一阶微分方程习题课
第8章 常微分方程—8-8(习题课)
习题5
求解
y a y 2 0 y x 0 0 , y
x 0
1
提示: 令 则方程变为 1 积分得 a x C1 , 利用 p x 0 y x 0 1 得 C1 1 p dy 1 , 并利用 y x 0 0 , 定常数 C2 . 再解 dx 1 ax
y y x,
xπ 2
y 4 y 0 , x π 2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ满足条件
处连续且可微的解. 例4 设函数 数, 且 内具有连续二阶导
(1) 试将 x＝x( y) 所满足的微分方程 2 d x dx 3 ( y sin x)( ) 0 2 dy dy
变换为 y＝y(x) 所满足的微分方程 ;
dp f ( x, p ) dx
2. 二阶线性微分方程的解法
• 常系数情形 • 欧拉方程
齐次
非齐次
代数法
x 2 y p x y q y f ( x) d t 令 x e ,D dt t y D( D 1) pD q f (e )
例3 求微分方程
利用 y x 0 0, y x 0 0, 得
处的衔接条件可知,
解满足
y 4 y 0
其通解:
y C1 sin 2 x C2 cos 2 x
) cos 2 x, x y 1 sin 2 x ( 1 2 2 2
定解问题的解: 故所求解为
y 1 ) cos 2 x , sin 2 x ( 1 2 2
高等数学A
第8章 常微分方程
习 题 课
中南大学开放式精品示范课堂高等数学建设组
微分方程习题课
微分方程习题课
【3】求微分方程
【4】求方程 【5】求方程 【6】求方程
y |x 1的特解。
xy y x 2 的通解。
(1 x ) y y ln( x 1) 的通解。
1 的特解。 2
y y ( y)2 0满足初始条件 y x0 1,
y x 0
所以原方程通解为
将 y |x 1代入得
特解为
cos x C y x C 1
1 y ( cos x 1) x
12
1 sin x q( x ) 解法2：因为 p( x ) ， ，利用求解公式得 x x
1 1 dx dx sin x x x ye [ e dx C x
3
可降阶的高阶微分方程
解题方法流程图
No
Yes
y ( n) f ( x)
逐次积分 通解y ( x, c1 , c2 ,, cn )
y f ( x, y)
特点:不显含 y 令 y P ( x ) 转化为一阶方程 p f ( x, p) 解一阶微分方程
y f ( y, y)
e
ln x
sin x ln x [ e dx C ] x
1 cos x C [ sin xdx C ] x x
将 y |x 1代入得 特解为
C 1
1 y ( cos x 1) x
13
2 【例4】求方程 xy y x 的通解。
此方程为齐次方程，所以按框图中的方法求解。
y dy du u x 解：令 u ,于是 y ux , ,上式可化为 x dx dx
du 1 u cos u u x sec u u dx cos u
第8章 常微分方程—8-2(齐次、一阶线性)
dv y 1 v 2 dy
x 令v , y
dx dv v y dy dy
积分得 故有
故反射镜面为旋转抛物面.
ln ( v 1 v 2 ) ln y ln C 2 y 2y v y 2 2 1 ( v ) 1 v 2 C C C 得 y 2 2 C ( x C ) (抛物线) 2
2 2
dy 2 求方程 ( 4 x y 1 ) 的通解。 例８ dx 解 令u 4 x y 1, 则u 4 y, y u 4, du 2 原方程可化为 u 4 u , 即 4 u2 . dx 分离变量并积分得 du 1 u dx u2 4 2 arctan 2 x C1
当c c1 0时,
2.解法
令x X h, （其中h和k是待定的常数） y Y k， dx dX , dy dY
dY aX bY ah bk c f( ) dX a1 X b1Y a1h b1k c1
可化为齐次的方程
ah bk c 0, a1h b1k c1 0, a b (1) 0, 有唯一一组解. a1 b1
u 2 tan(2 x C ) , (C 2C1 )
而u 4 x y 1, 故原方程通解为
4 x y 1 2 tan(2 x C ) .
代回原方程, 得齐次方程的解 y u0 x.
例 1 求解微分方程
y y ( x y cos )dx x cos dy 0. x x
例2 解微分方程
例 3 求解微分方程
dx dy 2 . 2 2 x xy y 2 y xy
例 ４ 求方程
微分方程习题课1
0
0
分析：此等式中含有积分上限函数，因此想到利用积分
上限函数的性质，求导可建立微分方程，从而求解。
解：等式两边对 x 求导得
f(x ) e x x f(x )xf(t) d t x f(x ) e x xf(t) d t
0
0
两边再对 x 求导得 f(x)exf(x)
即
f(x)f(x)ex
为二阶线性非齐次微分方程，且 f(0)1,f(0)1
(1 ) f(x ) e xP m (x )型
设 y*xkexQ m (x),
0 k 1
不是根 是单根 ,
Q(x)xkQm(x),
2 是重根
Q m (x ) b 0 x m b 1 x m 1 b m 1 x b m
Qm(x)是 Pm(x) 与同次的多项式.
Q(x) (2 p )Q (x )(2pq)Q (x)Pm(x)
当 Q(x)0, 上方程称为齐次的．
当 Q(x)0,
上方程称为非齐次的.
解法 齐次方程的通解为 yCeP(x)dx.
（使用分离变量法） 非齐次微分方程的通解为
y [Q (x )e P (x )dd x x C ]e P (x )dx
（常数变易法）
3、可降阶的高阶微分方程的解法 (1) y(n)f(x)型
无 关 的 特 解 , 那 么 yC1y1C2y2就 是 方 程 (1)的 通 解 .
（2）二阶非齐次线性方程的解的结构:
形 y P ( x ) y 如 Q ( x ) y f ( x ) ( 2 )
定理3 设y*是(2)的一个特解,Y 是与(2)对应 的齐次方程(1)的通解, 那么yYy*是二阶
非齐次线性微分方程(2)的通解.
高等数学课件：微分方程习题课
y 1
x2 y3
y 1
x2 1 1 y
x2 y3
x2
故方程的通解为
x2
1
C.
y3 y2
10 /16
*例4 求通解
( x2 y2 2 y)dx ( x2 y2 2x)dy 0.
