第二章 生命表函数与生命表构造
第二章 生命表函数与生命表构造
设生存分布函数
s(t ) e , t 0, 其中 0为参数。 求死亡力（t）,（t）,F t）。 f （
t
例1.1答案
(t ) e t -s 根据定义：（t）= t s (t ) e f (t ) - s(t ) e
t t
死亡效力与生存函数的关系
s( x) exp{ s ds}
0 t x x t
px exp{ s ds} exp{ x s ds}
x 0
t
死亡效力
死亡效力与密度函数的关系
f ( x) x s( x) x exp{ s ds}
死力的性质
1、当x 0时， x 0； 2、对于任意x 0，都有 3、 x 是死力，则
＋ t 0 ＋ x
s ds ；
p x s ds 1
死力性质2的证明
s( x t ) 证：性质 、显然成立,由于t p x＝ 13 , 且 lim s( x) 0 s ( x) x 故有lim t p x＝lim
/(n 1)} , k 0, n 0, x 0
参数模型的问题
至今为止找不到非常合适的寿命分布拟合模型。 这四个常用模型的拟合效果不令人满意。 使用这些参数模型推测未来的寿命状况会产生 很大的误差 寿险中通常不使用参数模型拟合寿命分布，而 是使用非参数方法确定的生命表拟合人类寿命 的分布。 在非寿险领域，常用参数模型拟合物体寿命的 分布。
0
x
死亡效力表示剩余寿命的密度函数 fT (t ) & g (t )
s ( x) s ( x t ) FT (t ) t qx 1 t px s ( x) d d s ( x) s ( x t ) s ( x t ) x t fT (t ) FT (t ) t px x t dt dt s ( x) s ( x)
寿险精算第二讲：生命表构成及应用
生命表构建和运用学习重点：掌握生命表基本函数及其相互关系、了解生命表的编制方法及分类。
从概率论和数理统计角度出发、根据大数定律原则，研究人的寿命概率分布和生存函数，建立描述各年龄段死亡率的生命表来弥补生存函数的不足，从而形成较完善的生存（死亡）分布理论。
研究人类寿命的分布规律，讨论生命表构造情况是寿险精算学的基础。
在精算学中，生命表也称死亡率表或精算表。
生命表通常以10万（或100万）人作为0岁的生存人数，然后根据各年中死亡人数，各年末生存人数计算各年龄人口的死亡率、生存率，列成表格，直至此10万全部死亡为止。
生命表上所记载的死亡率、生存率是决定人寿保险费的重要依据。
是反映一个国家或一个区域人口生存死亡规律的调查统计表。
即追踪一批人，逐年记录该人群的死亡人数，得到该人群从出生到死亡为止的各年龄死亡率，并进一步构成表格式模型，称为生命表。
一、生命表简介1、生命表的编制生命表可以依据实际同时出生的一批人资料编制，即纵向跟踪这批人从出生到死亡的的全部过程。
这种生命表成为实际同批人生命表。
但在实际中取得这批人死亡事件的完整资料，而且这种生命表只能是历史的追述，不能说明现在某个时期的死亡水平。
通常采用假设同批人方法编制生命表，即把某一时期各个年龄的死亡水平当成同时出生的一批人各个年龄的死亡水平看待。
这样编制的生命表称为时期生命表或假设同批人生命表。
2、生命表的分类在人口分析中，可按性别、地区、种族等对人口进行分类，从而分别编制反映各类人口死亡规律的生命表。
（1）国民生命表和经验生命表：国民生命表根据全体国民或特定地区的人口统计资料编制的统计表；经验生命表是寿险公司根据被保险人的死亡记录所编制的生命表。
由于寿险公司要求被保险人体检合格后才予以承保，所以，经验生命表的死亡率通常低于国民生命表的死亡率。
（2）寿险生命表和年金生命表：由于逆选择现象的存在，选择年金的人一般对身体健康状况较为乐观，而选择寿险的人对身体状况不太乐观，这两类人群的死亡率是有明显区别的。
生命表函数
3、tdx=lx－l x+t =(lx-lx+1)+(lx+1-lx+2)+···+(lx+t－1－lx+t) x+t－ =dx+dx+1+···+dx+t－1 x+t－
例1 填写表中的空栏
x 101 102 103 104 105 40 0.3 1 lx 100 25 0.75 dx px qx
Ck
死亡人数d 死亡人数dx
中，在x岁和x+n岁之间死亡的人数，其中 中，在x岁和x+n岁之间死亡的人数，其中 Dk 0 (其他) (其他) 1 （在x岁之前死亡时） （在x 同理，nD ~bi（ 同理，nD x~bi（lx，n qx）。 记n dx=E（n Dx), =E（ 则n dx=lx nqx=lx－lx+n 当 n=1时，则 dx=lx－lx+1 n=1时，则
回忆一下条件概率的定义。假设两个时 间A和B，在B已发生条件下的概率是： ，在B P﹝A︱B﹞=P﹝AB﹞/P ﹝B﹞ =P﹝AB﹞ 因此对所有年龄x 因此对所有年龄x＞0的人， FX（t）=P﹝ T0≤x+t︱ T0＞t ﹞ =P﹝ ≤x+t︱ P﹝ x＜T0≤x+t ﹞ P﹝ T0＞x ﹞ F0(x+t) －F0(x) 1－F0(x)
生存函数
