高一数学3月月考试题7

浙江省杭州市2016-2017学年高一数学3月月考试题
本试卷有卷I 和卷II 组成，卷I 为《数学必修4》的模块考卷，分数为100分；，卷II 为加试部分，分数50分，总分为150分。

卷I
一、选择题（每小题4分，共40分）
1．角α的终边过点P (－1,2)，则sin α＝( )
A.
55 B.255 C ．－55 D. - 25
5
2．已知α是第二象限角，且cos α＝－4
5
，得tan α＝( )
A.43 B ．－43 C ．－34 D.34
3.计算sin43°cos13°＋sin47°cos103°的结果等于( )
A.12
B.33
C.22
D.32
4．已知sin α＝1213，cos β＝4
5，且α是第二象限角，β是第四象限角，那么
sin(α－β)等于( )
A.3365
B.6365 C ．－1665 D ．－56
65
5.已知x ∈(－π2，0)，cos x ＝4
5
，则tan2x ＝( )
A ．－247
B ．－724 C.724 D.24
7
6．已知简谐运动f (x )＝2sin(π3x ＋φ)(|φ|<π
2
)的图象经过点(0,1)，则该简谐运动的最小正周期
T 和初相φ分别为( )
A ．T ＝6，φ＝π6
B ．T ＝6，φ＝π
3
C ．T ＝6π，φ＝π6
D ．T ＝6π，φ＝π
3
7．已知M 是△ABC 的BC 边上的中点，若向量AB =a ,AC = b ，则向量AM 等于( )
A ．
21(a －b ) B ．21(b －a ) C ．21( a ＋b ) D ．1
2
-(a ＋b ) 8．如图1e ，2e 为互相垂直的单位向量，向量c b a
++可表示为( )
A ．-13e 22e
B ．--13e 32e
C ．+13e 22e
D ．+12e 32e 9．将函数y=sinx 图象上所有的点向左平移
3
π
个单位长度，再将图象上所有的点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），则所得图象的函数解析式为 ( )
A ．）（3
2
sin π
+=x y B ．）（6
2
sin π+=x y C ．）（3
2sin π+=x y D ．）（3
2sin π-=x y
10．函数44
f (x)
sin(x)sin(x)ππ=+-是（ ）
A ．周期为2π的奇函数
B ．周期为2π的偶函数
C ．周期为π的奇函数
D ．周期为π的偶函数
二、填空题（每小题4分，共20分） 11．若3
2)sin(-=-απ, 且)0,2(π
α-∈, 则αtan 的值是___________．
12.已知向量a ＝(2，－1)，b ＝(－1，m )，c ＝(－1,2)，若(a ＋b )∥c ，则m ＝________.
13.若向量a ＝(3，m )，b ＝(2，－1)，a ·b ＝0，则实数m 的值为
14．已知sin x ＝5－12，则sin2(x －π
4
)＝_______ _ .
15.若3sin α＋cos α＝0，则1
cos 2
α＋sin2α
的值为
三、解答题
16.（本题12分）在平面直角坐标系中，A 、B 两点的坐标分别为(1，2)，(3，8)，向量
=(x ，3)。

(Ⅰ)若//，求x 的值；(Ⅱ)若⊥，求x 的值
1
e 2
e a
b c
17．（本题14分）已知sin(π＋α)＝－1
3
.