解 非全微分方程. （利用积分因子法）
改写为 ( x2 y2 )(dx dy) 2( ydx xdy)
cos 2x的特解, 代入方程，得
4d cos2x 4csin2x cos2x
所求通解
y C1 cos
2
x
C2
sin
2
x
1 8
y2* x
1 4 1 8
x x
sin2x sin 2 x
.
14 /16
例８ 设 y p(x) y f (x) 有一特解1/ x，对应
通解为
3x z
e
2 3x
dx
(
x2e
2 3x
dx
dx
C
)
3
7
x3
2
Cx 3 .
原方程通解
y
1 3
3
7
x3
2
Cx 3 .
7
7
7/16
例3 求通解 2x dx y2 3x2 dy 0.
y3
y4
解(1uy)u用(xP偏y, y3积)yx4分2Qxx法y32C求(原C6yyx(函4),y,数)(,又y:两边0uy对)uxy为y求12全2导yx3微,3y分x42方程.
uxC2c,o所s求u通解xxy2
,补充零解, cos y C .
x
6/16
4
例2 求通解 xy 2 y 3x3 y 3 .
一阶微分方程习题课
非齐次微分方程的通解为
∫ P( x)dxdx + C]e−∫ P( x)dx y = [∫ Q( x)e
（常数变易法） 常数变易法）
(4) 伯努利 伯努利(Bernoulli)方程 方程 dy (n ≠ 0,1) 形如 + P( x) y = Q( x) yn dx 当n = 0,1时， 方程为线性微分方程 方程为线性微分方程. 方程为非线性微分方程 当n ≠ 0,1时， 方程为非线性微分方程. 解法 需经过变量代换化为线性微分方程． 需经过变量代换化为线性微分方程．
7 3
z = Cx ,
2 3
设 z = C ( x) x ,
C ′( x ) x = − x 2 ,
2 3
2 3
3 ∴C( x) = − x + C′, 原方程的通解为 7 1 2 − 3 7 y 3 = − x 3 + C′x 3 . 7
例2 解方程
dy 2 x + y = dx x − 2y
解 此方程是齐次方程，通过作变换 y= ux ，将它化变量法
一阶方程
作 降 变 阶 换 作变换
非 变 量 可 分 离
常数变易法 法 数法
高阶方程
3、一阶方程解题程序
Pdx+ Qdy= 0
分离变量 解方程 解方程
y′ = f ( x, y)
齐次型
一阶线性
Bernoulli
二、典型例题
例1 解
求通解 xy′ + 2 y = 3x3 y .
原式可化为
4 2 ′ + y = 3 x2 y 3 , 伯努利方程 y x
4 3
即
2 −1 y y′ + y 3 = 3 x 2 , x
习题课_微分方程(解答)
有两个不相等实根 r1 , r2
有两个相等实根 r r1 r2
有一对共轭复根 r1 ,2 i
y C1e
rx
r1 x
C2 e
r2 x
y e (C1 C2 x)
y e x (C1 cos x C2 sinx)
4
10. 二阶常系数线性非齐次方程 ay '' by ' cy f ( x)
0
x
解： f ( x)sinx x f (t )dt tf (t )dt ， f (0) 0 ，
0 0
x 0
x
x
f ( x)cosx f (t )dt ， f (0)1 ，f ( x ) sin x f ( x ) ，
y y sin x 得初值问题： 。 y(0) 0, y(0)1 1 求得通解为 y C1cos x C 2 sinx xcos x ， 2 1 代入初始条件 y(0)0, y(0)1 ，得 C1 0 ， C 2 ， 2 1 ∴ y f ( x ) (sin x x cos x ) 。 2
(1) α iβ
ex [ Pm ( x ) cos x Pn ( x ) sinx ]
(1) y ex [ RL ( x ) cos x ( 2) RL ( x ) sinx ]
(1) y xex [ RL ( x ) cos x ( 2) RL ( x ) sinx ]
2
9
三、计算题
1．求方程 yy ' (sin x y 2 )cot x 的解。
( y x 2 y 2 )dx xdy 0 ( x 0) 2．求初值问题 的解。 y x1 0
江苏大学-常微分方程-3-7 - 一阶线性方程与常数变易法
2.2 一阶线性方程与常数变易公式(First order linear differential equationand constant variation formula )[教学内容] 1. 认识一阶线性齐次方程和一阶线性非齐次方程; 2.介绍一阶线性非齐次方程的常数变易公式; 3. 介绍电学知识和基尔霍夫定律; 4. 认识Bernoulli 方程及其通过变量替换化为一阶线性方程的解法; 5. 介绍其他可化为一阶线性方程的例子.[教学重难点] 重点是知道一阶线性非齐次方程的解法，难点是如何根据方程的形式引入新的变量变换使得新方程为一阶线性方程.[教学方法] 自学1、4；讲授2、3 课堂练习 [考核目标]1. 熟练运用常数变易公式;2. 知道⎰dx bx sin e ax 计算和一些三角函数恒等式; 3. 知道电学一些知识，如电容电流公式、电感电压公式和基尔霍夫定律; 4. 知道溶液混合问题建模; 5. 认识Bernoulli 方程并会经过适当变换化为线性方程求解. 6. 知道交换自变量和因变量化非线性方程为一阶线性方程.1. 认识一阶线性齐次方程和一阶线性非齐次方程（First order (non)homogeneous linear differential equation ） (1) 称形如y p(x)dxdy=的方程为一阶线性齐次方程，其中p(x)连续； 称形如q(x)y p(x)dxdy+=的方程为一阶线性非齐次齐次方程，其中q(x) p(x),连续且q(x)不恒为零. (2) 当0y ≠时，改写y p(x)dxdy=为 1C dx p(x)|y |ln ,dx p(x)y dy dx, p(x)y dy +===⎰⎰⎰，其中⎰dx p(x)表示P(x)的一个原函数(antiderivative). 因此，y p(x)dxdy =通解(general solution)为1C p(x)dx e C ~,e C ~y =⎰±=，此外y=0也是解. 综上，y p(x)dxdy =的解为C ,e C y p(x)dx⎰=为任意常数. (3) 常数变易法：如何求q(x)y p(x)dxdy+=的解呢？ 假定上述线性非齐次方程有如下形式的解 ⎰=p(x)dxeC(x)y ，则代入原方程来确定C(x)，q(x)p(x)C(x)e e p(x) C(x)e (x)' C dxdy p(x)dxp(x)dx p(x)dx +⎰=⎰+⎰=， 即q(x)e(x)' C p(x)dx=⎰，C q(x)dx eC(x) q(x), e(x)' C p(x)dx-p(x)dx+⎰=⎰=⎰-，此处C 为任意常数,⎰⎰q(x)dx ep(x)dx-为函数q(x)ep(x)dx-⎰一个原函数.