一个刚刚出生的个体（0 一个刚刚出生的个体（0岁），其未来 生存时间可作为一个随机变量，用T 生存时间可作为一个随机变量，用T0表示。 T0代表一个0岁的人未来生存的时间，也就 代表一个0 是他的寿命。T 是他的寿命。T0经常以年来计量。 假定T 是一个连续随即变量，T 假定T0是一个连续随即变量，T0可以取 任何比0 任何比0大的值。 用P﹝A﹞ 表示事件A发生的概率。 表示事件A 定义随机变量T 的分布函数F 定义随机变量T0的分布函数F0（t）为 F0（t）=P﹝T0≤t﹞ =P﹝ ≤t﹞ 根据定义， F0（t）是一个正好0岁的人 ）是一个正好0 不晚于t 不晚于t岁死亡的概率。
生态学-种群生命表及分析
2.4 特定年龄(动态)生命表
特定年龄生命表(age-specific life table)又称动 态生命表(dynamic life table)或同龄群生命表 (cohort life table) ：从大约同时出生或同时 孵化的一群个体(同龄群)开始,跟踪观察并记 录其死亡过程,直至全部个体死完为止。动态 生命表是根据对同年出生的所有个体进行存 活数动态监察资料编制而成的。 动态生命表中的个体经历了同样的环境条件,即 假定种群所经历的环境是没有变化的。
第二部分 种群生态学
第2章 种群生命表及分析
LIFE TABLE AND THE ANALYSIS
本章内容
2.1 生命表的基本概念 2.2 生命表的一般构成 2.3 特定时间(静态)生命表 2.4 特定年龄(动态)生命表 2.5 其他形式的生命表 2.6 生命表建立的一般步骤 2.7 生命表分析 2.8 有关概念总结和比较
优点：记录种群各年龄或个发育阶段死亡过 程的同时,还可以查明和记录死亡原因,从而 可以分析种群发育的薄弱环节,找出造成种 群数量下降的关键因素。 适用于：世代不重叠生物(如一化性昆虫)。
教材P101
2.5 其他形式的生命表
另外还有动态混合生命表、图解式生命表, 植物生命表等。 植物生命表: 其存活可用种子的萌发百分数 和实生苗的存活百分数来表示。
2.2 生命表的一般构成
x: 按年龄或一定时间划分的单位期限(如:日、周、 月等) nx: x期开始时的存活个体数(存活数) dx: 从年龄x→年龄x+1期间的死亡个体数(死亡数) lx: x期开始时存活个体的百分数(存活率)lx = nx/n1
qx:从年 qx= dx/ nx Lx: x→x+1期间的平均存活个体数或本年龄组的个体平均 寿命和, Lx = (nx+nx+1)/2 Tx: 种群全部个体的平均寿命和,Tx=∑Lx ex: x期开始时的平均生命期望值(平均余年),ex=Tx/nx 只有nx dx是直接观察值,其余参数为统计值。
生命表理论
解2.4
e • 在常数死亡力下， t px t ，则
e e e t
p25
15
0.04t
p25
, 0 t 15
p t15 40
0.0415
0.06(t 15)
,t 15
.
• 25岁的人在未来25年内的期望存活时间为
0
25
e25:25 0 t p25dt
死亡效力
•
( 定义：
x)
的瞬时死亡率，简记
x
x
S ( x) S ( x)
f (x) S ( x)
ln[S(x)]
• 死亡效力与生存函数的关系
x
S(x) exp{ sds} 0 xt
t px exp{ sds} x
人类的死亡效力曲线图示
死亡效力
0.05 0.04 0.03 0.02 0.01
lx l0 S (x)
• l0 个新生生命中在年龄x与x+n之间死亡的期
望个数n：dx
特别：n=1时，记作d x
n dx lx lxn lx n qx dx lx lx1 lx qx
生命表的构造
l0
t Lx
• 个新生生命在年龄x至xx+t t区间共存活年数：
t)
g(t)
d G(t) dt
d dt
S(x) S(x t)
S(x)
S(x t)xt
S(x)
t
px xt
例2.2
• 已知给出生存函数
S(x) 100 x 20
保险精算学笔记：生命表函数与生命表构造
《保险精算学》笔记：生命表函数与生命表构造第一节生命表函数一、生存函数1、定义：2、概率意义：新生儿能活到的概率3、与分布函数的关系：4、与密度函数的关系：二、剩余寿命1、定义：已经活到x岁的人（简记），还能继续存活的时间，称为剩余寿命，记作T(x)。
2、剩余寿命的分布函数5、：，它的概率意义为：将在未来的年去世的概率，简记3、剩余寿命的生存函数：，它的概率意义为：能活过岁的概率，简记特别：（1）（2）（3）（4）：将在岁与岁之间去世的概率4、整值剩余寿命（1）定义：未来存活的完整年数，简记（2）概率函数：5、剩余寿命的期望与方差（1）期望剩余寿命：剩余寿命的期望值（均值），简记（2）剩余寿命的方差：6、整值剩余寿命的期望与方差（1）期望整值剩余寿命：整值剩余寿命的期望值（均值），简记（2）整值剩余寿命的方差：2三、死亡效力1、定义：的人瞬时死亡率，记作2、死亡效力与生存函数的关系3、死亡效力与密度函数的关系4、死亡效力表示剩余寿命的密度函数记为剩余寿命的分布函数，为的密度函数，则第二节生命表的构造一、有关寿命分布的参数模型1、de Moivre模型（1729）2、Gompertz模型（1825）3、Makeham模型（1860）4、Weibull模型（1939）二、生命表的起源1、参数模型的缺点（1）至今为止找不到非常合适的寿命分布拟合模型。
