关系式是解决问题(2)的关键.19.(2015春•繁昌县期中)如图,正方形ABCD的对角线AC、BD的交点为O,以O为端点引两条互相垂直的射线OM、ON,分别交边AB、BC于点E、F.(1)求证:0E=OF;(2)若正方形的边长为4,求EF的最小值.【分析】(1)根据正方形的性质可得∠EAO=∠FBO=45°,OA=OB,再根据同角的余角相等可得∠AOE=∠BOE,然后利用“角边角”证明△AOE和△BOF全等,根据全等三角形对应边相等即可得证;(2)根据等腰直角三角形△EOF,当OE最小时,再根据勾股定理得出EF的最小值.【解答】解:(1)∵四边形ABCD是正方形,∴OA=OB,∠AOB=90°,∠EAO=∠FBO=45°,∴∠AOE+∠BOE=90°,∵OE⊥OF,∴∠BOF+∠BOE=90°,∴∠AOE=∠BOF,在△AOE与△BOF中,,∴△AOE≌△BOF(ASA),∴OE=OF;(2)由(1)可知,△EOF是等腰直角三角形,∠EOF是直角,当OE最小时,EF的值最小,∵OA=OB,OE⊥AB,∴点E是AB的中点,∴OE=AB,∵AB=4,∴OE=2,∴EF=,即EF的最小值是2.【点评】本题考查了正方形的性质,解决此类问题的关键是正确的利用旋转不变量.正确作出辅助线是关键.20.(2016春•江宁区期中)如图,在正方形ABCD中,点E是边AD上任意一点,BE的垂直平分线FG交对角AC于点F.求证:(1)BF=DF;(2)BF⊥FE.【分析】(1)由正方形的性质得出AB=AD,∠BAF=∠DAF=45°,由SAS证明△BAF ≌△DAF,得出对应边相等即可;(2)由线段垂直平分线的性质得出BF=EF,证出EF=DF,得出∠FDE=∠FED,再由全等三角形的性质证出∠ABF=∠FED,由邻补角关系得出∠FED+∠FEA=180°,证出∠ABF+∠FEA=180°,由四边形内角和得出∠BAE+∠BFE=180°,求出∠BFE=90°即可.【解答】证明:如图所示:(1)∵四边形ABCD是正方形,作者:非成败作品编号:92032155GZ5702241547853215475102时间:2020.12.13∴AB=AD,∠BAF=∠DAF=45°,∠BAE=90°,在△BAF和△DAF中,,∴△BAF≌△DAF(SAS),∴BF=DF;(2)∵BE的垂直平分线FG交对角AC于点F,∴BF=EF,∵BF=DF,∴EF=DF,∴∠FDE=∠FED,∵△BAF≌△DAF,∴∠ABF=∠FDE,。
初二数学平行四边形和特殊四边形提高练习与常考题和培优题(含解析)之欧阳法创编

初二数学平行四边形和特殊四边形提高练习常考题和培优题时间:2021.03.09 创作:欧阳法一.选择题(共5小题)1.如图,把大小相同的两个矩形拼成如下形状,则△FBD是()A.等边三角形 B.等腰直角三角形C.一般三角形 D.等腰三角形2.如图,正方形ABCD和正方形CEFG中,点D在CG上,BC=,CE=3,H是AF的中点,那么CH 的长是()A.3.5 B. C.D.23.如图,在矩形ABCD中,AB=4,BC=8,对角线AC、BD相交于点O,过点O作OE垂直AC交AD 于点E,则AE的长是()A.3 B.5 C.2.4 D.2.54.如图,在△ABC中,CF⊥AB于F,BE⊥AC于E,M为BC的中点,EF=7,BC=10,则△EFM的周长是()A.17 B.21 C.24 D.275.如图,在矩形ABCD中,AB=6,AD=8,P是AD 上不与A和D重合的一个动点,过点P分别作AC和BD的垂线,垂足为E、F,则PE+PF的值为()A.10 B.4.8 C.6 D.5二.填空题(共4小题)6.如图,在矩形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,AE平分∠BAD交BC于点E,若∠CAE=15°,则∠BOE的度数等于.7.如图,将平行四边形ABCD的边DC延长到E,使CE=CD,连接AE交BC于F,∠AFC=n∠D,当n=时,四边形ABEC是矩形.8.如图,在正五边形ABCDE中,连接AC、AD、CE,CE交AD于点F,连接BF,则线段AC、BF、CD之间的关系式是.9.如图,在平面直角坐标系中,O为原点,四边形OABC是矩形,A(﹣10,0),C(0,3),点D是OA 的中点,点P在BC边上运动,当△ODP是腰长为5的等腰三角形时,点P的坐标是.三.解答题(共31小题)10.如图,正方形ABCD中,AE=AB,直线DE交BC于点F,求∠BEF的度数.11.如图,梯形ABCD中,AD∥BC,AB=CD,对角线AC、BD交于点O,AC⊥BD,E、F、G、H分别为AB、BC、CD、DA的中点.(1)求证:四边形EFGH为正方形;(2)若AD=1,BC=3,求正方形EFGH的边长.12.如图,点E、F分别是正方形ABCD的边CD和AD的中点,BE和CF交于点P.求证:AP=AB.13.如图,点P为正方形ABCD对角线BD上一点,PE⊥BC于E,PF⊥DC于F.(1)求证:PA=EF;(2)若正方形ABCD的边长为a,求四边形PFCE的周长.14.如图1,在正方形ABCD中,点E为BC上一点,连接DE,把△DEC沿DE折叠得到△DEF,延长EF 交AB于G,连接DG.(1)求∠EDG的度数.(2)如图2,E为BC的中点,连接BF.①求证:BF∥DE;②若正方形边长为6,求线段AG的长.15.如图①,在正方形ABCD中,F是对角线AC上的一点,点E在BC的延长线上,且BF=EF.(1)求证:BF=DF;(2)求证:∠DFE=90°;(3)如果把正方形ABCD改为菱形,其他条件不变(如图②),当∠ABC=50°时,∠DFE=度.16.已知正方形ABCD中,对角线AC、BD相交于O.①如图1,若E是AC上的点,过A 作AG⊥BE于G,AG、BD交于F,求证:OE=OF②如图2,若点E在AC的延长线上,AG⊥EB交EB 的延长线于G,AG延长DB延长线于点F,其它条件不变,OE=OF还成立吗?17.如图,点P是菱形ABCD中对角线AC上的一点,且PE=PB.(1)求证:PE=PD;(2)求证:∠PDC=∠PEB;(3)若∠BAD=80°,连接DE,试求∠PDE的度数,并说明理由.18.如图,正方形ABCD中,AB=1,点P是BC边上的任意一点(异于端点B、C),连接AP,过B、D两点作BE⊥AP于点E,DF⊥AP于点F.(1)求证:EF=DF﹣BE;(2)若△ADF的周长为,求EF的长.19.如图,正方形ABCD的对角线AC、BD的交点为O,以O为端点引两条互相垂直的射线OM、ON,分别交边AB、BC于点E、F.(1)求证:0E=OF;(2)若正方形的边长为4,求EF的最小值.20.如图,在正方形ABCD中,点E是边AD上任意一点,BE的垂直平分线FG交对角AC于点F.求证:(1)BF=DF;(2)BF⊥FE.21.已知:如图所示,四边形ABCD中,∠ABC=∠ADC=90°,M是AC上任一点,O是BD 的中点,连接MO,并延长MO到N,使NO=MO,连接BN与ND.(1)判断四边形BNDM的形状,并证明;(2)若M是AC的中点,则四边形BNDM的形状又如何?说明理由.22.如图,在△ABC中,O是边AC上的一动点,过点O作直线MN∥BC,设MN交∠BCA的平分线于点E,交∠BCA的外角平分线于点F.(1)求证:OE=OF;(2)当点O运动到何处时,四边形AECF是矩形?23.(1)如图矩形ABCD的对角线AC、BD交于点O,过点D作DP∥OC,且DP=OC,连接CP,判断四边形CODP的形状并说明理由.(2)如果题目中的矩形变为菱形,结论应变为什么?说明理由.(3)如果题目中的矩形变为正方形,结论又应变为什么?说明理由.24.如图1,已知AB∥CD,AB=CD,∠A=∠D.(1)求证:四边形ABCD为矩形;(2)E是AB边的中点,F为AD边上一点,∠DFC=2∠BCE.①如图2,若F为AD中点,DF=1.6,求CF的长度:②如图2,若CE=4,CF=5,则AF+BC=,AF=.25.如图,直线a、b相交于点A,C、E分别是直线b、a上两点且BC⊥a,DE⊥b,点M、N是EC、DB的中点.求证:MN⊥BD.26.如图所示,在梯形ABCD中,AD∥BC,∠B=90°,AD=24cm,BC=26cm,动点P从点A出发沿AD方向向点D以1cm/s的速度运动,动点Q从点C开始沿着CB方向向点B以3cm/s的速度运动.点P、Q分别从点A和点C同时出发,当其中一点到达端点时,另一点随之停止运动.(1)经过多长时间,四边形PQCD是平行四边形?(2)经过多长时间,四边形PQBA是矩形?(3)经过多长时间,当PQ不平行于CD时,有PQ=CD.27.如图,E、F是正方形ABCD的边AD上的两个动点,满足AE=DF.连接CF交BD于G,连接BE交AG于H.已知正方形ABCD的边长为4cm,解决下列问题:(1)求证:BE⊥AG;(2)求线段DH的长度的最小值.28.如图,点M是矩形ABCD的边AD的中点,点P 是BC边上一动点,PE⊥MC,PF⊥BM,垂足为E、F.(1)当矩形ABCD的长与宽满足什么条件时,四边形PEMF为矩形?猜想并证明你的结论.(2)在(1)中,当点P运动到什么位置时,矩形PEMF 变为正方形,为什么?29.某校数学兴趣小组开展了一次课外活动,过程如下:如图①,正方形ABCD中,AB=4,将三角板放在正方形ABCD上,使三角板的直角顶点与D点重合.三角板的一边交AB于点P,另一边交BC的延长线于点Q.(1)求证:AP=CQ;(2)如图②,小明在图1的基础上作∠PDQ的平分线DE交BC于点E,连接PE,他发现PE和QE存在一定的数量关系,请猜测他的结论并予以证明;(3)在(2)的条件下,若AP=1,求PE的长.30.如图,在菱形ABCD中,AB=4cm,∠ADC=120°,点E、F同时由A、C两点出发,分别沿AB、CB方向向点B匀速移动(到点B为止),点E的速度为1cm/s,点F的速度为2cm/s,经过t秒△DEF为等边三角形,求t的值.31.如图,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,点D是AC的中点,作∠ADB的角平分线DE交AB于点E,(1)求证:DE∥BC;(2)若AE=3,AD=5,点P为BC上的一动点,当BP为何值时,△DEP为等腰三角形.请直接写出所有BP的值.32.已知:如图,BF、BE分别是∠ABC及其邻补角的角平分线,AE⊥BE,垂足为点E,AF⊥BF,垂足为点F.EF分别交边AB、AC于点M、N.求证:(1)四边形AFBE是矩形;(2)BC=2MN.33.如图,在边长为5的菱形ABCD中,对角线BD=8,点O是直线BD上的动点,OE⊥AB于E,OF⊥AD 于F.(1)对角线AC的长是,菱形ABCD的面积是;(2)如图1,当点O在对角线BD上运动时,OE+OF 的值是否发生变化?请说明理由;(3)如图2,当点O在对角线BD的延长线上时,OE+OF的值是否发生变化?若不变请说明理由,若变化,请直接写出OE、OF之间的数量关系,不用明理由.34.如图,已知Rt△ABD≌Rt△FEC,且B、D、C、E在同一直线上,连接BF、AE.(1)求证:四边形ABFE是平行四边形.(2)若∠ABD=60°,AB=2cm,DC=4cm,将△ABD 沿着BE方向以1cm/s的速度运动,设△ABD运动的时间为t,在△ABD运动过程中,试解决以下问题:(1)当四边形ABEF是菱形时,求t的值;(2)是否存在四边形ABFE是矩形的情形?如果存在,求出t的值,如果不存在,请说明理由.35.已知,矩形ABCD中,AB=4cm,BC=8cm,AC 的垂直平分线EF分别交AD、BC于点E、F,垂足为O.(1)如图1,连接AF、CE.求证:四边形AFCE为菱形.(2)如图1,求AF的长.(3)如图2,动点P、Q分别从A、C两点同时出发,沿△AFB和△CDE各边匀速运动一周.即点P自A→F→B→A停止,点Q自C→D→E→C停止.在运动过程中,点P的速度为每秒1cm,设运动时间为t 秒.①问在运动的过程中,以A、P、C、Q四点为顶点的四边形有可能是矩形吗?若有可能,请求出运动时间t和点Q的速度;若不可能,请说明理由.②若点Q的速度为每秒0.8cm,当A、P、C、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时,求t的值.36.如图1,E,F是正方形ABCD的边上两个动点,满足AE=DF,连接CF交BD于G,连接BE交AG 于点H(1)求证:AG⊥BE;(2)如图2,连DH,若正方形的边长为4,则线段DH长度的最小值是.37.如图,在菱形ABCD中,AB=2,∠DAB=60°,点E时AD边的中点,点M时AB边上的一个动点(不与点A重合),延长ME交CD的延长线于点N,连接MD,AN.(1)求证:四边形AMDN是平行四边形.(2)填空:①当AM的值为时,四边形AMDN是矩形;②当AM的值为时,四边形AMDN是菱形.38.如图,已知正方形OABC的边长为4,顶点A、C 分别在x、y轴的正半轴上,M是BC的中点,点P(0,m)是线段oc上的一动点9点P不与点O、C重合0,直线PM交AB的延长线于点D.(1)求点D的坐标;(用含m的代数式表示)(2)若△APD是以AP边为一腰的等腰三角形,求m 的值.39.如图,在△ABC中,∠ABC=90°,点D为AC 的中点,过点C作CE⊥BD于点E,过点A作BD的平行线,交CE的延长线于点F,在AF的延长线上截取FG=BD,连接BG、DF.(1)证明:四边形BDFG是菱形;(2)若AC=10,CF=6,求线段AG的长度.40.如图,在正方形ABCD中,点E在边AD上,点F在边BC的延长线上,连接EF与边CD相交于点G,连接BE与对角线AC相交于点H,AE=CF,BE=EG.(1)求证:EF∥AC;(2)求∠BEF大小;(3)若EB=4,则△BAE的面积为.初二数学平行四边形和特殊四边形提高练习常考题和培优题参考答案与试题解析一.选择题(共5小题)1.(2012春•炎陵县校级期中)如图,把大小相同的两个矩形拼成如下形状,则△FBD是()A.等边三角形 B.等腰直角三角形C.一般三角形 D.等腰三角形【分析】根据正方形性质得出FG=BC,∠G=∠C=90°,GB=CD,根据SAS证△FGB≌△BCD,推出∠FBG=∠BDC,BF=BD,求出∠DBC+∠FBG=90°,求出∠FBD的度数即可.【解答】解:∵大小相同的两个矩形GFEB、ABCD,∴FG=BE=AD=BC,GB=EF=AB=CD,∠G=∠C=∠ABG=∠ABC=90°,∵在△FGB和△BCD中,∴△FGB≌△BCD,∴∠FBG=∠BDC,BF=BD,∵∠BDC+∠DBC=90°,∴∠DBC+∠FBG=90°,∴∠FBD=180°﹣90°=90°,即△FBD是等腰直角三角形,故选B.【点评】本题考查了等腰直角三角形,全等三角形的性质和判定,正方形性质的应用,关键是证出△FGB≌△BCD,主要考查学生运用性质进行推理的能力.2.(2015春•江阴市期中)如图,正方形ABCD和正方形CEFG中,点D在CG上,BC=,CE=3,H 是AF的中点,那么CH的长是()A.3.5 B. C.D.2【分析】根据正方形的性质求出AB=BC=,CE=EF=3,∠E=90°,延长AD交EF于M,连接AC、CF,求出AM=4,FM=2,∠AMF=90°,根据正方形性质求出∠ACF=90°,根据直角三角形斜边上的中线性质求出CH=AF,根据勾股定理求出AF即可.【解答】解:∵正方形ABCD和正方形CEFG中,点D在CG上,BC=,CE=3,∴AB=BC=,CE=EF=3,∠E=90°,延长AD交EF于M,连接AC、CF,则AM=BC+CE=4,FM=EF﹣AB=2,∠AMF=90°,∵四边形ABCD和四边形GCEF是正方形,∴∠ACD=∠GCF=45°,∴∠ACF=90°,∵H为AF的中点,∴CH=AF,在Rt△AMF中,由勾股定理得:AF==2,∴CH=,故选:C.【点评】本题考查了勾股定理,正方形的性质,直角三角形斜边上的中线的应用,解此题的关键是能正确作出辅助线,并求出AF的长和得出CH=AF,有一定的难度.3.(2015春•泗洪县校级期中)如图,在矩形ABCD 中,AB=4,BC=8,对角线AC、BD相交于点O,过点O作OE垂直AC交AD于点E,则AE的长是()A.3 B.5 C.2.4 D.2.5【分析】根据矩形的性质得出∠CDE=90°,AD=BC=8,AB=DC=4,AO=OC,根据线段垂直平分线性质得出AE=CE,在Rt△CDE中,由勾股定理得出CE2=CD2+DE2,代入求出即可.【解答】解:∵在矩形ABCD中,AB=4,BC=8,∴∠CDE=90°,AD=BC=8,AB=DC=4,AO=OC,∵OE⊥AC,∴AE=CE,在Rt△CDE中,由勾股定理得:CE2=CD2+DE2,即AE2=42+(8﹣AE)2,解得:AE=5,故选B.【点评】本题考查了矩形的性质,勾股定理,线段垂直平分线性质的应用,解此题的关键是得出关于AE 的方程.4.(2015秋•无锡期中)如图,在△ABC中,CF⊥AB 于F,BE⊥AC于E,M为BC的中点,EF=7,BC=10,则△EFM的周长是()A.17 B.21 C.24 D.27【分析】根据CF⊥AB于F,BE⊥AC于E,M为BC 的中点,利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半,求出FM和ME的长,即可求解.【解答】解:∵CF⊥AB,M为BC的中点,∴MF是Rt△BFC斜边上的中线,∴FM=BC=×10=5,同理可得,ME=BC=×10=5,又∵EF=7,∴△EFM的周长=EF+ME+FM=7+5+5=17.故选A.【点评】此题主要考查学生对直角三角形斜边上的中线这个知识点的理解和掌握,解答此题的关键是利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半,求出FM 和ME的长.5.(2015春•乌兰察布校级期中)如图,在矩形ABCD 中,AB=6,AD=8,P是AD上不与A和D重合的一个动点,过点P分别作AC和BD的垂线,垂足为E、F,则PE+PF的值为()A.10 B.4.8 C.6 D.5【分析】连接OP,利用勾股定理列式求出BD,再根据矩形的对角线相等且互相平分求出OA、OD,然后根据S△AOD=S△AOP+S△DOP列方程求解即可.【解答】解:如图,连接OP,∵AB=6,AD=8,∴BD===10,∵四边形ABCD是矩形,∴OA=OD=×10=5,∵S△AOD=S△AOP+S△DOP,∴××6×8=×5•PE+×5•PF,解得PE+PF=4.8.故选B.【点评】本题考查了矩形的性质,三角形的面积,熟记性质并利用三角形的面积列出方程是解题的关键.二.填空题(共4小题)6.(2016春•东平县期中)如图,在矩形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,AE平分∠BAD交BC 于点E,若∠CAE=15°,则∠BOE的度数等于75°.【分析】由矩形ABCD,得到OA=OB,根据AE平分∠BAD,得到等边三角形OAB,推出AB=OB,求出∠OAB、∠OBC的度数,根据平行线的性质和等角对等边得到OB=BE,根据三角形的内角和定理即可求出答案.【解答】解:∵四边形ABCD是矩形,∴AD∥BC,AC=BD,OA=OC,OB=OD,∠BAD=90°,∴OA=OB,∠DAE=∠AEB,∵AE平分∠BAD,∴∠BAE=∠DAE=45°=∠AEB,∴AB=BE,∵∠CAE=15°,∴∠DAC=45°﹣15°=30°,∠BAC=60°,∴△BAO是等边三角形,∴AB=OB,∠ABO=60°,∴∠OBC=90°﹣60°=30°,∵AB=OB=BE,∴∠BOE=∠BEO=(180°﹣30°)=75°.故答案为75°.【点评】本题主要考查了三角形的内角和定理,矩形的性质,等边三角形的性质和判定,平行线的性质,角平分线的性质,等腰三角形的判定等知识点,解此题的关键是求出∠OBC的度数和求OB=BE.7.(2014春•武昌区期中)如图,将平行四边形ABCD 的边DC延长到E,使CE=CD,连接AE交BC于F,∠AFC=n∠D,当n= 2 时,四边形ABEC是矩形.【分析】首先根据四边形ABCD是平行四边形,得到四边形ABEC是平行四边形,然后证得FC=FE,利用对角线互相相等的四边形是矩形判定四边形ABEC是矩形.【解答】解:当∠AFC=2∠D时,四边形ABEC是矩形.∵四边形ABCD是平行四边形,∴BC∥AD,∠BCE=∠D,由题意易得AB∥EC,AB∥EC,∴四边形ABEC是平行四边形.∵∠AFC=∠FEC+∠BCE,∴当∠AFC=2∠D时,则有∠FEC=∠FCE,∴FC=FE,∴四边形ABEC是矩形,故答案为:2.【点评】此题考查了平行四边形的性质以及矩形的判定.此题难度适中,注意掌握数形结合思想的应用,解题的关键是了解矩形的判定定理.8.(2015春•南长区期中)如图,在正五边形ABCDE 中,连接AC、AD、CE,CE交AD于点F,连接BF,则线段AC、BF、CD之间的关系式是AC2+BF2=4CD2.【分析】首先根据菱形的判定方法,判断出四边形ABCF是菱形,再根据菱形的性质,即可判断出AC⊥BF;然后根据勾股定理,可得OB2+OC2=BC2,据此推得AC2+BF2=4CD2即可.【解答】解:∵五边形ABCDE是正五边形,∴AB∥CE,AD∥BC,∴四边形ABCF是平行四边形,又∵AB=BC=CD=DE=EA,∴四边形ABCF是菱形,∴AC⊥BF,∴OB2+OC2=BC2,∵AC=2OC,BF=2OB,∴AC2+BF2=(2OC)2+(2OB)2=4OC2+4OB2=4BC2,又∵BC=CD,∴AC2+BF2=4CD2.故答案为:AC2+BF2=4CD2.【点评】(1)此题主要考查了菱形的判定和性质的应用,要熟练掌握,解答此题的关键是要明确:菱形是在平行四边形的前提下定义的,首先它是平行四边形,但它是特殊的平行四边形,特殊之处就是“有一组邻边相等”,因而就增加了一些特殊的性质和不同于平行四边形的判定方法.(2)此题还考查了勾股定理的应用:在任何一个直角三角形中,两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方,要熟练掌握.9.(2015春•株洲校级期中)如图,在平面直角坐标系中,O为原点,四边形OABC是矩形,A(﹣10,0),C(0,3),点D是OA的中点,点P在BC边上运动,当△ODP是腰长为5的等腰三角形时,点P的坐标是(﹣4,3),或(﹣1,3),或(﹣9,3).【分析】先由矩形的性质求出OD=5,分情况讨论:(1)当OP=OD=5时;根据勾股定理求出PC,即可得出结果;(2)当PD=OD=5时;①作PE⊥OA于E,根据勾股定理求出DE,得出PC,即可得出结果;②作PF⊥OA于F,根据勾股定理求出DF,得出PC,即可得出结果.【解答】解:∵A(﹣10,0),C(0,3),∴OA=10,OC=3,∵四边形OABC是矩形,∴BC=OA=10,AB=OC=3,∵D是OA的中点,∴AD=OD=5,分情况讨论:(1)当OP=OD=5时,根据勾股定理得:PC==4,∴点P的坐标为:(﹣4,3);(2)当PD=OD=5时,分两种情况讨论:①如图1所示:作PE⊥OA于E,则∠PED=90°,DE==4,∴PC=OE=5﹣4=1,∴点P的坐标为:(﹣1,3);②如图2所示:作PF⊥OA于F,则DF==4,∴PC=OF=5+4=9,∴点P的坐标为:(﹣9,3);综上所述:点P的坐标为:(﹣4,3),或(﹣1,3),或(﹣9,3);故答案为:(﹣4,3),或(﹣1,3),或(﹣9,3).【点评】本题考查了矩形的性质、坐标与图形性质、等腰三角形的性质、勾股定理;熟练掌握矩形的性质,并能进行推理计算是解决问题的关键.三.解答题(共31小题)10.(2012春•西城区校级期中)如图,正方形ABCD 中,AE=AB,直线DE交BC于点F,求∠BEF的度数.【分析】设∠BAE=x°,根据正方形性质推出AB=AE=AD,根据等腰三角形性质和三角形的内角和定理求出∠AEB和∠AED的度数,根据平角定义求出即可.【解答】解:设∠BAE=x°,∵四边形ABCD是正方形,∴∠BAD=90°,AB=AD,∵AE=AB,∴AB=AE=AD,∴∠ABE=∠AEB=(180°﹣∠BAE)=90°﹣x°,∠DAE=90°﹣x°,∠AED=∠ADE=(180°﹣∠DAE)=[180°﹣(90°﹣x°)]=45°+x°,∴∠BEF=180°﹣∠AEB﹣∠AED,=180°﹣(90°﹣x°)﹣(45°+x°),=45°,答:∠BEF的度数是45°.【点评】本题考查了三角形的内角和定理,等腰三角形性质,正方形性质的应用,解此题的关键是如何把已知角的未知角结合起来,题目比较典型,但是有一定的难度.11.(2012秋•高淳县期中)如图,梯形ABCD中,AD∥BC,AB=CD,对角线AC、BD交于点O,AC⊥BD,E、F、G、H分别为AB、BC、CD、DA的中点.(1)求证:四边形EFGH为正方形;(2)若AD=1,BC=3,求正方形EFGH的边长.【分析】(1)先由三角形的中位线定理求出四边相等,然后由AC⊥BD入手,进行正方形的判断.(2)连接EG,利用梯形的中位线定理求出EG的长,然后结合(1)的结论求出EH2=2,也即得出了正方形EHGF的边长.【解答】(1)证明:在△ABC中,∵E、F分别是AB、BC的中点,∴EF=同理FG=,GH=,HE=在梯形ABCD中,∵AB=DC,∴AC=BD,∴EF=FG=GH=HE∴四边形EFGH为菱形.设AC与EH交于点M在△ABD中,∵E、H分别是AB、AD的中点,∴EH∥BD,同理GH∥AC又∵AC⊥BD,∴∠BOC=90°.∴∠EHG=∠EMC=∠BOC=90°∴四边形EFGH为正方形.(2)解:连接EG,在梯形ABCD中,∵E、G分别是AB、DC的中点,∴EG=(AD+BC)=(1+3)=2,在Rt△HEG中,EG2=EH2+HG2,4=2EH2,EH2=2,则EH=.即四边形EFGH的边长为.【点评】此题考查了等腰梯形的性质及三角形、梯形的中位线定理,解答本题的关键是根据三角形的中位线定理得出EH=HG=GF=FE,这是本题的突破口.12.(2013秋•青岛期中)如图,点E、F分别是正方形ABCD的边CD和AD的中点,BE和CF交于点P.求证:AP=AB.【分析】延长CF、BA交于点M,先证△BCE≌△CDF,再证△CDF≌△AMF得BA=MA由直角三角形中斜边中线等于斜边的一半,可得Rt△MBP中AP=BM,即AP=AB.【解答】证明:延长CF、BA交于点M,∵点E、F分别是正方形ABCD的边CD和AD的中点,∴BC=CD,∠BCE=∠CDF,CE=DF,∴△BCE≌△CDF,∴∠CBE=∠DCF.∵∠DCF+∠BCP=90°,∴∠CBE+∠BCP=90°,∴∠BPM=∠CBE+∠BCP=90°.又∵FD=FA,∠CDF=∠MAF,∠CFD=∠MFA,∴△CDF≌△AMF,∴CD=AM.∵CD=AB,∴AB=AM.∴PA是直角△BPM斜边BM上的中线,∴AP=BM,即AP=AB.【点评】本题考查了正方形各边长相等、各内角为直角的性质,全等三角形的判定和对应边相等的性质,直角三角形斜边中线长为斜边长一半的性质,本题中求证△CDF≌△AMF是解题的关键.13.(2015春•禹州市期中)如图,点P为正方形ABCD 对角线BD上一点,PE⊥BC于E,PF⊥DC于F.(1)求证:PA=EF;(2)若正方形ABCD的边长为a,求四边形PFCE的周长.【分析】(1)连接PC,证四边形PFCE是矩形,求出EF=PC,证△ABP≌△CBP,推出AP=PC即可;(2)证△CBD是等腰直角三角形,求出BF、PF,求出周长即可.【解答】解:证明:(1)连接PC,∵四边形ABCD是正方形,∴AB=CB,∠ABD=∠CBD=45°,∠C=90°,在△ABP与△CBP中,,∴△ABP≌△CBP(SAS),∴PA=PC,∵PE⊥BC,PF⊥CD,∴∠PFC=90°,∠PEC=90°.又∵∠C=90°,∴四边形PFCE是矩形,∴EF=PC,∴PA=EF.(2)由(1)知四边形PFCE是矩形,∴PE=CF,PF=CE,又∵∠CBD=45°,∠PEB=90°,∴BE=PE,又BC=a,∴矩形PFCE的周长为2(PE+EC)=2(BE+EC)=2BC=2a.【点评】本题主要考查正方形的性质,全等三角形的性质和判定等知识点的连接和掌握,能证出AP=PC 是解此题的关键.14.(2015秋•福建校级期中)如图1,在正方形ABCD 中,点E为BC上一点,连接DE,把△DEC沿DE 折叠得到△DEF,延长EF交AB于G,连接DG.(1)求∠EDG的度数.(2)如图2,E为BC的中点,连接BF.①求证:BF∥DE;②若正方形边长为6,求线段AG的长.【分析】(1)由正方形的性质可得DC=DA.∠A=∠B=∠C=∠ADC=90°,由折叠的性质得出∠DFE=∠C,DC=DF,∠1=∠2,再求出∠DFG=∠A,DA=DF,然后由“HL”证明Rt△DGA≌Rt△DGF,由全等三角形对应角相等得出∠3=∠4,得出∠2+∠3=45°即可;(2)①由折叠的性质和线段中点的定义可得CE=EF=BE,∠DEF=∠DEC,再由三角形的外角性质得出∠5=∠DEC,然后利用同位角相等,两直线平行证明即可;②设AG=x,表示出GF、BG,根据点E是BC的中点求出BE、EF,从而得到GE的长度,再利用勾股定理列出方程求解即可;【解答】(1)解:如图1所示:∵四边形ABCD是正方形,∴DC=DA.∠A=∠B=∠C=∠ADC=90°,∵△DEC沿DE折叠得到△DEF,∴∠DFE=∠C,DC=DF,∠1=∠2,∴∠DFG=∠A=90°,DA=DF,在Rt△DGA和Rt△DGF中,,∴Rt△DGA≌Rt△DGF(HL),∴∠3=∠4,∴∠EDG=∠3+∠2=∠ADF+∠FDC,=(∠ADF+∠FDC),=×90°,=45°;(2)①证明:如图2所示:∵△DEC沿DE折叠得到△DEF,E为BC的中点,∴CE=EF=BE,∠DEF=∠DEC,∴∠5=∠6,∵∠FEC=∠5+∠6,∴∠DEF+∠DEC=∠5+∠6,∴2∠5=2∠DEC,即∠5=∠DEC,∴BF∥DE;②解:设AG=x,则GF=x,BG=6﹣x,∵正方形边长为6,E为BC的中点,∴CE=EF=BE=×6=3,∴GE=EF+GF=3+x,在Rt△GBE中,根据勾股定理得:(6﹣x)2+32=(3+x)2,解得:x=2,即线段AG的长为2.【点评】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理、翻折变换的性质;熟练掌握正方形的性质,并能进行推理论证与计算是解决问题的关键.15.(2016春•召陵区期中)如图①,在正方形ABCD 中,F是对角线AC上的一点,点E在BC的延长线上,且BF=EF.(1)求证:BF=DF;(2)求证:∠DFE=90°;(3)如果把正方形ABCD改为菱形,其他条件不变(如图②),当∠ABC=50°时,∠DFE=50 度.【分析】(1)根据正方形的四条边都相等可得BC=DC,对角线平分一组对角可得∠BCF=∠DCF,然后利用“边角边”证明即可;(2)易证∠FBE=∠FEB,又因为∠FBE=∠FDC,所以可证明∠FEB=∠FDC,进而可证明∠DFE=90°;(3)根据全等三角形对应角相等可得∠CBF=∠CDF,根据等边对等角可得∠CBF=∠E,然后求出∠DFE=∠DCE,再根据两直线平行,同位角相等可得∠DCE=∠ABC,从而得解.【解答】(1)证明:在正方形ABCD中,BC=DC,∠BCF=∠DCF=45°,∵在△BCF和△DCF中,,∴△BCF≌△DCF(SAS);∴BF=DF;(2)证明:∵BF=EF,∴∠FBE=∠FEB,又∵∠FBE=∠FDC,∴∠FEB=∠FDC,又∵∠DGF=∠EGC,∴∠DFG=∠ECG=90°,即∠DFE=90°;(3)证明:由(1)知,△BCF≌△DCF,∴∠CBF=∠CDF,∵EE=FB,∴∠CBF=∠E,∵∠DGF=∠EGC(对顶角相等),∴180°﹣∠DGF﹣∠CDF=180°﹣∠EGC﹣∠E,即∠DFE=∠DCE,∵AB∥CD,∴∠DCE=∠ABC,∴∠DFE=∠ABC=50°,故答案为:50.【点评】本题考查了正方形的性质,全等三角形的判定与性质,菱形的性质,等边对等角的性质,熟记正方形的性质确定出∠BCF=∠DCF是解题的关键.16.(2015秋•泗县期中)已知正方形ABCD中,对角线AC、BD相交于O.①如图1,若E是AC上的点,过A 作AG⊥BE于G,AG、BD交于F,求证:OE=OF②如图2,若点E在AC的延长线上,AG⊥EB交EB 的延长线于G,AG延长DB延长线于点F,其它条件不变,OE=OF还成立吗?【分析】①由正方形的性质得出OA=OB,AC⊥BD,得出∠BOE=∠AOF=90°,由角的互余关系得出∠OBE=∠OAF,由ASA证明△BOE≌△AOF,得出对应边相等即可;②由正方形的性质得出OA=OB,AC⊥BD,得出∠BOE=∠AOF=90°,由角的互余关系得出∠OBE=∠OAF,由ASA证明△BOE≌△AO F,得出对应边相等即可.【解答】①证明:∵四边形ABCD是正方形,∴OA=OB,AC⊥BD,∴∠BOE=∠AOF=90°,∴∠OEB+∠OBE=90°,∵AG⊥BE,∴∠AGE=90°,∴∠OEB+∠OAF=90°,∴∠OBE=∠OAF,在△BOE和△AOF中,,∴△BOE≌△AOF(ASA),∴OE=OF;②解:OE=OF还成立;理由如下:∵四边形ABCD是正方形,∴OA=OB,AC⊥BD,∴∠BOE=∠AOF=90°,∴∠OEB+∠OBE=90°,∵AG⊥BE,∴∠AGE=90°,∴∠OEB+∠OAF=90°,∴∠OBE=∠OAF,在△BOE和△AOF中,,∴△BOE≌△AOF(ASA),∴OE=OF.【点评】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质;熟练掌握正方形的性质,并能进行推理论证是解决问题的关键.17.(2016春•邳州市期中)如图,点P是菱形ABCD 中对角线AC上的一点,且PE=PB.(1)求证:PE=PD;(2)求证:∠PDC=∠PEB;(3)若∠BAD=80°,连接DE,试求∠PDE的度数,并说明理由.【分析】(1)由菱形的性质得出AB=BC=CD=AD,AB∥CD,∠DCP=∠BCP,由SAS证明△CDP≌△CBP,得出PB=PD,再由PE=PB,即可得出结论;(2)由等腰三角形的性质得出∠PBC=∠PEB,由全等三角形的性质得出∠PDC=∠PBC,即可得出∠PDC=∠PEB;(3)由四边形内角和定理得出∠DPE=100°,由等腰三角形的性质和三角形内角和定理即可得出结果.【解答】(1)解:∵四边形ABCD是菱形,∴AB=BC=CD=AD,AB∥CD,∠DCP=∠BCP,在△DCP和△BCP中,,∴△CDP≌△CBP(SAS),∴PB=PD,∵PE=PB,∴PE=PD;(2)证明:∵PE=PB,∴∠PBC=∠PEB,∵△CDP≌△CBP,∴∠PDC=∠PBC,∴∠PDC=∠PEB;(3)解:如图所示:∠PDE=40°;理由如下:在四边形DPEC中,∵∠DPE=360°﹣(∠PDC+∠PEC+∠DCB)=360°﹣(∠PEB+∠PEC+∠DCB)=360°﹣(180°+80°)=100°,∵PE=PD∴∠PDE=∠PED=40°.【点评】本题考查了菱形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质;熟练掌握菱形的性质,证明三角形全等是解决问题的关键.18.(2016春•昆山市期中)如图,正方形ABCD中,AB=1,点P是BC边上的任意一点(异于端点B、C),连接AP,过B、D两点作BE⊥AP于点E,DF⊥AP 于点F.(1)求证:EF=DF﹣BE;(2)若△ADF的周长为,求EF的长.【分析】(1)由正方形的性质得出AD=AB,证出∠DAF=∠ABE,由AAS证明△ADF≌△BAE,得出AF=BE,DF=AE,即可得出结论;(2)设DF=a,AF=b,EF=DF﹣AF=a﹣b>0,由已知条件得出DF+AF=,即a+b=,由勾股定理得出a2+b2=1,再由完全平方公式得出a﹣b即可.【解答】(1)证明:∵BE⊥AP,DF⊥AP,∴∠DFA=∠AEB=90°,∠ABE+∠BAE=90°,∵四边形ABCD为正方形,∴AD=AB,∠DAB=90°=∠DAF+∠BAE,∴∠DAF=∠ABE,在△ADF和△BAE中,,∴△ADF≌△BAE(AAS),∴AF=BE,DF=AE,∴EF=AE﹣AF=DF﹣BE;(2)解:设DF=a,AF=b,EF=DF﹣AF=a﹣b>0,∵△ADF的周长为,AD=1,∴DF+AF=,即a+b=,由勾股定理得:DF2+AF2=AD2,即a2+b2=1,∴(a﹣b)2=2(a2+b2)﹣(a+b)2=2﹣=,∴a﹣b=,即EF=.【点评】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识;熟练掌握正方形的性质,由勾股定理得出a与b的关系式是解决问题(2)的关键.19.(2015春•繁昌县期中)如图,正方形ABCD的对角线AC、BD的交点为O,以O为端点引两条互相垂直的射线OM、ON,分别交边AB、BC于点E、F.(1)求证:0E=OF;(2)若正方形的边长为4,求EF的最小值.【分析】(1)根据正方形的性质可得∠EAO=∠FBO=45°,OA=OB,再根据同角的余角相等可得∠AOE=∠BOE,然后利用“角边角”证明△AOE和△BOF全等,根据全等三角形对应边相等即可得证;(2)根据等腰直角三角形△EOF,当OE最小时,再根据勾股定理得出EF的最小值.【解答】解:(1)∵四边形ABCD是正方形,∴OA=OB,∠AOB=90°,∠EAO=∠FBO=45°,∴∠AOE+∠BOE=90°,∵OE⊥OF,∴∠BOF+∠BOE=90°,∴∠AOE=∠BOF,在△AOE与△BOF中,,∴△AOE≌△BOF(ASA),∴OE=OF;(2)由(1)可知,△EOF是等腰直角三角形,∠EOF 是直角,当OE最小时,EF的值最小,∵OA=OB,OE⊥AB,∴点E是AB的中点,∴OE=AB,∵AB=4,∴OE=2,∴EF=,即EF的最小值是2.【点评】本题考查了正方形的性质,解决此类问题的关键是正确的利用旋转不变量.正确作出辅助线是关键.20.(2016春•江宁区期中)如图,在正方形ABCD中,点E是边AD上任意一点,BE的垂直平分线FG交对角AC于点F.求证:(1)BF=DF;(2)BF⊥FE.【分析】(1)由正方形的性质得出AB=AD,∠BAF=∠DAF=45°,由SAS证明△BAF≌△DAF,得出对应边相等即可;(2)由线段垂直平分线的性质得出BF=EF,证出EF=DF,得出∠FDE=∠FED,再由全等三角形的性质证出∠ABF=∠FED,由邻补角关系得出∠FED+∠FEA=180°,证出∠ABF+∠FEA=180°,由四边形内角和得出∠BAE+∠BFE=180°,求出∠BFE=90°即可.【解答】证明:如图所示:(1)∵四边形ABCD是正方形,∴AB=AD,∠BAF=∠DAF=45°,∠BAE=90°,在△BAF和△DAF中,,∴△BAF≌△DAF(SAS),∴BF=DF;(2)∵BE的垂直平分线FG交对角AC于点F,∴BF=EF,∵BF=DF,∴EF=DF,∴∠FDE=∠FED,∵△BAF≌△DAF,∴∠ABF=∠FDE,∴∠ABF=∠FED,∵∠FED+∠FEA=180°,∴∠ABF+∠FEA=180°,∴∠BAE+∠BFE=180°,∴∠BFE=90°,∴BF⊥FE.【点评】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、四边形内角和定理等知识;熟练掌握正方形的性质,证明三角形全等是解决问题的关键.。
初二数学平行四边形和特殊四边形提高练习与常考题和培优题(含解析)之欧阳科创编

初二数学平行四边形和特殊四边形提高练习常考题和培优题时间:2021.02.05 创作:欧阳科一.选择题(共5小题)1.如图,把大小相同的两个矩形拼成如下形状,则△FBD 是()A.等边三角形B.等腰直角三角形C.一般三角形D.等腰三角形2.如图,正方形ABCD和正方形CEFG中,点D在CG上,BC=,CE=3,H是AF的中点,那么CH的长是()A.3.5 B.C.D.23.如图,在矩形ABCD中,AB=4,BC=8,对角线AC、BD 相交于点O,过点O作OE垂直AC交AD于点E,则AE的长是()A.3 B.5 C.2.4 D.2.54.如图,在△ABC中,CF⊥AB于F,BE⊥AC于E,M为BC的中点,EF=7,BC=10,则△EFM的周长是()A.17 B.21 C.24 D.275.如图,在矩形ABCD中,AB=6,AD=8,P是AD上不与A和D重合的一个动点,过点P分别作AC和BD的垂线,垂足为E、F,则PE+PF的值为()A.10 B.4.8 C.6 D.5二.填空题(共4小题)6.如图,在矩形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,AE平分∠BAD交BC于点E,若∠CAE=15°,则∠BOE的度数等于.7.如图,将平行四边形ABCD的边DC延长到E,使CE=CD,连接AE交BC于F,∠AFC=n∠D,当n=时,四边形ABEC 是矩形.8.如图,在正五边形ABCDE中,连接AC、AD、CE,CE 交AD于点F,连接BF,则线段AC、BF、CD之间的关系式是.9.如图,在平面直角坐标系中,O为原点,四边形OABC 是矩形,A(﹣10,0),C(0,3),点D是OA的中点,点P在BC边上运动,当△ODP是腰长为5的等腰三角形时,点P的坐标是.三.解答题(共31小题)10.如图,正方形ABCD中,AE=AB,直线DE交BC于点F,求∠BEF的度数.11.如图,梯形ABCD中,AD∥BC,AB=CD,对角线AC、BD交于点O,AC⊥BD,E、F、G、H分别为AB、BC、CD、DA的中点.(1)求证:四边形EFGH为正方形;(2)若AD=1,BC=3,求正方形EFGH的边长.12.如图,点E、F分别是正方形ABCD的边CD和AD的中点,BE和CF交于点P.求证:AP=AB.13.如图,点P为正方形ABCD对角线BD上一点,PE⊥BC 于E,PF⊥DC于F.(1)求证:PA=EF;(2)若正方形ABCD的边长为a,求四边形PFCE的周长.14.如图1,在正方形ABCD中,点E为BC上一点,连接DE,把△DEC沿DE折叠得到△DEF,延长EF交AB于G,连接DG.(1)求∠EDG的度数.(2)如图2,E为BC的中点,连接BF.①求证:BF∥DE;②若正方形边长为6,求线段AG的长.15.如图①,在正方形ABCD中,F是对角线AC上的一点,点E在BC的延长线上,且BF=EF.(1)求证:BF=DF;(2)求证:∠DFE=90°;(3)如果把正方形ABCD改为菱形,其他条件不变(如图②),当∠ABC=50°时,∠DFE=度.16.已知正方形ABCD中,对角线AC、BD相交于O.①如图1,若E是AC上的点,过A 作AG⊥BE于G,AG、BD交于F,求证:OE=OF②如图2,若点E在AC的延长线上,AG⊥EB交EB的延长线于G,AG延长DB延长线于点F,其它条件不变,OE=OF 还成立吗?17.如图,点P是菱形ABCD中对角线AC上的一点,且PE=PB.(1)求证:PE=PD;(2)求证:∠PDC=∠PEB;(3)若∠BAD=80°,连接DE,试求∠PDE的度数,并说明理由.18.如图,正方形ABCD中,AB=1,点P是BC边上的任意一点(异于端点B、C),连接AP,过B、D两点作BE⊥AP 于点E,DF⊥AP于点F.(1)求证:EF=DF﹣BE;(2)若△ADF的周长为,求EF的长.19.如图,正方形ABCD的对角线AC、BD的交点为O,以O为端点引两条互相垂直的射线OM、ON,分别交边AB、BC于点E、F.(1)求证:0E=OF;(2)若正方形的边长为4,求EF的最小值.20.如图,在正方形ABCD中,点E是边AD上任意一点,BE的垂直平分线FG交对角AC于点F.求证:(1)BF=DF;(2)BF⊥FE.21.已知:如图所示,四边形ABCD中,∠ABC=∠ADC=90°,M是AC上任一点,O是BD的中点,连接MO,并延长MO 到N,使NO=MO,连接BN与ND.(1)判断四边形BNDM的形状,并证明;(2)若M是AC的中点,则四边形BNDM的形状又如何?说明理由.22.如图,在△ABC中,O是边AC上的一动点,过点O作直线MN∥BC,设MN交∠BCA的平分线于点E,交∠BCA 的外角平分线于点F.(1)求证:OE=OF;(2)当点O运动到何处时,四边形AECF是矩形?23.(1)如图矩形ABCD的对角线AC、BD交于点O,过点D作DP∥OC,且DP=OC,连接CP,判断四边形CODP的形状并说明理由.(2)如果题目中的矩形变为菱形,结论应变为什么?说明理由.(3)如果题目中的矩形变为正方形,结论又应变为什么?说明理由.24.如图1,已知AB∥CD,AB=CD,∠A=∠D.(1)求证:四边形ABCD为矩形;(2)E是AB边的中点,F为AD边上一点,∠DFC=2∠BCE.①如图2,若F为AD中点,DF=1.6,求CF的长度:②如图2,若CE=4,CF=5,则AF+BC=,AF=.25.如图,直线a、b相交于点A,C、E分别是直线b、a 上两点且BC⊥a,DE⊥b,点M、N是EC、DB的中点.求证:MN⊥BD.26.如图所示,在梯形ABCD中,AD∥BC,∠B=90°,AD=24cm,BC=26cm,动点P从点A出发沿AD方向向点D 以1cm/s的速度运动,动点Q从点C开始沿着CB方向向点B以3cm/s的速度运动.点P、Q分别从点A和点C同时出发,当其中一点到达端点时,另一点随之停止运动.(1)经过多长时间,四边形PQCD是平行四边形?(2)经过多长时间,四边形PQBA是矩形?(3)经过多长时间,当PQ不平行于CD时,有PQ=CD.27.如图,E、F是正方形ABCD的边AD上的两个动点,满足AE=DF.连接CF交BD于G,连接BE交AG于H.已知正方形ABCD的边长为4cm,解决下列问题:(1)求证:BE⊥AG;(2)求线段DH的长度的最小值.28.如图,点M是矩形ABCD的边AD的中点,点P是BC 边上一动点,PE⊥MC,PF⊥BM,垂足为E、F.(1)当矩形ABCD的长与宽满足什么条件时,四边形PEMF 为矩形?猜想并证明你的结论.(2)在(1)中,当点P运动到什么位置时,矩形PEMF变为正方形,为什么?29.某校数学兴趣小组开展了一次课外活动,过程如下:如图①,正方形ABCD中,AB=4,将三角板放在正方形ABCD 上,使三角板的直角顶点与D点重合.三角板的一边交AB 于点P,另一边交BC的延长线于点Q.(1)求证:AP=CQ;(2)如图②,小明在图1的基础上作∠PDQ的平分线DE 交BC于点E,连接PE,他发现PE和QE存在一定的数量关系,请猜测他的结论并予以证明;(3)在(2)的条件下,若AP=1,求PE的长.30.如图,在菱形ABCD中,AB=4cm,∠ADC=120°,点E、F同时由A、C两点出发,分别沿AB、CB方向向点B匀速移动(到点B为止),点E的速度为1cm/s,点F的速度为2cm/s,经过t秒△DEF为等边三角形,求t的值.31.如图,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,点D是AC的中点,作∠ADB的角平分线DE交AB于点E,(1)求证:DE∥BC;(2)若AE=3,AD=5,点P为BC上的一动点,当BP为何值时,△DEP为等腰三角形.请直接写出所有BP的值.32.已知:如图,BF、BE分别是∠ABC及其邻补角的角平分线,AE⊥BE,垂足为点E,AF⊥BF,垂足为点F.EF分别交边AB、AC于点M、N.求证:(1)四边形AFBE是矩形;(2)BC=2MN.33.如图,在边长为5的菱形ABCD中,对角线BD=8,点O是直线BD上的动点,OE⊥AB于E,OF⊥AD于F.(1)对角线AC的长是,菱形ABCD的面积是;(2)如图1,当点O在对角线BD上运动时,OE+OF的值是否发生变化?请说明理由;(3)如图2,当点O在对角线BD的延长线上时,OE+OF 的值是否发生变化?若不变请说明理由,若变化,请直接写出OE、OF之间的数量关系,不用明理由.34.如图,已知Rt△ABD≌Rt△FEC,且B、D、C、E在同一直线上,连接BF、AE.(1)求证:四边形ABFE是平行四边形.(2)若∠ABD=60°,AB=2cm,DC=4cm,将△ABD沿着BE 方向以1cm/s的速度运动,设△ABD运动的时间为t,在△ABD运动过程中,试解决以下问题:(1)当四边形ABEF是菱形时,求t的值;(2)是否存在四边形ABFE是矩形的情形?如果存在,求出t的值,如果不存在,请说明理由.35.已知,矩形ABCD中,AB=4cm,BC=8cm,AC的垂直平分线EF分别交AD、BC于点E、F,垂足为O.(1)如图1,连接AF、CE.求证:四边形AFCE为菱形.(2)如图1,求AF的长.(3)如图2,动点P、Q分别从A、C两点同时出发,沿△AFB 和△CDE各边匀速运动一周.即点P自A→F→B→A停止,点Q自C→D→E→C停止.在运动过程中,点P的速度为每秒1cm,设运动时间为t秒.①问在运动的过程中,以A、P、C、Q四点为顶点的四边形有可能是矩形吗?若有可能,请求出运动时间t和点Q的速度;若不可能,请说明理由.②若点Q的速度为每秒0.8cm,当A、P、C、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时,求t的值.36.如图1,E,F是正方形ABCD的边上两个动点,满足AE=DF,连接CF交BD于G,连接BE交AG于点H(1)求证:AG⊥BE;(2)如图2,连DH,若正方形的边长为4,则线段DH长度的最小值是.37.如图,在菱形ABCD中,AB=2,∠DAB=60°,点E时AD边的中点,点M时AB边上的一个动点(不与点A重合),延长ME交CD的延长线于点N,连接MD,AN.(1)求证:四边形AMDN是平行四边形.(2)填空:①当AM的值为时,四边形AMDN是矩形;②当AM的值为时,四边形AMDN是菱形.38.如图,已知正方形OABC的边长为4,顶点A、C分别在x、y轴的正半轴上,M是BC的中点,点P(0,m)是线段oc上的一动点9点P不与点O、C重合0,直线PM交AB的延长线于点D.(1)求点D的坐标;(用含m的代数式表示)(2)若△APD是以AP边为一腰的等腰三角形,求m的值.39.如图,在△ABC中,∠ABC=90°,点D为AC的中点,过点C作CE⊥BD于点E,过点A作BD的平行线,交CE的延长线于点F,在AF的延长线上截取FG=BD,连接BG、DF.(1)证明:四边形BDFG是菱形;(2)若AC=10,CF=6,求线段AG的长度.40.如图,在正方形ABCD中,点E在边AD上,点F在边BC的延长线上,连接EF与边CD相交于点G,连接BE与对角线AC相交于点H,AE=CF,BE=EG.(1)求证:EF∥AC;(2)求∠BEF大小;(3)若EB=4,则△BAE的面积为.初二数学平行四边形和特殊四边形提高练习常考题和培优题参考答案与试题解析一.选择题(共5小题)1.(2012春•炎陵县校级期中)如图,把大小相同的两个矩形拼成如下形状,则△FBD是()A.等边三角形B.等腰直角三角形C.一般三角形D.等腰三角形【分析】根据正方形性质得出FG=BC,∠G=∠C=90°,GB=CD,根据SAS证△FGB≌△BCD,推出∠FBG=∠BDC,BF=BD,求出∠DBC+∠FBG=90°,求出∠FBD的度数即可.【解答】解:∵大小相同的两个矩形GFEB、ABCD,∴FG=BE=AD=BC,GB=EF=AB=CD,∠G=∠C=∠ABG=∠ABC=90°,∵在△FGB和△BCD中,∴△FGB≌△BCD,∴∠FBG=∠BDC,BF=BD,∵∠BDC+∠DBC=90°,∴∠DBC+∠FBG=90°,∴∠FBD=180°﹣90°=90°,即△FBD是等腰直角三角形,故选B.【点评】本题考查了等腰直角三角形,全等三角形的性质和判定,正方形性质的应用,关键是证出△FGB≌△BCD,主要考查学生运用性质进行推理的能力.2.(2015春•江阴市期中)如图,正方形ABCD和正方形CEFG 中,点D在CG上,BC=,CE=3,H是AF的中点,那么CH的长是()A.3.5 B.C.D.2【分析】根据正方形的性质求出AB=BC=,CE=EF=3,∠E=90°,延长AD交EF于M,连接AC、CF,求出AM=4,FM=2,∠AMF=90°,根据正方形性质求出∠ACF=90°,根据直角三角形斜边上的中线性质求出CH=AF,根据勾股定理求出AF即可.【解答】解:∵正方形ABCD和正方形CEFG中,点D在CG 上,BC=,CE=3,∴AB=BC=,CE=EF=3,∠E=90°,延长AD交EF于M,连接AC、CF,则AM=BC+CE=4,FM=EF﹣AB=2,∠AMF=90°,∵四边形ABCD和四边形GCEF是正方形,∴∠ACD=∠GCF=45°,∴∠ACF=90°,∵H为AF的中点,∴CH=AF,在Rt△AMF中,由勾股定理得:AF==2,∴CH=,故选:C.【点评】本题考查了勾股定理,正方形的性质,直角三角形斜边上的中线的应用,解此题的关键是能正确作出辅助线,并求出AF的长和得出CH=AF,有一定的难度.3.(2015春•泗洪县校级期中)如图,在矩形ABCD中,AB=4,BC=8,对角线AC、BD相交于点O,过点O作OE垂直AC 交AD于点E,则AE的长是()A.3 B.5 C.2.4 D.2.5【分析】根据矩形的性质得出∠CDE=90°,AD=BC=8,AB=DC=4,AO=OC,根据线段垂直平分线性质得出AE=CE,在Rt△CDE中,由勾股定理得出CE2=CD2+DE2,代入求出即可.【解答】解:∵在矩形ABCD中,AB=4,BC=8,∴∠CDE=90°,AD=BC=8,AB=DC=4,AO=OC,∵OE⊥AC,∴AE=CE,在Rt△CDE中,由勾股定理得:CE2=CD2+DE2,即AE2=42+(8﹣AE)2,解得:AE=5,故选B.【点评】本题考查了矩形的性质,勾股定理,线段垂直平分线性质的应用,解此题的关键是得出关于AE的方程.4.(2015秋•无锡期中)如图,在△ABC中,CF⊥AB于F,BE⊥AC于E,M为BC的中点,EF=7,BC=10,则△EFM的周长是()A.17 B.21 C.24 D.27【分析】根据CF⊥AB于F,BE⊥AC于E,M为BC的中点,利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半,求出FM和ME的长,即可求解.【解答】解:∵CF⊥AB,M为BC的中点,∴MF是Rt△BFC斜边上的中线,∴FM=BC=×10=5,同理可得,ME=BC=×10=5,又∵EF=7,∴△EFM的周长=EF+ME+FM=7+5+5=17.故选A.【点评】此题主要考查学生对直角三角形斜边上的中线这个知识点的理解和掌握,解答此题的关键是利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半,求出FM和ME的长.5.(2015春•乌兰察布校级期中)如图,在矩形ABCD中,AB=6,AD=8,P是AD上不与A和D重合的一个动点,过点P分别作AC和BD的垂线,垂足为E、F,则PE+PF的值为()A.10 B.4.8 C.6 D.5【分析】连接OP,利用勾股定理列式求出BD,再根据矩形的对角线相等且互相平分求出OA、OD,然后根据S△AOD=S△AOP+S△DOP列方程求解即可.【解答】解:如图,连接OP,∵AB=6,AD=8,∴BD===10,∵四边形ABCD是矩形,∴OA=OD=×10=5,∵S△AOD=S△AOP+S△DOP,∴××6×8=×5•PE+×5•PF,解得PE+PF=4.8.故选B.【点评】本题考查了矩形的性质,三角形的面积,熟记性质并利用三角形的面积列出方程是解题的关键.二.填空题(共4小题)6.(2016春•东平县期中)如图,在矩形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,AE平分∠BAD交BC于点E,若∠CAE=15°,则∠BOE的度数等于75°.【分析】由矩形ABCD,得到OA=OB,根据AE平分∠BAD,得到等边三角形OAB,推出AB=OB,求出∠OAB、∠OBC 的度数,根据平行线的性质和等角对等边得到OB=BE,根据三角形的内角和定理即可求出答案.【解答】解:∵四边形ABCD是矩形,∴AD∥BC,AC=BD,OA=OC,OB=OD,∠BAD=90°,∴OA=OB,∠DAE=∠AEB,∵AE平分∠BAD,∴∠BAE=∠DAE=45°=∠AEB,∴AB=BE,∵∠CAE=15°,∴∠DAC=45°﹣15°=30°,∠BAC=60°,∴△BAO是等边三角形,∴AB=OB,∠ABO=60°,∴∠OBC=90°﹣60°=30°,∵AB=OB=BE,∴∠BOE=∠BEO=(180°﹣30°)=75°.故答案为75°.【点评】本题主要考查了三角形的内角和定理,矩形的性质,等边三角形的性质和判定,平行线的性质,角平分线的性质,等腰三角形的判定等知识点,解此题的关键是求出∠OBC的度数和求OB=BE.7.(2014春•武昌区期中)如图,将平行四边形ABCD的边DC延长到E,使CE=CD,连接AE交BC于F,∠AFC=n∠D,当n= 2 时,四边形ABEC是矩形.【分析】首先根据四边形ABCD是平行四边形,得到四边形ABEC是平行四边形,然后证得FC=FE,利用对角线互相相等的四边形是矩形判定四边形ABEC是矩形.【解答】解:当∠AFC=2∠D时,四边形ABEC是矩形.∵四边形ABCD是平行四边形,∴BC∥AD,∠BCE=∠D,由题意易得AB∥EC,AB∥EC,∴四边形ABEC是平行四边形.∵∠AFC=∠FEC+∠BCE,∴当∠AFC=2∠D时,则有∠FEC=∠FCE,∴FC=FE,∴四边形ABEC是矩形,故答案为:2.【点评】此题考查了平行四边形的性质以及矩形的判定.此题难度适中,注意掌握数形结合思想的应用,解题的关键是了解矩形的判定定理.8.(2015春•南长区期中)如图,在正五边形ABCDE中,连接AC、AD、CE,CE交AD于点F,连接BF,则线段AC、BF、CD之间的关系式是AC2+BF2=4CD2.【分析】首先根据菱形的判定方法,判断出四边形ABCF是菱形,再根据菱形的性质,即可判断出AC⊥BF;然后根据勾股定理,可得OB2+OC2=BC2,据此推得AC2+BF2=4CD2即可.【解答】解:∵五边形ABCDE是正五边形,∴AB∥CE,AD∥BC,∴四边形ABCF是平行四边形,又∵AB=BC=CD=DE=EA,∴四边形ABCF是菱形,∴AC⊥BF,∴OB2+OC2=BC2,∵AC=2OC,BF=2OB,∴AC2+BF2=(2OC)2+(2OB)2=4OC2+4OB2=4BC2,又∵BC=CD,∴AC2+BF2=4CD2.故答案为:AC2+BF2=4CD2.【点评】(1)此题主要考查了菱形的判定和性质的应用,要熟练掌握,解答此题的关键是要明确:菱形是在平行四边形的前提下定义的,首先它是平行四边形,但它是特殊的平行四边形,特殊之处就是“有一组邻边相等”,因而就增加了一些特殊的性质和不同于平行四边形的判定方法.(2)此题还考查了勾股定理的应用:在任何一个直角三角形中,两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方,要熟练掌握.9.(2015春•株洲校级期中)如图,在平面直角坐标系中,O为原点,四边形OABC是矩形,A(﹣10,0),C(0,3),点D是OA的中点,点P在BC边上运动,当△ODP是腰长为5的等腰三角形时,点P的坐标是(﹣4,3),或(﹣1,3),或(﹣9,3).【分析】先由矩形的性质求出OD=5,分情况讨论:(1)当OP=OD=5时;根据勾股定理求出PC,即可得出结果;(2)当PD=OD=5时;①作PE⊥OA于E,根据勾股定理求出DE,得出PC,即可得出结果;②作PF⊥OA于F,根据勾股定理求出DF,得出PC,即可得出结果.【解答】解:∵A(﹣10,0),C(0,3),∴OA=10,OC=3,∵四边形OABC是矩形,∴BC=OA=10,AB=OC=3,∵D是OA的中点,∴AD=OD=5,分情况讨论:(1)当OP=OD=5时,根据勾股定理得:PC==4,∴点P的坐标为:(﹣4,3);(2)当PD=OD=5时,分两种情况讨论:①如图1所示:作PE⊥OA于E,则∠PED=90°,DE==4,∴PC=OE=5﹣4=1,∴点P的坐标为:(﹣1,3);②如图2所示:作PF⊥OA于F,则DF==4,∴PC=OF=5+4=9,∴点P的坐标为:(﹣9,3);综上所述:点P的坐标为:(﹣4,3),或(﹣1,3),或(﹣9,3);故答案为:(﹣4,3),或(﹣1,3),或(﹣9,3).【点评】本题考查了矩形的性质、坐标与图形性质、等腰三角形的性质、勾股定理;熟练掌握矩形的性质,并能进行推理计算是解决问题的关键.三.解答题(共31小题)10.(2012春•西城区校级期中)如图,正方形ABCD中,AE=AB,直线DE交BC于点F,求∠BEF的度数.【分析】设∠BAE=x°,根据正方形性质推出AB=AE=AD,根据等腰三角形性质和三角形的内角和定理求出∠AEB和∠AED的度数,根据平角定义求出即可.【解答】解:设∠BAE=x°,∵四边形ABCD是正方形,∴∠BAD=90°,AB=AD,∵AE=AB,∴AB=AE=AD,∴∠ABE=∠AEB=(180°﹣∠BAE)=90°﹣x°,∠DAE=90°﹣x°,∠AED=∠ADE=(180°﹣∠DAE)=[180°﹣(90°﹣x°)]=45°+x°,∴∠BEF=180°﹣∠AEB﹣∠AED,=180°﹣(90°﹣x°)﹣(45°+x°),=45°,答:∠BEF的度数是45°.【点评】本题考查了三角形的内角和定理,等腰三角形性质,正方形性质的应用,解此题的关键是如何把已知角的未知角结合起来,题目比较典型,但是有一定的难度.11.(2012秋•高淳县期中)如图,梯形ABCD中,AD∥BC,AB=CD,对角线AC、BD交于点O,AC⊥BD,E、F、G、H 分别为AB、BC、CD、DA的中点.(1)求证:四边形EFGH为正方形;(2)若AD=1,BC=3,求正方形EFGH的边长.【分析】(1)先由三角形的中位线定理求出四边相等,然后由AC⊥BD入手,进行正方形的判断.(2)连接EG,利用梯形的中位线定理求出EG的长,然后结合(1)的结论求出EH2=2,也即得出了正方形EHGF的边长.【解答】(1)证明:在△ABC中,∵E、F分别是AB、BC的中点,∴EF=同理FG=,GH=,HE=在梯形ABCD中,∵AB=DC,∴AC=BD,∴EF=FG=GH=HE∴四边形EFGH为菱形.设AC与EH交于点M在△ABD中,∵E、H分别是AB、AD的中点,∴EH∥BD,同理GH∥AC又∵AC⊥BD,∴∠BOC=90°.∴∠EHG=∠EMC=∠BOC=90°∴四边形EFGH为正方形.(2)解:连接EG,在梯形ABCD中,∵E、G分别是AB、DC的中点,∴EG=(AD+BC)=(1+3)=2,在Rt△HEG中,EG2=EH2+HG2,4=2EH2,EH2=2,则EH=.即四边形EFGH的边长为.【点评】此题考查了等腰梯形的性质及三角形、梯形的中位线定理,解答本题的关键是根据三角形的中位线定理得出EH=HG=GF=FE,这是本题的突破口.12.(2013秋•青岛期中)如图,点E、F分别是正方形ABCD 的边CD和AD的中点,BE和CF交于点P.求证:AP=AB.【分析】延长CF、BA交于点M,先证△BCE≌△CDF,再证△CDF≌△AMF得BA=MA由直角三角形中斜边中线等于斜边的一半,可得Rt△MBP中AP=BM,即AP=AB.【解答】证明:延长CF、BA交于点M,∵点E、F分别是正方形ABCD的边CD和AD的中点,∴BC=CD,∠BCE=∠CDF,CE=DF,∴△BCE≌△CDF,∴∠CBE=∠DCF.∵∠DCF+∠BCP=90°,∴∠CBE+∠BCP=90°,∴∠BPM=∠CBE+∠BCP=90°.又∵FD=FA,∠CDF=∠MAF,∠CFD=∠MFA,∴△CDF≌△AMF,∴CD=AM.∵CD=AB,∴AB=AM.∴PA是直角△BPM斜边BM上的中线,∴AP=BM,即AP=AB.【点评】本题考查了正方形各边长相等、各内角为直角的性质,全等三角形的判定和对应边相等的性质,直角三角形斜边中线长为斜边长一半的性质,本题中求证△CDF≌△AMF 是解题的关键.13.(2015春•禹州市期中)如图,点P为正方形ABCD对角线BD上一点,PE⊥BC于E,PF⊥DC于F.(1)求证:PA=EF;(2)若正方形ABCD的边长为a,求四边形PFCE的周长.【分析】(1)连接PC,证四边形PFCE是矩形,求出EF=PC,证△ABP≌△CBP,推出AP=PC即可;(2)证△CBD是等腰直角三角形,求出BF、PF,求出周长即可.【解答】解:证明:(1)连接PC,∵四边形ABCD是正方形,∴AB=CB,∠ABD=∠CBD=45°,∠C=90°,在△ABP与△CBP中,,∴△ABP≌△CBP(SAS),∴PA=PC,∵PE⊥BC,PF⊥CD,∴∠PFC=90°,∠PEC=90°.又∵∠C=90°,∴四边形PFCE是矩形,∴EF=PC,∴PA=EF.(2)由(1)知四边形PFCE是矩形,∴PE=CF,PF=CE,又∵∠CBD=45°,∠PEB=90°,∴BE=PE,又BC=a,∴矩形PFCE的周长为2(PE+EC)=2(BE+EC)=2BC=2a.【点评】本题主要考查正方形的性质,全等三角形的性质和判定等知识点的连接和掌握,能证出AP=PC是解此题的关键.14.(2015秋•福建校级期中)如图1,在正方形ABCD中,点E为BC上一点,连接DE,把△DEC沿DE折叠得到△DEF,延长EF交AB于G,连接DG.(1)求∠EDG的度数.(2)如图2,E为BC的中点,连接BF.①求证:BF∥DE;②若正方形边长为6,求线段AG的长.【分析】(1)由正方形的性质可得DC=DA.∠A=∠B=∠C=∠ADC=90°,由折叠的性质得出∠DFE=∠C,DC=DF,∠1=∠2,再求出∠DFG=∠A,DA=DF,然后由“HL”证明Rt△DGA≌Rt△DGF,由全等三角形对应角相等得出∠3=∠4,得出∠2+∠3=45°即可;(2)①由折叠的性质和线段中点的定义可得CE=EF=BE,∠DEF=∠DEC,再由三角形的外角性质得出∠5=∠DEC,然后利用同位角相等,两直线平行证明即可;②设AG=x,表示出GF、BG,根据点E是BC的中点求出BE、EF,从而得到GE的长度,再利用勾股定理列出方程求解即可;【解答】(1)解:如图1所示:∵四边形ABCD是正方形,∴DC=DA.∠A=∠B=∠C=∠ADC=90°,∵△DEC沿DE折叠得到△DEF,∴∠DFE=∠C,DC=DF,∠1=∠2,∴∠DFG=∠A=90°,DA=DF,在Rt△DGA和Rt△DGF中,,∴Rt△DGA≌Rt△DGF(HL),∴∠3=∠4,∴∠EDG=∠3+∠2=∠ADF+∠FDC,=(∠ADF+∠FDC),=×90°,=45°;(2)①证明:如图2所示:∵△DEC沿DE折叠得到△DEF,E为BC的中点,∴CE=EF=BE,∠DEF=∠DEC,∴∠5=∠6,∵∠FEC=∠5+∠6,∴∠DEF+∠DEC=∠5+∠6,∴2∠5=2∠DEC,即∠5=∠DEC,∴BF∥DE;②解:设AG=x,则GF=x,BG=6﹣x,∵正方形边长为6,E为BC的中点,∴CE=EF=BE=×6=3,∴GE=EF+GF=3+x,在Rt△GBE中,根据勾股定理得:(6﹣x)2+32=(3+x)2,解得:x=2,即线段AG的长为2.【点评】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理、翻折变换的性质;熟练掌握正方形的性质,并能进行推理论证与计算是解决问题的关键.15.(2016春•召陵区期中)如图①,在正方形ABCD中,F 是对角线AC上的一点,点E在BC的延长线上,且BF=EF.(1)求证:BF=DF;(2)求证:∠DFE=90°;(3)如果把正方形ABCD改为菱形,其他条件不变(如图②),当∠ABC=50°时,∠DFE=50 度.【分析】(1)根据正方形的四条边都相等可得BC=DC,对角线平分一组对角可得∠BCF=∠DCF,然后利用“边角边”证明即可;(2)易证∠FBE=∠FEB,又因为∠FBE=∠FDC,所以可证明∠FEB=∠FDC,进而可证明∠DFE=90°;(3)根据全等三角形对应角相等可得∠CBF=∠CDF,根据等边对等角可得∠CBF=∠E,然后求出∠DFE=∠DCE,再根据两直线平行,同位角相等可得∠DCE=∠ABC,从而得解.【解答】(1)证明:在正方形ABCD中,BC=DC,∠BCF=∠DCF=45°,∵在△BCF和△DCF中,,∴△BCF≌△DCF(SAS);∴BF=DF;(2)证明:∵BF=EF,∴∠FBE=∠FEB,又∵∠FBE=∠FDC,∴∠FEB=∠FDC,又∵∠DGF=∠EGC,∴∠DFG=∠ECG=90°,即∠DFE=90°;(3)证明:由(1)知,△BCF≌△DCF,∴∠CBF=∠CDF,∵EE=FB,∴∠CBF=∠E,∵∠DGF=∠EGC(对顶角相等),∴180°﹣∠DGF﹣∠CDF=180°﹣∠EGC﹣∠E,即∠DFE=∠DCE,∵AB∥CD,∴∠DCE=∠ABC,∴∠DFE=∠ABC=50°,故答案为:50.【点评】本题考查了正方形的性质,全等三角形的判定与性质,菱形的性质,等边对等角的性质,熟记正方形的性质确定出∠BCF=∠DCF是解题的关键.16.(2015秋•泗县期中)已知正方形ABCD中,对角线AC、BD相交于O.①如图1,若E是AC上的点,过A 作AG⊥BE于G,AG、BD交于F,求证:OE=OF②如图2,若点E在AC的延长线上,AG⊥EB交EB的延长线于G,AG延长DB延长线于点F,其它条件不变,OE=OF 还成立吗?【分析】①由正方形的性质得出OA=OB,AC⊥BD,得出∠BOE=∠AOF=90°,由角的互余关系得出∠OBE=∠OAF,由ASA证明△BOE≌△AOF,得出对应边相等即可;②由正方形的性质得出OA=OB,AC⊥BD,得出∠BOE=∠AOF=90°,由角的互余关系得出∠OBE=∠OAF,由ASA证明△BOE≌△AO F,得出对应边相等即可.【解答】①证明:∵四边形ABCD是正方形,∴OA=OB,AC⊥BD,∴∠BOE=∠AOF=90°,∴∠OEB+∠OBE=90°,∵AG⊥BE,∴∠AGE=90°,∴∠OEB+∠OAF=90°,∴∠OBE=∠OAF,在△BOE和△AOF中,,∴△BOE≌△AOF(ASA),∴OE=OF;②解:OE=OF还成立;理由如下:∵四边形ABCD是正方形,∴OA=OB,AC⊥BD,∴∠BOE=∠AOF=90°,∴∠OEB+∠OBE=90°,∵AG⊥BE,∴∠AGE=90°,∴∠OEB+∠OAF=90°,∴∠OBE=∠OAF,在△BOE和△AOF中,,∴△BOE≌△AOF(ASA),∴OE=OF.【点评】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质;熟练掌握正方形的性质,并能进行推理论证是解决问题的关键.17.(2016春•邳州市期中)如图,点P是菱形ABCD中对角线AC上的一点,且PE=PB.(1)求证:PE=PD;(2)求证:∠PDC=∠PEB;(3)若∠BAD=80°,连接DE,试求∠PDE的度数,并说明理由.【分析】(1)由菱形的性质得出AB=BC=CD=AD,AB∥CD,∠DCP=∠BCP,由SAS证明△CDP≌△CBP,得出PB=PD,再由PE=PB,即可得出结论;(2)由等腰三角形的性质得出∠PBC=∠PEB,由全等三角形的性质得出∠PDC=∠PBC,即可得出∠PDC=∠PEB;(3)由四边形内角和定理得出∠DPE=100°,由等腰三角形的性质和三角形内角和定理即可得出结果.【解答】(1)解:∵四边形ABCD是菱形,∴AB=BC=CD=AD,AB∥CD,∠DCP=∠BCP,在△DCP和△BCP中,,∴△CDP≌△CBP(SAS),∴PB=PD,∵PE=PB,∴PE=PD;(2)证明:∵PE=PB,∴∠PBC=∠PEB,∵△CDP≌△CBP,∴∠PDC=∠PBC,∴∠PDC=∠PEB;(3)解:如图所示:∠PDE=40°;理由如下:在四边形DPEC中,∵∠DPE=360°﹣(∠PDC+∠PEC+∠DCB)=360°﹣(∠PEB+∠PEC+∠DCB)=360°﹣(180°+80°)=100°,∵PE=PD∴∠PDE=∠PED=40°.【点评】本题考查了菱形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质;熟练掌握菱形的性质,证明三角形全等是解决问题的关键.18.(2016春•昆山市期中)如图,正方形ABCD中,AB=1,点P是BC边上的任意一点(异于端点B、C),连接AP,过B、D两点作BE⊥AP于点E,DF⊥AP于点F.(1)求证:EF=DF﹣BE;(2)若△ADF的周长为,求EF的长.【分析】(1)由正方形的性质得出AD=AB,证出∠DAF=∠ABE,由AAS证明△ADF≌△BAE,得出AF=BE,DF=AE,即可得出结论;(2)设DF=a,AF=b,EF=DF﹣AF=a﹣b>0,由已知条件得出DF+AF=,即a+b=,由勾股定理得出a2+b2=1,再由完全平方公式得出a﹣b即可.【解答】(1)证明:∵BE⊥AP,DF⊥AP,∴∠DFA=∠AEB=90°,∠ABE+∠BAE=90°,∵四边形ABCD为正方形,∴AD=AB,∠DAB=90°=∠DAF+∠BAE,∴∠DAF=∠ABE,在△ADF和△BAE中,,∴△ADF≌△BAE(AAS),∴AF=BE,DF=AE,∴EF=AE﹣AF=DF﹣BE;(2)解:设DF=a,AF=b,EF=DF﹣AF=a﹣b>0,∵△ADF的周长为,AD=1,∴DF+AF=,即a+b=,由勾股定理得:DF2+AF2=AD2,即a2+b2=1,∴(a﹣b)2=2(a2+b2)﹣(a+b)2=2﹣=,∴a﹣b=,即EF=.【点评】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识;熟练掌握正方形的性质,由勾股定理得出a与b的关系式是解决问题(2)的关键.19.(2015春•繁昌县期中)如图,正方形ABCD的对角线AC、BD的交点为O,以O为端点引两条互相垂直的射线OM、ON,分别交边AB、BC于点E、F.(1)求证:0E=OF;(2)若正方形的边长为4,求EF的最小值.【分析】(1)根据正方形的性质可得∠EAO=∠FBO=45°,OA=OB,再根据同角的余角相等可得∠AOE=∠BOE,然后利用“角边角”证明△AOE和△BOF全等,根据全等三角形对应边相等即可得证;(2)根据等腰直角三角形△EOF,当OE最小时,再根据勾股定理得出EF的最小值.【解答】解:(1)∵四边形ABCD是正方形,∴OA=OB,∠AOB=90°,∠EAO=∠FBO=45°,∴∠AOE+∠BOE=90°,∵OE⊥OF,∴∠BOF+∠BOE=90°,∴∠AOE=∠BOF,在△AOE与△BOF中,,∴△AOE≌△BOF(ASA),∴OE=OF;(2)由(1)可知,△EOF是等腰直角三角形,∠EOF是直角,当OE最小时,EF的值最小,∵OA=OB,OE⊥AB,∴点E是AB的中点,∴OE=AB,∵AB=4,∴OE=2,∴EF=,即EF的最小值是2.【点评】本题考查了正方形的性质,解决此类问题的关键是正确的利用旋转不变量.正确作出辅助线是关键.20.(2016春•江宁区期中)如图,在正方形ABCD中,点E 是边AD上任意一点,BE的垂直平分线FG交对角AC于点F.求证:(1)BF=DF;(2)BF⊥FE.【分析】(1)由正方形的性质得出AB=AD,∠BAF=∠DAF=45°,由SAS证明△BAF≌△DAF,得出对应边相等即可;(2)由线段垂直平分线的性质得出BF=EF,证出EF=DF,得出∠FDE=∠FED,再由全等三角形的性质证出∠ABF=∠FED,由邻补角关系得出∠FED+∠FEA=180°,证出∠ABF+∠FEA=180°,由四边形内角和得出∠BAE+∠BFE=180°,求出∠BFE=90°即可.【解答】证明:如图所示:(1)∵四边形ABCD是正方形,∴AB=AD,∠BAF=∠DAF=45°,∠BAE=90°,在△BAF和△DAF中,,∴△BAF≌△DAF(SAS),∴BF=DF;(2)∵BE的垂直平分线FG交对角AC于点F,∴BF=EF,∵BF=DF,∴EF=DF,∴∠FDE=∠FED,∵△BAF≌△DAF,∴∠ABF=∠FDE,∴∠ABF=∠FED,∵∠FED+∠FEA=180°,∴∠ABF+∠FEA=180°,∴∠BAE+∠BFE=180°,∴∠BFE=90°,∴BF⊥FE.【点评】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、四边形内角和定理等知识;熟练掌握正方形的性质,证明三角形全等是解决问题的关键.。
(完整版)平行四边形与特殊平行四边形(专题讲练与提升)(含答案)