综上，一阶线性非齐次方程的通解为⎰⎰⎰⎰+⎰=+⎰⋅⎰=q(x)dx eeCeC)q(x)dx e(ey(x)p(x)dx-p(x)dxp(x)dxp(x)dx-p(x)dx.2. 一些实际应用例子（Applications ） 例28. 电容器的充电和放电模型RC 电路：假定开始电容C 上没有电荷，电容两端电压为0，合上开关1后，电池E 对电容C 开始充电，电池电压为E ，电阻阻值为R ，电容C 两端电压逐渐上升. 写出充电过程中，电容C 两端电压随时间变化的规律.解：设U(t)表示在时刻t 时电容两端电压，则根据电学知识，电容两端电量Q=U C ，电流I =dtdU C dt dQ =, 电阻两端电压为R I=dt dUR . 由基尔霍夫定律知，闭合回路上压降为零.即有0dt dU RC U E =--. 改写为 RC EU RC 1dt dU +⋅-=，这是一个一阶线性非齐次方程. 记RCE q(t) ,RC 1p(t)=-=, 由常数变易公式得到， C~e E )C ~(Ee e )C ~dt RCE e (e )C ~q(t)dt e(eU(t)RC tRC t RC t RC t RC t p(t)dtp(t)dt----+=+=+=+⎰⎰=⎰⎰再注意到初始条件U(0)=0，-E C ~0,C ~e Ee U(0)00==+=，因此，RC tEe E U(t)--=.例29. 考察如下RL 电路图，设电源E 的电压为0 U sin wt,U E m m >=为常数，求电感线圈上电流I 随时间的变化规律，设t=0时，I=0.解：设I(t)表示时刻t 时电感线圈上电流强度，则由电学知识有，电感线圈两端电压为dtdI L . 由基尔霍夫定律知，闭合回路电压降为零. 于是 0dtdIL I R E =--. 改写为sin wt U L1L I R dt dIm +-=, 这是一个一阶线性非齐次方程. 记wt sin L Uq(t) ,L R p(t)m =-=, 由常数变易公式得到，)C ~dt sin wt LU e (e )C ~q(t)dt e(eI(t)m L RtL Rt p(t)dtp(t)dt⎰⎰+=+⎰⎰=--.b a bt cos b bt sin a e bt))isin bt (cos e b a ib)(a Im()e ib a 1Im()dt e Im(dt )Im(e e dt bt sin e 22at a 22ib)t(a ib)t (a ibt at at +-=+⋅+-=+===++⎰⎰⎰22t LR m LRtm m LRt w (R/L) wt)cos w sin wt L R(e LU dt sin wt e LUdt sin wt L U e+-==⎰⎰令2222w(R/L)w φsin ,w(R/L)R/L φ cos +-=+=，于是由B sin A cos B cos A sin B)sin(A +=+知，22t LR mm LRt w (R/L)φ)sin(wt e L U dt sin wt L U e++=⎰，于是L Rt22m e C ~w (R/L)φ)sin(wt LU I(t)-+++=.再注意到初始条件I(0)=0，22m0022m w(R/L)φsin L U C ~0,C ~e e w (R/L)φsin LU I(0)+-==++=，因此，t LR 22m22mew(R/L)sin(φL Uw (R/L)φ)sin(wt LUI(t)-+-++=).练习23. (1) 求dt bt cos e at ⎰； (2) 改写 t cos b sin t a +为θ)sin(t ba 122++，给出θ所满足的条件. (3) 由 Euler 公式b sin i b cos e ib+=和R b a, ,e e e b)i(a b i a i ∈=⋅+推导出:b asin sin b cos a cos b)cos(a b,sin a cos b cos a sin b)sin(a -=++=+和b))sin(a b)(sin(a 21b cos a sin -++=， b))cos(a b)(cos(a 21b cos a cos -++=. 作业24. （1） 如例28中RC 电路图，设E=10V , R=100Ω, C=0.01 F, 开始时刻电容C 上电压为零并在此刻合上开关1，问经过多长时间电容C 两端电压为V 5U 1=?（2）如下RL 电路图，设E, R, L 均为正的常数，求开关闭合后电路中电流强度I(t)，假定I(0)=0.例30. 溶液混合问题：设容积为V （单位3m ）的密封容器装着某种溶液如下图，从A 以速度r （单位/s m 3）流入浓度为0C e >（常数）的相同溶液，经充分混合后在B 以相同速度r 流出容器, 假设时刻t=0时，容器溶液浓度为0，问容器中浓度随时间变化的规律.解：设时刻t 时容器溶液浓度为C(t)，则C(0)=0，且由溶质出入平衡，也即流入减去流出等于容器内溶质变化量，由微元法建立如下等式：V C(t))Δt)(C(t C(t)Δt r C Δt r e -+≈-，即e C VrC V r dt dC +-=. (以下略) 作业25. 假设伊利湖的存水量为34m 1048⨯，从休伦湖流入和从安大略湖流出的速度都是每年34m 1035⨯，在t=0时刻，伊利湖的污染物浓度时休伦湖的5倍. 如果流出的水是完全混合好的湖水，问使得伊利湖的污染物浓度减少到休伦湖2倍需要多少时间？（假定休伦湖污染物浓度为常数0C e >） 3. Bernoulli 方程及其解法称形如R n ,y q(x)y p(x)dxdyn ∈+=为Bernoulli 方程. 解法：当0y ≠时，改写原方程1n , n)q(x)(1y p(x) n)(1dxdy y n)-(1n -1n -≠-+-=, 令n)q(x)(1n)p(x)u (1dx du ,y u n1-+-==-，这是一个一阶线性非齐次方程. 例31 求解方程2y x xy6dx dy -=. 解：经过观察，原方程是一个Bernoulli 方程, n=2. （1）当0y ≠时，改写原方程为 x 2)(1y x62)(1dx dy 2)y-(1212---=--，令21y u -=，则 x u x6dx du +-=. 由常数变易公式得到， 6276-dx x6dx x6x C8x C)dx x (x )C xdx e(eu(x)+=+=+⎰⎰=⎰⎰-.返回原变量得到62x C8x y 1+=.(2) 当y=0时，容易验证0y =也是原方程的解. 作业26. 求解方程（1）33y x y x dxdy=+； （2）1y(1) ,y xy 'y x 22==-. 4. 