牛顿运动定律的临界问题

FmB (m M )a ① mg ma ② 联立①②两式解出 FmB (m M ) g
A m B
m
M
FmB
⑶若要把B从A下表面拉出，则施于B的水平拉力的最小值跟保持 A、B相对静止施于B的最大拉力为FmB物理意义相同．答案同⑵
理解临界状态的“双重性”
整体法和隔离法相结合
例2.如图所示，mA=1kg,mB=2kg,A、B间的最大静摩擦力为5N, 水平面光滑，用水平力F拉B，当拉力大小分别为F1=10N和 F2=20N时，A 、B的加速度各为多大？ m 解：假设拉力为F0时，A、B之间的静摩擦力 A 达到5N，它们刚好保持相对静止．对于整体 F B 和物体A，分别应用牛顿第二定律
牛顿第二定律的应用
——临界问题
临界状态：物体由某种物理状态变化为另一种物理 状态时，中间发生质的飞跃的转折状态，通常称之 为临界状态。 临界问题：涉及临界状态的问题叫做临界问题。
例题分析 例1．在水平向右运动的小车上，有一倾角θ=370 的 光滑斜面，质量为m的小球被平行于斜面的细绳系 住而静止于斜面上，如图所示。当小车以（1）a1=g, (2) a2=2g 的加速度水平向右运动时，绳对小球的拉 力及斜面对小球的弹力各为多大？
(2）a由0逐渐增大的过程中，开始阶段，因m 在竖T2 图1 直方向的加速度为0，θ角不变，T1不变，那么， mg 加速度增大（即合外力增大），OA绳承受的拉力 T2必减小。当T2=0时，m存在一个加速度a0，如图 2所示，物体所受的合外力是T1的水平分力。当 T1 a.>a0时，a增大，T2=0（OA绳处于松弛状态），T1 F0 在竖直方向的分量不变，而其水平方向的分量必 增加（因 合外力增大），θ角一定增大，设为α。 图2 受力分析如图3所示。 mg α T1
再取整体为研究对象受力如图，
则得与两者保持相对静止对 应的最大拉力 Fm=(M+m) am=36N 而 F=30N <Fm 木块与小车保持相对静止 故系统的加速度 a=F/(M+m)=5 m/s2
m
M
Fm
M
f滑
[小结] 存在静摩擦的连接系统， 当系统外力大于最大静摩 擦力时， 物体间不一定有相对滑动；相对 滑动与相对静止的临界条件是： 静摩擦力达最大值
θ
mg
mgcos N masin ③
随a 增大，弹簧伸长，弹力F增 大，支持力N减小，直到N=0时， 为最大加速度。
kx1 mgsin ①
mg kx 2 ④ sin
联立①④两式解出小物块在斜面体 上相对于斜面体移动的最大距离
a
θ θ
mg
m g cos x2 x1 k sin
G
当小车加速度a> 4g/3时，小球已飘离斜面，如图所示 a 得 F=m a g
2 2
将a2=2g 代入得 F2=
F
ma
5 mg
θ
G
[小结] 相互接触的两个物体将要脱离的临界条件是 相互作用的弹力为零。
拓展：上述问题中，若小车向左匀加速运动时 ， 试求加速度a3=g时的绳中张力。 a
FN F θ G
F0 (mA mB )a ① f m mAa ②
a A aB aA
联立①②两式解出 F0 15N ⑴当F=10N＜15N时, A、B一定相对静止，对于整体关键牛顿 F 第二定律 2 ⑵当F=20N＞15N时, A、B一定相对滑动，对于A和B分别应用 fm F fm 2 牛顿第二定律 2
[小结] 绳子松弛的临界条件是：绳中拉力为零。
解决临界问题的基本思路
（1）认真审题，仔细分析研究对象所经历的变化的 物理过程， 找出临界状态。
（2）寻找变化过程中相应物理量的变化规律，找出 临界条件。 （3）以临界条件为突破口，列临界方程，求解问题。
练习1：A、B两个滑块靠在一起放在光滑水平 面上，其质量分别为2m和m,从t=0时刻起，水平 力F1 和F2 同时分别作用在滑块A和B上，如图所 示。已知F1=（10+4t）N, F2=(40-4t)N,两力作用 在同一直线上，求滑块开始滑动后，经过多长 时间A、B发生分离？
联立①②两式解出
FmA (m M )a ① mg Ma ② m(m M ) g
