三个重要不等式

三个重要不等式

目的：掌握三个重要不等式及其应用

重点、难点：综合应用三个重要不等式解决竞赛数学中的不等式问题 1、排序不等式[2]

设有两组数1212, ,,;,,,n n a a a b b b L L ，满1212 ,n n a a a b b b ≤≤≤≤≤≤L L ， 则有 1122

n n a b a b a b +++L （顺序和）

1212n i i n i a b a b a b ≥+++L （乱序和）

1211n n n a b a b a b -≥+++L （逆序和）

其中12, ,,n i i i L 是1,2,,n L 的一个排列，当且仅当12= n a a a ==L 或12n b b b ===L 时等号成立.

证明 先证左端 设乱序和为S ,要S 最大,

我们证明必须n a 配n b ,1n a -配1n b -,L ,1a 配1b , 设n a 配n i b ()n i n <,n b 配某个()k a k n <, 则有 n n n i n k k i n n a b b a a b a b +≤+

这是因为 ()()

0n n n n n k i k n n i n k n i a b a b a b a b a a b b +--=--≥ 同理可证1n a -必配1n b -，2n a -必配2n b -，L ，1a 必配1b ， 所以 12121122n i i n i n n a b a b a b a b a b a b +++≤+++L L 再证右端 又1

211 ,n n n a a a b b b -≤≤≤-≤-≤≤-L L ，

由以上证明结论(乱≤ 同) 可得，

()()()()()()

12121112n

n n n i i n i a b a b a b a b a b a b --+-++-≥-+-++-L L

于是有12121112n n n n i i n i a b a b a b a b a b a b -+++≤+++L L

当且仅当12= n a a a ==L 或 12n b b b ===L 时，等号成立. 证毕. 2．均值不等式

设12,n a a a L 是正实数，则

n n n a a a n a a a ............2121≥+++n

a a a n

1 (112)

1

+

++≥

即n n n H G A ≥≥,等号当且仅当n a a a ===......21时成立.

证明： ),......,2,1(n i R a i =∈+

Θ

∴设)1(log )(>=a x f x

a

，则)(x f 为),0(+∞内的上凸函数 由琴生不等式，得：

n

a a a a a a n

n

n n n a a a a

a a a a a a n

n ............log

)log ......log (log 12121 (2121)

++≤

≤+++++即

所以n n G A ≥

对于

n

a a a 1

,......,

1,121这n 个正数，应用n n G A ≥， 得0 (1)

1 (112121)

>≥+++n n

n a a a n a a a 所以n

n n a a a n

a a a 1

......11......2121+++≥

所以n n H G ≥成立 ,故n n n H G A ≥≥ 证毕. 此外，均值不等式还可用排序不等式、数学归纳法等其它方法证明，

3、柯西不等式

设,(1,2....)i i a b R i n ∈=则

2221

1

1

()()()n

n

n

i i i i i i i a b a b ===≤∑∑∑

当且仅当(1,2....)i i b ka i n ==时等号成立

证法一（数学归纳法）

(1)当(1,2...)(1,2....)i i a i n b i n ==或全为零时，命题显然成立. (2)当数组1212,,...;,...n n a a a b b b 不全为零时， 采用数学归纳法.

1） 当n=1时22221111a b a b =不等式成立 2）

设当1n k =-时，不等式成立.令

111221231

1

1

,,k k k i i i i i i i S a S b S a b ---======∑∑∑则有2123S S S ≥

3）

那么当n=k 时

112222221

1

1

1

()()k

k

k k i i k i k i i i i a b a a b b --====⋅=++∑∑∑∑

2

212()()k

k S a S b =++ =22221212k k

k k S S S b S a a b +++

223()k k S a b ≥+

22332()k k k k S a b S a b ≥++

=23()k k S a b + =1

21()k i i k k i a b a b -=+∑

=21

()k i i i a b =∑

当且仅当(1,2....)i i b ka i n ==时等号成立

综上述，对2221

1

1

,,.1,2...()n

n

n

i i i i i i i i i n N a b R i n a b a b ===∀∈∀∈=≥∑∑∑均有

证法二，作关于x 的二次函数

2222222

12112212()(...)2(...)(...)

n n n n f x a a a x a b a b a b x b b b =+++++++++++若

22212...0n a a a +++=

则12..0n a a a ====不等式显然成立.

若222

12

...0n a a a +++≠ 则2221122()()()...()0n n f x a x b a x b a x b =++++++≥

又22212

...0n a a a +++>Q 2221

1

1

[2()]4()()0n

n

n

i i i i i i i a b a b ===∴-≤∑∑∑

2221

1

1

()n n n

i i i i i i i a b a b ===∴≥∑∑∑