第7章 数字控制系统分析基础 (1)
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T ( z − e −T ) − ( z − 1)( z − e −T ) + ( z − 1)2 = ( z − 1)( z − e −T )
7.5.1 数字控制系统的稳定性
相应的闭环特征方程为 D( z ) = 1 + G ( z ) = 0 可得 z 2 + (T − 2) z + 1 − Te−T = 0 当T=1s时，系统的特征方程为 T=1s时 z 2 − z + 0.632 = 0 解得两个极点为 z1,2 = 0.5 ± j 0.618 这两个极点都在单位圆内， 这两个极点都在单位圆内，所以系统稳定 当T=4s时，系统的特征方程为 T=4s时 z 2 + 2 z + 0.927 = 0 解得两个极点为 z2 = −1.27 z1 = −0.73 有一个极点在单位圆外， 有一个极点在单位圆外，所以系统不稳定
|z1 |=| z2 |= 0.52 + 0.6182 = 0.795 < 1
系统是稳定的
7.5.1 数字控制系统的稳定性
3. 推广的劳斯判据 推广的劳斯稳定判据：在线性采样系统中，对z的有理 推广的劳斯稳定判据：在线性采样系统中，
多项式，经z=(w+1)/(w-1)的双线性变换(W变换)，得到w的 的双线性变换(W变换) 多项式， z=(w+1)/(w-1)的双线性变换 变换 得到w 代数方程就可以应用劳斯判据判稳了。为了区别s 代数方程就可以应用劳斯判据判稳了。为了区别s平面下的 劳斯判据， 平面下的劳斯判据为推广的劳斯稳定判据。 劳斯判据，称w平面下的劳斯判据为推广的劳斯稳定判据。 Z平面和s平面的映射关系： 平面和s平面的映射关系： w +1 z +1 w= z= z −1 w −1 设复变量 z = x + jy w = u + jv 则有
σT =0时,s=jω ① 当σ=0时,s=jω,则 z = e = 1 ∠z = T ω
jω
s平面
σ
<0时 ② 当σ<0时,则 >0时 ③ 当σ>0时,则
z = eσ T < 1 ∠z = T ω z = eσ T > 1 ∠z = T ω
Im z平面
结论： 平面的稳定区域在Z 结论：S平面的稳定区域在Z平面上 的映射是单位圆内部区域
K z z K (1 − e−4T ) z = = − −4T −4T 4 z − 1 z − e 4 ( z − 1)( z − e )
相应的闭环特征方程为 D( z ) = 1 + G ( z ) = 0 K −4T 可得 ( z − 1)( z − e ) + (1 − e−4T ) z = 0 4
1 1 1 = lim = = z →1 1 + G ( z ) lim[1 + G ( z )] K p z →1 令稳态位置误差系数： 令稳态位置误差系数：
K p = lim[1 + G ( z )]
z →1
7.5.2 数字控制系统的稳态误差
输入信号为单位斜坡函数r(t)=t r(t)=t时 (2) 输入信号为单位斜坡函数r(t)=t时 Tz R( z ) = ( z − 1) 2 1 Tz T esr = lim e(t ) = lim( z − 1) = lim 2 t →∞ z →1 z →1 ( z − 1)[1 + G ( z )] 1 + G ( z ) ( z − 1)
w2 w1 w0 0.158K 1.264 2.736 − 0.158K 2.736 − 0.158K
0.158 K > 0
2.736 − 0.158K > 0
0 < K < 17.3
7.5.1 数字控制系统的稳定性