这四个常用模型的拟合效果不令人满意。
（2）使用这些参数模型推测未来的寿命状况会产生很大的误差（3）寿险常不使用参数模型拟合寿命分布，而是使用非参数方法确定的生命表拟合人类寿命的分布。
（4）在非寿险领域，常用参数模型拟合物体寿命的分布。
2、生命表的起源（1）生命表的定义根据已往一定时期各种年龄的死亡统计资料编制成的由每个年龄死亡率所组成的汇总表.（2）生命表的发展历史1662年,Jone Graunt,根据伦敦瘟疫时期的洗礼和死亡,写过《生命表的自然和政治观察》。
中国海洋大学寿险精算讲义[1]75页PPT
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定义：已经活到x岁的人（简记(x)），还 能继续存活的时间，称为剩余寿命，记 作T(x)，T(x)=X-x，如新生儿的剩余寿命 T(0)=X。
剩余寿命的分布函数t q x ：
tqxPr(T(X)t)pr(xXxt Xx)
s(x)s(xt)1s(xt)
s(x)
s(x)
5、剩余寿命的概率密度函数
remember the relationship between the distribution function and the probability density function）
2、新生儿死亡年龄分布函数
（distributiox)
意义：新生儿在 x 岁之前死亡的概率。
与密度函数的关系：f
(x)
dF (x) dx
新生儿将在x岁至z岁之间死亡的概率：
P r(x X z) F (z) F (x )
3、死亡年龄的生存函数
tables
第一节 生命表函数
1、新生儿死亡年龄 （newborn’s age at death）
Consider a newborn, this newborn’s age-at death, X,is a continuous type random varible ,so it has its distribution function, probability density function and survival function
F(x),S(x),f(x)和死亡效力的关系图
——
F (x)
S (x)
死亡年龄 生命表 剩余寿命 整数剩余寿命 死亡效力 极限年龄 选择与终极生命表
Age-at-death Life table Time-until-death Curtate-future-lifetime Force of mortality Limiting age Select-and-ultimate
保险精算学讲义(doc 90页)
保险精算学讲义(doc 90页)第一章：利息理论基础第一节：利息的度量一、利息的定义利息产生在资金的所有者和使用者不统一的场合，它的实质是资金的使用者付给资金所有者的租金，用以补偿所有者在资金租借期内不能支配该笔资金而蒙受的损失。
二、利息的度量利息可以按照不同的标准来度量，主要的度量方式有1、按照计息时刻划分：期末计息：利率期初计息：贴现率2、按照积累方式划分：（1）线性积累：单利计息（2）一年转换次：名义利率（名义贴现率）（3）连续计息（一年转换无穷次）：利息效力特别，恒定利息效力场合有三、变利息1、什么是变利息2、常见的变利息情况（1）连续变化场合（2）离散变化场合第二节：利息问题求解原则一、利息问题求解四要素1、原始投资本金2、投资时期的长度3、利率及计息方式4、本金在投资期末的积累值二、利息问题求解的原则1、本质任何一个有关利息问题的求解本质都是对四要素知三求一的问题。
2、工具现金流图：一维坐标图，记录资金按时间顺序投入或抽出的示意图。
3、方法建立现金流分析方程（求值方程）4、原则在任意时间参照点，求值方程等号两边现时值相等。
第三节：年金一、年金的定义与分类1、年金的定义：按一定的时间间隔支付的一系列付款称为年金。
原始含义是限于一年支付一次的付款，现已推广到任意间隔长度的系列付款。
2、年金的分类：（1）基本年金约束条件：等时间间隔付款付款频率与利息转换频率一致每次付款金额恒定（2）一般年金不满足基本年金三个约束条件的年金即为一般年金。
二、基本年金1、分类（1）付款时刻不同：初付年金/延付年金（2）付款期限不同：有限年金/永久年金2、基本年金公式推导3、变利率年金问题（1）时期变利率（第个时期利率为）（2）付款变利率（第次付款的年金始终以利率计息）三、一般年金1、分类（1）支付频率不同于计息频率（2）变额年金2、支付频率不同于计息频率年金（1）支付频率小于计息频率的年金分析方法一：利率转换方法二：年金的代数分析（2）支付频率大于计息频率的年金分析方法一：利率转换方法二：年金的代数分析（3）连续年金特别，在常数利息效力场合3、变额年金（1）等差年金初始投资P元，等差Q元的年金的一般公式：现时值：积累值：特别地，递增年金：P=Q=1现时值：积累值：递减年金：P=n，Q=-1现时值：积累值：（2）等比年金（下一期年金值为前一期年金值的（）倍）现时值：积累值：第四节：收益率一、收益率的概念1、贴现资金流与现金流动表2、收益率的定义：使得投资返回净现时值等于零时的利率称为收益率。