FmA M
A m
B
m
FmA
M
量变积累到一定程度，发生质变，出现临界状态．
⑵设保持A、B相对静止施于B的最大拉力为FmB ,此时A、B之间 达到最大静摩擦力μmg，对于整体和物体A，分别应用牛顿第二 定律
mA mB
3.3m / s aB
mA
5m / s
A、B间的静摩擦力达到5N时，一方面它们刚好保持相对静止具有相同的加 速度；另一方面它们刚好开始滑动，它们之间的摩擦力按滑动摩擦力求解．
mB
7.5m / s
例3.如图,车厢中有一倾角为300的斜面, 当火车以10m／s2的加速度沿水平方向 向左运动时,斜面上的物体m与车厢相对 静止,分析物体m所受摩擦力的方向．
例6．质量为m的小物块，用轻弹簧固定 在光滑的斜面体上，斜面的倾角为θ，如 图所示。使斜面体由静止开始向右做加速 度逐渐缓慢增大的变加速运动，已知轻弹 θ 簧的劲度系数为k。求：小物块在斜面体 上相对于斜面体移动的最大距离。 解：静止时物体受力如图示 向右加速运动时 N
kx1
θ
a
kx mgsin macos ②
300
解1：m受三个力作用，重力mg、弹力 N、静摩擦力f． f的方 向难以确定．我们先假设这个力不存在，那么如图，mg与N 只能在水平方向产生mg tgθ的合力，此合力只能产生
tan300=
3 3
g的加速度，小于题目给定的加速度，故斜面对
m的静摩擦力沿斜面向下． 解2:假定m所受的静摩擦力沿斜面向上．将加速度a正交分 解，沿斜面方向根据牛顿定律有mgsin300一f=macos300
m
θ
M
F ( M m)a ①
m
F N1 sin ma ② N1 cos mg 0 ③
联立①②③式解出使m相对M 相对滑动的最小推力
θ
mg
M F
⑴整体法和隔离法相结合． ⑵动态分析临界状态，从两个方 面理解临界状态．
( M m)mg tan F M
Leabharlann Baidu
P 例5.如图，一细线的一端固定于倾角为450的 光滑楔形滑块A的顶端P处， 细 线的另一端 拴以质量为m的小球， ⑴.当滑块至少以多大 a 加速度向左运动时，小球对滑块的压力为零？ ⑵.当滑块以加速度a=2g向左运动时，线中张 力多大？ a 解：⑴根据牛顿第二定律得
（3）存在静摩擦的连接系统，当系统外力大于最大静摩擦力时， 物体间不一定有相对滑动，相对滑动与相对静止的临界条件是： 静摩擦力达最大值
练习：如图，在光滑的地面上有小车A，其质量为mA=2千 克，小车上放一物体B，质量mB=1千克，A、B间有摩擦，
若给B施加一水平推力F1（如图甲所示），当F1逐渐增大到 稍大于3牛时B开始相对于A滑动；若撤去F1，对A施加一个 水平推力F2（如图乙所示），要使B不相对于A滑动， F2的 最大值是多少？
f 5(1 3)m 0
说明f的方向与假定的方向相反，应是沿斜面向下．
例4. 如图所示,把长方体切成质量分别为m和M 的两部分，切面与底面的夹角为θ,长方体置于 F 光滑的水平地面，设切面亦光滑，问至少用多 大的水平推力推m，m才相对M滑动？
解: 设水平推力为F时，m刚好相对M滑 动．对整体和m分别根据牛顿第二定律 θ
[小结] 相互接触的两个物体将要脱离的临界条件是 相互作用的弹力为零。
拓展：上述问题中，若小车向左匀加速运动时 ， 试求加速度a3=g时的绳中张力。
解：设绳中的拉力为零时， 小车的加速度为a ，此时 小球的受力如图 得 a=gtanθ=3g/4
而a3 =g ，故绳已松弛，绳 上拉力为零
a
FN ma θ G
300
图1
当物体具有斜向下的运动趋势时，受力分析如图2 所示， sin300 N1 - f1 cos300=ma0 (1) f1 sin300+N1 cos300=mg (2) f 1 =μN1 (3) a 01=？
N1 y
f1 x
当物体具有斜向上的运动趋势时，受力分析 如图3所示，N2sin300+ f2 cos300=ma0 (1) N2 cos300=mg + f2 sin300(2) f 2 =μN2 (3)
B A
F1
B