计算：(1)cos(α－3π2)；(2)sin(π
2＋α)．
18．（本题14分）已知函数f (x )＝2cos 2
x ＋23sin x cos x －1(x ∈R )．
(1)把f (x )化简成f (x )=Asin(ωx +φ)(A>0,ω>0,0<φ<π
2)的形式
(2)求函数f (x )的单调增区间．
卷II 一、选择题（每小题5分，共10分） 1 .已知53)tan(=
+βα，4
1)3tan(=-πβ，那么)3tan(π
α+的值为 ( )
A ．183
B ．2313
C ．237
D ．17
7
2．函数y ＝log a (x 2
＋2x －3)，当x ＝2时，y >0，则此函数的单调递减区间是( )
A ．(－∞，－3)
B ．(1，＋∞)
C ．(－∞，－1)
D ．(－1，＋∞)
二、填空题（每小题5分，共10分）：
3．若1||||||=-==b a b a ，则||b a
+= 。

4．已知51)cos(=+βα，5
3
)cos(=-βα，则βαtan tan 的值为 ．
三、解答题（每小题15分，共30分）
5．已知函数f (x )＝12sin 2x sin φ＋cos 2
x cos φ－12sin (π2＋φ)(0<φ<π)，其图象过点
(
π6
，1
2
)．
(1)求φ的值；
(2)将函数y ＝f (x )的图象上各点的横坐标缩短到原来的1
2
，纵坐标不变，得到函数y ＝g (x )的图
象，求函数g (x )在[0，π
4]上的最大值和最小值．
6. 已知二次函数)0,,,()(2
≠∈++=a R c b a c bx ax x f ，0)0()2(==-f f ，)(x f 的最小值为
1-．
(1) 求函数)(x f 的解析式；
(2) 设函数)]([log )(2x f n x h -=，若此函数在定义域范围内不存在零点，求实数n 的取值范围.
杭西高2017年3月考高一数学试卷答案
本试卷有卷I 和卷II 组成，卷I 为《数学必修4》的模块考卷，分数为100分；，卷II 为加试部分，分数50分，总分为150分。

卷I 一、选择题（每小题4分，共40分）
1．角α的终边过点P (－1,2)，则sin α＝( )
A.
55 B.255 C ．－
55 D. -25
5
答案 B 解析 sin α＝y
r
＝25
＝
25
5
.
2．已知α是第二象限角，且cos α＝－4
5
，得tan α＝( )
A.43 B ．－43 C ．－34 D.34
答案 C
解析 ∵α为第二象限角且cos α＝－45，∴sin α＝35，∴tan α＝sin αcos α＝－3
4
.
3.计算sin43°cos13°＋sin47°cos103°的结果等于( ) A.12 B.33 C.
22 D.32 答案 A 解析 原式＝sin43°cos13°－cos43°sin13°＝sin(43°－13°)＝sin30°＝1
2
.
4．已知sin α＝1213，cos β＝4
5
，且α是第二象限角，β是第四象限角，那么sin(α－β)等
于( )
A.3365
B.6365 C ．－1665 D ．－5665
答案 A
解析 因为α是第二象限角，且sin α＝1213，所以cos α＝－1－144169＝－5
13.又因为β是第
四象限角，cos β＝4
5
，所以sin β＝－
1－1625＝－35.sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β＝12
13
×45－(－513)×(－35)＝48－1565＝3365
.
5.已知x ∈(－π2，0)，cos x ＝4
5
，则tan2x ＝( )
A ．－247
B ．－724
C.724
D.247 答案 A
解析 方法一 因为x ∈(－
π
2，0)，∴sin x <0，∴sin x ＝－35，∴sin2x ＝2sin x cos x ＝－24
25
，cos2x ＝2cos 2
x －1＝725，∴tan2x ＝sin2x cos2x ＝－247
.
方法二 由方法一知：sin x ＝－35，∴tan x ＝－3
4
，
∴tan2x ＝2tan x 1－tan 2x ＝－
24
7
. 6．已知简谐运动f (x )＝2sin(π3x ＋φ)(|φ|<π
2
)的图象经过点(0,1)，则该简谐运动的最小正
周期T 和初相φ分别为( )
A ．T ＝6，φ＝π6
B ．T ＝6，φ＝π
3
C ．T ＝6π，φ＝π6
D ．T ＝6π，φ＝π
3
答案 A
解析 ∵图象过点(0,1)，∴2sin φ＝1，∴sin φ＝1
2
∵|φ|<π2，∴φ＝π6，T ＝2π
π
3＝6.