平行四边形与特别平行四边形(专题与提高)一、平行四边形的性质例 1、如图,在ABCD 中,各内角的均分线分别订交于点E, F ,G,H .(1)求证:△ABG≌△CDE ;(2)猜一猜:四边形 EFGH 是什么样的特别四边形?证明你的猜想;(3)若 AB=6,BC=4 ,∠ DAB=60°,求四边形 EFGH 的面积。
变式练习1、如图,在平行四边形ABCD中,E. F分别是AB、BC的中点,CE⊥AB,垂足为E,AF ⊥BC ,垂足为 F, AF 与 CE 订交于点 G.(1)证明:△ CFG ≌△AEG.(2)若 AB=4,求四边形 AGCD 的对角线 GD 的长。
2、如图,在平行四边形ABCD中,点M、N分别在线段DA、BA的延伸线上,且BD =BN =DM ,连结 BM 、 DN 并延伸交于点 P.12∠ C;(1)求证:∠ P=90°-(2)当∠ C=90°, ND=NP 时,判断线段 MP 与 AM 的数目关系,并赐予证明。
二、平行四边形的判断例 2、如图,分别以Rt△ABC 的直角边AC 及斜边 AB 向外作等边三角形ACD 及等边三角形 ABE,已知∠ BAC =30°, EF⊥ AB 于点 F ,连结 DF .(1)求证: AC=EF;(2)求证:四边形 ADFE 是平行四边形。
变式练习1、2、如图,在平面直角坐标系 xOy,直线 y=x+1 与 y=-2 x+4 交于点 A,两直线与 x 轴分别交于点 B 和点 C,D 是直线 AC 上的一个动点,直线 AB 上能否存在点 E,使得以 E, D ,O, A 为极点的四边形是平行四边形?若存在,求出点 E 的坐标;若不存在,请说明原因。
三、三角形中位线定理例 3、(1)如图1,在四边形ABCD中,AB=CD,E,F分别是AD,BC的中点,连结FE 并延伸,分别与BA, CD 的延伸线交于点M, N.求证:∠ BME=∠ CNE; (提示:取BD 的中点 H ,连结 FH , HE 作协助线 )(2)如图 2,在△ ABC 中, F 是 BC 边的中点, D 是 AC 边上一点, E 是 AD 的中点,直线FE 交 BA 的延伸线于点G,若 AB=DC=2 ,∠ FEC =45 °,求 FE 的长度。
初中数学平行四边形提高题及常考题及培优题含解析

数学平行四边形提升题与常考题和培优题(含分析 )一.选择题(共12 小题)1.如图, DE 是△ ABC的中位线,过点 C 作 CF∥ BD 交 DE 的延伸线于点 F,则下列结论正确的选项是()A.EF=CF B.EF=DE C.CF< BD D.EF> DE2.如图,在△ ABC中,∠ ABC=90°,AB=8,BC=6.若 DE 是△ ABC的中位线,延长 DE 交△ ABC的外角∠ ACM 的均分线于点 F,则线段 DF 的长为()A.7B.8C.9D.103.如图,在△ ABC中, AB=4,BC=6,DE、DF 是△ ABC的中位线,则四边形B EDF 的周长是()A.5B.7C.8D.104.如图,在△ ABC中,点 D,E 分别是边 AB,AC的中点, AF⊥BC,垂足为点 F,∠ ADE=30°, DF=4,则 BF 的长为()A.4B.8C.2D.45.如图,将矩形纸片ABCD沿其对角线 AC 折叠,使点 B 落到点 B′的地点, AB′与 CD交于点 E,若 AB=8, AD=3,则图中暗影部分的周长为()A.11 B.16 C.19D.226.如图,在 ?ABCD中, AB=6,BC=8,∠ C 的均分线交 AD 于 E,交 BA 的延伸线于 F,则 AE+AF的值等于()A.2B.3C.4D.67.如图,平行四边形ABCD的周长是 26cm,对角线 AC 与 BD 交于点 O,AC⊥AB,E 是 BC中点,△AOD 的周长比△ AOB 的周长多 3cm,则 AE 的长度为()A.3cm B.4cm C.5cm D.8cm8.如图,在 ?ABCD中, AB=12,AD=8,∠ ABC的均分线交 CD 于点 F,交 AD 的延伸线于点 E,CG⊥BE,垂足为 G,若 EF=2,则线段 CG的长为()A.B.4C.2D.9.对于 ?ABCD的表达,正确的选项是()A.若 AB⊥ BC,则 ?ABCD是菱形B.若 AC⊥BD,则 ?ABCD是正方形C.若 AC=BD,则 ?ABCD是矩形 D.若 AB=AD,则 ?ABCD是正方形10.如图,在 ?ABCD中, BF均分∠ ABC,交 AD 于点 F,CE均分∠ BCD,交 AD 于点 E,AB=6,EF=2,则 BC长为()A.8B.10 C.12D.1411.如图,将 ?ABCD沿对角线 AC折叠,使点 B 落在 B′处,若∠ 1=∠ 2=44°,则∠B为()A.66°B.104°C.114°D.124°12.已知菱形 OABC在平面直角坐标系的地点以下图,极点A(5,0),OB=4,点 P 是对角线 OB 上的一个动点,D(0,1),当 CP+DP 最短时,点 P 的坐标为()A.(0,0) B.(1,)C.(,)D.(,)二.填空题(共12 小题)13.如图,在平行四边形ABCD中, AB=4,BC=5,∠ABC=60°,平行四边形 ABCD的对角线 AC、 BD交于点 O,过点 O 作 OE⊥ AD,则 OE=.14.如图,在△ ABC中,点 D、E、F 分别是边 AB、BC、CA 上的中点,且 AB=6cm,AC=8cm,则四边形 ADEF的周长等于cm.15.如图, ?ABCD中,∠ ABC=60°, E、 F 分别在 CD 和 BC的延伸线上, AE∥BD,EF⊥BC, EF=3,则 AB 的长是.16.有 3 个正方形以下图搁置,暗影部分的面积挨次记为S1,S2,则 S1:S2=.17.如图,在△ ABC中,∠ ACB=90°, M 、N 分别是 AB、 AC的中点,延伸BC至点 D,使 CD= BD,连结 DM、DN、MN.若 AB=6,则 DN=.18.如图,在 ?ABCD中, E 为边 CD 上一点,将△ ADE沿 AE 折叠至△ AD′E处,AD′与 CE交于点 F.若∠ B=52°,∠ DAE=20°,则∠ FED′的大小为.19.如图,在 Rt△ABC中,∠ B=90°,AB=4,BC>AB,点 D 在 BC上,以 AC 为对角线的平行四边形ADCE中, DE的最小值是.20.如图,把平行四边形 ABCD折叠,使点 C 与点 A 重合,这时点 D 落在 D1,折痕为 EF,若∠ BAE=55°,则∠ D1AD= .21.如图,△ APB中, AB=2,∠ APB=90°,在 AB 的同侧作正△ ABD、正△ APE和正△ BPC,则四边形 PCDE面积的最大值是.22.如图,已知菱形 ABCD的边长 2,∠ A=60°,点 E、 F 分别在边 AB、AD 上,若将△ AEF沿直线 EF折叠,使得点 A 恰巧落在 CD边的中点 G 处,则 EF= .23.如图,在菱形 ABCD中,过点 B 作 BE⊥AD,BF⊥CD,垂足分别为点E, F,延伸 BD 至 G,使得 DG=BD,连结 EG, FG,若 AE=DE,则=.24.如图,在正方形ABCD中,对角线 AC 与 BD 订交于点 O,E 为 BC上一点,CE=5,F 为 DE 的中点.若△ CEF的周长为 18,则 OF的长为.三.解答题(共16 小题)25.如图,四边形 ABCD是平行四边形, AE 均分∠ BAD,交 DC的延伸线于点E.求证: DA=DE.26.如图,已知△ ABC,AD 均分∠ BAC交 BC于点 D,BC的中点为 M ,ME∥AD,交 BA 的延伸线于点 E,交 AC 于点F.( 1)求证: AE=AF;( 2)求证: BE= (AB+AC).27.已知:如图,矩形ABCD的对角线 AC、 BD 订交于点 O,CE∥DB,交 AB 的延伸线于点 E.求证: AC=EC.28.如图,平行四边形ABCD中, BD⊥ AD,∠ A=45°,E、F 分别是 AB、CD上的点,且 BE=DF,连结 EF交 BD 于 O.(1)求证: BO=DO;(2)若 EF⊥ AB,延伸 EF交 AD 的延伸线于 G,当 FG=1时,求 AE的长.29.如图,在四边形ABCD中,∠ ABC=90°, AC=AD, M ,N 分别为 AC,CD的中点,连结 BM,MN,BN.(1)求证: BM=MN;(2)∠ BAD=60°,AC均分∠ BAD,AC=2,求 BN 的长.30.在平行四边形 ABCD中, E 是 AD 上一点, AE=AB,过点 E 作直线 EF,在EF 上取一点 G,使得∠ EGB=∠EAB,连结 AG.(1)如图①,当 EF与 AB 订交时,若∠ EAB=60°,求证: EG=AG+BG;(2)如图②,当 EF与 CD订交时,且∠ EAB=90°,请你写出线段 EG、AG、BG 之间的数目关系,并证明你的结论.31.如图,四边形 ABCD为平行四边形,∠ BAD的角均分线 AE 交 CD于点 F,交BC的延伸线于点 E.(1)求证: BE=CD;(2)连结 BF,若 BF⊥AE,∠ BEA=60°,AB=4,求平行四边形 ABCD的面积.32.如图, ?ABCD中, AB=2,AD=1,∠ ADC=60°,将 ?ABCD沿过点 A 的直线 l 折叠,使点 D 落到 AB 边上的点 D′处,折痕交 CD边于点 E.(1)求证:四边形 BCED′是菱形;(2)若点 P 是直线 l 上的一个动点,请计算 PD′+PB 的最小值.33.如图,在 ?ABCD中,连结 BD,在 BD 的延伸线上取一点E,在 DB的延伸线上取一点 F,使 BF=DE,连结 AF、 CE.求证: AF∥CE.34.如图,在 ?ABCD中, E 是 BC的中点,连结 AE并延伸交 DC的延伸线于点 F.(1)求证: AB=CF;(2)连结 DE,若 AD=2AB,求证: DE⊥AF.35.如图, ?ABCD的对角线 AC、BD 订交于点 O,EF过点 O 且与 AB、CD分别相交于点 E、 F,连结 EC.(1)求证: OE=OF;(2)若 EF⊥ AC,△ BEC的周长是 10,求 ?ABCD的周长.36.如图,在 ?ABCD中, E、 F 分别为边 AD、BC的中点,对角线 AC 分别交 BE,DF于点 G、H.求证: AG=CH.37.如图,分别以Rt△ ABC的直角边 AC 及斜边 AB 向外作等边△ ACD及等边△ABE,已知:∠ BAC=30°,EF⊥AB,垂足为 F,连结 DF.(1)试说明 AC=EF;(2)求证:四边形 ADFE是平行四边形.38.如图,BD 是△ ABC的角均分线,它的垂直均分线分别交A B,BD,BC于点 E,F,G,连结 ED,DG.( 1)请判断四边形EBGD的形状,并说明原因;( 2)若∠ ABC=30°,∠ C=45°,ED=2 ,点 H 是 BD 上的一个动点,求HG+HC 的最小值.39.如图 1,已知点 E,F,G,H 分别是四边形 ABCD各边 AB,BC, CD,DA 的中点,依据以下思路能够证明四边形 EFGH是平行四边形:( 1)如图 2,将图 1 中的点 C 挪动至与点 E 重合的地点, F,G,H 还是 BC,CD,DA 的中点,求证:四边形CFGH是平行四边形;(2)如图 3,在边长为 1 的小正方形构成的 5× 5 网格中,点 A,C,B 都在格点上,在格点上画出点 D,使点 C 与 BC,CD,DA 的中点 F,G,H 构成正方形 CFGH;(3)在( 2)条件下求出正方形 CFGH的边长.40.我们给出以下定义:按序连结随意一个四边形各边中点所得的四边形叫中点四边形.(1)如图 1,四边形 ABCD中,点 E,F,G,H 分别为边 AB,BC,CD,DA 的中点.求证:中点四边形 EFGH是平行四边形;(2)如图 2,点 P 是四边形 ABCD内一点,且知足 PA=PB,PC=PD,∠ APB=∠CPD,点 E,F,G,H 分别为边 AB, BC,CD,DA 的中点,猜想中点四边形EFGH的形状,并证明你的猜想;(3)若改变( 2)中的条件,使∠ APB=∠CPD=90°,其余条件不变,直接写出中点四边形 EFGH的形状.(不用证明)数学平行四边形提升题与常考题和培优题(含分析 )参照答案与试题分析一.选择题(共12 小题)1.( 2016?厦门)如图, DE是△ ABC的中位线,过点 C 作 CF∥BD 交 DE的延伸线于点 F,则以下结论正确的选项是()A.EF=CF B.EF=DE C.CF< BD D.EF> DE【剖析】第一依据三角形的中位线定理得出AE=EC,而后依据 CF∥BD 得出∠ ADE=∠ F,既而依据AAS 证得△ ADE≌△ CFE,最后依据全等三角形的性质即可推出EF=DE.【解答】解:∵ DE是△ ABC的中位线,∴E为 AC中点,∴AE=EC,∵CF∥BD,∴∠ ADE=∠F,在△ ADE和△ CFE中,∵,∴△ ADE≌△ CFE(AAS),∴DE=FE.应选 B.【评论】本题考察了三角形中位线定理和全等三角形的判断与性质,解答本题的重点是依据中位线定理和平行线的性质得出 AE=EC、∠ ADE=∠F,判断三角形的全等.2.(2016?陕西)如图,在△ ABC中,∠ ABC=90°,AB=8,BC=6.若 DE 是△ ABC 的中位线,延伸DE 交△ ABC的外角∠ ACM 的均分线于点F,则线段 DF 的长为()A.7B.8C.9D.10【剖析】依据三角形中位线定理求出DE,获得 DF∥BM,再证明 EC=EF= AC,由此即可解决问题.【解答】解:在 RT△ABC中,∵∠ ABC=90°,AB=8,BC=6,∴ AC===10,∵DE是△ABC的中位线,∴ DF∥BM,DE= BC=3,∴∠ EFC=∠ FCM,∵∠ FCE=∠ FCM,∴∠ EFC=∠ ECF,∴EC=EF= AC=5,∴DF=DE+EF=3+5=8.应选 B.【评论】本题考察三角形中位线定理、等腰三角形的判断和性质、勾股定理等知识,解题的重点是灵巧应用三角形中位线定理,掌握等腰三角形的判断和性质,属于中考常考题型.3.(2016?贵宾)如图,在△ ABC中, AB=4,BC=6,DE、 DF是△ ABC的中位线,则四边形 BEDF的周长是()A.5B.7C.8D.10【剖析】由中位线的性质可知DE=,DF=,DE∥BF,DF∥ BE,可知四边形 BEDF为平行四边形,从而可得周长.【解答】解:∵ AB=4, BC=6, DE、DF 是△ ABC的中位线,∴DE= =2,DF==3,DE∥BF, DF∥BE,∴四边形 BEDF为平行四边形,∴四边形 BEDF的周长为: 2× 2+3× 2=10,应选 D.【评论】本题主要考察了三角形中位线的性质,利用中位线的性质证得四边形BEDF为平行四边形是解答本题的重点4.(2016?葫芦岛)如图,在△ ABC中,点 D,E 分别是边 AB,AC的中点, AF⊥BC,垂足为点 F,∠ ADE=30°,DF=4,则 BF 的长为()A.4B.8C.2D.4【剖析】先利用直角三角形斜边中线性质求出AB,再在 RT△ ABF 中,利用30角所对的直角边等于斜边的一半,求出AF 即可解决问题.【解答】解:在 RT△ABF中,∵∠ AFB=90°,AD=DB,DF=4,∴AB=2DF=8,∵AD=DB, AE=EC,∴ DE∥BC,∴∠ ADE=∠ABF=30°,∴ AF= AB=4,∴ BF===4 .应选 D.【评论】本题考察三角形中位线性质、含 30 度角的直角三角形性质、直角三角形斜边中线性质、勾股定理等知识,解题的重点是灵巧应用这些知识解决问题,属于中考常考题型.5.( 2017?河北一模)如图,将矩形纸片ABCD沿其对角线 AC折叠,使点 B 落到点 B′的地点,AB′与 CD 交于点 E,若 AB=8,AD=3,则图中暗影部分的周长为()A.11 B.16 C.19D.22【剖析】第一由四边形 ABCD为矩形及折叠的特征,获得B′C=BC=AD,∠B′=∠B=∠D=90°,∠ B′EC=∠DEA,获得△ AED≌△ CEB′,得出 EA=EC,再由暗影部分的周长为 AD+DE+EA+EB′+B′C+EC,即矩形的周长解答即可.【解答】解:∵四边形ABCD为矩形,∴ B′C=BC=AD,∠ B′=∠B=∠D=90°∵∠ B′EC=∠DEA,在△ AED和△ CEB′中,,∴△ AED≌△ CEB′(AAS);∴EA=EC,∴暗影部分的周长为AD+DE+EA+EB′+B′C+EC,=AD+DE+EC+EA+EB′+B′C,=AD+DC+AB′+B′C,=3+8+8+3,=22,应选 D.【评论】本题主要考察了图形的折叠问题,全等三角形的判断和性质,及矩形的性质.熟记翻折前后两个图形能够重合找出相等的角是解题的重点.6.(2016?泰安)如图,在 ?ABCD中, AB=6,BC=8,∠C 的均分线交 AD 于 E,交BA 的延伸线于 F,则 AE+AF的值等于()A.2B.3C.4D.6【剖析】由平行四边形的性质和角均分线得出∠F=∠FCB,证出 BF=BC=8,同理:DE=CD=6,求出 AF=BF﹣AB=2,AE=AD﹣DE=2,即可得出结果.【解答】解:∵四边形 ABCD是平行四边形,∴AB∥CD,AD=BC=8,CD=AB=6,∴∠ F=∠DCF,∵ CF均分∠ BCD,∴∠ FCB=∠DCF,∴∠ F=∠FCB,∴BF=BC=8,同理: DE=CD=6,∴AF=BF﹣AB=2,AE=AD﹣DE=2,∴AE+AF=4;应选: C.【评论】本题考察了平行四边形的性质、等腰三角形的判断;娴熟掌握平行四边形的性质,证明三角形是等腰三角形是解决问题的重点.7.( 2016?绵阳)如图,平行四边形 ABCD的周长是 26cm,对角线 AC 与 BD 交于点 O,AC⊥AB, E 是 BC 中点,△ AOD的周长比△ AOB 的周长多 3cm,则 AE 的长度为()A.3cm B.4cm C.5cm D.8cm【剖析】由?ABCD的周长为 26cm,对角线 AC、BD 订交于点 O,若△ AOD 的周长比△ AOB的周长多 3cm,可得 AB+AD=13cm,AD﹣AB=3cm,求出 AB 和 AD的长,得出 BC的长,再由直角三角形斜边上的中线性质即可求得答案.【解答】解:∵ ?ABCD的周长为 26cm,∴AB+AD=13cm,OB=OD,∵△ AOD的周长比△ AOB 的周长多 3cm,∴( OA+OD+AD)﹣( OA+OB+AB)=AD﹣AB=3cm,∴AB=5cm,AD=8cm.∴BC=AD=8cm.∵AC⊥AB,E 是BC中点,∴ AE= BC=4cm;应选: B.【评论】本题考察了平行四边形的性质、直角三角形斜边上的中线性质.娴熟掌握平行四边形的性质,由直角三角形斜边上的中线性质求出AE 是解决问题的重点.第 17 页(共 56 页)8.(2016?济南)如图,在 ?ABCD中, AB=12,AD=8,∠ ABC的均分线交 CD 于点F,交 AD 的延伸线于点 E,CG⊥BE,垂足为 G,若 EF=2,则线段 CG的长为()A.B.4C.2D.【剖析】先由平行四边形的性质和角均分线的定义,判断出∠ CBE=∠CFB=∠ABE=∠E,从而获得 CF=BC=8,AE=AB=12,再用平行线分线段成比率定理求出 BE,而后用等腰三角形的三线合一求出 BG,最后用勾股定理即可.【解答】解:∵∠ ABC的均分线交 CD 于点 F,∴∠ ABE=∠CBE,∵四边形 ABCD是平行四边形,∴DC∥AB,∴∠ CBE=∠CFB=∠ABE=∠E,∴CF=BC=AD=8,AE=AB=12,∵ AD=8,∴DE=4,∵DC∥AB,∴,∴,∴EB=6,∵CF=CB,CG⊥BF,∴ BG= BF=2,在 Rt△BCG中, BC=8, BG=2,依据勾股定理得, CG===2,应选: C.【评论】本题是平行四边形的性质,主要考察了角均分线的定义,平行线分线段成比率定理,等腰三角形的性质和判断,勾股定理,解本题的重点是求出AE,记着:题目中出现平行线和角均分线时,极易出现等腰三角形这一特色.9.(2016?河北)对于 ?ABCD的表达,正确的选项是()A.若 AB⊥ BC,则 ?ABCD是菱形B.若 AC⊥BD,则 ?ABCD是正方形C.若 AC=BD,则 ?ABCD是矩形 D.若 AB=AD,则 ?ABCD是正方形【剖析】由菱形的判断方法、矩形的判断方法、正方形的判断方法得出选项A、B、D 错误, C 正确;即可得出结论.【解答】解:∵ ?ABCD中, AB⊥BC,∴四边形 ABCD是矩形,不必定是菱形,选项 A 错误;∵ ?ABCD中, AC⊥BD,∴四边形 ABCD是菱形,不必定是正方形,选项 B 错误;∵?ABCD中, AC=BD,∴四边形 ABCD是矩形,选项 C 正确;∵?ABCD中, AB=AD,∴四边形 ABCD是菱形,不必定是正方形,选项 D 错误;应选: C.【评论】本题考察了平行四边形的性质、菱形的判断方法、矩形的判断方法、正方形的判断方法;娴熟掌握矩形、菱形、正方形的判断方法是解决问题的重点.10.( 2016?丹东)如图,在 ?ABCD中, BF均分∠ ABC,交 AD 于点 F,CE均分∠BCD,交 AD 于点 E,AB=6,EF=2,则 BC长为()A.8B.10 C.12D.14【剖析】由平行四边形的性质和角均分线得出∠ABF=∠AFB,得出 AF=AB=6,同理可证 DE=DC=6,再由 EF的长,即可求出BC的长.【解答】解:∵四边形 ABCD是平行四边形,∴AD∥BC,DC=AB=6,AD=BC,∴∠ AFB=∠FBC,∵ BF均分∠ ABC,∴∠ ABF=∠FBC,则∠ ABF=∠AFB,∴AF=AB=6,同理可证: DE=DC=6,∵EF=AF+DE﹣AD=2,即 6+6﹣AD=2,解得: AD=10;应选: B.【评论】本题主要考察了平行四边形的性质、等腰三角形的判断;娴熟掌握平行四边形的性质,证出 AF=AB是解决问题的重点.11.(2016?河北)如图,将 ?ABCD沿对角线 AC折叠,使点 B 落在 B′处,若∠ 1=∠ 2=44°,则∠ B 为()A.66°B.104°C.114°D.124°【剖析】由平行四边形的性质和折叠的性质得出∠ ACD=∠ BAC=∠B′AC,由三角形的外角性质求出∠ BAC=∠ACD=∠B′AC=∠1=22°,再由三角形内角和定理求出∠B 即可.【解答】解:∵四边形 ABCD是平行四边形,∴AB∥CD,∴∠ ACD=∠BAC,由折叠的性质得:∠ BAC=∠B′AC,∴∠ BAC=∠ACD=∠B′AC=∠ 1=22°,∴∠ B=180°﹣∠ 2﹣∠ BAC=180°﹣44°﹣22°=114°;应选: C.【评论】本题考察了平行四边形的性质、折叠的性质、三角形的外角性质以及三角形内角和定理;娴熟掌握平行四边形的性质,求出∠BAC的度数是解决问题的重点.12.(2016?咸宁)已知菱形 OABC在平面直角坐标系的地点以下图,极点A(5,0),OB=4,点P是对角线OB上的一个动点,D(0,1),当CP+DP最短时,点 P 的坐标为()A.(0,0) B.(1,)C.(,)D.(,)【剖析】如图连结 AC,AD,分别交 OB 于 G、P,作 BK⊥ OA 于 K.第一说明点 P 就是所求的点,再求出点 B 坐标,求出直线 OB、 DA,列方程组即可解决问题.【解答】解:如图连结 AC,AD,分别交 OB 于 G、P,作 BK⊥ OA 于 K.∵四边形 OABC是菱形,∴AC⊥OB,GC=AG,OG=BG=2 ,A、 C 对于直线 OB 对称,∴PC+PD=PA+PD=DA,∴此时 PC+PD最短,在 RT△ AOG中, AG===,∴ AC=2,∵OA?BK= ?AC?OB,∴ BK=4, AK==3,∴点 B 坐标( 8,4),∴直线 OB分析式为 y=x,直线 AD 分析式为 y=﹣x+1,由解得,∴点 P坐标(,).应选 D.【评论】本题考察菱形的性质、轴对称﹣最短问题、坐标与图象的性质等知识,解题的重点是正确找到点 P 地点,建立一次函数,列出方程组求交点坐标,属于中考常考题型.二.填空题(共12 小题)13.( 2017?新城区校级模拟)如图,在平行四边形 ABCD 中, AB=4,BC=5,∠ABC=60°,平行四边形 ABCD的对角线 AC、 BD交于点 O,过点 O 作 OE⊥AD,则OE=.【剖析】作 CF⊥AD 于 F,由平行四边形的性质得出∠ ADC=∠ABC=60°,CD=AB=4,OA=OC,求出∠DCF=30°,由直角三角形的性质得出 DF= CD=2,求出CF= DF=2,证出OE是△ ACF的中位线,由三角形中位线定理得出OE 的长即可.【解答】解:作 CF⊥AD 于 F,以下图:∵四边形 ABCD是平行四边形,∴∠ ADC=∠ABC=60°,CD=AB=4,OA=OC,第 22 页(共 56 页)∴DF= CD=2,∴CF= DF=2 ,∵CF⊥AD,OE⊥AD, CF∥OE,∵OA=OC,∴OE是△ ACF的中位线,∴OE= CF= ;故答案为:.【评论】本题考察了平行四边形的性质、直角三角形的性质、勾股定理、三角形中位线定理等知识;娴熟掌握平行四边形的性质,证出 OE 是三角形的中位线是解决问题的重点.14.( 2016?张家界)如图,在△ ABC中,点 D、E、F 分别是边 AB、 BC、CA上的中点,且 AB=6cm, AC=8cm,则四边形 ADEF的周长等于 14 cm.【剖析】第一证明四边形 ADEF是平行四边形,依据三角形中位线定理求出DE、EF即可解决问题.【解答】解:∵ BD=AD, BE=EC,∴ DE= AC=4cm,DE∥AC,∵ CF=FA,CE=BE,∴ EF= AB=3cm,EF∥AB,∴四边形 ADEF是平行四边形,∴四边形 ADEF的周长 =2( DE+EF)=14cm.故答案为 14.【评论】本题考察三角形中位线定理、平行四边形的判断和性质等知识,解题的重点是出现中点想到三角形中位线定理,记着三角形中位线平行于第三边且等于第三边的一半,属于中考常考题型.15.( 2017 秋?海宁市校级月考)如图,?ABCD中,∠ ABC=60°,E、F 分别在 CD 和 BC的延伸线上, AE∥BD,EF⊥ BC,EF=3,则 AB 的长是.【剖析】依据直角三角形性质求出CE长,利用勾股定理即可求出AB 的长.【解答】解:∵四边形 ABCD是平行四边形,∴AB∥DC,AB=CD,∵ AE∥BD,∴四边形 ABDE是平行四边形,∴AB=DE=CD,即 D 为 CE中点,∵ EF⊥BC,∴∠ EFC=90°,∵ AB∥CD,∴∠ DCF=∠ABC=60°,∴∠ CEF=30°,∵ EF=3,∴ CE==2 ,∴AB= ,故答案为:.【评论】本题考察了平行线性质,勾股定理,直角三角形斜边上中线性质,含30度角的直角三角形性质等知识点的应用,本题综合性比较强.16.(2017?河北区模拟)有 3 个正方形以下图搁置,暗影部分的面积挨次记为S1,S2,则 S1:S2= 4:9.【剖析】设大正方形的边长为 x,再依据相像的性质求出 S1、S2与正方形面积的关系,而后进行计算即可得出答案.【解答】解:设大正方形的边长为x,依据图形可得:∵= ,∴= ,∴=,∴ S1=S正方形ABCD,∴S1= x2,∵= ,∴=,∴S2= S正方形ABCD,∴S2= x2,∴S1:S2= x2: x2=4:9.故答案是: 4:9.【评论】本题考察了正方形的性质,用到的知识点是正方形的性质、相像三角形的性质、正方形的面积公式,重点是依据题意求出 S1、S2与正方形面积的关系.17.(2016?随州)如图,在△ ABC中,∠ ACB=90°,M 、N 分别是 AB、AC的中点,延伸 BC至点 D,使 CD= BD,连结 DM、DN、MN.若 AB=6,则 DN= 3 .【剖析】连结 CM,依据三角形中位线定理获得NM=CB,MN∥ BC,证明四边形 DCMN 是平行四边形,获得 DN=CM,依据直角三角形的性质获得CM= AB=3,等量代换即可.【解答】解:连结 CM,∵ M、N 分别是 AB、AC的中点,∴NM= CB,MN ∥BC,又 CD= BD,∴MN=CD,又 MN∥BC,∴四边形 DCMN 是平行四边形,∴DN=CM,∵∠ ACB=90°,M 是 AB 的中点,∴CM= AB=3,∴DN=3,故答案为: 3.【评论】本题考察的是三角形的中位线定理、直角三角形的性质、平行四边形的判断和性质,掌握三角形的中位线平行于第三边,而且等于第三边的一半是解题的重点.18.( 2016?武汉)如图,在 ?ABCD中,E 为边 CD上一点,将△ ADE沿 AE 折叠至△AD′E处,AD′与 CE交于点 F.若∠ B=52°,∠DAE=20°,则∠ FED′的大小为 36° .【剖析】由平行四边形的性质得出∠D=∠ B=52°,由折叠的性质得:∠ D′=∠D=52°,∠EAD′=∠DAE=20°,由三角形的外角性质求出∠ AEF=72°,与三角形内角和定理求出∠ AED′=108,°即可得出∠ FED′的大小.【解答】解:∵四边形ABCD是平行四边形,∴∠ D=∠ B=52°,由折叠的性质得:∠ D′=∠D=52°,∠ EAD′=∠DAE=20°,∴∠ AEF=∠D+∠ DAE=52°+20°=72°,∠ AED′=180﹣°∠ EAD′﹣∠ D′=108,°∴∠ FED′=108﹣°72°=36°;故答案为: 36°.【评论】本题考察了平行四边形的性质、折叠的性质、三角形的外角性质以及三角形内角和定理;娴熟掌握平行四边形的性质和折叠的性质,求出∠ AEF和∠ AED′是解决问题的重点.19.( 2016?东营)如图,在Rt△ABC 中,∠ B=90°,AB=4,BC> AB,点 D 在 BC 上,以 AC为对角线的平行四边形ADCE中, DE的最小值是4.【剖析】第一证明 BC∥AE,当 DE⊥BC 时, DE 最短,只需证明四边形ABDE是矩形即可解决问题.【解答】解:∵四边形 ADCE是平行四边形,∴BC∥AE,∴当 DE⊥BC时, DE最短,此时∵∠ B=90°,∴AB⊥BC,∴DE∥AB,∴四边形 ABDE是平行四边形,∵∠ B=90°,∴四边形 ABDE是矩形,∴DE=AB=4,∴DE的最小值为4.故答案为 4.【评论】本题考察平行四边形的性质、垂线段最短等知识,解题的重点是找到DE的地点,学会利用垂线段最短解决问题,属于中考常考题型.20.( 2016?常德)如图,把平行四边形 ABCD折叠,使点 C 与点 A 重合,这时点 D 落在 D1,折痕为 EF,若∠ BAE=55°,则∠ D1AD= 55° .【剖析】由平行四边形的性质和折叠的性质得出∠D1∠,得出∠1AE=BAD D AD=∠BAE=55°即可.【解答】解:∵四边形 ABCD是平行四边形,∴∠ BAD=∠C,由折叠的性质得:∠ D1AE=∠ C,∴∠ D1AE=∠ BAD,∴∠ D1AD=∠ BAE=55°;故答案为: 55°.【评论】本题考察了平行四边形的性质、折叠的性质;由平行四边形和折叠的性质得出∠ D1AE=∠BAD 是解决问题的重点.21.(2016?常州)如图,△ APB中,AB=2,∠ APB=90°,在 AB 的同侧作正△ ABD、正△ APE和正△ BPC,则四边形 PCDE面积的最大值是1.【剖析】先延伸 EP交 BC于点 F,得出 PF⊥BC,再判断四边形 CDEP为平行四边形,依据平行四边形的性质得出:四边形 CDEP的面积 =EP×CF=a× b= ab,最后依据 a2+b2=4,判断ab 的最大值即可.【解答】解:延伸 EP交 BC于点 F,∵∠ APB=90°,∠ APE=∠BPC=60°,∴∠ EPC=150°,∴∠ CPF=180°﹣150°=30°,∴PF均分∠BPC,又∵ PB=PC,∴PF⊥BC,设 Rt△ABP中, AP=a, BP=b,则CF= CP= b,a2+b2=22=4,∵△ APE和△ ABD都是等边三角形,∴AE=AP,AD=AB,∠ EAP=∠ DAB=60°,∴∠ EAD=∠PAB,∴△ EAD≌△ PAB(SAS),∴ED=PB=CP,同理可得:△ APB≌△ DCB(SAS),∴EP=AP=CD,∴四边形 CDEP是平行四边形,∴四边形 CDEP的面积 =EP×CF=a×b=ab,又∵( a﹣b)2=a2﹣2ab+b2≥ 0,∴2ab≤a2+b2=4,∴ab≤1,即四边形 PCDE面积的最大值为1.故答案为: 1【评论】本题主要考察了等边三角形的性质、平行四边形的判断与性质以及全等三角形的判断与性质,解决问题的重点是作协助线结构平行四边形的高线.22.( 2016?盐城)如图,已知菱形 ABCD的边长 2,∠ A=60°,点 E、F 分别在边AB、AD 上,若将△ AEF沿直线 EF折叠,使得点 A 恰巧落在 CD边的中点 G 处,则EF=.【剖析】延伸 CD,过点 F 作 FM⊥CD于点 M,连结 GB、 BD,作 FH⊥AE 交于点H,由菱形的性质和已知条件得出∠ MFD=30°,设 MD=x,则 DF=2x, FM= x,得出 MG=x+1,由勾股定理得出(x+1)2+(x)2=(2﹣2x)2,解方程得出 DF=0.6,AF=1.4,求出 AH= AF=0.7,FH=,证明△ DCB是等边三角形,得出BG⊥CD,由勾股定理求出BG=,设BE=y,则GE=2﹣y,由勾股定理得出()2+y2=(2﹣y)2,解方程求出 y=0.25,得出 AE、 EH,再由勾股定理求出 EF即可.【解答】解:延伸 CD,过点 F 作 FM⊥CD于点 M ,连结 GB、BD,作 FH⊥ AE交于点 H,以下图:∵∠ A=60°,四边形 ABCD是菱形,∴∠ MDF=60°,∴∠ MFD=30°,设 MD=x,则 DF=2x, FM= x,∵DG=1,∴ MG=x+1,∴( x+1)2 +(x)2=(2﹣2x)2,∴DF=0.6, AF=1.4,∴ AH= AF=0.7,FH=AF?sin∠ A=1.4×=,∵CD=BC,∠ C=60°,∴△DCB是等边三角形,∵G 是 CD的中点,∴BG⊥CD,∵BC=2,GC=1,∴BG= ,设 BE=y,则 GE=2﹣ y,∴()2+y2=(2﹣y)2,解得: y=0.25,∴ AE=1.75,∴ EH=AE﹣AH=1.75﹣0.7=1.05,∴EF===.故答案为:.【评论】本题考察了菱形的性质、翻折变换的性质、勾股定理、等边三角形的判断与性质等知识;本题综合性强,难度较大,运用勾股定理得出方程是解决问题的重点.23.( 2016?丽水)如图,在菱形ABCD中,过点 B 作 BE⊥AD,BF⊥CD,垂足分别为点 E,F,延伸 BD 至 G,使得 DG=BD,连结 EG,FG,若 AE=DE,则=.【剖析】连结AC、EF,依据菱形的对角线相互垂直均分可得AC⊥BD,依据线段垂直均分线上的点到线段两头点的距离相等可得AB=BD,而后判断出△ABD 是等边三角形,再依据等边三角形的三个角都是60°求出∠ADB=60°,设EF 与BD 订交于点 H,AB=4x,而后依据三角形的中位线平行于第三边而且等于第三边的一半求出 EH,再求出 DH,从而获得 GH,利用勾股定理列式求出 EG,最后求出比值即可.【解答】解:如图,连结 AC、 EF,在菱形 ABCD中, AC⊥BD,∵BE⊥AD,AE=DE,∴ AB=BD,又∵菱形的边 AB=AD,∴△ABD是等边三角形,∴∠ ADB=60°,设 EF与 BD 订交于点 H, AB=4x,∵AE=DE,∴由菱形的对称性, CF=DF,∴ EF是△ ACD的中位线,∴DH= DO= BD=x,在 Rt△EDH中, EH= DH= x,∵DG=BD,∴ GH=BD+DH=4x+x=5x,在 Rt△EGH中,由勾股定理得, EG===2x,所以,==.故答案为:.【评论】本题考察了菱形的性质,等边三角形的判断与性质,勾股定理,三角形的中位线平行于第三边而且等于第三边的一半,难点在于作协助线结构出直角三角形以及三角形的中位线.24.(2016?青岛)如图,在正方形 ABCD中,对角线 AC与 BD 订交于点 O,E 为BC上一点, CE=5,F 为 DE 的中点.若△ CEF的周长为 18,则 OF的长为.【剖析】先依据直角三角形的性质求出 DE 的长,再由勾股定理得出 CD 的长,从而可得出 BE的长,由三角形中位线定理即可得出结论.【解答】解:∵ CE=5,△ CEF的周长为 18,∴CF+EF=18﹣5=13.∵F为 DE的中点,∴DF=EF.∵∠ BCD=90°,∴CF= DE,∴EF=CF= DE=6.5,∴DE=2EF=13,∴CD===12.∵四边形 ABCD是正方形,∴BC=CD=12,O 为 BD 的中点,∴OF是△ BDE的中位线,∴OF= (BC﹣CE)= (12﹣5)= .故答案为:.【评论】本题考察的是正方形的性质,波及到直角三角形的性质、三角形中位线定理等知识,难度适中.三.解答题(共16 小题)25.( 2016?北京)如图,四边形 ABCD是平行四边形, AE均分∠ BAD,交 DC 的延伸线于点 E.求证: DA=DE.【剖析】由平行四边形的性质得出 AB∥ CD,得出内错角相等∠ E=∠ BAE,再由角均分线证出∠ E=∠DAE,即可得出结论.【解答】证明:∵四边形 ABCD是平行四边形,∴AB∥CD,∴∠ E=∠BAE,∵AE均分∠BAD,∴∠BAE=∠DAE,∴∠ E=∠DAE,∴DA=DE.【评论】本题考察了平行四边形的性质、平行线的性质、等腰三角形的判断;娴熟掌握平行四边形的性质,证出∠ E=∠ DAE是解决问题的重点.26.( 2016?淄博)如图,已知△ ABC,AD 均分∠ BAC交 BC于点 D, BC的中点为M, ME∥ AD,交 BA 的延伸线于点 E,交 AC于点 F.(1)求证: AE=AF;(2)求证: BE= (AB+AC).【剖析】(1)欲证明 AE=AF,只需证明∠ AEF=∠ AFE即可.(2)作 CG∥EM,交 BA的延伸线于 G,先证明 AC=AG,再证明 BE=EG即可解决问题.【解答】证明:(1)∵ DA 均分∠ BAC,∴∠ BAD=∠CAD,∵ AD∥EM,∴∠ BAD=∠AEF,∠ CAD=∠AFE,∴∠ AEF=∠AFE,∴ AE=AF.(2)作 CG∥EM,交 BA 的延伸线于 G.∵EF∥CG,∴∠ G=∠ AEF,∠ ACG=∠ AFE,∵∠ AEF=∠AFE,∴∠ G=∠ ACG,∴AG=AC,∵ EM∥ CG,∴= ,∵ BM=CM,∴BE=EG,∴BE= BG= (BA+AG)= (AB+AC).【评论】本题考察三角形中位线定理、角均分线的性质、等腰三角形的判断和性质等知识,解题的重点是增添协助线,结构等腰三角形,以及三角形中位线,属于中考常考题型.27.( 2017 春?泉山区校级月考)已知:如图,矩形 ABCD的对角线 AC、BD 订交于点 O,CE∥DB,交 AB的延伸线于点 E.求证: AC=EC.【剖析】先由矩形的对角线相等得出 AC=DB,再证明四边形 CDBE是平行四边形,得出对边相等 DB=CE,即可得出 AC=CE.【解答】证明:∵四边形 ABCD是矩形,∴AC=DB, AB∥DC,∴DC∥BE,又∵ CE∥ DB,∴四边形 CDBE是平行四边形,∴DB=CE,第 36 页(共 56 页)∴AC=CE.【评论】本题考察了矩形的性质以及平行四边形的判断与性质;娴熟掌握矩形的性质和证明平行四边形是解决问题的重点.28.( 2016?梅州)如图,平行四边形 ABCD中,BD⊥AD,∠A=45°,E、 F 分别是AB、CD上的点,且 BE=DF,连结 EF交 BD于 O.(1)求证: BO=DO;(2)若 EF⊥ AB,延伸 EF交 AD 的延伸线于 G,当 FG=1时,求 AE的长.【剖析】(1)由平行四边形的性质和 AAS证明△ OBE≌△ ODF,得出对应边相等即可;(2)证出 AE=GE,再证明 DG=DO,得出 OF=FG=1,即可得出结果.【解答】(1)证明:∵四边形 ABCD是平行四边形,∴ DC∥AB,∴∠ OBE=∠ODF.在△ OBE与△ ODF中,∴△ OBE≌△ ODF(AAS).∴BO=DO.(2)解:∵ EF⊥AB,AB∥ DC,∴∠ GEA=∠GFD=90°.∵∠ A=45°,∴∠G=∠ A=45°.∴AE=GE∵BD⊥AD,。
初中数学平行四边形提高题与常考题和培优题含解析

