大学物理动量 动量定理

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推广到多质点系统，动量定理表达式为： 质点系的动量定理：
t2 t1
ΣFdt
n mi υi
i 1
n mi υi0
i 1
即：
I
p
p0
质点系总动量的增量等于作用于该 系统合外力的冲量
强调：只有外力才能引起质点系总动量的改变。
质点系内力的矢量合为0，对系统总动量的改
变无贡献，但内力会使系统内各质点的动量发
解：篮球到达地面的速率
F
F(max)
v 2gh 2 9.8 2 6.3 m/s
对地平均冲力为:
F
F 2mv 2 0.58 6.3 3.8102 N
t
0.019
相当于 40kg 重物所受重力! O
t
0.019s
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例题：质量为2.5g的乒乓球以10m/s的速率飞来， 被板推挡后，又以20m/s的速率飞出。 求：1）乒乓球得到的冲量；2）若撞击时间为 0.01s，则板施于球的平均冲力的大小和方向。
ΣFix 0 , px mi vix C x ΣFiy 0 , py mi viy C y ΣFiz 0 , pz mi viz Cz
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3、自然界中不受外力的物体是没有的，但如果 系统的内力>>外力，可近似认为动量守恒。在 碰撞、打击、爆炸等相互作用时间极短的过程 中，往往可忽略外力。
2）冲量的方向不是与动量的方向相同，而是 与动量增量的方向相同
3）
动量定理
Ι
ΔP
是矢量式，其直角坐标
的分量式：
Ix
t
t0
Fx dt
mv x mv 0x
Iy
t
t0
Fydt mv y mv 0 y
t
I z t0 Fzdt mvz mv0z 6
例题 一颗子弹在枪筒内受合力为F = a – bt ，运 行到枪口刚好 F = 0 ，由枪口射出时速率为 v0 。
分析
r F
m
r dv
dt
物质间 相互作用
受到外部作用的质点或 系统的状态变化率
瞬时关系
1
牛顿定律是瞬时关系 状态变化不是瞬时的，要经历一个过程
相互作用也不是瞬时的——持续作用
1）相互作用在时间上的持续
r
——力的时间累积 Fdt
涉及到动量、冲量的概念
2）相互作用在空间上的持续
——力的空间累积
r F
求：子弹在枪筒内运行的时间；子弹所受的
冲量；子弹的质量。 （a、b为常数、SI单位制）
解： 子弹出枪口时 a bt 0
t a/b
由冲量的定义
I
a/b
(a - bt)dt
a2 / 2b
0
由动量定理
I mv0 0 m a2
2bv0
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4）平均冲力
在冲击和碰撞等问题中，
常引入平均冲力的概念。
生变化。
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注意
内力不改变质点系的动量
初始速度 vg0 vb0 0 mb 2mg 则
推开后速度 vg 2vb
推开前后系统动量不变
且方向p相反 p0则
pp0
0 0
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二、动量守恒定理
由质点系的动量定理：
t
( Fi )dt P P0 ΔP
t0
其中P
mi vi
Pi
当
Fi 0 时 P P0 0
P0 P
动量守恒定律：当系统所受的合外力为0时， 系统的动量守恒。
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明确几点：
1、质点系受合外力为 0，每个质点的动量可能 变化，系统内的动量可以相互转移，但它们的总 和保持不变。各质点的动量必相对于同一惯性参 考系。
2、若合外力不为 0，但在某个方向上合外力分 量为 0，则在该方向上动量守恒。
drr
涉及到动量功、能的概念
2
第三章 动量 动量定理
3.1 动量 冲量 动量定理 3.2 质点系的动量定理 动量守恒定律
教学基本要求：
理解动量、冲量概念, 掌握动量定理 和动量守恒定律 ，掌握用动量守恒定律解 决问题的特点和方法。
3
3.1 动量（momentum） 冲量（impulse）
动量定理 (theorem of momentum )
一、动量
p mv
由牛顿定律
F
dp
d (mv)
有
Fdt
dp
dt
d (mυ )
dt
--- 牛顿定律的微分形式
力在 t0 ~ t 时间内的累积量为：
t t0
v Fdt
pv
pv0
mvv mvv0 4
二、冲量
定义：力在即一：段时I间内t的Fd累t 积量称为冲量，
t0
恒力的冲量：
变力的冲量：
解： 由于作用时间很短，忽略重力影响。
设挡板对球的冲力为
F
则
rr
rr
I Fdt mv2 mv1
取坐标，将上式投影：
y
v2 30º x 45º n
v1
I x Fxdt mv2 cos30o (mv1 cos 45o) Fxt I y Fydt mv2 sin 30o mv1 sin 45o Fy11 t
I x Fxdt mv2 cos30o (mv1 cos 45o) Fxt I y Fydt mv2 sin 30o mv1 sin 45o Fyt