把z=(w+1)/(w-1)，T=0.25s代入上式得 z=(w+1)/(w-1)，T=0.25s代入上式得 w +1 w +1 w +1 ( − 1)( − 0.368) + 0.158K =0 w −1 w −1 w −1 整理后得 0.158Kw2 + 1.264w + (2.736 − 0.158K ) = 0 劳斯表为
D( z ) = a0 + a1 z + a2 z 2 + ... + an z n = 0, an > 0
7.5.2 数字控制系统的稳态误差
稳态误差是衡量系统控制精度的, 稳态误差是衡量系统控制精度的 , 是控制系统的稳态性能 指标。 指标。 实际的控制系统由于本身结构和输入信号的不同， 实际的控制系统由于本身结构和输入信号的不同， 其稳 态输出量不可能完全与输入量一致，也不可能在任何扰动作用 态输出量不可能完全与输入量一致， 下都能准确地恢复到原有的平衡点。 下都能准确地恢复到原有的平衡点。 另外，系统中还存在摩擦、间隙和死区等非线性因素。 另外，系统中还存在摩擦、间隙和死区等非线性因素。 因此， 控制系统的稳态误差总是不可避免的。 因此， 控制系统的稳态误差总是不可避免的。 在设计控制系统时应尽可能减小稳态误差。 在设计控制系统时应尽可能减小稳态误差。当稳态误差足 够小，可以忽略不计的时候， 可以认为系统的稳态误差为零， 够小，可以忽略不计的时候， 可以认为系统的稳态误差为零， 这种系统称为无差系统， 这种系统称为无差系统，而稳态误差不为零的系统则称为有差 系统。 系统。 应当强调的是，只有当系统稳定时， 应当强调的是，只有当系统稳定时，才可以分析系统的稳态 误差。对于不稳定的系统，根本不存在研究稳态误差的可能性 稳态误差的可能性。 误差。对于不稳定的系统，根本不存在研究稳态误差的可能性。
0
脉冲传递函数G(z)具有 z=1的 注：在离散系统中，把开环脉冲传递函数 在离散系统中， 具有 的 称为离散系统的型别。 极点数目ν 称为离散系统的型别。即
G( z) =
1 ( z −1)ν
z→1
2 z →1
稳态加速度误差系数： 稳态加速度误差系数： Ka = lim( z −1) G( z)
7.5.2 数字控制系统的稳态误差
单位反馈离散系统的稳态误差 1 R t2 系统型别 R11(t ) R2t 2 3 R1 0型 ∞ ∞ KP
Ⅰ型 Ⅱ型 0 0
R 2T KV
∞
R 3T 2 Ka
w2 w1 w0 0.158K 1.264 2.736 − 0.158K 2.736 − 0.158K
0.158 K > 0
2.736 − 0.158K > 0
0 < K < 17.3
7.5.1 数字控制系统的稳定性
4. 朱利稳定判据
设离散系统n阶闭环特征方程可以写为： 设离散系统 阶闭环特征方程可以写为： 阶闭环特征方程可以写为
R( s)
S
1 − e −Ts s
1 s( s + 1)
C (s)
解 开环脉冲传递函数为
1 1 − e −Ts 1 = Z (1 − e −Ts ) 2 G( z) = Z s ( s + 1) s s( s + 1)
1 1 1 Tz z z −1 = (1 − z −1 ) Z 2 − + − + = (1 − z ) s s s +1 ( z − 1) 2 z − 1 z − e −T
T 2 z ( z + 1) R( z ) = 2( z − 1)3
1 T 2 z ( z + 1) esr = lim e(t ) = lim( z − 1) t →∞ z →1 1 + G ( z ) 2( z − 1)3 T 2 ( z + 1) T2 T2 = lim = = 2 z →1 2( z − 1) 2 [1 + G ( z )] lim( z − 1) G ( z ) K a
7.5.1 数字控制系统的稳定性
例 试分析特征方程为Z Z+0.632=0的系统的稳定性 的系统的稳定性. 试分析特征方程为Z2-Z+0.632=0的系统的稳定性.