数学平行四边形提高题与常考题和培优题(含解析)一.选择题(共12小题)1.如图,DE是△ABC的中位线,过点C作CF∥BD交DE的延长线于点F,那么以下结论正确的选项是()A.EF=CF B.EF=DE C.CF<BD D.EF>DE2.如图,在△ABC中,∠ABC=90°,AB=8,BC=6.假设DE是△ABC的中位线,延长DE交△ABC 的外角∠ACM的平分线于点F,那么线段DF的长为()A.7 B.8 C.9 D.103.如图,在△ABC中,AB=4,BC=6,DE、DF是△ABC的中位线,那么四边形BEDF的周长是()A.5 B.7 C.8 D.104.如图,在△ABC中,点D,E别离是边AB,AC的中点,AF⊥BC,垂足为点F,∠ADE=30°,DF=4,那么BF的长为()A.4 B.8 C.2D.45.如图,将矩形纸片ABCD沿其对角线AC折叠,使点B落到点B′的位置,AB′与CD交于点E,假设AB=8,AD=3,那么图中阴影部份的周长为()A.11 B.16 C.19 D.226.如图,在▱ABCD中,AB=6,BC=8,∠C的平分线交AD于E,交BA的延长线于F,那么AE+AF的值等于()A.2 B.3 C.4 D.67.如图,平行四边形ABCD的周长是26cm,对角线AC与BD交于点O,AC⊥AB,E是BC中点,△AOD的周长比△AOB的周长多3cm,那么AE的长度为()A.3cm B.4cm C.5cm D.8cm8.如图,在▱ABCD中,AB=12,AD=8,∠ABC的平分线交CD于点F,交AD的延长线于点E,CG⊥BE,垂足为G,假设EF=2,那么线段CG的长为()A.B.4C.2D.9.关于▱ABCD的表达,正确的选项是()A.假设AB⊥BC,那么▱ABCD是菱形B.若AC⊥BD,那么▱ABCD是正方形C.假设AC=BD,那么▱ABCD是矩形D.若AB=AD,则▱ABCD是正方形10.如图,在▱ABCD中,BF平分∠ABC,交AD于点F,CE平分∠BCD,交AD于点E,AB=6,EF=2,那么BC长为()A.8 B.10 C.12 D.1411.如图,将▱ABCD沿对角线AC折叠,使点B落在B′处,假设∠1=∠2=44°,那么∠B为()A.66° B.104°C.114°D.124°12.已知菱形OABC在平面直角坐标系的位置如下图,极点A(5,0),OB=4,点P是对角线OB上的一个动点,D(0,1),当CP+DP最短时,点P的坐标为()A.(0,0)B.(1,)C.(,)D.(,)二.填空题(共12小题)13.如图,在平行四边形ABCD中,AB=4,BC=5,∠ABC=60°,平行四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O,过点O作OE⊥AD,那么OE= .14.如图,在△ABC中,点D、E、F别离是边AB、BC、CA上的中点,且AB=6cm,AC=8cm,那么四边形ADEF的周长等于cm.15.如图,▱ABCD中,∠ABC=60°,E、F别离在CD和BC的延长线上,AE∥BD,EF⊥BC,EF=3,那么AB的长是.16.有3个正方形如下图放置,阴影部份的面积依次记为S1,S2,那么S1:S2= .17.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,M、N别离是AB、AC的中点,延长BC至点D,使CD= BD,连接DM、DN、MN.假设AB=6,那么DN= .18.如图,在▱ABCD中,E为边CD上一点,将△ADE沿AE折叠至△AD′E处,AD′与CE交于点F.假设∠B=52°,∠DAE=20°,那么∠FED′的大小为.19.如图,在Rt△ABC中,∠B=90°,AB=4,BC>AB,点D在BC上,以AC为对角线的平行四边形ADCE中,DE的最小值是.20.如图,把平行四边形ABCD折叠,使点C与点A重合,这时点D落在D1,折痕为EF,假设∠BAE=55°,那么∠D1AD= .21.如图,△APB中,AB=2,∠APB=90°,在AB的同侧作正△ABD、正△APE和正△BPC,那么四边形PCDE面积的最大值是.22.如图,已知菱形ABCD的边长2,∠A=60°,点E、F别离在边AB、AD上,假设将△AEF沿直线EF折叠,使得点A恰好落在CD边的中点G处,那么EF=.23.如图,在菱形ABCD中,过点B作BE⊥AD,BF⊥CD,垂足别离为点E,F,延长BD至G,使得DG=BD,连结EG,FG,假设AE=DE,那么=.24.如图,在正方形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,E为BC上一点,CE=5,F为DE的中点.假设△CEF的周长为18,那么OF的长为.三.解答题(共16小题)25.如图,四边形ABCD是平行四边形,AE平分∠BAD,交DC的延长线于点E.求证:DA=DE.26.如图,已知△ABC,AD平分∠BAC交BC于点D,BC的中点为M,ME∥AD,交BA的延长线于点E,交AC于点F.(1)求证:AE=AF;(2)求证:BE=(AB+AC).27.已知:如图,矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O,CE∥DB,交AB的延长线于点E.求证:AC=EC.28.如图,平行四边形ABCD中,BD⊥AD,∠A=45°,E、F别离是AB、CD上的点,且BE=DF,连接EF交BD于O.(1)求证:BO=DO;(2)假设EF⊥AB,延长EF交AD的延长线于G,当FG=1时,求AE的长.29.如图,在四边形ABCD中,∠ABC=90°,AC=AD,M,N别离为AC,CD的中点,连接BM,MN,BN.(1)求证:BM=MN;(2)∠BAD=60°,AC平分∠BAD,AC=2,求BN的长.30.在平行四边形ABCD中,E是AD上一点,AE=AB,过点E作直线EF,在EF上取一点G,使得∠EGB=∠EAB,连接AG.(1)如图①,当EF与AB相交时,假设∠EAB=60°,求证:EG=AG+BG;(2)如图②,当EF与CD相交时,且∠EAB=90°,请你写出线段EG、AG、BG之间的数量关系,并证明你的结论.31.如图,四边形ABCD为平行四边形,∠BAD的角平分线AE交CD于点F,交BC的延长线于点E.(1)求证:BE=CD;(2)连接BF,假设BF⊥AE,∠BEA=60°,AB=4,求平行四边形ABCD的面积.32.如图,▱ABCD中,AB=2,AD=1,∠ADC=60°,将▱ABCD沿过点A的直线l折叠,使点D落到AB边上的点D′处,折痕交CD边于点E.(1)求证:四边形BCED′是菱形;(2)假设点P是直线l上的一个动点,请计算PD′+PB的最小值.33.如图,在▱ABCD中,连接BD,在BD的延长线上取一点E,在DB的延长线上取一点F,使BF=DE,连接AF、CE.求证:AF∥CE.34.如图,在▱ABCD中,E是BC的中点,连接AE并延长交DC的延长线于点F.(1)求证:AB=CF;(2)连接DE,假设AD=2AB,求证:DE⊥AF.35.如图,▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O,EF过点O且与AB、CD别离相交于点E、F,连接EC.(1)求证:OE=OF;(2)假设EF⊥AC,△BEC的周长是10,求▱ABCD的周长.36.如图,在▱ABCD中,E、F别离为边AD、BC的中点,对角线AC别离交BE,DF于点G、H.求证:AG=CH.37.如图,别离以Rt△ABC的直角边AC及斜边AB向外作等边△ACD及等边△ABE,已知:∠BAC=30°,EF⊥AB,垂足为F,连接DF.(1)试说明AC=EF;(2)求证:四边形ADFE是平行四边形.38.如图,BD是△ABC的角平分线,它的垂直平分线别离交AB,BD,BC于点E,F,G,连接ED,DG.(1)请判定四边形EBGD的形状,并说明理由;(2)假设∠ABC=30°,∠C=45°,ED=2,点H是BD上的一个动点,求HG+HC的最小值.39.如图1,已知点E,F,G,H别离是四边形ABCD各边AB,BC,CD,DA的中点,依照以下思路能够证明四边形EFGH是平行四边形:(1)如图2,将图1中的点C移动至与点E重合的位置,F,G,H仍是BC,CD,DA的中点,求证:四边形CFGH是平行四边形;(2)如图3,在边长为1的小正方形组成的5×5网格中,点A,C,B都在格点上,在格点上画出点D,使点C与BC,CD,DA的中点F,G,H组成正方形CFGH;(3)在(2)条件下求出正方形CFGH的边长.40.咱们给出如下概念:按序连接任意一个四边形各边中点所得的四边形叫中点四边形.(1)如图1,四边形ABCD中,点E,F,G,H别离为边AB,BC,CD,DA的中点.求证:中点四边形EFGH是平行四边形;(2)如图2,点P是四边形ABCD内一点,且知足PA=PB,PC=PD,∠APB=∠CPD,点E,F,G,H 别离为边AB,BC,CD,DA的中点,猜想中点四边形EFGH的形状,并证明你的猜想;(3)假设改变(2)中的条件,使∠APB=∠CPD=90°,其他条件不变,直接写出中点四边形EFGH 的形状.(没必要证明)数学平行四边形提高题与常考题和培优题(含解析)参考答案与试题解析一.选择题(共12小题)1.(2016•厦门)如图,DE是△ABC的中位线,过点C作CF∥BD交DE的延长线于点F,那么以下结论正确的选项是()A.EF=CF B.EF=DE C.CF<BD D.EF>DE【分析】第一依照三角形的中位线定理得出AE=EC,然后依照CF∥BD得出∠ADE=∠F,继而依照AAS证得△ADE≌△CFE,最后依照全等三角形的性质即可推出EF=DE.【解答】解:∵DE是△ABC的中位线,∴E为AC中点,∴AE=EC,∵CF∥BD,∴∠ADE=∠F,在△ADE和△CFE中,∵,∴△ADE≌△CFE(AAS),∴DE=FE.应选B.【点评】此题考查了三角形中位线定理和全等三角形的判定与性质,解答此题的关键是依照中位线定理和平行线的性质得出AE=EC、∠ADE=∠F,判定三角形的全等.2.(2016•陕西)如图,在△ABC中,∠ABC=90°,AB=8,BC=6.假设DE是△ABC的中位线,延长DE交△ABC的外角∠ACM的平分线于点F,那么线段DF的长为()A.7 B.8 C.9 D.10【分析】依照三角形中位线定理求出DE,取得DF∥BM,再证明EC=EF=AC,由此即可解决问题.【解答】解:在RT△ABC中,∵∠ABC=90°,AB=8,BC=6,∴AC===10,∵DE是△ABC的中位线,∴DF∥BM,DE=BC=3,∴∠EFC=∠FCM,∵∠FCE=∠FCM,∴∠EFC=∠ECF,∴EC=EF=AC=5,∴DF=DE+EF=3+5=8.应选B.【点评】此题考查三角形中位线定理、等腰三角形的判定和性质、勾股定理等知识,解题的关键是灵活应用三角形中位线定理,把握等腰三角形的判定和性质,属于中考常考题型.3.(2016•宾客)如图,在△ABC中,AB=4,BC=6,DE、DF是△ABC的中位线,那么四边形BEDF 的周长是()A.5 B.7 C.8 D.10【分析】由中位线的性质可知DE=,DF=,DE∥BF,DF∥BE,可知四边形BEDF为平行四边形,从而可得周长.【解答】解:∵AB=4,BC=6,DE、DF是△ABC的中位线,∴DE==2,DF==3,DE∥BF,DF∥BE,∴四边形BEDF为平行四边形,∴四边形BEDF的周长为:2×2+3×2=10,应选D.【点评】此题要紧考查了三角形中位线的性质,利用中位线的性质证得四边形BEDF为平行四边形是解答此题的关键4.(2016•葫芦岛)如图,在△ABC中,点D,E别离是边AB,AC的中点,AF⊥BC,垂足为点F,∠ADE=30°,DF=4,那么BF的长为()A.4 B.8 C.2 D.4【分析】先利用直角三角形斜边中线性质求出AB,再在RT△ABF中,利用30角所对的直角边等于斜边的一半,求出AF即可解决问题.【解答】解:在RT△ABF中,∵∠AFB=90°,AD=DB,DF=4,∴AB=2DF=8,∵AD=DB,AE=EC,∴DE∥BC,∴∠ADE=∠ABF=30°,∴AF=AB=4,∴BF===4.应选D.【点评】此题考查三角形中位线性质、含30度角的直角三角形性质、直角三角形斜边中线性质、勾股定理等知识,解题的关键是灵活应用这些知识解决问题,属于中考常考题型.5.(2017•河北一模)如图,将矩形纸片ABCD沿其对角线AC折叠,使点B落到点B′的位置,AB′与CD交于点E,假设AB=8,AD=3,那么图中阴影部份的周长为()A.11 B.16 C.19 D.22【分析】第一由四边形ABCD为矩形及折叠的特性,取得B′C=BC=AD,∠B′=∠B=∠D=90°,∠B′EC=∠DEA,取得△AED≌△CEB′,得出EA=EC,再由阴影部份的周长为AD+DE+EA+EB′+B′C+EC,即矩形的周长解答即可.【解答】解:∵四边形ABCD为矩形,∴B′C=BC=AD,∠B′=∠B=∠D=90°∵∠B′EC=∠DEA,在△AED和△CEB′中,,∴△AED≌△CEB′(AAS);∴EA=EC,∴阴影部份的周长为AD+DE+EA+EB′+B′C+EC,=AD+DE+EC+EA+EB′+B′C,=AD+DC+AB′+B′C,=3+8+8+3,=22,应选D.【点评】此题要紧考查了图形的折叠问题,全等三角形的判定和性质,及矩形的性质.熟记翻折前后两个图形能够重合找出相等的角是解题的关键.6.(2016•泰安)如图,在▱ABCD中,AB=6,BC=8,∠C的平分线交AD于E,交BA的延长线于F,那么AE+AF的值等于()A.2 B.3 C.4 D.6【分析】由平行四边形的性质和角平分线得出∠F=∠FCB,证出BF=BC=8,同理:DE=CD=6,求出AF=BF﹣AB=2,AE=AD﹣DE=2,即可得出结果.【解答】解:∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB∥CD,AD=BC=8,CD=AB=6,∴∠F=∠DCF,∵CF平分∠BCD,∴∠FCB=∠DCF,∴∠F=∠FCB,∴BF=BC=8,同理:DE=CD=6,∴AF=BF﹣AB=2,AE=AD﹣DE=2,∴AE+AF=4;应选:C.【点评】此题考查了平行四边形的性质、等腰三角形的判定;熟练把握平行四边形的性质,证明三角形是等腰三角形是解决问题的关键.7.(2016•绵阳)如图,平行四边形ABCD的周长是26cm,对角线AC与BD交于点O,AC⊥AB,E 是BC中点,△AOD的周长比△AOB的周长多3cm,那么AE的长度为()A.3cm B.4cm C.5cm D.8cm【分析】由▱ABCD的周长为26cm,对角线AC、BD相交于点O,假设△AOD的周长比△AOB的周长多3cm,可得AB+AD=13cm,AD﹣AB=3cm,求出AB和AD的长,得出BC的长,再由直角三角形斜边上的中线性质即可求得答案.【解答】解:∵▱ABCD的周长为26cm,∴AB+AD=13cm,OB=OD,∵△AOD的周长比△AOB的周长多3cm,∴(OA+OD+AD)﹣(OA+OB+AB)=AD﹣AB=3cm,∴AB=5cm,AD=8cm.∴BC=AD=8cm.∵AC⊥AB,E是BC中点,∴AE=BC=4cm;应选:B.【点评】此题考查了平行四边形的性质、直角三角形斜边上的中线性质.熟练把握平行四边形的性质,由直角三角形斜边上的中线性质求出AE是解决问题的关键.8.(2016•济南)如图,在▱ABCD中,AB=12,AD=8,∠ABC的平分线交CD于点F,交AD的延长线于点E,CG⊥BE,垂足为G,假设EF=2,那么线段CG的长为()A.B.4 C.2D.【分析】先由平行四边形的性质和角平分线的概念,判定出∠CBE=∠CFB=∠ABE=∠E,从而取得CF=BC=8,AE=AB=12,再用平行线分线段成比例定理求出BE,然后用等腰三角形的三线合一求出BG,最后用勾股定理即可.【解答】解:∵∠ABC的平分线交CD于点F,∴∠ABE=∠CBE,∵四边形ABCD是平行四边形,∴DC∥AB,∴∠CBE=∠CFB=∠ABE=∠E,∴CF=BC=AD=8,AE=AB=12,∵AD=8,∴DE=4,∵DC∥AB,∴,∴,∴EB=6,∵CF=CB,CG⊥BF,∴BG=BF=2,在Rt△BCG中,BC=8,BG=2,依照勾股定理得,CG===2,应选:C.【点评】此题是平行四边形的性质,要紧考查了角平分线的概念,平行线分线段成比例定理,等腰三角形的性质和判定,勾股定理,解此题的关键是求出AE,记住:题目中显现平行线和角平分线时,极易显现等腰三角形这一特点.9.(2016•河北)关于▱ABCD的表达,正确的选项是()A.假设AB⊥BC,那么▱ABCD是菱形B.若AC⊥BD,那么▱ABCD是正方形C.假设AC=BD,那么▱ABCD是矩形 D.若AB=AD,则▱ABCD是正方形【分析】由菱形的判定方式、矩形的判定方式、正方形的判定方式得出选项A、B、D错误,C正确;即可得出结论.【解答】解:∵▱ABCD中,AB⊥BC,∴四边形ABCD是矩形,不必然是菱形,选项A错误;∵▱ABCD中,AC⊥BD,∴四边形ABCD是菱形,不必然是正方形,选项B错误;∵▱ABCD中,AC=BD,∴四边形ABCD是矩形,选项C正确;∵▱ABCD中,AB=AD,∴四边形ABCD是菱形,不必然是正方形,选项D错误;应选:C.【点评】此题考查了平行四边形的性质、菱形的判定方式、矩形的判定方式、正方形的判定方式;熟练把握矩形、菱形、正方形的判定方式是解决问题的关键.10.(2016•丹东)如图,在▱ABCD中,BF平分∠ABC,交AD于点F,CE平分∠BCD,交AD于点E,AB=6,EF=2,那么BC长为()A.8 B.10 C.12 D.14【分析】由平行四边形的性质和角平分线得出∠ABF=∠AFB,得出AF=AB=6,同理可证DE=DC=6,再由EF的长,即可求出BC的长.【解答】解:∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD∥BC,DC=AB=6,AD=BC,∴∠AFB=∠FBC,∵BF平分∠ABC,∴∠ABF=∠FBC,则∠ABF=∠AFB,∴AF=AB=6,同理可证:DE=DC=6,∵EF=AF+DE﹣AD=2,即6+6﹣AD=2,解得:AD=10;应选:B.【点评】此题要紧考查了平行四边形的性质、等腰三角形的判定;熟练把握平行四边形的性质,证出AF=AB是解决问题的关键.11.(2016•河北)如图,将▱ABCD沿对角线AC折叠,使点B落在B′处,假设∠1=∠2=44°,那么∠B为()A.66°B.104°C.114° D.124°【分析】由平行四边形的性质和折叠的性质得出∠ACD=∠BAC=∠B′AC,由三角形的外角性质求出∠BAC=∠ACD=∠B′AC=∠1=22°,再由三角形内角和定理求出∠B即可.【解答】解:∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB∥CD,∴∠ACD=∠BAC,由折叠的性质得:∠BAC=∠B′AC,∴∠BAC=∠ACD=∠B′AC=∠1=22°,∴∠B=180°﹣∠2﹣∠BAC=180°﹣44°﹣22°=114°;应选:C.【点评】此题考查了平行四边形的性质、折叠的性质、三角形的外角性质和三角形内角和定理;熟练把握平行四边形的性质,求出∠BAC的度数是解决问题的关键.12.(2016•咸宁)已知菱形OABC在平面直角坐标系的位置如下图,极点A(5,0),OB=4,点P是对角线OB上的一个动点,D(0,1),当CP+DP最短时,点P的坐标为()A.(0,0) B.(1,)C.(,)D.(,)【分析】如图连接AC,AD,别离交OB于G、P,作BK⊥OA于K.第一说明点P确实是所求的点,再求出点B坐标,求出直线OB、DA,列方程组即可解决问题.【解答】解:如图连接AC,AD,别离交OB于G、P,作BK⊥OA于K.∵四边形OABC是菱形,∴AC⊥OB,GC=AG,OG=BG=2,A、C关于直线OB对称,∴PC+PD=PA+PD=DA,∴现在PC+PD最短,在RT△AOG中,AG===,∴AC=2,∵OA•BK=•AC•OB,∴BK=4,AK==3,∴点B坐标(8,4),∴直线OB解析式为y=x,直线AD解析式为y=﹣x+1,由解得,∴点P坐标(,).应选D.【点评】此题考查菱形的性质、轴对称﹣最短问题、坐标与图象的性质等知识,解题的关键是正确找到点P位置,构建一次函数,列出方程组求交点坐标,属于中考常考题型.二.填空题(共12小题)13.(2017•新城区校级模拟)如图,在平行四边形ABCD中,AB=4,BC=5,∠ABC=60°,平行四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O,过点O作OE⊥AD,那么OE=.【分析】作CF⊥AD于F,由平行四边形的性质得出∠ADC=∠ABC=60°,CD=AB=4,OA=OC,求出∠DCF=30°,由直角三角形的性质得出DF=CD=2,求出CF=DF=2,证出OE是△ACF的中位线,由三角形中位线定理得出OE的长即可.【解答】解:作CF⊥AD于F,如下图:∵四边形ABCD是平行四边形,∴∠ADC=∠ABC=60°,CD=AB=4,OA=OC,∴∠DCF=30°,∴DF=CD=2,∴CF=DF=2,∵CF⊥AD,OE⊥AD,CF∥OE,∵OA=OC,∴OE是△ACF的中位线,∴OE=CF=;故答案为:.【点评】此题考查了平行四边形的性质、直角三角形的性质、勾股定理、三角形中位线定理等知识;熟练把握平行四边形的性质,证出OE是三角形的中位线是解决问题的关键.14.(2016•张家界)如图,在△ABC中,点D、E、F别离是边AB、BC、CA上的中点,且AB=6cm,AC=8cm,那么四边形ADEF的周长等于14cm.【分析】第一证明四边形ADEF是平行四边形,依照三角形中位线定理求出DE、EF即可解决问题.【解答】解:∵BD=AD,BE=EC,∴DE=AC=4cm,DE∥AC,∵CF=FA,CE=BE,∴EF=AB=3cm,EF∥AB,∴四边形ADEF是平行四边形,∴四边形ADEF的周长=2(DE+EF)=14cm.故答案为14.【点评】此题考查三角形中位线定理、平行四边形的判定和性质等知识,解题的关键是显现中点想到三角形中位线定理,记住三角形中位线平行于第三边且等于第三边的一半,属于中考常考题型.15.(2017秋•海宁市校级月考)如图,▱ABCD中,∠ABC=60°,E、F别离在CD和BC的延长线上,AE∥BD,EF⊥BC,EF=3,那么AB的长是.【分析】依照直角三角形性质求出CE长,利用勾股定理即可求出AB的长.【解答】解:∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB∥DC,AB=CD,∵AE∥BD,∴四边形ABDE是平行四边形,∴AB=DE=CD,即D为CE中点,∵EF⊥BC,∴∠EFC=90°,∵AB∥CD,∴∠DCF=∠ABC=60°,∴∠CEF=30°,∵EF=3,∴CE==2,∴AB=,故答案为:.【点评】此题考查了平行线性质,勾股定理,直角三角形斜边上中线性质,含30度角的直角三角形性质等知识点的应用,此题综合性比较强.16.(2017•河北区模拟)有3个正方形如下图放置,阴影部份的面积依次记为S1,S2,那么S1:S2= 4:9.【分析】设大正方形的边长为x,再依照相似的性质求出S1、S2与正方形面积的关系,然后进行计算即可得出答案.【解答】解:设大正方形的边长为x,依照图形可得:∵=,∴=,∴=,∴S1=S正方形ABCD,∴S1=x2,∵=,∴=,∴S2=S正方形ABCD,∴S2=x2,∴S1:S2=x2:x2=4:9.故答案是:4:9.【点评】此题考查了正方形的性质,用到的知识点是正方形的性质、相似三角形的性质、正方形的面积公式,关键是依照题意求出S1、S2与正方形面积的关系.17.(2016•随州)如图,在△ABC中,∠ACB=90°,M、N别离是AB、AC的中点,延长BC至点D,使CD=BD,连接DM、DN、MN.假设AB=6,那么DN=3.【分析】连接CM,依照三角形中位线定理取得NM=CB,MN∥BC,证明四边形DCMN是平行四边形,取得DN=CM,依照直角三角形的性质取得CM=AB=3,等量代换即可.【解答】解:连接CM,∵M、N别离是AB、AC的中点,∴NM=CB,MN∥BC,又CD=BD,∴MN=CD,又MN∥BC,∴四边形DCMN是平行四边形,∴DN=CM,∵∠ACB=90°,M是AB的中点,∴CM=AB=3,∴DN=3,故答案为:3.【点评】此题考查的是三角形的中位线定理、直角三角形的性质、平行四边形的判定和性质,把握三角形的中位线平行于第三边,而且等于第三边的一半是解题的关键.18.(2016•武汉)如图,在▱ABCD中,E为边CD上一点,将△ADE沿AE折叠至△AD′E处,AD′与CE交于点F.假设∠B=52°,∠DAE=20°,那么∠FED′的大小为36°.【分析】由平行四边形的性质得出∠D=∠B=52°,由折叠的性质得:∠D′=∠D=52°,∠EAD′=∠DAE=20°,由三角形的外角性质求出∠AEF=72°,与三角形内角和定理求出∠AED′=108°,即可得出∠FED′的大小.【解答】解:∵四边形ABCD是平行四边形,∴∠D=∠B=52°,由折叠的性质得:∠D′=∠D=52°,∠EAD′=∠DAE=20°,∴∠AEF=∠D+∠DAE=52°+20°=72°,∠AED′=180°﹣∠EAD′﹣∠D′=108°,∴∠FED′=108°﹣72°=36°;故答案为:36°.【点评】此题考查了平行四边形的性质、折叠的性质、三角形的外角性质和三角形内角和定理;熟练把握平行四边形的性质和折叠的性质,求出∠AEF和∠AED′是解决问题的关键.19.(2016•东营)如图,在Rt△ABC中,∠B=90°,AB=4,BC>AB,点D在BC上,以AC为对角线的平行四边形ADCE中,DE的最小值是4.【分析】第一证明BC∥AE,当DE⊥BC时,DE最短,只要证明四边形ABDE是矩形即可解决问题.【解答】解:∵四边形ADCE是平行四边形,∴BC∥AE,∴当DE⊥BC时,DE最短,现在∵∠B=90°,∴AB⊥BC,∴DE∥AB,∴四边形ABDE是平行四边形,∵∠B=90°,∴四边形ABDE是矩形,∴DE=AB=4,∴DE的最小值为4.故答案为4.【点评】此题考查平行四边形的性质、垂线段最短等知识,解题的关键是找到DE的位置,学会利用垂线段最短解决问题,属于中考常考题型.20.(2016•常德)如图,把平行四边形ABCD折叠,使点C与点A重合,这时点D落在D1,折痕为EF,假设∠BAE=55°,那么∠D1AD=55°.【分析】由平行四边形的性质和折叠的性质得出∠D1AE=∠BAD,得出∠D1AD=∠BAE=55°即可.【解答】解:∵四边形ABCD是平行四边形,∴∠BAD=∠C,由折叠的性质得:∠D1AE=∠C,∴∠D1AE=∠BAD,∴∠D1AD=∠BAE=55°;故答案为:55°.【点评】此题考查了平行四边形的性质、折叠的性质;由平行四边形和折叠的性质得出∠D1AE=∠BAD是解决问题的关键.21.(2016•常州)如图,△APB中,AB=2,∠APB=90°,在AB的同侧作正△ABD、正△APE和正△BPC,那么四边形PCDE面积的最大值是1.【分析】先延长EP交BC于点F,得出PF⊥BC,再判定四边形CDEP为平行四边形,依照平行四边形的性质得出:四边形CDEP的面积=EP×CF=a×b=ab,最后依照a2+b2=4,判定ab的最大值即可.【解答】解:延长EP交BC于点F,∵∠APB=90°,∠APE=∠BPC=60°,∴∠EPC=150°,∴∠CPF=180°﹣150°=30°,∴PF平分∠BPC,又∵PB=PC,∴PF⊥BC,设Rt△ABP中,AP=a,BP=b,那么CF=CP=b,a2+b2=22=4,∵△APE和△ABD都是等边三角形,∴AE=AP,AD=AB,∠EAP=∠DAB=60°,∴∠EAD=∠PAB,∴△EAD≌△PAB(SAS),同理可得:△APB≌△DCB(SAS),∴EP=AP=CD,∴四边形CDEP是平行四边形,∴四边形CDEP的面积=EP×CF=a×b=ab,又∵(a﹣b)2=a2﹣2ab+b2≥0,∴2ab≤a2+b2=4,∴ab≤1,即四边形PCDE面积的最大值为1.故答案为:1【点评】此题要紧考查了等边三角形的性质、平行四边形的判定与性质和全等三角形的判定与性质,解决问题的关键是作辅助线构造平行四边形的高线.22.(2016•盐城)如图,已知菱形ABCD的边长2,∠A=60°,点E、F别离在边AB、AD上,假设将△AEF沿直线EF折叠,使得点A恰好落在CD边的中点G处,那么EF=.【分析】延长CD,过点F作FM⊥CD于点M,连接GB、BD,作FH⊥AE交于点H,由菱形的性质和已知条件得出∠MFD=30°,设MD=x,那么DF=2x,FM=x,得出MG=x+1,由勾股定理得出(x+1)2+(x)2=(2﹣2x)2,解方程得出DF=0.6,AF=1.4,求出AH=AF=0.7,FH=,证明△DCB 是等边三角形,得出BG⊥CD,由勾股定理求出BG=,设BE=y,那么GE=2﹣y,由勾股定理得出()2+y2=(2﹣y)2,解方程求出y=0.25,得出AE、EH,再由勾股定理求出EF即可.【解答】解:延长CD,过点F作FM⊥CD于点M,连接GB、BD,作FH⊥AE交于点H,如下图:∵∠A=60°,四边形ABCD是菱形,∴∠MDF=60°,设MD=x,那么DF=2x,FM=x,∵DG=1,∴MG=x+1,∴(x+1)2+(x)2=(2﹣2x)2,解得:x=0.3,∴DF=0.6,AF=1.4,∴AH=AF=0.7,FH=AF•sin∠A=1.4×=,∵CD=BC,∠C=60°,∴△DCB是等边三角形,∵G是CD的中点,∴BG⊥CD,∵BC=2,GC=1,∴BG=,设BE=y,那么GE=2﹣y,∴()2+y2=(2﹣y)2,解得:y=0.25,∴AE=1.75,∴EH=AE﹣AH=1.75﹣0.7=1.05,∴EF===.故答案为:.【点评】此题考查了菱形的性质、翻折变换的性质、勾股定理、等边三角形的判定与性质等知识;此题综合性强,难度较大,运用勾股定理得出方程是解决问题的关键.23.(2016•丽水)如图,在菱形ABCD中,过点B作BE⊥AD,BF⊥CD,垂足别离为点E,F,延长BD至G,使得DG=BD,连结EG,FG,假设AE=DE,那么=.【分析】连接AC、EF,依照菱形的对角线相互垂直平分可得AC⊥BD,依照线段垂直平分线上的点到线段两头点的距离相等可得AB=BD,然后判定出△ABD是等边三角形,再依照等边三角形的三个角都是60°求出∠ADB=60°,设EF与BD相交于点H,AB=4x,然后依照三角形的中位线平行于第三边而且等于第三边的一半求出EH,再求出DH,从而取得GH,利用勾股定理列式求出EG,最后求出比值即可.【解答】解:如图,连接AC、EF,在菱形ABCD中,AC⊥BD,∵BE⊥AD,AE=DE,∴AB=BD,又∵菱形的边AB=AD,∴△ABD是等边三角形,∴∠ADB=60°,设EF与BD相交于点H,AB=4x,∵AE=DE,∴由菱形的对称性,CF=DF,∴EF是△ACD的中位线,∴DH=DO=BD=x,在Rt△EDH中,EH=DH=x,∵DG=BD,∴GH=BD+DH=4x+x=5x,在Rt△EGH中,由勾股定理得,EG===2x,因此,==.故答案为:.【点评】此题考查了菱形的性质,等边三角形的判定与性质,勾股定理,三角形的中位线平行于第三边而且等于第三边的一半,难点在于作辅助线构造出直角三角形和三角形的中位线.24.(2016•青岛)如图,在正方形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,E为BC上一点,CE=5,F为DE的中点.假设△CEF的周长为18,那么OF的长为.【分析】先依照直角三角形的性质求出DE的长,再由勾股定理得出CD的长,进而可得出BE的长,由三角形中位线定理即可得出结论.【解答】解:∵CE=5,△CEF的周长为18,∴CF+EF=18﹣5=13.∵F为DE的中点,∴DF=EF.∵∠BCD=90°,∴CF=DE,∴EF=CF=DE=6.5,∴DE=2EF=13,∴CD===12.∵四边形ABCD是正方形,∴BC=CD=12,O为BD的中点,∴OF是△BDE的中位线,∴OF=(BC﹣CE)=(12﹣5)=.【点评】此题考查的是正方形的性质,涉及到直角三角形的性质、三角形中位线定理等知识,难度适中.三.解答题(共16小题)25.(2016•北京)如图,四边形ABCD是平行四边形,AE平分∠BAD,交DC的延长线于点E.求证:DA=DE.【分析】由平行四边形的性质得出AB∥CD,得出内错角相等∠E=∠BAE,再由角平分线证出∠E=∠DAE,即可得出结论.【解答】证明:∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB∥CD,∴∠E=∠BAE,∵AE平分∠BAD,∴∠BAE=∠DAE,∴∠E=∠DAE,∴DA=DE.【点评】此题考查了平行四边形的性质、平行线的性质、等腰三角形的判定;熟练把握平行四边形的性质,证出∠E=∠DAE是解决问题的关键.26.(2016•淄博)如图,已知△ABC,AD平分∠BAC交BC于点D,BC的中点为M,ME∥AD,交BA的延长线于点E,交AC于点F.(1)求证:AE=AF;(2)求证:BE=(AB+AC).【分析】(1)欲证明AE=AF,只要证明∠AEF=∠AFE即可.(2)作CG∥EM,交BA的延长线于G,先证明AC=AG,再证明BE=EG即可解决问题.∴∠BAD=∠CAD,∵AD∥EM,∴∠BAD=∠AEF,∠CAD=∠AFE,∴∠AEF=∠AFE,∴AE=AF.(2)作CG∥EM,交BA的延长线于G.∵EF∥CG,∴∠G=∠AEF,∠ACG=∠AFE,∵∠AEF=∠AFE,∴∠G=∠ACG,∴AG=AC,∵EM∥CG,∴=,∵BM=CM,∴BE=EG,∴BE=BG=(BA+AG)=(AB+AC).【点评】此题考查三角形中位线定理、角平分线的性质、等腰三角形的判定和性质等知识,解题的关键是添加辅助线,构造等腰三角形,和三角形中位线,属于中考常考题型.27.(2017春•泉山区校级月考)已知:如图,矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O,CE∥DB,交AB的延长线于点E.求证:AC=EC.【分析】先由矩形的对角线相等得出AC=DB,再证明四边形CDBE是平行四边形,得出对边相等【解答】证明:∵四边形ABCD是矩形,∴AC=DB,AB∥DC,∴DC∥BE,又∵CE∥DB,∴四边形CDBE是平行四边形,∴DB=CE,∴AC=CE.【点评】此题考查了矩形的性质和平行四边形的判定与性质;熟练把握矩形的性质和证明平行四边形是解决问题的关键.28.(2016•梅州)如图,平行四边形ABCD中,BD⊥AD,∠A=45°,E、F别离是AB、CD上的点,且BE=DF,连接EF交BD于O.(1)求证:BO=DO;(2)假设EF⊥AB,延长EF交AD的延长线于G,当FG=1时,求AE的长.【分析】(1)由平行四边形的性质和AAS证明△OBE≌△ODF,得出对应边相等即可;(2)证出AE=GE,再证明DG=DO,得出OF=FG=1,即可得出结果.【解答】(1)证明:∵四边形ABCD是平行四边形,∴DC∥AB,∴∠OBE=∠ODF.在△OBE与△ODF中,∴△OBE≌△ODF(AAS).∴BO=DO.(2)解:∵EF⊥AB,AB∥DC,∴∠GEA=∠GFD=90°.∵∠A=45°,∴AE=GE∵BD⊥AD,∴∠ADB=∠GDO=90°.∴∠GOD=∠G=45°.∴DG=DO,∴OF=FG=1,由(1)可知,OE=OF=1,∴GE=OE+OF+FG=3,∴AE=3.【点评】此题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质;熟练把握平行四边形的性质,证明三角形全等是解决问题(1)的关键.29.(2016•北京)如图,在四边形ABCD中,∠ABC=90°,AC=AD,M,N别离为AC,CD的中点,连接BM,MN,BN.(1)求证:BM=MN;(2)∠BAD=60°,AC平分∠BAD,AC=2,求BN的长.【分析】(1)依照三角形中位线定理得MN=AD,依照直角三角形斜边中线定理得BM=AC,由此即可证明.(2)第一证明∠BMN=90°,依照BN2=BM2+MN2即可解决问题.【解答】(1)证明:在△CAD中,∵M、N别离是AC、CD的中点,∴MN∥AD,MN=AD,在RT△ABC中,∵M是AC中点,∴BM=AC,∵AC=AD,∴MN=BM.(2)解:∵∠BAD=60°,AC平分∠BAD,。
初二数学平行四边形和特殊四边形提高练习与常考题和培优题(含解析)之欧阳治创编

初二数学平行四边形和特殊四边形提高练习常考题和培优题时间2021.03.10 创作:欧阳治一.选择题(共5小题)1.如图,把大小相同的两个矩形拼成如下形状,则△FBD是()A.等边三角形 B.等腰直角三角形C.一般三角形 D.等腰三角形2.如图,正方形ABCD和正方形CEFG中,点D在CG上,BC=,CE=3,H是AF的中点,那么CH 的长是()A.3.5 B. C.D.23.如图,在矩形ABCD中,AB=4,BC=8,对角线AC、BD相交于点O,过点O作OE垂直AC交AD 于点E,则AE的长是()A.3 B.5 C.2.4 D.2.54.如图,在△ABC中,CF⊥AB于F,BE⊥AC于E,M为BC的中点,EF=7,BC=10,则△EFM的周长是()A.17 B.21 C.24 D.275.如图,在矩形ABCD中,AB=6,AD=8,P是AD 上不与A和D重合的一个动点,过点P分别作AC 和BD的垂线,垂足为E、F,则PE+PF的值为()A.10 B.4.8 C.6 D.5二.填空题(共4小题)6.如图,在矩形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,AE平分∠BAD交BC于点E,若∠CAE=15°,则∠BOE的度数等于.7.如图,将平行四边形ABCD的边DC延长到E,使CE=CD,连接AE交BC于F,∠AFC=n∠D,当n=时,四边形ABEC是矩形.8.如图,在正五边形ABCDE中,连接AC、AD、CE,CE交AD于点F,连接BF,则线段AC、BF、CD之间的关系式是.9.如图,在平面直角坐标系中,O为原点,四边形OABC是矩形,A(﹣10,0),C(0,3),点D是OA的中点,点P在BC边上运动,当△ODP是腰长为5的等腰三角形时,点P的坐标是.三.解答题(共31小题)10.如图,正方形ABCD中,AE=AB,直线DE交BC于点F,求∠BEF的度数.11.如图,梯形ABCD中,AD∥BC,AB=CD,对角线AC、BD交于点O,AC⊥BD,E、F、G、H分别为AB、BC、CD、DA的中点.(1)求证:四边形EFGH为正方形;(2)若AD=1,BC=3,求正方形EFGH的边长.12.如图,点E、F分别是正方形ABCD的边CD和AD的中点,BE和CF交于点P.求证:AP=AB.13.如图,点P为正方形ABCD对角线BD上一点,PE⊥BC于E,PF⊥DC于F.(1)求证:PA=EF;(2)若正方形ABCD的边长为a,求四边形PFCE 的周长.14.如图1,在正方形ABCD中,点E为BC上一点,连接DE,把△DEC沿DE折叠得到△DEF,延长EF交AB于G,连接DG.(1)求∠EDG的度数.(2)如图2,E为BC的中点,连接BF.①求证:BF∥DE;②若正方形边长为6,求线段AG的长.15.如图①,在正方形ABCD中,F是对角线AC上的一点,点E在BC的延长线上,且BF=EF.(1)求证:BF=DF;(2)求证:∠DFE=90°;(3)如果把正方形ABCD改为菱形,其他条件不变(如图②),当∠ABC=50°时,∠DFE=度.16.已知正方形ABCD中,对角线AC、BD相交于O.①如图1,若E是AC上的点,过A 作AG⊥BE于G,AG、BD交于F,求证:OE=OF②如图2,若点E在AC的延长线上,AG⊥EB交EB 的延长线于G,AG延长DB延长线于点F,其它条件不变,OE=OF还成立吗?17.如图,点P是菱形ABCD中对角线AC上的一点,且PE=PB.(1)求证:PE=PD;(2)求证:∠PDC=∠PEB;(3)若∠BAD=80°,连接DE,试求∠PDE的度数,并说明理由.18.如图,正方形ABCD中,AB=1,点P是BC边上的任意一点(异于端点B、C),连接AP,过B、D 两点作BE⊥AP于点E,DF⊥AP于点F.(1)求证:EF=DF﹣BE;(2)若△ADF的周长为,求EF的长.19.如图,正方形ABCD的对角线AC、BD的交点为O,以O为端点引两条互相垂直的射线OM、ON,分别交边AB、BC于点E、F.(1)求证:0E=OF;(2)若正方形的边长为4,求EF的最小值.20.如图,在正方形ABCD中,点E是边AD上任意一点,BE的垂直平分线FG交对角AC于点F.求证:(1)BF=DF;(2)BF⊥FE.21.已知:如图所示,四边形ABCD中,∠ABC=∠ADC=90°,M是AC上任一点,O是BD 的中点,连接MO,并延长MO到N,使NO=MO,连接BN与ND.(1)判断四边形BNDM的形状,并证明;(2)若M是AC的中点,则四边形BNDM的形状又如何?说明理由.22.如图,在△ABC中,O是边AC上的一动点,过点O作直线MN∥BC,设MN交∠BCA的平分线于点E,交∠BCA的外角平分线于点F.(1)求证:OE=OF;(2)当点O运动到何处时,四边形AECF是矩形?23.(1)如图矩形ABCD的对角线AC、BD交于点O,过点D作DP∥OC,且DP=OC,连接CP,判断四边形CODP的形状并说明理由.(2)如果题目中的矩形变为菱形,结论应变为什么?说明理由.(3)如果题目中的矩形变为正方形,结论又应变为什么?说明理由.24.如图1,已知AB∥CD,AB=CD,∠A=∠D.(1)求证:四边形ABCD为矩形;(2)E是AB边的中点,F为AD边上一点,∠DFC=2∠BCE.①如图2,若F为AD中点,DF=1.6,求CF的长度:②如图2,若CE=4,CF=5,则AF+BC=,AF=.25.如图,直线a、b相交于点A,C、E分别是直线b、a上两点且BC⊥a,DE⊥b,点M、N是EC、DB 的中点.求证:MN⊥BD.26.如图所示,在梯形ABCD中,AD∥BC,∠B=90°,AD=24cm,BC=26cm,动点P从点A出发沿AD方向向点D以1cm/s的速度运动,动点Q从点C开始沿着CB方向向点B以3cm/s的速度运动.点P、Q 分别从点A和点C同时出发,当其中一点到达端点时,另一点随之停止运动.(1)经过多长时间,四边形PQCD是平行四边形?(2)经过多长时间,四边形PQBA是矩形?(3)经过多长时间,当PQ不平行于CD时,有PQ=CD.27.如图,E、F是正方形ABCD的边AD上的两个动点,满足AE=DF.连接CF交BD于G,连接BE 交AG于H.已知正方形ABCD的边长为4cm,解决下列问题:(1)求证:BE⊥AG;(2)求线段DH的长度的最小值.28.如图,点M是矩形ABCD的边AD的中点,点P 是BC边上一动点,PE⊥MC,PF⊥BM,垂足为E、F.(1)当矩形ABCD的长与宽满足什么条件时,四边形PEMF为矩形?猜想并证明你的结论.(2)在(1)中,当点P运动到什么位置时,矩形PEMF变为正方形,为什么?29.某校数学兴趣小组开展了一次课外活动,过程如下:如图①,正方形ABCD中,AB=4,将三角板放在正方形ABCD上,使三角板的直角顶点与D点重合.三角板的一边交AB于点P,另一边交BC的延长线于点Q.(1)求证:AP=CQ;(2)如图②,小明在图1的基础上作∠PDQ的平分线DE交BC于点E,连接PE,他发现PE和QE存在一定的数量关系,请猜测他的结论并予以证明;(3)在(2)的条件下,若AP=1,求PE的长.30.如图,在菱形ABCD中,AB=4cm,∠ADC=120°,点E、F同时由A、C两点出发,分别沿AB、CB方向向点B匀速移动(到点B为止),点E的速度为1cm/s,点F的速度为2cm/s,经过t秒△DEF为等边三角形,求t的值.31.如图,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,点D是AC的中点,作∠ADB的角平分线DE交AB于点E,(1)求证:DE∥BC;(2)若AE=3,AD=5,点P为BC上的一动点,当BP为何值时,△DEP为等腰三角形.请直接写出所有BP的值.32.已知:如图,BF、BE分别是∠ABC及其邻补角的角平分线,AE⊥BE,垂足为点E,AF⊥BF,垂足为点F.EF分别交边AB、AC于点M、N.求证:(1)四边形AFBE是矩形;(2)BC=2MN.33.如图,在边长为5的菱形ABCD中,对角线BD=8,点O是直线BD上的动点,OE⊥AB于E,OF⊥AD 于F.(1)对角线AC的长是,菱形ABCD的面积是;(2)如图1,当点O在对角线BD上运动时,OE+OF的值是否发生变化?请说明理由;(3)如图2,当点O在对角线BD的延长线上时,OE+OF的值是否发生变化?若不变请说明理由,若变化,请直接写出OE、OF之间的数量关系,不用明理由.34.如图,已知Rt△ABD≌Rt△FEC,且B、D、C、E在同一直线上,连接BF、AE.(1)求证:四边形ABFE是平行四边形.(2)若∠ABD=60°,AB=2cm,DC=4cm,将△ABD 沿着BE方向以1cm/s的速度运动,设△ABD运动的时间为t,在△ABD运动过程中,试解决以下问题:(1)当四边形ABEF是菱形时,求t的值;(2)是否存在四边形ABFE是矩形的情形?如果存在,求出t的值,如果不存在,请说明理由.35.已知,矩形ABCD中,AB=4cm,BC=8cm,AC 的垂直平分线EF分别交AD、BC于点E、F,垂足为O.(1)如图1,连接AF、CE.求证:四边形AFCE为菱形.(2)如图1,求AF的长.(3)如图2,动点P、Q分别从A、C两点同时出发,沿△AFB和△CDE各边匀速运动一周.即点P自A→F→B→A停止,点Q自C→D→E→C停止.在运动过程中,点P的速度为每秒1cm,设运动时间为t秒.①问在运动的过程中,以A、P、C、Q四点为顶点的四边形有可能是矩形吗?若有可能,请求出运动时间t和点Q的速度;若不可能,请说明理由.②若点Q的速度为每秒0.8cm,当A、P、C、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时,求t的值.36.如图1,E,F是正方形ABCD的边上两个动点,满足AE=DF,连接CF交BD于G,连接BE交AG 于点H(1)求证:AG⊥BE;(2)如图2,连DH,若正方形的边长为4,则线段DH长度的最小值是.37.如图,在菱形ABCD中,AB=2,∠DAB=60°,点E时AD边的中点,点M时AB边上的一个动点(不与点A重合),延长ME交CD的延长线于点N,连接MD,AN.(1)求证:四边形AMDN是平行四边形.(2)填空:①当AM的值为时,四边形AMDN是矩形;②当AM的值为时,四边形AMDN是菱形.38.如图,已知正方形OABC的边长为4,顶点A、C分别在x、y轴的正半轴上,M是BC的中点,点P (0,m)是线段oc上的一动点9点P不与点O、C 重合0,直线PM交AB的延长线于点D.(1)求点D的坐标;(用含m的代数式表示)(2)若△APD是以AP边为一腰的等腰三角形,求m的值.39.如图,在△ABC中,∠ABC=90°,点D为AC 的中点,过点C作CE⊥BD于点E,过点A作BD 的平行线,交CE的延长线于点F,在AF的延长线上截取FG=BD,连接BG、DF.(1)证明:四边形BDFG是菱形;(2)若AC=10,CF=6,求线段AG的长度.40.如图,在正方形ABCD中,点E在边AD上,点F在边BC的延长线上,连接EF与边CD相交于点G,连接BE与对角线AC相交于点H,AE=CF,BE=EG.(1)求证:EF∥AC;(2)求∠BEF大小;(3)若EB=4,则△BAE的面积为.初二数学平行四边形和特殊四边形提高练习常考题和培优题参考答案与试题解析一.选择题(共5小题)1.(2012春•炎陵县校级期中)如图,把大小相同的两个矩形拼成如下形状,则△FBD是()A.等边三角形 B.等腰直角三角形C.一般三角形 D.等腰三角形【分析】根据正方形性质得出FG=BC,∠G=∠C=90°,GB=CD,根据SAS证△FGB≌△BCD,推出∠FBG=∠BDC,BF=BD,求出∠DBC+∠FBG=90°,求出∠FBD的度数即可.【解答】解:∵大小相同的两个矩形GFEB、ABCD,∴FG=BE=AD=BC,GB=EF=AB=CD,∠G=∠C=∠ABG=∠ABC=90°,∵在△FGB和△BCD中,∴△FGB≌△BCD,∴∠FBG=∠BDC,BF=BD,∵∠BDC+∠DBC=90°,∴∠DBC+∠FBG=90°,∴∠FBD=180°﹣90°=90°,即△FBD是等腰直角三角形,故选B.【点评】本题考查了等腰直角三角形,全等三角形的性质和判定,正方形性质的应用,关键是证出△FGB≌△BCD,主要考查学生运用性质进行推理的能力.2.(2015春•江阴市期中)如图,正方形ABCD和正方形CEFG中,点D在CG上,BC=,CE=3,H是AF的中点,那么CH的长是()A.3.5 B. C.D.2【分析】根据正方形的性质求出AB=BC=,CE=EF=3,∠E=90°,延长AD交EF于M,连接AC、CF,求出AM=4,FM=2,∠AMF=90°,根据正方形性质求出∠ACF=90°,根据直角三角形斜边上的中线性质求出CH=AF,根据勾股定理求出AF即可.【解答】解:∵正方形ABCD和正方形CEFG中,点D在CG上,BC=,CE=3,∴AB=BC=,CE=EF=3,∠E=90°,延长AD交EF于M,连接AC、CF,则AM=BC+CE=4,FM=EF﹣AB=2,∠AMF=90°,∵四边形ABCD和四边形GCEF是正方形,∴∠ACD=∠GCF=45°,∴∠ACF=90°,∵H为AF的中点,∴CH=AF,在Rt△AMF中,由勾股定理得:AF==2,∴CH=,故选:C.【点评】本题考查了勾股定理,正方形的性质,直角三角形斜边上的中线的应用,解此题的关键是能正确作出辅助线,并求出AF的长和得出CH=AF,有一定的难度.3.(2015春•泗洪县校级期中)如图,在矩形ABCD 中,AB=4,BC=8,对角线AC、BD相交于点O,过点O作OE垂直AC交AD于点E,则AE的长是()A.3 B.5 C.2.4 D.2.5【分析】根据矩形的性质得出∠CDE=90°,AD=BC=8,AB=DC=4,AO=OC,根据线段垂直平分线性质得出AE=CE,在Rt△CDE中,由勾股定理得出CE2=CD2+DE2,代入求出即可.【解答】解:∵在矩形ABCD中,AB=4,BC=8,∴∠CDE=90°,AD=BC=8,AB=DC=4,AO=OC,∵OE⊥AC,∴AE=CE,在Rt△CDE中,由勾股定理得:CE2=CD2+DE2,即AE2=42+(8﹣AE)2,解得:AE=5,故选B.【点评】本题考查了矩形的性质,勾股定理,线段垂直平分线性质的应用,解此题的关键是得出关于AE 的方程.4.(2015秋•无锡期中)如图,在△ABC中,CF⊥AB 于F,BE⊥AC于E,M为BC的中点,EF=7,BC=10,则△EFM的周长是()A.17 B.21 C.24 D.27【分析】根据CF⊥AB于F,BE⊥AC于E,M为BC 的中点,利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半,求出FM和ME的长,即可求解.【解答】解:∵CF⊥AB,M为BC的中点,∴MF是Rt△BFC斜边上的中线,∴FM=BC=×10=5,同理可得,ME=BC=×10=5,又∵EF=7,∴△EFM的周长=EF+ME+FM=7+5+5=17.故选A.【点评】此题主要考查学生对直角三角形斜边上的中线这个知识点的理解和掌握,解答此题的关键是利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半,求出FM 和ME的长.5.(2015春•乌兰察布校级期中)如图,在矩形ABCD 中,AB=6,AD=8,P是AD上不与A和D重合的一个动点,过点P分别作AC和BD的垂线,垂足为E、F,则PE+PF的值为()A.10 B.4.8 C.6 D.5【分析】连接OP,利用勾股定理列式求出BD,再根据矩形的对角线相等且互相平分求出OA、OD,然后根据S△AOD=S△AOP+S△DOP列方程求解即可.【解答】解:如图,连接OP,∵AB=6,AD=8,∴BD===10,∵四边形ABCD是矩形,∴OA=OD=×10=5,∵S△AOD=S△AOP+S△DOP,∴××6×8=×5•PE+×5•PF,解得PE+PF=4.8.故选B.【点评】本题考查了矩形的性质,三角形的面积,熟记性质并利用三角形的面积列出方程是解题的关键.二.填空题(共4小题)6.(2016春•东平县期中)如图,在矩形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,AE平分∠BAD交BC 于点E,若∠CAE=15°,则∠BOE的度数等于75°.【分析】由矩形ABCD,得到OA=OB,根据AE平分∠BAD,得到等边三角形OAB,推出AB=OB,求出∠OAB、∠OBC的度数,根据平行线的性质和等角对等边得到OB=BE,根据三角形的内角和定理即可求出答案.【解答】解:∵四边形ABCD是矩形,∴AD∥BC,AC=BD,OA=OC,OB=OD,∠BAD=90°,∴OA=OB,∠DAE=∠AEB,∵AE平分∠BAD,∴∠BAE=∠DAE=45°=∠AEB,∴AB=BE,∵∠CAE=15°,∴∠DAC=45°﹣15°=30°,∠BAC=60°,∴△BAO是等边三角形,∴AB=OB,∠ABO=60°,∴∠OBC=90°﹣60°=30°,∵AB=OB=BE,∴∠BOE=∠BEO=(180°﹣30°)=75°.故答案为75°.【点评】本题主要考查了三角形的内角和定理,矩形的性质,等边三角形的性质和判定,平行线的性质,角平分线的性质,等腰三角形的判定等知识点,解此题的关键是求出∠OBC的度数和求OB=BE.7.(2014春•武昌区期中)如图,将平行四边形ABCD 的边DC延长到E,使CE=CD,连接AE交BC于F,∠AFC=n∠D,当n= 2 时,四边形ABEC是矩形.【分析】首先根据四边形ABCD是平行四边形,得到四边形ABEC是平行四边形,然后证得FC=FE,利用对角线互相相等的四边形是矩形判定四边形ABEC是矩形.【解答】解:当∠AFC=2∠D时,四边形ABEC是矩形.∵四边形ABCD是平行四边形,∴BC∥AD,∠BCE=∠D,由题意易得AB∥EC,AB∥EC,∴四边形ABEC是平行四边形.∵∠AFC=∠FEC+∠BCE,∴当∠AFC=2∠D时,则有∠FEC=∠FCE,∴FC=FE,∴四边形ABEC是矩形,故答案为:2.【点评】此题考查了平行四边形的性质以及矩形的判定.此题难度适中,注意掌握数形结合思想的应用,解题的关键是了解矩形的判定定理.8.(2015春•南长区期中)如图,在正五边形ABCDE 中,连接AC、AD、CE,CE交AD于点F,连接BF,则线段AC、BF、CD之间的关系式是AC2+BF2=4CD2.【分析】首先根据菱形的判定方法,判断出四边形ABCF是菱形,再根据菱形的性质,即可判断出AC⊥BF;然后根据勾股定理,可得OB2+OC2=BC2,据此推得AC2+BF2=4CD2即可.【解答】解:∵五边形ABCDE是正五边形,∴AB∥CE,AD∥BC,∴四边形ABCF是平行四边形,又∵AB=BC=CD=DE=EA,∴四边形ABCF是菱形,∴AC⊥BF,∴OB2+OC2=BC2,∵AC=2OC,BF=2OB,∴AC2+BF2=(2OC)2+(2OB)2=4OC2+4OB2=4BC2,又∵BC=CD,∴AC2+BF2=4CD2.故答案为:AC2+BF2=4CD2.【点评】(1)此题主要考查了菱形的判定和性质的应用,要熟练掌握,解答此题的关键是要明确:菱形是在平行四边形的前提下定义的,首先它是平行四边形,但它是特殊的平行四边形,特殊之处就是“有一组邻边相等”,因而就增加了一些特殊的性质和不同于平行四边形的判定方法.(2)此题还考查了勾股定理的应用:在任何一个直角三角形中,两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方,要熟练掌握.9.(2015春•株洲校级期中)如图,在平面直角坐标系中,O为原点,四边形OABC是矩形,A(﹣10,0),C(0,3),点D是OA的中点,点P在BC边上运动,当△ODP是腰长为5的等腰三角形时,点P 的坐标是(﹣4,3),或(﹣1,3),或(﹣9,3).【分析】先由矩形的性质求出OD=5,分情况讨论:(1)当OP=OD=5时;根据勾股定理求出PC,即可得出结果;(2)当PD=OD=5时;①作PE⊥OA于E,根据勾股定理求出DE,得出PC,即可得出结果;②作PF⊥O A于F,根据勾股定理求出DF,得出PC,即可得出结果.【解答】解:∵A(﹣10,0),C(0,3),∴OA=10,OC=3,∵四边形OABC是矩形,∴BC=OA=10,AB=OC=3,∵D是OA的中点,∴AD=OD=5,分情况讨论:(1)当OP=OD=5时,根据勾股定理得:PC==4,∴点P的坐标为:(﹣4,3);(2)当PD=OD=5时,分两种情况讨论:①如图1所示:作PE⊥OA于E,则∠PED=90°,DE==4,∴PC=OE=5﹣4=1,∴点P的坐标为:(﹣1,3);②如图2所示:作PF⊥OA于F,则DF==4,∴PC=OF=5+4=9,∴点P的坐标为:(﹣9,3);综上所述:点P的坐标为:(﹣4,3),或(﹣1,3),或(﹣9,3);故答案为:(﹣4,3),或(﹣1,3),或(﹣9,3).【点评】本题考查了矩形的性质、坐标与图形性质、等腰三角形的性质、勾股定理;熟练掌握矩形的性质,并能进行推理计算是解决问题的关键.三.解答题(共31小题)10.(2012春•西城区校级期中)如图,正方形ABCD 中,AE=AB,直线DE交BC于点F,求∠BEF的度数.【分析】设∠BAE=x°,根据正方形性质推出AB=AE=AD,根据等腰三角形性质和三角形的内角和定理求出∠AEB和∠AED的度数,根据平角定义求出即可.【解答】解:设∠BAE=x°,∵四边形ABCD是正方形,∴∠BAD=90°,AB=AD,∵AE=AB,∴AB=AE=AD,∴∠ABE=∠AEB=(180°﹣∠BAE)=90°﹣x°,∠DAE=90°﹣x°,∠AED=∠ADE=(180°﹣∠DAE)=[180°﹣(90°﹣x°)]=45°+x°,∴∠BEF=180°﹣∠AEB﹣∠A ED,=180°﹣(90°﹣x°)﹣(45°+x°),=45°,答:∠BEF的度数是45°.【点评】本题考查了三角形的内角和定理,等腰三角形性质,正方形性质的应用,解此题的关键是如何把已知角的未知角结合起来,题目比较典型,但是有一定的难度.11.(2012秋•高淳县期中)如图,梯形ABCD中,AD∥BC,AB=CD,对角线AC、BD交于点O,AC⊥BD,E、F、G、H分别为AB、BC、CD、DA 的中点.(1)求证:四边形EFGH为正方形;(2)若AD=1,BC=3,求正方形EFGH的边长.【分析】(1)先由三角形的中位线定理求出四边相等,然后由AC⊥BD入手,进行正方形的判断.(2)连接EG,利用梯形的中位线定理求出EG的长,然后结合(1)的结论求出EH2=2,也即得出了正方形EHGF的边长.【解答】(1)证明:在△ABC中,∵E、F分别是AB、BC的中点,∴EF=同理FG=,GH=,HE=在梯形ABCD中,∵AB=DC,∴AC=BD,∴EF=FG=GH=HE∴四边形EFGH为菱形.设AC与EH交于点M在△ABD中,∵E、H分别是AB、AD的中点,∴EH∥BD,同理GH∥AC又∵AC⊥BD,∴∠BOC=90°.∴∠EHG=∠EMC=∠BOC=90°∴四边形EFGH为正方形.(2)解:连接EG,在梯形ABCD中,∵E、G分别是AB、DC的中点,∴EG=(AD+BC)=(1+3)=2,在Rt△HEG中,EG2=EH2+HG2,4=2EH2,EH2=2,则EH=.即四边形EFGH的边长为.【点评】此题考查了等腰梯形的性质及三角形、梯形的中位线定理,解答本题的关键是根据三角形的中位线定理得出EH=HG=GF=FE,这是本题的突破口.12.(2013秋•青岛期中)如图,点E、F分别是正方形ABCD的边CD和AD的中点,BE和CF交于点P.求证:AP=AB.【分析】延长CF、BA交于点M,先证△BCE≌△CDF,再证△CDF≌△AMF得BA=MA由直角三角形中斜边中线等于斜边的一半,可得Rt△MBP中AP=BM,即AP=AB.【解答】证明:延长CF、BA交于点M,∵点E、F分别是正方形ABCD的边CD和AD的中点,∴BC=CD,∠BCE=∠CDF,CE=DF,∴△BCE≌△CDF,∴∠CBE=∠DCF.∵∠DCF+∠BCP=90°,∴∠CBE+∠BCP=90°,∴∠BPM=∠CBE+∠BCP=90°.又∵FD=FA,∠CDF=∠MAF,∠CFD=∠MFA,∴△CDF≌△AMF,∴CD=AM.∵CD=AB,∴AB=AM.∴PA是直角△BPM斜边BM上的中线,∴AP=BM,即AP=AB.【点评】本题考查了正方形各边长相等、各内角为直角的性质,全等三角形的判定和对应边相等的性质,直角三角形斜边中线长为斜边长一半的性质,本题中求证△CDF≌△AMF是解题的关键.13.(2015春•禹州市期中)如图,点P为正方形ABCD 对角线BD上一点,PE⊥BC于E,PF⊥DC于F.(1)求证:PA=EF;(2)若正方形ABCD的边长为a,求四边形PFCE 的周长.【分析】(1)连接PC,证四边形PFCE是矩形,求出EF=PC,证△ABP≌△CBP,推出AP=PC即可;(2)证△CBD是等腰直角三角形,求出BF、PF,求出周长即可.【解答】解:证明:(1)连接PC,∵四边形ABCD是正方形,∴AB=CB,∠ABD=∠CBD=45°,∠C=90°,在△ABP与△CBP中,,∴△ABP≌△C BP(SAS),∴PA=PC,∵PE⊥BC,PF⊥CD,∴∠PFC=90°,∠PEC=90°.又∵∠C=90°,∴四边形PFCE是矩形,∴EF=PC,∴PA=EF.(2)由(1)知四边形PFCE是矩形,∴PE=CF,PF=CE,又∵∠CBD=45°,∠PEB=90°,∴BE=PE,又BC=a,∴矩形PFCE的周长为2(PE+EC)=2(BE+EC)=2BC=2a.【点评】本题主要考查正方形的性质,全等三角形的性质和判定等知识点的连接和掌握,能证出AP=PC 是解此题的关键.14.(2015秋•福建校级期中)如图1,在正方形ABCD 中,点E为BC上一点,连接DE,把△DEC沿DE 折叠得到△DEF,延长EF交AB于G,连接DG.(1)求∠EDG的度数.(2)如图2,E为BC的中点,连接BF.①求证:BF∥DE;②若正方形边长为6,求线段AG的长.【分析】(1)由正方形的性质可得DC=DA.∠A=∠B=∠C=∠ADC=90°,由折叠的性质得出∠DFE=∠C,DC=DF,∠1=∠2,再求出∠DFG=∠A,DA=DF,然后由“HL”证明Rt△DGA≌Rt△DGF,由全等三角形对应角相等得出∠3=∠4,得出∠2+∠3=45°即可;(2)①由折叠的性质和线段中点的定义可得CE=EF=BE,∠DEF=∠DEC,再由三角形的外角性质得出∠5=∠DEC,然后利用同位角相等,两直线平行证明即可;②设AG=x,表示出GF、BG,根据点E是BC的中点求出BE、EF,从而得到GE的长度,再利用勾股定理列出方程求解即可;【解答】(1)解:如图1所示:∵四边形ABCD是正方形,∴DC=DA.∠A=∠B=∠C=∠ADC=90°,∵△DEC沿DE折叠得到△DEF,∴∠DFE=∠C,DC=DF,∠1=∠2,∴∠DFG=∠A=90°,DA=DF,在Rt△DGA和Rt△DGF中,,∴Rt△DGA≌Rt△DGF(HL),∴∠3=∠4,∴∠EDG=∠3+∠2=∠ADF+∠FDC,=(∠ADF+∠FDC),=×90°,=45°;(2)①证明:如图2所示:∵△DEC沿DE折叠得到△DEF,E为BC的中点,∴CE=EF=BE,∠DEF=∠DEC,∴∠5=∠6,∵∠FEC=∠5+∠6,∴∠DEF+∠DEC=∠5+∠6,∴2∠5=2∠DEC,即∠5=∠DEC,∴BF∥DE;②解:设AG=x,则GF=x,BG=6﹣x,∵正方形边长为6,E为BC的中点,∴CE=EF=BE=×6=3,∴GE=EF+GF=3+x,在Rt△GBE中,根据勾股定理得:(6﹣x)2+32=(3+x)2,解得:x=2,即线段AG的长为2.【点评】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理、翻折变换的性质;熟练掌握正方形的性质,并能进行推理论证与计算是解决问题的关键.15.(2016春•召陵区期中)如图①,在正方形ABCD 中,F是对角线AC上的一点,点E在BC的延长线上,且BF=EF.(1)求证:BF=DF;(2)求证:∠DFE=90°;(3)如果把正方形ABCD改为菱形,其他条件不变(如图②),当∠ABC=50°时,∠DFE=50 度.【分析】(1)根据正方形的四条边都相等可得BC=DC,对角线平分一组对角可得∠BCF=∠DCF,然后利用“边角边”证明即可;(2)易证∠FBE=∠FEB,又因为∠FBE=∠FDC,所以可证明∠FEB=∠FDC,进而可证明∠DFE=90°;(3)根据全等三角形对应角相等可得∠CBF=∠CDF,根据等边对等角可得∠CBF=∠E,然后求出∠DFE=∠DCE,再根据两直线平行,同位角相等可得∠DCE=∠ABC,从而得解.【解答】(1)证明:在正方形ABCD中,BC=DC,∠BCF=∠DCF=45°,∵在△BCF和△DCF中,,∴△BCF≌△DCF(SAS);∴BF=DF;(2)证明:∵BF=EF,∴∠FBE=∠FEB,又∵∠FBE=∠FDC,∴∠FEB=∠FDC,又∵∠DGF=∠EGC,∴∠DFG=∠ECG=90°,即∠DFE=90°;(3)证明:由(1)知,△BCF≌△DCF,∴∠CBF=∠CDF,∵EE=FB,∴∠CBF=∠E,∵∠DGF=∠EGC(对顶角相等),∴180°﹣∠DGF﹣∠CDF=180°﹣∠EGC﹣∠E,即∠DFE=∠DCE,∵AB∥CD,∴∠DCE=∠ABC,∴∠DFE=∠ABC=50°,故答案为:50.【点评】本题考查了正方形的性质,全等三角形的判定与性质,菱形的性质,等边对等角的性质,熟记正方形的性质确定出∠BCF=∠DCF是解题的关键.16.(2015秋•泗县期中)已知正方形ABCD中,对角线AC、BD相交于O.①如图1,若E是AC上的点,过A 作AG⊥BE于G,AG、BD交于F,求证:OE=OF②如图2,若点E在AC的延长线上,AG⊥EB交EB 的延长线于G,AG延长DB延长线于点F,其它条件不变,OE=OF还成立吗?【分析】①由正方形的性质得出OA=OB,AC⊥BD,得出∠BOE=∠AOF=90°,由角的互余关系得出∠OBE=∠OAF,由ASA证明△BOE≌△AOF,得出对应边相等即可;②由正方形的性质得出OA=OB,AC⊥BD,得出∠BOE=∠AOF=90°,由角的互余关系得出∠OBE=∠OAF,由ASA证明△BOE≌△AOF,得出对应边相等即可.【解答】①证明:∵四边形ABCD是正方形,∴OA=OB,AC⊥BD,∴∠BOE=∠AOF=90°,∴∠OEB+∠OBE=90°,∵AG⊥BE,∴∠AGE=90°,∴∠OEB+∠OAF=90°,∴∠OBE=∠OAF,在△BOE和△AOF中,,∴△BOE≌△AOF(ASA),∴OE=OF;②解:OE=OF还成立;理由如下:∵四边形ABCD是正方形,∴OA=OB,AC⊥BD,∴∠BOE=∠AOF=90°,∴∠OEB+∠OBE=90°,∵AG⊥BE,∴∠AGE=90°,∴∠OEB+∠OAF=90°,∴∠OBE=∠OAF,在△BOE和△AOF中,,∴△BOE≌△AOF(ASA),∴OE=OF.【点评】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质;熟练掌握正方形的性质,并能进行推理论证是解决问题的关键.17.(2016春•邳州市期中)如图,点P是菱形ABCD 中对角线AC上的一点,且PE=PB.(1)求证:PE=PD;(2)求证:∠PDC=∠PEB;(3)若∠BAD=80°,连接DE,试求∠PDE的度数,并说明理由.【分析】(1)由菱形的性质得出AB=BC=CD=AD,AB∥CD,∠DCP=∠BCP,由SAS证明△CDP≌△CBP,得出PB=PD,再由PE=PB,即可得出结论;(2)由等腰三角形的性质得出∠PBC=∠PEB,由全等三角形的性质得出∠PDC=∠PBC,即可得出∠PDC=∠PEB;(3)由四边形内角和定理得出∠DPE=100°,由等腰三角形的性质和三角形内角和定理即可得出结果.【解答】(1)解:∵四边形ABCD是菱形,∴AB=BC=CD=AD,AB∥CD,∠DCP=∠BCP,在△DCP和△BCP中,,∴△CDP≌△CBP(SAS),∴PB=PD,∵PE=PB,∴PE=PD;(2)证明:∵PE=PB,∴∠PBC=∠PEB,∵△CDP≌△CBP,∴∠PDC=∠PBC,∴∠PDC=∠PEB;(3)解:如图所示:∠PDE=40°;理由如下:在四边形DPEC中,∵∠DPE=360°﹣(∠PDC+∠PEC+∠DCB)=360°﹣(∠PEB+∠PEC+∠DCB)=360°﹣(180°+80°)=100°,∵PE=PD∴∠PDE=∠PED=40°.【点评】本题考查了菱形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质;熟练掌握菱形的性质,证明三角形全等是解决问题的关键.18.(2016春•昆山市期中)如图,正方形ABCD中,AB=1,点P是BC边上的任意一点(异于端点B、C),连接AP,过B、D两点作BE⊥AP于点E,DF⊥AP 于点F.(1)求证:EF=DF﹣BE;(2)若△ADF的周长为,求EF的长.【分析】(1)由正方形的性质得出AD=AB,证出∠DAF=∠ABE,由AAS证明△ADF≌△BAE,得出AF=BE,DF=AE,即可得出结论;(2)设DF=a,AF=b,EF=DF﹣AF=a﹣b>0,由已知条件得出DF+AF=,即a+b=,由勾股定理得出a2+b2=1,再由完全平方公式得出a﹣b即可.【解答】(1)证明:∵BE⊥AP,DF⊥AP,∴∠DFA=∠AEB=90°,∠ABE+∠BAE=90°,∵四边形ABCD为正方形,∴AD=AB,∠DAB=90°=∠DAF+∠BAE,∴∠DAF=∠ABE,在△ADF和△BAE中,,∴△ADF≌△BAE(AAS),∴AF=BE,DF=AE,∴EF=AE﹣AF=DF﹣BE;(2)解:设DF=a,AF=b,EF=DF﹣AF=a﹣b>0,∵△ADF的周长为,AD=1,∴DF+AF=,即a+b=,由勾股定理得:DF2+AF2=AD2,即a2+b2=1,∴(a﹣b)2=2(a2+b2)﹣(a+b)2=2﹣=,∴a﹣b=,即EF=.【点评】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识;熟练掌握正方形的性质,由勾股定理得出a与b的关系式是解决问题(2)的关键.19.(2015春•繁昌县期中)如图,正方形ABCD的对角线AC、BD的交点为O,以O为端点引两条互相垂直的射线OM、ON,分别交边AB、BC于点E、F.(1)求证:0E=OF;(2)若正方形的边长为4,求EF的最小值.【分析】(1)根据正方形的性质可得∠EAO=∠FBO=45°,OA=OB,再根据同角的余角相等可得∠AOE=∠BOE,然后利用“角边角”证明△AOE和△BOF全等,根据全等三角形对应边相等即可得证;(2)根据等腰直角三角形△EOF,当OE最小时,再根据勾股定理得出EF的最小值.【解答】解:(1)∵四边形ABCD是正方形,∴OA=OB,∠AOB=90°,∠EAO=∠FBO=45°,∴∠AOE+∠BOE=90°,∵OE⊥OF,∴∠BOF+∠BOE=90°,∴∠AOE=∠BOF,在△AOE与△BOF中,,∴△AOE≌△BOF(ASA),∴OE=OF;(2)由(1)可知,△EOF是等腰直角三角形,∠EOF 是直角,当OE最小时,EF的值最小,∵OA=OB,OE⊥AB,∴点E是AB的中点,∴OE=AB,∵AB=4,∴OE=2,∴EF=,即EF的最小值是2.【点评】本题考查了正方形的性质,解决此类问题的关键是正确的利用旋转不变量.正确作出辅助线是关键.20.(2016春•江宁区期中)如图,在正方形ABCD中,点E是边AD上任意一点,BE的垂直平分线FG交对角AC于点F.求证:(1)BF=DF;(2)BF⊥FE.【分析】(1)由正方形的性质得出AB=AD,∠BAF=∠DAF=45°,由SAS证明△BAF≌△DAF,得出对应边相等即可;(2)由线段垂直平分线的性质得出BF=EF,证出EF=DF,得出∠FDE=∠FED,再由全等三角形的性质证出∠ABF=∠FED,由邻补角关系得出∠FED+∠FEA=180°,证出∠ABF+∠FEA=180°,由四边形内角和得出∠BAE+∠BFE=180°,求出∠BFE=90°即可.【解答】证明:如图所示:(1)∵四边形ABCD是正方形,∴AB=AD,∠BAF=∠DAF=45°,∠BAE=90°,在△BAF和△DAF中,,∴△BAF≌△DAF(SAS),∴BF=DF;(2)∵BE的垂直平分线FG交对角AC于点F,∴BF=EF,∵BF=DF,∴EF=DF,∴∠FDE=∠FED,。
初二数学平行四边形和特殊四边形提高练习与常考题和培优题(含解析)