7．已知M 是△ABC 的BC 边上的中点，若向量AB =a ,AC = b ，则向量AM 等于 C A ．21(a －b ) B ．21(b －a ) C ．21( a ＋b ) D ．1
2
-(a ＋b )
8．如图1e ，2e 为互相垂直的单位向量，向量c b a
++可表示为C
A ．-13e 22e
B ．--13e 32e
C ．+13e 22e
D ．+12e 32e
9．将函数y=sinx 图象上所有的点向左平移
3
π
个单位长度，再将图象上所有的点的横坐标伸长到原1
e 2
e a
b c
来的2倍（纵坐标不变），则所得图象的函数解析式为 A
A ．）（3
2
sin π
+=x y B ．）（6
2
sin π+=x y C ．）（3
2sin π+=x y D ．）（3
2sin π-=x y
10．函数44
f (x)
sin(x)sin(x)ππ=+-是（ D ）
A ．周期为2π的奇函数
B ．周期为2π的偶函数
C ．周期为π的奇函数
D ．周期为π的偶函数
二、填空题（每小题4分，共20分） 11．若3
2)sin(-
=-απ, 且)0,2(π
α-∈, 则αtan 的值是_____255- _______．
12.已知向量a ＝(2，－1)，b ＝(－1，m )，c ＝(－1,2)，若(a ＋b )∥c ，则m ＝________.
答案 －1
解析 由已知a ＋b ＝(1，m －1)，c ＝(－1,2)，由(a ＋b ))∥c 得1×2－(m －1)×(－1)＝m ＋1＝0，所以m ＝－1.
13.若向量a ＝(3，m )，b ＝(2，－1)，a ·b ＝0，则实数m 的值为
解析 依题意得6－m ＝0，m ＝6.
14．已知sin x ＝5－12，则sin2(x －π
4
)＝_______ _ .
答案 2－ 5
解析 sin2(x －π4)＝sin(2x －π
2
)＝－cos2x ＝－(1－2sin 2
x )＝2sin 2
x －1＝2－ 5.
15.若3sin α＋cos α＝0，则1
cos 2
α＋sin2α
的值为 解析 3sin α＝－cos α⇒tan α＝－1
3
.
1cos 2α＋sin2α＝cos 2α＋sin 2αcos 2
α＋2sin αcos α＝1＋tan 2
α
1＋2tan α＝1＋191－23
＝103
.
三、解答题
16.（本题12分）在平面直角坐标系中，A 、B 两点的坐标分别为(1，2)，(3，8)，向量
=(x ，3)。

(Ⅰ)若//，求x 的值；(Ⅱ)若⊥，求x 的值 （1） 1x = （2） 9x =-
17．（本题14分）已知sin(π＋α)＝－1
3
.
计算：(1)cos(α－3π2)；(2)sin(π
2
＋α)．
分析 先利用诱导公式将条件和所求式子化简，然后再求值．
解析 sin(π＋α)＝－sin α＝－1
3
，
∴sin α＝1
3.
(1)cos(α－3π2)＝cos(3π2－α)＝－sin α＝－1
3.
(2)sin(π2＋α)＝cos α，cos 2α＝1－sin 2
α＝1－19＝89.
∵sin α＝1
3
，∴α为第一或第二象限角．
①当α为第一象限角时，sin(π2＋α)＝cos α＝22
3.
②当α为第二象限角时，sin(π2＋α)＝cos α＝－22
3
.
18．（本题14分）已知函数f (x )＝2cos 2
x ＋23sin x cos x －1(x ∈R )． (1)把f (x )化简成f (x )=Asin(ωx +φ)(A>0,ω>0,0<φ<π
2
)的形式
(2)求函数f (x )的单调增区间．
解析（1） f (x )＝2cos 2
x ＋23sin x cos x －1＝3sin2x ＋cos2x ＝2sin(2x ＋π
6)．
(2)由2kπ－π2≤2x ＋π6≤2kπ＋π2(k ∈Z )，得kx －π3≤x ≤kπ＋π
6(k ∈Z )，
∴函数f (x )的单调增区间为[kπ－π3，kπ＋π
6](k ∈Z )．
卷II 一、选择题（每小题5分，共10分） 1 .已知53)tan(=
+βα，4
1)3tan(=-πβ，那么)3tan(π
α+的值为 C
A ．
183 B ．2313
C ．237
D ．17
7
2．函数y ＝log a (x 2
＋2x －3)，当x ＝2时，y >0，则此函数的单调递减区间是( )
A ．(－∞，－3)
B ．(1，＋∞)
C ．(－∞，－1)
D ．(－1，＋∞)
答案 A
解析 当x ＝2时，y ＝log a (22
＋2·2－3) ∴y ＝log a 5>0，∴a >1 由复合函数单调性知
单减区间须满足⎩
⎪⎨⎪⎧
x 2＋2x －3>0
x <－1，解之得x <－3.