交换自变量和因变量化非线性方程为一阶线性方程 例32. 求解（1）2y 2x y dx dy -=； （2）33yx xy 1dx dy -=. 解：(1) 这是一个一阶方程，非线性方程，不是Bernoulli 方程.(a) 当0y ≠时，交换自变量和因变量而改写原方程为 y x y2y y 2x dy dx 2-=-=. 这是一个一阶线性方程. 由常数变易公式得到， C)y)dy (e(ex dy y2dy y2+-⎰⎰=⎰-，即 |)y |ln (C y C)y)dy (y1(y x 222-=+-=⎰为所求方程的通积分. (b) 当y=0时，已验证y=0也是原方程的一个解. (2) 结合Bernoulli 方程来完成，留作练习.作业27. 求解方程（1）3y x y dx dy +=； （2） y2y x dx dy 22+=.5. 一些一阶线性方程的理论 （1）考虑方程q(x)y p(x)dxdy=+，其中p(x), q(x)都是以w>0为周期的连续函数. 用常数变易公式证明：（a) 若0q(x)≡，则方程任一非零解都以w 为周期的周期函数充要条件是p(x)的平均值.0p(x)dx w 1(x)p w==⎰ (b) 若q(x)不恒为零，则方程有唯一w 周期解充要条件是0p(x)dx w1(x)p w0≠=⎰, 试求出此解. （参见丁同仁、李承治《常微分方程教程》P36 习题5， 6）。
一阶微分方程习题课
( x)cos x 20 (t)sintdt x 1
求( x).
解 等式两边同时求导, 得
( x)cos x ( x)sin x 2( x)sin x 1
即
( x) ( x)tan x sec x
是一阶线性微分方程.
设 P(x) tan x,Q(x) sec x
(
x)
e
P(
一个解且 f ( x0 ) 0, f ( x0 ) 0,则 f ( x)在点x0处( A ).
A. 有极大值 C. 某邻域内单调增加
B. 有极小值 D. 某邻域内单调减少
3. 设f ( x)满足关系式 f ( x) 2x f t dt ln 2,
0 2
则f ( x) ( B ).
A.e x ln2;
y y( x),使得由曲线 y y( x)与直线 x 1, x 2
以及x轴所围成的平面图形绕x轴旋转一周的所围
成的旋转体体积最小.
解 原方程可化为 dy 2 y 1 一阶线性方程 dx x
则
y
e
2 x
dx
1
e
2 dx
x dx
C
x
Cx2 .
V (C )
2
(
x
Cx2
)2
dx
1
31 C 2 15 C 7 .
5
2 3
V (C) 62 C 15 0
5 2
C 75 . 124
y x 75 x2 124
练习 题
选择题:
1. 方程 xy x 2 y 2 y 是( A ).
(A) 齐次方程；
(B) 一阶线性方程；
(C) 贝努利方程；
(D) 可分离变量方程 .
一阶微分方程解存在唯一性定理Picard定理及其证明
3.1 一阶微分方程存在唯一性定理(Existence and Uniqueness Theorem ofInitial Value Problem of ODE )[教学内容] 1. 上一章内容小结和习题课; 2.介绍研究初值问题解的存在唯一性定理必要性; 3. 介绍柯西解的存在唯一性定理和Picard定理; 4. 介绍定理的证明.[教学重难点] 重点是知道并会运用微分方程初值问题的解的存在唯一性定理，难点是如何引入了解定理的证明思路和过程[教学方法] 自学1、2、3；讲授4、5课堂练习[考核目标]1.知道一阶微分方程的类型及其解法;2. 知道Lipshitz条件和解的存在唯一性定理（柯西版本和Picard版本）;3. 知道Picard定理的证明思路和过程;4. 会用Picard函数序列给出微分方程初值问题的近似函数解.5. 了解和掌握Graonwall积分不等式.1. 一阶微分方程类型及其初等解法小结（1）认识一阶微分方程：一阶线性方程（交换x,y或Bernoulli方程及其他可通过引入变量替换化为一阶线性方程的）、一阶可分离变量型方程（齐次方程以及其他可化为可分离变量型的）、一阶对称形式的恰当方程（通过引入积分因子可化为恰当方程的方程）一阶隐方程（可解出x或y的类型，以及x, y, y’只含有其中两个的方程类型）（2）解法常数变易公式、Bernoulli方程的变量替换分离变量方法、齐次方程的变量替换恰当方程的解法、积分因子的求法隐方程的求导法和参数法（3）例题上述提到的方程类型各举出一个例子来，并用上面的方法来求解，允许一题多解.（4）介绍一些可以化为微分方程来求解的函数方程和积分方程（参见上节讲义）.（5）预告：下周二上午第一节课进行上一章测试，请相互转告.2. 必要准备：数学中的进化论生物上，比如水稻品种一代一代通过基因重组往高产优质方向优化，还有如下图片.在数学上也有类似的进化过程，下面就说一说.（1）考察三次代数方程 x 3+4x-2 0. 该方程没有有理根. 该方程只有唯一实根且落在[0,1]. 下面有两种思路来找到该方程的根.思路一：运用连续函数的零点定理, 记1] [0,]b ,[a 11=表示第一代；将]b ,[a 11平分为两个子区间，取满足如下条件0)f(b )f(a i i ≤⋅子区间作为第二代，即]21 [0,]b ,[a 22=；将]b ,[a 22平分为两个子区间，取满足如下条件0)f(b )f(a i i ≤⋅子区间作为第三代，即]21 ,41[]b ,[a 33=；将]b ,[a 33平分为两个子区间，取满足如下条件0)f(b )f(a i i ≤⋅子区间作为第四代，即]21 ,81[]b ,[a 44=；... ... 这样下去，]b ,[a n n 越来越接近方程的根 x ≈ 0.473466,其中误差就是|a b |n n -.思路二：运用教材P89习题9的结论和证明过程，改写方程为x 42x -3=+，记42x f(x)3+-= 则方程就是f(x)x =，方程的根也就是函数f(x)的不动点. 可以验证f(x)满足教材P89习题9的条件（自行验证）,于是方程的根存在且唯一，下面就用进化的思想来寻找方程的根.选取第一代1x 1=（这里可以选其他实数）；经过进化机制（用f(x)作用一下）得到第二代25.0)f(x x 12==；再经过进化机制（用f(x)作用一下）得到第三代496094.0)f(x x 23≈=；再经过进化机制（用f(x)作用一下）得到第四代469477.0)f(x x 34≈=；再经过进化机制（用f(x)作用一下）得到第五代474131.0)f(x x 45≈=；再经过进化机制（用f(x)作用一下）得到第六代473354.0)f(x x 56≈=；... ... n x 越来越接近方程的根 x ≈ 0.473466.打个比方，把方程的根比作我们想要的某种属性的对象，我们可以通过迭代（进化）过程来把它造出来或找出来。