解 特征方程的根
z1,2 1 ± 1 − 4 × 0.632 = = 0.5 ± 0.5 −1.528 = 0.5 ± j 0.618 2
采样系统的误差为 E( z) =
影响稳态误 差的因素有 哪些呢? 哪些呢
源自文库
7.5.2 数字控制系统的稳态误差
输入信号为单位阶跃函数r(t)=1(t) r(t)=1(t)时 (1) 输入信号为单位阶跃函数r(t)=1(t)时 z R( z ) = z −1 1 z esr = lim e(t ) = lim( z − 1) t →∞ z →1 1 + G( z) z − 1
7.5.1 数字控制系统的稳定性
把z=(w+1)/(w-1)，T=0.25s代入上式得 z=(w+1)/(w-1)，T=0.25s代入上式得 w +1 w +1 w +1 ( − 1)( − 0.368) + 0.158K =0 w −1 w −1 w −1 整理后得 0.158Kw2 + 1.264w + (2.736 − 0.158K ) = 0 劳斯表为
Re
7.5.1 数字控制系统的稳定性
2. 数字控制系统稳定的充要条件
R* ( s )
C * ( s) E * ( s)
R( s)
E ( s)
S
D*(s) H(s)
X * (s)
G(s)
C (s)
D( z )G ( z ) Φ( z ) = 1 + D( z )GH ( z )
可得闭环采样系统的特征方程为 1 + D( z )GH ( z ) = 0 闭环采样系统稳定的充要条件： 闭环采样系统稳定的充要条件：特征方程的所有根均分布 平面的单位圆内，或者所有根的模小于1 在z平面的单位圆内，或者所有根的模小于1，即 zi < 1
7.5 数字控制系统的性能与控制
数字控制系统的稳定性 数字控制系统的稳态误差
数字控制系统的动态性能
7.5.1 数字控制系统的稳定性
1. S平面与Z平面的映射关系 S平面与 平面与Z
z = eTs 复变量z 复变量z和s的关系为 而 s = σ + jω 则 z = eT (σ + jω ) = eσ T e jT ω = z e j∠z
7.5.2 数字控制系统的稳态误差
１、稳态误差的计算
设单位反馈采样系统如下图所示
R( s) E ( s)
E * ( s)
S
G(s)
C (s)
1 R( z ) 1 + G( z) 闭环系统稳定， 设闭环系统稳定，根据终值定理可以求在输入信号作用 下采样系统的稳态误差的终值为 1 esr = lim e(t ) = lim e(nT ) = lim( z − 1) R( z ) t →∞ n →∞ z →1 1 + G( z)
7.5.1 数字控制系统的稳定性
设采样系统如图所示，采样周期T=0.25s T=0.25s， 例7-11 设采样系统如图所示，采样周期T=0.25s，求能使系 统稳定的K值范围。 统稳定的K值范围。 K R( s) C ( s) s( s + 4) S 解 开环脉冲传递函数为
K 1 1 K =Z − G( z) = Z s( s + 4) 4 s s + 4
z →1
令稳态加速度误差系数： 令稳态加速度误差系数：
K a = lim( z − 1) 2 G ( z )
z →1
7.5.2 数字控制系统的稳态误差
小结： 小结：
稳态位置误差系数： 稳态位置误差系数： 稳态速度误差系数： 稳态速度误差系数：
K p = lim[1 + G( z)]
z →1
Kv = lim(z −1)G(z)
T T T = lim = = z →1 ( z − 1)G ( z ) lim( z − 1)G ( z ) K v
z →1
令稳态速度误差系数： 令稳态速度误差系数：
K v = lim( z − 1)G ( z )
z →1
7.5.2 数字控制系统的稳态误差
输入信号为单位加速度函数r(t)=1/2t (3) 输入信号为单位加速度函数r(t)=1/2t2时