初二數學平行四邊形和特殊四邊形提高練習常考題和培優題一.選擇題(共5小題)1.如圖,把大小相同的兩個矩形拼成如下形狀,則△FBD是()A.等邊三角形B.等腰直角三角形C.一般三角形D.等腰三角形2.如圖,正方形ABCD和正方形CEFG中,點D在CG上,BC=,CE=3,H是AF的中點,那么CH的長是()A.3.5 B.C.D.23.如圖,在矩形ABCD中,AB=4,BC=8,對角線AC、BD相交于點O,過點O作OE垂直AC交AD于點E,則AE的長是()A.3 B.5 C.2.4 D.2.54.如圖,在△ABC中,CF⊥AB于F,BE⊥AC于E,M為BC 的中點,EF=7,BC=10,則△EFM的周長是()A.17 B.21 C.24 D.275.如圖,在矩形ABCD中,AB=6,AD=8,P是AD上不與A和D重合的一個動點,過點P分別作AC和BD的垂線,垂足為E、F,則PE+PF的值為()A.10 B.4.8 C.6 D.5二.填空題(共4小題)6.如圖,在矩形ABCD中,對角線AC與BD相交于點O,AE 平分∠BAD交BC于點E,若∠CAE=15°,則∠BOE的度數等于.7.如圖,將平行四邊形ABCD的邊DC延長到E,使CE=CD,連接AE交BC于F,∠AFC=n∠D,當n= 時,四邊形ABEC 是矩形.8.如圖,在正五邊形ABCDE中,連接AC、AD、CE,CE交AD 于點F,連接BF,則線段AC、BF、CD之間的關系式是.9.如圖,在平面直角坐標系中,O為原點,四邊形OABC是矩形,A(﹣10,0),C(0,3),點D是OA的中點,點P在BC邊上運動,當△ODP是腰長為5的等腰三角形時,點P的坐標是.三.解答題(共31小題)10.如圖,正方形ABCD中,AE=AB,直線DE交BC于點F,求∠BEF的度數.11.如圖,梯形ABCD中,AD∥BC,AB=CD,對角線AC、BD 交于點O,AC⊥BD,E、F、G、H分別為AB、BC、CD、DA的中點.(1)求證:四邊形EFGH為正方形;(2)若AD=1,BC=3,求正方形EFGH的邊長.12.如圖,點E、F分別是正方形ABCD的邊CD和AD的中點,BE和CF交于點P.求證:AP=AB.13.如圖,點P為正方形ABCD對角線BD上一點,PE⊥BC于E,PF⊥DC于F.(1)求證:PA=EF;(2)若正方形ABCD的邊長為a,求四邊形PFCE的周長.14.如圖1,在正方形ABCD中,點E為BC上一點,連接DE,把△DEC沿DE折疊得到△DEF,延長EF交AB于G,連接DG.(1)求∠EDG的度數.(2)如圖2,E為BC的中點,連接BF.①求證:BF∥DE;②若正方形邊長為6,求線段AG的長.15.如圖①,在正方形ABCD中,F是對角線AC上的一點,點E在BC的延長線上,且BF=EF.(1)求證:BF=DF;(2)求證:∠DFE=90°;(3)如果把正方形ABCD改為菱形,其他條件不變(如圖②),當∠ABC=50°時,∠DFE= 度.16.已知正方形ABCD中,對角線AC、BD相交于O.①如圖1,若E是AC上的點,過A 作AG⊥BE于G,AG、BD 交于F,求證:OE=OF②如圖2,若點E在AC的延長線上,AG⊥EB交EB的延長線于G,AG延長DB延長線于點F,其它條件不變,OE=OF還成立嗎?17.如圖,點P是菱形ABCD中對角線AC上的一點,且PE=PB.(1)求證:PE=PD;(2)求證:∠PDC=∠PEB;(3)若∠BAD=80°,連接DE,試求∠PDE的度數,并說明理由.18.如圖,正方形ABCD中,AB=1,點P是BC邊上的任意一點(異于端點B、C),連接AP,過B、D兩點作BE⊥AP于點E,DF⊥AP于點F.(1)求證:EF=DF﹣BE;(2)若△ADF的周長為,求EF的長.19.如圖,正方形ABCD的對角線AC、BD的交點為O,以O 為端點引兩條互相垂直的射線OM、ON,分別交邊AB、BC于點E、F.(1)求證:0E=OF;(2)若正方形的邊長為4,求EF的最小值.20.如圖,在正方形ABCD中,點E是邊AD上任意一點,BE的垂直平分線FG 交對角AC于點F.求證:(1)BF=DF;(2)BF⊥FE.21.已知:如圖所示,四邊形ABCD中,∠ABC=∠ADC=90°,M是AC上任一點,O是BD的中點,連接MO,并延長MO到N,使NO=MO,連接BN與ND.(1)判斷四邊形BNDM的形狀,并證明;(2)若M是AC的中點,則四邊形BNDM的形狀又如何?說明理由.22.如圖,在△ABC中,O是邊AC上的一動點,過點O作直線MN∥BC,設MN 交∠BCA的平分線于點E,交∠BCA的外角平分線于點F.(1)求證:OE=OF;(2)當點O運動到何處時,四邊形AECF是矩形?23.(1)如圖矩形ABCD的對角線AC、BD交于點O,過點D作DP∥OC,且DP=OC,連接CP,判斷四邊形CODP的形狀并說明理由.(2)如果題目中的矩形變為菱形,結論應變為什么?說明理由.(3)如果題目中的矩形變為正方形,結論又應變為什么?說明理由.24.如圖1,已知AB∥CD,AB=CD,∠A=∠D.(1)求證:四邊形ABCD為矩形;(2)E是AB邊的中點,F為AD邊上一點,∠DFC=2∠BCE.①如圖2,若F為AD中點,DF=1.6,求CF的長度:②如圖2,若CE=4,CF=5,則AF+BC=,AF=.25.如圖,直線a、b相交于點A,C、E分別是直線b、a上兩點且BC⊥a,DE ⊥b,點M、N是EC、DB的中點.求證:MN⊥BD.26.如圖所示,在梯形ABCD中,AD∥BC,∠B=90°,AD=24cm,BC=26cm,動點P從點A出發沿AD方向向點D以1cm/s的速度運動,動點Q從點C開始沿著CB方向向點B以3cm/s的速度運動.點P、Q分別從點A和點C同時出發,當其中一點到達端點時,另一點隨之停止運動.(1)經過多長時間,四邊形PQCD是平行四邊形?(2)經過多長時間,四邊形PQBA是矩形?(3)經過多長時間,當PQ不平行于CD時,有PQ=CD.27.如圖,E、F是正方形ABCD的邊AD上的兩個動點,滿足AE=DF.連接CF 交BD于G,連接BE交AG于H.已知正方形ABCD的邊長為4cm,解決下列問題:(1)求證:BE⊥AG;(2)求線段DH的長度的最小值.28.如圖,點M是矩形ABCD的邊AD的中點,點P是BC邊上一動點,PE⊥MC,PF⊥BM,垂足為E、F.(1)當矩形ABCD的長與寬滿足什么條件時,四邊形PEMF為矩形?猜想并證明你的結論.(2)在(1)中,當點P運動到什么位置時,矩形PEMF變為正方形,為什么?29.某校數學興趣小組開展了一次課外活動,過程如下:如圖①,正方形ABCD 中,AB=4,將三角板放在正方形ABCD上,使三角板的直角頂點與D點重合.三角板的一邊交AB于點P,另一邊交BC的延長線于點Q.(1)求證:AP=CQ;(2)如圖②,小明在圖1的基礎上作∠PDQ的平分線DE交BC于點E,連接PE,他發現PE和QE存在一定的數量關系,請猜測他的結論并予以證明;(3)在(2)的條件下,若AP=1,求PE的長.30.如圖,在菱形ABCD中,AB=4cm,∠ADC=120°,點E、F同時由A、C兩點出發,分別沿AB、CB方向向點B勻速移動(到點B為止),點E的速度為1cm/s,點F的速度為2cm/s,經過t秒△DEF為等邊三角形,求t的值.31.如圖,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,點D是AC的中點,作∠ADB的角平分線DE交AB于點E,(1)求證:DE∥BC;(2)若AE=3,AD=5,點P為BC上的一動點,當BP為何值時,△DEP為等腰三角形.請直接寫出所有BP的值.32.已知:如圖,BF、BE分別是∠ABC及其鄰補角的角平分線,AE⊥BE,垂足為點E,AF⊥BF,垂足為點F.EF分別交邊AB、AC于點M、N.求證:(1)四邊形AFBE是矩形;(2)BC=2MN.33.如圖,在邊長為5的菱形ABCD中,對角線BD=8,點O是直線BD上的動點,OE⊥AB于E,OF⊥AD于F.(1)對角線AC的長是,菱形ABCD的面積是;(2)如圖1,當點O在對角線BD上運動時,OE+OF的值是否發生變化?請說明理由;(3)如圖2,當點O在對角線BD的延長線上時,OE+OF的值是否發生變化?若不變請說明理由,若變化,請直接寫出OE、OF之間的數量關系,不用明理由.34.如圖,已知Rt△ABD≌Rt△FEC,且B、D、C、E在同一直線上,連接BF、AE.(1)求證:四邊形ABFE是平行四邊形.(2)若∠ABD=60°,AB=2cm,DC=4cm,將△ABD沿著BE方向以1cm/s的速度運動,設△ABD運動的時間為t,在△ABD運動過程中,試解決以下問題:(1)當四邊形ABEF是菱形時,求t的值;(2)是否存在四邊形ABFE是矩形的情形?如果存在,求出t的值,如果不存在,請說明理由.35.已知,矩形ABCD中,AB=4cm,BC=8cm,AC的垂直平分線EF分別交AD、BC于點E、F,垂足為O.(1)如圖1,連接AF、CE.求證:四邊形AFCE為菱形.(2)如圖1,求AF的長.(3)如圖2,動點P、Q分別從A、C兩點同時出發,沿△AFB和△CDE各邊勻速運動一周.即點P自A→F→B→A停止,點Q自C→D→E→C停止.在運動過程中,點P的速度為每秒1cm,設運動時間為t秒.①問在運動的過程中,以A、P、C、Q四點為頂點的四邊形有可能是矩形嗎?若有可能,請求出運動時間t和點Q的速度;若不可能,請說明理由.②若點Q的速度為每秒0.8cm,當A、P、C、Q四點為頂點的四邊形是平行四邊形時,求t的值.36.如圖1,E,F是正方形ABCD的邊上兩個動點,滿足AE=DF,連接CF交BD 于G,連接BE交AG于點H(1)求證:AG⊥BE;(2)如圖2,連DH,若正方形的邊長為4,則線段DH長度的最小值是.37.如圖,在菱形ABCD中,AB=2,∠DAB=60°,點E時AD邊的中點,點M時AB邊上的一個動點(不與點A重合),延長ME交CD的延長線于點N,連接MD,AN.(1)求證:四邊形AMDN是平行四邊形.(2)填空:①當AM的值為時,四邊形AMDN是矩形;②當AM的值為時,四邊形AMDN是菱形.38.如圖,已知正方形OABC的邊長為4,頂點A、C分別在x、y軸的正半軸上,M是BC的中點,點P(0,m)是線段oc上的一動點9點P不與點O、C重合0,直線PM交AB的延長線于點D.(1)求點D的坐標;(用含m的代數式表示)(2)若△APD是以AP邊為一腰的等腰三角形,求m的值.39.如圖,在△ABC中,∠ABC=90°,點D為AC的中點,過點C作CE⊥BD于點E,過點A作BD的平行線,交CE的延長線于點F,在AF的延長線上截取FG=BD,連接BG、DF.(1)證明:四邊形BDFG是菱形;(2)若AC=10,CF=6,求線段AG的長度.40.如圖,在正方形ABCD中,點E在邊AD上,點F在邊BC的延長線上,連接EF與邊CD相交于點G,連接BE與對角線AC相交于點H,AE=CF,BE=EG.(1)求證:EF∥AC;(2)求∠BEF大小;(3)若EB=4,則△BAE的面積為.初二數學平行四邊形和特殊四邊形提高練習常考題和培優題參考答案與試題解析一.選擇題(共5小題)1.(2012春?炎陵縣校級期中)如圖,把大小相同的兩個矩形拼成如下形狀,則△FBD是()A.等邊三角形B.等腰直角三角形C.一般三角形D.等腰三角形【分析】根據正方形性質得出FG=BC,∠G=∠C=90°,GB=CD,根據SAS證△FGB ≌△BCD,推出∠FBG=∠BDC,BF=BD,求出∠DBC+∠FBG=90°,求出∠FBD的度數即可.【解答】解:∵大小相同的兩個矩形GFEB、ABCD,∴FG=BE=AD=BC,GB=EF=AB=CD,∠G=∠C=∠ABG=∠ABC=90°,∵在△FGB和△BCD中,∴△FGB≌△BCD,∴∠FBG=∠BDC,BF=BD,∵∠BDC+∠DBC=90°,∴∠DBC+∠FBG=90°,∴∠FBD=180°﹣90°=90°,即△FBD是等腰直角三角形,故選B.【點評】本題考查了等腰直角三角形,全等三角形的性質和判定,正方形性質的應用,關鍵是證出△FGB≌△BCD,主要考查學生運用性質進行推理的能力.2.(2015春?江陰市期中)如圖,正方形ABCD和正方形CEFG中,點D在CG上,BC=,CE=3,H是AF的中點,那么CH的長是()A.3.5 B.C. D.2【分析】根據正方形的性質求出AB=BC=,CE=EF=3,∠E=90°,延長AD交EF于M,連接AC、CF,求出AM=4,FM=2,∠AMF=90°,根據正方形性質求出∠ACF=90°,根據直角三角形斜邊上的中線性質求出CH=AF,根據勾股定理求出AF即可.【解答】解:∵正方形ABCD和正方形CEFG中,點D在CG上,BC=,CE=3,∴AB=BC=,CE=EF=3,∠E=90°,延長AD交EF于M,連接AC、CF,則AM=BC+CE=4,FM=EF﹣AB=2,∠AMF=90°,∵四邊形ABCD和四邊形GCEF是正方形,∴∠ACD=∠GCF=45°,∴∠ACF=90°,∵H為AF的中點,∴CH=AF,在Rt△AMF中,由勾股定理得:AF==2,∴CH=,故選:C.【點評】本題考查了勾股定理,正方形的性質,直角三角形斜邊上的中線的應用,解此題的關鍵是能正確作出輔助線,并求出AF的長和得出CH=AF,有一定的難度.3.(2015春?泗洪縣校級期中)如圖,在矩形ABCD中,AB=4,BC=8,對角線AC、BD相交于點O,過點O作OE垂直AC交AD于點E,則AE的長是()A.3 B.5 C.2.4 D.2.5【分析】根據矩形的性質得出∠CDE=90°,AD=BC=8,AB=DC=4,AO=OC,根據線段垂直平分線性質得出AE=CE,在Rt△CDE中,由勾股定理得出CE2=CD2+DE2,代入求出即可.【解答】解:∵在矩形ABCD中,AB=4,BC=8,∴∠CDE=90°,AD=BC=8,AB=DC=4,AO=OC,∵OE⊥AC,∴AE=CE,在Rt△CDE中,由勾股定理得:CE2=CD2+DE2,即AE2=42+(8﹣AE)2,解得:AE=5,故選B.【點評】本題考查了矩形的性質,勾股定理,線段垂直平分線性質的應用,解此題的關鍵是得出關于AE的方程.4.(2015秋?無錫期中)如圖,在△ABC中,CF⊥AB于F,BE⊥AC于E,M為BC的中點,EF=7,BC=10,則△EFM的周長是()A.17 B.21 C.24 D.27【分析】根據CF⊥AB于F,BE⊥AC于E,M為BC的中點,利用直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半,求出FM和ME的長,即可求解.【解答】解:∵CF⊥AB,M為BC的中點,∴MF是Rt△BFC斜邊上的中線,∴FM=BC=×10=5,同理可得,ME=BC=×10=5,又∵EF=7,∴△EFM的周長=EF+ME+FM=7+5+5=17.故選A.【點評】此題主要考查學生對直角三角形斜邊上的中線這個知識點的理解和掌握,解答此題的關鍵是利用直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半,求出FM 和ME的長.5.(2015春?烏蘭察布校級期中)如圖,在矩形ABCD中,AB=6,AD=8,P是AD 上不與A和D重合的一個動點,過點P分別作AC和BD的垂線,垂足為E、F,則PE+PF的值為()A .10B .4.8C .6D .5【分析】連接OP ,利用勾股定理列式求出BD ,再根據矩形的對角線相等且互相平分求出OA 、OD ,然后根據S △AOD =S △AOP +S △DOP 列方程求解即可.【解答】解:如圖,連接OP ,∵AB=6,AD=8, ∴BD===10,∵四邊形ABCD 是矩形,∴OA=OD=×10=5,∵S △AOD =S △AOP +S △DOP ,∴××6×8=×5?PE +×5?PF ,解得PE +PF=4.8. 故選B .【點評】本題考查了矩形的性質,三角形的面積,熟記性質并利用三角形的面積列出方程是解題的關鍵.二.填空題(共4小題)6.(2016春?東平縣期中)如圖,在矩形ABCD 中,對角線AC 與BD 相交于點O ,AE 平分∠BAD 交BC 于點E ,若∠CAE=15°,則∠BOE 的度數等于 75° .【分析】由矩形ABCD,得到OA=OB,根據AE平分∠BAD,得到等邊三角形OAB,推出AB=OB,求出∠OAB、∠OBC的度數,根據平行線的性質和等角對等邊得到OB=BE,根據三角形的內角和定理即可求出答案.【解答】解:∵四邊形ABCD是矩形,∴AD∥BC,AC=BD,OA=OC,OB=OD,∠BAD=90°,∴OA=OB,∠DAE=∠AEB,∵AE平分∠BAD,∴∠BAE=∠DAE=45°=∠AEB,∴AB=BE,∵∠CAE=15°,∴∠DAC=45°﹣15°=30°,∠BAC=60°,∴△BAO是等邊三角形,∴AB=OB,∠ABO=60°,∴∠OBC=90°﹣60°=30°,∵AB=OB=BE,∴∠BOE=∠BEO=(180°﹣30°)=75°.故答案為75°.【點評】本題主要考查了三角形的內角和定理,矩形的性質,等邊三角形的性質和判定,平行線的性質,角平分線的性質,等腰三角形的判定等知識點,解此題的關鍵是求出∠OBC的度數和求OB=BE.7.(2014春?武昌區期中)如圖,將平行四邊形ABCD的邊DC延長到E,使CE=CD,連接AE交BC于F,∠AFC=n∠D,當n=2時,四邊形ABEC是矩形.【分析】首先根據四邊形ABCD是平行四邊形,得到四邊形ABEC是平行四邊形,然后證得FC=FE,利用對角線互相相等的四邊形是矩形判定四邊形ABEC是矩形.【解答】解:當∠AFC=2∠D時,四邊形ABEC是矩形.∵四邊形ABCD是平行四邊形,∴BC∥AD,∠BCE=∠D,由題意易得AB∥EC,AB∥EC,∴四邊形ABEC是平行四邊形.∵∠AFC=∠FEC+∠BCE,∴當∠AFC=2∠D時,則有∠FEC=∠FCE,∴FC=FE,∴四邊形ABEC是矩形,故答案為:2.【點評】此題考查了平行四邊形的性質以及矩形的判定.此題難度適中,注意掌握數形結合思想的應用,解題的關鍵是了解矩形的判定定理.8.(2015春?南長區期中)如圖,在正五邊形ABCDE中,連接AC、AD、CE,CE 交AD于點F,連接BF,則線段AC、BF、CD之間的關系式是AC2+BF2=4CD2.【分析】首先根據菱形的判定方法,判斷出四邊形ABCF是菱形,再根據菱形的性質,即可判斷出AC⊥BF;然后根據勾股定理,可得OB2+OC2=BC2,據此推得AC2+BF2=4CD2即可.【解答】解:∵五邊形ABCDE是正五邊形,∴AB∥CE,AD∥BC,∴四邊形ABCF是平行四邊形,又∵AB=BC=CD=DE=EA,∴四邊形ABCF是菱形,∴AC⊥BF,∴OB2+OC2=BC2,∵AC=2OC,BF=2OB,∴AC2+BF2=(2OC)2+(2OB)2=4OC2+4OB2=4BC2,又∵BC=CD,∴AC2+BF2=4CD2.故答案為:AC2+BF2=4CD2.【點評】(1)此題主要考查了菱形的判定和性質的應用,要熟練掌握,解答此題的關鍵是要明確:菱形是在平行四邊形的前提下定義的,首先它是平行四邊形,但它是特殊的平行四邊形,特殊之處就是“有一組鄰邊相等”,因而就增加了一些特殊的性質和不同于平行四邊形的判定方法.(2)此題還考查了勾股定理的應用:在任何一個直角三角形中,兩條直角邊長的平方之和一定等于斜邊長的平方,要熟練掌握.9.(2015春?株洲校級期中)如圖,在平面直角坐標系中,O為原點,四邊形OABC 是矩形,A(﹣10,0),C(0,3),點D是OA的中點,點P在BC邊上運動,當△ODP是腰長為5的等腰三角形時,點P的坐標是(﹣4,3),或(﹣1,3),或(﹣9,3).【分析】先由矩形的性質求出OD=5,分情況討論:(1)當OP=OD=5時;根據勾股定理求出PC,即可得出結果;(2)當PD=OD=5時;①作PE⊥OA于E,根據勾股定理求出DE,得出PC,即可得出結果;②作PF⊥OA于F,根據勾股定理求出DF,得出PC,即可得出結果.【解答】解:∵A(﹣10,0),C(0,3),∴OA=10,OC=3,∵四邊形OABC是矩形,∴BC=OA=10,AB=OC=3,∵D是OA的中點,∴AD=OD=5,分情況討論:(1)當OP=OD=5時,根據勾股定理得:PC==4,∴點P的坐標為:(﹣4,3);(2)當PD=OD=5時,分兩種情況討論:①如圖1所示:作PE⊥OA于E,則∠PED=90°,DE==4,∴PC=OE=5﹣4=1,∴點P的坐標為:(﹣1,3);②如圖2所示:作PF⊥OA于F,則DF==4,∴PC=OF=5+4=9,∴點P的坐標為:(﹣9,3);綜上所述:點P的坐標為:(﹣4,3),或(﹣1,3),或(﹣9,3);故答案為:(﹣4,3),或(﹣1,3),或(﹣9,3).【點評】本題考查了矩形的性質、坐標與圖形性質、等腰三角形的性質、勾股定理;熟練掌握矩形的性質,并能進行推理計算是解決問題的關鍵.三.解答題(共31小題)10.(2012春?西城區校級期中)如圖,正方形ABCD中,AE=AB,直線DE交BC 于點F,求∠BEF的度數.【分析】設∠BAE=x°,根據正方形性質推出AB=AE=AD,根據等腰三角形性質和三角形的內角和定理求出∠AEB和∠AED的度數,根據平角定義求出即可.【解答】解:設∠BAE=x°,∵四邊形ABCD是正方形,∴∠BAD=90°,AB=AD,∵AE=AB,∴AB=AE=AD,∴∠ABE=∠AEB=(180°﹣∠BAE)=90°﹣x°,∠DAE=90°﹣x°,∠AED=∠ADE=(180°﹣∠DAE)=[180°﹣(90°﹣x°)]=45°+x°,∴∠BEF=180°﹣∠AEB﹣∠AED,=180°﹣(90°﹣x°)﹣(45°+x°),=45°,答:∠BEF的度數是45°.【點評】本題考查了三角形的內角和定理,等腰三角形性質,正方形性質的應用,解此題的關鍵是如何把已知角的未知角結合起來,題目比較典型,但是有一定的難度.11.(2012秋?高淳縣期中)如圖,梯形ABCD中,AD∥BC,AB=CD,對角線AC、BD交于點O,AC⊥BD,E、F、G、H分別為AB、BC、CD、DA的中點.(1)求證:四邊形EFGH為正方形;(2)若AD=1,BC=3,求正方形EFGH的邊長.【分析】(1)先由三角形的中位線定理求出四邊相等,然后由AC⊥BD入手,進行正方形的判斷.(2)連接EG,利用梯形的中位線定理求出EG的長,然后結合(1)的結論求出EH2=2,也即得出了正方形EHGF的邊長.【解答】(1)證明:在△ABC中,∵E、F分別是AB、BC的中點,∴EF=同理FG=,GH=,HE=在梯形ABCD中,∵AB=DC,∴AC=BD,∴EF=FG=GH=HE∴四邊形EFGH為菱形.設AC與EH交于點M在△ABD中,∵E、H分別是AB、AD的中點,∴EH∥BD,同理GH∥AC又∵AC⊥BD,∴∠BOC=90°.∴∠EHG=∠EMC=∠BOC=90°∴四邊形EFGH為正方形.(2)解:連接EG,在梯形ABCD中,∵E、G分別是AB、DC的中點,∴EG=(AD+BC)=(1+3)=2,在Rt△HEG中,EG2=EH2+HG2,4=2EH2,EH2=2,則EH=.即四邊形EFGH的邊長為.【點評】此題考查了等腰梯形的性質及三角形、梯形的中位線定理,解答本題的關鍵是根據三角形的中位線定理得出EH=HG=GF=FE,這是本題的突破口.12.(2013秋?青島期中)如圖,點E、F分別是正方形ABCD的邊CD和AD的中點,BE和CF交于點P.求證:AP=AB.【分析】延長CF、BA交于點M,先證△BCE≌△CDF,再證△CDF≌△AMF得BA=MA由直角三角形中斜邊中線等于斜邊的一半,可得Rt△MBP中AP=BM,即AP=AB.【解答】證明:延長CF、BA交于點M,∵點E、F分別是正方形ABCD的邊CD和AD的中點,∴BC=CD,∠BCE=∠CDF,CE=DF,∴△BCE≌△CDF,∴∠CBE=∠DCF.∵∠DCF+∠BCP=90°,∴∠CBE+∠BCP=90°,∴∠BPM=∠CBE+∠BCP=90°.又∵FD=FA,∠CDF=∠MAF,∠CFD=∠MFA,∴△CDF≌△AMF,∴CD=AM.∵CD=AB,∴AB=AM.∴PA是直角△BPM斜邊BM上的中線,∴AP=BM,即AP=AB.【點評】本題考查了正方形各邊長相等、各內角為直角的性質,全等三角形的判定和對應邊相等的性質,直角三角形斜邊中線長為斜邊長一半的性質,本題中求證△CDF≌△AMF是解題的關鍵.13.(2015春?禹州市期中)如圖,點P為正方形ABCD對角線BD上一點,PE⊥BC于E,PF⊥DC于F.(1)求證:PA=EF;(2)若正方形ABCD的邊長為a,求四邊形PFCE的周長.【分析】(1)連接PC,證四邊形PFCE是矩形,求出EF=PC,證△ABP≌△CBP,推出AP=PC即可;(2)證△CBD是等腰直角三角形,求出BF、PF,求出周長即可.【解答】解:證明:(1)連接PC,∵四邊形ABCD是正方形,∴AB=CB,∠ABD=∠CBD=45°,∠C=90°,在△ABP與△CBP中,,∴△ABP≌△CBP(SAS),∴PA=PC,∵PE⊥BC,PF⊥CD,∴∠PFC=90°,∠PEC=90°.又∵∠C=90°,∴四邊形PFCE是矩形,∴EF=PC,∴PA=EF.(2)由(1)知四邊形PFCE是矩形,∴PE=CF,PF=CE,又∵∠CBD=45°,∠PEB=90°,∴BE=PE,又BC=a,∴矩形PFCE的周長為2(PE+EC)=2(BE+EC)=2BC=2a.【點評】本題主要考查正方形的性質,全等三角形的性質和判定等知識點的連接和掌握,能證出AP=PC是解此題的關鍵.14.(2015秋?福建校級期中)如圖1,在正方形ABCD中,點E為BC上一點,連接DE,把△DEC沿DE折疊得到△DEF,延長EF交AB于G,連接DG.(1)求∠EDG的度數.(2)如圖2,E為BC的中點,連接BF.①求證:BF∥DE;②若正方形邊長為6,求線段AG的長.【分析】(1)由正方形的性質可得DC=DA.∠A=∠B=∠C=∠ADC=90°,由折疊的性質得出∠DFE=∠C,DC=DF,∠1=∠2,再求出∠DFG=∠A,DA=DF,然后由“HL”證明Rt△DGA≌Rt△DGF,由全等三角形對應角相等得出∠3=∠4,得出∠2+∠3=45°即可;(2)①由折疊的性質和線段中點的定義可得CE=EF=BE,∠DEF=∠DEC,再由三角形的外角性質得出∠5=∠DEC,然后利用同位角相等,兩直線平行證明即可;②設AG=x,表示出GF、BG,根據點E是BC的中點求出BE、EF,從而得到GE 的長度,再利用勾股定理列出方程求解即可;【解答】(1)解:如圖1所示:∵四邊形ABCD是正方形,∴DC=DA.∠A=∠B=∠C=∠ADC=90°,∵△DEC沿DE折疊得到△DEF,∴∠DFE=∠C,DC=DF,∠1=∠2,∴∠DFG=∠A=90°,DA=DF,在Rt△DGA和Rt△DGF中,,∴Rt△DGA≌Rt△DGF(HL),∴∠3=∠4,∴∠EDG=∠3+∠2=∠ADF+∠FDC,=(∠ADF+∠FDC),=×90°,=45°;(2)①證明:如圖2所示:∵△DEC沿DE折疊得到△DEF,E為BC的中點,∴CE=EF=BE,∠DEF=∠DEC,∴∠5=∠6,∵∠FEC=∠5+∠6,∴∠DEF+∠DEC=∠5+∠6,∴2∠5=2∠DEC,即∠5=∠DEC,∴BF∥DE;②解:設AG=x,則GF=x,BG=6﹣x,∵正方形邊長為6,E為BC的中點,∴CE=EF=BE=×6=3,∴GE=EF+GF=3+x,在Rt△GBE中,根據勾股定理得:(6﹣x)2+32=(3+x)2,解得:x=2,即線段AG的長為2.【點評】本題考查了正方形的性質、全等三角形的判定與性質、等腰直角三角形的判定與性質、勾股定理、翻折變換的性質;熟練掌握正方形的性質,并能進行推理論證與計算是解決問題的關鍵.15.(2016春?召陵區期中)如圖①,在正方形ABCD中,F是對角線AC上的一點,點E在BC的延長線上,且BF=EF.(1)求證:BF=DF;(2)求證:∠DFE=90°;(3)如果把正方形ABCD改為菱形,其他條件不變(如圖②),當∠ABC=50°時,∠DFE=50度.【分析】(1)根據正方形的四條邊都相等可得BC=DC,對角線平分一組對角可得∠BCF=∠DCF,然后利用“邊角邊”證明即可;(2)易證∠FBE=∠FEB,又因為∠FBE=∠FDC,所以可證明∠FEB=∠FDC,進而可證明∠DFE=90°;(3)根據全等三角形對應角相等可得∠CBF=∠CDF,根據等邊對等角可得∠CBF=∠E,然后求出∠DFE=∠DCE,再根據兩直線平行,同位角相等可得∠DCE=∠ABC,從而得解.【解答】(1)證明:在正方形ABCD中,BC=DC,∠BCF=∠DCF=45°,∵在△BCF和△DCF中,,∴△BCF≌△DCF(SAS);∴BF=DF;(2)證明:∵BF=EF,∴∠FBE=∠FEB,又∵∠FBE=∠FDC,∴∠FEB=∠FDC,又∵∠DGF=∠EGC,∴∠DFG=∠ECG=90°,即∠DFE=90°;(3)證明:由(1)知,△BCF≌△DCF,∴∠CBF=∠CDF,∵EE=FB,∴∠CBF=∠E,∵∠DGF=∠EGC(對頂角相等),∴180°﹣∠DGF﹣∠CDF=180°﹣∠EGC﹣∠E,即∠DFE=∠DCE,∵AB∥CD,∴∠DCE=∠ABC,∴∠DFE=∠ABC=50°,故答案為:50.【點評】本題考查了正方形的性質,全等三角形的判定與性質,菱形的性質,等邊對等角的性質,熟記正方形的性質確定出∠BCF=∠DCF是解題的關鍵.16.(2015秋?泗縣期中)已知正方形ABCD中,對角線AC、BD相交于O.①如圖1,若E是AC上的點,過A 作AG⊥BE于G,AG、BD交于F,求證:OE=OF②如圖2,若點E在AC的延長線上,AG⊥EB交EB的延長線于G,AG延長DB 延長線于點F,其它條件不變,OE=OF還成立嗎?【分析】①由正方形的性質得出OA=OB,AC⊥BD,得出∠BOE=∠AOF=90°,由角的互余關系得出∠OBE=∠OAF,由ASA證明△BOE≌△AOF,得出對應邊相等即可;②由正方形的性質得出OA=OB,AC⊥BD,得出∠BOE=∠AOF=90°,由角的互余關系得出∠OBE=∠OAF,由ASA證明△BOE≌△AOF,得出對應邊相等即可.【解答】①證明:∵四邊形ABCD是正方形,∴OA=OB,AC⊥BD,∴∠BOE=∠AOF=90°,∴∠OEB+∠OBE=90°,∵AG⊥BE,∴∠AGE=90°,∴∠OEB+∠OAF=90°,∴∠OBE=∠OAF,在△BOE和△AOF中,,∴△BOE≌△AOF(ASA),∴OE=OF;②解:OE=OF還成立;理由如下:∵四邊形ABCD是正方形,∴OA=OB,AC⊥BD,∴∠BOE=∠AOF=90°,∴∠OEB+∠OBE=90°,∵AG⊥BE,∴∠AGE=90°,∴∠OEB+∠OAF=90°,∴∠OBE=∠OAF,在△BOE和△AOF中,,∴△BOE≌△AOF(ASA),∴OE=OF.【點評】本題考查了正方形的性質、全等三角形的判定與性質;熟練掌握正方形的性質,并能進行推理論證是解決問題的關鍵.17.(2016春?邳州市期中)如圖,點P是菱形ABCD中對角線AC上的一點,且PE=PB.(1)求證:PE=PD;(2)求證:∠PDC=∠PEB;(3)若∠BAD=80°,連接DE,試求∠PDE的度數,并說明理由.【分析】(1)由菱形的性質得出AB=BC=CD=AD,AB∥CD,∠DCP=∠BCP,由SAS 證明△CDP≌△CBP,得出PB=PD,再由PE=PB,即可得出結論;(2)由等腰三角形的性質得出∠PBC=∠PEB,由全等三角形的性質得出∠PDC=∠PBC,即可得出∠PDC=∠PEB;(3)由四邊形內角和定理得出∠DPE=100°,由等腰三角形的性質和三角形內角和定理即可得出結果.【解答】(1)解:∵四邊形ABCD是菱形,∴AB=BC=CD=AD,AB∥CD,∠DCP=∠BCP,在△DCP和△BCP中,,∴△CDP≌△CBP(SAS),∴PB=PD,∵PE=PB,∴PE=PD;(2)證明:∵PE=PB,∴∠PBC=∠PEB,∵△CDP≌△CBP,∴∠PDC=∠PBC,∴∠PDC=∠PEB;(3)解:如圖所示:∠PDE=40°;理由如下:在四邊形DPEC中,∵∠DPE=360°﹣(∠PDC+∠PEC+∠DCB)=360°﹣(∠PEB+∠PEC+∠DCB)=360°﹣(180°+80°)=100°,∵PE=PD∴∠PDE=∠PED=40°.【點評】本題考查了菱形的性質、全等三角形的判定與性質、等腰三角形的性質;熟練掌握菱形的性質,證明三角形全等是解決問題的關鍵.18.(2016春?昆山市期中)如圖,正方形ABCD中,AB=1,點P是BC邊上的任意一點(異于端點B、C),連接AP,過B、D兩點作BE⊥AP于點E,DF⊥AP于點F.(1)求證:EF=DF﹣BE;(2)若△ADF的周長為,求EF的長.【分析】(1)由正方形的性質得出AD=AB,證出∠DAF=∠ABE,由AAS證明△ADF ≌△BAE,得出AF=BE,DF=AE,即可得出結論;(2)設DF=a,AF=b,EF=DF﹣AF=a﹣b>0,由已知條件得出DF+AF=,即a+b=,由勾股定理得出a2+b2=1,再由完全平方公式得出a﹣b即可.【解答】(1)證明:∵BE⊥AP,DF⊥AP,∴∠DFA=∠AEB=90°,∠ABE+∠BAE=90°,∵四邊形ABCD為正方形,∴AD=AB,∠DAB=90°=∠DAF+∠BAE,∴∠DAF=∠ABE,在△ADF和△BAE中,,∴△ADF≌△BAE(AAS),∴AF=BE,DF=AE,∴EF=AE﹣AF=DF﹣BE;(2)解:設DF=a,AF=b,EF=DF﹣AF=a﹣b>0,∵△ADF的周長為,AD=1,∴DF+AF=,即a+b=,由勾股定理得:DF2+AF2=AD2,即a2+b2=1,∴(a﹣b)2=2(a2+b2)﹣(a+b)2=2﹣=,∴a﹣b=,即EF=.【點評】本題考查了正方形的性質、全等三角形的判定與性質、勾股定理等知識;熟練掌握正方形的性質,由勾股定理得出a與b的關系式是解決問題(2)的關鍵.19.(2015春?繁昌縣期中)如圖,正方形ABCD的對角線AC、BD的交點為O,以O為端點引兩條互相垂直的射線OM、ON,分別交邊AB、BC于點E、F.(1)求證:0E=OF;(2)若正方形的邊長為4,求EF的最小值.【分析】(1)根據正方形的性質可得∠EAO=∠FBO=45°,OA=OB,再根據同角的余角相等可得∠AOE=∠BOE,然后利用“角邊角”證明△AOE和△BOF全等,根據全等三角形對應邊相等即可得證;(2)根據等腰直角三角形△EOF,當OE最小時,再根據勾股定理得出EF的最小值.【解答】解:(1)∵四邊形ABCD是正方形,∴OA=OB,∠AOB=90°,∠EAO=∠FBO=45°,∴∠AOE+∠BOE=90°,∵OE⊥OF,∴∠BOF+∠BOE=90°,∴∠AOE=∠BOF,在△AOE與△BOF中,,∴△AOE≌△BOF(ASA),∴OE=OF;(2)由(1)可知,△EOF是等腰直角三角形,∠EOF是直角,當OE最小時,EF的值最小,∵OA=OB,OE⊥AB,∴點E是AB的中點,∴OE=AB,∵AB=4,∴OE=2,∴EF=,即EF的最小值是2.【點評】本題考查了正方形的性質,解決此類問題的關鍵是正確的利用旋轉不變量.正確作出輔助線是關鍵.20.(2016春?江寧區期中)如圖,在正方形ABCD中,點E是邊AD上任意一點,BE的垂直平分線FG交對角AC于點F.求證:(1)BF=DF;(2)BF⊥FE.【分析】(1)由正方形的性質得出AB=AD,∠BAF=∠DAF=45°,由SAS證明△BAF ≌△DAF,得出對應邊相等即可;(2)由線段垂直平分線的性質得出BF=EF,證出EF=DF,得出∠FDE=∠FED,再由全等三角形的性質證出∠ABF=∠FED,由鄰補角關系得出∠FED+∠FEA=180°,證出∠ABF+∠FEA=180°,由四邊形內角和得出∠BAE+∠BFE=180°,求出∠BFE=90°即可.【解答】證明:如圖所示:(1)∵四邊形ABCD是正方形,∴AB=AD,∠BAF=∠DAF=45°,∠BAE=90°,在△BAF和△DAF中,,∴△BAF≌△DAF(SAS),∴BF=DF;(2)∵BE的垂直平分線FG交對角AC于點F,∴BF=EF,∵BF=DF,∴EF=DF,∴∠FDE=∠FED,∵△BAF≌△DAF,∴∠ABF=∠FDE,∴∠ABF=∠FED,∵∠FED+∠FEA=180°,∴∠ABF+∠FEA=180°,∴∠BAE+∠BFE=180°,∴∠BFE=90°,∴BF⊥FE.。
初中数学平行四边形提高题与常考题和培优题(含解析)