第十二章一阶微分方程习题课
x
x
x
x
解 原方程可化为
dy dx
y x
cos y
(
y
x sin
y
y sin x cos
y
x y
),
xx x
令 u y , y ux, y u xu. 代入原方程得
x
u xu u(cos u usin u), usin u cos u
分离变量
usin u cos u du dx , 两边积分
定理1;定理2 定理3;定理4
欧拉方程
一、主要内容
1、五种标准类型的一阶微分方程的解法
(1) 可分离变量的微分方程
形如 g( y)dy f ( x)dx 分离变量法
解法 g( y)dy f ( x)dx
(2) 齐次型方程
形如
dy f ( y) dx x
解法 作变量代换 u y x
2。 各类方程的内在联系
u y x
dy ( y) M
dx x N
dy M( x)N ( y) dx
1
N( y)
Pdx Qdy 0
X xh
Y yk
1
xM yN
P Q y x
y c( x)e P( x)dx
dy P(x)y Q(x) dx e P( x)dx
分离变量法 常数变易法 全微分法
变量代换是解微分方程的重要思想和重要方法
微分方程解题思路
一阶方程
作降 变阶 换
高阶方程
作变换
分离变量法
非非
全微分方程
变全 量微
积分因子 可 分
清华大学微积分A习题课_11高阶线性微分方程以及一阶线性微分方程组
( y*) ( Ax 2 e 2 x ) ( Ax 2 )e 2 x Ax 2 (e 2 x ) 2 A( x x 2 )e 2 x ( y*) [2 A( x x 2 )e 2 x ] [2 A( x x 2 )]e 2 x 2 A( x x 2 )(e 2 x ) 2 A(1 2 x)e 2 x 4 A( x x 2 )e 2 x 2 A(1 4 x 2 x 2 )e 2 x
特征根为： 1 1， 2， 3 1 i . 所以其实基本解组为：
e t , e t cos t , e t sin t ，
t t
原方程的通解为： y C1e C 2 e （4）求 y' '
cos t C 3 e t sin t .
x 1 y' y 0 的通解。 1 x 1 x
'' ' t 2t
（3）求解方程 x 4 x 4 x e e
2
1
解：特征方程 4 4 0 ， 1, 2 2 ， 故有基本解组 e ， te ， 对于方程 x 4 x 4 x e ，因为 1 不是特征根，故有形如 x1 (t ) Ae 的特解，
作者：闫浩, 章纪民
2013 年 9 月
微积分 A(1)第十一次习题课参考答案（第十六周）
教学目的:本次习题课练习的是高阶线性微分方程以及一阶线性微分方程组。希望大家掌握 的是齐次线性微分方程的特征根法；对特殊的非齐次项需要掌握待定系数法，特殊方程应 掌握欧拉方程。对于二阶微分方程，当知道一个特解时，应会变动常数法求通解；线性微 分方程组应会基解矩阵的求法。除此之外，应掌握解的结构问题。本次习题课也是本学期 最后一次习题课。 一、高阶线形微分方程 1.求解下列方程. （1） x 5 x 8 x 4 x 0 解：其特征方程为：
微分习题1
4）解：设艇速 v=v(t)，阻力 R= - kv 艇的质量为 m ） ， 则
dv m = kv , v = Ce dt
20 3600
k t m
∵ v t = 0 = 10 ∴ v = 10e
k t m
∵v
= 6 ∴ 10e
k 20 m 3600
k 5 = 6, = 180 ln m 3
∴v =
求下列微分方程满足所给初始条件的特解: 4 、 求下列微分方程满足所给初始条件的特解 :
2 y 3 dx + 2( x 2 xy 2 )dy = 0 , x = 1时， y = 1 ； x(1+ 2ln y) y = 0
1
三、已知某曲线经过点( 1 , 1 ) ,它的切线在纵轴上的截 距等于切点的横坐标, 距等于切点的横坐标,求它的方程 . y = x xln x
y=y(x)，p(x,y)是曲线上的任一点 1）解: 设曲线方程 y=y(x)，p(x,y)是曲线上的任一点 AP弦的方程 AP弦的方程 y 1 y 1 Y 1= ( X 0), 即 Y = X +1 x0 x
由题意
梯形面积可不用定积分
x 0 x y 1 xy x 3 ( X + 1)dX , 即 x = ∫ ydx 0 x 2 2
ln( u cos u) = ln x + ln C ,
2
两边积分
C ∴ u cos u = 2 , x
y y C ∴ cos = 2 , 所求通解为 xy cos y = C . x x x x
求通解 xy′ + 2 y = 3x3 y . 4 2 2 解 原式可化为 y′ + y = 3 x y 3 , 伯努利方程 x 4 2 1 即 y 3 y′ + y 3 = 3 x 2 , x 1 2 3 令 z= y , 3 z′ + z = 3 x 2 , 原式变为 x 2 z = x2 , 即 z′ 一阶线性非齐方程 3x 1 7 2 3 3 方程的通解为 3 3
第04节一阶线性微分方程
dy Pxy 0
dx
方法一：直接用分式 yCePxdx
方法二：采用分离变量法
2．一阶非齐次线性方程的求解
dyPxy Qx
dx 方法一：直接用公式
y e P x d x Q x e P x d xd x C
注：常用到换底公式 AB eB1nA
方法二： 采用常数变易法
e s in y 2 s in y e s in y 2 e s in y c
4、解 原方程化为 dy 1 y2y2 dx x
这是贝努利方程，进一步化为：
y2 dy1 12 dx x y
令 z 1 ，则 y
dz dx
1 y2
dy dx
代入得
dz 1 z 2 dx x
1dx
求特解
3、解方程
y
1
xcosysin2y
4、解方程 2xy2ydxxdy0
5、解方程 cosydysinyex dx
十六、自测题解
1、解 将方程标准化
y
1 x2
y
x1
ex
1
yex2 dx
ex1xex12 dxdxc
1 x1 1
e x e x ex dxc
ห้องสมุดไป่ตู้
1
e x
ex c
2、解：将方程标准化
dx
dx
代入并整理，得
dz 1zalnx dx x
故该一阶线性方程的通解为：
ze1xdx alnxe1xdxdxc
e1nx alnxelnxdxc
xa2lnx2 c
原方程的通解为:
1 y
xca2lnx2
例５ 求 xdy3yx2 3y 的通解 dx 2
第六章 微分方程 习题课
- 12 -
习 题 课
第 十 二 章 微 分 方 程
- 13 -
习 题 课
第 十 二 章 微 分 方 程
- 14 -
习 题 课
第 十 二 章 微 分 方 程
- 15Байду номын сангаас-
习 题 课
第 十 二 章 微 分 方 程