二、填空题（每小题5分，共10分）：
3．若1||||||=-==b a b a ，则||b a
+
4．已知51)cos(=
+βα，53
)cos(=-βα，则βαtan tan 的值为 1
2
．
三、解答题（每小题15分，共30分）
5．已知函数f (x )＝12sin 2x sin φ＋cos 2
x cos φ－12sin (π2
＋φ)(0<φ<π)，其图象过点
(π6，12
)． (1)求φ的值；
(2)将函数y ＝f (x )的图象上各点的横坐标缩短到原来的1
2，纵坐标不变，得到函数y ＝g (x )的图
象，求函数g (x )在[0，π
4]上的最大值和最小值．
解析 (1)因为f (x )＝12sin 2x sin φ＋cos 2
x cos φ－12sin(π2
＋φ)(0<φ<π)，
所以f (x )＝12sin 2x sin φ＋1＋cos 2x 2cos φ－1
2
cos φ
＝12sin 2x sin φ＋1
2cos 2x cos φ ＝1
2(sin 2x sin φ＋cos 2x cos φ) ＝1
2
cos(2x －φ)， 又函数图象过点(π6，12)，所以12＝12cos(2×π
6
－φ)，
即cos(π3－φ)＝1，又0<φ<π，所以φ＝π
3
.
(2)由(1)知f (x )＝12cos(2x －π
3
)，
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1文档来源为:从网络收集整理.word 版本可编辑. 将函数y ＝f (x )的图象上各点的横坐标缩短到原来的12
，纵坐标不变，得到函数y ＝g (x )的图象，可知
g (x )＝f (2x )＝12cos(4x －π3
)， 因为x ∈[0，π4
]，所以4x ∈[0，π]， 因此4x －π3∈[－π3，2π3]，故－12≤cos(4x －π3)≤1. 所以y ＝g (x )在[0，π4]上的最大值和最小值分别为12和－14
. 6. 已知二次函数)0,,,()(2
≠∈++=a R c b a c bx ax x f ，0)0()2(==-f f ，)(x f 的最小值为1-．
(1) 求函数)(x f 的解析式；
(2) 设函数)]([log )(2x f n x h -=，若此函数在定义域范围内不存在零点，求实数n 的取值范围.
6.⑴ 由题意设)2()(+=x ax x f ，
∵ )(x f 的最小值为1-，
∴ 0>a ，且1)1(-=-f ， ∴ 1=a ，
∴ x x x f 2)(2+= .
(2) ∵ 函数)]([log )(2x f n x h -=在定义域内不存在零点，必须且只须有
0)(>-x f n 有解，且1)(=-x f n 无解.
∴ )(min x f n >，且n 不属于1)(+x f 的值域，
又∵ 1)1(2)(22-+=+=x x x x f ，
∴ )(x f 的最小值为1-，1)(+x f 的值域为[)∞+,
0， ∴ 1->n ，且0<n
∴ n 的取值范围为()0,1-．
（2）解2. )2(log )(22n x x x h +--=
令t = n x x +--22=1)1(2+++-n x ,
必有0 < t ≤ n + 1， 得h(x) ≤ )1(log 2+n ,
因为函数)]([log )(2x f n x h -=在定义域内不存在零点，所以)1(log 2+n < 0,
得n + 1 <1，即n < 0, 又n > – 1（否则函数定义域为空集，不是函数）
所以; n 的取值范围为()0,1-．。