第二章生命表函数与生命表构造
第⼆章⽣命表函数与⽣命表构造第⼆章⽣命表函数与⽣命表构造第⼀节⽣命表函数⼀、⽣存函数1、定义：2、概率意义：新⽣⼉能活到的概率3、与分布函数的关系：4、与密度函数的关系：⼆、剩余寿命1、定义：已经活到x岁的⼈（简记），还能继续存活的时间，称为剩余寿命，记作T(x)。
2、剩余寿命的分布函数5、：，它的概率意义为：将在未来的年内去世的概率，简记3、剩余寿命的⽣存函数：，它的概率意义为：能活过岁的概率，简记特别：（1）（2）（3）（4）：将在岁与岁之间去世的概率4、整值剩余寿命（1）定义：未来存活的完整年数，简记（2）概率函数：5、剩余寿命的期望与⽅差（1）期望剩余寿命：剩余寿命的期望值（均值），简记（2）剩余寿命的⽅差：6、整值剩余寿命的期望与⽅差（1）期望整值剩余寿命：整值剩余寿命的期望值（均值），简记（2）整值剩余寿命的⽅差：2三、死亡效⼒1、定义：的⼈瞬时死亡率，记作2、死亡效⼒与⽣存函数的关系3、死亡效⼒与密度函数的关系4、死亡效⼒表⽰剩余寿命的密度函数记为剩余寿命的分布函数，为的密度函数，则第⼆节⽣命表的构造⼀、有关寿命分布的参数模型1、de Moivre模型（1729）2、Gompertz模型（1825）3、Makeham模型（1860）4、Weibull模型（1939）⼆、⽣命表的起源1、参数模型的缺点（1）⾄今为⽌找不到⾮常合适的寿命分布拟合模型。
这四个常⽤模型的拟合效果不令⼈满意。
（2）使⽤这些参数模型推测未来的寿命状况会产⽣很⼤的误差（3）寿险中通常不使⽤参数模型拟合寿命分布，⽽是使⽤⾮参数⽅法确定的⽣命表拟合⼈类寿命的分布。
（4）在⾮寿险领域，常⽤参数模型拟合物体寿命的分布。
2、⽣命表的起源（1）⽣命表的定义根据已往⼀定时期内各种年龄的死亡统计资料编制成的由每个年龄死亡率所组成的汇总表.（2）⽣命表的发展历史1662年,Jone Graunt,根据伦敦瘟疫时期的洗礼和死亡名单,写过《⽣命表的⾃然和政治观察》。
第2章 生命表基础
t +u
px
条件生存函数
进一步地，有：
t |u
qx = Pr(t < T ( x ) ≤ t + u ) = Pr(T ( x ) > t ) ⋅ Pr(T ( x ) ≤ t + u | T ( x ) > t ) = t px ⋅ u qx +t
条件生存函数：
t +u
px =
t |u
px = t p x ⋅ u px +t =
常见精算符号及其含义（3）
0岁的人与x岁的人（x）：X与T(x) 死亡力：µx 生存函数或分布（死亡）函数： FX(x) 与SX(x)、 xq0与xp0 FT(x)(t) 与ST(x)(t) 、fT(x)(t) 、tqx与tpx t|uqx 密度函数：fX(x)与fT(x)(t)
例2.1：P31
常见生存事件的概率
新生儿将在x岁至y岁（x<y）之间死亡的概率：
Pr( x < X ≤ y ) = SX ( x) − SX ( y )
新生儿活过x岁的条件下能活过y岁（x<y）的概率： SX ( y ) Pr( X > y | X > x ) = SX ( x) 新生儿在x岁仍活着而在x岁和y岁（x<y）之间死亡 的概率： SX ( x ) − SX ( y )
px l x +1 l x − l x +1 dx = ， qx = = lx lx lx
生命表的构造－－人年数
l0 个新生生命在年龄x至x+t区间共存活年数： Lx t
t
Lx = ∫
x +t
x
l y dy
当t=1时，有： L x =
第二章 生命表
d x n lx n d x n q n| x lx lx lx n （2）
n
px qx n
•
lx n lx n m q n px n m px n px m qx n |m x n lx
• 生命表的特点
– 构造原理简单、数据准确（大样本场合）、不依赖总体分布 假定（非参数方法）
生命表的构造
• 原理
– 在大数定理的基础上，用观察数据计算各年龄人群 的生存概率。（用频数估计频率）
• 常用符号
– 新生生命组个体数：l0 – 年龄：x – 极限年龄：
生命表的构造
• l0个新生生命能生存到年龄X的期望个数：x l
t
Lx l y dy
x
x t
• l0 个新生生命中能活到年龄x的个体的剩余寿命总 数： x T
Tx l y dy
x
Tx ex lx
oHale Waihona Puke 生命表实例（美国全体人口生命表）
年龄区 死亡比 期初生 期间死亡 间 例 存数 数 在年龄区间 共存活年数
有关寿命分布的参数模型
• Makeham模型(1860)
x A Bc
x
s ( x) exp{ Ax B (c x 1) / ln c} , B 0,A -B,c 1,x 0
• Weibull模型(1939)
x kx n
s ( x) exp{kx n 1 /(n 1)} , k 0, n 0, x 0
s( x) s( x t ) G (t ) 1 t px s( x) d d s ( x) s ( x t ) s ( x t ) x t g (t ) G (t ) t px x t dt dt s( x) s( x)
