第四章复变函数的级数优秀课件
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第四章复变函数的级数演示精品PPT课件
则
(1) 当 0 时, 收敛半径 R ;
形式上可以记为
(2)
当
时,
R
收1敛半径
R 0;
(3)
当0
时,
收敛半径
R
1.
证明：由于
为数列, 记为n.
定义4.1 设 n是数列， a ib 是常数.
如果e >0, 存在正整数N, 使得当n>N 时, 不等式
n e 成立, 则称当n时, an收敛于 ,
或称 是n的极限, 记作
lim
n
n
.
复数列收敛与实数列收敛的关系
定理一
lim
n
n
的充分必要条件是
lim
n
an
a,
lim
cnzn 发散.
n0
• z0
2 收敛圆与收敛半径
定理3.由6 (Abel定理), 幂若级级数数 ccnnzznn在收z敛1 情0 况有三种: n00
处收敛(1，) 则对当所有z 的z1正时实, 数级都数 收 敛cnz. n 绝对收敛; n0 级数在复平面内绝对收敛.
若级数(2)n对0 cn所zn 有在的z2 正处发实散数，都则发当散z. z2 时, 级数
因此，幂级数 cn(z z0 )n的收敛范围是 n0
以 z z0为中心的圆域.
问题：幂级数在收敛圆周上的敛散性如何?
事实上, 幂级数在收敛圆周上敛散性的讨 论比较复杂, 没有一般的结论, 要对具体级数
进行具体分析.
例 1 求级数 zn 的收敛半径与和函数.
解
n0
z 1
lim zn 0
n
级数 zn 发散.
fn(z) f1(z) f2(z)
n1
(1) 当 0 时, 收敛半径 R ;
形式上可以记为
(2)
当
时,
R
收1敛半径
R 0;
(3)
当0
时,
收敛半径
R
1.
证明：由于
为数列, 记为n.
定义4.1 设 n是数列， a ib 是常数.
如果e >0, 存在正整数N, 使得当n>N 时, 不等式
n e 成立, 则称当n时, an收敛于 ,
或称 是n的极限, 记作
lim
n
n
.
复数列收敛与实数列收敛的关系
定理一
lim
n
n
的充分必要条件是
lim
n
an
a,
lim
cnzn 发散.
n0
• z0
2 收敛圆与收敛半径
定理3.由6 (Abel定理), 幂若级级数数 ccnnzznn在收z敛1 情0 况有三种: n00
处收敛(1，) 则对当所有z 的z1正时实, 数级都数 收 敛cnz. n 绝对收敛; n0 级数在复平面内绝对收敛.
若级数(2)n对0 cn所zn 有在的z2 正处发实散数，都则发当散z. z2 时, 级数
因此，幂级数 cn(z z0 )n的收敛范围是 n0
以 z z0为中心的圆域.
问题：幂级数在收敛圆周上的敛散性如何?
事实上, 幂级数在收敛圆周上敛散性的讨 论比较复杂, 没有一般的结论, 要对具体级数
进行具体分析.
例 1 求级数 zn 的收敛半径与和函数.
解
n0
z 1
lim zn 0
n
级数 zn 发散.
fn(z) f1(z) f2(z)
n1
《复变函数级数》PPT课件
f a n1
d
利用导数公式：
fzf(n)azan, zaR n0 n!
➢ 唯一性：
fzanzan
za, a 0fa
n0
za , a 1fa
f(n)a
za, an n!
