第3章傅里叶级数

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傅里叶分解的基本出发点是将信号分解为复 指数信号的加权和，或者积分。 复指数信号的物理背景就是正弦信号。在电 路分析等课程中，我们对正弦信号已经有了 足够的了解。人们很早就意识到，正弦振荡 是各种振荡的基本形式，这正是傅里叶分解 的真正基础。 傅里叶分析帮助我们从时域的分析方法转变 到频域的分析方法。工程上，频域方法具有 更加广泛的应用，是一种常用的信号分析方 法。
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3.2.1 谐波复指数信号集
{k (t ), k Z}
k (t ) e
jk 0t 成谐波关系的复指数信号集
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如果一个以
T0
为周期的周期信号
x(t ) 满足，
x(t )
k
a e
k

jk 0t
2 0 T0
1 2 1 cos 2t cos 4t cos 6t 2 3
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ak 和 a k
表示了频率为 k 0 的正弦信号的权重。
1 2 1 cos 2t cos 4t cos 6t 2 3
直流分量 基波分量 二次谐波分量 三次谐波分量
x(t )
k
a e
k

jk 0t
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欧拉公式
e cost j sin t
jt
e e cost 2
jt
jt
e e sin t 2
jt
jt
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例题3.1 将下面的复指数信号的线性组合变换为正 弦信号的线性组合，其中，
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物理上存在的信号都是实信号。 下面讨论信号为实函数的情况。
x (t ) x(t )
x (t )
k

a e

* jk0t k

k
a


* k
e
jk 0t

k
a e
k
jk 0t
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h( )e
s
st e H ( s) d
只取决于s和 系统的参数
H ( s)



h(t )e
st
dt
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LTI系统对复指数信号的响应仍然是复指数信号
e
st
LTI
e H ( s)
st
系统函数
传递函数
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如果我们能将信号分解成为复指数信号的加权和
x(t ) ak e
sk t
y(t ) ak H (sk )e
完全说明了LTI系统的变换规律
sk t
可以针对输入信号的复指数分解, 求得LTI系统的输出响应。
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在傅里叶分析里面，我们将上述复数s限定为纯虚数
s j
由此导出的方法称为傅里叶(Fourier)方法；傅里叶 方法是以法国数学家, 物理学家傅里叶(1768-1830) 的名字命名的。
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3.1 傅立叶分析引论
在介绍周期信号的傅里叶分解之前，我们 先讨论一下LTI系统对典型正弦信号和复指 数信号的响应。 在电路分析里面，我们知道线性时不变系 统在正弦信号的激励下，其响应仍然是同 频率的正弦信号，只是在幅度和相位上有 所变化。
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傅里叶方法帮助我们使用信号的频率分量来分 析信号，这种方法被称为频域(frequency domain)方法。 我们将看到，在频域上来刻画LTI系统对信号 实施的变换，将会使分析变得相当简单。
频域方法是一类重要的系统与信号的分析方法， 除用于LTI系统的分析以外，它还适用于更广 泛的系统分析，或者仅仅分析信号本身。
存在一个傅里叶级数的表达
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分解
傅里叶级数
x(t )
傅里叶级数展开
。
k
a e
k
wenku.baidu.com
jk0t
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直流分量
基波分量
k次谐波分量
a0
a1e
a1e
j0t
j0t
……
ak e
jk0t
ak e
jk0t
……
在信号中所占的比重 谐波合成
x(t )
a0 1
k 3
a e
k
3
jk 2t
a1 a1 1 / 4
a3 a3 1 / 3
a2 a2 1 / 2
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解：
1 j 2t j 2t x(t ) 1 (e e ) 4 1 j 4t 1 j 6t j 4t j 6t (e e ) (e e ) 2 3
因此，
a
* k
ak
a ak
* k
严格地说，上面的推导是由正交函数的讨论取得的。
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x(t )
k
如果不对复数s进行限定，即
s j
由此导出的一套方法称为拉普拉斯方法，在第九章 里面讨论。
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3.2 连续时间周期信号的傅里叶级数展开
在工程实际中，并不存在复指数信号。 复指数信号的物理背景是正弦信号。只是 为了简化数学推导和方便运算，我们才引 入了复指数信号这样一种数学工具. 复指数信号和正弦信号到底是一种什么关 系呢？这是本节首先要解决的问题。
第3章 傅里叶级数
卷积方法的基本出发点是，将信号分解为单 位冲激信号的移位加权和或者加权积分。 我们可以看出，将任意信号分解为基本信号 的组合，往往是分析信号与系统的前提。 本章将介绍信号的另一种分解方式，即傅里 叶分解，并且进而引入频谱的概念。
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前面两章中，我们以分析信号的时间函数的方 式，来分析信号，这种分析方法被称为时域 (time domain)方法。
同频率
cos(t )
LTI
A cos(t )
LTI系统对正弦信号的响应仍然是同频正弦信号
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复指数信号激励LTI系统的情况。
e
st
LTI
?
s ( t )
y(t ) h(t ) * e h( )e
st
d
e
st