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习 题 课
第 十 二 章 微 分 方 程
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习 题 课
第 十 二 章 微 分 方 程
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习 题 课
第 十 二 章 微 分 方 程
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习 题 课
第 十 二 章 微 分 方 程
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习 题 课
第 十 二 章 微 分 方 程
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习 题 课
第 十 二 章 微 分 方 程
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习 题 课
第 十 二 章 微 分 方 程
- 11 -
习 题 课
第 十 二 章 微 分 方 程
其中 du( x , y ) P ( x , y )dx Q( x , y )dy
第 十 二 章 微 分 方 程
或
Py Q x
解法
u( x , y )
x
P ( x , y )dx Q( x , y )dy
( x0 , y0 )
y
x P ( x , y 0 ) dx y Q ( x , y ) dy 0 0
或凑微分法，求得 u ( x , y ), 解为 u( x , y ) C .
-2-
习 题 课
例1 求解下列微分方程
1）
第 十 二 章 微 分 方 程
-3-
习 题 课
常微分方程第三章习题解答
例题选讲
例1 证明方程(3.2)的线性无关解的个数不超 过n+1.它存在n+1个线性无关解吗?
证明 如果方程(3.2)有n+2个线性无关解:
Y1( x),K,Yn+2 ( x)
则Y1( x) − Yn+2 ( x),Y2 ( x) − Yn+2 ( x),K,Yn+1( x) − Yn+2 ( x)是方程(3.1) 的n + 1个解.由齐次线性方程组解的 结构知,这n + 1个解必然线性 相关, 于是, 存在不全为零的常数 C1 ,K, Cn+1使得 C1[Y1( x) − Yn+2 ( x)] + C2[Y2 ( x) − Yn+2 ( x)] + K + Cn+1[Yn+1( x) − Yn+2 ( x)] = 0
其中A是n× n实矩阵.
(b). 如果λ是矩阵 A的k重单特征根 , 则(3.3)有形式为
P( x)eλx的解 , 其中, P( x)是次数不超过 k − 1的多项式 向量函数 .
(c). 如果λ是矩阵A的k重特征根,则方程(3.3)存在
k个线性无关解
Y = ( R0 + R1 x + L + Rk−1 x k−1 )eλx 其中, R0 , R1 ,K, Rk−1由下列方程确定
x
+
1
⎜⎛ ⎜
−
1 1
1 −1
2 ⎟⎞2 − 2 ⎟ x2]
⎜⎝ 0 0 1⎟⎠ ⎜⎝ 0 0 0⎟⎠ 2 ⎜⎝ 0 0 0⎟⎠
⎜⎛1 0 0⎟⎞ ⎜⎛ x x 2x ⎟⎞ = e x[⎜ 0 0 1⎟ + ⎜ − x − x − 2x ⎟]
03第三节一阶线性微分方程-5页文档资料
第三节 一阶线性微分方程分布图示★ 一阶线性微分方程及其解法★ 例1 ★ 例2 ★ 例3 ★ 例4 ★ 例5★ 例6 ★ 伯努利方程 ★ 例7★ 例8★ 例9 ★ 例10★ 内容小结 ★ 课堂练习 ★ 习题8-3内容要点:一、 一阶线性微分方程 形如)()(x Q y x P dxdy=+ (3.1) 的方程称为一阶线性微分方程. 其中函数)(x P 、)(x Q 是某一区间I 上的连续函数. 当,0)(≡x Q 方程(3.1)成为0)(=+y x P dxdy(3.2) 这个方程称为一阶齐次线性方程. 相应地，方程(3.1)称为一阶非齐次线性方程.方程(3.2)的通解.)(⎰-=dx x P Ce y (3.3)其中C 为任意常数.求解一阶非齐次线性微分方程的常数变易法：即在求出对应齐次方程的通解(3.3)后，将通解中的常数C 变易为待定函数)(x u ，并设一阶非齐次方程通解为 ,)()(⎰-=dxx P ex u y一阶非齐次线性方程(3.1)的通解为[]⎰-⎰+=⎰dx x P dx x P e C dx e x Q y )()()( (3.5)二、伯努利方程：形如n y x Q y x P dxdy)()(=+ (3.7) 的方程称为伯努利方程，其中n 为常数，且1,0≠n .伯努利方程是一类非线性方程，但是通过适当的变换，就可以把它化为线性的. 事实上，在方程(3.7)两端除以ny ，得),()(1x Q y x P dxdyy n n=+--或 ),()()(1111x Q y x P y nn n =+'⋅--- 于是，令nyz -=1，就得到关于变量z 的一阶线性方程)()1()()1(x Q n z x P n dxdz-=-+. 利用线性方程的求解方法求出通解后，再回代原变量，便可得到伯努利方程(3.7)的通解.)1)(()()1()()1(1⎪⎭⎫⎝⎛+-=⎰⎰⎰----C dx e n x Q e y dx x P n dx x P n n 例题选讲：一阶线性微分方程例1（E01）求方程xxy x y sin 1=+'的通解. 解 ,1)(x x P =,s i n )(xxx Q =于是所求通解为 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⋅=⎰⎰⎰-C dx e xx e y dx x dx x 11sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅=⎰-C dx e xx e x x ln ln sin ).cos (1C x x+-= 例2（E02）求方程2/5)1(12+=+-x x y dx dy 的通解. 解 这是一个非齐次线性方程.先求对应齐次方程的通解.