求二面角的常用方法
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连结CO、DO, 则∠OAC就是二面角—l—的平面角， l B 即 ∠OAC ＝120， D C ∵BD⊥l ∴ AO∥BD，∴四边形ABDO为矩形, A O ∴ DO∥ l ，∵ AC⊥l ，AO⊥l， AO A AC ∴ l ⊥平面CAO ∴ CO⊥l ∴ CO⊥DO ∵ BD=1 ∴ AO=1，在△OAC中，AC=2， ∴ CO 2 AC 2 AO 2 2 AO AC COS120 7 在Rt △COD中，DO=AB=3
O
α
A
郧阳中学高二数学备课组
复习 1：半平面的定义 2：二面角的定义，画法，表示方法 3：二面角的平面角定义（满足的条件） 4：二面角的大小范围 5：作二面角平面角的常用方法
5、作二面角的平面角的常用方法
①、点P在棱上 —定义法 ②、点P在一个半平面上 —三垂线定理法 ③、点P在二面角内 —垂面法
三种方法的联系？
CD CO DO 7 3 4
2 2 2
19
例 4 如图，已知A、B是120的二面角—l—棱l上的两 点，线段AC，BD分别在面，内，且AC⊥l，BD⊥l ， AC=2，BD=1，AB=3，求（1）线段CD的长。 （2）CD与
所成角正弦 （3）CD与AB所成角
(5)面PAC与面ABCD所成的二 面角的平面角是 POD或POB ___ _ _ _.
O
B
例1 过O点引三条射线OG，OE,OF,
GOE EOF FOG 60 ,求二面角E-OG-F大小
例1 过O点引三条射线OG，OE,OF,
GOE EOF FOG 60 ,求二面角E-OG-F大小
点P在二面角内，PA⊥ 于A点，PB⊥ 于B 点，PA= 2 2 ,PB= 4, P到棱 l 的距离为 4 2， 求二面角的大小.
B O l A
P
例 4 如图，已知A、B是120的二面角—l—棱l上的两 点，线段AC，BD分别在面，内，且AC⊥l，BD⊥l ， AC=2，BD=1，AB=3，求（1）线段CD的长。 （2）CD与
二面角的计算：
1、找到或作出二面角的平面角
2、证明 1中的角就是所求的角 3、计算出此角的大小
一“作”二“证”三“计算”
16
作二面角的平面角的常用方法
①、点P在棱上 —定义法 ②、点P在一个半平面上 —三垂线定理法 ③、点P在二面角内 —垂面法
三种方法的联系？
α l β
p
B
pβ
β
A
ι
B
α
A
B
p
ι
α l β
p
B
pβ
β
A
ι
B
α
A
wk.baidu.com
B
p
ι
O
α
A
基础练习
1.判断下列命题的真假：
（1）两个相交平面组成的图形叫做二面角；( 假 )
（2）角的两边分别在二面角的两个面内，则这个角是二 面角的平面角 ;( 假 ) （3）二面角的平面角所在平面垂直于二面角的棱;(真 )
(4)二面角的平面角是从棱上一点出发，分别在两个 面内作射线所成角的最小角；( 假 ）
2
过程有问题吗？
练习、已知锐二面角－ l－ ，A为面内一点，A到 的距离为 2 3 ，到 l 的距离为 4，求二面角 － l－ 的大小。
A
D
O
l
17
三垂线法：
归纳
利用三垂线定理及其逆定理通过证明线线垂 直，找到二面角的平面角,关键在于找面的垂线。
步骤 ：
A α β
◆
在平面内β找不同于棱
所成角正弦 （3）CD与BD所成角
19
例 4 如图，已知A、B是120的二面角—l—棱l上的两 点，线段AC，BD分别在面，内，且AC⊥l，BD⊥l ， AC=2，BD=1，AB=3，求（1）线段CD的长。（2）CD与 所成角正弦 （3）CD与AB所成角 解：（1）在平面内，过A作AO⊥l ，使AO=BD,
l
B C A D
H
19
O
3. 直线AB与直二面角α-l-β的两个半平面分别交于A、 B两点，且A 、 B l. 如果直线AB与α 、 β所成的角 分别是θ1、θ2，则θ1+θ2的取值范围是( )D
(A) 0 θ θ π 1 2
π (B) θ1 θ2 2 π (C) θ1 θ2 2 π (D)0 θ1 θ2 2
α
B
B
l
A
O
1
M
2
1
M
β
O
解: 过B作BM⊥ ，垂足为M，连结AM。则∠BAM=30º 。过M作
MO⊥ l 于O，连结BO，则BO⊥ l 。 ∠BOM为所求二面角的平面 角。又 Rt△AOB中，AB=2， ∠BAO=45º ，∴OB= 2。Rt△ABM 中，AB=2，∠BAM= 30º ∴BM=1。∴ sin ∠BOM= 2 ， ， ∴ ∠BOM= 45º 。
上的点A向平面α作垂线。
◆
O
由点O向二面角的棱作垂
B l
线，垂足为B,连接AB。
◆
∠ABO即为所求。
例3.如图，二面角 l 的平面角小于 90 , 点P
在二面角内，PA⊥ 于A点，PB⊥于B点， PA= 2 2,PB= 4, P到棱 l的距离为 4 2， 求二面 角的大小.