2,生命表和生命函数
➢ 有了死力概念，即可得出存活概率与死 亡概率的连续型表达式：
x
lx l0e0 ydy
n
p e n x
0 xt dt
n
n qx
1
e
0
xt
dt
n
0 t px xtdt
生命表和生命函数
➢ 生命表函数（续） ➢ Lx： 的人在 x 岁和
岁间活的总年数；
Lx
1 0
l
xt
xt
பைடு நூலகம்
tdt
lx1
1
0 lxt dt
假如死亡人数在每个年龄区间上均匀分布，则
Lx
lx
lx1 2
生命表和生命函数
➢ 生命表函数（续）
➢ Tx：x岁的人群未来累计存活总年数；
Tx 0 lxt xttdt 0 lxt dt
x1
Tx Lx Lx1 L1
Lxt
t 0
生命表和生命函数
➢ 生命表函数（续）
➢ K(x)：x岁的人群未来存活的整年数；
K ( x) [Tx ]
生命表和生命函数
➢ 生命表函数（续）
➢平均余命：取整平均余命及完全平均余命
➢取整：
ex
K (x) lx
E[K ( x)]
KP[K ( x) k ]
P k 1 x
k 0
k 0
➢完全：
ex
Tx lx
E[Tx ]
lxt dt 0 lx
死亡率的改进
➢ 死亡率的改进 ➢ 例：
➢ A公司：经过体检的不吸烟者死亡率首年度为 55%×生命表首年度死亡率，以后逐年递增到60% 或70%；经过体检的吸烟者，首年度调整因子为 115%，以后逐年递减到110%
2.2生命表
p65 (1 q65 )(1 q66 )(1 q67 )(1 q68 )(1 q69 )(1 q70 )(1 q71 )(1 q72 ) 0.52941
• 内容小结 (1)生命表函数的计算 (2) 生命表的特点与构造原理 (3)选择终极生命表 作业： P39 2.4
0 t
6.剩余寿命总和Tx
t
能活到x岁的所有个体的剩余寿命总和记作Tx Tx
7.中位死亡率mx 中位死亡率是指x岁的人平均每存活一年会发生的死亡数，记作mx dx mx = Lx
x
0
lx t dt
8.剩余寿命 ex 能活到x岁的个体平均剩余寿命记作 ex Tx ex lx
0 0
0
2.2.1生命表的起源
• 生命表的发展历史 1662年，英国数学家Jone Graunt根据17世纪初写过 《生命表的自然和政治观察》一书中通过对60年来伦敦居 民出生和死亡数据的统计分析得出一个重要的人口统计规 律：尽管单个人的死亡是不可预测的，但是对于一大群人 而言，在无传染病的情况下，他们的死亡具有稳定的统计 规律。 1693年，Hally制作了《哈雷死亡表》，第一次使用表 格估计了不同年龄的死亡率，该表对现代人寿保险的形成 和国民寿命的统计工作产生巨大的推动作用，所以现在通 常把Hally称为生命表的创始人。
.0424 .0463 .0507 .0554 .0607 .0664 .0727
.0518 .0566 .0620 .0678 .0742 .0812 .0889
.0596 .0652 .0714 .0781 .0855 .0936 .1024
66 67 68 69 70 71 72
例2.2.2
例2. 2.1
寿险理论中的生命表与生命函数
,
,
岁起 一 直 到 生 存 少 数 成 为
,
的这段时 间 内 生命表
各种 函 数
飞
、
。
以 统 计 数 字 表 明 每 年死 亡 生 存 状 态 的 表
1 9 98 《 新疆金 融 》
与生 命函 数 有 关 的 随 机 变量
年 第 四 期 ( 曾第
、
2 12
期)
①
龄
。
是指 新 生 婴 儿
的 分 布 函数
一寿
右 垂 垂企
山 山 ,, ,
幢 皿 组 口 国
任 企份 釜 任 任
企 啥企
份垂
企份
份 企 手垂 垂
份垂
份 份手 垂 协份 协 板
滋 币 盛 甲 吊 谧 通 爪 泣 协 爪 邝 味 曦 旅 d
申 甲 喇 甲
险 理 论 中 的
生命表与生命 函数
牛新华
认 , , 二二 , , , , ,
二
, 二 二二二二二二 , 二 , ,
。 。 ,
、
二 生 命表 在 保 险 中 的 运 用 生 命表
,
又 称作 死 亡 表 和 死 亡 生 残 表
O
它 是指
,
构 造 生 命表的 原 始 生 存 数 和 死 亡 率
所以 应 以 生 命
某 一 个数 目( 例 如 1 0 万 )的 在自
O
、
岁人 所组 成 的集 团
0
表 中 的原 始 生 存 数 和 死 亡 率 为 基 础 而 推 演 出 来 的
。 、
险 因 此 年 金 保 险 比死 亡 保 险 的 死 亡 率 更 低
三 对生 命函 数 的 描 述
、
保险精算 第2章 生命表
qx
t
qx
13
ห้องสมุดไป่ตู้际通用精算符号
t
qx
s ( x) s ( x t ) Pr[T ( x) t ] FT (t ) s( x)
s( x t ) t p x 1t qx s ( x)
s( x t ) s( x t u ) q t u x t p x t u p x s ( x)
x 0 0
x
s( x t ) fT (t ) s ( x)