由012=+-y x dx dy ⇒12+=x dx y dy ⇒C x y ln )1ln(2ln ++=⇒.)1(2+=x C y 用常数变易法,把C 换成,u 即令,)1(2+=x u y 则有),1(2)1(2+++'=x u x u dxdy代入所给非齐次方程得,)1(1/2+='x u 两端积分得,)1(322/3C x u ++=回代即得所求方程的通解为.)1(32)1(2/32⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++=C x x y例3 求下列微分方程满足所给初始条件的特解. ,0)ln (ln =-+dx x y xdy x .1==ex y解 将方程标准化为,1ln 1xy x x y =+'于是 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎰⎰⎰-C dx e x e y x x dxx x dxln ln 1⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎰-C dx e xe x x ln ln ln ln 1.ln 21ln 12⎪⎭⎫ ⎝⎛+=C x x 由初始条件,1==e x y 得,21=C 故所求特解为.ln 1ln 21⎪⎭⎫ ⎝⎛+=x x y例4 求解方程,)(dxd x dx d y dx dy ϕϕϕ=+ )(x ϕ是x 的已知函数.解 原方程实际上是标准的线性方程，其中,)(dx d x P ϕ=,)()(dxd x x Q ϕϕ= 直接代入通解公式，得通解⎰-=dx dx d e y ϕ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+⎰⎰C dx e dxd x dx dx d ϕϕϕ)(⎰+=-])([)()(C d e x e x x ϕϕϕϕ.1)()(x Ce x ϕϕ-+-= 例5求方程0)12(23=-+dy xy dx y 的通解. 解 当将y 看作x 的函数时，方程变为2321xy y dx dy -= 这个方程不是一阶线性微分方程，不便求解.如果将x 看作y 的函数，方程改写为1223=+x y dydxy 则为一阶线性微分方程，于是对应齐次方程为0223=+x y dydx y 分离变量，并积分得,2⎰⎰-=y dy x dx 即211yC x =其中1C 为任意常数，利用常数变易法，设题设方程的通解为,1)(2y y u x =代入原方程,得yy u 1)(=' 积分得 C y y u +=||ln )(故原方程的通解为)||(ln 12C y yx +=，其中C 为任意常数.例6 如所示, 平行于y 轴的动直线被曲线)(x f y =与)0(3≥=x x y 截下的线段PQ 之长数值上等于阴影部分的面积, 求曲线).(x f解230)()(y x dx x f x-=⎰,3y x -=两边求导得,32x y y =+'解此微分方程得⎰-=dx e y ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎰⎰dx e x C dx 23,6632+-+=-x x Ce x由,00==x y 得,6-=C 故所求曲线为 ).222(32+-+-=-x x e y x例7 求y x y xdx dy 24=-的通解. 解 两端除以,y 得,412x y xdx dy y =-令,y z =得,422x z x dx dz =-解得,22⎪⎭⎫ ⎝⎛+=C x x z 故所求通解为.224⎪⎭⎫⎝⎛+=C x x y伯努利方程例8（E03）求方程2)ln (y x a xydx dy =+的通解. 解 以2y 除方程的两端,得,ln 112x a y xdx dy y =+--即 ,ln 1)(11x a y x dx y d =+--- 令,1-=y z 则上述方程变为 .ln 1x a z xdx dz -=-解此线性微分方程得 x z =.)(l n 22⎥⎦⎤⎢⎣⎡-x a C以1-y 代,z 得所求通解为 yx ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-2)(ln 2x a C .1=例9求方程1)()(23=-+-+x y x x y x dxdy的通解.解 令,u x y =-则,1+=dx du dx dy 于是得到伯努利方程.23u x xu dxdu -=+ 令,121u u z ==-上式即变为一阶线性方程.3x xz dxdz=- 其通解为 22x e z =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎰-C dx e x x 232.2222--=x Ce x 回代原变量，即得到题设方程的通解.211222--+=+=x Ce x zx y x例10求解微分方程.)(sin 12xy xy x dx dy -= 解 令,xy z =则,dxdy x y dx dz += ∴x y dxdz+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-x y xy x )(sin 12,sin 12z = 利用分离变量法解得 ,42s i n 2C x z z +=-将xy z =代回，得所求通解为 .4)(2s i n 2C x xy xy +=-课堂练习1.求微分方程yx y y ydx dy sin 2sin cos cos -=的通解.2. 设函数)(x f 可微且满足关系式,1)(]1)(2[0-=-⎰x f dt t f x求)(x f .雅各布.伯努利（Jacob Bermoulli ，1654~1705)伯努利瑞士数学、力学、天文学家。
9微分方程习题课2019.12.37
ln y C1ex C2e x
工科数分习题课2019.12.27
( f ( x ) 1 ( e x e x )＋1 sin x )
4
2
工科数分习题课2019.12.27
工科数分习题课2019.12.27
工科数分习题课2019.12.27
工科数分习题课2019.12.27
答案：
f ( x ) －1 cos x＋2 sin x＋1 - 1 cos 2x
3
26
工科数分习题课2019.12.27
7. yy y2 y2 ln y
提示：yy y2
y2
ln
y
yy y2 ( y) (ln y)
y2
y
(ln y) ln y
提示：齐次方程 y 2 y 3 y 0的通解为 y C1e x C2e3x
设原方程 的特解y (ax b)e x ,代入原方程，得
a 1,b 1
2
4
原方程的通解为y
C1e
x
C2e 3 x
+（
1 2
x
1 )e
4
x
Hale Waihona Puke 工科数分习题课2019.12.27
u sin y Ce x x
工科数分习题课2019.12.27
7. 若方程 y （p x）y ex 的特解 y （x+1）ex， 求该方程的通解. （p x）= 1, 通解 y Ce x +（x+1）e x
工科数分习题课2019.12.27
二、可降阶的微分方程问题：
dy
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(2) 求出F(x) 的表达式 .