A
F2
甲
乙
例1.如图，质量分别为m、M的A、B两木块叠放在 光滑的水平地面上，A与B之间的动摩擦因数为μ。 m 若要保持A和B相对静止，则施于A的水平拉力F的 A m 最大值为多少？若要保持A和B相对静止，则施于 B M B的水平拉力F的最大值为多少？若要把B从A下表 面拉出，则施于B的水平拉力最小值为多少？ 解：⑴设保持A、B相对静止施于A的最大拉力为FmA ,此时A、B之 间达到最大静摩擦力μmg，对于整体和物体B，分别应用牛顿第二 定律
2
牛顿定律运用中的临界和极值问题
例题分析:1、小车在水平路面上加速向右运动，一 质量为m的小球用一条水平线和一条斜线（与竖 直方向成30度角）把小球系于车上，求下列情况 下，两绳的拉力： (1)加速度a1=g/3 (2)加速度a2=2g/3
B θ A O
分析（1）平衡态（a=0）受力分析 。
T1 θ
a
B BB
F1
a
A
例2、有一质量M=2kg的小车置于光滑水平桌面 上，在小车上放一质量m=4kg的木块，动摩擦因 素µ =0.2,现木块施加F=30N,如图所示，则小车的 加速度为多少？
m F M
M
fm
解：当木块与小车之间的摩擦力达最大静摩擦 力时，对小车水平方向受力分析如图 则两者保持相对静止的最大加速度为 am=fm/M=6m/s2
a
θ
解： 取小球为研究对象并受力分析 建立正交坐标系 则沿x轴方向 沿y轴方向 Fcosθ-FNsinθ=ma Fsinθ+FNcosθ=mg FN F
将 θ=370 、a1=g 、a2=2g 分别代入
得
F1=1.4mg
FN1=0.2mg
F2= 2.2mg
FN2= - 0.4mg θ
当a=gcotθ= 4g/3 时，支持力FN =0 小球即将脱离斜面
0
A
450
450 mg
因此当滑块至少以加速度g向左运动时，小球对滑块的压力为零. ⑵a=2g > a0 ,小球离开斜面，设此时绳与竖直方向的夹角为α, a
mg tan45 ma0 0 a0 g tan45 g
0
α
mg
T m 2 g 2 m 2 a 2 5mg
关键是找出装置现状（绳的位置）和临界条件， 而不能认为不论α多大，绳子的倾斜程度不变．
解决临界问题的基本思路
（1）认真审题，仔细分析研究对象所经历的变化的物理过程， 找出临界状态。
（2）寻找变化过程中相应物理量的变化规律，找出临界条件。
（3）以临界条件为突破口，列临界方程，求解问题。
三类临界问题的临界条件
（1）相互接触的两个物体将要脱离的临界条件是：相互作用的 弹力为零。
（2）绳子松弛的临界条件是：绳中拉力为零
图2
mg
T1 F0
α
T1
图3
mg mg
牛顿定律运用中的临界问题
例题：2、质量m=1kg的物体，放在θ=370的 斜面上，物体与斜面的动摩擦因数μ=0.3， 要是物体与斜面体一起沿水平方向向左加 速运动，则其加速度多大？
300
图1
分析：讨论涉及静摩擦力的临界问题的一般方法
是：1、抓住静摩擦力方向的可能性。2、物体即 将由相对 静止的状态即将变为相对 滑动状态的 条件是f=μN（最大静摩擦力）。本题有两个临界 状态， 当物体具有斜向上的 运动趋势时，物体受到的摩 擦力为最大静摩擦力； 当物体具有斜向下的运动趋势时，物体受到的摩 擦力为最大静摩擦力。
图3
mg
当T2=0时， 如图2所示，F0=tgθmg
ma0=tgθmg
a0=tgθg。
T1 θ T2
图1
当a<a0时，T2≠0，T1sinθ-T2=ma (1) T1COSθ=mg (2) （如图1） 当a>a0时，T2=0，（松弛状态） T1sinα=ma (1) T1cosα=mg (2) tgα=a/g（如图3)
F2
A
B
F1
解 ：由题意分析可得 两物体分离的临界条件是：两物体之间刚好无相互作 用的弹力，且此时两物体仍具有相同的加速度。
分别以A、B为研究对象，水平 方向受力分析如图 由牛顿第二定律得
F1=ma 则 F2=2 F1 即(40-4t) =2(10+4t） 解得 t=5/3 (s) F2=2ma
F2