第7章 数字控制系统分析基础 (1)

z →1
令稳态加速度误差系数： 令稳态加速度误差系数：
K a = lim( z − 1) 2 G ( z )
z →1
7.5.2 数字控制系统的稳态误差
小结： 小结：
稳态位置误差系数： 稳态位置误差系数： 稳态速度误差系数： 稳态速度误差系数：
K p = lim[1 + G( z)]
z →1
Kv = lim(z −1)G(z)
采样系统的误差为 E( z) =
影响稳态误 差的因素有 哪些呢? 哪些呢
7.5.2 数字控制系统的稳态误差
输入信号为单位阶跃函数r(t)=1(t) r(t)=1(t)时 (1) 输入信号为单位阶跃函数r(t)=1(t)时 z R( z ) = z −1 1 z esr = lim e(t ) = lim( z − 1) t →∞ z →1 1 + G( z) z − 1
Re
7.5.1 数字控制系统的稳定性
2. 数字控制系统稳定的充要条件
R* ( s )
C * ( s) E * ( s)
R( s)
E ( s)
S
D*(s) H(s)
X * (s)
G(s)
C (s)
D( z )G ( z ) Φ( z ) = 1 + D( z )GH ( z )
可得闭环采样系统的特征方程为 1 + D( z )GH ( z ) = 0 闭环采样系统稳定的充要条件： 闭环采样系统稳定的充要条件：特征方程的所有根均分布 平面的单位圆内，或者所有根的模小于1 在z平面的单位圆内，或者所有根的模小于1，即 zi < 1
1 1 1 = lim = = z →1 1 + G ( z ) lim[1 + G ( z )] K p z →1 令稳态位置误差系数： 令稳态位置误差系数：
K p = lim[1 + G ( z )]
z →1
7.5.2 数字控制系统的稳态误差
输入信号为单位斜坡函数r(t)=t r(t)=t时 (2) 输入信号为单位斜坡函数r(t)=t时 Tz R( z ) = ( z − 1) 2 1 Tz T esr = lim e(t ) = lim( z − 1) = lim 2 t →∞ z →1 z →1 ( z − 1)[1 + G ( z )] 1 + G ( z ) ( z − 1)
R( s)
S
1 − e −Ts s
1 s( s + 1)
C (s)
解 开环脉冲传递函数为
1 1 − e −Ts 1 = Z (1 − e −Ts ) 2 G( z) = Z s ( s + 1) s s( s + 1)
1 1 1 Tz z z −1 = (1 − z −1 ) Z 2 − + − + = (1 − z ) s s s +1 ( z − 1) 2 z − 1 z − e −T
|z1 |=| z2 |= 0.52 + 0.6182 = 0.795 < 1
系统是稳定的
7.5.1 数字控制系统的稳定性
3. 推广的劳斯判据 推广的劳斯稳定判据：在线性采样系统中，对z的有理 推广的劳斯稳定判据：在线性采样系统中，
多项式，经z=(w+1)/(w-1)的双线性变换(W变换)，得到w的 的双线性变换(W变换) 多项式， z=(w+1)/(w-1)的双线性变换 变换 得到w 代数方程就可以应用劳斯判据判稳了。为了区别s 代数方程就可以应用劳斯判据判稳了。为了区别s平面下的 劳斯判据， 平面下的劳斯判据为推广的劳斯稳定判据。 劳斯判据，称w平面下的劳斯判据为推广的劳斯稳定判据。 Z平面和s平面的映射关系： 平面和s平面的映射关系： w +1 z +1 w= z= z −1 w −1 设复变量 z = x + jy w = u + jv 则有
7.5.1 数字控制系统的稳定性
把z=(w+1)/(w-1)，T=0.25s代入上式得 z=(w+1)/(w-1)，T=0.25s代入上式得 w +1 w +1 w +1 ( − 1)( − 0.368) + 0.158K =0 w −1 w −1 w −1 整理后得 0.158Kw2 + 1.264w + (2.736 − 0.158K ) = 0 劳斯表为
w2 w1 w0 0.158K 1.264 2.736 − 0.158K 2.736 − 0.158K
0.158 K > 0
2.736 − 0.158K > 0
0 < K < 17.3
7.5.1 数字控制系统的稳定性
把z=(w+1)/(w-1)，T=0.25s代入上式得 z=(w+1)/(w-1)，T=0.25s代入上式得 w +1 w +1 w +1 ( − 1)( − 0.368) + 0.158K =0 w −1 w −1 w −1 整理后得 0.158Kw2 + 1.264w + (2.736 − 0.158K ) = 0 劳斯表为