s( x t ) s( x t ) [ ] t px x t s ( x) s( x t )
s ( x) e
x 0 y dy
19
Actuarial Science
生存函数、死力的解析式
Lx I j
j 1
l0
E(I j ) 1 s( x) 0 (1 s( x)) s( x),( j 1, 2,..., l0 )
l x E( Lx ) E( I j ) E( I j ) l0 s( x)
j 1 j 1
27
l0
l0
死亡人数
actuarialactuarialactuarialsciencesciencescience111保险精算保险精算保险精算2121寿命分布寿命分布2222生命表生命表2323各年龄内的寿命分布各年龄内的寿命分布2424生命表的类型生命表的类型2525生命表的构造生命表的构造actuarialactuarialactuarialsciencesciencescience222保险精算保险精算保险精算2121211211生存函数生存函数212212213213214214死力死力215215生存函数死力的解析式生存函数死力的解析式引例人的寿命连续型随机变量pr100约定寿命的分布函数与概率密度100pr100practuarialactuarialactuarialsciencesciencescience666保险精算保险精算保险精算生存函数survivalfunction100pr生存函数survivalfunction2单调递减的函数3一个右连续的函数actuarialactuarialactuarialsciencesciencescience999保险精算保险精算保险精算10futurelifetime简记分布函数11国际通用精算符号年内死亡的概率将在t年时仍生存的概率将在12国际通用精算符号说明
寿险精算学教案new
• 以一年定期寿险为例：自保单生效之日起， 如果被保险人在1年之内去世，则保险人向 保单的受益人给付保单规定的保险金，否 则合同在一年后自动失效。
• 保单组（除保单当事人以外，所有其他条 件都一样的保单构成的一个整体）：保险 人签发了10000份条件相同的保单（封闭型 保单组）
• 保单组中条件： 保险金额100,000 被保险人投保年龄 50 保费缴纳方式 趸交保费 死亡给付假设 保单年度末进行
• • • • 意义：新生儿能活到 x 岁的概率。 S 与分布函数的关系： ( x) 1 F ( x) 与密度函数的关系：f ( x) S ( x) 新生儿将在x岁至z岁之间死亡的概率：
Pr( x X z ) s( x) s( z )
剩余寿命
• 定义：已经活到x岁的人（简记(x)），还能 继续存活的时间，称为剩余寿命，记作T(x)。 • 分布函数 t qx ：
• 关键概念
– 保险合同 – 可保风险
• 保险合同 保险单，是投保人与保险人约定保险权利 义务的协议。
保险类
财产保险
• 人身保险
– 寿险 – 健康险 – 意外险 车险 房屋保险 火灾险 信用险 知识产权保险
人身保险
• 人身保险是以人的生命和身体为保险标的 的保险，保险事故是人的生、老、病、死、 残等。 • 人身保险是比人寿保险更广的概念，但目 前在保险市场上经营人身保险业务的保险 公司名称都是人寿保险公司。
• 特别：
x
p0 s ( x)
基本函数
• p x ：x岁的人至少能活到x+1岁的概率
px 1 px
• q x ：x岁的人将在1年内去世的概率
qx 1 qx
•
生命表基础第二章
。那么
px xs
（2.2.20） 此处随机变量 S 代表 x 岁人的未来寿命（以年为 单位）。由式（2.2.20）给出的概率密度函数在推导 其他结果是仍然十分有用。 如果式（2.2.4）的分子、分母同除以 l ，得
x
d
xs ds
s
s
px
px
即
d ds
0
( s px ) s px xs
n x
x
x
x
n
x
n
x
x
x
n
x
xn x
n
x
n
x
x
n
x
（2.1.7） 根据 l 重新定义了条件概率 p 和 q ，由 l l S ( x ) 知，这和§1.4中根据 S ( x ) 的定义所推导的结果是完全 一致的。 例2-2 根据表2-2求： （1）在2岁与4岁之间的死亡人数； （2）1岁的人生存到4岁的概率。 解（1） d l l 227 （2） p ll 0 .9 9 5 8 7
2 l0
0
x lx dx
再由式（2.2.11）得
d dx Tx lx
2 l0
（2.2.13）
0
对l 得
2
0
0
x lx dx
分部积分，得
Y0
Tx d x
。定义
2
0
Tx dx
（2.2.14）
（2.2.15）
E(X )
2Y0 l0
由式（2.2.15）与（2.2.10）得
（2.2.10） （2.2.11）
则
e0 E ( X )
第二章生命函数与生命表理论
寿命的分布函数 新生儿在x岁之前死亡的概率
F ( x ) P r ( X x ) , x 0 .
假定寿命极限为w，满足：
( 1 )F (0 ) 0 ;
(2 )Fw ( )1 .
寿命的生存函数
随机变量X的生存函数
S ( x ) P r ( X x ) 1 F ( x ) , x 0 .