x + jy + 1 ( x 2 + y 2 − 1) − 2 yj = u + jv = ( x − 1)2 + y 2 x + jy − 1
Im z平面
jω
w平面
Re
σ
7.5.1 数字控制系统的稳定性
判断下图所示系统在采样周期T=1s T=4s时的稳定性 T=1s和 例7-10 判断下图所示系统在采样周期T=1s和T=4s时的稳定性
7.5.1 数字控制系统的稳定性
相应的闭环特征方程为 D( z ) = 1 + G ( z ) = 0 可得 z 2 + (T − 2) z + 1 − Te−T = 0 当T=1s时，系统的特征方程为 T=1s时 z 2 − z + 0.632 = 0 解得两个极点为 z1,2 = 0.5 ± j 0.618 这两个极点都在单位圆内， 这两个极点都在单位圆内，所以系统稳定 当T=4s时，系统的特征方程为 T=4s时 z 2 + 2 z + 0.927 = 0 解得两个极点为 z2 = −1.27 z1 = −0.73 有一个极点在单位圆外， 有一个极点在单位圆外，所以系统不稳定
|z1 |=| z2 |= 0.52 + 0.6182 = 0.795 < 1
系统是稳定的
7.5.1 数字控制系统的稳定性
3. 推广的劳斯判据 推广的劳斯稳定判据：在线性采样系统中，对z的有理 推广的劳斯稳定判据：在线性采样系统中，
多项式，经z=(w+1)/(w-1)的双线性变换(W变换)，得到w的 的双线性变换(W变换) 多项式， z=(w+1)/(w-1)的双线性变换 变换 得到w 代数方程就可以应用劳斯判据判稳了。为了区别s 代数方程就可以应用劳斯判据判稳了。为了区别s平面下的 劳斯判据， 平面下的劳斯判据为推广的劳斯稳定判据。 劳斯判据，称w平面下的劳斯判据为推广的劳斯稳定判据。 Z平面和s平面的映射关系： 平面和s平面的映射关系： w +1 z +1 w= z= z −1 w −1 设复变量 z = x + jy w = u + jv 则有
σT =0时,s=jω ① 当σ=0时,s=jω,则 z = e = 1 ∠z = T ω
jω
s平面
σ
<0时 ② 当σ<0时,则 >0时 ③ 当σ>0时,则
z = eσ T < 1 ∠z = T ω z = eσ T > 1 ∠z = T ω
Im z平面
结论： 平面的稳定区域在Z 结论：S平面的稳定区域在Z平面上 的映射是单位圆内部区域
K z z K (1 − e−4T ) z = = − −4T −4T 4 z − 1 z − e 4 ( z − 1)( z − e )
相应的闭环特征方程为 D( z ) = 1 + G ( z ) = 0 K −4T 可得 ( z − 1)( z − e ) + (1 − e−4T ) z = 0 4
1 1 1 = lim = = z →1 1 + G ( z ) lim[1 + G ( z )] K p z →1 令稳态位置误差系数： 令稳态位置误差系数：
K p = lim[1 + G ( z )]
z →1
7.5.2 数字控制系统的稳态误差
输入信号为单位斜坡函数r(t)=t r(t)=t时 (2) 输入信号为单位斜坡函数r(t)=t时 Tz R( z ) = ( z − 1) 2 1 Tz T esr = lim e(t ) = lim( z − 1) = lim 2 t →∞ z →1 z →1 ( z − 1)[1 + G ( z )] 1 + G ( z ) ( z − 1)
w2 w1 w0 0.158K 1.264 2.736 − 0.158K 2.736 − 0.158K
0.158 K > 0
2.736 − 0.158K > 0
0 < K < 17.3
7.5.1 数字控制系统的稳定性