例3.如图，二面角 l 的平面角小于 90 ,
2.如图 ABCD是正方形，PD┻ 平面ABCD,则
(1)面PAB与面ABCD所成二面 PAD 角的平面角是_______, (2)面PBC与面ABCD所成二面 PCD 角的平面角是_______, (3)面PAD与面PCD所成的二面 ADC 角的平面角_______,
P
D
C
(4)面PAC与面ACD所成的二面 POD 角的平面角是_______. A
G A
B O
C
E
F
例2:锐二面角 l 中,AB , AB 2, A l , AB 与l 成 45角,与 成 30 角，求二面角 l 的大小。
例2:锐二面角 l 中， , AB 2, A l , AB与 l AB 成 45角,与 成 30 角，求二面角 l 的大小。
O
α
A
郧阳中学高二数学备课组
复习 1：半平面的定义 2：二面角的定义，画法，表示方法 3：二面角的平面角定义（满足的条件） 4：二面角的大小范围 5：作二面角平面角的常用方法
5、作二面角的平面角的常用方法
①、点P在棱上 —定义法 ②、点P在一个半平面上 —三垂线定理法 ③、点P在二面角内 —垂面法
三种方法的联系？
CD CO DO 7 3 4
2 2 2
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例 4 如图，已知A、B是120的二面角—l—棱l上的两 点，线段AC，BD分别在面，内，且AC⊥l，BD⊥l ， AC=2，BD=1，AB=3，求（1）线段CD的长。 （2）CD与
所成角正弦 （3）CD与AB所成角
(5)面PAC与面ABCD所成的二 面角的平面角是 POD或POB ___ _ _ _.
O
B
例1 过O点引三条射线OG，OE,OF,
GOE EOF FOG 60 ,求二面角E-OG-F大小
例1 过O点引三条射线OG，OE,OF,
GOE EOF FOG 60 ,求二面角E-OG-F大小
点P在二面角内，PA⊥ 于A点，PB⊥ 于B 点，PA= 2 2 ,PB= 4, P到棱 l 的距离为 4 2， 求二面角的大小.
B O l A
P
例 4 如图，已知A、B是120的二面角—l—棱l上的两 点，线段AC，BD分别在面，内，且AC⊥l，BD⊥l ， AC=2，BD=1，AB=3，求（1）线段CD的长。 （2）CD与
二面角的计算：
1、找到或作出二面角的平面角
2、证明 1中的角就是所求的角 3、计算出此角的大小
一“作”二“证”三“计算”
16
作二面角的平面角的常用方法
①、点P在棱上 —定义法 ②、点P在一个半平面上 —三垂线定理法 ③、点P在二面角内 —垂面法
三种方法的联系？
α l β
p
B
pβ
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A
ι
B
α
A
B
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α l β
p
B
pβ
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A
ι
B
α
A
wk.baidu.com
B
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ι
O
α
A
基础练习
1.判断下列命题的真假：
（1）两个相交平面组成的图形叫做二面角；( 假 )
（2）角的两边分别在二面角的两个面内，则这个角是二 面角的平面角 ;( 假 ) （3）二面角的平面角所在平面垂直于二面角的棱;(真 )
(4)二面角的平面角是从棱上一点出发，分别在两个 面内作射线所成角的最小角；( 假 ）
2
过程有问题吗？
练习、已知锐二面角－ l－ ，A为面内一点，A到 的距离为 2 3 ，到 l 的距离为 4，求二面角 － l－ 的大小。
A
D
O
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三垂线法：
归纳
利用三垂线定理及其逆定理通过证明线线垂 直，找到二面角的平面角,关键在于找面的垂线。
步骤 ：
A α β
◆
在平面内β找不同于棱
所成角正弦 （3）CD与BD所成角
19
例 4 如图，已知A、B是120的二面角—l—棱l上的两 点，线段AC，BD分别在面，内，且AC⊥l，BD⊥l ， AC=2，BD=1，AB=3，求（1）线段CD的长。（2）CD与 所成角正弦 （3）CD与AB所成角 解：（1）在平面内，过A作AO⊥l ，使AO=BD,
l
B C A D
H
19
O
3. 直线AB与直二面角α-l-β的两个半平面分别交于A、 B两点，且A 、 B l. 如果直线AB与α 、 β所成的角 分别是θ1、θ2，则θ1+θ2的取值范围是( )D
(A) 0 θ θ π 1 2
π (B) θ1 θ2 2 π (C) θ1 θ2 2 π (D)0 θ1 θ2 2
α
B
B
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A
O
1
M
2
1
M
β
O
解: 过B作BM⊥ ，垂足为M，连结AM。则∠BAM=30º 。过M作
MO⊥ l 于O，连结BO，则BO⊥ l 。 ∠BOM为所求二面角的平面 角。又 Rt△AOB中，AB=2， ∠BAO=45º ，∴OB= 2。Rt△ABM 中，AB=2，∠BAM= 30º ∴BM=1。∴ sin ∠BOM= 2 ， ， ∴ ∠BOM= 45º 。
上的点A向平面α作垂线。
◆
O
由点O向二面角的棱作垂
B l
线，垂足为B,连接AB。
◆
∠ABO即为所求。
例3.如图，二面角 l 的平面角小于 90 , 点P
在二面角内，PA⊥ 于A点，PB⊥于B点， PA= 2 2,PB= 4, P到棱 l的距离为 4 2， 求二面 角的大小.
例3.如图，二面角 l 的平面角小于 90 ,
2.如图 ABCD是正方形，PD┻ 平面ABCD,则
(1)面PAB与面ABCD所成二面 PAD 角的平面角是_______, (2)面PBC与面ABCD所成二面 PCD 角的平面角是_______, (3)面PAD与面PCD所成的二面 ADC 角的平面角_______,
P
D
C
(4)面PAC与面ACD所成的二面 POD 角的平面角是_______. A
G A
B O
C
E
F
例2:锐二面角 l 中,AB , AB 2, A l , AB 与l 成 45角,与 成 30 角，求二面角 l 的大小。
例2:锐二面角 l 中， , AB 2, A l , AB与 l AB 成 45角,与 成 30 角，求二面角 l 的大小。