整值余寿的生存函数
P r ( K ( X ) k ) P r ( T ( x ) k 1 ) p k 1 x
整值余寿的密度函数
P r ( K ( X ) k ) P r ( k T ( x ) k 1 ) q x k
xk 1 x k xkx k 1 xk xx k k
一年中的平均生存时间。
Lx lx1 a(x) dx
x 例已知 lx 10000 ( 1 ) 100
1）该人群在95岁时的期望剩余寿命； 2）该人群在95岁时的中位死亡率；
1 ) t p d t 2 .5 ; 9 5 e 9 5
0
0
5
d 1 0 0 2 9 5 2 )m 1 ; 9 5 L 9 9 5 l d x 95x
分别在三种非整数年龄假定下，计算下面各值：
0 . 5 30 5 . 25 50
q, q ， 30 . 5
（补充练习）某人头上仅剩3根头发，并且他不再长任何头发。
q 0 . 1 ( k 1 ) , k 0 , 1 , 2 , 3 . （1）每根头发(x)未来的死亡服从： k | x
t
px
1 tqx
e
t
y q xt
1 e y
xt
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第二章生命表函数与生命表构造第一节生命表函数一、生存函数1、定义：2、概率意义：新生儿能活到的概率3、与分布函数的关系：4、与密度函数的关系：二、剩余寿命1、定义：已经活到x岁的人（简记），还能继续存活的时间，称为剩余寿命，记作T(x)。
2、剩余寿命的分布函数5、：，它的概率意义为：将在未来的年内去世的概率，简记3、剩余寿命的生存函数：，它的概率意义为：能活过岁的概率，简记特别：（1）（2）（3）（4）：将在岁与岁之间去世的概率4、整值剩余寿命（1）定义：未来存活的完整年数，简记（2）概率函数：5、剩余寿命的期望与方差（1）期望剩余寿命：剩余寿命的期望值（均值），简记（2）剩余寿命的方差：6、整值剩余寿命的期望与方差（1）期望整值剩余寿命：整值剩余寿命的期望值（均值），简记（2）整值剩余寿命的方差：2三、死亡效力1、定义：的人瞬时死亡率，记作2、死亡效力与生存函数的关系3、死亡效力与密度函数的关系4、死亡效力表示剩余寿命的密度函数记为剩余寿命的分布函数，为的密度函数，则第二节生命表的构造一、有关寿命分布的参数模型1、de Moivre模型（1729）2、Gompertz模型（1825）3、Makeham模型（1860）4、Weibull模型（1939）二、生命表的起源1、参数模型的缺点（1）至今为止找不到非常合适的寿命分布拟合模型。
这四个常用模型的拟合效果不令人满意。
（2）使用这些参数模型推测未来的寿命状况会产生很大的误差（3）寿险中通常不使用参数模型拟合寿命分布，而是使用非参数方法确定的生命表拟合人类寿命的分布。
（4）在非寿险领域，常用参数模型拟合物体寿命的分布。
2、生命表的起源（1）生命表的定义根据已往一定时期内各种年龄的死亡统计资料编制成的由每个年龄死亡率所组成的汇总表.（2）生命表的发展历史1662年,Jone Graunt,根据伦敦瘟疫时期的洗礼和死亡名单,写过《生命表的自然和政治观察》。
这是生命表的最早起源。
1693年，Edmund Halley,《根据Breslau城出生与下葬统计表对人类死亡程度的估计》，在文中第一次使用了生命表的形式给出了人类死亡年龄的分布。
人们因而把Halley称为生命表的创始人。
（3）生命表的特点构造原理简单、数据准确（大样本场合）、不依赖总体分布假定（非参数方法）三、生命表的构造1、原理在大数定理的基础上，用观察数据计算各年龄人群的生存概率。
（用频数估计频率）2、常用符号（1）新生生命组个体数：（2）年龄：（3）极限年龄：（4）个新生生命能生存到年龄的期望个数：（5）个新生生命中在年龄与之间死亡的期望个数：特别，当时，记作（6）个新生生命在年龄与区间共存活年数：（7）个新生生命中能活到年龄的个体的剩余寿命总数：四、选择与终极生命表1、选择-终极生命构造的原因（1）需要构造选择生命表的原因：刚刚接受体检的新成员的健康状况会优于很早以前接受体检的老成员。
（2）需要构造终极生命表的原因：选择效力会随时间而逐渐消失2、选择-终极生命表的使用第三节有关分数年龄的假设一、使用背景生命表提供了整数年龄上的寿命分布,但有时我们需要分数年龄上的生存状况,于是我们通常依靠相邻两个整数生存数据,选择某种分数年龄的生存分布假定，估计分数年龄的生存状况二、基本原理插值法三、常用假定1、均匀分布（Uniform Distribution）假定:(线形插值)2、恒定死亡效力（Constant Force）假定（几何插值）3、Balducci假定（调和插值）四、三个假定下的生命表函数函数均匀分布假定恒定死亡效力假定Balducci假定1.用附录2示例生命表及有效年利率6%，计算现龄50岁人在20年后活着时应付额1000的精算现实值。
2.在上题条件下，计算50岁时1000到70岁时的精算积累值。
3.证明并解释一下关系式4.在每一年龄死亡平均分布下的假设下，用示例生命表及有效年利率6%计算（1）.（2）x=20,50,80时的[提示：用（3.3.6）及（2.3.2）]5.用第4题得到的值计算下列现实值随机变量的标准差与变量系数σ/µ。
（1）在20岁，50岁，80岁生效的个人终身生存年金，每年数额1000连续支付。
（2）一组生存年金共1800份，每份都在50岁生效，年金额1000连续支付。
6.证明可表示成，其中基于利息效力2δ。
7.计算。
8.如采用决定性（比率函数）观点，连续生存年金可从（3.3.26）出发：.（1）用积分因子解以上微分方程式得出（3.2.1）。
（2）用积分因子得出方程并作一个解释。