数学平行四边形提高题与常考题和培优题(含解析)一.选择题(共12小题)1.如图,DE是△ABC的中位线,过点C作CF∥BD交DE的延长线于点F,则下列结论正确的是()A.EF=CFﻩB.EF=DEﻩC.CF<BDﻩD.EF>DE2.如图,在△ABC中,∠ABC=90°,AB=8,BC=6.若DE是△ABC的中位线,延长DE交△ABC的外角∠ACM的平分线于点F,则线段DF的长为()A.7 B.8ﻩC.9 D.103.如图,在△ABC中,AB=4,BC=6,DE、DF是△ABC的中位线,则四边形B EDF的周长是()A.5B.7ﻩC.8 D.104.如图,在△ABC中,点D,E分别是边AB,AC的中点,AF⊥BC,垂足为点F,∠ADE=30°,DF=4,则BF的长为()A.4ﻩB.8 C.2ﻩD.45.如图,将矩形纸片ABCD沿其对角线AC折叠,使点B落到点B′的位置,AB′与CD交于点E,若AB=8,AD=3,则图中阴影部分的周长为()A.11 B.16ﻩC.19 D.226.如图,在▱ABCD中,AB=6,BC=8,∠C的平分线交AD于E,交BA的延长线于F,则AE+AF的值等于()A.2ﻩB.3 C.4ﻩD.67.如图,平行四边形ABCD的周长是26cm,对角线AC与BD交于点O,AC⊥AB,E是BC中点,△AOD的周长比△AOB的周长多3cm,则AE的长度为()A.3cm B.4cm C.5cmﻩD.8cm8.如图,在▱ABCD中,AB=12,AD=8,∠ABC的平分线交CD于点F,交AD的延长线于点E,CG⊥BE,垂足为G,若EF=2,则线段CG的长为()A.B.4C.2ﻩD.9.关于▱ABCD的叙述,正确的是()A.若AB⊥BC,则▱ABCD是菱形B.若AC⊥BD,则▱ABCD是正方形C.若AC=BD,则▱ABCD是矩形 D.若AB=AD,则▱ABCD是正方形10.如图,在▱ABCD中,BF平分∠ABC,交AD于点F,CE平分∠BCD,交AD于点E,AB=6,EF=2,则BC长为()A.8ﻩB.10ﻩC.12 D.1411.如图,将▱ABCD沿对角线AC折叠,使点B落在B′处,若∠1=∠2=44°,则∠B为( )A.66°B.104°ﻩC.114° D.124°12.已知菱形OABC在平面直角坐标系的位置如图所示,顶点A(5,0),OB=4,点P是对角线OB上的一个动点,D(0,1),当CP+DP最短时,点P的坐标为()A.(0,0)ﻩB.(1,)C.(,)ﻩD.(,)二.填空题(共12小题)13.如图,在平行四边形ABCD中,AB=4,BC=5,∠ABC=60°,平行四边形ABCD 的对角线AC、BD交于点O,过点O作OE⊥AD,则OE=.14.如图,在△ABC中,点D、E、F分别是边AB、BC、CA上的中点,且AB=6cm,AC=8cm,则四边形ADEF的周长等于cm.15.如图,▱ABCD中,∠ABC=60°,E、F分别在CD和BC的延长线上,AE∥BD,EF⊥BC,EF=3,则AB的长是.16.有3个正方形如图所示放置,阴影部分的面积依次记为S1,S2,则S1:S2=.17.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,M、N分别是AB、AC的中点,延长BC至点D,使CD=BD,连接DM、DN、MN.若AB=6,则DN= .18.如图,在▱ABCD中,E为边CD上一点,将△ADE沿AE折叠至△AD′E处,AD′与CE交于点F.若∠B=52°,∠DAE=20°,则∠FED′的大小为.19.如图,在Rt△ABC中,∠B=90°,AB=4,BC>AB,点D在BC上,以AC为对角线的平行四边形ADCE中,DE的最小值是.20.如图,把平行四边形ABCD折叠,使点C与点A重合,这时点D落在D1,折痕为AD=.EF,若∠BAE=55°,则∠D121.如图,△APB中,AB=2,∠APB=90°,在AB的同侧作正△ABD、正△APE和正△BPC,则四边形PCDE面积的最大值是.22.如图,已知菱形ABCD的边长2,∠A=60°,点E、F分别在边AB、AD上,若将△AEF沿直线EF折叠,使得点A恰好落在CD边的中点G处,则EF= .23.如图,在菱形ABCD中,过点B作BE⊥AD,BF⊥CD,垂足分别为点E,F,延长BD至G,使得DG=BD,连结EG,FG,若AE=DE,则= .24.如图,在正方形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,E为BC上一点,CE=5,F 为DE的中点.若△CEF的周长为18,则OF的长为.三.解答题(共16小题)25.如图,四边形ABCD是平行四边形,AE平分∠BAD,交DC的延长线于点E.求证:DA=DE.26.如图,已知△ABC,AD平分∠BAC交BC于点D,BC的中点为M,ME∥AD,交BA的延长线于点E,交AC于点F.(1)求证:AE=AF;(2)求证:BE=(AB+AC).27.已知:如图,矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O,CE∥DB,交AB的延长线于点E.求证:AC=EC.28.如图,平行四边形ABCD中,BD⊥AD,∠A=45°,E、F分别是AB、CD上的点,且BE=DF,连接EF交BD于O.(1)求证:BO=DO;(2)若EF⊥AB,延长EF交AD的延长线于G,当FG=1时,求AE的长.29.如图,在四边形ABCD中,∠ABC=90°,AC=AD,M,N分别为AC,CD的中点,连接BM,MN,BN.(1)求证:BM=MN;(2)∠BAD=60°,AC平分∠BAD,AC=2,求BN的长.30.在平行四边形ABCD中,E是AD上一点,AE=AB,过点E作直线EF,在EF 上取一点G,使得∠EGB=∠EAB,连接AG.(1)如图①,当EF与AB相交时,若∠EAB=60°,求证:EG=AG+BG;(2)如图②,当EF与CD相交时,且∠EAB=90°,请你写出线段EG、AG、BG之间的数量关系,并证明你的结论.31.如图,四边形ABCD为平行四边形,∠BAD的角平分线AE交CD于点F,交BC的延长线于点E.(1)求证:BE=CD;(2)连接BF,若BF⊥AE,∠BEA=60°,AB=4,求平行四边形ABCD的面积.32.如图,▱ABCD中,AB=2,AD=1,∠ADC=60°,将▱ABCD沿过点A的直线l 折叠,使点D落到AB边上的点D′处,折痕交CD边于点E.(1)求证:四边形BCED′是菱形;(2)若点P是直线l上的一个动点,请计算PD′+PB的最小值.33.如图,在▱ABCD中,连接BD,在BD的延长线上取一点E,在DB的延长线上取一点F,使BF=DE,连接AF、CE.求证:AF∥CE.34.如图,在▱ABCD中,E是BC的中点,连接AE并延长交DC的延长线于点F. (1)求证:AB=CF;(2)连接DE,若AD=2AB,求证:DE⊥AF.35.如图,▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O,EF过点O且与AB、CD分别相交于点E、F,连接EC.(1)求证:OE=OF;(2)若EF⊥AC,△BEC的周长是10,求▱ABCD的周长.36.如图,在▱ABCD中,E、F分别为边AD、BC的中点,对角线AC分别交BE,DF于点G、H.求证:AG=CH.37.如图,分别以Rt△ABC的直角边AC及斜边AB向外作等边△ACD及等边△ABE,已知:∠BAC=30°,EF⊥AB,垂足为F,连接DF.(1)试说明AC=EF;(2)求证:四边形ADFE是平行四边形.38.如图,BD是△ABC的角平分线,它的垂直平分线分别交AB,BD,BC于点E,F,G,连接ED,DG.(1)请判断四边形EBGD的形状,并说明理由;(2)若∠ABC=30°,∠C=45°,ED=2,点H是BD上的一个动点,求HG+HC 的最小值.39.如图1,已知点E,F,G,H分别是四边形ABCD各边AB,BC,CD,DA的中点,根据以下思路可以证明四边形EFGH是平行四边形:(1)如图2,将图1中的点C移动至与点E重合的位置,F,G,H仍是BC,CD,DA的中点,求证:四边形CFGH是平行四边形;(2)如图3,在边长为1的小正方形组成的5×5网格中,点A,C,B都在格点上,在格点上画出点D,使点C与BC,CD,DA的中点F,G,H组成正方形CFGH;(3)在(2)条件下求出正方形CFGH的边长.40.我们给出如下定义:顺次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形叫中点四边形.(1)如图1,四边形ABCD中,点E,F,G,H分别为边AB,BC,CD,DA的中点.求证:中点四边形EFGH是平行四边形;(2)如图2,点P是四边形ABCD内一点,且满足PA=PB,PC=PD,∠APB=∠CPD,点E,F,G,H分别为边AB,BC,CD,DA的中点,猜想中点四边形EFGH的形状,并证明你的猜想;(3)若改变(2)中的条件,使∠APB=∠CPD=90°,其他条件不变,直接写出中点四边形EFGH的形状.(不必证明)ﻬ数学平行四边形提高题与常考题和培优题(含解析)参考答案与试题解析一.选择题(共12小题)1.(2016•厦门)如图,DE是△ABC的中位线,过点C作CF∥BD交DE的延长线于点F,则下列结论正确的是()A.EF=CFB.EF=DEﻩC.CF<BD D.EF>DE【分析】首先根据三角形的中位线定理得出AE=EC,然后根据CF∥BD得出∠A DE=∠F,继而根据AAS证得△ADE≌△CFE,最后根据全等三角形的性质即可推出EF=DE.【解答】解:∵DE是△ABC的中位线,∴E为AC中点,∴AE=EC,∵CF∥BD,∴∠ADE=∠F,在△ADE和△CFE中,∵,∴△ADE≌△CFE(AAS),∴DE=FE.故选B.【点评】本题考查了三角形中位线定理和全等三角形的判定与性质,解答本题的关键是根据中位线定理和平行线的性质得出AE=EC、∠ADE=∠F,判定三角形的全等.2.(2016•陕西)如图,在△ABC中,∠ABC=90°,AB=8,BC=6.若DE是△A BC的中位线,延长DE交△ABC的外角∠ACM的平分线于点F,则线段DF的长为( )A.7ﻩB.8ﻩC.9ﻩD.10【分析】根据三角形中位线定理求出DE,得到DF∥BM,再证明EC=EF=AC,由此即可解决问题.【解答】解:在RT△ABC中,∵∠ABC=90°,AB=8,BC=6,∴AC===10,∵DE是△ABC的中位线,∴DF∥BM,DE=BC=3,∴∠EFC=∠FCM,∵∠FCE=∠FCM,∴∠EFC=∠ECF,∴EC=EF=AC=5,∴DF=DE+EF=3+5=8.故选B.【点评】本题考查三角形中位线定理、等腰三角形的判定和性质、勾股定理等知识,解题的关键是灵活应用三角形中位线定理,掌握等腰三角形的判定和性质,属于中考常考题型.3.(2016•来宾)如图,在△ABC中,AB=4,BC=6,DE、DF是△ABC的中位线,则四边形BEDF的周长是()A.5ﻩB.7ﻩC.8D.10【分析】由中位线的性质可知DE=,DF=,DE∥BF,DF∥BE,可知四边形BEDF为平行四边形,从而可得周长.【解答】解:∵AB=4,BC=6,DE、DF是△ABC的中位线,∴DE==2,DF==3,DE∥BF,DF∥BE,∴四边形BEDF为平行四边形,∴四边形BEDF的周长为:2×2+3×2=10,故选D.【点评】本题主要考查了三角形中位线的性质,利用中位线的性质证得四边形BEDF为平行四边形是解答此题的关键4.(2016•葫芦岛)如图,在△ABC中,点D,E分别是边AB,AC的中点,AF⊥BC,垂足为点F,∠ADE=30°,DF=4,则BF的长为()A.4ﻩB.8C.2D.4【分析】先利用直角三角形斜边中线性质求出AB,再在RT△ABF中,利用30角所对的直角边等于斜边的一半,求出AF即可解决问题.【解答】解:在RT△ABF中,∵∠AFB=90°,AD=DB,DF=4,∴AB=2DF=8,∵AD=DB,AE=EC,∴DE∥BC,∴∠ADE=∠ABF=30°,∴AF=AB=4,∴BF===4.故选D.【点评】本题考查三角形中位线性质、含30度角的直角三角形性质、直角三角形斜边中线性质、勾股定理等知识,解题的关键是灵活应用这些知识解决问题,属于中考常考题型.5.(2017•河北一模)如图,将矩形纸片ABCD沿其对角线AC折叠,使点B落到点B′的位置,AB′与CD交于点E,若AB=8,AD=3,则图中阴影部分的周长为()A.11B.16ﻩC.19D.22【分析】首先由四边形ABCD为矩形及折叠的特性,得到B′C=BC=AD,∠B′=∠B=∠D=90°,∠B′EC=∠DEA,得到△AED≌△CEB′,得出EA=EC,再由阴影部分的周长为AD+DE+EA+EB′+B′C+EC,即矩形的周长解答即可.【解答】解:∵四边形ABCD为矩形,∴B′C=BC=AD,∠B′=∠B=∠D=90°∵∠B′EC=∠DEA,在△AED和△CEB′中,,∴△AED≌△CEB′(AAS);∴EA=EC,∴阴影部分的周长为AD+DE+EA+EB′+B′C+EC,=AD+DE+EC+EA+EB′+B′C,=AD+DC+AB′+B′C,=3+8+8+3,=22,故选D.【点评】本题主要考查了图形的折叠问题,全等三角形的判定和性质,及矩形的性质.熟记翻折前后两个图形能够重合找出相等的角是解题的关键.6.(2016•泰安)如图,在▱ABCD中,AB=6,BC=8,∠C的平分线交AD于E,交BA的延长线于F,则AE+AF的值等于( )A.2B.3ﻩC.4 D.6【分析】由平行四边形的性质和角平分线得出∠F=∠FCB,证出BF=BC=8,同理:DE=CD=6,求出AF=BF﹣AB=2,AE=AD﹣DE=2,即可得出结果.【解答】解:∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB∥CD,AD=BC=8,CD=AB=6,∴∠F=∠DCF,∵CF平分∠BCD,∴∠FCB=∠DCF,∴∠F=∠FCB,∴BF=BC=8,同理:DE=CD=6,∴AF=BF﹣AB=2,AE=AD﹣DE=2,∴AE+AF=4;故选:C.【点评】本题考查了平行四边形的性质、等腰三角形的判定;熟练掌握平行四边形的性质,证明三角形是等腰三角形是解决问题的关键.7.(2016•绵阳)如图,平行四边形ABCD的周长是26cm,对角线AC与BD交于点O,AC⊥AB,E是BC中点,△AOD的周长比△AOB的周长多3cm,则AE的长度为()A.3cmﻩB.4cmﻩC.5cmﻩD.8cm【分析】由▱ABCD的周长为26cm,对角线AC、BD相交于点O,若△AOD 的周长比△AOB的周长多3cm,可得AB+AD=13cm,AD﹣AB=3cm,求出AB 和AD的长,得出BC的长,再由直角三角形斜边上的中线性质即可求得答案.【解答】解:∵▱ABCD的周长为26cm,∴AB+AD=13cm,OB=OD,∵△AOD的周长比△AOB的周长多3cm,∴(OA+OD+AD)﹣(OA+OB+AB)=AD﹣AB=3cm,∴AB=5cm,AD=8cm.∴BC=AD=8cm.∵AC⊥AB,E是BC中点,∴AE=BC=4cm;故选:B.【点评】此题考查了平行四边形的性质、直角三角形斜边上的中线性质.熟练掌握平行四边形的性质,由直角三角形斜边上的中线性质求出AE是解决问题的关键.8.(2016•济南)如图,在▱ABCD中,AB=12,AD=8,∠ABC的平分线交CD于点F,交AD的延长线于点E,CG⊥BE,垂足为G,若EF=2,则线段CG的长为()A.ﻩB.4C.2 D.【分析】先由平行四边形的性质和角平分线的定义,判断出∠CBE=∠CFB=∠ABE =∠E,从而得到CF=BC=8,AE=AB=12,再用平行线分线段成比例定理求出BE,然后用等腰三角形的三线合一求出BG,最后用勾股定理即可.【解答】解:∵∠ABC的平分线交CD于点F,∴∠ABE=∠CBE,∵四边形ABCD是平行四边形,∴DC∥AB,∴∠CBE=∠CFB=∠ABE=∠E,∴CF=BC=AD=8,AE=AB=12,∵AD=8,∴DE=4,∵DC∥AB,∴,∴,∴EB=6,∵CF=CB,CG⊥BF,∴BG=BF=2,在Rt△BCG中,BC=8,BG=2,根据勾股定理得,CG===2,故选:C.【点评】此题是平行四边形的性质,主要考查了角平分线的定义,平行线分线段成比例定理,等腰三角形的性质和判定,勾股定理,解本题的关键是求出AE,记住:题目中出现平行线和角平分线时,极易出现等腰三角形这一特点.9.(2016•河北)关于▱ABCD的叙述,正确的是()A.若AB⊥BC,则▱ABCD是菱形B.若AC⊥BD,则▱ABCD是正方形C.若AC=BD,则▱ABCD是矩形 D.若AB=AD,则▱ABCD是正方形【分析】由菱形的判定方法、矩形的判定方法、正方形的判定方法得出选项A、B、D错误,C正确;即可得出结论.【解答】解:∵▱ABCD中,AB⊥BC,∴四边形ABCD是矩形,不一定是菱形,选项A错误;∵▱ABCD中,AC⊥BD,∴四边形ABCD是菱形,不一定是正方形,选项B错误;∵▱ABCD中,AC=BD,∴四边形ABCD是矩形,选项C正确;∵▱ABCD中,AB=AD,∴四边形ABCD是菱形,不一定是正方形,选项D错误;故选:C.【点评】本题考查了平行四边形的性质、菱形的判定方法、矩形的判定方法、正方形的判定方法;熟练掌握矩形、菱形、正方形的判定方法是解决问题的关键.10.(2016•丹东)如图,在▱ABCD中,BF平分∠ABC,交AD于点F,CE平分∠BC D,交AD于点E,AB=6,EF=2,则BC长为()A.8 B.10ﻩC.12 D.14【分析】由平行四边形的性质和角平分线得出∠ABF=∠AFB,得出AF=AB=6,同理可证DE=DC=6,再由EF的长,即可求出BC的长.【解答】解:∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD∥BC,DC=AB=6,AD=BC,∴∠AFB=∠FBC,∵BF平分∠ABC,∴∠ABF=∠FBC,则∠ABF=∠AFB,∴AF=AB=6,同理可证:DE=DC=6,∵EF=AF+DE﹣AD=2,即6+6﹣AD=2,解得:AD=10;故选:B.【点评】本题主要考查了平行四边形的性质、等腰三角形的判定;熟练掌握平行四边形的性质,证出AF=AB是解决问题的关键.11.(2016•河北)如图,将▱ABCD沿对角线AC折叠,使点B落在B′处,若∠1=∠2=44°,则∠B为()A.66°B.104°C.114°D.124°【分析】由平行四边形的性质和折叠的性质得出∠ACD=∠BAC=∠B′AC,由三角形的外角性质求出∠BAC=∠ACD=∠B′AC=∠1=22°,再由三角形内角和定理求出∠B即可.【解答】解:∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB∥CD,∴∠ACD=∠BAC,由折叠的性质得:∠BAC=∠B′AC,∴∠BAC=∠ACD=∠B′AC=∠1=22°,∴∠B=180°﹣∠2﹣∠BAC=180°﹣44°﹣22°=114°;故选:C.【点评】本题考查了平行四边形的性质、折叠的性质、三角形的外角性质以及三角形内角和定理;熟练掌握平行四边形的性质,求出∠BAC的度数是解决问题的关键.12.(2016•咸宁)已知菱形OABC在平面直角坐标系的位置如图所示,顶点A(5,0),OB=4,点P是对角线OB上的一个动点,D(0,1),当CP+DP最短时,点P的坐标为( )A.(0,0) B.(1,) C.(,)ﻩD.(,)【分析】如图连接AC,AD,分别交OB于G、P,作BK⊥OA于K.首先说明点P就是所求的点,再求出点B坐标,求出直线OB、DA,列方程组即可解决问题.【解答】解:如图连接AC,AD,分别交OB于G、P,作BK⊥OA于K.∵四边形OABC是菱形,∴AC⊥OB,GC=AG,OG=BG=2,A、C关于直线OB对称,∴PC+PD=PA+PD=DA,∴此时PC+PD最短,在RT△AOG中,AG===,∴AC=2,∵OA•BK=•AC•OB,∴BK=4,AK==3,∴点B坐标(8,4),∴直线OB解析式为y=x,直线AD解析式为y=﹣x+1,由解得,∴点P坐标(,).故选D.【点评】本题考查菱形的性质、轴对称﹣最短问题、坐标与图象的性质等知识,解题的关键是正确找到点P位置,构建一次函数,列出方程组求交点坐标,属于中考常考题型.二.填空题(共12小题)13.(2017•新城区校级模拟)如图,在平行四边形ABCD中,AB=4,BC=5,∠ABC=60°,平行四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O,过点O作OE⊥AD,则OE=.【分析】作CF⊥AD于F,由平行四边形的性质得出∠ADC=∠ABC=60°,CD=AB=4,OA=OC,求出∠DCF=30°,由直角三角形的性质得出DF=CD=2,求出CF=DF=2,证出OE是△ACF的中位线,由三角形中位线定理得出OE的长即可.【解答】解:作CF⊥AD于F,如图所示:∵四边形ABCD是平行四边形,∴∠ADC=∠ABC=60°,CD=AB=4,OA=OC,∴∠DCF=30°,∴DF=CD=2,∴CF=DF=2,∵CF⊥AD,OE⊥AD,CF∥OE,∵OA=OC,∴OE是△ACF的中位线,∴OE=CF=;故答案为:.【点评】本题考查了平行四边形的性质、直角三角形的性质、勾股定理、三角形中位线定理等知识;熟练掌握平行四边形的性质,证出OE是三角形的中位线是解决问题的关键.14.(2016•张家界)如图,在△ABC中,点D、E、F分别是边AB、BC、CA上的中点,且AB=6cm,AC=8cm,则四边形ADEF的周长等于14cm.【分析】首先证明四边形ADEF是平行四边形,根据三角形中位线定理求出DE、EF即可解决问题.【解答】解:∵BD=AD,BE=EC,∴DE=AC=4cm,DE∥AC,∵CF=FA,CE=BE,∴EF=AB=3cm,EF∥AB,∴四边形ADEF是平行四边形,∴四边形ADEF的周长=2(DE+EF)=14cm.故答案为14.【点评】本题考查三角形中位线定理、平行四边形的判定和性质等知识,解题的关键是出现中点想到三角形中位线定理,记住三角形中位线平行于第三边且等于第三边的一半,属于中考常考题型.15.(2017秋•海宁市校级月考)如图,▱ABCD中,∠ABC=60°,E、F分别在CD和BC的延长线上,AE∥BD,EF⊥BC,EF=3,则AB的长是.【分析】根据直角三角形性质求出CE长,利用勾股定理即可求出AB的长.【解答】解:∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB∥DC,AB=CD,∵AE∥BD,∴四边形ABDE是平行四边形,∴AB=DE=CD,即D为CE中点,∵EF⊥BC,∴∠EFC=90°,∵AB∥CD,∴∠DCF=∠ABC=60°,∴∠CEF=30°,∵EF=3,∴CE==2,∴AB=,故答案为:.【点评】本题考查了平行线性质,勾股定理,直角三角形斜边上中线性质,含30度角的直角三角形性质等知识点的应用,此题综合性比较强.16.(2017•河北区模拟)有3个正方形如图所示放置,阴影部分的面积依次记为S1,S2,则S1:S2= 4:9.【分析】设大正方形的边长为x,再根据相似的性质求出S1、S2与正方形面积的关系,然后进行计算即可得出答案.【解答】解:设大正方形的边长为x,根据图形可得:∵=,∴=,∴=,∴S1=S正方形ABCD,∴S1=x2,∵=,∴=,∴S2=S正方形ABCD,∴S2=x2,∴S1:S2=x2:x2=4:9.故答案是:4:9.【点评】此题考查了正方形的性质,用到的知识点是正方形的性质、相似三角形的性质、正方形的面积公式,关键是根据题意求出S1、S2与正方形面积的关系.17.(2016•随州)如图,在△ABC中,∠ACB=90°,M、N分别是AB、AC的中点,延长BC至点D,使CD=BD,连接DM、DN、MN.若AB=6,则DN=3.【分析】连接CM,根据三角形中位线定理得到NM=CB,MN∥BC,证明四边形DCMN是平行四边形,得到DN=CM,根据直角三角形的性质得到CM=AB=3,等量代换即可.【解答】解:连接CM,∵M、N分别是AB、AC的中点,∴NM=CB,MN∥BC,又CD=BD,∴MN=CD,又MN∥BC,∴四边形DCMN是平行四边形,∴DN=CM,∵∠ACB=90°,M是AB的中点,∴CM=AB=3,∴DN=3,故答案为:3.【点评】本题考查的是三角形的中位线定理、直角三角形的性质、平行四边形的判定和性质,掌握三角形的中位线平行于第三边,并且等于第三边的一半是解题的关键.18.(2016•武汉)如图,在▱ABCD中,E为边CD上一点,将△ADE沿AE折叠至△AD′E处,AD′与CE交于点F.若∠B=52°,∠DAE=20°,则∠FED′的大小为36°.【分析】由平行四边形的性质得出∠D=∠B=52°,由折叠的性质得:∠D′=∠D=52°,∠EAD′=∠DAE=20°,由三角形的外角性质求出∠AEF=72°,与三角形内角和定理求出∠AED′=108°,即可得出∠FED′的大小.【解答】解:∵四边形ABCD是平行四边形,∴∠D=∠B=52°,由折叠的性质得:∠D′=∠D=52°,∠EAD′=∠DAE=20°,∴∠AEF=∠D+∠DAE=52°+20°=72°,∠AED′=180°﹣∠EAD′﹣∠D′=108°,∴∠FED′=108°﹣72°=36°;故答案为:36°.【点评】本题考查了平行四边形的性质、折叠的性质、三角形的外角性质以及三角形内角和定理;熟练掌握平行四边形的性质和折叠的性质,求出∠AEF和∠AED′是解决问题的关键.19.(2016•东营)如图,在Rt△ABC中,∠B=90°,AB=4,BC>AB,点D在BC上,以AC为对角线的平行四边形ADCE中,DE的最小值是4.【分析】首先证明BC∥AE,当DE⊥BC时,DE最短,只要证明四边形ABDE是矩形即可解决问题.【解答】解:∵四边形ADCE是平行四边形,∴BC∥AE,∴当DE⊥BC时,DE最短,此时∵∠B=90°,∴AB⊥BC,∴DE∥AB,∴四边形ABDE是平行四边形,∵∠B=90°,∴四边形ABDE是矩形,∴DE=AB=4,∴DE的最小值为4.故答案为4.【点评】本题考查平行四边形的性质、垂线段最短等知识,解题的关键是找到D E的位置,学会利用垂线段最短解决问题,属于中考常考题型.20.(2016•常德)如图,把平行四边形ABCD折叠,使点C与点A重合,这时点D落在D1,折痕为EF,若∠BAE=55°,则∠D1AD=55°.【分析】由平行四边形的性质和折叠的性质得出∠D1AE=∠BAD,得出∠D1AD=∠BAE=55°即可.【解答】解:∵四边形ABCD是平行四边形,∴∠BAD=∠C,AE=∠C,由折叠的性质得:∠D1AE=∠BAD,∴∠D1AD=∠BAE=55°;∴∠D1故答案为:55°.【点评】本题考查了平行四边形的性质、折叠的性质;由平行四边形和折叠的性质得出∠D1AE=∠BAD是解决问题的关键.21.(2016•常州)如图,△APB中,AB=2,∠APB=90°,在AB的同侧作正△ABD、正△APE和正△BPC,则四边形PCDE面积的最大值是1 .【分析】先延长EP交BC于点F,得出PF⊥BC,再判定四边形CDEP为平行四边形,根据平行四边形的性质得出:四边形CDEP的面积=EP×CF=a×b=ab,最后根据a2+b2=4,判断ab的最大值即可.【解答】解:延长EP交BC于点F,∵∠APB=90°,∠APE=∠BPC=60°,∴∠EPC=150°,∴∠CPF=180°﹣150°=30°,∴PF平分∠BPC,又∵PB=PC,∴PF⊥BC,设Rt△ABP中,AP=a,BP=b,则CF=CP=b,a2+b2=22=4,∵△APE和△ABD都是等边三角形,∴AE=AP,AD=AB,∠EAP=∠DAB=60°,∴∠EAD=∠PAB,∴△EAD≌△PAB(SAS),∴ED=PB=CP,同理可得:△APB≌△DCB(SAS),∴EP=AP=CD,∴四边形CDEP是平行四边形,∴四边形CDEP的面积=EP×CF=a×b=ab,又∵(a﹣b)2=a2﹣2ab+b2≥0,∴2ab≤a2+b2=4,∴ab≤1,即四边形PCDE面积的最大值为1.故答案为:1【点评】本题主要考查了等边三角形的性质、平行四边形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质,解决问题的关键是作辅助线构造平行四边形的高线.22.(2016•盐城)如图,已知菱形ABCD的边长2,∠A=60°,点E、F分别在边AB、AD上,若将△AEF沿直线EF折叠,使得点A恰好落在CD边的中点G处,则EF=.【分析】延长CD,过点F作FM⊥CD于点M,连接GB、BD,作FH⊥AE交于点H,由菱形的性质和已知条件得出∠MFD=30°,设MD=x,则DF=2x,FM=x,得出MG=x+1,由勾股定理得出(x+1)2+(x)2=(2﹣2x)2,解方程得出D F=0.6,AF=1.4,求出AH=AF=0.7,FH=,证明△DCB是等边三角形,得出BG⊥CD,由勾股定理求出BG=,设BE=y,则GE=2﹣y,由勾股定理得出()2+y2=(2﹣y)2,解方程求出y=0.25,得出AE、EH,再由勾股定理求出EF即可.【解答】解:延长CD,过点F作FM⊥CD于点M,连接GB、BD,作FH⊥AE 交于点H,如图所示:∵∠A=60°,四边形ABCD是菱形,∴∠MDF=60°,∴∠MFD=30°,设MD=x,则DF=2x,FM=x,∵DG=1,∴MG=x+1,∴(x+1)2+(x)2=(2﹣2x)2,解得:x=0.3,∴DF=0.6,AF=1.4,∴AH=AF=0.7,FH=AF•sin∠A=1.4×=,∵CD=BC,∠C=60°,∴△DCB是等边三角形,∵G是CD的中点,∴BG⊥CD,∵BC=2,GC=1,∴BG=,设BE=y,则GE=2﹣y,∴()2+y2=(2﹣y)2,解得:y=0.25,∴AE=1.75,∴EH=AE﹣AH=1.75﹣0.7=1.05,∴EF===.故答案为:.【点评】本题考查了菱形的性质、翻折变换的性质、勾股定理、等边三角形的判定与性质等知识;本题综合性强,难度较大,运用勾股定理得出方程是解决问题的关键.23.(2016•丽水)如图,在菱形ABCD中,过点B作BE⊥AD,BF⊥CD,垂足分别为点E,F,延长BD至G,使得DG=BD,连结EG,FG,若AE=DE,则= .【分析】连接AC、EF,根据菱形的对角线互相垂直平分可得AC⊥BD,根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得AB=BD,然后判断出△ABD是等边三角形,再根据等边三角形的三个角都是60°求出∠ADB=60°,设EF与BD相交于点H,AB=4x,然后根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半求出EH,再求出DH,从而得到GH,利用勾股定理列式求出EG,最后求出比值即可.【解答】解:如图,连接AC、EF,在菱形ABCD中,AC⊥BD,∵BE⊥AD,AE=DE,∴AB=BD,又∵菱形的边AB=AD,∴△ABD是等边三角形,∴∠ADB=60°,设EF与BD相交于点H,AB=4x,∵AE=DE,∴由菱形的对称性,CF=DF,∴EF是△ACD的中位线,∴DH=DO=BD=x,在Rt△EDH中,EH=DH=x,∵DG=BD,∴GH=BD+DH=4x+x=5x,在Rt△EGH中,由勾股定理得,EG===2x,所以,==.故答案为:.【点评】本题考查了菱形的性质,等边三角形的判定与性质,勾股定理,三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半,难点在于作辅助线构造出直角三角形以及三角形的中位线.24.(2016•青岛)如图,在正方形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,E为BC 上一点,CE=5,F为DE的中点.若△CEF的周长为18,则OF的长为.【分析】先根据直角三角形的性质求出DE的长,再由勾股定理得出CD的长,进而可得出BE的长,由三角形中位线定理即可得出结论.【解答】解:∵CE=5,△CEF的周长为18,∴CF+EF=18﹣5=13.∵F为DE的中点,∴DF=EF.∵∠BCD=90°,∴CF=DE,∴EF=CF=DE=6.5,∴DE=2EF=13,∴CD===12.∵四边形ABCD是正方形,∴BC=CD=12,O为BD的中点,∴OF是△BDE的中位线,∴OF=(BC﹣CE)=(12﹣5)=.故答案为:.【点评】本题考查的是正方形的性质,涉及到直角三角形的性质、三角形中位线定理等知识,难度适中.三.解答题(共16小题)25.(2016•北京)如图,四边形ABCD是平行四边形,AE平分∠BAD,交DC的延长线于点E.求证:DA=DE.【分析】由平行四边形的性质得出AB∥CD,得出内错角相等∠E=∠BAE,再由角平分线证出∠E=∠DAE,即可得出结论.【解答】证明:∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB∥CD,∴∠E=∠BAE,∵AE平分∠BAD,∴∠BAE=∠DAE,∴∠E=∠DAE,∴DA=DE.【点评】本题考查了平行四边形的性质、平行线的性质、等腰三角形的判定;熟练掌握平行四边形的性质,证出∠E=∠DAE是解决问题的关键.26.(2016•淄博)如图,已知△ABC,AD平分∠BAC交BC于点D,BC的中点为M,ME∥AD,交BA的延长线于点E,交AC于点F.(1)求证:AE=AF;(2)求证:BE=(AB+AC).【分析】(1)欲证明AE=AF,只要证明∠AEF=∠AFE即可.(2)作CG∥EM,交BA的延长线于G,先证明AC=AG,再证明BE=EG即可解决问题.【解答】证明:(1)∵DA平分∠BAC,∴∠BAD=∠CAD,∵AD∥EM,∴∠BAD=∠AEF,∠CAD=∠AFE,∴∠AEF=∠AFE,∴AE=AF.(2)作CG∥EM,交BA的延长线于G.∵EF∥CG,∴∠G=∠AEF,∠ACG=∠AFE,∵∠AEF=∠AFE,∴∠G=∠ACG,∴AG=AC,∵EM∥CG,∴=,∵BM=CM,∴BE=EG,∴BE=BG=(BA+AG)=(AB+AC).【点评】本题考查三角形中位线定理、角平分线的性质、等腰三角形的判定和性质等知识,解题的关键是添加辅助线,构造等腰三角形,以及三角形中位线,属于中考常考题型.27.(2017春•泉山区校级月考)已知:如图,矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O,CE∥DB,交AB的延长线于点E.求证:AC=EC.【分析】先由矩形的对角线相等得出AC=DB,再证明四边形CDBE是平行四边形,得出对边相等DB=CE,即可得出AC=CE.【解答】证明:∵四边形ABCD是矩形,∴AC=DB,AB∥DC,∴DC∥BE,又∵CE∥DB,∴四边形CDBE是平行四边形,∴DB=CE,∴AC=CE.【点评】本题考查了矩形的性质以及平行四边形的判定与性质;熟练掌握矩形的性质和证明平行四边形是解决问题的关键.28.(2016•梅州)如图,平行四边形ABCD中,BD⊥AD,∠A=45°,E、F分别是AB、CD上的点,且BE=DF,连接EF交BD于O.(1)求证:BO=DO;(2)若EF⊥AB,延长EF交AD的延长线于G,当FG=1时,求AE的长.【分析】(1)由平行四边形的性质和AAS证明△OBE≌△ODF,得出对应边相等即可;(2)证出AE=GE,再证明DG=DO,得出OF=FG=1,即可得出结果.【解答】(1)证明:∵四边形ABCD是平行四边形,∴DC∥AB,∴∠OBE=∠ODF.在△OBE与△ODF中,∴△OBE≌△ODF(AAS).∴BO=DO.(2)解:∵EF⊥AB,AB∥DC,∴∠GEA=∠GFD=90°.∵∠A=45°,∴∠G=∠A=45°.∴AE=GE∵BD⊥AD,∴∠ADB=∠GDO=90°.∴∠GOD=∠G=45°.∴DG=DO,∴OF=FG=1,由(1)可知,OE=OF=1,∴GE=OE+OF+FG=3,∴AE=3.【点评】本题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质;熟练掌握平行四边形的性质,证明三角形全等是解决问题(1)的关键.29.(2016•北京)如图,在四边形ABCD中,∠ABC=90°,AC=AD,M,N分别为AC,CD的中点,连接BM,MN,BN.(1)求证:BM=MN;(2)∠BAD=60°,AC平分∠BAD,AC=2,求BN的长.【分析】(1)根据三角形中位线定理得MN=AD,根据直角三角形斜边中线定理得BM=AC,由此即可证明.(2)首先证明∠BMN=90°,根据BN2=BM2+MN2即可解决问题.【解答】(1)证明:在△CAD中,∵M、N分别是AC、CD的中点,∴MN∥AD,MN=AD,在RT△ABC中,∵M是AC中点,∴BM=AC,∵AC=AD,∴MN=BM.(2)解:∵∠BAD=60°,AC平分∠BAD,∴∠BAC=∠DAC=30°,由(1)可知,BM=AC=AM=MC,∴∠BMC=∠BAM+∠ABM=2∠BAM=60°,∵MN∥AD,∴∠NMC=∠DAC=30°,∴∠BMN=∠BMC+∠NMC=90°,∴BN2=BM2+MN2,由(1)可知MN=BM=AC=1,∴BN=【点评】本题考查三角形中位线定理、直角三角形斜边中线定理、勾股定理等知识,解题的关键是灵活应用这些知识解决问题,属于中考常考题型.30.(2017•大石桥市校级一模)在平行四边形ABCD中,E是AD上一点,AE=AB,过点E作直线EF,在EF上取一点G,使得∠EGB=∠EAB,连接AG.(1)如图①,当EF与AB相交时,若∠EAB=60°,求证:EG=AG+BG;(2)如图②,当EF与CD相交时,且∠EAB=90°,请你写出线段EG、AG、BG 之间的数量关系,并证明你的结论.【分析】(1)首先作∠GAH=∠EAB交GE于点H,易证得△ABG≌△AEH,又由∠EAB=60°,可证得△AGH是等边三角形,继而证得结论;(2)首先作∠GAH=∠EAB交GE于点H,易证得△ABG≌△AEH,继而可得△AGH是等腰直角三角形,则可求得答案.【解答】(1)证明:如图①,作∠GAH=∠EAB交GE于点H.∴∠GAB=∠HAE.∵∠EAB=∠EGB,∠APE=∠BPG,∴∠ABG=∠AEH.在△ABG和△AEH中,,∴△ABG≌△AEH(ASA).∴BG=EH,AG=AH.∵∠GAH=∠EAB=60°,∴△AGH是等边三角形.∴AG=HG.∴EG=AG+BG;(2)EG=AG﹣BG.如图②,作∠GAH=∠EAB交GE于点H.∴∠GAB=∠HAE.∵∠EGB=∠EAB=90°,∴∠ABG+∠AEG=∠AEG+∠AEH=180°.∴∠ABG=∠AEH.∵又AB=AE,∴△ABG≌△AEH.∴BG=EH,AG=AH.∵∠GAH=∠EAB=90°,∴△AGH是等腰直角三角形.∴AG=HG.∴EG=AG﹣BG.【点评】此题考查了平行四边形的性质、矩形的性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质以及三角函数等知识.此题综合性较强,难度较大,注意掌握辅助线的作法,注意掌握数形结合思想的应用.31.(2016•永州)如图,四边形ABCD为平行四边形,∠BAD的角平分线A E交CD于点F,交BC的延长线于点E.(1)求证:BE=CD;(2)连接BF,若BF⊥AE,∠BEA=60°,AB=4,求平行四边形ABCD的面积.【分析】(1)由平行四边形的性质和角平分线得出∠BAE=∠BEA,即可得出AB=BE;(2)先证明△ABE是等边三角形,得出AE=AB=4,AF=EF=2,由勾股定理求出BF,由AAS证明△ADF≌△ECF,得出△ADF的面积=△ECF的面积,因此平行四边形ABCD的面积=△ABE的面积=AE•BF,即可得出结果.【解答】(1)证明:∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD∥BC,AB∥CD,AB=CD,∴∠AEB=∠DAE,∵AE是∠BAD的平分线,∴∠BAE=∠DAE,∴∠BAE=∠AEB,。
平行四边形和特殊四边形提高练习常考题和培优题

平行四边形和特殊四边形提高练习常考题和培优题一.选择题(共5小题)1.如图,把大小相同的两个矩形拼成如下形状,则△FBD是()A.等边三角形B.等腰直角三角形C.一般三角形D.等腰三角形2.如图,正方形ABCD和正方形CEFG中,点D在CG上,BC=,CE=3,H 是AF的中点,那么CH的长是()A.3.5 B.C. D.23.如图,在矩形ABCD中,AB=4,BC=8,对角线AC、BD相交于点O,过点O 作OE垂直AC交AD于点E,则AE的长是()A.3 B.5 C.2.4 D.2.54.如图,在△ABC中,CF⊥AB于F,BE⊥AC于E,M为BC的中点,EF=7,BC=10,则△EFM的周长是()A.17 B.21 C.24 D.275.如图,在矩形ABCD中,AB=6,AD=8,P是AD上不与A和D重合的一个动点,过点P分别作AC和BD的垂线,垂足为E、F,则PE+PF的值为()A.10 B.4.8 C.6 D.5二.填空题(共4小题)6.如图,在矩形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,AE平分∠BAD交BC 于点E,若∠CAE=15°,则∠BOE的度数等于.7.如图,将平行四边形ABCD的边DC延长到E,使CE=CD,连接AE交BC于F,∠AFC=n∠D,当n=时,四边形ABEC是矩形.8.如图,在正五边形ABCDE中,连接AC、AD、CE,CE交AD于点F,连接BF,则线段AC、BF、CD之间的关系式是.9.如图,在平面直角坐标系中,O为原点,四边形OABC是矩形,A(﹣10,0),C(0,3),点D是OA的中点,点P在BC边上运动,当△ODP是腰长为5的等腰三角形时,点P的坐标是.三.解答题(共31小题)10.如图,正方形ABCD中,AE=AB,直线DE交BC于点F,求∠BEF的度数.11.如图,梯形ABCD中,AD∥BC,AB=CD,对角线AC、BD交于点O,AC⊥BD,E、F、G、H分别为AB、BC、CD、DA的中点.(1)求证:四边形EFGH为正方形;(2)若AD=1,BC=3,求正方形EFGH的边长.12.如图,点E、F分别是正方形ABCD的边CD和AD的中点,BE和CF交于点P.求证:AP=AB.16.已知正方形ABCD中,对角线AC、BD相交于O.①如图1,若E是AC上的点,过A 作AG⊥BE于G,AG、BD交于F,求证:OE=OF②如图2,若点E在AC的延长线上,AG⊥EB交EB的延长线于G,AG延长DB 延长线于点F,其它条件不变,OE=OF还成立吗?17.如图,点P是菱形ABCD中对角线AC上的一点,且PE=PB.(1)求证:PE=PD;(2)求证:∠PDC=∠PEB;(3)若∠BAD=80°,连接DE,试求∠PDE的度数,并说明理由.18.如图,正方形ABCD中,AB=1,点P是BC边上的任意一点(异于端点B、C),连接AP,过B、D两点作BE⊥AP于点E,DF⊥AP于点F.(1)求证:EF=DF﹣BE;(2)若△ADF的周长为,求EF的长.19.如图,正方形ABCD的对角线AC、BD的交点为O,以O为端点引两条互相垂直的射线OM、ON,分别交边AB、BC于点E、F.(1)求证:0E=OF;(2)若正方形的边长为4,求EF的最小值.20.如图,在正方形ABCD中,点E是边AD上任意一点,BE的垂直平分线FG 交对角AC于点F.求证:(1)BF=DF;(2)BF⊥FE.21.已知:如图所示,四边形ABCD中,∠ABC=∠ADC=90°,M是AC上任一点,O是BD的中点,连接MO,并延长MO到N,使NO=MO,连接BN与ND.(1)判断四边形BNDM的形状,并证明;(2)若M是AC的中点,则四边形BNDM的形状又如何?说明理由.22.如图,在△ABC中,O是边AC上的一动点,过点O作直线MN∥BC,设MN 交∠BCA的平分线于点E,交∠BCA的外角平分线于点F.(1)求证:OE=OF;(2)当点O运动到何处时,四边形AECF是矩形?23.(1)如图矩形ABCD的对角线AC、BD交于点O,过点D作DP∥OC,且DP=OC,连接CP,判断四边形CODP的形状并说明理由.(2)如果题目中的矩形变为菱形,结论应变为什么?说明理由.(3)如果题目中的矩形变为正方形,结论又应变为什么?说明理由.24.如图1,已知AB∥CD,AB=CD,∠A=∠D.(1)求证:四边形ABCD为矩形;(2)E是AB边的中点,F为AD边上一点,∠DFC=2∠BCE.①如图2,若F为AD中点,DF=1.6,求CF的长度:②如图2,若CE=4,CF=5,则AF+BC=,AF=.25.如图,直线a、b相交于点A,C、E分别是直线b、a上两点且BC⊥a,DE ⊥b,点M、N是EC、DB的中点.求证:MN⊥BD.26.如图所示,在梯形ABCD中,AD∥BC,∠B=90°,AD=24cm,BC=26cm,动点P从点A出发沿AD方向向点D以1cm/s的速度运动,动点Q从点C开始沿着CB方向向点B以3cm/s的速度运动.点P、Q分别从点A和点C同时出发,当其中一点到达端点时,另一点随之停止运动.(1)经过多长时间,四边形PQCD是平行四边形?(2)经过多长时间,四边形PQBA是矩形?(3)经过多长时间,当PQ不平行于CD时,有PQ=CD.27.如图,E、F是正方形ABCD的边AD上的两个动点,满足AE=DF.连接CF 交BD于G,连接BE交AG于H.已知正方形ABCD的边长为4cm,解决下列问题:(1)求证:BE⊥AG;(2)求线段DH的长度的最小值.28.如图,点M是矩形ABCD的边AD的中点,点P是BC边上一动点,PE⊥MC,PF⊥BM,垂足为E、F.(1)当矩形ABCD的长与宽满足什么条件时,四边形PEMF为矩形?猜想并证明你的结论.(2)在(1)中,当点P运动到什么位置时,矩形PEMF变为正方形,为什么?29.某校数学兴趣小组开展了一次课外活动,过程如下:如图①,正方形ABCD 中,AB=4,将三角板放在正方形ABCD上,使三角板的直角顶点与D点重合.三角板的一边交AB于点P,另一边交BC的延长线于点Q.(1)求证:AP=CQ;(2)如图②,小明在图1的基础上作∠PDQ的平分线DE交BC于点E,连接PE,他发现PE和QE存在一定的数量关系,请猜测他的结论并予以证明;(3)在(2)的条件下,若AP=1,求PE的长.30.如图,在菱形ABCD中,AB=4cm,∠ADC=120°,点E、F同时由A、C两点出发,分别沿AB、CB方向向点B匀速移动(到点B为止),点E的速度为1cm/s,点F的速度为2cm/s,经过t秒△DEF为等边三角形,求t的值.31.如图,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,点D是AC的中点,作∠ADB的角平分线DE交AB于点E,(1)求证:DE∥BC;(2)若AE=3,AD=5,点P为BC上的一动点,当BP为何值时,△DEP为等腰三角形.请直接写出所有BP的值.32.已知:如图,BF、BE分别是∠ABC及其邻补角的角平分线,AE⊥BE,垂足为点E,AF⊥BF,垂足为点F.EF分别交边AB、AC于点M、N.求证:(1)四边形AFBE是矩形;(2)BC=2MN.33.如图,在边长为5的菱形ABCD中,对角线BD=8,点O是直线BD上的动点,OE⊥AB于E,OF⊥AD于F.(1)对角线AC的长是,菱形ABCD的面积是;(2)如图1,当点O在对角线BD上运动时,OE+OF的值是否发生变化?请说明理由;(3)如图2,当点O在对角线BD的延长线上时,OE+OF的值是否发生变化?若不变请说明理由,若变化,请直接写出OE、OF之间的数量关系,不用明理由.34.如图,已知Rt△ABD≌Rt△FEC,且B、D、C、E在同一直线上,连接BF、AE.(1)求证:四边形ABFE是平行四边形.(2)若∠ABD=60°,AB=2cm,DC=4cm,将△ABD沿着BE方向以1cm/s的速度运动,设△ABD运动的时间为t,在△ABD运动过程中,试解决以下问题:(1)当四边形ABEF是菱形时,求t的值;(2)是否存在四边形ABFE是矩形的情形?如果存在,求出t的值,如果不存在,请说明理由.35.已知,矩形ABCD中,AB=4cm,BC=8cm,AC的垂直平分线EF分别交AD、BC于点E、F,垂足为O.(1)如图1,连接AF、CE.求证:四边形AFCE为菱形.(2)如图1,求AF的长.(3)如图2,动点P、Q分别从A、C两点同时出发,沿△AFB和△CDE各边匀速运动一周.即点P自A→F→B→A停止,点Q自C→D→E→C停止.在运动过程中,点P的速度为每秒1cm,设运动时间为t秒.①问在运动的过程中,以A、P、C、Q四点为顶点的四边形有可能是矩形吗?若有可能,请求出运动时间t和点Q的速度;若不可能,请说明理由.②若点Q的速度为每秒0.8cm,当A、P、C、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时,求t的值.36.如图1,E,F是正方形ABCD的边上两个动点,满足AE=DF,连接CF交BD 于G,连接BE交AG于点H(1)求证:AG⊥BE;(2)如图2,连DH,若正方形的边长为4,则线段DH长度的最小值是.37.如图,在菱形ABCD中,AB=2,∠DAB=60°,点E时AD边的中点,点M时AB边上的一个动点(不与点A重合),延长ME交CD的延长线于点N,连接MD,AN.(1)求证:四边形AMDN是平行四边形.(2)填空:①当AM的值为时,四边形AMDN是矩形;②当AM的值为时,四边形AMDN是菱形.38.如图,已知正方形OABC的边长为4,顶点A、C分别在x、y轴的正半轴上,M是BC的中点,点P(0,m)是线段oc上的一动点9点P不与点O、C重合0,直线PM交AB的延长线于点D.(1)求点D的坐标;(用含m的代数式表示)(2)若△APD是以AP边为一腰的等腰三角形,求m的值.39.如图,在△ABC中,∠ABC=90°,点D为AC的中点,过点C作CE⊥BD于点E,过点A作BD的平行线,交CE的延长线于点F,在AF的延长线上截取FG=BD,连接BG、DF.(1)证明:四边形BDFG是菱形;(2)若AC=10,CF=6,求线段AG的长度.40.如图,在正方形ABCD中,点E在边AD上,点F在边BC的延长线上,连接EF与边CD相交于点G,连接BE与对角线AC相交于点H,AE=CF,BE=EG.(1)求证:EF∥AC;(2)求∠BEF大小;(3)若EB=4,则△BAE的面积为.初二数学平行四边形和特殊四边形提高练习常考题和培优题参考答案与试题解析一.选择题(共5小题)1.(2012春•炎陵县校级期中)如图,把大小相同的两个矩形拼成如下形状,则△FBD是()A.等边三角形B.等腰直角三角形C.一般三角形D.等腰三角形【分析】根据正方形性质得出FG=BC,∠G=∠C=90°,GB=CD,根据SAS证△FGB ≌△BCD,推出∠FBG=∠BDC,BF=BD,求出∠DBC+∠FBG=90°,求出∠FBD的度数即可.【解答】解:∵大小相同的两个矩形GFEB、ABCD,∴FG=BE=AD=BC,GB=EF=AB=CD,∠G=∠C=∠ABG=∠ABC=90°,∵在△FGB和△BCD中,∴△FGB≌△BCD,∴∠FBG=∠BDC,BF=BD,∵∠BDC+∠DBC=90°,∴∠DBC+∠FBG=90°,∴∠FBD=180°﹣90°=90°,即△FBD是等腰直角三角形,故选B.【点评】本题考查了等腰直角三角形,全等三角形的性质和判定,正方形性质的应用,关键是证出△FGB≌△BCD,主要考查学生运用性质进行推理的能力.2.(2015春•江阴市期中)如图,正方形ABCD和正方形CEFG中,点D在CG上,BC=,CE=3,H是AF的中点,那么CH的长是()A.3.5 B.C. D.2【分析】根据正方形的性质求出AB=BC=,CE=EF=3,∠E=90°,延长AD交EF于M,连接AC、CF,求出AM=4,FM=2,∠AMF=90°,根据正方形性质求出∠ACF=90°,根据直角三角形斜边上的中线性质求出CH=AF,根据勾股定理求出AF即可.【解答】解:∵正方形ABCD和正方形CEFG中,点D在CG上,BC=,CE=3,∴AB=BC=,CE=EF=3,∠E=90°,延长AD交EF于M,连接AC、CF,则AM=BC+CE=4,FM=EF﹣AB=2,∠AMF=90°,∵四边形ABCD和四边形GCEF是正方形,∴∠ACD=∠GCF=45°,∴∠ACF=90°,∵H为AF的中点,∴CH=AF,在Rt△AMF中,由勾股定理得:AF==2,∴CH=,故选:C.【点评】本题考查了勾股定理,正方形的性质,直角三角形斜边上的中线的应用,解此题的关键是能正确作出辅助线,并求出AF的长和得出CH=AF,有一定的难度.3.(2015春•泗洪县校级期中)如图,在矩形ABCD中,AB=4,BC=8,对角线AC、BD相交于点O,过点O作OE垂直AC交AD于点E,则AE的长是()A.3 B.5 C.2.4 D.2.5【分析】根据矩形的性质得出∠CDE=90°,AD=BC=8,AB=DC=4,AO=OC,根据线段垂直平分线性质得出AE=CE,在Rt△CDE中,由勾股定理得出CE2=CD2+DE2,代入求出即可.【解答】解:∵在矩形ABCD中,AB=4,BC=8,∴∠CDE=90°,AD=BC=8,AB=DC=4,AO=OC,∵OE⊥AC,∴AE=CE,在Rt△CDE中,由勾股定理得:CE2=CD2+DE2,即AE2=42+(8﹣AE)2,解得:AE=5,故选B.【点评】本题考查了矩形的性质,勾股定理,线段垂直平分线性质的应用,解此题的关键是得出关于AE的方程.4.(2015秋•无锡期中)如图,在△ABC中,CF⊥AB于F,BE⊥AC于E,M为BC的中点,EF=7,BC=10,则△EFM的周长是()A.17 B.21 C.24 D.27【分析】根据CF⊥AB于F,BE⊥AC于E,M为BC的中点,利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半,求出FM和ME的长,即可求解.【解答】解:∵CF⊥AB,M为BC的中点,∴MF是Rt△BFC斜边上的中线,∴FM=BC=×10=5,同理可得,ME=BC=×10=5,又∵EF=7,∴△EFM的周长=EF+ME+FM=7+5+5=17.故选A.【点评】此题主要考查学生对直角三角形斜边上的中线这个知识点的理解和掌握,解答此题的关键是利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半,求出FM 和ME的长.5.(2015春•乌兰察布校级期中)如图,在矩形ABCD中,AB=6,AD=8,P是AD 上不与A和D重合的一个动点,过点P分别作AC和BD的垂线,垂足为E、F,则PE+PF的值为()A .10B .4.8C .6D .5【分析】连接OP ,利用勾股定理列式求出BD ,再根据矩形的对角线相等且互相平分求出OA 、OD ,然后根据S △AOD =S △AOP +S △DOP 列方程求解即可.【解答】解:如图,连接OP ,∵AB=6,AD=8,∴BD===10,∵四边形ABCD 是矩形,∴OA=OD=×10=5,∵S △AOD =S △AOP +S △DOP , ∴××6×8=×5•PE +×5•PF ,解得PE +PF=4.8.故选B .【点评】本题考查了矩形的性质,三角形的面积,熟记性质并利用三角形的面积列出方程是解题的关键.二.填空题(共4小题)6.(2016春•东平县期中)如图,在矩形ABCD 中,对角线AC 与BD 相交于点O ,AE 平分∠BAD 交BC 于点E ,若∠CAE=15°,则∠BOE 的度数等于 75° .【分析】由矩形ABCD,得到OA=OB,根据AE平分∠BAD,得到等边三角形OAB,推出AB=OB,求出∠OAB、∠OBC的度数,根据平行线的性质和等角对等边得到OB=BE,根据三角形的内角和定理即可求出答案.【解答】解:∵四边形ABCD是矩形,∴AD∥BC,AC=BD,OA=OC,OB=OD,∠BAD=90°,∴OA=OB,∠DAE=∠AEB,∵AE平分∠BAD,∴∠BAE=∠DAE=45°=∠AEB,∴AB=BE,∵∠CAE=15°,∴∠DAC=45°﹣15°=30°,∠BAC=60°,∴△BAO是等边三角形,∴AB=OB,∠ABO=60°,∴∠OBC=90°﹣60°=30°,∵AB=OB=BE,∴∠BOE=∠BEO=(180°﹣30°)=75°.故答案为75°.【点评】本题主要考查了三角形的内角和定理,矩形的性质,等边三角形的性质和判定,平行线的性质,角平分线的性质,等腰三角形的判定等知识点,解此题的关键是求出∠OBC的度数和求OB=BE.7.(2014春•武昌区期中)如图,将平行四边形ABCD的边DC延长到E,使CE=CD,连接AE交BC于F,∠AFC=n∠D,当n=2时,四边形ABEC是矩形.【分析】首先根据四边形ABCD是平行四边形,得到四边形ABEC是平行四边形,然后证得FC=FE,利用对角线互相相等的四边形是矩形判定四边形ABEC是矩形.【解答】解:当∠AFC=2∠D时,四边形ABEC是矩形.∵四边形ABCD是平行四边形,∴BC∥AD,∠BCE=∠D,由题意易得AB∥EC,AB∥EC,∴四边形ABEC是平行四边形.∵∠AFC=∠FEC+∠BCE,∴当∠AFC=2∠D时,则有∠FEC=∠FCE,∴FC=FE,∴四边形ABEC是矩形,故答案为:2.【点评】此题考查了平行四边形的性质以及矩形的判定.此题难度适中,注意掌握数形结合思想的应用,解题的关键是了解矩形的判定定理.8.(2015春•南长区期中)如图,在正五边形ABCDE中,连接AC、AD、CE,CE 交AD于点F,连接BF,则线段AC、BF、CD之间的关系式是AC2+BF2=4CD2.【分析】首先根据菱形的判定方法,判断出四边形ABCF是菱形,再根据菱形的性质,即可判断出AC⊥BF;然后根据勾股定理,可得OB2+OC2=BC2,据此推得AC2+BF2=4CD2即可.【解答】解:∵五边形ABCDE是正五边形,∴AB∥CE,AD∥BC,∴四边形ABCF是平行四边形,又∵AB=BC=CD=DE=EA,∴四边形ABCF是菱形,∴AC⊥BF,∴OB2+OC2=BC2,∵AC=2OC,BF=2OB,∴AC2+BF2=(2OC)2+(2OB)2=4OC2+4OB2=4BC2,又∵BC=CD,∴AC2+BF2=4CD2.故答案为:AC2+BF2=4CD2.【点评】(1)此题主要考查了菱形的判定和性质的应用,要熟练掌握,解答此题的关键是要明确:菱形是在平行四边形的前提下定义的,首先它是平行四边形,但它是特殊的平行四边形,特殊之处就是“有一组邻边相等”,因而就增加了一些特殊的性质和不同于平行四边形的判定方法.(2)此题还考查了勾股定理的应用:在任何一个直角三角形中,两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方,要熟练掌握.9.(2015春•株洲校级期中)如图,在平面直角坐标系中,O为原点,四边形OABC 是矩形,A(﹣10,0),C(0,3),点D是OA的中点,点P在BC边上运动,当△ODP是腰长为5的等腰三角形时,点P的坐标是(﹣4,3),或(﹣1,3),或(﹣9,3).【分析】先由矩形的性质求出OD=5,分情况讨论:(1)当OP=OD=5时;根据勾股定理求出PC,即可得出结果;(2)当PD=OD=5时;①作PE⊥OA于E,根据勾股定理求出DE,得出PC,即可得出结果;②作PF⊥OA于F,根据勾股定理求出DF,得出PC,即可得出结果.【解答】解:∵A(﹣10,0),C(0,3),∴OA=10,OC=3,∵四边形OABC是矩形,∴BC=OA=10,AB=OC=3,∵D是OA的中点,∴AD=OD=5,分情况讨论:(1)当OP=OD=5时,根据勾股定理得:PC==4,∴点P的坐标为:(﹣4,3);(2)当PD=OD=5时,分两种情况讨论:①如图1所示:作PE⊥OA于E,则∠PED=90°,DE==4,∴PC=OE=5﹣4=1,∴点P的坐标为:(﹣1,3);②如图2所示:作PF⊥OA于F,则DF==4,∴PC=OF=5+4=9,∴点P的坐标为:(﹣9,3);综上所述:点P的坐标为:(﹣4,3),或(﹣1,3),或(﹣9,3);故答案为:(﹣4,3),或(﹣1,3),或(﹣9,3).【点评】本题考查了矩形的性质、坐标与图形性质、等腰三角形的性质、勾股定理;熟练掌握矩形的性质,并能进行推理计算是解决问题的关键.三.解答题(共31小题)10.(2012春•西城区校级期中)如图,正方形ABCD中,AE=AB,直线DE交BC 于点F,求∠BEF的度数.【分析】设∠BAE=x°,根据正方形性质推出AB=AE=AD,根据等腰三角形性质和三角形的内角和定理求出∠AEB和∠AED的度数,根据平角定义求出即可.【解答】解:设∠BAE=x°,∵四边形ABCD是正方形,∴∠BAD=90°,AB=AD,∵AE=AB,∴AB=AE=AD,∴∠ABE=∠AEB=(180°﹣∠BAE)=90°﹣x°,∠DAE=90°﹣x°,∠AED=∠ADE=(180°﹣∠DAE)=[180°﹣(90°﹣x°)]=45°+x°,∴∠BEF=180°﹣∠AEB﹣∠AED,=180°﹣(90°﹣x°)﹣(45°+x°),=45°,答:∠BEF的度数是45°.【点评】本题考查了三角形的内角和定理,等腰三角形性质,正方形性质的应用,解此题的关键是如何把已知角的未知角结合起来,题目比较典型,但是有一定的难度.11.(2012秋•高淳县期中)如图,梯形ABCD中,AD∥BC,AB=CD,对角线AC、BD交于点O,AC⊥BD,E、F、G、H分别为AB、BC、CD、DA的中点.(1)求证:四边形EFGH为正方形;(2)若AD=1,BC=3,求正方形EFGH的边长.【分析】(1)先由三角形的中位线定理求出四边相等,然后由AC⊥BD入手,进行正方形的判断.(2)连接EG,利用梯形的中位线定理求出EG的长,然后结合(1)的结论求出EH2=2,也即得出了正方形EHGF的边长.【解答】(1)证明:在△ABC中,∵E、F分别是AB、BC的中点,∴EF=同理FG=,GH=,HE=在梯形ABCD中,∵AB=DC,∴AC=BD,∴EF=FG=GH=HE∴四边形EFGH为菱形.设AC与EH交于点M在△ABD中,∵E、H分别是AB、AD的中点,∴EH∥BD,同理GH∥AC又∵AC⊥BD,∴∠BOC=90°.∴∠EHG=∠EMC=∠BOC=90°∴四边形EFGH为正方形.(2)解:连接EG,在梯形ABCD中,∵E、G分别是AB、DC的中点,∴EG=(AD+BC)=(1+3)=2,在Rt△HEG中,EG2=EH2+HG2,4=2EH2,EH2=2,则EH=.即四边形EFGH的边长为.【点评】此题考查了等腰梯形的性质及三角形、梯形的中位线定理,解答本题的关键是根据三角形的中位线定理得出EH=HG=GF=FE,这是本题的突破口.12.(2013秋•青岛期中)如图,点E、F分别是正方形ABCD的边CD和AD的中点,BE和CF交于点P.求证:AP=AB.【分析】延长CF、BA交于点M,先证△BCE≌△CDF,再证△CDF≌△AMF得BA=MA由直角三角形中斜边中线等于斜边的一半,可得Rt△MBP中AP=BM,即AP=AB.【解答】证明:延长CF、BA交于点M,∵点E、F分别是正方形ABCD的边CD和AD的中点,∴BC=CD,∠BCE=∠CDF,CE=DF,∴△BCE≌△CDF,∴∠CBE=∠DCF.∵∠DCF+∠BCP=90°,∴∠CBE+∠BCP=90°,∴∠BPM=∠CBE+∠BCP=90°.又∵FD=FA,∠CDF=∠MAF,∠CFD=∠MFA,∴△CDF≌△AMF,∴CD=AM.∵CD=AB,∴AB=AM.∴PA是直角△BPM斜边BM上的中线,∴AP=BM,即AP=AB.【点评】本题考查了正方形各边长相等、各内角为直角的性质,全等三角形的判定和对应边相等的性质,直角三角形斜边中线长为斜边长一半的性质,本题中求证△CDF≌△AMF是解题的关键.13.(2015春•禹州市期中)如图,点P为正方形ABCD对角线BD上一点,PE⊥BC于E,PF⊥DC于F.(1)求证:PA=EF;(2)若正方形ABCD的边长为a,求四边形PFCE的周长.【分析】(1)连接PC,证四边形PFCE是矩形,求出EF=PC,证△ABP≌△CBP,推出AP=PC即可;(2)证△CBD是等腰直角三角形,求出BF、PF,求出周长即可.【解答】解:证明:(1)连接PC,∵四边形ABCD是正方形,∴AB=CB,∠ABD=∠CBD=45°,∠C=90°,在△ABP与△CBP中,,∴△ABP≌△CBP(SAS),∴PA=PC,∵PE⊥BC,PF⊥CD,∴∠PFC=90°,∠PEC=90°.又∵∠C=90°,∴四边形PFCE是矩形,∴EF=PC,∴PA=EF.(2)由(1)知四边形PFCE是矩形,∴PE=CF,PF=CE,又∵∠CBD=45°,∠PEB=90°,∴BE=PE,又BC=a,∴矩形PFCE的周长为2(PE+EC)=2(BE+EC)=2BC=2a.【点评】本题主要考查正方形的性质,全等三角形的性质和判定等知识点的连接和掌握,能证出AP=PC是解此题的关键.14.(2015秋•福建校级期中)如图1,在正方形ABCD中,点E为BC上一点,连接DE,把△DEC沿DE折叠得到△DEF,延长EF交AB于G,连接DG.(1)求∠EDG的度数.(2)如图2,E为BC的中点,连接BF.①求证:BF∥DE;②若正方形边长为6,求线段AG的长.【分析】(1)由正方形的性质可得DC=DA.∠A=∠B=∠C=∠ADC=90°,由折叠的性质得出∠DFE=∠C,DC=DF,∠1=∠2,再求出∠DFG=∠A,DA=DF,然后由“HL”证明Rt△DGA≌Rt△DGF,由全等三角形对应角相等得出∠3=∠4,得出∠2+∠3=45°即可;(2)①由折叠的性质和线段中点的定义可得CE=EF=BE,∠DEF=∠DEC,再由三角形的外角性质得出∠5=∠DEC,然后利用同位角相等,两直线平行证明即可;②设AG=x,表示出GF、BG,根据点E是BC的中点求出BE、EF,从而得到GE 的长度,再利用勾股定理列出方程求解即可;【解答】(1)解:如图1所示:∵四边形ABCD是正方形,∴DC=DA.∠A=∠B=∠C=∠ADC=90°,∵△DEC沿DE折叠得到△DEF,∴∠DFE=∠C,DC=DF,∠1=∠2,∴∠DFG=∠A=90°,DA=DF,在Rt△DGA和Rt△DGF中,,∴Rt△DGA≌Rt△DGF(HL),∴∠3=∠4,∴∠EDG=∠3+∠2=∠ADF+∠FDC,=(∠ADF+∠FDC),=×90°,=45°;(2)①证明:如图2所示:∵△DEC沿DE折叠得到△DEF,E为BC的中点,∴CE=EF=BE,∠DEF=∠DEC,∴∠5=∠6,∵∠FEC=∠5+∠6,∴∠DEF+∠DEC=∠5+∠6,∴2∠5=2∠DEC,即∠5=∠DEC,∴BF∥DE;②解:设AG=x,则GF=x,BG=6﹣x,∵正方形边长为6,E为BC的中点,∴CE=EF=BE=×6=3,∴GE=EF+GF=3+x,在Rt△GBE中,根据勾股定理得:(6﹣x)2+32=(3+x)2,解得:x=2,即线段AG的长为2.【点评】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理、翻折变换的性质;熟练掌握正方形的性质,并能进行推理论证与计算是解决问题的关键.15.(2016春•召陵区期中)如图①,在正方形ABCD中,F是对角线AC上的一点,点E在BC的延长线上,且BF=EF.(1)求证:BF=DF;(2)求证:∠DFE=90°;(3)如果把正方形ABCD改为菱形,其他条件不变(如图②),当∠ABC=50°时,∠DFE=50度.【分析】(1)根据正方形的四条边都相等可得BC=DC,对角线平分一组对角可得∠BCF=∠DCF,然后利用“边角边”证明即可;(2)易证∠FBE=∠FEB,又因为∠FBE=∠FDC,所以可证明∠FEB=∠FDC,进而可证明∠DFE=90°;(3)根据全等三角形对应角相等可得∠CBF=∠CDF,根据等边对等角可得∠CBF=∠E,然后求出∠DFE=∠DCE,再根据两直线平行,同位角相等可得∠DCE=∠ABC,从而得解.【解答】(1)证明:在正方形ABCD中,BC=DC,∠BCF=∠DCF=45°,∵在△BCF和△DCF中,,∴△BCF≌△DCF(SAS);∴BF=DF;(2)证明:∵BF=EF,∴∠FBE=∠FEB,又∵∠FBE=∠FDC,∴∠FEB=∠FDC,又∵∠DGF=∠EGC,∴∠DFG=∠ECG=90°,即∠DFE=90°;(3)证明:由(1)知,△BCF≌△DCF,∴∠CBF=∠CDF,∵EE=FB,∴∠CBF=∠E,∵∠DGF=∠EGC(对顶角相等),∴180°﹣∠DGF﹣∠CDF=180°﹣∠EGC﹣∠E,即∠DFE=∠DCE,∵AB∥CD,∴∠DCE=∠ABC,∴∠DFE=∠ABC=50°,故答案为:50.【点评】本题考查了正方形的性质,全等三角形的判定与性质,菱形的性质,等边对等角的性质,熟记正方形的性质确定出∠BCF=∠DCF是解题的关键.16.(2015秋•泗县期中)已知正方形ABCD中,对角线AC、BD相交于O.①如图1,若E是AC上的点,过A 作AG⊥BE于G,AG、BD交于F,求证:OE=OF②如图2,若点E在AC的延长线上,AG⊥EB交EB的延长线于G,AG延长DB 延长线于点F,其它条件不变,OE=OF还成立吗?【分析】①由正方形的性质得出OA=OB,AC⊥BD,得出∠BOE=∠AOF=90°,由角的互余关系得出∠OBE=∠OAF,由ASA证明△BOE≌△AOF,得出对应边相等即可;②由正方形的性质得出OA=OB,AC⊥BD,得出∠BOE=∠AOF=90°,由角的互余关系得出∠OBE=∠OAF,由ASA证明△BOE≌△AOF,得出对应边相等即可.【解答】①证明:∵四边形ABCD是正方形,∴OA=OB,AC⊥BD,∴∠BOE=∠AOF=90°,∴∠OEB+∠OBE=90°,∵AG⊥BE,∴∠AGE=90°,∴∠OEB+∠OAF=90°,∴∠OBE=∠OAF,在△BOE和△AOF中,,∴△BOE≌△AOF(ASA),∴OE=OF;②解:OE=OF还成立;理由如下:∵四边形ABCD是正方形,∴OA=OB,AC⊥BD,∴∠BOE=∠AOF=90°,∴∠OEB+∠OBE=90°,∵AG⊥BE,∴∠AGE=90°,∴∠OEB+∠OAF=90°,∴∠OBE=∠OAF,在△BOE和△AOF中,,∴△BOE≌△AOF(ASA),∴OE=OF.【点评】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质;熟练掌握正方形的性质,并能进行推理论证是解决问题的关键.17.(2016春•邳州市期中)如图,点P是菱形ABCD中对角线AC上的一点,且PE=PB.(1)求证:PE=PD;(2)求证:∠PDC=∠PEB;(3)若∠BAD=80°,连接DE,试求∠PDE的度数,并说明理由.【分析】(1)由菱形的性质得出AB=BC=CD=AD,AB∥CD,∠DCP=∠BCP,由SAS 证明△CDP≌△CBP,得出PB=PD,再由PE=PB,即可得出结论;(2)由等腰三角形的性质得出∠PBC=∠PEB,由全等三角形的性质得出∠PDC=∠PBC,即可得出∠PDC=∠PEB;(3)由四边形内角和定理得出∠DPE=100°,由等腰三角形的性质和三角形内角和定理即可得出结果.【解答】(1)解:∵四边形ABCD是菱形,∴AB=BC=CD=AD,AB∥CD,∠DCP=∠BCP,在△DCP和△BCP中,,∴△CDP≌△CBP(SAS),∴PB=PD,∵PE=PB,∴PE=PD;(2)证明:∵PE=PB,∴∠PBC=∠PEB,∵△CDP≌△CBP,∴∠PDC=∠PBC,∴∠PDC=∠PEB;(3)解:如图所示:∠PDE=40°;理由如下:在四边形DPEC中,∵∠DPE=360°﹣(∠PDC+∠PEC+∠DCB)=360°﹣(∠PEB+∠PEC+∠DCB)=360°﹣(180°+80°)=100°,∵PE=PD∴∠PDE=∠PED=40°.【点评】本题考查了菱形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质;熟练掌握菱形的性质,证明三角形全等是解决问题的关键.18.(2016春•昆山市期中)如图,正方形ABCD中,AB=1,点P是BC边上的任意一点(异于端点B、C),连接AP,过B、D两点作BE⊥AP于点E,DF⊥AP于点F.(1)求证:EF=DF﹣BE;(2)若△ADF的周长为,求EF的长.【分析】(1)由正方形的性质得出AD=AB,证出∠DAF=∠ABE,由AAS证明△ADF ≌△BAE,得出AF=BE,DF=AE,即可得出结论;(2)设DF=a,AF=b,EF=DF﹣AF=a﹣b>0,由已知条件得出DF+AF=,即a+b=,由勾股定理得出a2+b2=1,再由完全平方公式得出a﹣b即可.【解答】(1)证明:∵BE⊥AP,DF⊥AP,∴∠DFA=∠AEB=90°,∠ABE+∠BAE=90°,∵四边形ABCD为正方形,∴AD=AB,∠DAB=90°=∠DAF+∠BAE,∴∠DAF=∠ABE,在△ADF和△BAE中,,∴△ADF≌△BAE(AAS),∴AF=BE,DF=AE,∴EF=AE﹣AF=DF﹣BE;(2)解:设DF=a,AF=b,EF=DF﹣AF=a﹣b>0,∵△ADF的周长为,AD=1,∴DF+AF=,即a+b=,由勾股定理得:DF2+AF2=AD2,即a2+b2=1,∴(a﹣b)2=2(a2+b2)﹣(a+b)2=2﹣=,∴a﹣b=,即EF=.【点评】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识;熟练掌握正方形的性质,由勾股定理得出a与b的关系式是解决问题(2)的关键.19.(2015春•繁昌县期中)如图,正方形ABCD的对角线AC、BD的交点为O,以O为端点引两条互相垂直的射线OM、ON,分别交边AB、BC于点E、F.(1)求证:0E=OF;(2)若正方形的边长为4,求EF的最小值.【分析】(1)根据正方形的性质可得∠EAO=∠FBO=45°,OA=OB,再根据同角的余角相等可得∠AOE=∠BOE,然后利用“角边角”证明△AOE和△BOF全等,根据全等三角形对应边相等即可得证;(2)根据等腰直角三角形△EOF,当OE最小时,再根据勾股定理得出EF的最小值.【解答】解:(1)∵四边形ABCD是正方形,∴OA=OB,∠AOB=90°,∠EAO=∠FBO=45°,∴∠AOE+∠BOE=90°,∵OE⊥OF,∴∠BOF+∠BOE=90°,∴∠AOE=∠BOF,在△AOE与△BOF中,,∴△AOE≌△BOF(ASA),∴OE=OF;(2)由(1)可知,△EOF是等腰直角三角形,∠EOF是直角,当OE最小时,EF的值最小,∵OA=OB,OE⊥AB,∴点E是AB的中点,∴OE=AB,∵AB=4,∴OE=2,∴EF=,即EF的最小值是2.【点评】本题考查了正方形的性质,解决此类问题的关键是正确的利用旋转不变量.正确作出辅助线是关键.20.(2016春•江宁区期中)如图,在正方形ABCD中,点E是边AD上任意一点,BE的垂直平分线FG交对角AC于点F.求证:(1)BF=DF;(2)BF⊥FE.【分析】(1)由正方形的性质得出AB=AD,∠BAF=∠DAF=45°,由SAS证明△BAF ≌△DAF,得出对应边相等即可;(2)由线段垂直平分线的性质得出BF=EF,证出EF=DF,得出∠FDE=∠FED,再由全等三角形的性质证出∠ABF=∠FED,由邻补角关系得出∠FED+∠FEA=180°,证出∠ABF+∠FEA=180°,由四边形内角和得出∠BAE+∠BFE=180°,求出∠BFE=90°即可.【解答】证明:如图所示:(1)∵四边形ABCD是正方形,∴AB=AD,∠BAF=∠DAF=45°,∠BAE=90°,在△BAF和△DAF中,,∴△BAF≌△DAF(SAS),∴BF=DF;(2)∵BE的垂直平分线FG交对角AC于点F,∴BF=EF,∵BF=DF,∴EF=DF,∴∠FDE=∠FED,∵△BAF≌△DAF,∴∠ABF=∠FDE,∴∠ABF=∠FED,∵∠FED+∠FEA=180°,∴∠ABF+∠FEA=180°,∴∠BAE+∠BFE=180°,∴∠BFE=90°,∴BF⊥FE.【点评】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、四边形内角和定理等知识;熟练掌握正方形的性质,证明三角形全等是解决问题的关键.21.(2015春•台州校级期中)已知:如图所示,四边形ABCD中,∠ABC=∠ADC=90°,M是AC上任一点,O是BD的中点,连接MO,并延长MO到N,使NO=MO,连接BN与ND.(1)判断四边形BNDM的形状,并证明;(2)若M是AC的中点,则四边形BNDM的形状又如何?说明理由.【分析】(1)由对角线互相平分的四边形是平行四边形即可得出结论;(2)由直角三角形斜边上1的中线性质得出BM=AC,DM=AC,得出BM=DM,即可得出结论.【解答】(1)解:四边形BNDM是平行四边形,理由如下:∵O是BD的中点,∴OB=OD,∵NO=MO,∴四边形BNDM是平行四边形;(2)解:四边形BNDM是菱形;理由如下:∵∠ABC=∠ADC=90°,M是AC的中点,∴BM=AC,DM=AC,∴BM=DM,∴四边形BNDM是菱形.【点评】本题考查了平行四边形的判定方法、直角三角形斜边上的中线性质、菱。
初二数学平行四边形和特殊四边形提高练习与常考题和培优题(含解析)之欧阳史创编

