沈阳市2017年高三数学一模(理科)答案

2017年沈阳市高中三年级教学质量监测（一）

数学（理科）参考答案与评分标准

说明：

一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则.

二、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数. 三、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分.

一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，在每小题四个选项中，只有一项是符合题目要求的)

6 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分) 13.

2

5

14. 1 15. 8 16. 062=++y x 三、解答题

17. (本小题满分12分)

解：（Ⅰ）设数列{}n a 的公差为d ，由题设，412

2a a a =， …………………2分 即d d 31)1(2

+=+，解得01d d ==或 …………………4分 又∵0≠d ，∴1d =，可以求得n a n =. …………………6分

（Ⅱ）由（Ⅰ）得n n n b 2+=

123(12)(22)(32)(2)

n n T n =++++++

++

2

=(123222)n

n +++++++

+）（ …………………8分

222

)

1(1-++=

+n n n . …………………12分 （分别求和每步给2分）

18. (本小题满分12分)

解：（Ⅰ）635.65.122

25

302020303005030202030)33636(50222

>==⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯-⨯=

χ …………………2分 ∴有99%的把握认为理科生愿意报考“经济类”专业与性别有关. …………………4分 （Ⅱ）估计该市的全体考生中任一人报考“经济类”专业的概率为202

505

p =

= ……………6分 X 的可能取值为3,2,1,0，由题意，得)5

2

,3(~B X

)3,2,1,0(,)5

3

()52()(33===-k C k X P k k k

10分 ∴随机变量X 的数学期望5

6

=）（X E . …………………12分 19. (本小题满分12分)

解：（Ⅰ）证明:因为C A AA 11=，且O 为AC 的中点，所以AC O A ⊥1

， …………………2分 又∵侧面11AAC

C ⊥底面ABC ,交线为AC ,且⊂O

A

1平面C C AA 11， ∴⊥O A 1平面ABC . …………………4分 （Ⅱ）如图,以O

为原点,1,,OA OC OB 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系.

由已知可得(0,0,0)O ，(0,1,0)A -，1A ，1C ，

B ∴(

3,1,0)AB =

，1(3,0,A B =，11(0,2,0)AC = …………………6分 设平面1AA B 的一个法向量为),,(11

1z y x =，则有

1111100

00m AB y m A B ⎧⎧⋅=+=⎪⎪⇒⎨

⋅=

=⎪⎩

令11=x ，得1y =11z =

∴)1,3,1(-=. …………………8分 设平面11BC A 的法向量为),,(222z y x n =，则有

21122120000

y m A C m A B ⎧=⎧⋅=⎪⎪

⇒⎨=⋅=⎪⎩ 令12=x ，则

20y =，21z =，∴)1,0,1(=n ………………………10分 ∴510

10

2,cos =>=

∴所求二面角的大小为)5

10

arccos(-. ………………………12分 20. (本小题满分12分) 解:（Ⅰ）由题意得，2

2

,6=

=

e c ，解得32=a ， ………………1分 ∴椭圆方程为

16

122

2=+y x . ………………3分 （Ⅱ）由已知，直线OP ：1y k x =，OQ ：2y k x =，且与圆R 相切， ∴

212

1001=+-k y x k ，化简得()0424201002120

=-+--y k y x k x 同理()

04242

02002220=-+--y k y x k x ， ………………5分

∴12,k k 是方程22

000240k x y k y -+-=的两个不相等的实数根

∴20

40x -≠，0∆>，44

202021--=x y k k ………………7分

∵点00(,)R x y 在椭圆C 上，所以16122020=+y x ，即202

02

16x y -= ∴2

1

42

12202

21-=--=x x k k ． …………………8分 （Ⅲ）2

2

OP OQ +是定值18．

设1122(,),(,)P x y Q x y ，联立⎪⎩⎪⎨⎧=+=1612,221y x x k y 解得⎪⎪⎩

⎪⎪⎨⎧+=+=2

1

2

121

212

121122112

k k y k x ∴()

2

1

2

121

21

21112k k y x ++=+ 同理，得()

2

2

2

2

22

22

21112k k y x ++=+． …………………10分