9.定义并写出与（3.3.21）~（3.3.24）相似的有关公式。
10.证明11.证明并解释以下关系（1）.（2）.12.从（3.4.11）出发导出（3.4.32）。
13.公式是否正确？如不正确，请予以纠正。
14.考虑,其中K是（x）的整值剩余寿命，当， j=0,1,…,m-1, S=T-K，用第二章习题15证明（1）.除情况（概率为0）外，.这里方括号[]表示最大整数部分。
15.在每个年龄中假定h=0,1.…,m-1,验证.16.写出（3.5.15）及（3.5.15）的传统近似公式，并用（3.5.8）予以验证。
17。
证明与（3.5.3）相似的期末年金公式，并在每一个年龄死亡均匀分布的假设下，得出.18.证明与（3.5.4）相似的期末年金公式.并在每个年龄死亡均匀分布的假设下，得出，其中.19.在每个年龄死亡均匀分布的假设下，,,又根据，可得出请直接用的表达式验证上述关系。
20.（1）从（3.5.1）出发验证.（2）用（3.5.8）以及以上（1）中结果证明.（3）从（3.3.2B）出发，对积分用梯形规则近似，得出（2）中结果。
21.用（3.5.8）给出的传统近似公式，建立（1）（2）.（3）.22.（1）建立用表示的公式。
（2）根据附录中示例生命表，按年利率6%计算：①.②23.给出计算基数表示的公式：（1）. （2）（3）.（4）. （5）. （6）（7）. （8）.24.为估价岁入为b的期初年金，可使用特殊计算基数及一般公式用写出下列三种情况的公式(1) . （2）. （3）.25.考虑（小）的标准递增定期生存年金;第1年岁入1，第2年岁入2，以此类推到第n年岁入为止，且每年分m次期初支付，其精算现实值记作，证明可按以下方式表示：（1）.（2）（3）.（4）.26、考虑（x）的递减定期生存年金：第1年岁入n，第二年岁入n-1，以此类推倒第n年岁入1为止，且每年分m次期初支付，其精算现值记作（D ），证明可按以下方式表示:（1）.(2) .(3) .(4) [nN —(s )].27、在习题25中，如果岁入并不在x+n岁终止，而是当（x）继续或者保持定额岁入n，这种生存年金的精算现值记为(I ) ，证明(I ) 的以下表达式成立：(1) .(2) [ ].(3) .(4) (S -S ).28．验证公式：，其中T是(x)的剩余寿命。
用这个公式证明，这里是t年时支付率为t连续支付终生年金的精算现值。
29．（1）证明当m=1时，公式（3.8.6）成为（2）将（1）中公式用期末年金值来表示，得出①，②，并给出解释。
30．对给定的n与x ，证明以下递归公式对h=0,1,….,n—1成立：（1）（2），其中31．（1）在用综合支付技巧估计时，说明现值随机变量为= ，其中K，T 分别是（x）的整值与完全剩余寿命，并说明可约化成（2）证明并得出 Var[ 的一个表达式。
32．（1）说明的现值随机变量为并可约化成。
（2）证明综合题33．在每一年龄的死亡均匀分布假设下，对0≤t≤1证明（1）（2）(3)(4)34.得出下列（x）的期初生存年金求值公式，初始支付额为1，此后每年递增额为（1）初始年支付额的3%（2）前一年支付额的3%35．用积分表示并证明36．给出下列按月支付的生存年金在70岁时的精算现值：从30 岁到40 岁每月底100 从40 岁到50岁每月底200从50 岁到60 岁每月底500 从60岁到70 岁每月底100037．对于（35）的死亡即刻赔付的25年定期寿险，受益额在35+t岁死亡情况下为， 0≤t≤25 ,导出净趸缴保费的简化表达式，并解释所得结果。
38．对于（x）的死亡年末赔付的n年定期寿险，受益额在第k+1年死亡的清况下为，0≤k ≤n,导出净趸缴保费的简化表达式，并解释所得结果。
39．导出下式的简化表达式：40.将延期n年的年支付额为1的连续生存年金看作理赔概率为并具有随机理赔额的保险，这里T的概率密度函数为。
运用《风险理论》中式（2.2.13）证明该保险的方差等于并验证它可以化成（3.3.20）。
41．写出习题40中方差公式在离散情形的类似公式。
42．设是指示随机变量，。
验证：（1）在(x)活到x+k岁时年支付的生存年金的精算现值可写成（2） j≤kCov j≤k(3) Var .43.用左上标2表示利息效力为，证明（1）（2）Var44．（1）将年金系数展开成的幂级数（只求三项），（2）当时以上所展开式变成什么？45．设g(x)是非负数，X是概率密度函数为f(x)的随机变量，验证不等式E k>0并利用它证明。
46．1单位金额用于购买某种受益组合，包括当（x）活着时每年I的生存收入及（x）死亡时即刻支付J的保险。
写出这种组合的现值随机变量并给出其均值和方差。
47．根据每一年死亡均匀分布假设，按示例生命表及实质年利率6%计算（1）（2）（3）48．当< 时，验证传统近似= —在n=1及n=2的特殊情形导致> .49. 设精算现值与是根据以下假定计算的：在前n 年中年利率为i ，n<m; 在剩余m–n年中利率为。
用代数方法证明并解释（1）=1–（2）=1–50．验证，其中.解释以上关系式。
51．如果例3﹒7﹒1中的年金支付在（1）10次递增（2）20次递增之后保持固定，求年金的精算现值。
52．验证死亡效力增加一个常数对的影响与利息效力增加一个常数的影响相同，但对按照计算的则不然。
53．验证：（1）（2）递归公式（3﹒8﹒3）可写成54．考虑从退休基金资产中支付的一下期初年金组合：年龄年金领取人数65 3075 2085 10只要年金领取人活着，每个年金的年支付额都是1。
设利率为6%，死亡率由示例生命表给出。
对于退休基金的这些负担现值，计算（1）期望值（2）方差（3）分布的95%分位数。
对于第（2），（3）小题，假定个生命相互独立。