初二数学平行四边形和特殊四边形提高练习常考题和培优题时间:2021.02.10 创作:欧阳史一.选择题(共5小题)1.如图,把大小相同的两个矩形拼成如下形状,则△FBD是()A.等边三角形B.等腰直角三角形C.一般三角形D.等腰三角形2.如图,正方形ABCD和正方形CEFG中,点D在CG上,BC=,CE=3,H是AF的中点,那么CH的长是()A.3.5 B.C.D.23.如图,在矩形ABCD中,AB=4,BC=8,对角线AC、BD相交于点O,过点O作OE垂直AC交AD于点E,则AE的长是()A.3 B.5 C.2.4 D.2.54.如图,在△ABC中,CF⊥AB于F,BE⊥AC于E,M为BC 的中点,EF=7,BC=10,则△EFM的周长是()A.17 B.21 C.24 D.275.如图,在矩形ABCD中,AB=6,AD=8,P是AD上不与A和D重合的一个动点,过点P分别作AC和BD的垂线,垂足为E、F,则PE+PF的值为()A.10 B.4.8 C.6 D.5二.填空题(共4小题)6.如图,在矩形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,AE 平分∠BAD交BC于点E,若∠CAE=15°,则∠BOE的度数等于.7.如图,将平行四边形ABCD的边DC延长到E,使CE=CD,连接AE交BC于F,∠AFC=n∠D,当n=时,四边形ABEC是矩形.8.如图,在正五边形ABCDE中,连接AC、AD、CE,CE交AD 于点F,连接BF,则线段AC、BF、CD之间的关系式是.9.如图,在平面直角坐标系中,O为原点,四边形OABC是矩形,A(﹣10,0),C(0,3),点D是OA的中点,点P在BC边上运动,当△ODP是腰长为5的等腰三角形时,点P的坐标是.三.解答题(共31小题)10.如图,正方形ABCD中,AE=AB,直线DE交BC于点F,求∠BEF的度数.11.如图,梯形ABCD中,AD∥BC,AB=CD,对角线AC、BD 交于点O,AC⊥BD,E、F、G、H分别为AB、BC、CD、DA的中点.(1)求证:四边形EFGH为正方形;(2)若AD=1,BC=3,求正方形EFGH的边长.12.如图,点E、F分别是正方形ABCD的边CD和AD的中点,BE和CF交于点P.求证:AP=AB.13.如图,点P为正方形ABCD对角线BD上一点,PE⊥BC于E,PF⊥DC于F.(1)求证:PA=EF;(2)若正方形ABCD的边长为a,求四边形PFCE的周长.14.如图1,在正方形ABCD中,点E为BC上一点,连接DE,把△DEC沿DE折叠得到△DEF,延长EF交AB于G,连接DG.(1)求∠EDG的度数.(2)如图2,E为BC的中点,连接BF.①求证:BF∥DE;②若正方形边长为6,求线段AG的长.15.如图①,在正方形ABCD中,F是对角线AC上的一点,点E在BC的延长线上,且BF=EF.(1)求证:BF=DF;(2)求证:∠DFE=90°;(3)如果把正方形ABCD改为菱形,其他条件不变(如图②),当∠ABC=50°时,∠DFE=度.16.已知正方形ABCD中,对角线AC、BD相交于O.①如图1,若E是AC上的点,过A 作AG⊥BE于G,AG、BD交于F,求证:OE=OF②如图2,若点E在AC的延长线上,AG⊥EB交EB的延长线于G,AG延长DB延长线于点F,其它条件不变,OE=OF还成立吗?17.如图,点P是菱形ABCD中对角线AC上的一点,且PE=PB.(1)求证:PE=PD;(2)求证:∠PDC=∠PEB;(3)若∠BAD=80°,连接DE,试求∠PDE的度数,并说明理由.18.如图,正方形ABCD中,AB=1,点P是BC边上的任意一点(异于端点B、C),连接AP,过B、D两点作BE⊥AP于点E,DF⊥AP于点F.(1)求证:EF=DF﹣BE;(2)若△ADF的周长为,求EF的长.19.如图,正方形ABCD的对角线AC、BD的交点为O,以O 为端点引两条互相垂直的射线OM、ON,分别交边AB、BC于点E、F.(1)求证:0E=OF;(2)若正方形的边长为4,求EF的最小值.20.如图,在正方形ABCD中,点E是边AD上任意一点,BE 的垂直平分线FG交对角AC于点F.求证:(1)BF=DF;(2)BF⊥FE.21.已知:如图所示,四边形ABCD中,∠ABC=∠ADC=90°,M是AC上任一点,O是BD的中点,连接MO,并延长MO到N,使NO=MO,连接BN与ND.(1)判断四边形BNDM的形状,并证明;(2)若M是AC的中点,则四边形BNDM的形状又如何?说明理由.22.如图,在△ABC中,O是边AC上的一动点,过点O作直线MN∥BC,设MN交∠BCA的平分线于点E,交∠BCA的外角平分线于点F.(1)求证:OE=OF;(2)当点O运动到何处时,四边形AECF是矩形?23.(1)如图矩形ABCD的对角线AC、BD交于点O,过点D 作DP∥OC,且DP=OC,连接CP,判断四边形CODP的形状并说明理由.(2)如果题目中的矩形变为菱形,结论应变为什么?说明理由.(3)如果题目中的矩形变为正方形,结论又应变为什么?说明理由.24.如图1,已知AB∥CD,AB=CD,∠A=∠D.(1)求证:四边形ABCD为矩形;(2)E是AB边的中点,F为AD边上一点,∠DFC=2∠BCE.①如图2,若F为AD中点,DF=1.6,求CF的长度:②如图2,若CE=4,CF=5,则AF+BC=,AF=.25.如图,直线a、b相交于点A,C、E分别是直线b、a上两点且BC⊥a,DE⊥b,点M、N是EC、DB的中点.求证:MN⊥BD.26.如图所示,在梯形ABCD中,AD∥BC,∠B=90°,AD=24cm,BC=26cm,动点P从点A出发沿AD方向向点D以1cm/s的速度运动,动点Q从点C开始沿着CB方向向点B以3cm/s的速度运动.点P、Q分别从点A和点C同时出发,当其中一点到达端点时,另一点随之停止运动.(1)经过多长时间,四边形PQCD是平行四边形?(2)经过多长时间,四边形PQBA是矩形?(3)经过多长时间,当PQ不平行于CD时,有PQ=CD.27.如图,E、F是正方形ABCD的边AD上的两个动点,满足AE=DF.连接CF交BD于G,连接BE交AG于H.已知正方形ABCD的边长为4cm,解决下列问题:(1)求证:BE⊥AG;(2)求线段DH的长度的最小值.28.如图,点M是矩形ABCD的边AD的中点,点P是BC边上一动点,PE⊥MC,PF⊥BM,垂足为E、F.(1)当矩形ABCD的长与宽满足什么条件时,四边形PEMF 为矩形?猜想并证明你的结论.(2)在(1)中,当点P运动到什么位置时,矩形PEMF变为正方形,为什么?29.某校数学兴趣小组开展了一次课外活动,过程如下:如图①,正方形ABCD中,AB=4,将三角板放在正方形ABCD上,使三角板的直角顶点与D点重合.三角板的一边交AB于点P,另一边交BC的延长线于点Q.(1)求证:AP=CQ;(2)如图②,小明在图1的基础上作∠PDQ的平分线DE交BC于点E,连接PE,他发现PE和QE存在一定的数量关系,请猜测他的结论并予以证明;(3)在(2)的条件下,若AP=1,求PE的长.30.如图,在菱形ABCD中,AB=4cm,∠ADC=120°,点E、F 同时由A、C两点出发,分别沿AB、CB方向向点B匀速移动(到点B为止),点E的速度为1cm/s,点F的速度为2cm/s,经过t秒△DEF为等边三角形,求t的值.31.如图,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,点D是AC的中点,作∠ADB的角平分线DE交AB于点E,(1)求证:DE∥BC;(2)若AE=3,AD=5,点P为BC上的一动点,当BP为何值时,△DEP为等腰三角形.请直接写出所有BP的值.32.已知:如图,BF、BE分别是∠ABC及其邻补角的角平分线,AE⊥BE,垂足为点E,AF⊥BF,垂足为点F.EF分别交边AB、AC于点M、N.求证:(1)四边形AFBE是矩形;(2)BC=2MN.33.如图,在边长为5的菱形ABCD中,对角线BD=8,点O 是直线BD上的动点,OE⊥AB于E,OF⊥AD于F.(1)对角线AC的长是,菱形ABCD的面积是;(2)如图1,当点O在对角线BD上运动时,OE+OF的值是否发生变化?请说明理由;(3)如图2,当点O在对角线BD的延长线上时,OE+OF的值是否发生变化?若不变请说明理由,若变化,请直接写出OE、OF之间的数量关系,不用明理由.34.如图,已知Rt△ABD≌Rt△FEC,且B、D、C、E在同一直线上,连接BF、AE.(1)求证:四边形ABFE是平行四边形.(2)若∠ABD=60°,AB=2cm,DC=4cm,将△ABD沿着BE方向以1cm/s的速度运动,设△ABD运动的时间为t,在△ABD 运动过程中,试解决以下问题:(1)当四边形ABEF是菱形时,求t的值;(2)是否存在四边形ABFE是矩形的情形?如果存在,求出t的值,如果不存在,请说明理由.35.已知,矩形ABCD中,AB=4cm,BC=8cm,AC的垂直平分线EF分别交AD、BC于点E、F,垂足为O.(1)如图1,连接AF、CE.求证:四边形AFCE为菱形.(2)如图1,求AF的长.(3)如图2,动点P、Q分别从A、C两点同时出发,沿△AFB 和△CDE各边匀速运动一周.即点P自A→F→B→A停止,点Q自C→D→E→C停止.在运动过程中,点P的速度为每秒1cm,设运动时间为t秒.①问在运动的过程中,以A、P、C、Q四点为顶点的四边形有可能是矩形吗?若有可能,请求出运动时间t和点Q的速度;若不可能,请说明理由.②若点Q的速度为每秒0.8cm,当A、P、C、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时,求t的值.36.如图1,E,F是正方形ABCD的边上两个动点,满足AE=DF,连接CF交BD于G,连接BE交AG于点H(1)求证:AG⊥BE;(2)如图2,连DH,若正方形的边长为4,则线段DH长度的最小值是.37.如图,在菱形ABCD中,AB=2,∠DAB=60°,点E时AD 边的中点,点M时AB边上的一个动点(不与点A重合),延长ME交CD的延长线于点N,连接MD,AN.(1)求证:四边形AMDN是平行四边形.(2)填空:①当AM的值为时,四边形AMDN是矩形;②当AM的值为时,四边形AMDN是菱形.38.如图,已知正方形OABC的边长为4,顶点A、C分别在x、y轴的正半轴上,M是BC的中点,点P(0,m)是线段oc上的一动点9点P不与点O、C重合0,直线PM交AB的延长线于点D.(1)求点D的坐标;(用含m的代数式表示)(2)若△APD是以AP边为一腰的等腰三角形,求m的值.39.如图,在△ABC中,∠ABC=90°,点D为AC的中点,过点C作CE⊥BD于点E,过点A作BD的平行线,交CE的延长线于点F,在AF的延长线上截取FG=BD,连接BG、DF.(1)证明:四边形BDFG是菱形;(2)若AC=10,CF=6,求线段AG的长度.40.如图,在正方形ABCD中,点E在边AD上,点F在边BC 的延长线上,连接EF与边CD相交于点G,连接BE与对角线AC相交于点H,AE=CF,BE=EG.(1)求证:EF∥AC;(2)求∠BEF大小;(3)若EB=4,则△BAE的面积为.初二数学平行四边形和特殊四边形提高练习常考题和培优题参考答案与试题解析一.选择题(共5小题)1.(2012春•炎陵县校级期中)如图,把大小相同的两个矩形拼成如下形状,则△FBD是()A.等边三角形B.等腰直角三角形C.一般三角形D.等腰三角形【分析】根据正方形性质得出FG=BC,∠G=∠C=90°,GB=CD,根据SAS证△FGB≌△BCD,推出∠FBG=∠BDC,BF=BD,求出∠DBC+∠FBG=90°,求出∠FBD的度数即可.【解答】解:∵大小相同的两个矩形GFEB、ABCD,∴FG=BE=AD=BC,GB=EF=AB=CD,∠G=∠C=∠ABG=∠ABC=90°,∵在△FGB和△BCD中,∴△FGB≌△BCD,∴∠FBG=∠BDC,BF=BD,∵∠BDC+∠DBC=90°,∴∠DBC+∠FBG=90°,∴∠FBD=180°﹣90°=90°,即△FBD是等腰直角三角形,故选B.【点评】本题考查了等腰直角三角形,全等三角形的性质和判定,正方形性质的应用,关键是证出△FGB≌△BCD,主要考查学生运用性质进行推理的能力.2.(2015春•江阴市期中)如图,正方形ABCD和正方形CEFG 中,点D在CG上,BC=,CE=3,H是AF的中点,那么CH 的长是()A.3.5 B.C.D.2【分析】根据正方形的性质求出AB=BC=,CE=EF=3,∠E=90°,延长AD交EF于M,连接AC、CF,求出AM=4,FM=2,∠AMF=90°,根据正方形性质求出∠ACF=90°,根据直角三角形斜边上的中线性质求出CH=AF,根据勾股定理求出AF即可.【解答】解:∵正方形ABCD和正方形CEFG中,点D在CG 上,BC=,CE=3,∴AB=BC=,CE=EF=3,∠E=90°,延长AD交EF于M,连接AC、CF,则AM=BC+CE=4,FM=EF﹣AB=2,∠AMF=90°,∵四边形ABCD和四边形GCEF是正方形,∴∠ACD=∠GCF=45°,∴∠ACF=90°,∵H为AF的中点,∴CH=AF,在Rt△AMF中,由勾股定理得:AF==2,∴CH=,故选:C.【点评】本题考查了勾股定理,正方形的性质,直角三角形斜边上的中线的应用,解此题的关键是能正确作出辅助线,并求出AF的长和得出CH=AF,有一定的难度.3.(2015春•泗洪县校级期中)如图,在矩形ABCD中,AB=4,BC=8,对角线AC、BD相交于点O,过点O作OE垂直AC交AD于点E,则AE的长是()A.3 B.5 C.2.4 D.2.5【分析】根据矩形的性质得出∠CDE=90°,AD=BC=8,AB=DC=4,AO=OC,根据线段垂直平分线性质得出AE=CE,在Rt△CDE中,由勾股定理得出CE2=CD2+DE2,代入求出即可.【解答】解:∵在矩形ABCD中,AB=4,BC=8,∴∠CDE=90°,AD=BC=8,AB=DC=4,AO=OC,∵OE⊥AC,∴AE=CE,在Rt△CDE中,由勾股定理得:CE2=CD2+DE2,即AE2=42+(8﹣AE)2,解得:AE=5,故选B.【点评】本题考查了矩形的性质,勾股定理,线段垂直平分线性质的应用,解此题的关键是得出关于AE的方程.4.(2015秋•无锡期中)如图,在△ABC中,CF⊥AB于F,BE⊥AC于E,M为BC的中点,EF=7,BC=10,则△EFM的周长是()A.17 B.21 C.24 D.27【分析】根据CF⊥AB于F,BE⊥AC于E,M为BC的中点,利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半,求出FM和ME的长,即可求解.【解答】解:∵CF⊥AB,M为BC的中点,∴MF是Rt△BFC斜边上的中线,∴FM=BC=×10=5,同理可得,ME=BC=×10=5,又∵EF=7,∴△EFM的周长=EF+ME+FM=7+5+5=17.故选A.【点评】此题主要考查学生对直角三角形斜边上的中线这个知识点的理解和掌握,解答此题的关键是利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半,求出FM和ME的长.5.(2015春•乌兰察布校级期中)如图,在矩形ABCD中,AB=6,AD=8,P是AD上不与A和D重合的一个动点,过点P分别作AC和BD的垂线,垂足为E、F,则PE+PF的值为()A.10 B.4.8 C.6 D.5【分析】连接OP,利用勾股定理列式求出BD,再根据矩形的对角线相等且互相平分求出OA、OD,然后根据S△AOD=S△AOP+S△DOP列方程求解即可.【解答】解:如图,连接OP,∵AB=6,AD=8,∴BD===10,∵四边形ABCD是矩形,∴OA=OD=×10=5,∵S△AOD=S△AOP+S△DOP,∴××6×8=×5•PE+×5•PF,解得PE+PF=4.8.故选B.【点评】本题考查了矩形的性质,三角形的面积,熟记性质并利用三角形的面积列出方程是解题的关键.二.填空题(共4小题)6.(2016春•东平县期中)如图,在矩形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,AE平分∠BAD交BC于点E,若∠CAE=15°,则∠BOE的度数等于75°.【分析】由矩形ABCD,得到OA=OB,根据AE平分∠BAD,得到等边三角形OAB,推出AB=OB,求出∠OAB、∠OBC的度数,根据平行线的性质和等角对等边得到OB=BE,根据三角形的内角和定理即可求出答案.【解答】解:∵四边形ABCD是矩形,∴AD∥BC,AC=BD,OA=OC,OB=OD,∠BAD=90°,∴OA=OB,∠DAE=∠AEB,∵AE平分∠BAD,∴∠BAE=∠DAE=45°=∠AEB,∴AB=BE,∵∠CAE=15°,∴∠DAC=45°﹣15°=30°,∠BAC=60°,∴△BAO是等边三角形,∴AB=OB,∠ABO=60°,∴∠OBC=90°﹣60°=30°,∵AB=OB=BE,∴∠BOE=∠BEO=(180°﹣30°)=75°.故答案为75°.【点评】本题主要考查了三角形的内角和定理,矩形的性质,等边三角形的性质和判定,平行线的性质,角平分线的性质,等腰三角形的判定等知识点,解此题的关键是求出∠OBC的度数和求OB=BE.7.(2014春•武昌区期中)如图,将平行四边形ABCD的边DC延长到E,使CE=CD,连接AE交BC于F,∠AFC=n∠D,当n= 2 时,四边形ABEC是矩形.【分析】首先根据四边形ABCD是平行四边形,得到四边形ABEC是平行四边形,然后证得FC=FE,利用对角线互相相等的四边形是矩形判定四边形ABEC是矩形.【解答】解:当∠AFC=2∠D时,四边形ABEC是矩形.∵四边形ABCD是平行四边形,∴BC∥AD,∠BCE=∠D,由题意易得AB∥EC,AB∥EC,∴四边形ABEC是平行四边形.∵∠AFC=∠FEC+∠BCE,∴当∠AFC=2∠D时,则有∠FEC=∠FCE,∴FC=FE,∴四边形ABEC是矩形,故答案为:2.【点评】此题考查了平行四边形的性质以及矩形的判定.此题难度适中,注意掌握数形结合思想的应用,解题的关键是了解矩形的判定定理.8.(2015春•南长区期中)如图,在正五边形ABCDE中,连接AC、AD、CE,CE交AD于点F,连接BF,则线段AC、BF、CD之间的关系式是AC2+BF2=4CD2.【分析】首先根据菱形的判定方法,判断出四边形ABCF是菱形,再根据菱形的性质,即可判断出AC⊥BF;然后根据勾股定理,可得OB2+OC2=BC2,据此推得AC2+BF2=4CD2即可.【解答】解:∵五边形ABCDE是正五边形,∴AB∥CE,AD∥BC,∴四边形ABCF是平行四边形,又∵AB=BC=CD=DE=EA,∴四边形ABCF是菱形,∴AC⊥BF,∴OB2+OC2=BC2,∵AC=2OC,BF=2OB,∴AC2+BF2=(2OC)2+(2OB)2=4OC2+4OB2=4BC2,又∵BC=CD,∴AC2+BF2=4CD2.故答案为:AC2+BF2=4CD2.【点评】(1)此题主要考查了菱形的判定和性质的应用,要熟练掌握,解答此题的关键是要明确:菱形是在平行四边形的前提下定义的,首先它是平行四边形,但它是特殊的平行四边形,特殊之处就是“有一组邻边相等”,因而就增加了一些特殊的性质和不同于平行四边形的判定方法.(2)此题还考查了勾股定理的应用:在任何一个直角三角形中,两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方,要熟练掌握.9.(2015春•株洲校级期中)如图,在平面直角坐标系中,O为原点,四边形OABC是矩形,A(﹣10,0),C(0,3),点D是OA的中点,点P在BC边上运动,当△ODP是腰长为5的等腰三角形时,点P的坐标是(﹣4,3),或(﹣1,3),或(﹣9,3).【分析】先由矩形的性质求出OD=5,分情况讨论:(1)当OP=OD=5时;根据勾股定理求出PC,即可得出结果;(2)当PD=OD=5时;①作PE⊥OA于E,根据勾股定理求出DE,得出PC,即可得出结果;②作PF⊥OA于F,根据勾股定理求出DF,得出PC,即可得出结果.【解答】解:∵A(﹣10,0),C(0,3),∴OA=10,OC=3,∵四边形OABC是矩形,∴BC=OA=10,AB=OC=3,∵D是OA的中点,∴AD=OD=5,分情况讨论:(1)当OP=OD=5时,根据勾股定理得:PC==4,∴点P的坐标为:(﹣4,3);(2)当PD=OD=5时,分两种情况讨论:①如图1所示:作PE⊥OA于E,则∠PED=90°,DE==4,∴PC=OE=5﹣4=1,∴点P的坐标为:(﹣1,3);②如图2所示:作PF⊥OA于F,则DF==4,∴PC=OF=5+4=9,∴点P的坐标为:(﹣9,3);综上所述:点P的坐标为:(﹣4,3),或(﹣1,3),或(﹣9,3);故答案为:(﹣4,3),或(﹣1,3),或(﹣9,3).【点评】本题考查了矩形的性质、坐标与图形性质、等腰三角形的性质、勾股定理;熟练掌握矩形的性质,并能进行推理计算是解决问题的关键.三.解答题(共31小题)10.(2012春•西城区校级期中)如图,正方形ABCD中,AE=AB,直线DE交BC于点F,求∠BEF的度数.【分析】设∠BAE=x°,根据正方形性质推出AB=AE=AD,根据等腰三角形性质和三角形的内角和定理求出∠AEB和∠AED的度数,根据平角定义求出即可.【解答】解:设∠BAE=x°,∵四边形ABCD是正方形,∴∠BAD=90°,AB=AD,∵AE=AB,∴AB=AE=AD,∴∠ABE=∠AEB=(180°﹣∠BAE)=90°﹣x°,∠DAE=90°﹣x°,∠AED=∠ADE=(180°﹣∠DAE)=[180°﹣(90°﹣x°)]=45°+x°,∴∠BEF=180°﹣∠AEB﹣∠AED,=180°﹣(90°﹣x°)﹣(45°+x°),=45°,答:∠BEF的度数是45°.【点评】本题考查了三角形的内角和定理,等腰三角形性质,正方形性质的应用,解此题的关键是如何把已知角的未知角结合起来,题目比较典型,但是有一定的难度.11.(2012秋•高淳县期中)如图,梯形ABCD中,AD∥BC,AB=CD,对角线AC、BD交于点O,AC⊥BD,E、F、G、H分别为AB、BC、CD、DA的中点.(1)求证:四边形EFGH为正方形;(2)若AD=1,BC=3,求正方形EFGH的边长.【分析】(1)先由三角形的中位线定理求出四边相等,然后由AC⊥BD入手,进行正方形的判断.(2)连接EG,利用梯形的中位线定理求出EG的长,然后结合(1)的结论求出EH2=2,也即得出了正方形EHGF的边长.【解答】(1)证明:在△ABC中,∵E、F分别是AB、BC的中点,∴EF=同理FG=,GH=,HE=在梯形ABCD中,∵AB=DC,∴AC=BD,∴EF=FG=GH=HE∴四边形EFGH为菱形.设AC与EH交于点M在△ABD中,∵E、H分别是AB、AD的中点,∴EH∥BD,同理GH∥AC又∵AC⊥BD,∴∠BOC=90°.∴∠EHG=∠EMC=∠BOC=90°∴四边形EFGH为正方形.(2)解:连接EG,在梯形ABCD中,∵E、G分别是AB、DC的中点,∴EG=(AD+BC)=(1+3)=2,在Rt△HEG中,EG2=EH2+HG2,4=2EH2,EH2=2,则EH=.即四边形EFGH的边长为.【点评】此题考查了等腰梯形的性质及三角形、梯形的中位线定理,解答本题的关键是根据三角形的中位线定理得出EH=HG=GF=FE,这是本题的突破口.12.(2013秋•青岛期中)如图,点E、F分别是正方形ABCD 的边CD和AD的中点,BE和CF交于点P.求证:AP=AB.【分析】延长CF、BA交于点M,先证△BCE≌△CDF,再证△CDF≌△AMF得BA=MA由直角三角形中斜边中线等于斜边的一半,可得Rt△MBP中AP=BM,即AP=AB.【解答】证明:延长CF、BA交于点M,∵点E、F分别是正方形ABCD的边CD和AD的中点,∴BC=CD,∠BCE=∠CDF,CE=DF,∴△BCE≌△CDF,∴∠CBE=∠DCF.∵∠DCF+∠BCP=90°,∴∠CBE+∠BCP=90°,∴∠BPM=∠CBE+∠BCP=90°.又∵FD=FA,∠CDF=∠MAF,∠CFD=∠MFA,∴△CDF≌△AMF,∴CD=AM.∵CD=AB,∴AB=AM.∴PA是直角△BPM斜边BM上的中线,∴AP=BM,即AP=AB.【点评】本题考查了正方形各边长相等、各内角为直角的性质,全等三角形的判定和对应边相等的性质,直角三角形斜边中线长为斜边长一半的性质,本题中求证△CDF≌△AMF是解题的关键.13.(2015春•禹州市期中)如图,点P为正方形ABCD对角线BD上一点,PE⊥BC于E,PF⊥DC于F.(1)求证:PA=EF;(2)若正方形ABCD的边长为a,求四边形PFCE的周长.【分析】(1)连接PC,证四边形PFCE是矩形,求出EF=PC,证△ABP≌△CBP,推出AP=PC即可;(2)证△CBD是等腰直角三角形,求出BF、PF,求出周长即可.【解答】解:证明:(1)连接PC,∵四边形ABCD是正方形,∴AB=CB,∠ABD=∠CBD=45°,∠C=90°,在△ABP与△CBP中,,∴△ABP≌△CBP(SAS),∴PA=PC,∵PE⊥BC,PF⊥CD,∴∠PFC=90°,∠PEC=90°.又∵∠C=90°,∴四边形PFCE是矩形,∴EF=PC,∴PA=EF.(2)由(1)知四边形PFCE是矩形,∴PE=CF,PF=CE,又∵∠CBD=45°,∠PEB=90°,∴BE=PE,又BC=a,∴矩形PFCE的周长为2(PE+EC)=2(BE+EC)=2BC=2a.【点评】本题主要考查正方形的性质,全等三角形的性质和判定等知识点的连接和掌握,能证出AP=PC是解此题的关键.14.(2015秋•福建校级期中)如图1,在正方形ABCD中,点E为BC上一点,连接DE,把△DEC沿DE折叠得到△DEF,延长EF交AB于G,连接DG.(1)求∠EDG的度数.(2)如图2,E为BC的中点,连接BF.①求证:BF∥DE;②若正方形边长为6,求线段AG的长.【分析】(1)由正方形的性质可得DC=DA.∠A=∠B=∠C=∠ADC=90°,由折叠的性质得出∠DFE=∠C,DC=DF,∠1=∠2,再求出∠DFG=∠A,DA=DF,然后由“HL”证明Rt△DGA≌Rt△DGF,由全等三角形对应角相等得出∠3=∠4,得出∠2+∠3=45°即可;(2)①由折叠的性质和线段中点的定义可得CE=EF=BE,∠DEF=∠DEC,再由三角形的外角性质得出∠5=∠DEC,然后利用同位角相等,两直线平行证明即可;②设AG=x,表示出GF、BG,根据点E是BC的中点求出BE、EF,从而得到GE的长度,再利用勾股定理列出方程求解即可;【解答】(1)解:如图1所示:∵四边形ABCD是正方形,∴DC=DA.∠A=∠B=∠C=∠ADC=90°,∵△DEC沿DE折叠得到△DEF,∴∠DFE=∠C,DC=DF,∠1=∠2,∴∠DFG=∠A=90°,DA=DF,在Rt△DGA和Rt△DGF中,,∴Rt△DGA≌Rt△DGF(HL),∴∠3=∠4,∴∠EDG=∠3+∠2=∠ADF+∠FDC,=(∠ADF+∠FDC),=×90°,=45°;(2)①证明:如图2所示:∵△DEC沿DE折叠得到△DEF,E为BC的中点,∴CE=EF=BE,∠DEF=∠DEC,∴∠5=∠6,∵∠FEC=∠5+∠6,∴∠DEF+∠DEC=∠5+∠6,∴2∠5=2∠DEC,即∠5=∠DEC,∴BF∥DE;②解:设AG=x,则GF=x,BG=6﹣x,∵正方形边长为6,E为BC的中点,∴CE=EF=BE=×6=3,∴GE=EF+GF=3+x,在Rt△GBE中,根据勾股定理得:(6﹣x)2+32=(3+x)2,解得:x=2,即线段AG的长为2.【点评】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理、翻折变换的性质;熟练掌握正方形的性质,并能进行推理论证与计算是解决问题的关键.15.(2016春•召陵区期中)如图①,在正方形ABCD中,F是对角线AC上的一点,点E在BC的延长线上,且BF=EF.(1)求证:BF=DF;(2)求证:∠DFE=90°;(3)如果把正方形ABCD改为菱形,其他条件不变(如图②),当∠ABC=50°时,∠DFE=50 度.【分析】(1)根据正方形的四条边都相等可得BC=DC,对角线平分一组对角可得∠BCF=∠DCF,然后利用“边角边”证明即可;(2)易证∠FBE=∠FEB,又因为∠FBE=∠FDC,所以可证明∠FEB=∠FDC,进而可证明∠DFE=90°;(3)根据全等三角形对应角相等可得∠CBF=∠CDF,根据等边对等角可得∠CBF=∠E,然后求出∠DFE=∠DCE,再根据两直线平行,同位角相等可得∠DCE=∠ABC,从而得解.【解答】(1)证明:在正方形ABCD中,BC=DC,∠BCF=∠DCF=45°,∵在△BCF和△DCF中,,∴△BCF≌△DCF(SAS);∴BF=DF;(2)证明:∵BF=EF,∴∠FBE=∠FEB,又∵∠FBE=∠FDC,∴∠FEB=∠FDC,又∵∠DGF=∠EGC,∴∠DFG=∠ECG=90°,即∠DFE=90°;(3)证明:由(1)知,△BCF≌△DCF,∴∠CBF=∠CDF,∵EE=FB,∴∠CBF=∠E,∵∠DGF=∠EGC(对顶角相等),∴180°﹣∠DGF﹣∠CDF=180°﹣∠EGC﹣∠E,即∠DFE=∠DCE,∵AB∥CD,∴∠DCE=∠ABC,∴∠DFE=∠ABC=50°,故答案为:50.【点评】本题考查了正方形的性质,全等三角形的判定与性质,菱形的性质,等边对等角的性质,熟记正方形的性质确定出∠BCF=∠DCF是解题的关键.16.(2015秋•泗县期中)已知正方形ABCD中,对角线AC、BD相交于O.①如图1,若E是AC上的点,过A 作AG⊥BE于G,AG、BD 交于F,求证:OE=OF②如图2,若点E在AC的延长线上,AG⊥EB交EB的延长线于G,AG延长DB延长线于点F,其它条件不变,OE=OF还成立吗?【分析】①由正方形的性质得出OA=OB,AC⊥BD,得出∠BOE=∠AOF=90°,由角的互余关系得出∠OBE=∠OAF,由ASA证明△BOE≌△AOF,得出对应边相等即可;②由正方形的性质得出OA=OB,AC⊥BD,得出∠BOE=∠AOF=90°,由角的互余关系得出∠OBE=∠OAF,由ASA证明△BOE≌△AO F,得出对应边相等即可.【解答】①证明:∵四边形ABCD是正方形,∴OA=OB,AC⊥BD,∴∠BOE=∠AOF=90°,∴∠OEB+∠OBE=90°,∵AG⊥BE,∴∠AGE=90°,∴∠OEB+∠OAF=90°,∴∠OBE=∠OAF,在△BOE和△AOF中,,∴△BOE≌△AOF(ASA),∴OE=OF;②解:OE=OF还成立;理由如下:∵四边形ABCD是正方形,∴OA=OB,AC⊥BD,∴∠BOE=∠AOF=90°,∴∠OEB+∠OBE=90°,∵AG⊥BE,∴∠AGE=90°,∴∠OEB+∠OAF=90°,∴∠OBE=∠OAF,在△BOE和△AOF中,,∴△BOE≌△AOF(ASA),∴OE=OF.【点评】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质;熟练掌握正方形的性质,并能进行推理论证是解决问题的关键.17.(2016春•邳州市期中)如图,点P是菱形ABCD中对角线AC上的一点,且PE=PB.(1)求证:PE=PD;(2)求证:∠PDC=∠PEB;(3)若∠BAD=80°,连接DE,试求∠PDE的度数,并说明理由.【分析】(1)由菱形的性质得出AB=BC=CD=AD,AB∥CD,∠DCP=∠BCP,由SAS证明△CDP≌△CBP,得出PB=PD,再由PE=PB,即可得出结论;(2)由等腰三角形的性质得出∠PBC=∠PEB,由全等三角形的性质得出∠PDC=∠PBC,即可得出∠PDC=∠PEB;(3)由四边形内角和定理得出∠DPE=100°,由等腰三角形的性质和三角形内角和定理即可得出结果.【解答】(1)解:∵四边形ABCD是菱形,∴AB=BC=CD=AD,AB∥CD,∠DCP=∠BCP,在△DCP和△BCP中,,∴△CDP≌△CBP(SAS),∴PB=PD,∵PE=PB,∴PE=PD;(2)证明:∵PE=PB,∴∠PBC=∠PEB,∵△CDP≌△CBP,∴∠PDC=∠PBC,∴∠PDC=∠PEB;(3)解:如图所示:∠PDE=40°;理由如下:在四边形DPEC中,∵∠DPE=360°﹣(∠PDC+∠PEC+∠DCB)=360°﹣(∠PEB+∠PEC+∠DCB)=360°﹣(180°+80°)=100°,∵PE=PD∴∠PDE=∠PED=40°.【点评】本题考查了菱形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质;熟练掌握菱形的性质,证明三角形全等是解决问题的关键.18.(2016春•昆山市期中)如图,正方形ABCD中,AB=1,点P是BC边上的任意一点(异于端点B、C),连接AP,过B、D两点作BE⊥AP于点E,DF⊥AP于点F.(1)求证:EF=DF﹣BE;(2)若△ADF的周长为,求EF的长.【分析】(1)由正方形的性质得出AD=AB,证出∠DAF=∠ABE,由AAS证明△ADF≌△BAE,得出AF=BE,DF=AE,即可得出结论;(2)设DF=a,AF=b,EF=DF﹣AF=a﹣b>0,由已知条件得出DF+AF=,即a+b=,由勾股定理得出a2+b2=1,再由完全平方公式得出a﹣b即可.【解答】(1)证明:∵BE⊥AP,DF⊥AP,∴∠DFA=∠AEB=90°,∠ABE+∠BAE=90°,∵四边形ABCD为正方形,∴AD=AB,∠DAB=90°=∠DAF+∠BAE,∴∠DAF=∠ABE,在△ADF和△BAE中,,∴△ADF≌△BAE(AAS),∴AF=BE,DF=AE,∴EF=AE﹣AF=DF﹣BE;(2)解:设DF=a,AF=b,EF=DF﹣AF=a﹣b>0,∵△ADF的周长为,AD=1,∴DF+AF=,即a+b=,由勾股定理得:DF2+AF2=AD2,即a2+b2=1,∴(a﹣b)2=2(a2+b2)﹣(a+b)2=2﹣=,∴a﹣b=,即EF=.【点评】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识;熟练掌握正方形的性质,由勾股定理得出a与b的关系式是解决问题(2)的关键.19.(2015春•繁昌县期中)如图,正方形ABCD的对角线AC、BD的交点为O,以O为端点引两条互相垂直的射线OM、ON,分别交边AB、BC于点E、F.(1)求证:0E=OF;(2)若正方形的边长为4,求EF的最小值.【分析】(1)根据正方形的性质可得∠EAO=∠FBO=45°,OA=OB,再根据同角的余角相等可得∠AOE=∠BOE,然后利用“角边角”证明△AOE和△BOF全等,根据全等三角形对应边相等即可得证;(2)根据等腰直角三角形△EOF,当OE最小时,再根据勾股定理得出EF的最小值.【解答】解:(1)∵四边形ABCD是正方形,∴OA=OB,∠AOB=90°,∠EAO=∠FBO=45°,∴∠AOE+∠BOE=90°,∵OE⊥OF,∴∠BOF+∠BOE=90°,∴∠AOE=∠BOF,在△AOE与△BOF中,,∴△AOE≌△BOF(ASA),∴OE=OF;(2)由(1)可知,△EOF是等腰直角三角形,∠EOF是直角,当OE最小时,EF的值最小,∵OA=OB,OE⊥AB,∴点E是AB的中点,∴OE=AB,∵AB=4,∴OE=2,∴EF=,即EF的最小值是2.【点评】本题考查了正方形的性质,解决此类问题的关键是正确的利用旋转不变量.正确作出辅助线是关键.20.(2016春•江宁区期中)如图,在正方形ABCD中,点E 是边AD上任意一点,BE的垂直平分线FG交对角AC于点F.求证:(1)BF=DF;(2)BF⊥FE.【分析】(1)由正方形的性质得出AB=AD,∠BAF=∠DAF=45°,由SAS证明△BAF≌△DAF,得出对应边相等即可;(2)由线段垂直平分线的性质得出BF=EF,证出EF=DF,得出∠FDE=∠FED,再由全等三角形的性质证出∠ABF=∠FED,由邻补角关系得出∠FED+∠FEA=180°,证出∠ABF+∠FEA=180°,由四边形内角和得出∠BAE+∠BFE=180°,求出∠BFE=90°即可.【解答】证明:如图所示:(1)∵四边形ABCD是正方形,∴AB=AD,∠BAF=∠DAF=45°,∠BAE=90°,在△BAF和△DAF中,,∴△BAF≌△DAF(SAS),∴BF=DF;(2)∵BE的垂直平分线FG交对角AC于点F,∴BF=EF,∵BF=DF,∴EF=DF,∴∠FDE=∠FED,∵△BAF≌△DAF,∴∠ABF=∠FDE,∴∠ABF=∠FED,∵∠FED+∠FEA=180°,∴∠ABF+∠FEA=180°,∴∠BAE+∠BFE=180°,∴∠BFE=90°,∴BF⊥FE.【点评】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、四边形内角和定理等知识;熟练掌握正方形的性质,证明三角形全等是解决问题的关键.21.(2015春•台州校级期中)已知:如图所示,四边形ABCD。
平行四边形的性质专项提升训练(重难点培优)-八年级数学下册尖子生培优必刷题(原卷版)【北师大版】

【拔尖特训】2022-2023学年八年级数学下册尖子生培优必刷题【北师大版】专题6.1平行四边形的性质专项提升训练(重难点培优)班级:___________________ 姓名:_________________ 得分:_______________注意事项:本试卷满分120分,试题共24题,其中选择10道、填空6道、解答8道.答卷前,考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置.一、选择题(本大题共10小题,每小题3分,共30分)在每小题所给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(2022春•南海区校级月考)下面性质中,平行四边形不一定具备的是()A.邻角互补B.邻边相等C.对边平行D.对角线互相平分2.(2022春•隆安县期中)在▱ABCD中,∠B=60°,那么下列各式中成立的是()A.∠A+∠C=180°B.∠D=60°C.∠A=100°D.∠B+∠D=180°3.(2022春•曹妃甸区期末)平行四边形相邻两角中,其中一个角的度数y与另一个角的度数x之间的关系是()A.y=x B.y=90﹣x C.y=180﹣x D.y=180+x4.(2022春•淇滨区校级期末)如图,已知▱ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,AD=3,AC=8,BD =4,那么BC的长度为()A.6B.5C.4D.35.(2022春•辉县市期末)在▱ABCD中,AC,BD交于点O,△OAB的周长等于5.5cm,BD=4cm,AB+CD =5cm,则AC的长为()A.3cm B.2.5cm C.2cm D.1.5cm6.(2022春•宁都县期末)将平行四边形ABCD放在平面直角坐标系中,顶点A,B,C的坐标分别是(0,0),(4,0),(5,2),则顶点D的坐标是()A.(4,3)B.(1,3)C.(1,2)D.(4,2)7.(2021秋•平阳县校级月考)在平行四边形ABCD中,∠A的平分线把BC边分成长度是3和4的两部分,则平行四边形ABCD周长是()A.22B.18C.22或20D.18或228.(2021秋•宁阳县期末)如图,在平行四边形ABCD中,AB=4,∠BAD的平分线与BC的延长线交于点E,与DC交于点F,且点F为边DC的中点,DG⊥AE,垂足为G,若DG=1,则AE的长为()A.B.4C.D.89.(2022秋•永嘉县校级月考)在平行四边形ABCD中,五块阴影部分的面积分别为S1,S2,S3,S4,S5,如图所示,则下列选项中的关系正确的是()A.S1+S2+S3=S4+S5B.S2+S3=S1+S4+S5C.S3+S4=S1+S2+S5D.S2+S4=S1+S3+S510.(2022春•鼓楼区校级期中)在平面直角坐标系中,▱OABC的边OC落在x轴的正半轴上,点C(4,0),B(6,2),直线y=2x+1以每秒3个单位的速度向下平移,经过多少秒该直线可将▱OABC的面积平分()A.1B.2C.3D.4二、填空题(本大题共6小题,每小题3分,共18分)请把答案直接填写在横线上11.(2022春•姑苏区校级月考)平行四边形ABCD中,∠B:∠C=3:2,则∠C=°.12.(2022秋•任城区校级月考)▱ABCD中,∠A=45°,BC=,则AB与CD之间的距离是;若AB=3,四边形ABCD的面积是,△ABD的面积是.13.(2022•襄汾县一模)如图,在▱ABCD中,点E在AD上,EC平分∠BED,若∠EBC=30°,BE=10,则四边形ABCD的面积为.14.(2022春•遂溪县期末)如图,平行四边形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,若AC=10,BD=6,BC=4,则平行四边形ABCD的面积为.15.(2022秋•九龙坡区校级月考)如图,在▱ABCD中,过对角线BD上一点P作EF∥BC,GH∥AB,若▱ABCD的面积为16,且AH:HD=1:3.则图中阴影部分的面积为.16.(2022•景德镇模拟)在▱ABCD中,AB=4,∠ABC,∠BCD的平分线BE,CF分别与直线AD交于点E,F,当点A,D,E,F相邻两点间的距离相等时,BC的长为.三、解答题(本大题共8小题,共72分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(2022春•自贡期末)如图,在▱ABCD中,AF∥CE;求证:BE=DF.18.(2022春•新化县期末)如图,在▱ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,AC=10,BD=14,CD=5.2,求△AOB的周长.19.(2022春•望城区期末)如图,▱ABCD的对角线AC与BD相交于点O,AC+BD=24,∠ABC=70°,△ABO的周长是20.(1)求∠ADC的度数;(2)求AB的长.20.(2022春•社旗县月考)如图,在平行四边形ABCD中,E为AD上一点,F为BC上一点,EF与对角线BD交于点O.有以下三个条件:①AE=CF;②EO=OF;③O为BD中点.从中选取一个作为题设,余下的两个作为结论,组成一个正确的命题,并加以证明.21.(2021春•玉林期中)如图,在▱ABCD中,点E是CD的中点,点F是BC边上的一点,且EF⊥AE.求证:AE平分∠DAF.李华同学读题后有一个想法,延长FE,AD交于点M,要证AE平分∠DAF,只需证△AMF是等腰三角形即可.请你参考李华的想法,完成此题的证明.22.(2021春•拱墅区校级期中)如图,平行四边形ABCD中,AP,BP分别平分∠DAB和∠CBA,交于DC 边上点P,AD=5.(1)求线段AB的长.(2)若BP=6;求△ABP的周长.23.(2021秋•东平县期末)如图①,平行四边形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,EF过点O与AB,CD分别相交于点E,F.(1)求证:BE=DF;(2)若图中的条件都不变,将EF转动到图②的位置,那么上述结论是否成立?说明理由.24.(2022春•成华区校级期中)如图,已知在平行四边形ABCD中,AE⊥BC,垂足为点E,CE=CD,点F为CE的中点,点G是CD上的一点,连接DF、EG、AG.(1)若CF=4,AE=6,求BE的长;(2)若∠CEG=∠AGE,那么:①判断线段AG和EG的数量关系,并说明理由;②求证:∠1=∠2.。
初二数学平行四边形和特殊四边形提高练习与常考题和培优题(含解析)之欧阳物创编

初二数学平行四边形和特殊四边形提高练习常考题和培优题时间:2021.02.07 命题人:欧阳物一.选择题(共5小题)1.如图,把大小相同的两个矩形拼成如下形状,则△FBD是()A.等边三角形B.等腰直角三角形C.一般三角形D.等腰三角形2.如图,正方形ABCD和正方形CEFG中,点D在CG上,BC=,CE=3,H是AF的中点,那么CH的长是()A.3.5 B.C.D.23.如图,在矩形ABCD中,AB=4,BC=8,对角线AC、BD相交于点O,过点O作OE垂直AC交AD于点E,则AE的长是()A.3 B.5 C.2.4 D.2.54.如图,在△ABC中,CF⊥AB于F,BE⊥AC于E,M为BC的中点,EF=7,BC=10,则△EFM的周长是()A.17 B.21 C.24 D.275.如图,在矩形ABCD中,AB=6,AD=8,P是AD上不与A和D重合的一个动点,过点P分别作AC和BD的垂线,垂足为E、F,则PE+PF的值为()A.10 B.4.8 C.6 D.5二.填空题(共4小题)6.如图,在矩形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,AE平分∠BAD交BC于点E,若∠CAE=15°,则∠BOE的度数等于.7.如图,将平行四边形ABCD的边DC延长到E,使CE=CD,连接AE交BC于F,∠AFC=n∠D,当n=时,四边形ABEC 是矩形.8.如图,在正五边形ABCDE中,连接AC、AD、CE,CE 交AD于点F,连接BF,则线段AC、BF、CD之间的关系式是.9.如图,在平面直角坐标系中,O为原点,四边形OABC 是矩形,A(﹣10,0),C(0,3),点D是OA的中点,点P在BC边上运动,当△ODP是腰长为5的等腰三角形时,点P的坐标是.三.解答题(共31小题)10.如图,正方形ABCD中,AE=AB,直线DE交BC于点F,求∠BEF的度数.11.如图,梯形ABCD中,AD∥BC,AB=CD,对角线AC、BD交于点O,AC⊥BD,E、F、G、H分别为AB、BC、CD、DA的中点.(1)求证:四边形EFGH为正方形;(2)若AD=1,BC=3,求正方形EFGH的边长.12.如图,点E、F分别是正方形ABCD的边CD和AD的中点,BE和CF交于点P.求证:AP=AB.13.如图,点P为正方形ABCD对角线BD上一点,PE⊥B C 于E,PF⊥DC于F.(1)求证:PA=EF;(2)若正方形ABCD的边长为a,求四边形PFCE的周长.14.如图1,在正方形ABCD中,点E为BC上一点,连接DE,把△DEC沿DE折叠得到△DEF,延长EF交AB于G,连接DG.(1)求∠EDG的度数.(2)如图2,E为BC的中点,连接BF.①求证:BF∥DE;②若正方形边长为6,求线段AG的长.15.如图①,在正方形ABCD中,F是对角线AC上的一点,点E在BC的延长线上,且BF=EF.(1)求证:BF=DF;(2)求证:∠DFE=90°;(3)如果把正方形ABCD改为菱形,其他条件不变(如图②),当∠ABC=50°时,∠DFE=度.16.已知正方形ABCD中,对角线AC、BD相交于O.①如图1,若E是AC上的点,过A 作AG⊥BE于G,AG、BD交于F,求证:OE=OF②如图2,若点E在AC的延长线上,AG⊥EB交EB的延长线于G,AG延长DB延长线于点F,其它条件不变,OE=OF 还成立吗?17.如图,点P是菱形ABCD中对角线AC上的一点,且PE=PB.(1)求证:PE=PD;(2)求证:∠PDC=∠PEB;(3)若∠BAD=80°,连接DE,试求∠PDE的度数,并说明理由.18.如图,正方形ABCD中,AB=1,点P是BC边上的任意一点(异于端点B、C),连接AP,过B、D两点作BE⊥AP 于点E,DF⊥AP于点F.(1)求证:EF=DF﹣BE;(2)若△ADF的周长为,求EF的长.19.如图,正方形ABCD的对角线AC、BD的交点为O,以O为端点引两条互相垂直的射线OM、ON,分别交边AB、BC于点E、F.(1)求证:0E=OF;(2)若正方形的边长为4,求EF的最小值.20.如图,在正方形ABCD中,点E是边AD上任意一点,BE的垂直平分线FG交对角AC于点F.求证:(1)BF=DF;(2)BF⊥FE.21.已知:如图所示,四边形ABCD中,∠ABC=∠ADC=90°,M是AC上任一点,O是BD的中点,连接MO,并延长MO到N,使NO=MO,连接BN与ND.(1)判断四边形BNDM的形状,并证明;(2)若M是AC的中点,则四边形BNDM的形状又如何?说明理由.22.如图,在△ABC中,O是边AC上的一动点,过点O作直线MN∥BC,设MN交∠BCA的平分线于点E,交∠BCA 的外角平分线于点F.(1)求证:OE=OF;(2)当点O运动到何处时,四边形AECF是矩形?23.(1)如图矩形ABCD的对角线AC、BD交于点O,过点D作DP∥OC,且DP=OC,连接CP,判断四边形CODP 的形状并说明理由.(2)如果题目中的矩形变为菱形,结论应变为什么?说明理由.(3)如果题目中的矩形变为正方形,结论又应变为什么?说明理由.24.如图1,已知AB∥CD,AB=CD,∠A=∠D.(1)求证:四边形ABCD为矩形;(2)E是AB边的中点,F为AD边上一点,∠DFC=2∠BCE.①如图2,若F为AD中点,DF=1.6,求CF的长度:②如图2,若CE=4,CF=5,则AF+BC=,AF=.25.如图,直线a、b相交于点A,C、E分别是直线b、a 上两点且BC⊥a,DE⊥b,点M、N是EC、DB的中点.求证:MN⊥BD.26.如图所示,在梯形ABCD中,AD∥BC,∠B=90°,AD=24cm,BC=26cm,动点P从点A出发沿AD方向向点D以1cm/s的速度运动,动点Q从点C开始沿着CB方向向点B以3cm/s的速度运动.点P、Q分别从点A和点C 同时出发,当其中一点到达端点时,另一点随之停止运动.(1)经过多长时间,四边形PQCD是平行四边形?(2)经过多长时间,四边形PQBA是矩形?(3)经过多长时间,当PQ不平行于CD时,有PQ=CD.27.如图,E、F是正方形ABCD的边AD上的两个动点,满足AE=DF.连接CF交BD于G,连接BE交AG于H.已知正方形ABCD的边长为4cm,解决下列问题:(1)求证:BE⊥AG;(2)求线段DH的长度的最小值.28.如图,点M是矩形ABCD的边AD的中点,点P是BC 边上一动点,PE⊥MC,PF⊥BM,垂足为E、F.(1)当矩形ABCD的长与宽满足什么条件时,四边形PEMF 为矩形?猜想并证明你的结论.(2)在(1)中,当点P运动到什么位置时,矩形PEMF 变为正方形,为什么?29.某校数学兴趣小组开展了一次课外活动,过程如下:如图①,正方形ABCD中,AB=4,将三角板放在正方形ABCD 上,使三角板的直角顶点与D点重合.三角板的一边交AB 于点P,另一边交BC的延长线于点Q.(1)求证:AP=CQ;(2)如图②,小明在图1的基础上作∠PDQ的平分线DE 交BC于点E,连接PE,他发现PE和QE存在一定的数量关系,请猜测他的结论并予以证明;(3)在(2)的条件下,若AP=1,求PE的长.30.如图,在菱形ABCD中,AB=4cm,∠ADC=120°,点E、F同时由A、C两点出发,分别沿AB、CB方向向点B匀速移动(到点B为止),点E的速度为1cm/s,点F的速度为2cm/s,经过t秒△DEF为等边三角形,求t的值.31.如图,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,点D是AC的中点,作∠ADB的角平分线DE交AB于点E,(1)求证:DE∥BC;(2)若AE=3,AD=5,点P为BC上的一动点,当BP为何值时,△DEP为等腰三角形.请直接写出所有BP的值.32.已知:如图,BF、BE分别是∠ABC及其邻补角的角平分线,AE⊥BE,垂足为点E,AF⊥BF,垂足为点F.EF分别交边AB、AC于点M、N.求证:(1)四边形AFBE是矩形;(2)BC=2MN.33.如图,在边长为5的菱形ABCD中,对角线BD=8,点O是直线BD上的动点,OE⊥AB于E,OF⊥AD于F.(1)对角线AC的长是,菱形ABCD的面积是;(2)如图1,当点O在对角线BD上运动时,OE+OF的值是否发生变化?请说明理由;(3)如图2,当点O在对角线BD的延长线上时,OE+OF 的值是否发生变化?若不变请说明理由,若变化,请直接写出OE、OF之间的数量关系,不用明理由.34.如图,已知Rt△ABD≌Rt△FEC,且B、D、C、E在同一直线上,连接BF、AE.(1)求证:四边形ABFE是平行四边形.(2)若∠ABD=60°,AB=2cm,DC=4cm,将△ABD沿着BE方向以1cm/s的速度运动,设△ABD运动的时间为t,在△ABD运动过程中,试解决以下问题:(1)当四边形ABEF是菱形时,求t的值;(2)是否存在四边形ABFE是矩形的情形?如果存在,求出t的值,如果不存在,请说明理由.35.已知,矩形ABCD中,AB=4cm,BC=8cm,AC的垂直平分线EF分别交AD、BC于点E、F,垂足为O.(1)如图1,连接AF、CE.求证:四边形AFCE为菱形.(2)如图1,求AF的长.(3)如图2,动点P、Q分别从A、C两点同时出发,沿△AFB 和△CDE各边匀速运动一周.即点P自A→F→B→A停止,点Q自C→D→E→C停止.在运动过程中,点P的速度为每秒1cm,设运动时间为t秒.①问在运动的过程中,以A、P、C、Q四点为顶点的四边形有可能是矩形吗?若有可能,请求出运动时间t和点Q的速度;若不可能,请说明理由.②若点Q的速度为每秒0.8cm,当A、P、C、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时,求t的值.36.如图1,E,F是正方形ABCD的边上两个动点,满足AE=DF,连接CF交BD于G,连接BE交AG于点H (1)求证:AG⊥BE;(2)如图2,连DH,若正方形的边长为4,则线段DH长度的最小值是.37.如图,在菱形ABCD中,AB=2,∠DAB=60°,点E时AD边的中点,点M时AB边上的一个动点(不与点A重合),延长ME交CD的延长线于点N,连接MD,AN.(1)求证:四边形AMDN是平行四边形.(2)填空:①当AM的值为时,四边形AMDN是矩形;②当AM的值为时,四边形AMDN是菱形.38.如图,已知正方形OABC的边长为4,顶点A、C分别在x、y轴的正半轴上,M是BC的中点,点P(0,m)是线段oc上的一动点9点P不与点O、C重合0,直线PM 交AB的延长线于点D.(1)求点D的坐标;(用含m的代数式表示)(2)若△APD是以AP边为一腰的等腰三角形,求m的值.39.如图,在△ABC中,∠ABC=90°,点D为AC的中点,过点C作CE⊥BD于点E,过点A作BD的平行线,交CE 的延长线于点F,在AF的延长线上截取FG=BD,连接BG、DF.(1)证明:四边形BDFG是菱形;(2)若AC=10,CF=6,求线段AG的长度.40.如图,在正方形ABCD中,点E在边AD上,点F在边BC的延长线上,连接EF与边CD相交于点G,连接BE与对角线AC相交于点H,AE=CF,BE=EG.(1)求证:EF∥AC;(2)求∠BEF大小;(3)若EB=4,则△BAE的面积为.初二数学平行四边形和特殊四边形提高练习常考题和培优题参考答案与试题解析一.选择题(共5小题)1.(2012春•炎陵县校级期中)如图,把大小相同的两个矩形拼成如下形状,则△FBD是()A.等边三角形B.等腰直角三角形C.一般三角形D.等腰三角形【分析】根据正方形性质得出FG=BC,∠G=∠C=90°,GB=CD,根据SAS证△FGB≌△BCD,推出∠FBG=∠BDC,BF=BD,求出∠DBC+∠FBG=90°,求出∠FBD的度数即可.【解答】解:∵大小相同的两个矩形GFEB、ABCD,∴FG=BE=AD=BC,GB=EF=AB=CD,∠G=∠C=∠ABG=∠ABC=90°,∵在△FGB和△BCD中,∴△FGB≌△BCD,∴∠FBG=∠BDC,BF=BD,∵∠BDC+∠DBC=90°,∴∠DBC+∠FBG=90°,∴∠FBD=180°﹣90°=90°,即△FBD是等腰直角三角形,故选B.【点评】本题考查了等腰直角三角形,全等三角形的性质和判定,正方形性质的应用,关键是证出△FGB≌△BCD,主要考查学生运用性质进行推理的能力.2.(2015春•江阴市期中)如图,正方形ABCD和正方形CEFG中,点D在CG上,BC=,CE=3,H是AF的中点,那么CH的长是()A.3.5 B.C.D.2【分析】根据正方形的性质求出AB=BC=,CE=EF=3,∠E=90°,延长AD交EF于M,连接AC、CF,求出AM=4,FM=2,∠AMF=90°,根据正方形性质求出∠ACF=90°,根据直角三角形斜边上的中线性质求出CH=AF,根据勾股定理求出AF即可.【解答】解:∵正方形ABCD和正方形CEFG中,点D在CG上,BC=,CE=3,∴AB=BC=,CE=EF=3,∠E=90°,延长AD交EF于M,连接AC、CF,则AM=BC+CE=4,FM=EF﹣AB=2,∠AMF=90°,∵四边形ABCD和四边形GCEF是正方形,∴∠ACD=∠GCF=45°,∴∠ACF=90°,∵H为AF的中点,∴CH=AF,在Rt△AMF中,由勾股定理得:AF==2,∴CH=,故选:C.【点评】本题考查了勾股定理,正方形的性质,直角三角形斜边上的中线的应用,解此题的关键是能正确作出辅助线,并求出AF的长和得出CH=AF,有一定的难度.3.(2015春•泗洪县校级期中)如图,在矩形ABCD中,AB=4,BC=8,对角线AC、BD相交于点O,过点O作OE 垂直AC交AD于点E,则AE的长是()A.3 B.5 C.2.4 D.2.5【分析】根据矩形的性质得出∠CDE=90°,AD=BC=8,AB=DC=4,AO=OC,根据线段垂直平分线性质得出AE=CE,在Rt△CDE中,由勾股定理得出CE2=CD2+DE2,代入求出即可.【解答】解:∵在矩形ABCD中,AB=4,BC=8,∴∠CDE=90°,AD=BC=8,AB=DC=4,AO=OC,∵OE⊥AC,∴AE=CE,在Rt△CDE中,由勾股定理得:CE2=CD2+DE2,即AE2=42+(8﹣AE)2,解得:AE=5,故选B.【点评】本题考查了矩形的性质,勾股定理,线段垂直平分线性质的应用,解此题的关键是得出关于AE的方程.4.(2015秋•无锡期中)如图,在△ABC中,CF⊥AB于F,BE⊥AC于E,M为BC的中点,EF=7,BC=10,则△EFM 的周长是()A.17 B.21 C.24 D.27【分析】根据CF⊥AB于F,BE⊥AC于E,M为BC的中点,利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半,求出FM和ME的长,即可求解.【解答】解:∵CF⊥AB,M为BC的中点,∴MF是Rt△BFC斜边上的中线,∴FM=BC=×10=5,同理可得,ME=BC=×10=5,又∵EF=7,∴△EFM的周长=EF+ME+FM=7+5+5=17.故选A.【点评】此题主要考查学生对直角三角形斜边上的中线这个知识点的理解和掌握,解答此题的关键是利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半,求出FM和ME的长.5.(2015春•乌兰察布校级期中)如图,在矩形ABCD中,AB=6,AD=8,P是AD上不与A和D重合的一个动点,过点P分别作AC和BD的垂线,垂足为E、F,则PE+PF 的值为()A.10 B.4.8 C.6 D.5【分析】连接OP,利用勾股定理列式求出BD,再根据矩形的对角线相等且互相平分求出OA、OD,然后根据S△AOD=S△AOP+S△DOP列方程求解即可.【解答】解:如图,连接OP,∵AB=6,AD=8,∴BD===10,∵四边形ABCD是矩形,∴OA=OD=×10=5,∵S△AOD=S△AOP+S△DOP,∴××6×8=×5•PE+×5•PF,解得PE+PF=4.8.故选B.【点评】本题考查了矩形的性质,三角形的面积,熟记性质并利用三角形的面积列出方程是解题的关键.二.填空题(共4小题)6.(2016春•东平县期中)如图,在矩形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,AE平分∠BAD交BC于点E,若∠CAE=15°,则∠BOE的度数等于75°.【分析】由矩形ABCD,得到OA=OB,根据AE平分∠BAD,得到等边三角形OAB,推出AB=OB,求出∠OAB、∠OBC 的度数,根据平行线的性质和等角对等边得到OB=BE,根据三角形的内角和定理即可求出答案.【解答】解:∵四边形ABCD是矩形,∴AD∥BC,AC=BD,OA=OC,OB=OD,∠BAD=90°,∴OA=OB,∠DAE=∠AEB,∵AE平分∠BAD,∴∠BAE=∠DAE=45°=∠AEB,∴AB=BE,∵∠CAE=15°,∴∠DAC=45°﹣15°=30°,∠BAC=60°,∴△BAO是等边三角形,∴AB=OB,∠ABO=60°,∴∠OBC=90°﹣60°=30°,∵AB=OB=BE,∴∠BOE=∠BEO=(180°﹣30°)=75°.故答案为75°.【点评】本题主要考查了三角形的内角和定理,矩形的性质,等边三角形的性质和判定,平行线的性质,角平分线的性质,等腰三角形的判定等知识点,解此题的关键是求出∠OBC的度数和求OB=BE.7.(2014春•武昌区期中)如图,将平行四边形ABCD的边DC延长到E,使CE=CD,连接AE交BC于F,∠AFC=n∠D,当n= 2 时,四边形ABEC是矩形.【分析】首先根据四边形ABCD是平行四边形,得到四边形ABEC是平行四边形,然后证得FC=FE,利用对角线互相相等的四边形是矩形判定四边形ABEC是矩形.【解答】解:当∠AFC=2∠D时,四边形ABEC是矩形.∵四边形ABCD是平行四边形,∴BC∥AD,∠BCE=∠D,由题意易得AB∥EC,AB∥EC,∴四边形ABEC是平行四边形.∵∠AFC=∠FEC+∠BCE,∴当∠AFC=2∠D时,则有∠FEC=∠FCE,∴FC=FE,∴四边形ABEC是矩形,故答案为:2.【点评】此题考查了平行四边形的性质以及矩形的判定.此题难度适中,注意掌握数形结合思想的应用,解题的关键是了解矩形的判定定理.8.(2015春•南长区期中)如图,在正五边形ABCDE中,连接AC、AD、CE,CE交AD于点F,连接BF,则线段AC、BF、CD之间的关系式是AC2+BF2=4CD2.【分析】首先根据菱形的判定方法,判断出四边形ABCF是菱形,再根据菱形的性质,即可判断出AC⊥BF;然后根据勾股定理,可得OB2+OC2=BC2,据此推得AC2+BF2=4CD2即可.【解答】解:∵五边形ABCDE是正五边形,∴AB∥CE,AD∥BC,∴四边形ABCF是平行四边形,又∵AB=BC=CD=DE=EA,∴四边形ABCF是菱形,∴AC⊥BF,∴OB2+OC2=BC2,∵AC=2OC,BF=2OB,∴AC2+BF2=(2OC)2+(2OB)2=4OC2+4OB2=4BC2,又∵BC=CD,∴AC2+BF2=4CD2.故答案为:AC2+BF2=4CD2.【点评】(1)此题主要考查了菱形的判定和性质的应用,要熟练掌握,解答此题的关键是要明确:菱形是在平行四边形的前提下定义的,首先它是平行四边形,但它是特殊的平行四边形,特殊之处就是“有一组邻边相等”,因而就增加了一些特殊的性质和不同于平行四边形的判定方法.(2)此题还考查了勾股定理的应用:在任何一个直角三角形中,两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方,要熟练掌握.9.(2015春•株洲校级期中)如图,在平面直角坐标系中,O为原点,四边形OABC是矩形,A(﹣10,0),C(0,3),点D是OA的中点,点P在BC边上运动,当△ODP是腰长为5的等腰三角形时,点P的坐标是(﹣4,3),或(﹣1,3),或(﹣9,3).【分析】先由矩形的性质求出OD=5,分情况讨论:(1)当OP=OD=5时;根据勾股定理求出PC,即可得出结果;(2)当PD=OD=5时;①作PE⊥OA于E,根据勾股定理求出DE,得出PC,即可得出结果;②作PF⊥OA于F,根据勾股定理求出DF,得出PC,即可得出结果.【解答】解:∵A(﹣10,0),C(0,3),∴OA=10,OC=3,∵四边形OABC是矩形,∴BC=OA=10,AB=OC=3,∵D是OA的中点,∴AD=OD=5,分情况讨论:(1)当OP=OD=5时,根据勾股定理得:PC==4,∴点P的坐标为:(﹣4,3);(2)当PD=OD=5时,分两种情况讨论:①如图1所示:作PE⊥OA于E,则∠PED=90°,DE==4,∴PC=OE=5﹣4=1,∴点P的坐标为:(﹣1,3);②如图2所示:作PF⊥OA于F,则DF==4,∴PC=OF=5+4=9,∴点P的坐标为:(﹣9,3);综上所述:点P的坐标为:(﹣4,3),或(﹣1,3),或(﹣9,3);故答案为:(﹣4,3),或(﹣1,3),或(﹣9,3).【点评】本题考查了矩形的性质、坐标与图形性质、等腰三角形的性质、勾股定理;熟练掌握矩形的性质,并能进行推理计算是解决问题的关键.三.解答题(共31小题)10.(2012春•西城区校级期中)如图,正方形ABCD中,AE=AB,直线DE交BC于点F,求∠BEF的度数.【分析】设∠BAE=x°,根据正方形性质推出AB=AE=AD,根据等腰三角形性质和三角形的内角和定理求出∠AEB和∠AED的度数,根据平角定义求出即可.【解答】解:设∠BAE=x°,∵四边形ABCD是正方形,∴∠BAD=90°,AB=AD,∵AE=AB,∴AB=AE=AD,∴∠ABE=∠AEB=(180°﹣∠BAE)=90°﹣x°,∠DAE=90°﹣x°,∠AED=∠ADE=(180°﹣∠DAE)=[180°﹣(90°﹣x°)]=45°+x°,∴∠BEF=180°﹣∠AEB﹣∠AED,=180°﹣(90°﹣x°)﹣(45°+x°),=45°,答:∠BEF的度数是45°.【点评】本题考查了三角形的内角和定理,等腰三角形性质,正方形性质的应用,解此题的关键是如何把已知角的未知角结合起来,题目比较典型,但是有一定的难度.11.(2012秋•高淳县期中)如图,梯形ABCD中,AD∥BC,AB=CD,对角线AC、BD交于点O,AC⊥BD,E、F、G、H分别为AB、BC、CD、DA的中点.(1)求证:四边形EFGH为正方形;(2)若AD=1,BC=3,求正方形EFGH的边长.【分析】(1)先由三角形的中位线定理求出四边相等,然后由AC⊥BD入手,进行正方形的判断.(2)连接EG,利用梯形的中位线定理求出EG的长,然后结合(1)的结论求出EH2=2,也即得出了正方形EHGF的边长.【解答】(1)证明:在△ABC中,∵E、F分别是AB、BC的中点,∴EF=同理FG=,GH=,HE=在梯形ABCD中,∵AB=DC,∴AC=BD,∴EF=FG=GH=HE∴四边形EFGH为菱形.设AC与EH交于点M在△ABD中,∵E、H分别是AB、AD的中点,∴EH∥BD,同理GH∥AC又∵AC⊥BD,∴∠BOC=90°.∴∠EHG=∠EMC=∠BOC=90°∴四边形EFGH为正方形.(2)解:连接EG,在梯形ABCD中,∵E、G分别是AB、DC的中点,∴EG=(AD+BC)=(1+3)=2,在Rt△HEG中,EG2=EH2+HG2,4=2EH2,EH2=2,则EH=.即四边形EFGH的边长为.【点评】此题考查了等腰梯形的性质及三角形、梯形的中位线定理,解答本题的关键是根据三角形的中位线定理得出EH=HG=GF=FE,这是本题的突破口.12.(2013秋•青岛期中)如图,点E、F分别是正方形ABCD 的边CD和AD的中点,BE和CF交于点P.求证:AP=AB.【分析】延长CF、BA交于点M,先证△BCE≌△CDF,再证△CDF≌△AMF得BA=MA由直角三角形中斜边中线等于斜边的一半,可得Rt△MBP中AP=BM,即AP=AB.【解答】证明:延长CF、BA交于点M,∵点E、F分别是正方形ABCD的边CD和AD的中点,∴BC=CD,∠BCE=∠CDF,CE=DF,∴△BCE≌△CDF,∴∠CBE=∠DCF.∵∠DCF+∠BCP=90°,∴∠CBE+∠BCP=90°,∴∠BPM=∠CBE+∠BCP=90°.又∵FD=FA,∠CDF=∠MAF,∠CFD=∠MFA,∴△CDF≌△AMF,∴CD=AM.∵CD=AB,∴AB=AM.∴PA是直角△BPM斜边BM上的中线,∴AP=BM,即AP=AB.【点评】本题考查了正方形各边长相等、各内角为直角的性质,全等三角形的判定和对应边相等的性质,直角三角形斜边中线长为斜边长一半的性质,本题中求证△CDF≌△AMF是解题的关键.13.(2015春•禹州市期中)如图,点P为正方形ABCD对角线BD上一点,PE⊥BC于E,PF⊥DC于F.(1)求证:PA=EF;(2)若正方形ABCD的边长为a,求四边形PFCE的周长.【分析】(1)连接PC,证四边形PFCE是矩形,求出EF=PC,证△ABP≌△CBP,推出AP=PC即可;(2)证△CBD是等腰直角三角形,求出BF、PF,求出周长即可.【解答】解:证明:(1)连接PC,∵四边形ABCD是正方形,∴AB=CB,∠ABD=∠CBD=45°,∠C=90°,在△ABP与△CBP中,,∴△ABP≌△CBP(SAS),∴PA=PC,∵PE⊥BC,PF⊥CD,∴∠PFC=90°,∠PEC=90°.又∵∠C=90°,∴四边形PFCE是矩形,∴EF=PC,∴PA=EF.(2)由(1)知四边形PFCE是矩形,∴PE=CF,PF=CE,又∵∠CBD=45°,∠PEB=90°,∴BE=PE,又BC=a,∴矩形PFCE的周长为2(PE+EC)=2(BE+EC)=2BC=2a.【点评】本题主要考查正方形的性质,全等三角形的性质和判定等知识点的连接和掌握,能证出AP=PC是解此题的关键.14.(2015秋•福建校级期中)如图1,在正方形ABCD中,点E为BC上一点,连接DE,把△DEC沿DE折叠得到△DEF,延长EF交AB于G,连接DG.(1)求∠EDG的度数.(2)如图2,E为BC的中点,连接BF.①求证:BF∥DE;②若正方形边长为6,求线段AG的长.【分析】(1)由正方形的性质可得DC=DA.∠A=∠B=∠C=∠ADC=90°,由折叠的性质得出∠DFE=∠C,DC=DF,∠1=∠2,再求出∠DFG=∠A,DA=DF,然后由“HL”证明Rt△DGA≌Rt△DGF,由全等三角形对应角相等得出∠3=∠4,得出∠2+∠3=45°即可;(2)①由折叠的性质和线段中点的定义可得CE=EF=BE,∠DEF=∠DEC,再由三角形的外角性质得出∠5=∠DEC,然后利用同位角相等,两直线平行证明即可;②设AG=x,表示出GF、BG,根据点E是BC的中点求出BE、EF,从而得到GE的长度,再利用勾股定理列出方程求解即可;【解答】(1)解:如图1所示:∵四边形ABCD是正方形,∴DC=DA.∠A=∠B=∠C=∠ADC=90°,∵△DEC沿DE折叠得到△DEF,∴∠DFE=∠C,DC=DF,∠1=∠2,∴∠DFG=∠A=90°,DA=DF,在Rt△DGA和Rt△DGF中,,∴Rt△DGA≌Rt△DGF(HL),∴∠3=∠4,∴∠EDG=∠3+∠2=∠ADF+∠FDC,=(∠ADF+∠FDC),=×90°,=45°;(2)①证明:如图2所示:∵△DEC沿DE折叠得到△DEF,E为BC的中点,∴CE=EF=BE,∠DEF=∠DEC,∴∠5=∠6,∵∠FEC=∠5+∠6,∴∠DEF+∠DEC=∠5+∠6,∴2∠5=2∠DEC,即∠5=∠DEC,∴BF∥D E;②解:设AG=x,则GF=x,BG=6﹣x,∵正方形边长为6,E为BC的中点,∴CE=EF=BE=×6=3,∴GE=EF+GF=3+x,在Rt△GBE中,根据勾股定理得:(6﹣x)2+32=(3+x)2,解得:x=2,即线段AG的长为2.【点评】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理、翻折变换的性质;熟练掌握正方形的性质,并能进行推理论证与计算是解决问题的关键.15.(2016春•召陵区期中)如图①,在正方形ABCD中,F 是对角线AC上的一点,点E在BC的延长线上,且BF=EF.(1)求证:BF=DF;(2)求证:∠DFE=90°;(3)如果把正方形ABCD改为菱形,其他条件不变(如图②),当∠ABC=50°时,∠DFE=50 度.【分析】(1)根据正方形的四条边都相等可得BC=DC,对角线平分一组对角可得∠BCF=∠DCF,然后利用“边角边”证明即可;(2)易证∠FBE=∠FEB,又因为∠FBE=∠FDC,所以可证明∠FEB=∠FDC,进而可证明∠DFE=90°;(3)根据全等三角形对应角相等可得∠CBF=∠CDF,根据等边对等角可得∠CBF=∠E,然后求出∠DFE=∠DCE,再根据两直线平行,同位角相等可得∠DCE=∠ABC,从而得解.【解答】(1)证明:在正方形ABCD中,BC=DC,∠BCF=∠DCF=45°,∵在△BCF和△DCF中,,∴△BCF≌△DCF(SAS);∴BF=DF;(2)证明:∵BF=EF,∴∠FBE=∠FEB,又∵∠FBE=∠FDC,∴∠FEB=∠FDC,又∵∠DGF=∠EGC,∴∠DFG=∠ECG=90°,即∠DFE=90°;(3)证明:由(1)知,△BCF≌△DCF,∴∠CBF=∠CDF,∵EE=FB,∴∠CBF=∠E,∵∠DGF=∠EGC(对顶角相等),∴180°﹣∠DGF﹣∠CDF=180°﹣∠EGC﹣∠E,即∠DFE=∠DCE,∵AB∥CD,∴∠DCE=∠ABC,∴∠DFE=∠ABC=50°,故答案为:50.【点评】本题考查了正方形的性质,全等三角形的判定与性质,菱形的性质,等边对等角的性质,熟记正方形的性质确定出∠BCF=∠DCF是解题的关键.16.(2015秋•泗县期中)已知正方形ABCD中,对角线AC、BD相交于O.①如图1,若E是AC上的点,过A 作AG⊥BE于G,AG、BD交于F,求证:OE=OF②如图2,若点E在AC的延长线上,AG⊥EB交EB的延长线于G,AG延长DB延长线于点F,其它条件不变,OE=OF 还成立吗?【分析】①由正方形的性质得出OA=OB,AC⊥BD,得出∠BOE=∠AOF=90°,由角的互余关系得出∠OBE=∠OAF,由ASA证明△BOE≌△AOF,得出对应边相等即可;②由正方形的性质得出OA=OB,AC⊥BD,得出∠BOE=∠AOF=90°,由角的互余关系得出∠OBE=∠OAF,由ASA证明△BOE≌△A OF,得出对应边相等即可.【解答】①证明:∵四边形ABCD是正方形,∴OA=OB,AC⊥BD,∴∠BOE=∠AOF=90°,∴∠OEB+∠OBE=90°,∵AG⊥BE,∴∠AGE=90°,∴∠OEB+∠OAF=90°,∴∠OBE=∠OAF,在△BOE和△AOF中,,∴△BOE≌△AOF(ASA),∴OE=OF;②解:OE=OF还成立;理由如下:∵四边形ABCD是正方形,∴OA=OB,AC⊥BD,∴∠BOE=∠AOF=90°,∴∠OEB+∠OBE=90°,∵AG⊥BE,∴∠AGE=90°,∴∠OEB+∠OAF=90°,∴∠OBE=∠OAF,在△BOE和△AOF中,,∴△BOE≌△AOF(ASA),∴OE=OF.【点评】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质;熟练掌握正方形的性质,并能进行推理论证是解决问题的关键.17.(2016春•邳州市期中)如图,点P是菱形ABCD中对角线AC上的一点,且PE=PB.(1)求证:PE=PD;(2)求证:∠PDC=∠PEB;(3)若∠BAD=80°,连接DE,试求∠PDE的度数,并说明理由.【分析】(1)由菱形的性质得出AB=BC=CD=AD,AB∥CD,∠DCP=∠BCP,由SAS证明△CDP≌△CBP,得出PB=PD,再由PE=PB,即可得出结论;(2)由等腰三角形的性质得出∠PBC=∠PEB,由全等三角形的性质得出∠PDC=∠PBC,即可得出∠PDC=∠PEB;(3)由四边形内角和定理得出∠DPE=100°,由等腰三角形的性质和三角形内角和定理即可得出结果.【解答】(1)解:∵四边形ABCD是菱形,∴AB=BC=CD=AD,AB∥CD,∠DCP=∠BCP,在△DCP和△BCP中,,∴△CDP≌△CBP(SAS),∴PB=PD,∵PE=PB,∴PE=PD;(2)证明:∵PE=PB,∴∠PBC=∠PEB,∵△CDP≌△CBP,∴∠PDC=∠PBC,∴∠PDC=∠PEB;(3)解:如图所示:∠PDE=40°;理由如下:在四边形DPEC中,∵∠DPE=360°﹣(∠PDC+∠PEC+∠DCB)=360°﹣(∠PEB+∠PEC+∠DCB)=360°﹣(180°+80°)=100°,∵PE=PD∴∠PDE=∠PED=40°.【点评】本题考查了菱形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质;熟练掌握菱形的性质,证明三角形全等是解决问题的关键.18.(2016春•昆山市期中)如图,正方形ABCD中,AB=1,点P是BC边上的任意一点(异于端点B、C),连接AP,过B、D两点作BE⊥AP于点E,DF⊥AP于点F.(1)求证:EF=DF﹣BE;(2)若△ADF的周长为,求EF的长.【分析】(1)由正方形的性质得出AD=AB,证出∠DAF=∠ABE,由AAS证明△ADF≌△BAE,得出AF=BE,DF=AE,即可得出结论;(2)设DF=a,AF=b,EF=DF﹣AF=a﹣b>0,由已知条件得出DF+AF=,即a+b=,由勾股定理得出a2+b2=1,再由完全平方公式得出a﹣b即可.【解答】(1)证明:∵BE⊥AP,DF⊥AP,∴∠DFA=∠AEB=90°,∠ABE+∠BAE=90°,∵四边形ABCD为正方形,∴AD=AB,∠DAB=90°=∠DAF+∠BAE,∴∠DAF=∠ABE,在△ADF和△BAE中,,∴△ADF≌△BAE(AAS),∴AF=BE,DF=AE,∴EF=AE﹣AF=DF﹣BE;(2)解:设DF=a,AF=b,EF=DF﹣AF=a﹣b>0,∵△ADF的周长为,AD=1,∴DF+AF=,即a+b=,由勾股定理得:DF2+AF2=AD2,即a2+b2=1,∴(a﹣b)2=2(a2+b2)﹣(a+b)2=2﹣=,∴a﹣b=,即EF=.【点评】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识;熟练掌握正方形的性质,由勾股定理得出a与b的关系式是解决问题(2)的关键.19.(2015春•繁昌县期中)如图,正方形ABCD的对角线AC、BD的交点为O,以O为端点引两条互相垂直的射线OM、ON,分别交边AB、BC于点E、F.(1)求证:0E=OF;(2)若正方形的边长为4,求EF的最小值.【分析】(1)根据正方形的性质可得∠EAO=∠FBO=45°,OA=OB,再根据同角的余角相等可得∠AOE=∠BOE,然后利用“角边角”证明△AOE和△BOF全等,根据全等三角形对应边相等即可得证;(2)根据等腰直角三角形△EOF,当OE最小时,再根据勾股定理得出EF的最小值.【解答】解:(1)∵四边形ABCD是正方形,∴OA=OB,∠AOB=90°,∠EAO=∠FBO=45°,∴∠AOE+∠BOE=90°,∵OE⊥OF,∴∠BOF+∠BOE=90°,∴∠AOE=∠BOF,在△AOE与△BOF中,,∴△AOE≌△BOF(ASA),∴OE=OF;(2)由(1)可知,△EOF是等腰直角三角形,∠EOF是直角,当OE最小时,EF的值最小,∵OA=OB,OE⊥AB,∴点E是AB的中点,∴OE=AB,∵AB=4,∴OE=2,∴EF=,即EF的最小值是2.【点评】本题考查了正方形的性质,解决此类问题的关键是正确的利用旋转不变量.正确作出辅助线是关键.20.(2016春•江宁区期中)如图,在正方形ABCD中,点E是边AD上任意一点,BE的垂直平分线FG交对角AC于点F.求证:(1)BF=DF;(2)BF⊥FE.【分析】(1)由正方形的性质得出AB=AD,∠BAF=∠DAF=45°,由SAS证明△BAF≌△DAF,得出对应边相等即可;(2)由线段垂直平分线的性质得出BF=EF,证出EF=DF,得出∠FDE=∠FED,再由全等三角形的性质证出∠ABF=∠FED,由邻补角关系得出∠FED+∠FEA=180°,证出∠ABF+∠FEA=180°,由四边形内角和得出∠BAE+∠BFE=180°,求出∠BFE=90°即可.【解答】证明:如图所示:(1)∵四边形ABCD是正方形,∴AB=AD,∠BAF=∠DAF=45°,∠BAE=90°,在△BAF和△DAF中,,∴△BAF≌△DAF(SAS),∴BF=DF;(2)∵BE的垂直平分线FG交对角AC于点F,∴BF=EF,∵BF=DF,∴EF=DF,∴∠FDE=∠FED,∵△BAF≌△DAF,∴∠ABF=∠FDE,∴∠ABF=∠FED,∵∠FED+∠FEA=180°,∴∠ABF+∠FEA=180°,∴∠BAE+∠BFE=180°,∴∠BFE=90°,∴BF⊥FE.【点评】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、四边形内角和定理等知识;熟练掌握正方形的性质,证明三角形全等是解决问题的关键.21.(2015春•台州校级期中)已知:如图所示,四边形ABCD。
2021年初中数学平行四边形提高题与常考题和培优题(含解析)

