离散数学课程教学大纲

《离散数学》课程教学大纲

四川广播电视大学计算机教研室

责任教师孙继荣

第一部分大纲说明

一、课程的性质与任务

《离散数学》是中央电大数学与应用数学专业本科与计算机应用专业计算机信息管理方向必修的专业基础课程。它是学习后续专业课程不可缺少的数学工具。该课程结合计算机学科的特点，主要研究离散量结构及相互关系，是一门理论性较强，应用性较广的课程。

掌握集合论、数理逻辑和图论等离散数学的基本概念和基本原理，为学习计算机专业各后续课程做好必要的知识准备。进一步提高学生的抽象思维和逻辑推理能力，为从事计算机的应用提供必要的描述工具和理论基础。

二、与其他相关课程的关系

先修课程：高等数学、线性代数。

后续课程：数据结构、数据库、操作系统、计算机网络等。

三、课程的教学内容和教学要求

本课程分为四个部分：集合论、数理逻辑、代数系统以及图论，主要是要求学生掌握离散数学（集合论、数理逻辑和图论）的有关基本概念，对基本原理及基本运算的应用。

第一章集合

➢主要内容：集合、元素、集合的表示方法、子集、空集、全集、集合的包含、相等、幂集；集合的交、并、差、补等运算及运算律和文氏图；序偶与笛卡儿积。

➢重点：集合概念、集合的运算、集合恒等式的证明、笛卡儿积。

第二章二元关系

➢主要内容：关系、关系矩阵和关系图；复合关系和逆关系；关系的性质（自反性、对称性、反对称性、传递性）；关系的闭包（自反闭包、对称闭包、传递闭包）；等

价关系和等价类；偏序关系与哈斯图、极大/小元、最大/小元、上/下界、最小上界、最大下界；函数及其性质（单射、满射、双射）；复合函数与反函数；

➢重点：关系概念及其性质、等价关系和偏序关系，函数。

第三章命题逻辑

➢主要内容：命题与联结词（否定、合取、析取、蕴涵、等价）；复合命题；命题公式与解释，真值表，公式分类（恒真、恒假、可满足），公式的等价；析取范式（）合

取范式，极大（小）项、主析取（合取）范式；公式类别的判别方法（真值表、等

值演算法和主析取（合取）范式法）；公式的蕴涵与逻辑结果；形式演绎。

➢重点：命题与联结词、公式与解释、真值表、公式的类型及判定、主析取（合取）范式，命题演算的推理理论。

第四章谓词逻辑

➢主要内容：谓词、量词、个体词、个体域、变元；谓词公式与解释，谓词公式的类型（恒真、恒假、可满足）；谓词公式的等价与蕴涵；前束范式。

➢重点：谓词与量词、公式与解释、前束范式。

第五章群与环

➢专科可以略过这一章；

➢主要内容：代数运算、代数结构；半群、群及其性质、子群；循环群、交换群、置换群；群的同态与同构；环。

➢重点：代数运算及其性质、群的概念、交换群和循环群、环的概念。

第六章格与布尔代数

➢专科可以略过这一章；

➢主要内容：布尔代数的概念、性质及其运算。

➢重点：布尔代数概念、布尔代数化简和恒等式证明。

第七章图论

➢主要内容：图、完全图、子图、母图、支撑子图、图的同构；关联矩阵和相邻矩阵；

权图、路、最短路径、Dijkstra算法求权图中最短路；树、二叉树、与支撑树；权图

中的最小树、Kruskal算法；有向图与有向树。

➢重点：图的概念、握手定理、通路、回路以及图的矩阵表示、Dijkstra算、Kruskal 算法。

四、课程的基本要求

教学的要求层次分为：了解、理解和掌握。

1．第一部分－－集合论：主要讲述集合与关系。集合部分介绍最基本概念和集合的运算，重点是使学生会用集合描述和解决问题；关系部分要求掌握关系的性质，等价关系与偏序关系。

通过第一章集合的学习，学生应该理解集合、元素、子集、空集、全集、集合的相等、幂集等基本概念；掌握集合的表示方法和集合的交、并、差、补等基本运算；掌握集合运算基本规律，证明集合等式的方法；了解序偶与笛卡儿积的概念，掌握笛卡儿积的运算；理解关系的概念。

通过第二章二元关系的学习，学生应该理解关系的概念：二元关系、空关系、全关系、恒等关系；掌握关系的集合表示、关系矩阵和关系图、关系的运算等。掌握求复合关系与逆关系的方法；理解关系的性质（自反性、对称性、反对称性、传递性），掌握其判别方法（定义，矩阵，图）；掌握求关系的闭包（自反闭包、对称闭包、传递闭包）的方法；理解等价关系和偏序关系的概念，掌握等价类的求法和偏序关系做哈斯图的方法，极大/小元、最大/小元、上/下界、最小上界、最大下界的求法；理解函数概念：函数、函数相等、复合函数和反函数；理解单射、满射、双射等概念，掌握其判别方法。

2．第二部分――数理逻辑：作为计算机科学的一种重要知识表示工具，能将所研究的对象及其相互关系形式化，并进行简单的逻辑推理。该部分由命题逻辑和谓词逻辑组成。

学习完命题逻辑后，学生应该理解命题的概念；了解命题联结词的概念；理解用命题联结词产生复合命题的方法；理解公式与解释的概念；掌握求给定公式真值表的方法，用基本等价式化简其他公式，公式在解释下的真值；了解析取（合取）的概念；理解极大（小）项的概念和主析取（合取）范式的概念；掌握用基本等价式与真值表将公式化为主析取（合取）范式的方法；掌握利用真值表、等值演算法和主析取（合取）范式的唯一性判别公式类型和公式等价的方法；理解公式蕴涵与逻辑结果的概念，掌握基本蕴涵式；掌握形式演绎的证明方法。

学习完谓词逻辑后，学生应该理解谓词、量词、个体词、个体域、变元的概念；理解用谓词、量词、逻辑联结词描述一个简单命题；了解命题符号化；理解公式与解释的概念；掌握在有限个个体域下消去公式量词，求公式在给定解释下真值的方法；了解谓词公式的类型；理解用解释的方法证明等价式和蕴涵式；掌握求公式前束范式的方法。

3．第三部分－－代数系统：代数系统是一种代数结构，由集合、关系、运算、公理、定义、定理和算法组成。应用抽象的方法研究我们将要处理的数学对象集合上的关系与运算。4．第四部分――图论：主要介绍图的基本概念及其应用。

通过对图论的学习，学生应该理解图的有关概念：图、完全图、子图、母图、支撑子图、图的同构；掌握图的矩阵表示（关联矩阵和相邻矩阵）；理解权图、；路的概念，掌握用Dijkstra算法求权图中最短路的方法；理解树、二叉树、与支撑树的有关概念；掌握二叉树的三种遍历方法，用Kruskal算法求权图中最小树的方法；理解有向图与有向树的概念。