(03考研)
解: (1) F(x) f (x)g(x) f (x)g(x)
g2(x) f 2(x)
[g(x) f (x)]2 2 f (x)g(x)
(2ex )2 2F(x)
所以F(x) 满足的一阶线性非齐次微分方程:
F(x) 2F(x) 4e2x
P 6xy Q
y
x
故这是一个全微分方程 .
例2. 求下列方程的通解:
(1) xy y y ( ln x ln y )
(2) 2 x ln x dy y ( y2 ln x 1) dx 0 (3) y 3x2 y2 6x 3
2xy 2y (4) y2 (x 3y ) dx (1 3 xy2 ) dy 0
dx
这是一个齐次方程：
dz
x
z
,
求解得
dx 2z
(x x2 y)2(x 2 x2 y) C.
例 4 求方程
(x y)(xdy ydx) xy(dx dy)
解：根据经验，仔细观察该方程的特征：
d (x y) dx dy, d (xy) xdy ydx. 故我们做变化 x y u, xy v.
代入（ 1 ） 整理得
z(1 z)dx (1 z)(xdz zdx) 0
对上式分离变量得：
2dx x
1 z z2
dz
0
积分得
ln x2 1 ln z C z
代入原变量得到（2.4.3）的通解为：
ln x 1 C. y xy
2.4.3 其它变化法
利用变量替换法求解微分方程十分灵活，一 般依赖于方程的形式和求导的经验。
y
dy dx
x( 2 sin y cos y
x2)
0.
自然做变化 z tan y, 原方程化为：
dz 2xz x3. dx
求解上面的线性方程得：
tan y 1 (x2 1) Cex2 . 2
1 1 C(1 z )2. x
故原方程的通解为
1 1 C(1 y )2.
x
x
例 3 求方程
dy x x2 y dx
（3）
解：该方程求解的困难在于右端的根号， 我们希望去根号，因此，做变化
z2 x2 y
因为 2zdz 2xdx dy, 代入（3）
2z dz x z
(3)
y
2x
1
y2
调换自变量与因变量的地位 , 化为 dx 2x y2 , dy
用线性方程通解公式求解 .
(4)
y
6x3 3xy2 3x2 y 2y3
方法 1 这是一个齐次方程 . 令 u y
方法 2 化为微分形式
x
( 6x3 3xy2 ) dx (3x2 y 2y3) dy 0
提示: (1) 原方程化为
令 u = x y , 得 d u u ln u (分离变量方程) dx x
(2) 将方程改写为
dy 1 y y3 (贝努里方程) 令 z y2 d x 2x ln x 2x
(3) y 3x2 y2 6x 3 2xy 2y
化方程为 d y 3(x 1)2 y2 d x 2y (x 1) 令 t = x – 1 , 则 dy dy dt dy dx d t dx d t d 法
前面三节我们介绍了线性方程、变量可分 离方程和全微分方程的求解问题，同时还 介绍了一些可以通过适当变化化为这三类 方程的方法。事实上，还有许多方程可以 通过变量变化方法化为已知类型来求解。
例如： 对微分方程
dy xy2 sin x ,
dx
2y
通过引进新的变量 z y2 ，就将方程变换为 线性方程： dz xz sin x. dx 下面我们介绍几种常见类型的变量替换法。
(2) 由一阶线性微分方程解的公式得
F (x) e 2d x 4e2x e 2d x d x C
e2x 4e4x d x C
e2x Ce2x 将 F(0) f (0)g(0) 0 代入上式，得 C 1
于是
F(x) e2x e2x
一阶微分方程习题课
一、一阶微分方程求解
1. 一阶标准类型方程求解 四个标准类型: 可分离变量方程, 齐次方程, 一阶线性线性方程, 全微分方程 关键: 辨别方程类型 , 掌握求解步骤
2. 一阶非标准类型方程求解
(1) 变量代换法 —— 代换自变量 代换因变量 代换某组合式
(2) 积分因子法 —— 选积分因子, 解全微分方程
1 x2 y1 3 xy C 2
例3. 设F(x)＝f (x) g(x), 其中函数 f(x), g(x) 在(－∞,+∞)
内满足以下条件: f (x) g(x), g(x) f (x), 且 f (0) 0, f (x) g(x) 2ex.
(1) 求F(x) 所满足的一阶微分方程 ;
2.4.1 形如 yf (xy)dx xg(xy)dy 0 方程
引进变量 z xy ，则
z
xdz zdx
y , dy x
x2
,
原方程可化为
z [ f (z) g(z)]dx g(z)dz 0 x
这是一个变量可分离的方程。
例 1 求方程
( y xy2 )dx (x x2 y)dy 0 （1） 解： 令 z xy, 则 dz xdy ydx,
代人原方程得：udv vdu. 因此得到原方程的解： xy C(x y).
例 5 求解方程
dy x(sin 2 y x2 cos2 y) 0. dx
解：仔细观察该方程的特征：
sin
2y
2 sin
y cos y, d
tan dy
y
1 cos2
. y
对方程做恒等变形得，
1 cos2
令y=ut
可分离变量方程求解
(4) y2 (x 3y ) dx (1 3 xy2 ) dy 0 变方程为 y2 x dx dy 3 y2 ( ydx xdy) 0
两边乘积分因子 y2
x dx y2 dy 3( ydx xdy) 0
用凑微分法得通解:
例1. 求下列方程的通解
(1)
y
1 y2
e y3x
0;
(3)
y
1 2x
y2
;
(2) xy x2 y2 y ;
(4)
y
6x3 3x 2
3xy2 y 2y3
.
提示: (1) 因e y3 x e y3 ex , 故为分离变量方程:
y2ey3 dy ex dx
例 2 求方程
( y y)dx (x 1)dy 0 x
解：将此方程改写为： 对上式分离变量得：
（2 ）
y dx ydx xdy dy 0 x
做变化 y xz 。因为dy xdz zdx,
代入方程后得：
( z z)dx (x2 x)dz 0
这是一个变量可分离方程，求解得
通解
1ey3 ex C 3
(2) xy x2 y2 y
方程两边同除以 x 即为齐次方程 , 令 y = u x ,化为分
离变量方程.
y 1 y 2 y
xx
xu 1 u2
x 0 时，y 1 y 2 y
xx
xu 1 u2