数学平行四边形提高题与常考题和培优题(含解析)欧阳光明(2021.03.07)一.选择题(共12小题)1.如图,DE是△ABC的中位线,过点C作CF∥BD交DE的延长线于点F,则下列结论正确的是()A.EF=CF B.EF=DE C.CF<BD D.EF>DE2.如图,在△ABC中,∠ABC=90°,AB=8,BC=6.若DE是△ABC 的中位线,延长DE交△ABC的外角∠ACM的平分线于点F,则线段DF的长为()A.7 B.8 C.9 D.103.如图,在△ABC中,AB=4,BC=6,DE、DF是△ABC的中位线,则四边形BEDF的周长是()A.5 B.7 C.8 D.104.如图,在△ABC中,点D,E分别是边AB,AC的中点,AF⊥BC,垂足为点F,∠ADE=30°,DF=4,则BF的长为()A.4 B.8 C.2D.45.如图,将矩形纸片ABCD沿其对角线AC折叠,使点B落到点B′的位置,AB′与CD交于点E,若AB=8,AD=3,则图中阴影部分的周长为()A.11 B.16 C.19 D.226.如图,在▱ABCD中,AB=6,BC=8,∠C的平分线交AD于E,交BA的延长线于F,则AE+AF的值等于()A.2 B.3 C.4 D.67.如图,平行四边形ABCD的周长是26cm,对角线AC与BD交于点O,AC⊥AB,E是BC中点,△AOD的周长比△AOB的周长多3cm,则AE的长度为()A.3cm B.4cm C.5cm D.8cm8.如图,在▱ABCD中,AB=12,AD=8,∠ABC的平分线交CD 于点F,交AD的延长线于点E,CG⊥BE,垂足为G,若EF=2,则线段CG的长为()A.B.4C.2D.9.关于▱ABCD的叙述,正确的是()A.若AB⊥BC,则▱ABCD是菱形B.若AC⊥BD,则▱ABCD是正方形C.若AC=BD,则▱ABCD是矩形D.若AB=AD,则▱ABCD是正方形10.如图,在▱ABCD中,BF平分∠ABC,交AD于点F,CE平分∠BCD,交AD于点E,AB=6,EF=2,则BC长为()A.8 B.10 C.12 D.1411.如图,将▱ABCD沿对角线AC折叠,使点B落在B′处,若∠1=∠2=44°,则∠B为()A.66°B.104°C.114°D.124°12.已知菱形OABC在平面直角坐标系的位置如图所示,顶点A(5,0),OB=4,点P是对角线OB上的一个动点,D(0,1),当CP+DP 最短时,点P的坐标为()A.(0,0)B.(1,)C.(,) D.(,)二.填空题(共12小题)13.如图,在平行四边形ABCD中,AB=4,BC=5,∠ABC=60°,平行四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O,过点O作OE⊥AD,则OE=.14.如图,在△ABC中,点D、E、F分别是边AB、BC、CA上的中点,且AB=6cm,AC=8cm,则四边形ADEF的周长等于cm.15.如图,▱ABCD中,∠ABC=60°,E、F分别在CD和BC的延长线上,AE∥BD,EF⊥BC,EF=3,则AB的长是.16.有3个正方形如图所示放置,阴影部分的面积依次记为S1,S2,则S1:S2=.17.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,M、N分别是AB、AC的中点,延长BC至点D,使CD=BD,连接DM、DN、MN.若AB=6,则DN=.18.如图,在▱ABCD中,E为边CD上一点,将△ADE沿AE折叠至△AD′E处,AD′与CE交于点F.若∠B=52°,∠DAE=20°,则∠FED′的大小为.19.如图,在Rt△ABC中,∠B=90°,AB=4,BC>AB,点D在BC上,以AC为对角线的平行四边形ADCE中,DE的最小值是.20.如图,把平行四边形ABCD折叠,使点C与点A重合,这时点D落在D1,折痕为EF,若∠BAE=55°,则∠D1AD=.21.如图,△APB中,AB=2,∠APB=90°,在AB的同侧作正△ABD、正△APE和正△BPC,则四边形PCDE面积的最大值是.22.如图,已知菱形ABCD的边长2,∠A=60°,点E、F分别在边AB、AD上,若将△AEF沿直线EF折叠,使得点A恰好落在CD边的中点G处,则EF=.23.如图,在菱形ABCD中,过点B作BE⊥AD,BF⊥CD,垂足分别为点E,F,延长BD至G,使得DG=BD,连结EG,FG,若AE=DE,则=.24.如图,在正方形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,E为BC上一点,CE=5,F为DE的中点.若△CEF的周长为18,则OF 的长为.三.解答题(共16小题)25.如图,四边形ABCD是平行四边形,AE平分∠BAD,交DC的延长线于点E.求证:DA=DE.26.如图,已知△ABC,AD平分∠BAC交BC于点D,BC的中点为M,ME∥AD,交BA的延长线于点E,交AC于点F.(1)求证:AE=AF;(2)求证:BE=(AB+AC).27.已知:如图,矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O,CE∥DB,交AB的延长线于点E.求证:AC=EC.28.如图,平行四边形ABCD中,BD⊥AD,∠A=45°,E、F分别是AB、CD上的点,且BE=DF,连接EF交BD于O.(1)求证:BO=DO;(2)若EF⊥AB,延长EF交AD的延长线于G,当FG=1时,求AE的长.29.如图,在四边形ABCD中,∠ABC=90°,AC=AD,M,N分别为AC,CD的中点,连接BM,MN,BN.(1)求证:BM=MN;(2)∠BAD=60°,AC平分∠BAD,AC=2,求BN的长.30.在平行四边形ABCD中,E是AD上一点,AE=AB,过点E作直线EF,在EF上取一点G,使得∠EGB=∠EAB,连接AG.(1)如图①,当EF与AB相交时,若∠EAB=60°,求证:EG=AG+BG;(2)如图②,当EF与CD相交时,且∠EAB=90°,请你写出线段EG、AG、BG之间的数量关系,并证明你的结论.31.如图,四边形ABCD为平行四边形,∠BAD的角平分线AE交CD于点F,交BC的延长线于点E.(1)求证:BE=CD;(2)连接BF,若BF⊥AE,∠BEA=60°,AB=4,求平行四边形ABCD 的面积.32.如图,▱ABCD中,AB=2,AD=1,∠ADC=60°,将▱ABCD沿过点A的直线l折叠,使点D落到AB边上的点D′处,折痕交CD 边于点E.(1)求证:四边形BCED′是菱形;(2)若点P是直线l上的一个动点,请计算PD′+PB的最小值.33.如图,在▱ABCD中,连接BD,在BD的延长线上取一点E,在DB的延长线上取一点F,使BF=DE,连接AF、CE.求证:AF∥CE.34.如图,在▱ABCD中,E是BC的中点,连接AE并延长交DC 的延长线于点F.(1)求证:AB=CF;(2)连接DE,若AD=2AB,求证:DE⊥AF.35.如图,▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O,EF过点O且与AB、CD分别相交于点E、F,连接EC.(1)求证:OE=OF;(2)若EF⊥AC,△BEC的周长是10,求▱ABCD的周长.36.如图,在▱ABCD中,E、F分别为边AD、BC的中点,对角线AC分别交BE,DF于点G、H.求证:AG=CH.37.如图,分别以Rt△ABC的直角边AC及斜边AB向外作等边△ACD及等边△ABE,已知:∠BAC=30°,EF⊥AB,垂足为F,连接DF.(1)试说明AC=EF;(2)求证:四边形ADFE是平行四边形.38.如图,BD是△ABC的角平分线,它的垂直平分线分别交AB,BD,BC于点E,F,G,连接ED,DG.(1)请判断四边形EBGD的形状,并说明理由;(2)若∠ABC=30°,∠C=45°,ED=2,点H是BD上的一个动点,求HG+HC的最小值.39.如图1,已知点E,F,G,H分别是四边形ABCD各边AB,BC,CD,DA的中点,根据以下思路可以证明四边形EFGH是平行四边形:(1)如图2,将图1中的点C移动至与点E重合的位置,F,G,H 仍是BC,CD,DA的中点,求证:四边形CFGH是平行四边形;(2)如图3,在边长为1的小正方形组成的5×5网格中,点A,C,B都在格点上,在格点上画出点D,使点C与BC,CD,DA的中点F,G,H组成正方形CFGH;(3)在(2)条件下求出正方形CFGH的边长.40.我们给出如下定义:顺次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形叫中点四边形.(1)如图1,四边形ABCD中,点E,F,G,H分别为边AB,BC,CD,DA的中点.求证:中点四边形EFGH是平行四边形;(2)如图2,点P是四边形ABCD内一点,且满足PA=PB,PC=PD,∠APB=∠CPD,点E,F,G,H分别为边AB,BC,CD,DA的中点,猜想中点四边形EFGH的形状,并证明你的猜想;(3)若改变(2)中的条件,使∠APB=∠CPD=90°,其他条件不变,直接写出中点四边形EFGH的形状.(不必证明)数学平行四边形提高题与常考题和培优题(含解析)参考答案与试题解析一.选择题(共12小题)1.(2016•厦门)如图,DE是△ABC的中位线,过点C作CF∥BD 交DE的延长线于点F,则下列结论正确的是()A.EF=CF B.EF=DE C.CF<BD D.EF>DE【分析】首先根据三角形的中位线定理得出AE=EC,然后根据CF∥BD得出∠ADE=∠F,继而根据AAS证得△ADE≌△CFE,最后根据全等三角形的性质即可推出EF=DE.【解答】解:∵DE是△ABC的中位线,∴E为AC中点,∴AE=EC,∵CF∥BD,∴∠ADE=∠F,在△ADE和△CFE中,∵,∴△ADE≌△CFE(AAS),∴DE=FE.故选B.【点评】本题考查了三角形中位线定理和全等三角形的判定与性质,解答本题的关键是根据中位线定理和平行线的性质得出AE=EC、∠ADE=∠F,判定三角形的全等.2.(2016•陕西)如图,在△ABC中,∠ABC=90°,AB=8,BC=6.若DE是△ABC的中位线,延长DE交△ABC的外角∠ACM的平分线于点F,则线段DF的长为()A.7 B.8 C.9 D.10【分析】根据三角形中位线定理求出DE,得到DF∥BM,再证明EC=EF=AC,由此即可解决问题.【解答】解:在RT△ABC中,∵∠ABC=90°,AB=8,BC=6,∴AC===10,∵DE是△ABC的中位线,∴DF∥BM,DE=BC=3,∴∠EFC=∠FCM,∵∠FCE=∠FCM,∴∠EFC=∠ECF,∴EC=EF=AC=5,∴DF=DE+EF=3+5=8.故选B.【点评】本题考查三角形中位线定理、等腰三角形的判定和性质、勾股定理等知识,解题的关键是灵活应用三角形中位线定理,掌握等腰三角形的判定和性质,属于中考常考题型.3.(2016•来宾)如图,在△ABC中,AB=4,BC=6,DE、DF是△ABC 的中位线,则四边形BEDF的周长是()A.5 B.7 C.8 D.10【分析】由中位线的性质可知DE=,DF=,DE∥BF,DF∥BE,可知四边形BEDF为平行四边形,从而可得周长.【解答】解:∵AB=4,BC=6,DE、DF是△ABC的中位线,∴DE==2,DF==3,DE∥BF,DF∥BE,∴四边形BEDF为平行四边形,∴四边形BEDF的周长为:2×2+3×2=10,故选D.【点评】本题主要考查了三角形中位线的性质,利用中位线的性质证得四边形BEDF为平行四边形是解答此题的关键4.(2016•葫芦岛)如图,在△ABC中,点D,E分别是边AB,AC 的中点,AF⊥BC,垂足为点F,∠ADE=30°,DF=4,则BF的长为()A.4 B.8 C.2D.4【分析】先利用直角三角形斜边中线性质求出AB,再在RT△ABF 中,利用30角所对的直角边等于斜边的一半,求出AF即可解决问题.【解答】解:在RT△ABF中,∵∠AFB=90°,AD=DB,DF=4,∴AB=2DF=8,∵AD=DB,AE=EC,∴DE∥BC,∴∠ADE=∠ABF=30°,∴AF=AB=4,∴BF===4.故选D.【点评】本题考查三角形中位线性质、含30度角的直角三角形性质、直角三角形斜边中线性质、勾股定理等知识,解题的关键是灵活应用这些知识解决问题,属于中考常考题型.5.(2017•河北一模)如图,将矩形纸片ABCD沿其对角线AC折叠,使点B落到点B′的位置,AB′与CD交于点E,若AB=8,AD=3,则图中阴影部分的周长为()A.11 B.16 C.19 D.22【分析】首先由四边形ABCD为矩形及折叠的特性,得到B′C=BC=AD,∠B′=∠B=∠D=90°,∠B′EC=∠DEA,得到△AED≌△CEB′,得出EA=EC,再由阴影部分的周长为AD+DE+EA+EB′+B′C+EC,即矩形的周长解答即可.【解答】解:∵四边形ABCD为矩形,∴B′C=BC=AD,∠B′=∠B=∠D=90°∵∠B′EC=∠DEA,在△AED和△CEB′中,,∴△AED≌△CEB′(AAS);∴EA=EC,∴阴影部分的周长为AD+DE+EA+EB′+B′C+EC,=AD+DE+EC+EA+EB′+B′C,=AD+DC+AB′+B′C,=3+8+8+3,=22,故选D.【点评】本题主要考查了图形的折叠问题,全等三角形的判定和性质,及矩形的性质.熟记翻折前后两个图形能够重合找出相等的角是解题的关键.6.(2016•泰安)如图,在▱ABCD中,AB=6,BC=8,∠C的平分线交AD于E,交BA的延长线于F,则AE+AF的值等于()A.2 B.3 C.4 D.6【分析】由平行四边形的性质和角平分线得出∠F=∠FCB,证出BF=BC=8,同理:DE=CD=6,求出AF=BF﹣AB=2,AE=AD﹣DE=2,即可得出结果.【解答】解:∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB∥CD,AD=BC=8,CD=AB=6,∴∠F=∠DCF,∵CF平分∠BCD,∴∠FCB=∠DCF,∴∠F=∠FCB,∴BF=BC=8,同理:DE=CD=6,∴AF=BF﹣AB=2,AE=AD﹣DE=2,∴AE+AF=4;故选:C.【点评】本题考查了平行四边形的性质、等腰三角形的判定;熟练掌握平行四边形的性质,证明三角形是等腰三角形是解决问题的关键.7.(2016•绵阳)如图,平行四边形ABCD的周长是26cm,对角线AC与BD交于点O,AC⊥AB,E是BC中点,△AOD的周长比△AOB 的周长多3cm,则AE的长度为()A.3cm B.4cm C.5cm D.8cm【分析】由▱ABCD的周长为26cm,对角线AC、BD相交于点O,若△AOD的周长比△AOB的周长多3cm,可得AB+AD=13cm,AD ﹣AB=3cm,求出AB和AD的长,得出BC的长,再由直角三角形斜边上的中线性质即可求得答案.【解答】解:∵▱ABCD的周长为26cm,∴AB+AD=13cm,OB=OD,∵△AOD的周长比△AOB的周长多3cm,∴(OA+OD+AD)﹣(OA+OB+AB)=AD﹣AB=3cm,∴AB=5cm,AD=8cm.∴BC=AD=8cm.∵AC⊥AB,E是BC中点,∴AE=BC=4cm;故选:B.【点评】此题考查了平行四边形的性质、直角三角形斜边上的中线性质.熟练掌握平行四边形的性质,由直角三角形斜边上的中线性质求出AE是解决问题的关键.8.(2016•济南)如图,在▱ABCD中,AB=12,AD=8,∠ABC的平分线交CD于点F,交AD的延长线于点E,CG⊥BE,垂足为G,若EF=2,则线段CG的长为()A.B.4C.2D.【分析】先由平行四边形的性质和角平分线的定义,判断出∠CBE=∠CFB=∠ABE=∠E,从而得到CF=BC=8,AE=AB=12,再用平行线分线段成比例定理求出BE,然后用等腰三角形的三线合一求出BG,最后用勾股定理即可.【解答】解:∵∠ABC的平分线交CD于点F,∴∠ABE=∠CBE,∵四边形ABCD是平行四边形,∴DC∥AB,∴∠CBE=∠CFB=∠ABE=∠E,∴CF=BC=AD=8,AE=AB=12,∵AD=8,∴DE=4,∵DC∥AB,∴,∴,∴EB=6,∵CF=CB,CG⊥BF,∴BG=BF=2,在Rt△BCG中,BC=8,BG=2,根据勾股定理得,CG===2,故选:C.【点评】此题是平行四边形的性质,主要考查了角平分线的定义,平行线分线段成比例定理,等腰三角形的性质和判定,勾股定理,解本题的关键是求出AE,记住:题目中出现平行线和角平分线时,极易出现等腰三角形这一特点.9.(2016•河北)关于▱ABCD的叙述,正确的是()A.若AB⊥BC,则▱ABCD是菱形B.若AC⊥BD,则▱ABCD是正方形C.若AC=BD,则▱ABCD是矩形D.若AB=AD,则▱ABCD是正方形【分析】由菱形的判定方法、矩形的判定方法、正方形的判定方法得出选项A、B、D错误,C正确;即可得出结论.【解答】解:∵▱ABCD中,AB⊥BC,∴四边形ABCD是矩形,不一定是菱形,选项A错误;∵▱ABCD中,AC⊥BD,∴四边形ABCD是菱形,不一定是正方形,选项B错误;∵▱ABCD中,AC=BD,∴四边形ABCD是矩形,选项C正确;∵▱ABCD中,AB=AD,∴四边形ABCD是菱形,不一定是正方形,选项D错误;故选:C.【点评】本题考查了平行四边形的性质、菱形的判定方法、矩形的判定方法、正方形的判定方法;熟练掌握矩形、菱形、正方形的判定方法是解决问题的关键.10.(2016•丹东)如图,在▱ABCD中,BF平分∠ABC,交AD于点F,CE平分∠BCD,交AD于点E,AB=6,EF=2,则BC长为()A.8 B.10 C.12 D.14【分析】由平行四边形的性质和角平分线得出∠ABF=∠AFB,得出AF=AB=6,同理可证DE=DC=6,再由EF的长,即可求出BC的长.【解答】解:∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD∥BC,DC=AB=6,AD=BC,∴∠AFB=∠FBC,∵BF平分∠ABC,∴∠ABF=∠FBC,则∠ABF=∠AFB,∴AF=AB=6,同理可证:DE=DC=6,∵EF=AF+DE﹣AD=2,即6+6﹣AD=2,解得:AD=10;故选:B.【点评】本题主要考查了平行四边形的性质、等腰三角形的判定;熟练掌握平行四边形的性质,证出AF=AB是解决问题的关键.11.(2016•河北)如图,将▱ABCD沿对角线AC折叠,使点B落在B′处,若∠1=∠2=44°,则∠B为()A.66°B.104°C.114°D.124°【分析】由平行四边形的性质和折叠的性质得出∠ACD=∠BAC=∠B′AC,由三角形的外角性质求出∠BAC=∠ACD=∠B′AC=∠1=22°,再由三角形内角和定理求出∠B即可.【解答】解:∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB∥CD,∴∠ACD=∠BAC,由折叠的性质得:∠BAC=∠B′AC,∴∠BAC=∠ACD=∠B′AC=∠1=22°,∴∠B=180°﹣∠2﹣∠BAC=180°﹣44°﹣22°=114°;故选:C.【点评】本题考查了平行四边形的性质、折叠的性质、三角形的外角性质以及三角形内角和定理;熟练掌握平行四边形的性质,求出∠BAC的度数是解决问题的关键.12.(2016•咸宁)已知菱形OABC在平面直角坐标系的位置如图所示,顶点A(5,0),OB=4,点P是对角线OB上的一个动点,D (0,1),当CP+DP最短时,点P的坐标为()A.(0,0)B.(1,)C.(,) D.(,)【分析】如图连接AC,AD,分别交OB于G、P,作BK⊥OA于K.首先说明点P就是所求的点,再求出点B坐标,求出直线OB、DA,列方程组即可解决问题.【解答】解:如图连接AC,AD,分别交OB于G、P,作BK⊥OA 于K.∵四边形OABC是菱形,∴AC⊥OB,GC=AG,OG=BG=2,A、C关于直线OB对称,∴PC+PD=PA+PD=DA,∴此时PC+PD最短,在RT△AOG中,AG===,∴AC=2,∵OA•BK=•AC•OB,∴BK=4,AK==3,∴点B坐标(8,4),∴直线OB解析式为y=x,直线AD解析式为y=﹣x+1,由解得,∴点P坐标(,).故选D.【点评】本题考查菱形的性质、轴对称﹣最短问题、坐标与图象的性质等知识,解题的关键是正确找到点P位置,构建一次函数,列出方程组求交点坐标,属于中考常考题型.二.填空题(共12小题)13.(2017•新城区校级模拟)如图,在平行四边形ABCD中,AB=4,BC=5,∠ABC=60°,平行四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O,过点O作OE⊥AD,则OE=.【分析】作CF⊥AD于F,由平行四边形的性质得出∠ADC=∠ABC=60°,CD=AB=4,OA=OC,求出∠DCF=30°,由直角三角形的性质得出DF=CD=2,求出CF=DF=2,证出OE是△ACF的中位线,由三角形中位线定理得出OE的长即可.【解答】解:作CF⊥AD于F,如图所示:∵四边形ABCD是平行四边形,∴∠ADC=∠ABC=60°,CD=AB=4,OA=OC,∴∠DCF=30°,∴DF=CD=2,∴CF=DF=2,∵CF⊥AD,OE⊥AD,CF∥OE,∵OA=OC,∴OE是△ACF的中位线,∴OE=CF=;故答案为:.【点评】本题考查了平行四边形的性质、直角三角形的性质、勾股定理、三角形中位线定理等知识;熟练掌握平行四边形的性质,证出OE是三角形的中位线是解决问题的关键.14.(2016•张家界)如图,在△ABC中,点D、E、F分别是边AB、BC、CA上的中点,且AB=6cm,AC=8cm,则四边形ADEF的周长等于14cm.【分析】首先证明四边形ADEF是平行四边形,根据三角形中位线定理求出DE、EF即可解决问题.【解答】解:∵BD=AD,BE=EC,∴DE=AC=4cm,DE∥AC,∵CF=FA,CE=BE,∴EF=AB=3cm,EF∥AB,∴四边形ADEF是平行四边形,∴四边形ADEF的周长=2(DE+EF)=14cm.故答案为14.【点评】本题考查三角形中位线定理、平行四边形的判定和性质等知识,解题的关键是出现中点想到三角形中位线定理,记住三角形中位线平行于第三边且等于第三边的一半,属于中考常考题型.15.(2017秋•海宁市校级月考)如图,▱ABCD中,∠ABC=60°,E、F分别在CD和BC的延长线上,AE∥BD,EF⊥BC,EF=3,则AB 的长是.【分析】根据直角三角形性质求出CE长,利用勾股定理即可求出AB的长.【解答】解:∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB∥DC,AB=CD,∵AE∥BD,∴四边形ABDE是平行四边形,∴AB=DE=CD,即D为CE中点,∵EF⊥BC,∴∠EFC=90°,∵AB∥CD,∴∠DCF=∠ABC=60°,∴∠CEF=30°,∵EF=3,∴CE==2,∴AB=,故答案为:.【点评】本题考查了平行线性质,勾股定理,直角三角形斜边上中线性质,含30度角的直角三角形性质等知识点的应用,此题综合性比较强.16.(2017•河北区模拟)有3个正方形如图所示放置,阴影部分的面积依次记为S1,S2,则S1:S2=4:9.【分析】设大正方形的边长为x,再根据相似的性质求出S1、S2与正方形面积的关系,然后进行计算即可得出答案.【解答】解:设大正方形的边长为x,根据图形可得:∵=,∴=,∴=,∴S1=S正方形ABCD,∴S1=x2,∵=,∴=,∴S2=S正方形ABCD,∴S2=x2,∴S1:S2=x2:x2=4:9.故答案是:4:9.【点评】此题考查了正方形的性质,用到的知识点是正方形的性质、相似三角形的性质、正方形的面积公式,关键是根据题意求出S1、S2与正方形面积的关系.17.(2016•随州)如图,在△ABC中,∠ACB=90°,M、N分别是AB、AC的中点,延长BC至点D,使CD=BD,连接DM、DN、MN.若AB=6,则DN=3.【分析】连接CM,根据三角形中位线定理得到NM=CB,MN∥BC,证明四边形DCMN是平行四边形,得到DN=CM,根据直角三角形的性质得到CM=AB=3,等量代换即可.【解答】解:连接CM,∵M、N分别是AB、AC的中点,∴NM=CB,MN∥BC,又CD=BD,∴MN=CD,又MN∥BC,∴四边形DCMN是平行四边形,∴DN=CM,∵∠ACB=90°,M是AB的中点,∴CM=AB=3,∴DN=3,故答案为:3.【点评】本题考查的是三角形的中位线定理、直角三角形的性质、平行四边形的判定和性质,掌握三角形的中位线平行于第三边,并且等于第三边的一半是解题的关键.18.(2016•武汉)如图,在▱ABCD中,E为边CD上一点,将△ADE 沿AE折叠至△AD′E处,AD′与CE交于点F.若∠B=52°,∠DAE=20°,则∠FED′的大小为36°.【分析】由平行四边形的性质得出∠D=∠B=52°,由折叠的性质得:∠D′=∠D=52°,∠EAD′=∠DAE=20°,由三角形的外角性质求出∠AEF=72°,与三角形内角和定理求出∠AED′=108°,即可得出∠FED′的大小.【解答】解:∵四边形ABCD是平行四边形,∴∠D=∠B=52°,由折叠的性质得:∠D′=∠D=52°,∠EAD′=∠DAE=20°,∴∠AEF=∠D+∠DAE=52°+20°=72°,∠AED′=180°﹣∠EAD′﹣∠D′=108°,∴∠FED′=108°﹣72°=36°;故答案为:36°.【点评】本题考查了平行四边形的性质、折叠的性质、三角形的外角性质以及三角形内角和定理;熟练掌握平行四边形的性质和折叠的性质,求出∠AEF和∠AED′是解决问题的关键.19.(2016•东营)如图,在Rt△ABC中,∠B=90°,AB=4,BC>AB,点D在BC上,以AC为对角线的平行四边形ADCE中,DE 的最小值是4.【分析】首先证明BC∥AE,当DE⊥BC时,DE最短,只要证明四边形ABDE是矩形即可解决问题.【解答】解:∵四边形ADCE是平行四边形,∴BC∥AE,∴当DE⊥BC时,DE最短,此时∵∠B=90°,∴AB⊥BC,∴DE∥AB,∴四边形ABDE是平行四边形,∵∠B=90°,∴四边形ABDE是矩形,∴DE=AB=4,∴DE的最小值为4.故答案为4.【点评】本题考查平行四边形的性质、垂线段最短等知识,解题的关键是找到DE的位置,学会利用垂线段最短解决问题,属于中考常考题型.20.(2016•常德)如图,把平行四边形ABCD折叠,使点C与点A 重合,这时点D落在D1,折痕为EF,若∠BAE=55°,则∠D1AD= 55°.【分析】由平行四边形的性质和折叠的性质得出∠D1AE=∠BAD,得出∠D1AD=∠BAE=55°即可.【解答】解:∵四边形ABCD是平行四边形,∴∠BAD=∠C,由折叠的性质得:∠D1AE=∠C,∴∠D1AE=∠BAD,∴∠D1AD=∠BAE=55°;故答案为:55°.【点评】本题考查了平行四边形的性质、折叠的性质;由平行四边形和折叠的性质得出∠D1AE=∠BAD是解决问题的关键.21.(2016•常州)如图,△APB中,AB=2,∠APB=90°,在AB的同侧作正△ABD、正△APE和正△BPC,则四边形PCDE面积的最大值是1.【分析】先延长EP交BC于点F,得出PF⊥BC,再判定四边形CDEP 为平行四边形,根据平行四边形的性质得出:四边形CDEP的面积=EP×CF=a×b=ab,最后根据a2+b2=4,判断ab的最大值即可.【解答】解:延长EP交BC于点F,∵∠APB=90°,∠APE=∠BPC=60°,∴∠EPC=150°,∴∠CPF=180°﹣150°=30°,∴PF平分∠BPC,又∵PB=PC,∴PF⊥BC,设Rt△ABP中,AP=a,BP=b,则CF=CP=b,a2+b2=22=4,∵△APE和△ABD都是等边三角形,∴AE=AP,AD=AB,∠EAP=∠DAB=60°,∴∠EAD=∠PAB,∴△EAD≌△PAB(SAS),∴ED=PB=CP,同理可得:△APB≌△DCB(SAS),∴EP=AP=CD,∴四边形CDEP是平行四边形,∴四边形CDEP的面积=EP×CF=a×b=ab,又∵(a﹣b)2=a2﹣2ab+b2≥0,∴2ab≤a2+b2=4,∴ab≤1,即四边形PCDE面积的最大值为1.故答案为:1【点评】本题主要考查了等边三角形的性质、平行四边形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质,解决问题的关键是作辅助线构造平行四边形的高线.22.(2016•盐城)如图,已知菱形ABCD的边长2,∠A=60°,点E、F分别在边AB、AD上,若将△AEF沿直线EF折叠,使得点A恰好落在CD边的中点G处,则EF=.【分析】延长CD,过点F作FM⊥CD于点M,连接GB、BD,作FH⊥AE交于点H,由菱形的性质和已知条件得出∠MFD=30°,设MD=x,则DF=2x,FM=x,得出MG=x+1,由勾股定理得出(x+1)2+(x)2=(2﹣2x)2,解方程得出DF=0.6,AF=1.4,求出AH=AF=0.7,FH=,证明△DCB是等边三角形,得出BG⊥CD,由勾股定理求出BG=,设BE=y,则GE=2﹣y,由勾股定理得出()2+y2=(2﹣y)2,解方程求出y=0.25,得出AE、EH,再由勾股定理求出EF即可.【解答】解:延长CD,过点F作FM⊥CD于点M,连接GB、BD,作FH⊥AE交于点H,如图所示:∵∠A=60°,四边形ABCD是菱形,∴∠MDF=60°,∴∠MFD=30°,设MD=x,则DF=2x,FM=x,∵DG=1,∴MG=x+1,∴(x+1)2+(x)2=(2﹣2x)2,解得:x=0.3,∴DF=0.6,AF=1.4,∴AH=AF=0.7,FH=AF•sin∠A=1.4×=,∵CD=BC,∠C=60°,∴△DCB是等边三角形,∵G是CD的中点,∴BG⊥CD,∵BC=2,GC=1,∴BG=,设BE=y,则GE=2﹣y,∴()2+y2=(2﹣y)2,解得:y=0.25,∴AE=1.75,∴EH=AE﹣AH=1.75﹣0.7=1.05,∴EF===.故答案为:.【点评】本题考查了菱形的性质、翻折变换的性质、勾股定理、等边三角形的判定与性质等知识;本题综合性强,难度较大,运用勾股定理得出方程是解决问题的关键.23.(2016•丽水)如图,在菱形ABCD中,过点B作BE⊥AD,BF⊥CD,垂足分别为点E,F,延长BD至G,使得DG=BD,连结EG,FG,若AE=DE,则=.【分析】连接AC、EF,根据菱形的对角线互相垂直平分可得AC⊥BD,根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得AB=BD,然后判断出△ABD是等边三角形,再根据等边三角形的三个角都是60°求出∠ADB=60°,设EF与BD相交于点H,AB=4x,然后根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半求出EH,再求出DH,从而得到GH,利用勾股定理列式求出EG,最后求出比值即可.【解答】解:如图,连接AC、EF,在菱形ABCD中,AC⊥BD,∵BE⊥AD,AE=DE,∴AB=BD,又∵菱形的边AB=AD,∴△ABD是等边三角形,∴∠ADB=60°,设EF与BD相交于点H,AB=4x,∵AE=DE,∴由菱形的对称性,CF=DF,∴EF是△ACD的中位线,∴DH=DO=BD=x,在Rt△EDH中,EH=DH=x,∵DG=BD,∴GH=BD+DH=4x+x=5x,在Rt△EGH中,由勾股定理得,EG===2x,所以,==.故答案为:.【点评】本题考查了菱形的性质,等边三角形的判定与性质,勾股定理,三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半,难点在于作辅助线构造出直角三角形以及三角形的中位线.24.(2016•青岛)如图,在正方形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,E为BC上一点,CE=5,F为DE的中点.若△CEF的周长为18,则OF的长为.【分析】先根据直角三角形的性质求出DE的长,再由勾股定理得出CD的长,进而可得出BE的长,由三角形中位线定理即可得出结论.【解答】解:∵CE=5,△CEF的周长为18,∴CF+EF=18﹣5=13.∵F为DE的中点,∴DF=EF.∵∠BCD=90°,∴CF=DE,∴EF=CF=DE=6.5,∴DE=2EF=13,∴CD===12.∵四边形ABCD是正方形,∴BC=CD=12,O为BD的中点,∴OF是△BDE的中位线,∴OF=(BC﹣CE)=(12﹣5)=.故答案为:.【点评】本题考查的是正方形的性质,涉及到直角三角形的性质、三角形中位线定理等知识,难度适中.三.解答题(共16小题)25.(2016•北京)如图,四边形ABCD是平行四边形,AE平分∠BAD,交DC的延长线于点E.求证:DA=DE.【分析】由平行四边形的性质得出AB∥CD,得出内错角相等∠E=∠BAE,再由角平分线证出∠E=∠DAE,即可得出结论.【解答】证明:∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB∥CD,∴∠E=∠BAE,∵AE平分∠BAD,∴∠BAE=∠DAE,∴∠E=∠DAE,∴DA=DE.【点评】本题考查了平行四边形的性质、平行线的性质、等腰三角形的判定;熟练掌握平行四边形的性质,证出∠E=∠DAE是解决问题的关键.26.(2016•淄博)如图,已知△ABC,AD平分∠BAC交BC于点D,BC的中点为M,ME∥AD,交BA的延长线于点E,交AC于点F.(1)求证:AE=AF;(2)求证:BE=(AB+AC).【分析】(1)欲证明AE=AF,只要证明∠AEF=∠AFE即可.(2)作CG∥EM,交BA的延长线于G,先证明AC=AG,再证明BE=EG即可解决问题.【解答】证明:(1)∵DA平分∠BAC,∴∠BAD=∠CAD,∵AD∥EM,∴∠BAD=∠AEF,∠CAD=∠AFE,∴∠AEF=∠AFE,∴AE=AF.(2)作CG∥EM,交BA的延长线于G.∵EF∥CG,∴∠G=∠AEF,∠ACG=∠AFE,∵∠AEF=∠AFE,∴∠G=∠ACG,∴AG=AC,∵EM∥CG,∴=,∵BM=CM,∴BE=EG,∴BE=BG=(BA+AG)=(AB+AC).【点评】本题考查三角形中位线定理、角平分线的性质、等腰三角形的判定和性质等知识,解题的关键是添加辅助线,构造等腰三角形,以及三角形中位线,属于中考常考题型.27.(2017春•泉山区校级月考)已知:如图,矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O,CE∥DB,交AB的延长线于点E.求证:AC=EC.【分析】先由矩形的对角线相等得出AC=DB,再证明四边形CDBE 是平行四边形,得出对边相等DB=CE,即可得出AC=CE.【解答】证明:∵四边形ABCD是矩形,∴AC=DB,AB∥DC,∴DC∥BE,又∵CE∥DB,∴四边形CDBE是平行四边形,∴DB=CE,∴AC=CE.【点评】本题考查了矩形的性质以及平行四边形的判定与性质;熟练掌握矩形的性质和证明平行四边形是解决问题的关键.28.(2016•梅州)如图,平行四边形ABCD中,BD⊥AD,∠A=45°,E、F分别是AB、CD上的点,且BE=DF,连接EF交BD于O.(1)求证:BO=DO;(2)若EF⊥AB,延长EF交AD的延长线于G,当FG=1时,求AE的长.【分析】(1)由平行四边形的性质和AAS证明△OBE≌△ODF,得出对应边相等即可;(2)证出AE=GE,再证明DG=DO,得出OF=FG=1,即可得出结果.【解答】(1)证明:∵四边形ABCD是平行四边形,∴DC∥AB,∴∠OBE=∠ODF.在△OBE与△ODF中,∴△OBE≌△ODF(AAS).∴BO=DO.(2)解:∵EF⊥AB,AB∥DC,∴∠GEA=∠GFD=90°.∵∠A=45°,∴∠G=∠A=45°.∴AE=GE∵BD⊥AD,∴∠ADB=∠GDO=90°.∴∠GOD=∠G=45°.∴DG=DO,∴OF=FG=1,由(1)可知,OE=OF=1,∴GE=OE+OF+FG=3,∴AE=3.【点评】本题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质;熟练掌握平行四边形的性质,证明三角形全等是解决问题(1)的关键.29.(2016•北京)如图,在四边形ABCD中,∠ABC=90°,AC=AD,M,N分别为AC,CD的中点,连接BM,MN,BN.(1)求证:BM=MN;(2)∠BAD=60°,AC平分∠BAD,AC=2,求BN的长.【分析】(1)根据三角形中位线定理得MN=AD,根据直角三角形斜边中线定理得BM=AC,由此即可证明.(2)首先证明∠BMN=90°,根据BN2=BM2+MN2即可解决问题.【解答】(1)证明:在△CAD中,∵M、N分别是AC、CD的中点,∴MN∥AD,MN=AD,在RT△ABC中,∵M是AC中点,∴BM=AC,∵AC=AD,∴MN=BM.(2)解:∵∠BAD=60°,AC平分∠BAD,∴∠BAC=∠DAC=30°,由(1)可知,BM=AC=AM=MC,∴∠BMC=∠BAM+∠ABM=2∠BAM=60°,∵MN∥AD,∴∠NMC=∠DAC=30°,∴∠BMN=∠BMC+∠NMC=90°,∴BN2=BM2+MN2,由(1)可知MN=BM=AC=1,∴BN=。
数学 平行四边形的专项 培优练习题及答案

一、平行四边形真题与模拟题分类汇编(难题易错题)1.问题发现:(1)如图①,点P 为平行四边形ABCD 内一点,请过点P 画一条直线l ,使其同时平分平行四边形ABCD 的面积和周长.问题探究:(2)如图②,在平面直角坐标系xOy 中,矩形OABC 的边OA 、OC 分别在x 轴、y 轴正半轴上,点B 坐标为(8,6).已知点(6,7)P 为矩形外一点,请过点P 画一条同时平分矩形OABC 面积和周长的直线l ,说明理由并求出直线l ,说明理由并求出直线l 被矩形ABCD 截得线段的长度.问题解决:(3)如图③,在平面直角坐标系xOy 中,矩形OABCD 的边OA 、OD 分别在x 轴、y 轴正半轴上,DC x ∥轴,AB y ∥轴,且8OA OD ==,2AB CD ==,点(1052,1052)P --为五边形内一点.请问:是否存在过点P 的直线l ,分别与边OA 与BC 交于点E 、F ,且同时平分五边形OABCD 的面积和周长?若存在,请求出点E 和点F 的坐标:若不存在,请说明理由.【答案】(1)作图见解析;(2)25y x =-,353)(0,0)E ,(5,5)F .【解析】试题分析:(1)连接AC 、BD 交于点O ,作直线PO ,直线PO 将平行四边形ABCD 的面积和周长分别相等的两部分.(2)连接AC ,BD 交于点O ',过O '、P 点的直线将矩形ABCD 的面积和周长分为分别相等的两部分.(3)存在,直线y x =平分五边形OABCD 面积、周长.试题解析:(1)作图如下:(2)∵(6,7)P ,(4,3)O ',∴设:6PO y kx =+',67{43k b k b +=+=,2{5k b ==-, ∴25y x =-,交x 轴于5,02N ⎛⎫ ⎪⎝⎭, 交BC 于11,62M ⎛⎫ ⎪⎝⎭, 2211563522MN ⎛⎫=+-= ⎪⎝⎭.(3)存在,直线y x =平分五边形OABCD 面积、周长.∵(1052,102)P --在直线y x =上,∴连OP 交OA 、BC 于点E 、F ,设:BC y kx b =+,(8,2)(2,8)B C ,82{28k b k +=+=,1{10k b =-=, ∴直线:10BC y x =-+,联立10{y x y x =-+=,得55x y =⎧⎨=⎩, ∴(0,0)E ,(5,5)F .2.如图,四边形ABCD中,AD∥BC,∠A=90°,BD=BC,点E为CD的中点,射线BE交AD 的延长线于点F,连接CF.(1)求证:四边形BCFD是菱形;(2)若AD=1,BC=2,求BF的长.【答案】(1)证明见解析(2)3【解析】(1)∵AF∥BC,∴∠DCB=∠CDF,∠FBC=∠BFD,∵点E为CD的中点,∴DE=EC,在△BCE与△FDE中,FBC BFDDCB CDFDE EC∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩,∴△BCE≌△FDE,∴DF=BC,又∵DF∥BC,∴四边形BCDF为平行四边形,∵BD=BC,∴四边形BCFD是菱形;(2)∵四边形BCFD是菱形,∴BD=DF=BC=2,在Rt△BAD中,AB223BD AD-,∵AF=AD+DF=1+2=3,在Rt△BAF中,BF22AB AF+3.3.如图,在正方形ABCD中,E是边AB上的一动点,点F在边BC的延长线上,且CF AE=,连接DE,DF,EF. FH平分EFB∠交BD于点H.(1)求证:DE DF⊥;(2)求证:DH DF=:(3)过点H作HM EF⊥于点M,用等式表示线段AB,HM与EF之间的数量关系,并证明.【答案】(1)详见解析;(2)详见解析;(3)22EF AB HM =-,证明详见解析.【解析】【分析】(1)根据正方形性质, CF AE =得到DE DF ⊥.(2)由AED CFD △△≌,得DE DF =.由90ABC ∠=︒,BD 平分ABC ∠, 得45DBF ∠=︒.因为FH 平分EFB ∠,所以EFH BFH ∠=∠.由于45DHF DBF BFH BFH ∠=∠+∠=︒+∠,45DFH DFE EFH EFH ∠=∠+∠=︒+∠, 所以DH DF =.(3)过点H 作HN BC ⊥于点N ,由正方形ABCD 性质,得222BD AB AD AB =+=.由FH 平分,EFB HM EF HN BC ∠⊥⊥,,得HM HN =.因为4590HBN HNB ∠=︒∠=︒,,所以22sin 45HN BH HN HM ===︒. 由22cos 45DF EF DF DH ===︒,得22EF AB HM =-. 【详解】(1)证明:∵四边形ABCD 是正方形,∴AD CD =,90EAD BCD ADC ∠=∠=∠=︒.∴90EAD FCD ∠=∠=︒.∵CF AE =。
初二数学平行四边形和特殊四边形提高练习与常考题和培优题(含解析)之欧阳育创编

