华师大04数分

华东师范大学2004数学分析
一、（30分）计算题。

1、求12
0)2
(cos lim x x x x -→ 2、若)),sin(arctan 2ln x x e y x +=-求'y .
3、求⎰--dx x xe x
2)
1(. 4、求幂级数∑∞=1n n nx
的和函数)(x f .
5、L 为过)0,0(O 和)0,2(π
A 的曲线)0(sin >=a x a y ,求⎰+++L
dy y dx y x .)2()(3 xdx a x da dy x a y cos sin ,sin ===
6、求曲面积分⎰⎰++S zdxdy dydz z x )2(,其中)10(,22≤≤+=z y x z ,取上侧.
.
二、（30分）判断题（正确的证明，错误的举出反例）
1、若},,2,1,{ =n x n 是互不相等的非无穷大数列，则}{n x 至少存在一个聚点).,(0+∞-∞∈x
2、若)(x f 在),(b a 上连续有界，则)(x f 在),(b a 上一致连续.
3、若)(x f ,)(x g 在]1,0[上可积，则∑⎰=∞→=-n i n dx x g x f n i g n i f n 1
10)()()1()(1lim . 4、若∑∞=1n n a
收敛，则∑∞
=12n n a 收敛.
5、若在2R 上定义的函数),(y x f 存在偏导数),(y x f x ,),(y x f y 且),(y x f x ,),(y x f y 在(0,0)上连续，则),(y x f 在(0,0)上可微.
6、),(y x f 在2R 上连续,})()(|),{(),(2202000r y y x x y x y x D r ≤-+-= 若⎰⎰=>∀∀r
D dxdy y x f r y x ,0),(,0),,(00 则.),(,0),(2R y x y x f ∈= 三、（15分）函数)(x f 在).,(+∞-∞上连续，且,)(lim A x f x =∞
→ 求证：)(x f 在).,(+∞-∞上
有最大值或最小值。

四、（15分）求证不等式:].1,0[,122∈+≥x x x
五、设)(x f n ,,2,1=n 在],[b a 上连续,且)(x f n 在],[b a 上一致收敛于)(x f .若],[b a x ∈∀,0)(>x f .求证:,0,>∃δN 使],[b a x ∈∀,N n >,.)(δ>x f n
六、（15分）设}{n a 满足（1）;,2,1,1000 ++=≤≤k k n a a n k （2）级数
∑∞=1n n a 收敛.
求证:0lim =∞→n n na . 七、（15分）若函数)(x f 在),1[+∞上一致连续，求证：
x x f )(在),1[+∞上有界. 八、（15分）设),,(),,,(),,,(z y x R z y x Q z y x P 在3R 有连续偏导数，而且对以任意点
),(00,0z y x 为中心，以任意正数r
为半径的上半球面,,)()()(:02202020z z r z z y y x x S r ≥=-+-+-
恒有⎰⎰r S .0),,(),,(),,(=++dxdy z y x R dzdx z y x Q dydz z y x P
求证: .0),,(),,(,0),,(),,,(=+=∀z y x Q z y x P z y x R z y x y x。