把z=(w+1)/(w-1)，T=0.25s代入上式得 z=(w+1)/(w-1)，T=0.25s代入上式得 w +1 w +1 w +1 ( − 1)( − 0.368) + 0.158K =0 w −1 w −1 w −1 整理后得 0.158Kw2 + 1.264w + (2.736 − 0.158K ) = 0 劳斯表为
D( z ) = a0 + a1 z + a2 z 2 + ... + an z n = 0, an > 0
7.5.2 数字控制系统的稳态误差
稳态误差是衡量系统控制精度的, 稳态误差是衡量系统控制精度的 , 是控制系统的稳态性能 指标。 指标。 实际的控制系统由于本身结构和输入信号的不同， 实际的控制系统由于本身结构和输入信号的不同， 其稳 态输出量不可能完全与输入量一致，也不可能在任何扰动作用 态输出量不可能完全与输入量一致， 下都能准确地恢复到原有的平衡点。 下都能准确地恢复到原有的平衡点。 另外，系统中还存在摩擦、间隙和死区等非线性因素。 另外，系统中还存在摩擦、间隙和死区等非线性因素。 因此， 控制系统的稳态误差总是不可避免的。 因此， 控制系统的稳态误差总是不可避免的。 在设计控制系统时应尽可能减小稳态误差。 在设计控制系统时应尽可能减小稳态误差。当稳态误差足 够小，可以忽略不计的时候， 可以认为系统的稳态误差为零， 够小，可以忽略不计的时候， 可以认为系统的稳态误差为零， 这种系统称为无差系统， 这种系统称为无差系统，而稳态误差不为零的系统则称为有差 系统。 系统。 应当强调的是，只有当系统稳定时， 应当强调的是，只有当系统稳定时，才可以分析系统的稳态 误差。对于不稳定的系统，根本不存在研究稳态误差的可能性 稳态误差的可能性。 误差。对于不稳定的系统，根本不存在研究稳态误差的可能性。
0
脉冲传递函数G(z)具有 z=1的 注：在离散系统中，把开环脉冲传递函数 在离散系统中， 具有 的 称为离散系统的型别。 极点数目ν 称为离散系统的型别。即
G( z) =
1 ( z −1)ν
z→1
2 z →1
稳态加速度误差系数： 稳态加速度误差系数： Ka = lim( z −1) G( z)
7.5.2 数字控制系统的稳态误差
单位反馈离散系统的稳态误差 1 R t2 系统型别 R11(t ) R2t 2 3 R1 0型 ∞ ∞ KP
Ⅰ型 Ⅱ型 0 0
R 2T KV
∞
R 3T 2 Ka
w2 w1 w0 0.158K 1.264 2.736 − 0.158K 2.736 − 0.158K
0.158 K > 0
2.736 − 0.158K > 0
0 < K < 17.3
7.5.1 数字控制系统的稳定性
4. 朱利稳定判据
设离散系统n阶闭环特征方程可以写为： 设离散系统 阶闭环特征方程可以写为： 阶闭环特征方程可以写为
R( s)
S
1 − e −Ts s
1 s( s + 1)
C (s)
解 开环脉冲传递函数为
1 1 − e −Ts 1 = Z (1 − e −Ts ) 2 G( z) = Z s ( s + 1) s s( s + 1)
1 1 1 Tz z z −1 = (1 − z −1 ) Z 2 − + − + = (1 − z ) s s s +1 ( z − 1) 2 z − 1 z − e −T
T 2 z ( z + 1) R( z ) = 2( z − 1)3
1 T 2 z ( z + 1) esr = lim e(t ) = lim( z − 1) t →∞ z →1 1 + G ( z ) 2( z − 1)3 T 2 ( z + 1) T2 T2 = lim = = 2 z →1 2( z − 1) 2 [1 + G ( z )] lim( z − 1) G ( z ) K a
7.5.1 数字控制系统的稳定性
例 试分析特征方程为Z Z+0.632=0的系统的稳定性 的系统的稳定性. 试分析特征方程为Z2-Z+0.632=0的系统的稳定性.