t 0.01s v1 10m/s v2 20m/s m 2.5g
rrr
r
r
I Ixi I y j 0.061i 0.007 j N s
过后， 两木块各以多大速度运动？
解： 子弹穿过第一木块时，
两木块速度相同均为v1
Ft1 m1 m2 v1 0
m1 m2
子弹穿过第二木块后，第二木块速度变为v2
F t2 m2v2 m2v1
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Ft1 m1 m2 v1 0
F t2 m2v2 m2v1
v1
F t1 m1 m2
v2
a
dv dt
M0v0 dm dt (M0 t dm dt)2
2）有牵引力：Fdt (M dm)v0 (Mv0 dm 0)
dm
F v0 dt
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我国长征系列火箭升空
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例题： 一粒子弹水平地穿过并排静止放置
在光滑平面上的木块，穿行时间各为 t1、 t2
，设子弹在木块中受到恒阻力F 。求：子弹穿
F t1 m1 m2
F t2 m2
考虑到动量定理的意义，冲量仅决定于
始末两个状态。
F（t1 t2） m2v2 m1v1－0
再结合F t1 式，可得结果。
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I I
F(t
t2
Fdt
t0 ) Ft
（冲量的方向一般不
t1
是力的方向）
三、质点动量定理
Ι＝
t Fdt
t0
P
P0
mυ
mυ0
即：在给定的时间内，外力作用在质点上的 冲量，等于质点在此时间内动量的增量。 5
明确几点：
1）动量定理说明质点动量的改变是由外力和 外力作用时间两个因素，即冲量决定的。
F
t2 t1
Fdt
mv2
mv1
t2 t1
t2 t1
注意 在 p一定时
t 越小，则 F 越大 .
例如人从高处跳下、飞 机与鸟相撞、打桩等碰 撞事件中，作用时间很 短，冲力很大 .
mv
mv1
mv2
F
F
Fm
F
o t11
t
t2
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例题：一重锤质量为m，从高h处自由落下，打 在地面不再跳起。设重锤与地面相互作用时间
m
X lx
l
Mm
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例题：煤粉从漏斗中以 dm/dt 的流速竖直卸落在 沿平直轨道行驶的列车中，列车空载时质量为M0， 初速为v0，求：1）在加载过程中某一时刻 t 的速 度和加速度。2）（忽略摩擦力）如果要使列车 速度保持v0，应用多大的力牵引列车？
解：1）无牵引力和摩擦力，动量守恒。
dm
dm
M0υ0 (M0 dt t)υ, υ M0υ0 /( M0 dt t)
解：水平方向上车和人系统不受外力作用，
故动量守恒；
υ
设车分和别人为相V对 和地面υ速度
m
M
MV
mv
0
V
即:
V
m
v
——两者运动方向相反
M
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人相对于车的速度为：
υ'
υ V
M
m
υ
M
设人在时间 t 内走到另一端，
υ
M V
t
Mm t
Mm
l 0 υ'dt M 0 υdt M x
x M l M m
Fx 6.1N Fy 0.7N
F Fx 2 Fy 2 6.14N
tan
Fy Fx
0.1148
6.54o
为平均冲力与 x 方向的夹角 12
3.2 质点系动量定理 动量守恒定律
一、质点系的动量定理
（theorem of mometum of a system of particles）
t2
t1
t2
t1
(F1
(F2
F12 F21
)dt )dt
m1v1 m2 v2
m1v10 m2 v20
因为内力
F
F
0，故：
F1
F2
F12
m1
F21
m2
12
21
t2
t1
(F1
F2 )dt
(m1v1
m2 v2
)
(m1v10
m2 v20
)
由于系统的内力成对出现，系统的内力矢量
和为零。
4、注意区别 F外 0 与 F外dt 0
前者保证整个过程中动量守恒，后者只说明始 末时刻动量相同。
5、动量守恒定律只适用于惯性系，在微观高
速范围仍适用，是自然界最普遍，最基本的定
律之一 。
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例题：质量为m的人站在一质量为M、长为 l 的
小车一端，由静止走向车的另一端，求人和小
车各移动了多少距离? ( 不计摩擦 )
为 Δt 。 求：重锤对地的平均冲力。
解： 重锤受两力： mg和N
由动量定理： (mg N )Δt ΔP
0 mυ m 2gh
对地平均冲力为:
m 2gh
N' N
mg
Δt
注 这里重锤自身的重量要考虑在内。只有当 意 前项远大于后一项时，才能不计自重。 9
例题：一只篮球质量为 0.58 kg，从2.0 m 高度 下落，到达地面后，以同样速率反弹，接触时 间仅0.019s。 求：对地平均冲力。