初二数学平行四边形和特殊四边形提高练习常考题和培优题时间:2021.02.04 创作:欧阳育一.选择题(共5小题)1.如图,把大小相同的两个矩形拼成如下形状,则△FBD是()A.等边三角形B.等腰直角三角形C.一般三角形D.等腰三角形2.如图,正方形ABCD和正方形CEFG中,点D在CG上,BC=,CE=3,H是AF的中点,那么CH的长是()A.3.5 B.C.D.23.如图,在矩形ABCD中,AB=4,BC=8,对角线AC、BD相交于点O,过点O作OE垂直AC交AD于点E,则AE的长是()A.3 B.5 C.2.4 D.2.54.如图,在△ABC中,CF⊥AB于F,BE⊥AC于E,M为BC 的中点,EF=7,BC=10,则△EFM的周长是()A.17 B.21 C.24 D.275.如图,在矩形ABCD中,AB=6,AD=8,P是AD上不与A 和D重合的一个动点,过点P分别作AC和BD的垂线,垂足为E、F,则PE+PF的值为()A.10 B.4.8 C.6 D.5二.填空题(共4小题)6.如图,在矩形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,AE 平分∠BAD交BC于点E,若∠CAE=15°,则∠BOE的度数等于.7.如图,将平行四边形ABCD的边DC延长到E,使CE=CD,连接AE交BC于F,∠AFC=n∠D,当n=时,四边形ABEC是矩形.8.如图,在正五边形ABCDE中,连接AC、AD、CE,CE交AD于点F,连接BF,则线段AC、BF、CD之间的关系式是.9.如图,在平面直角坐标系中,O为原点,四边形OABC是矩形,A(﹣10,0),C(0,3),点D是OA的中点,点P在BC边上运动,当△ODP是腰长为5的等腰三角形时,点P的坐标是.三.解答题(共31小题)10.如图,正方形ABCD中,AE=AB,直线DE交BC于点F,求∠BEF的度数.11.如图,梯形ABCD中,AD∥BC,AB=CD,对角线AC、BD 交于点O,AC⊥BD,E、F、G、H分别为AB、BC、CD、DA的中点.(1)求证:四边形EFGH为正方形;(2)若AD=1,BC=3,求正方形EFGH的边长.12.如图,点E、F分别是正方形ABCD的边CD和AD的中点,BE和CF交于点P.求证:AP=AB.13.如图,点P为正方形ABCD对角线BD上一点,PE⊥BC于E,PF⊥DC于F.(1)求证:PA=EF;(2)若正方形ABCD的边长为a,求四边形PFCE的周长.14.如图1,在正方形ABCD中,点E为BC上一点,连接DE,把△DEC沿DE折叠得到△DEF,延长EF交AB于G,连接DG.(1)求∠EDG的度数.(2)如图2,E为BC的中点,连接BF.①求证:BF∥DE;②若正方形边长为6,求线段AG的长.15.如图①,在正方形ABCD中,F是对角线AC上的一点,点E在BC的延长线上,且BF=EF.(1)求证:BF=DF;(2)求证:∠DFE=90°;(3)如果把正方形ABCD改为菱形,其他条件不变(如图②),当∠ABC=50°时,∠DFE=度.16.已知正方形ABCD中,对角线AC、BD相交于O.①如图1,若E是AC上的点,过A 作AG⊥BE于G,AG、BD 交于F,求证:OE=OF②如图2,若点E在AC的延长线上,AG⊥EB交EB的延长线于G,AG延长DB延长线于点F,其它条件不变,OE=OF还成立吗?17.如图,点P是菱形ABCD中对角线AC上的一点,且PE=PB.(1)求证:PE=PD;(2)求证:∠PDC=∠PEB;(3)若∠BAD=80°,连接DE,试求∠PDE的度数,并说明理由.18.如图,正方形ABCD中,AB=1,点P是BC边上的任意一点(异于端点B、C),连接AP,过B、D两点作BE⊥AP于点E,DF⊥AP于点F.(1)求证:EF=DF﹣BE;(2)若△ADF的周长为,求EF的长.19.如图,正方形ABCD的对角线AC、BD的交点为O,以O 为端点引两条互相垂直的射线OM、ON,分别交边AB、BC于点E、F.(1)求证:0E=OF;(2)若正方形的边长为4,求EF的最小值.20.如图,在正方形ABCD中,点E是边AD上任意一点,BE 的垂直平分线FG交对角AC于点F.求证:(1)BF=DF;(2)BF⊥FE.21.已知:如图所示,四边形ABCD中,∠ABC=∠ADC=90°,M是AC上任一点,O是BD的中点,连接MO,并延长MO到N,使NO=MO,连接BN与ND.(1)判断四边形BNDM的形状,并证明;(2)若M是AC的中点,则四边形BNDM的形状又如何?说明理由.22.如图,在△ABC中,O是边AC上的一动点,过点O作直线MN∥BC,设MN交∠BCA的平分线于点E,交∠BCA的外角平分线于点F.(1)求证:OE=OF;(2)当点O运动到何处时,四边形AECF是矩形?23.(1)如图矩形ABCD的对角线AC、BD交于点O,过点D 作DP∥OC,且DP=OC,连接CP,判断四边形CODP的形状并说明理由.(2)如果题目中的矩形变为菱形,结论应变为什么?说明理由.(3)如果题目中的矩形变为正方形,结论又应变为什么?说明理由.24.如图1,已知AB∥CD,AB=CD,∠A=∠D.(1)求证:四边形ABCD为矩形;(2)E是AB边的中点,F为AD边上一点,∠DFC=2∠BCE.①如图2,若F为AD中点,DF=1.6,求CF的长度:②如图2,若CE=4,CF=5,则AF+BC=,AF=.25.如图,直线a、b相交于点A,C、E分别是直线b、a上两点且BC⊥a,DE⊥b,点M、N是EC、DB的中点.求证:MN⊥BD.26.如图所示,在梯形ABCD中,AD∥BC,∠B=90°,AD=24cm,BC=26cm,动点P从点A出发沿AD方向向点D 以1cm/s的速度运动,动点Q从点C开始沿着CB方向向点B 以3cm/s的速度运动.点P、Q分别从点A和点C同时出发,当其中一点到达端点时,另一点随之停止运动.(1)经过多长时间,四边形PQCD是平行四边形?(2)经过多长时间,四边形PQBA是矩形?(3)经过多长时间,当PQ不平行于CD时,有PQ=CD.27.如图,E、F是正方形ABCD的边AD上的两个动点,满足AE=DF.连接CF交BD于G,连接BE交AG于H.已知正方形ABCD的边长为4cm,解决下列问题:(1)求证:BE⊥AG;(2)求线段DH的长度的最小值.28.如图,点M是矩形ABCD的边AD的中点,点P是BC边上一动点,PE⊥MC,PF⊥BM,垂足为E、F.(1)当矩形ABCD的长与宽满足什么条件时,四边形PEMF为矩形?猜想并证明你的结论.(2)在(1)中,当点P运动到什么位置时,矩形PEMF变为正方形,为什么?29.某校数学兴趣小组开展了一次课外活动,过程如下:如图①,正方形ABCD中,AB=4,将三角板放在正方形ABCD上,使三角板的直角顶点与D点重合.三角板的一边交AB于点P,另一边交BC的延长线于点Q.(1)求证:AP=CQ;(2)如图②,小明在图1的基础上作∠PDQ的平分线DE交BC于点E,连接PE,他发现PE和QE存在一定的数量关系,请猜测他的结论并予以证明;(3)在(2)的条件下,若AP=1,求PE的长.30.如图,在菱形ABCD中,AB=4cm,∠ADC=120°,点E、F 同时由A、C两点出发,分别沿AB、CB方向向点B匀速移动(到点B为止),点E的速度为1cm/s,点F的速度为2cm/s,经过t秒△DEF为等边三角形,求t的值.31.如图,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,点D是AC的中点,作∠ADB的角平分线DE交AB于点E,(1)求证:DE∥BC;(2)若AE=3,AD=5,点P为BC上的一动点,当BP为何值时,△DEP为等腰三角形.请直接写出所有BP的值.32.已知:如图,BF、BE分别是∠ABC及其邻补角的角平分线,AE⊥BE,垂足为点E,AF⊥BF,垂足为点F.EF分别交边AB、AC于点M、N.求证:(1)四边形AFBE是矩形;(2)BC=2MN.33.如图,在边长为5的菱形ABCD中,对角线BD=8,点O是直线BD上的动点,OE⊥AB于E,OF⊥AD于F.(1)对角线AC的长是,菱形ABCD的面积是;(2)如图1,当点O在对角线BD上运动时,OE+OF的值是否发生变化?请说明理由;(3)如图2,当点O在对角线BD的延长线上时,OE+OF的值是否发生变化?若不变请说明理由,若变化,请直接写出OE、OF之间的数量关系,不用明理由.34.如图,已知Rt△ABD≌Rt△FEC,且B、D、C、E在同一直线上,连接BF、AE.(1)求证:四边形ABFE是平行四边形.(2)若∠ABD=60°,AB=2cm,DC=4cm,将△ABD沿着BE方向以1cm/s的速度运动,设△ABD运动的时间为t,在△ABD 运动过程中,试解决以下问题:(1)当四边形ABEF是菱形时,求t的值;(2)是否存在四边形ABFE是矩形的情形?如果存在,求出t 的值,如果不存在,请说明理由.35.已知,矩形ABCD中,AB=4cm,BC=8cm,AC的垂直平分线EF分别交AD、BC于点E、F,垂足为O.(1)如图1,连接AF、CE.求证:四边形AFCE为菱形.(2)如图1,求AF的长.(3)如图2,动点P、Q分别从A、C两点同时出发,沿△AFB 和△CDE各边匀速运动一周.即点P自A→F→B→A停止,点Q自C→D→E→C停止.在运动过程中,点P的速度为每秒1cm,设运动时间为t秒.①问在运动的过程中,以A、P、C、Q四点为顶点的四边形有可能是矩形吗?若有可能,请求出运动时间t和点Q的速度;若不可能,请说明理由.②若点Q的速度为每秒0.8cm,当A、P、C、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时,求t的值.36.如图1,E,F是正方形ABCD的边上两个动点,满足AE=DF,连接CF交BD于G,连接BE交AG于点H(1)求证:AG⊥BE;(2)如图2,连DH,若正方形的边长为4,则线段DH长度的最小值是.37.如图,在菱形ABCD中,AB=2,∠DAB=60°,点E时AD 边的中点,点M时AB边上的一个动点(不与点A重合),延长ME交CD的延长线于点N,连接MD,AN.(1)求证:四边形AMDN是平行四边形.(2)填空:①当AM的值为时,四边形AMDN是矩形;②当AM的值为时,四边形AMDN是菱形.38.如图,已知正方形OABC的边长为4,顶点A、C分别在x、y轴的正半轴上,M是BC的中点,点P(0,m)是线段oc上的一动点9点P不与点O、C重合0,直线PM交AB的延长线于点D.(1)求点D的坐标;(用含m的代数式表示)(2)若△APD是以AP边为一腰的等腰三角形,求m的值.39.如图,在△ABC中,∠ABC=90°,点D为AC的中点,过点C作CE⊥BD于点E,过点A作BD的平行线,交CE的延长线于点F,在AF的延长线上截取FG=BD,连接BG、DF.(1)证明:四边形BDFG是菱形;(2)若AC=10,CF=6,求线段AG的长度.40.如图,在正方形ABCD中,点E在边AD上,点F在边BC 的延长线上,连接EF与边CD相交于点G,连接BE与对角线AC相交于点H,AE=CF,BE=EG.(1)求证:EF∥AC;(2)求∠BEF大小;(3)若EB=4,则△BAE的面积为.初二数学平行四边形和特殊四边形提高练习常考题和培优题参考答案与试题解析一.选择题(共5小题)1.(2012春•炎陵县校级期中)如图,把大小相同的两个矩形拼成如下形状,则△FBD是()A.等边三角形B.等腰直角三角形C.一般三角形D.等腰三角形【分析】根据正方形性质得出FG=BC,∠G=∠C=90°,GB=CD,根据SAS证△FGB≌△BCD,推出∠FBG=∠BDC,BF=BD,求出∠DBC+∠FBG=90°,求出∠FBD的度数即可.【解答】解:∵大小相同的两个矩形GFEB、ABCD,∴FG=BE=AD=BC,GB=EF=AB=CD,∠G=∠C=∠ABG=∠ABC=90°,∵在△FGB和△BCD中,∴△FGB≌△BCD,∴∠FBG=∠BDC,BF=BD,∵∠BDC+∠DBC=90°,∴∠DBC+∠FBG=90°,∴∠FBD=180°﹣90°=90°,即△FBD是等腰直角三角形,故选B.【点评】本题考查了等腰直角三角形,全等三角形的性质和判定,正方形性质的应用,关键是证出△FGB≌△BCD,主要考查学生运用性质进行推理的能力.2.(2015春•江阴市期中)如图,正方形ABCD和正方形CEFG中,点D在CG上,BC=,CE=3,H是AF的中点,那么CH的长是()A.3.5 B.C.D.2【分析】根据正方形的性质求出AB=BC=,CE=EF=3,∠E=90°,延长AD交EF于M,连接AC、CF,求出AM=4,FM=2,∠AMF=90°,根据正方形性质求出∠ACF=90°,根据直角三角形斜边上的中线性质求出CH=AF,根据勾股定理求出AF即可.【解答】解:∵正方形ABCD和正方形CEFG中,点D在CG 上,BC=,CE=3,∴AB=BC=,CE=EF=3,∠E=90°,延长AD交EF于M,连接AC、CF,则AM=BC+CE=4,FM=EF﹣AB=2,∠AMF=90°,∵四边形ABCD和四边形GCEF是正方形,∴∠ACD=∠GCF=45°,∴∠ACF=90°,∵H为AF的中点,∴CH=AF,在Rt△AMF中,由勾股定理得:AF==2,∴CH=,故选:C.【点评】本题考查了勾股定理,正方形的性质,直角三角形斜边上的中线的应用,解此题的关键是能正确作出辅助线,并求出AF的长和得出CH=AF,有一定的难度.3.(2015春•泗洪县校级期中)如图,在矩形ABCD中,AB=4,BC=8,对角线AC、BD相交于点O,过点O作OE垂直AC交AD于点E,则AE的长是()A.3 B.5 C.2.4 D.2.5【分析】根据矩形的性质得出∠CDE=90°,AD=BC=8,AB=DC=4,AO=OC,根据线段垂直平分线性质得出AE=CE,在Rt△CDE中,由勾股定理得出CE2=CD2+DE2,代入求出即可.【解答】解:∵在矩形ABCD中,AB=4,BC=8,∴∠CDE=90°,AD=BC=8,AB=DC=4,AO=OC,∵OE⊥AC,∴AE=CE,在Rt△CDE中,由勾股定理得:CE2=CD2+DE2,即AE2=42+(8﹣AE)2,解得:AE=5,故选B.【点评】本题考查了矩形的性质,勾股定理,线段垂直平分线性质的应用,解此题的关键是得出关于AE的方程.4.(2015秋•无锡期中)如图,在△ABC中,CF⊥AB于F,BE ⊥AC于E,M为BC的中点,EF=7,BC=10,则△EFM的周长是()A.17 B.21 C.24 D.27【分析】根据CF⊥AB于F,BE⊥AC于E,M为BC的中点,利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半,求出FM和ME 的长,即可求解.【解答】解:∵CF⊥AB,M为BC的中点,∴MF是Rt△BFC斜边上的中线,∴FM=BC=×10=5,同理可得,ME=BC=×10=5,又∵EF=7,∴△EFM的周长=EF+ME+FM=7+5+5=17.故选A.【点评】此题主要考查学生对直角三角形斜边上的中线这个知识点的理解和掌握,解答此题的关键是利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半,求出FM和ME的长.5.(2015春•乌兰察布校级期中)如图,在矩形ABCD中,AB=6,AD=8,P是AD上不与A和D重合的一个动点,过点P 分别作AC和BD的垂线,垂足为E、F,则PE+PF的值为()A.10 B.4.8 C.6 D.5【分析】连接OP,利用勾股定理列式求出BD,再根据矩形的对角线相等且互相平分求出OA、OD,然后根据S△AOD=S△AOP+S△DOP列方程求解即可.【解答】解:如图,连接OP,∵AB=6,AD=8,∴BD===10,∵四边形ABCD是矩形,∴OA=OD=×10=5,∵S△AOD=S△AOP+S△DOP,∴××6×8=×5•PE+×5•PF,解得PE+PF=4.8.故选B.【点评】本题考查了矩形的性质,三角形的面积,熟记性质并利用三角形的面积列出方程是解题的关键.二.填空题(共4小题)6.(2016春•东平县期中)如图,在矩形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,AE平分∠BAD交BC于点E,若∠CAE=15°,则∠BOE的度数等于75°.【分析】由矩形ABCD,得到OA=OB,根据AE平分∠BAD,得到等边三角形OAB,推出AB=OB,求出∠OAB、∠OBC的度数,根据平行线的性质和等角对等边得到OB=BE,根据三角形的内角和定理即可求出答案.【解答】解:∵四边形ABCD是矩形,∴AD∥BC,AC=BD,OA=OC,OB=OD,∠BAD=90°,∴OA=OB,∠DAE=∠AEB,∵AE平分∠BAD,∴∠BAE=∠DAE=45°=∠AEB,∴AB=BE,∵∠CAE=15°,∴∠DAC=45°﹣15°=30°,∠BAC=60°,∴△BAO是等边三角形,∴AB=OB,∠ABO=60°,∴∠OBC=90°﹣60°=30°,∵AB=OB=BE,∴∠BOE=∠BEO=(180°﹣30°)=75°.故答案为75°.【点评】本题主要考查了三角形的内角和定理,矩形的性质,等边三角形的性质和判定,平行线的性质,角平分线的性质,等腰三角形的判定等知识点,解此题的关键是求出∠OBC的度数和求OB=BE.7.(2014春•武昌区期中)如图,将平行四边形ABCD的边DC延长到E,使CE=CD,连接AE交BC于F,∠AFC=n∠D,当n= 2 时,四边形ABEC是矩形.【分析】首先根据四边形ABCD是平行四边形,得到四边形ABEC是平行四边形,然后证得FC=FE,利用对角线互相相等的四边形是矩形判定四边形ABEC是矩形.【解答】解:当∠AFC=2∠D时,四边形ABEC是矩形.∵四边形ABCD是平行四边形,∴BC∥AD,∠BCE=∠D,由题意易得AB∥EC,AB∥EC,∴四边形ABEC是平行四边形.∵∠AFC=∠FEC+∠BCE,∴当∠AFC=2∠D时,则有∠FEC=∠FCE,∴FC=FE,∴四边形ABEC是矩形,故答案为:2.【点评】此题考查了平行四边形的性质以及矩形的判定.此题难度适中,注意掌握数形结合思想的应用,解题的关键是了解矩形的判定定理.8.(2015春•南长区期中)如图,在正五边形ABCDE中,连接AC、AD、CE,CE交AD于点F,连接BF,则线段AC、BF、CD之间的关系式是AC2+BF2=4CD2.【分析】首先根据菱形的判定方法,判断出四边形ABCF是菱形,再根据菱形的性质,即可判断出AC⊥BF;然后根据勾股定理,可得OB2+OC2=BC2,据此推得AC2+BF2=4CD2即可.【解答】解:∵五边形ABCDE是正五边形,∴AB∥CE,AD∥BC,∴四边形ABCF是平行四边形,又∵AB=BC=CD=DE=EA,∴四边形ABCF是菱形,∴AC⊥BF,∴OB2+OC2=BC2,∵AC=2OC,BF=2OB,∴AC2+BF2=(2OC)2+(2OB)2=4OC2+4OB2=4BC2,又∵BC=CD,∴AC2+BF2=4CD2.故答案为:AC2+BF2=4CD2.【点评】(1)此题主要考查了菱形的判定和性质的应用,要熟练掌握,解答此题的关键是要明确:菱形是在平行四边形的前提下定义的,首先它是平行四边形,但它是特殊的平行四边形,特殊之处就是“有一组邻边相等”,因而就增加了一些特殊的性质和不同于平行四边形的判定方法.(2)此题还考查了勾股定理的应用:在任何一个直角三角形中,两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方,要熟练掌握.9.(2015春•株洲校级期中)如图,在平面直角坐标系中,O 为原点,四边形OABC是矩形,A(﹣10,0),C(0,3),点D是OA的中点,点P在BC边上运动,当△ODP是腰长为5的等腰三角形时,点P的坐标是(﹣4,3),或(﹣1,3),或(﹣9,3).【分析】先由矩形的性质求出OD=5,分情况讨论:(1)当OP=OD=5时;根据勾股定理求出PC,即可得出结果;(2)当PD=OD=5时;①作PE⊥OA于E,根据勾股定理求出DE,得出PC,即可得出结果;②作PF⊥OA于F,根据勾股定理求出DF,得出PC,即可得出结果.【解答】解:∵A(﹣10,0),C(0,3),∴OA=10,OC=3,∵四边形OABC是矩形,∴BC=OA=10,AB=OC=3,∵D是OA的中点,∴AD=OD=5,分情况讨论:(1)当OP=OD=5时,根据勾股定理得:PC==4,∴点P的坐标为:(﹣4,3);(2)当PD=OD=5时,分两种情况讨论:①如图1所示:作PE⊥OA于E,则∠PED=90°,DE==4,∴PC=OE=5﹣4=1,∴点P的坐标为:(﹣1,3);②如图2所示:作PF⊥OA于F,则DF==4,∴PC=OF=5+4=9,∴点P的坐标为:(﹣9,3);综上所述:点P的坐标为:(﹣4,3),或(﹣1,3),或(﹣9,3);故答案为:(﹣4,3),或(﹣1,3),或(﹣9,3).【点评】本题考查了矩形的性质、坐标与图形性质、等腰三角形的性质、勾股定理;熟练掌握矩形的性质,并能进行推理计算是解决问题的关键.三.解答题(共31小题)10.(2012春•西城区校级期中)如图,正方形ABCD中,AE=AB,直线DE交BC于点F,求∠BEF的度数.【分析】设∠BAE=x°,根据正方形性质推出AB=AE=AD,根据等腰三角形性质和三角形的内角和定理求出∠AEB和∠AED的度数,根据平角定义求出即可.【解答】解:设∠BAE=x°,∵四边形ABCD是正方形,∴∠BAD=90°,AB=AD,∵AE=AB,∴AB=AE=AD,∴∠ABE=∠AEB=(180°﹣∠BAE)=90°﹣x°,∠DAE=90°﹣x°,∠AED=∠ADE=(180°﹣∠DAE)=[180°﹣(90°﹣x°)]=45°+x°,∴∠BEF=180°﹣∠AEB﹣∠AED,=180°﹣(90°﹣x°)﹣(45°+x°),=45°,答:∠BEF的度数是45°.【点评】本题考查了三角形的内角和定理,等腰三角形性质,正方形性质的应用,解此题的关键是如何把已知角的未知角结合起来,题目比较典型,但是有一定的难度.11.(2012秋•高淳县期中)如图,梯形ABCD中,AD∥BC,AB=CD,对角线AC、BD交于点O,AC⊥BD,E、F、G、H分别为AB、BC、CD、DA的中点.(1)求证:四边形EFGH为正方形;(2)若AD=1,BC=3,求正方形EFGH的边长.【分析】(1)先由三角形的中位线定理求出四边相等,然后由AC⊥BD入手,进行正方形的判断.(2)连接EG,利用梯形的中位线定理求出EG的长,然后结合(1)的结论求出EH2=2,也即得出了正方形EHGF的边长.【解答】(1)证明:在△ABC中,∵E、F分别是AB、BC的中点,∴EF=同理FG=,GH=,HE=在梯形ABCD中,∵AB=DC,∴AC=BD,∴EF=FG=GH=HE∴四边形EFGH为菱形.设AC与EH交于点M在△ABD中,∵E、H分别是AB、AD的中点,∴EH∥BD,同理GH∥AC又∵AC⊥BD,∴∠BOC=90°.∴∠EHG=∠EMC=∠BOC=90°∴四边形EFGH为正方形.(2)解:连接EG,在梯形ABCD中,∵E、G分别是AB、DC的中点,∴EG=(AD+BC)=(1+3)=2,在Rt△HEG中,EG2=EH2+HG2,4=2EH2,EH2=2,则EH=.即四边形EFGH的边长为.【点评】此题考查了等腰梯形的性质及三角形、梯形的中位线定理,解答本题的关键是根据三角形的中位线定理得出EH=HG=GF=FE,这是本题的突破口.12.(2013秋•青岛期中)如图,点E、F分别是正方形ABCD 的边CD和AD的中点,BE和CF交于点P.求证:AP=AB.【分析】延长CF、BA交于点M,先证△BCE≌△CDF,再证△CDF≌△AMF得BA=MA由直角三角形中斜边中线等于斜边的一半,可得Rt△MBP中AP=BM,即AP=AB.【解答】证明:延长CF、BA交于点M,∵点E、F分别是正方形ABCD的边CD和AD的中点,∴BC=CD,∠BCE=∠CDF,CE=DF,∴△BCE≌△CDF,∴∠CBE=∠DCF.∵∠DCF+∠BCP=90°,∴∠CBE+∠BCP=90°,∴∠BPM=∠CBE+∠BCP=90°.又∵FD=FA,∠CDF=∠MAF,∠CFD=∠MFA,∴△CDF≌△AMF,∴CD=AM.∵CD=AB,∴AB=AM.∴PA是直角△BPM斜边BM上的中线,∴AP=BM,即AP=AB.【点评】本题考查了正方形各边长相等、各内角为直角的性质,全等三角形的判定和对应边相等的性质,直角三角形斜边中线长为斜边长一半的性质,本题中求证△CDF≌△AMF是解题的关键.13.(2015春•禹州市期中)如图,点P为正方形ABCD对角线BD上一点,PE⊥BC于E,PF⊥DC于F.(1)求证:PA=EF;(2)若正方形ABCD的边长为a,求四边形PFCE的周长.【分析】(1)连接PC,证四边形PFCE是矩形,求出EF=PC,证△ABP≌△CBP,推出AP=PC即可;(2)证△CBD是等腰直角三角形,求出BF、PF,求出周长即可.【解答】解:证明:(1)连接PC,∵四边形ABCD是正方形,∴AB=CB,∠ABD=∠CBD=45°,∠C=90°,在△ABP与△CBP中,,∴△ABP≌△CBP(SAS),∴PA=PC,∵PE⊥BC,PF⊥CD,∴∠PFC=90°,∠PEC=90°.又∵∠C=90°,∴四边形PFCE是矩形,∴EF=PC,∴PA=EF.(2)由(1)知四边形PFCE是矩形,∴PE=CF,PF=CE,又∵∠CBD=45°,∠PEB=90°,∴BE=PE,又BC=a,∴矩形PFCE的周长为2(PE+EC)=2(BE+EC)=2BC=2a.【点评】本题主要考查正方形的性质,全等三角形的性质和判定等知识点的连接和掌握,能证出AP=PC是解此题的关键.14.(2015秋•福建校级期中)如图1,在正方形ABCD中,点E为BC上一点,连接DE,把△DEC沿DE折叠得到△DEF,延长EF交AB于G,连接DG.(1)求∠EDG的度数.(2)如图2,E为BC的中点,连接BF.①求证:BF∥DE;②若正方形边长为6,求线段AG的长.【分析】(1)由正方形的性质可得DC=DA.∠A=∠B=∠C=∠ADC=90°,由折叠的性质得出∠DFE=∠C,DC=DF,∠1=∠2,再求出∠DFG=∠A,DA=DF,然后由“HL”证明Rt△DGA≌Rt△DGF,由全等三角形对应角相等得出∠3=∠4,得出∠2+∠3=45°即可;(2)①由折叠的性质和线段中点的定义可得CE=EF=BE,∠DEF=∠DEC,再由三角形的外角性质得出∠5=∠DEC,然后利用同位角相等,两直线平行证明即可;②设AG=x,表示出GF、BG,根据点E是BC的中点求出BE、EF,从而得到GE的长度,再利用勾股定理列出方程求解即可;【解答】(1)解:如图1所示:∵四边形ABCD是正方形,∴DC=DA.∠A=∠B=∠C=∠ADC=90°,∵△DEC沿DE折叠得到△DEF,∴∠DFE=∠C,DC=DF,∠1=∠2,∴∠DFG=∠A=90°,DA=DF,在Rt△DGA和Rt△DGF中,,∴Rt△DGA≌Rt△DGF(HL),∴∠3=∠4,∴∠EDG=∠3+∠2=∠ADF+∠FDC,=(∠ADF+∠FDC),=×90°,=45°;(2)①证明:如图2所示:∵△DEC沿DE折叠得到△DEF,E为BC的中点,∴CE=EF=BE,∠DEF=∠DEC,∴∠5=∠6,∵∠FEC=∠5+∠6,∴∠DEF+∠DEC=∠5+∠6,∴2∠5=2∠DEC,即∠5=∠DEC,∴BF∥DE;②解:设AG=x,则GF=x,BG=6﹣x,∵正方形边长为6,E为BC的中点,∴CE=EF=BE=×6=3,∴GE=EF+GF=3+x,在Rt△GBE中,根据勾股定理得:(6﹣x)2+32=(3+x)2,解得:x=2,即线段AG的长为2.【点评】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理、翻折变换的性质;熟练掌握正方形的性质,并能进行推理论证与计算是解决问题的关键.15.(2016春•召陵区期中)如图①,在正方形ABCD中,F是对角线AC上的一点,点E在BC的延长线上,且BF=EF.(1)求证:BF=DF;(2)求证:∠DFE=90°;(3)如果把正方形ABCD改为菱形,其他条件不变(如图②),当∠ABC=50°时,∠DFE= 50 度.【分析】(1)根据正方形的四条边都相等可得BC=DC,对角线平分一组对角可得∠BCF=∠DCF,然后利用“边角边”证明即可;(2)易证∠FBE=∠FEB,又因为∠FBE=∠FDC,所以可证明∠FEB=∠FDC,进而可证明∠DFE=90°;(3)根据全等三角形对应角相等可得∠CBF=∠CDF,根据等边对等角可得∠CBF=∠E,然后求出∠DFE=∠DCE,再根据两直线平行,同位角相等可得∠DCE=∠ABC,从而得解.【解答】(1)证明:在正方形ABCD中,BC=DC,∠BCF=∠DCF=45°,∵在△BCF和△DCF中,,∴△BCF≌△DCF(SAS);∴BF=DF;(2)证明:∵BF=EF,∴∠FBE=∠FEB,又∵∠FBE=∠FDC,∴∠FEB=∠FDC,又∵∠DGF=∠EGC,∴∠DFG=∠ECG=90°,即∠DFE=90°;(3)证明:由(1)知,△BCF≌△DCF,∴∠CBF=∠CDF,∵EE=FB,∴∠CBF=∠E,∵∠DGF=∠EGC(对顶角相等),∴180°﹣∠DGF﹣∠CDF=180°﹣∠EGC﹣∠E,即∠DFE=∠DCE,∵AB∥CD,∴∠DCE=∠ABC,∴∠DFE=∠ABC=50°,故答案为:50.【点评】本题考查了正方形的性质,全等三角形的判定与性质,菱形的性质,等边对等角的性质,熟记正方形的性质确定出∠BCF=∠DCF是解题的关键.16.(2015秋•泗县期中)已知正方形ABCD中,对角线AC、BD相交于O.①如图1,若E是AC上的点,过A 作AG⊥BE于G,AG、BD 交于F,求证:OE=OF②如图2,若点E在AC的延长线上,AG⊥EB交EB的延长线于G,AG延长DB延长线于点F,其它条件不变,OE=OF还成立吗?【分析】①由正方形的性质得出OA=OB,AC⊥BD,得出∠BOE=∠AOF=90°,由角的互余关系得出∠OBE=∠OAF,由ASA证明△BOE≌△AOF,得出对应边相等即可;②由正方形的性质得出OA=OB,AC⊥BD,得出∠BOE=∠AOF=90°,由角的互余关系得出∠OBE=∠OAF,由ASA证明△BOE≌△AOF,得出对应边相等即可.【解答】①证明:∵四边形ABCD是正方形,∴OA=OB,AC⊥BD,∴∠BOE=∠AOF=90°,∴∠OEB+∠OBE=90°,∵AG⊥BE,。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性,平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益,请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间:9:00-18:30)。
平行四边形和特殊四边形提高练习常考题和培优题TTA standardization office【TTA 5AB- TTAK 08- TTA 2C】平行四边形和特殊四边形提高练习常考题和培优题一.选择题(共5小题)1.如图,把大小相同的两个矩形拼成如下形状,则△FBD是()A.等边三角形B.等腰直角三角形C.一般三角形D.等腰三角形2.如图,正方形ABCD和正方形CEFG中,点D在CG上,BC=,CE=3,H是AF的中点,那么CH的长是()A.B.C.D.23.如图,在矩形ABCD中,AB=4,BC=8,对角线AC、BD相交于点O,过点O作OE垂直AC交AD于点E,则AE的长是()A.3 B.5 C.D.4.如图,在△ABC中,CF⊥AB于F,BE⊥AC于E,M为BC的中点,EF=7,BC=10,则△EFM的周长是()A.17 B.21 C.24 D.275.如图,在矩形ABCD中,AB=6,AD=8,P是AD上不与A和D重合的一个动点,过点P分别作AC和BD的垂线,垂足为E、F,则PE+PF的值为()A.10 B.C.6 D.5二.填空题(共4小题)6.如图,在矩形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,AE平分∠BAD交BC于点E,若∠CAE=15°,则∠BOE的度数等于.7.如图,将平行四边形ABCD的边DC延长到E,使CE=CD,连接AE交BC于F,∠AFC=n∠D,当n=时,四边形ABEC是矩形.8.如图,在正五边形ABCDE中,连接AC、AD、CE,CE交AD于点F,连接BF,则线段AC、BF、CD之间的关系式是.9.如图,在平面直角坐标系中,O为原点,四边形OABC是矩形,A(﹣10,0),C (0,3),点D是OA的中点,点P在BC边上运动,当△ODP是腰长为5的等腰三角形时,点P的坐标是.三.解答题(共31小题)10.如图,正方形ABCD中,AE=AB,直线DE交BC于点F,求∠BEF的度数.11.如图,梯形ABCD中,AD∥BC,AB=CD,对角线AC、BD交于点O,AC⊥BD,E、F、G、H分别为AB、BC、CD、DA的中点.(1)求证:四边形EFGH为正方形;(2)若AD=1,BC=3,求正方形EFGH的边长.12.如图,点E、F分别是正方形ABCD的边CD和AD的中点,BE和CF交于点P.求证:AP=AB.13.如图,点P为正方形ABCD对角线BD上一点,PE⊥BC于E,PF⊥DC于F.(1)求证:PA=EF;(2)若正方形ABCD的边长为a,求四边形PFCE的周长.14.如图1,在正方形ABCD中,点E为BC上一点,连接DE,把△DEC沿DE折叠得到△DEF,延长EF交AB于G,连接DG.(1)求∠EDG的度数.(2)如图2,E为BC的中点,连接BF.①求证:BF∥DE;②若正方形边长为6,求线段AG的长.15.如图①,在正方形ABCD中,F是对角线AC上的一点,点E在BC的延长线上,且BF=EF.(1)求证:BF=DF;(2)求证:∠DFE=90°;(3)如果把正方形ABCD改为菱形,其他条件不变(如图②),当∠ABC=50°时,∠DFE=度.16.已知正方形ABCD中,对角线AC、BD相交于O.①如图1,若E是AC上的点,过A 作AG⊥BE于G,AG、BD交于F,求证:OE=OF②如图2,若点E在AC的延长线上,AG⊥EB交EB的延长线于G,AG延长DB延长线于点F,其它条件不变,OE=OF还成立吗?17.如图,点P是菱形ABCD中对角线AC上的一点,且PE=PB.(1)求证:PE=PD;(2)求证:∠PDC=∠PEB;(3)若∠BAD=80°,连接DE,试求∠PDE的度数,并说明理由.18.如图,正方形ABCD中,AB=1,点P是BC边上的任意一点(异于端点B、C),连接AP,过B、D两点作BE⊥AP于点E,DF⊥AP于点F.(1)求证:EF=DF﹣BE;(2)若△ADF的周长为,求EF的长.19.如图,正方形ABCD的对角线AC、BD的交点为O,以O为端点引两条互相垂直的射线OM、ON,分别交边AB、BC于点E、F.(1)求证:0E=OF;(2)若正方形的边长为4,求EF的最小值.20.如图,在正方形ABCD中,点E是边AD上任意一点,BE的垂直平分线FG交对角AC于点F.求证:(1)BF=DF;(2)BF⊥FE.21.已知:如图所示,四边形ABCD中,∠ABC=∠ADC=90°,M是AC上任一点,O是BD的中点,连接MO,并延长MO到N,使NO=MO,连接BN与ND.(1)判断四边形BNDM的形状,并证明;(2)若M是AC的中点,则四边形BNDM的形状又如何?说明理由.22.如图,在△ABC中,O是边AC上的一动点,过点O作直线MN∥BC,设MN交∠BCA的平分线于点E,交∠BCA的外角平分线于点F.(1)求证:OE=OF;(2)当点O运动到何处时,四边形AECF是矩形?23.(1)如图矩形ABCD的对角线AC、BD交于点O,过点D作DP∥OC,且DP=OC,连接CP,判断四边形CODP的形状并说明理由.(2)如果题目中的矩形变为菱形,结论应变为什么?说明理由.(3)如果题目中的矩形变为正方形,结论又应变为什么?说明理由.24.如图1,已知AB∥CD,AB=CD,∠A=∠D.(1)求证:四边形ABCD为矩形;(2)E是AB边的中点,F为AD边上一点,∠DFC=2∠BCE.①如图2,若F为AD中点,DF=,求CF的长度:②如图2,若CE=4,CF=5,则AF+BC=,AF=.25.如图,直线a、b相交于点A,C、E分别是直线b、a上两点且BC⊥a,DE⊥b,点M、N是EC、DB的中点.求证:MN⊥BD.26.如图所示,在梯形ABCD中,AD∥BC,∠B=90°,AD=24cm,BC=26cm,动点P从点A出发沿AD方向向点D以1cm/s的速度运动,动点Q从点C开始沿着CB方向向点B以3cm/s的速度运动.点P、Q分别从点A和点C同时出发,当其中一点到达端点时,另一点随之停止运动.(1)经过多长时间,四边形PQCD是平行四边形?(2)经过多长时间,四边形PQBA是矩形?(3)经过多长时间,当PQ不平行于CD时,有PQ=CD.27.如图,E、F是正方形ABCD的边AD上的两个动点,满足AE=DF.连接CF交BD于G,连接BE交AG于H.已知正方形ABCD的边长为4cm,解决下列问题:(1)求证:BE⊥AG;(2)求线段DH的长度的最小值.28.如图,点M是矩形ABCD的边AD的中点,点P是BC边上一动点,PE⊥MC,PF⊥BM,垂足为E、F.(1)当矩形ABCD的长与宽满足什么条件时,四边形PEMF为矩形?猜想并证明你的结论.(2)在(1)中,当点P运动到什么位置时,矩形PEMF变为正方形,为什么?29.某校数学兴趣小组开展了一次课外活动,过程如下:如图①,正方形ABCD中,AB=4,将三角板放在正方形ABCD上,使三角板的直角顶点与D点重合.三角板的一边交AB于点P,另一边交BC的延长线于点Q.(1)求证:AP=CQ;(2)如图②,小明在图1的基础上作∠PDQ的平分线DE交BC于点E,连接PE,他发现PE和QE存在一定的数量关系,请猜测他的结论并予以证明;(3)在(2)的条件下,若AP=1,求PE的长.30.如图,在菱形ABCD中,AB=4cm,∠ADC=120°,点E、F同时由A、C两点出发,分别沿AB、CB方向向点B匀速移动(到点B为止),点E的速度为1cm/s,点F的速度为2cm/s,经过t秒△DEF为等边三角形,求t的值.31.如图,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,点D是AC的中点,作∠ADB的角平分线DE交AB于点E,(1)求证:DE∥BC;(2)若AE=3,AD=5,点P为BC上的一动点,当BP为何值时,△DEP为等腰三角形.请直接写出所有BP的值.32.已知:如图,BF、BE分别是∠ABC及其邻补角的角平分线,AE⊥BE,垂足为点E,AF⊥BF,垂足为点F.EF分别交边AB、AC于点M、N.求证:(1)四边形AFBE是矩形;(2)BC=2MN.33.如图,在边长为5的菱形ABCD中,对角线BD=8,点O是直线BD上的动点,OE⊥AB于E,OF⊥AD于F.(1)对角线AC的长是,菱形ABCD的面积是;(2)如图1,当点O在对角线BD上运动时,OE+OF的值是否发生变化?请说明理由;(3)如图2,当点O在对角线BD的延长线上时,OE+OF的值是否发生变化?若不变请说明理由,若变化,请直接写出OE、OF之间的数量关系,不用明理由.34.如图,已知Rt△ABD≌Rt△FEC,且B、D、C、E在同一直线上,连接BF、AE.(1)求证:四边形ABFE是平行四边形.(2)若∠ABD=60°,AB=2cm,DC=4cm,将△ABD沿着BE方向以1cm/s的速度运动,设△ABD运动的时间为t,在△ABD运动过程中,试解决以下问题:(1)当四边形ABEF是菱形时,求t的值;(2)是否存在四边形ABFE是矩形的情形?如果存在,求出t的值,如果不存在,请说明理由.35.已知,矩形ABCD中,AB=4cm,BC=8cm,AC的垂直平分线EF分别交AD、BC于点E、F,垂足为O.(1)如图1,连接AF、CE.求证:四边形AFCE为菱形.(2)如图1,求AF的长.(3)如图2,动点P、Q分别从A、C两点同时出发,沿△AFB和△CDE各边匀速运动一周.即点P自A→F→B→A停止,点Q自C→D→E→C停止.在运动过程中,点P的速度为每秒1cm,设运动时间为t秒.①问在运动的过程中,以A、P、C、Q四点为顶点的四边形有可能是矩形吗?若有可能,请求出运动时间t和点Q的速度;若不可能,请说明理由.②若点Q的速度为每秒,当A、P、C、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时,求t 的值.36.如图1,E,F是正方形ABCD的边上两个动点,满足AE=DF,连接CF交BD于G,连接BE交AG于点H(1)求证:AG⊥BE;(2)如图2,连DH,若正方形的边长为4,则线段DH长度的最小值是.37.如图,在菱形ABCD中,AB=2,∠DAB=60°,点E时AD边的中点,点M时AB边上的一个动点(不与点A重合),延长ME交CD的延长线于点N,连接MD,AN.(1)求证:四边形AMDN是平行四边形.(2)填空:①当AM的值为时,四边形AMDN是矩形;②当AM的值为时,四边形AMDN是菱形.38.如图,已知正方形OABC的边长为4,顶点A、C分别在x、y轴的正半轴上,M 是BC的中点,点P(0,m)是线段oc上的一动点9点P不与点O、C重合0,直线PM交AB的延长线于点D.(1)求点D的坐标;(用含m的代数式表示)(2)若△APD是以AP边为一腰的等腰三角形,求m的值.39.如图,在△ABC中,∠ABC=90°,点D为AC的中点,过点C作CE⊥BD于点E,过点A作BD的平行线,交CE的延长线于点F,在AF的延长线上截取FG=BD,连接BG、DF.(1)证明:四边形BDFG是菱形;(2)若AC=10,CF=6,求线段AG的长度.40.如图,在正方形ABCD中,点E在边AD上,点F在边BC的延长线上,连接EF 与边CD相交于点G,连接BE与对角线AC相交于点H,AE=CF,BE=EG.(1)求证:EF∥AC;(2)求∠BEF大小;(3)若EB=4,则△BAE的面积为.初二数学平行四边形和特殊四边形提高练习常考题和培优题参考答案与试题解析一.选择题(共5小题)1.(2012春?炎陵县校级期中)如图,把大小相同的两个矩形拼成如下形状,则△FBD是()A.等边三角形B.等腰直角三角形C.一般三角形D.等腰三角形【分析】根据正方形性质得出FG=BC,∠G=∠C=90°,GB=CD,根据SAS证△FGB ≌△BCD,推出∠FBG=∠BDC,BF=BD,求出∠DBC+∠FBG=90°,求出∠FBD的度数即可.【解答】解:∵大小相同的两个矩形GFEB、ABCD,∴FG=BE=AD=BC,GB=EF=AB=CD,∠G=∠C=∠ABG=∠ABC=90°,∵在△FGB和△BCD中,∴△FGB≌△BCD,∴∠FBG=∠BDC,BF=BD,∵∠BDC+∠DBC=90°,∴∠DBC+∠FBG=90°,∴∠FBD=180°﹣90°=90°,即△FBD是等腰直角三角形,故选B.【点评】本题考查了等腰直角三角形,全等三角形的性质和判定,正方形性质的应用,关键是证出△FGB≌△BCD,主要考查学生运用性质进行推理的能力.2.(2015春?江阴市期中)如图,正方形ABCD和正方形CEFG中,点D在CG上,BC=,CE=3,H是AF的中点,那么CH的长是()A.B.C.D.2【分析】根据正方形的性质求出AB=BC=,CE=EF=3,∠E=90°,延长AD交EF于M,连接AC、CF,求出AM=4,FM=2,∠AMF=90°,根据正方形性质求出∠ACF=90°,根据直角三角形斜边上的中线性质求出CH=AF,根据勾股定理求出AF即可.【解答】解:∵正方形ABCD和正方形CEFG中,点D在CG上,BC=,CE=3,∴AB=BC=,CE=EF=3,∠E=90°,延长AD交EF于M,连接AC、CF,则AM=BC+CE=4,FM=EF﹣AB=2,∠AMF=90°,∵四边形ABCD和四边形GCEF是正方形,∴∠ACD=∠GCF=45°,∴∠ACF=90°,∵H为AF的中点,∴CH=AF,在Rt△AMF中,由勾股定理得:AF==2,∴CH=,故选:C.【点评】本题考查了勾股定理,正方形的性质,直角三角形斜边上的中线的应用,解此题的关键是能正确作出辅助线,并求出AF的长和得出CH=AF,有一定的难度.3.(2015春?泗洪县校级期中)如图,在矩形ABCD中,AB=4,BC=8,对角线AC、BD相交于点O,过点O作OE垂直AC交AD于点E,则AE的长是()A.3 B.5 C.D.【分析】根据矩形的性质得出∠CDE=90°,AD=BC=8,AB=DC=4,AO=OC,根据线段垂直平分线性质得出AE=CE,在Rt△CDE中,由勾股定理得出CE2=CD2+DE2,代入求出即可.【解答】解:∵在矩形ABCD中,AB=4,BC=8,∴∠CDE=90°,AD=BC=8,AB=DC=4,AO=OC,∵OE⊥AC,∴AE=CE,在Rt△CDE中,由勾股定理得:CE2=CD2+DE2,即AE2=42+(8﹣AE)2,解得:AE=5,故选B.【点评】本题考查了矩形的性质,勾股定理,线段垂直平分线性质的应用,解此题的关键是得出关于AE的方程.4.(2015秋?无锡期中)如图,在△ABC中,CF⊥AB于F,BE⊥AC于E,M为BC 的中点,EF=7,BC=10,则△EFM的周长是()A.17 B.21 C.24 D.27【分析】根据CF⊥AB于F,BE⊥AC于E,M为BC的中点,利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半,求出FM和ME的长,即可求解.【解答】解:∵CF⊥AB,M为BC的中点,∴MF是Rt△BFC斜边上的中线,∴FM=BC=×10=5,同理可得,ME=BC=×10=5,又∵EF=7,∴△EFM的周长=EF+ME+FM=7+5+5=17.故选A.【点评】此题主要考查学生对直角三角形斜边上的中线这个知识点的理解和掌握,解答此题的关键是利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半,求出FM 和ME 的长.5.(2015春?乌兰察布校级期中)如图,在矩形ABCD 中,AB=6,AD=8,P 是AD 上不与A 和D 重合的一个动点,过点P 分别作AC 和BD 的垂线,垂足为E 、F ,则PE +PF 的值为( ) A .10 B .C .6D .5【分析】连接OP ,利用勾股定理列式求出BD ,再根据矩形的对角线相等且互相平分求出OA 、OD ,然后根据S △AOD =S △AOP +S △DOP 列方程求解即可. 【解答】解:如图,连接OP , ∵AB=6,AD=8, ∴BD===10,∵四边形ABCD 是矩形, ∴OA=OD=×10=5, ∵S △AOD =S △AOP +S △DOP ,∴××6×8=×5?PE +×5?PF , 解得PE +PF=. 故选B .【点评】本题考查了矩形的性质,三角形的面积,熟记性质并利用三角形的面积列出方程是解题的关键. 二.填空题(共4小题)6.(2016春?东平县期中)如图,在矩形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,AE平分∠BAD交BC于点E,若∠CAE=15°,则∠BOE的度数等于75°.【分析】由矩形ABCD,得到OA=OB,根据AE平分∠BAD,得到等边三角形OAB,推出AB=OB,求出∠OAB、∠OBC的度数,根据平行线的性质和等角对等边得到OB=BE,根据三角形的内角和定理即可求出答案.【解答】解:∵四边形ABCD是矩形,∴AD∥BC,AC=BD,OA=OC,OB=OD,∠BAD=90°,∴OA=OB,∠DAE=∠AEB,∵AE平分∠BAD,∴∠BAE=∠DAE=45°=∠AEB,∴AB=BE,∵∠CAE=15°,∴∠DAC=45°﹣15°=30°,∠BAC=60°,∴△BAO是等边三角形,∴AB=OB,∠ABO=60°,∴∠OBC=90°﹣60°=30°,∵AB=OB=BE,∴∠BOE=∠BEO=(180°﹣30°)=75°.故答案为75°.【点评】本题主要考查了三角形的内角和定理,矩形的性质,等边三角形的性质和判定,平行线的性质,角平分线的性质,等腰三角形的判定等知识点,解此题的关键是求出∠OBC的度数和求OB=BE.7.(2014春?武昌区期中)如图,将平行四边形ABCD的边DC延长到E,使CE=CD,连接AE交BC于F,∠AFC=n∠D,当n=2时,四边形ABEC是矩形.【分析】首先根据四边形ABCD是平行四边形,得到四边形ABEC是平行四边形,然后证得FC=FE,利用对角线互相相等的四边形是矩形判定四边形ABEC是矩形.【解答】解:当∠AFC=2∠D时,四边形ABEC是矩形.∵四边形ABCD是平行四边形,∴BC∥AD,∠BCE=∠D,由题意易得AB∥EC,AB∥EC,∴四边形ABEC是平行四边形.∵∠AFC=∠FEC+∠BCE,∴当∠AFC=2∠D时,则有∠FEC=∠FCE,∴FC=FE,∴四边形ABEC是矩形,故答案为:2.【点评】此题考查了平行四边形的性质以及矩形的判定.此题难度适中,注意掌握数形结合思想的应用,解题的关键是了解矩形的判定定理.8.(2015春?南长区期中)如图,在正五边形ABCDE中,连接AC、AD、CE,CE 交AD于点F,连接BF,则线段AC、BF、CD之间的关系式是AC2+BF2=4CD2.【分析】首先根据菱形的判定方法,判断出四边形ABCF是菱形,再根据菱形的性质,即可判断出AC⊥BF;然后根据勾股定理,可得OB2+OC2=BC2,据此推得AC2+BF2=4CD2即可.【解答】解:∵五边形ABCDE是正五边形,∴AB∥CE,AD∥BC,∴四边形ABCF是平行四边形,又∵AB=BC=CD=DE=EA,∴四边形ABCF是菱形,∴AC⊥BF,∴OB2+OC2=BC2,∵AC=2OC,BF=2OB,∴AC2+BF2=(2OC)2+(2OB)2=4OC2+4OB2=4BC2,又∵BC=CD,∴AC2+BF2=4CD2.故答案为:AC2+BF2=4CD2.【点评】(1)此题主要考查了菱形的判定和性质的应用,要熟练掌握,解答此题的关键是要明确:菱形是在平行四边形的前提下定义的,首先它是平行四边形,但它是特殊的平行四边形,特殊之处就是“有一组邻边相等”,因而就增加了一些特殊的性质和不同于平行四边形的判定方法.(2)此题还考查了勾股定理的应用:在任何一个直角三角形中,两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方,要熟练掌握.9.(2015春?株洲校级期中)如图,在平面直角坐标系中,O为原点,四边形OABC 是矩形,A(﹣10,0),C(0,3),点D是OA的中点,点P在BC边上运动,当△ODP是腰长为5的等腰三角形时,点P的坐标是(﹣4,3),或(﹣1,3),或(﹣9,3).【分析】先由矩形的性质求出OD=5,分情况讨论:(1)当OP=OD=5时;根据勾股定理求出PC,即可得出结果;(2)当PD=OD=5时;①作PE⊥OA于E,根据勾股定理求出DE,得出PC,即可得出结果;②作PF⊥OA于F,根据勾股定理求出DF,得出PC,即可得出结果.【解答】解:∵A(﹣10,0),C(0,3),∴OA=10,OC=3,∵四边形OABC是矩形,∴BC=OA=10,AB=OC=3,∵D是OA的中点,∴AD=OD=5,分情况讨论:(1)当OP=OD=5时,根据勾股定理得:PC==4,∴点P的坐标为:(﹣4,3);(2)当PD=OD=5时,分两种情况讨论:①如图1所示:作PE⊥OA于E,则∠PED=90°,DE==4,∴PC=OE=5﹣4=1,∴点P的坐标为:(﹣1,3);②如图2所示:作PF⊥OA于F,则DF==4,∴PC=OF=5+4=9,∴点P的坐标为:(﹣9,3);综上所述:点P的坐标为:(﹣4,3),或(﹣1,3),或(﹣9,3);故答案为:(﹣4,3),或(﹣1,3),或(﹣9,3).【点评】本题考查了矩形的性质、坐标与图形性质、等腰三角形的性质、勾股定理;熟练掌握矩形的性质,并能进行推理计算是解决问题的关键.三.解答题(共31小题)10.(2012春?西城区校级期中)如图,正方形ABCD中,AE=AB,直线DE交BC 于点F,求∠BEF的度数.【分析】设∠BAE=x°,根据正方形性质推出AB=AE=AD,根据等腰三角形性质和三角形的内角和定理求出∠AEB和∠AED的度数,根据平角定义求出即可.【解答】解:设∠BAE=x°,∵四边形ABCD是正方形,∴∠BAD=90°,AB=AD,∵AE=AB,∴AB=AE=AD,∴∠ABE=∠AEB=(180°﹣∠BAE)=90°﹣x°,∠DAE=90°﹣x°,∠AED=∠ADE=(180°﹣∠DAE)=[180°﹣(90°﹣x°)]=45°+x°,∴∠BEF=180°﹣∠AEB﹣∠AED,=180°﹣(90°﹣x°)﹣(45°+x°),=45°,答:∠BEF的度数是45°.【点评】本题考查了三角形的内角和定理,等腰三角形性质,正方形性质的应用,解此题的关键是如何把已知角的未知角结合起来,题目比较典型,但是有一定的难度.11.(2012秋?高淳县期中)如图,梯形ABCD中,AD∥BC,AB=CD,对角线AC、BD交于点O,AC⊥BD,E、F、G、H分别为AB、BC、CD、DA的中点.(1)求证:四边形EFGH为正方形;(2)若AD=1,BC=3,求正方形EFGH的边长.【分析】(1)先由三角形的中位线定理求出四边相等,然后由AC⊥BD入手,进行正方形的判断.(2)连接EG,利用梯形的中位线定理求出EG的长,然后结合(1)的结论求出EH2=2,也即得出了正方形EHGF的边长.【解答】(1)证明:在△ABC中,∵E、F分别是AB、BC的中点,∴EF=同理FG=,GH=,HE=在梯形ABCD中,∵AB=DC,∴AC=BD,∴EF=FG=GH=HE∴四边形EFGH为菱形.设AC与EH交于点M在△ABD中,∵E、H分别是AB、AD的中点,∴EH∥BD,同理GH∥AC又∵AC⊥BD,∴∠BOC=90°.∴∠EHG=∠EMC=∠BOC=90°∴四边形EFGH为正方形.(2)解:连接EG,在梯形ABCD中,∵E、G分别是AB、DC的中点,∴EG=(AD+BC)=(1+3)=2,在Rt△HEG中,EG2=EH2+HG2,4=2EH2,EH2=2,则EH=.即四边形EFGH的边长为.【点评】此题考查了等腰梯形的性质及三角形、梯形的中位线定理,解答本题的关键是根据三角形的中位线定理得出EH=HG=GF=FE,这是本题的突破口.12.(2013秋?青岛期中)如图,点E、F分别是正方形ABCD的边CD和AD的中点,BE和CF交于点P.求证:AP=AB.【分析】延长CF、BA交于点M,先证△BCE≌△CDF,再证△CDF≌△AMF得BA=MA由直角三角形中斜边中线等于斜边的一半,可得Rt△MBP中AP=BM,即AP=AB.【解答】证明:延长CF、BA交于点M,∵点E、F分别是正方形ABCD的边CD和AD的中点,∴BC=CD,∠BCE=∠CDF,CE=DF,∴△BCE≌△CDF,∴∠CBE=∠DCF.∵∠DCF+∠BCP=90°,∴∠CBE+∠BCP=90°,∴∠BPM=∠CBE+∠BCP=90°.又∵FD=FA,∠CDF=∠MAF,∠CFD=∠MFA,∴△CDF≌△AMF,∴CD=AM.∵CD=AB,∴AB=AM.∴PA是直角△BPM斜边BM上的中线,∴AP=BM,即AP=AB.【点评】本题考查了正方形各边长相等、各内角为直角的性质,全等三角形的判定和对应边相等的性质,直角三角形斜边中线长为斜边长一半的性质,本题中求证△CDF ≌△AMF是解题的关键.13.(2015春?禹州市期中)如图,点P为正方形ABCD对角线BD上一点,PE⊥BC 于E,PF⊥DC于F.(1)求证:PA=EF;(2)若正方形ABCD的边长为a,求四边形PFCE的周长.【分析】(1)连接PC,证四边形PFCE是矩形,求出EF=PC,证△ABP≌△CBP,推出AP=PC即可;(2)证△CBD是等腰直角三角形,求出BF、PF,求出周长即可.【解答】解:证明:(1)连接PC,∵四边形ABCD是正方形,∴AB=CB,∠ABD=∠CBD=45°,∠C=90°,在△ABP与△CBP中,,∴△ABP≌△CBP(SAS),∴PA=PC,∵PE⊥BC,PF⊥CD,∴∠PFC=90°,∠PEC=90°.又∵∠C=90°,∴四边形PFCE是矩形,∴EF=PC,∴PA=EF.(2)由(1)知四边形PFCE是矩形,∴PE=CF,PF=CE,又∵∠CBD=45°,∠PEB=90°,∴BE=PE,又BC=a,∴矩形PFCE的周长为2(PE+EC)=2(BE+EC)=2BC=2a.【点评】本题主要考查正方形的性质,全等三角形的性质和判定等知识点的连接和掌握,能证出AP=PC是解此题的关键.14.(2015秋?福建校级期中)如图1,在正方形ABCD中,点E为BC上一点,连接DE,把△DEC沿DE折叠得到△DEF,延长EF交AB于G,连接DG.(1)求∠EDG的度数.(2)如图2,E为BC的中点,连接BF.①求证:BF∥DE;②若正方形边长为6,求线段AG的长.【分析】(1)由正方形的性质可得DC=DA.∠A=∠B=∠C=∠ADC=90°,由折叠的性质得出∠DFE=∠C,DC=DF,∠1=∠2,再求出∠DFG=∠A,DA=DF,然后由“HL”证明Rt△DGA≌Rt△DGF,由全等三角形对应角相等得出∠3=∠4,得出∠2+∠3=45°即可;(2)①由折叠的性质和线段中点的定义可得CE=EF=BE,∠DEF=∠DEC,再由三角形的外角性质得出∠5=∠DEC,然后利用同位角相等,两直线平行证明即可;②设AG=x,表示出GF、BG,根据点E是BC的中点求出BE、EF,从而得到GE的长度,再利用勾股定理列出方程求解即可;【解答】(1)解:如图1所示:∵四边形ABCD是正方形,∴DC=DA.∠A=∠B=∠C=∠ADC=90°,∵△DEC沿DE折叠得到△DEF,∴∠DFE=∠C,DC=DF,∠1=∠2,∴∠DFG=∠A=90°,DA=DF,在Rt△DGA和Rt△DGF中,,∴Rt△DGA≌Rt△DGF(HL),∴∠3=∠4,∴∠EDG=∠3+∠2=∠ADF+∠FDC,=(∠ADF+∠FDC),=×90°,=45°;(2)①证明:如图2所示:∵△DEC沿DE折叠得到△DEF,E为BC的中点,∴CE=EF=BE,∠DEF=∠DEC,∴∠5=∠6,∵∠FEC=∠5+∠6,∴∠DEF+∠DEC=∠5+∠6,∴2∠5=2∠DEC,即∠5=∠DEC,∴BF∥DE;②解:设AG=x,则GF=x,BG=6﹣x,∵正方形边长为6,E为BC的中点,∴CE=EF=BE=×6=3,∴GE=EF+GF=3+x,在Rt△GBE中,根据勾股定理得:(6﹣x)2+32=(3+x)2,解得:x=2,即线段AG的长为2.【点评】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理、翻折变换的性质;熟练掌握正方形的性质,并能进行推理论证与计算是解决问题的关键.15.(2016春?召陵区期中)如图①,在正方形ABCD中,F是对角线AC上的一点,点E在BC的延长线上,且BF=EF.(1)求证:BF=DF;(2)求证:∠DFE=90°;(3)如果把正方形ABCD改为菱形,其他条件不变(如图②),当∠ABC=50°时,∠DFE=50度.【分析】(1)根据正方形的四条边都相等可得BC=DC,对角线平分一组对角可得∠BCF=∠DCF,然后利用“边角边”证明即可;(2)易证∠FBE=∠FEB,又因为∠FBE=∠FDC,所以可证明∠FEB=∠FDC,进而可证明∠DFE=90°;(3)根据全等三角形对应角相等可得∠CBF=∠CDF,根据等边对等角可得∠CBF=∠E,然后求出∠DFE=∠DCE,再根据两直线平行,同位角相等可得∠DCE=∠ABC,从而得解.【解答】(1)证明:在正方形ABCD中,BC=DC,∠BCF=∠DCF=45°,∵在△BCF和△DCF中,,∴△BCF≌△DCF(SAS);∴BF=DF;(2)证明:∵BF=EF,∴∠FBE=∠FEB,又∵∠FBE=∠FDC,∴∠FEB=∠FDC,又∵∠DGF=∠EGC,∴∠DFG=∠ECG=90°,即∠DFE=90°;(3)证明:由(1)知,△BCF≌△DCF,∴∠CBF=∠CDF,∵EE=FB,∴∠CBF=∠E,∵∠DGF=∠EGC(对顶角相等),∴180°﹣∠DGF﹣∠CDF=180°﹣∠EGC﹣∠E,即∠DFE=∠DCE,∵AB∥CD,∴∠DCE=∠ABC,∴∠DFE=∠ABC=50°,故答案为:50.【点评】本题考查了正方形的性质,全等三角形的判定与性质,菱形的性质,等边对等角的性质,熟记正方形的性质确定出∠BCF=∠DCF是解题的关键.16.(2015秋?泗县期中)已知正方形ABCD中,对角线AC、BD相交于O.①如图1,若E是AC上的点,过A 作AG⊥BE于G,AG、BD交于F,求证:OE=OF②如图2,若点E在AC的延长线上,AG⊥EB交EB的延长线于G,AG延长DB延长线于点F,其它条件不变,OE=OF还成立吗?【分析】①由正方形的性质得出OA=OB,AC⊥BD,得出∠BOE=∠AOF=90°,由角的互余关系得出∠OBE=∠OAF,由ASA证明△BOE≌△AOF,得出对应边相等即可;②由正方形的性质得出OA=OB,AC⊥BD,得出∠BOE=∠AOF=90°,由角的互余关系得出∠OBE=∠OAF,由ASA证明△BOE≌△AOF,得出对应边相等即可.【解答】①证明:∵四边形ABCD是正方形,∴OA=OB,AC⊥BD,∴∠BOE=∠AOF=90°,∴∠OEB+∠OBE=90°,∵AG⊥BE,∴∠AGE=90°,∴∠OEB+∠OAF=90°,∴∠OBE=∠OAF,在△BOE和△AOF中,,∴△BOE≌△AOF(ASA),∴OE=OF;②解:OE=OF还成立;理由如下:∵四边形ABCD是正方形,∴OA=OB,AC⊥BD,∴∠BOE=∠AOF=90°,∴∠OEB+∠OBE=90°,∵AG⊥BE,∴∠AGE=90°,∴∠OEB+∠OAF=90°,∴∠OBE=∠OAF,在△BOE和△AOF中,,∴△BOE≌△AOF(ASA),∴OE=OF.【点评】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质;熟练掌握正方形的性质,并能进行推理论证是解决问题的关键.17.(2016春?邳州市期中)如图,点P是菱形ABCD中对角线AC上的一点,且PE=PB.(1)求证:PE=PD;(2)求证:∠PDC=∠PEB;(3)若∠BAD=80°,连接DE,试求∠PDE的度数,并说明理由.【分析】(1)由菱形的性质得出AB=BC=CD=AD,AB∥CD,∠DCP=∠BCP,由SAS证明△CDP≌△CBP,得出PB=PD,再由PE=PB,即可得出结论;(2)由等腰三角形的性质得出∠PBC=∠PEB,由全等三角形的性质得出∠PDC=∠PBC,即可得出∠PDC=∠PEB;(3)由四边形内角和定理得出∠DPE=100°,由等腰三角形的性质和三角形内角和定理即可得出结果.【解答】(1)解:∵四边形ABCD是菱形,∴AB=BC=CD=AD,AB∥CD,∠DCP=∠BCP,在△DCP和△BCP中,,∴△CDP≌△CBP(SAS),∴PB=PD,∵PE=PB,∴PE=PD;(2)证明:∵PE=PB,∴∠PBC=∠PEB,∵△CDP≌△CBP,∴∠PDC=∠PBC,∴∠PDC=∠PEB;(3)解:如图所示:∠PDE=40°;理由如下:在四边形DPEC中,∵∠DPE=360°﹣(∠PDC+∠PEC+∠DCB)=360°﹣(∠PEB+∠PEC+∠DCB)=360°﹣(180°+80°)=100°,∵PE=PD∴∠PDE=∠PED=40°.【点评】本题考查了菱形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质;熟练掌握菱形的性质,证明三角形全等是解决问题的关键.18.(2016春?昆山市期中)如图,正方形ABCD中,AB=1,点P是BC边上的任意一点(异于端点B、C),连接AP,过B、D两点作BE⊥AP于点E,DF⊥AP于点F.(1)求证:EF=DF﹣BE;(2)若△ADF的周长为,求EF的长.【分析】(1)由正方形的性质得出AD=AB,证出∠DAF=∠ABE,由AAS证明△ADF≌△BAE,得出AF=BE,DF=AE,即可得出结论;(2)设DF=a,AF=b,EF=DF﹣AF=a﹣b>0,由已知条件得出DF+AF=,即a+b=,由勾股定理得出a2+b2=1,再由完全平方公式得出a﹣b即可.【解答】(1)证明:∵BE⊥AP,DF⊥AP,∴∠DFA=∠AEB=90°,∠ABE+∠BAE=90°,∵四边形ABCD为正方形,∴AD=AB,∠DAB=90°=∠DAF+∠BAE,∴∠DAF=∠ABE,在△ADF和△BAE中,,∴△ADF≌△BAE(AAS),∴AF=BE,DF=AE,∴EF=AE﹣AF=DF﹣BE;(2)解:设DF=a,AF=b,EF=DF﹣AF=a﹣b>0,∵△ADF的周长为,AD=1,∴DF+AF=,即a+b=,由勾股定理得:DF2+AF2=AD2,即a2+b2=1,∴(a﹣b)2=2(a2+b2)﹣(a+b)2=2﹣=,∴a﹣b=,即EF=.【点评】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识;熟练掌握正方形的性质,由勾股定理得出a与b的关系式是解决问题(2)的关键.19.(2015春?繁昌县期中)如图,正方形ABCD的对角线AC、BD的交点为O,以O为端点引两条互相垂直的射线OM、ON,分别交边AB、BC于点E、F.(1)求证:0E=OF;(2)若正方形的边长为4,求EF的最小值.【分析】(1)根据正方形的性质可得∠EAO=∠FBO=45°,OA=OB,再根据同角的余角相等可得∠AOE=∠BOE,然后利用“角边角”证明△AOE和△BOF全等,根据全等三角形对应边相等即可得证;(2)根据等腰直角三角形△EOF,当OE最小时,再根据勾股定理得出EF的最小值.【解答】解:(1)∵四边形ABCD是正方形,∴OA=OB,∠AOB=90°,∠EAO=∠FBO=45°,∴∠AOE+∠BOE=90°,∵OE⊥OF,∴∠BOF+∠BOE=90°,∴∠AOE=∠BOF,在△AOE与△BOF中,,∴△AOE≌△BOF(ASA),∴OE=OF;(2)由(1)可知,△EOF是等腰直角三角形,∠EOF是直角,当OE最小时,EF的值最小,∵OA=OB,OE⊥AB,∴点E是AB的中点,∴OE=AB,∵AB=4,∴OE=2,∴EF=,即EF的最小值是2.【点评】本题考查了正方形的性质,解决此类问题的关键是正确的利用旋转不变量.正确作出辅助线是关键.20.(2016春?江宁区期中)如图,在正方形ABCD中,点E是边AD上任意一点,BE的垂直平分线FG交对角AC于点F.求证:(1)BF=DF;(2)BF⊥FE.【分析】(1)由正方形的性质得出AB=AD,∠BAF=∠DAF=45°,由SAS证明△BAF≌△DAF,得出对应边相等即可;(2)由线段垂直平分线的性质得出BF=EF,证出EF=DF,得出∠FDE=∠FED,再由全等三角形的性质证出∠ABF=∠FED,由邻补角关系得出∠FED+∠FEA=180°,证出∠ABF+∠FEA=180°,由四边形内角和得出∠BAE+∠BFE=180°,求出∠BFE=90°即可.【解答】证明:如图所示:(1)∵四边形ABCD是正方形,∴AB=AD,∠BAF=∠DAF=45°,∠BAE=90°,在△BAF和△DAF中,,∴△BAF≌△DAF(SAS),∴BF=DF;(2)∵BE的垂直平分线FG交对角AC于点F,∴BF=EF,∵BF=DF,∴EF=DF,∴∠FDE=∠FED,∵△BAF≌△DAF,∴∠ABF=∠FDE,∴∠ABF=∠FED,∵∠FED+∠FEA=180°,∴∠ABF+∠FEA=180°,∴∠BAE+∠BFE=180°,∴∠BFE=90°,∴BF⊥FE.【点评】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、四边形内角和定理等知识;熟练掌握正方形的性质,证明三角形全等是解决问题的关键.。