解 特征方程的根
z1,2 1 ± 1 − 4 × 0.632 = = 0.5 ± 0.5 −1.528 = 0.5 ± j 0.618 2
采样系统的误差为 E( z) =
影响稳态误 差的因素有 哪些呢? 哪些呢
源自文库
7.5.2 数字控制系统的稳态误差
输入信号为单位阶跃函数r(t)=1(t) r(t)=1(t)时 (1) 输入信号为单位阶跃函数r(t)=1(t)时 z R( z ) = z −1 1 z esr = lim e(t ) = lim( z − 1) t →∞ z →1 1 + G( z) z − 1
7.5.1 数字控制系统的稳定性
把z=(w+1)/(w-1)，T=0.25s代入上式得 z=(w+1)/(w-1)，T=0.25s代入上式得 w +1 w +1 w +1 ( − 1)( − 0.368) + 0.158K =0 w −1 w −1 w −1 整理后得 0.158Kw2 + 1.264w + (2.736 − 0.158K ) = 0 劳斯表为
Re
7.5.1 数字控制系统的稳定性
2. 数字控制系统稳定的充要条件
R* ( s )
C * ( s) E * ( s)
R( s)
E ( s)
S
D*(s) H(s)
X * (s)
G(s)
C (s)
D( z )G ( z ) Φ( z ) = 1 + D( z )GH ( z )
可得闭环采样系统的特征方程为 1 + D( z )GH ( z ) = 0 闭环采样系统稳定的充要条件： 闭环采样系统稳定的充要条件：特征方程的所有根均分布 平面的单位圆内，或者所有根的模小于1 在z平面的单位圆内，或者所有根的模小于1，即 zi < 1
7.5 数字控制系统的性能与控制
数字控制系统的稳定性 数字控制系统的稳态误差
数字控制系统的动态性能
7.5.1 数字控制系统的稳定性
1. S平面与Z平面的映射关系 S平面与 平面与Z
z = eTs 复变量z 复变量z和s的关系为 而 s = σ + jω 则 z = eT (σ + jω ) = eσ T e jT ω = z e j∠z
7.5.2 数字控制系统的稳态误差
１、稳态误差的计算
设单位反馈采样系统如下图所示
R( s) E ( s)
E * ( s)
S
G(s)
C (s)
1 R( z ) 1 + G( z) 闭环系统稳定， 设闭环系统稳定，根据终值定理可以求在输入信号作用 下采样系统的稳态误差的终值为 1 esr = lim e(t ) = lim e(nT ) = lim( z − 1) R( z ) t →∞ n →∞ z →1 1 + G( z)
7.5.1 数字控制系统的稳定性
设采样系统如图所示，采样周期T=0.25s T=0.25s， 例7-11 设采样系统如图所示，采样周期T=0.25s，求能使系 统稳定的K值范围。 统稳定的K值范围。 K R( s) C ( s) s( s + 4) S 解 开环脉冲传递函数为
K 1 1 K =Z − G( z) = Z s( s + 4) 4 s s + 4
z →1
令稳态加速度误差系数： 令稳态加速度误差系数：
K a = lim( z − 1) 2 G ( z )
z →1
7.5.2 数字控制系统的稳态误差
小结： 小结：
稳态位置误差系数： 稳态位置误差系数： 稳态速度误差系数： 稳态速度误差系数：
K p = lim[1 + G( z)]
z →1
Kv = lim(z −1)G(z)
T T T = lim = = z →1 ( z − 1)G ( z ) lim( z − 1)G ( z ) K v
z →1
令稳态速度误差系数： 令稳态速度误差系数：
K v = lim( z − 1)G ( z )
z →1
7.5.2 数字控制系统的稳态误差
输入信号为单位加速度函数r(t)=1/2t (3) 输入信号为单位加速度函数r(t)=1/2t2时
x + jy + 1 ( x 2 + y 2 − 1) − 2 yj = u + jv = ( x − 1)2 + y 2 x + jy − 1
Im z平面
jω
w平面
Re
σ
7.5.1 数字控制系统的稳定性
判断下图所示系统在采样周期T=1s T=4s时的稳定性 T=1s和 例7-10 判断下图所示系统在采样周期T=1s和T=4s时的稳定性