7.5.2 数字控制系统的稳态误差
１、稳态误差的计算
设单位反馈采样系统如下图所示
R( s) E ( s)
E * ( s)
S
G(s)
C (s)
1 R( z ) 1 + G( z) 闭环系统稳定， 设闭环系统稳定，根据终值定理可以求在输入信号作用 下采样系统的稳态误差的终值为 1 esr = lim e(t ) = lim e(nT ) = lim( z − 1) R( z ) t →∞ n →∞ z →1 1 + G( z)
x + jy + 1 ( x 2 + y 2 − 1) − 2 yj = u + jv = ( x − 1)2 + y 2 x + jy − 1
Im z平面
jω
w平面
Re
σ
7.5.1 数字控制系统的稳定性
判断下图所示系统在采样周期T=1s T=4s时的稳定性 T=1s和 例7-10 判断下图所示系统在采样周期T=1s和T=4s时的稳定性
0
脉冲传递函数G(z)具有 z=1的 注：在离散系统中，把开环脉冲传递函数 在离散系统中， 具有 的 称为离散系统的型别。 极点数目ν 称为离散系统的型别。即
G( z) =
1 ( z −1)ν
σT =0时,s=jω ① 当σ=0时,s=jω,则 z = e = 1 ∠z = T ω
jω
s平面
σ
<0时 ② 当σ<0时,则 >0时 ③ 当σ>0时,则
z = eσ T < 1 ∠z = T ω z = eσ T > 1 ∠z = T ω
Im z平面
结论： 平面的稳定区域在Z 结论：S平面的稳定区域在Z平面上 的映射是单位圆内部区域
7.5 数字控制系统的性能与控制
数字控制系统的稳定性 数字控制系统的稳态误差
数字控制系统的动态性能
7.5.1 数字控制系统的稳定性
1. S平面与Z平面的映射关系 S平面与 平面与Z
z = eTs 复变量z 复变量z和s的关系为 而 s = σ + jω 则 z = eT (σ + jω ) = eσ T e jT ω = z e j∠z
7.5.1 数字控制系统的稳定性
例 试分析特征方程为Z Z+0.632=0的系统的稳定性 的系统的稳定性. 试分析特征方程为Z2-Z+0.632=0的系统的稳定性.
解 特征方程的根
z1,2 1 ± 1 − 4 × 0.632 = = 0.5 ± 0.5 −1.528 = 0.5 ± j 0.618 2
z→1
2 z →1
稳态加速度误差系数： 稳态加速度误差系数： Ka = lim( z −1) G( z)
7.5.2 数字控制系统的稳态误差
单位反馈离散系统的稳态误差 1 R t2 系统型别 R11(t ) R2t 2 3 R1 0型 ∞ ∞ KP
Ⅰ型 Ⅱ型 0 0
R 2T KV
∞
R 3T 2 Ka
T T T = lim = = z →1 ( z − 1)G ( z ) lim( z − 1)G ( z ) K v
z →1
令稳态速度误差系数： 令稳态速度误差系数：
K v = lim( z − 1)G ( z )
z →1
7.5.2 数字控制系统的稳态误差
输入信号为单位加速度函数r(t)=1/2t (3) 输入信号为单位加速度函数r(t)=1/2t2时
T ( z − e −T ) − ( z − 1)( z − e −T ) + ( z − 1)2 = ( z − 1)( z − e −T )
7.5.1 数字控制系统的稳定性
相应的闭环特征方程为 D( z ) = 1 + G ( z ) = 0 可得 z 2 + (T − 2) z + 1 − Te−T = 0 当T=1s时，系统的特征方程为 T=1s时 z 2 − z + 0.632 = 0 解得两个极点为 z1,2 = 0.5 ± j 0.618 这两个极点都在单位圆内， 这两个极点都在单位圆内，所以系统稳定 当T=4s时，系统的特征方程为 T=4s时 z 2 + 2 z + 0.927 = 0 解得两个极点为 z2 = −1.27 z1 = −0.73 有一个极点在单位圆外， 有一个极点在单位圆外，所以系统不稳定
7.5.1 数字控制系统的稳定性
设采样系统如图所示，采样周期T=0.25s T=0.25s， 例7-11 设采样系统如图所示，采样周期T=0.25s，求能使系 统稳定的K值范围。 统稳定的K值范围。 K R( s) C ( s) s( s + 4) S 解 开环脉冲传递函数为