Taylor展开方法：
基本方法（Taylor展开定理） 特殊方法（幂级数运算）
① 线性运算 ② 乘除运算 ③ 复合运算 ④ 微积分运算
z0 R r
a
n
n
anzan
za M
z0a
r M
z0a
推论：若幂级数在某点 z z1 处发散，
则它在za z1 a
处发散
z1 R a
收敛半径的求法（比值或根式判别法）
lim an1zalim an1zaLza1
n an
n an
R 1 L
R lim an a n
n 1
limn
n
an
L
幂级数运算性质：
根式判别法（Cauchy判别法）
k wk k r
r<1时级数收敛；r>1时级数发散；r=1时不一定。
级数的代数运算
若 ak A ， bk B
k 0
k 0
加减法：两收敛级数的和与差级数仍
收敛，且
ak bk akbkAB
k0
k0
k0
乘法：两绝对收敛级数的乘积绝对收 敛，且其和与乘积项的排列次序无关
幂级数在收敛圆内其和是解析函数，且 可任意次逐项积分、逐项微商。
例1 z n n1 n e i n n1 n
R
0
Rliman limn11
a n n
n
n1
0, 1 n1 n
第四章复变函数级数共38页PPT资料
设 fn(z)是定义在区域D上的复变函数列,
称
fn (z)f1 (z)f2(z) L fn (z) L
n 1
为复变函数项级数.
n
Sn(z) fi(z)f1(z)f2(z) Lfn(z) i 1
为该级数前n项的部分和.
如果对 z0 D, 级数 f n ( z 0 ) 收敛, 即 n1
ln i m Sn(z0)S(z0),
n1
n1
证明 说明
n anibn.
n1
n1
n1
n
n
由 Sn ak i bk, 及定理4.1, 易证.
k1
k1
复数项级数的收敛问题
两个实数项级数的收敛问题
练习
级数
n1
1 n
1
i n
是否收敛?
解 因为级数 发散, 而级数
an
n1
n1
1 n
bn
n1
n1
1 n2
收敛, 所以原复数项级数发散.
则称级数 f n ( z ) 在 z 0 点收敛, 且S ( z 0 ) 是级数和. n1 如果级数 f n ( z ) 在D内处处收敛, 则称其在 n1
区域D内收敛. 此时级数的和是函数
S ( z ) f 1 ( z ) f 2 ( z ) f n ( z )
称为该级数在区域D上的和函数.
s
i
n
n
.
lim
n
an
1,
lim
n
bn
0
数列
1
1 n
e
i
n
收
敛
,
且
有
lim
n
n
1.
称
fn (z)f1 (z)f2(z) L fn (z) L
n 1
为复变函数项级数.
n
Sn(z) fi(z)f1(z)f2(z) Lfn(z) i 1
为该级数前n项的部分和.
如果对 z0 D, 级数 f n ( z 0 ) 收敛, 即 n1
ln i m Sn(z0)S(z0),
n1
n1
证明 说明
n anibn.
n1
n1
n1
n
n
由 Sn ak i bk, 及定理4.1, 易证.
k1
k1
复数项级数的收敛问题
两个实数项级数的收敛问题
练习
级数
n1
1 n
1
i n
是否收敛?
解 因为级数 发散, 而级数
an
n1
n1
1 n
bn
n1
n1
1 n2
收敛, 所以原复数项级数发散.
则称级数 f n ( z ) 在 z 0 点收敛, 且S ( z 0 ) 是级数和. n1 如果级数 f n ( z ) 在D内处处收敛, 则称其在 n1
区域D内收敛. 此时级数的和是函数
S ( z ) f 1 ( z ) f 2 ( z ) f n ( z )
称为该级数在区域D上的和函数.
s
i
n
n
.
lim
n
an
1,
lim
n
bn
0
数列
1
1 n
e
i
n
收
敛
,
且
有
lim
n
n
1.
高等数学课件-复变函数与积分变换 第四章 级数
称为级数的部分和。
在收敛域D内
lim
n
Sn
(
z)
S
(
z
),
S ( z) 为级数的和函数。
二、幂级数
若 fn (z) Cn zn 或 fn (z) Cn (z z0 )n 时，
幂级数为
Cn zn 或
Cn (z z0 )n
n0
n0
定理4.7
Ab el 定理如果级数
Cn zn
n0
z z 在
z0
sin
z
k 0
(1)k z2k1
2k 1!
R
• 例5 将 cos z 在 z 0处展开成幂级数。
sin z 解： 将
两边对z求导
cos z
(1)k (2k 1)z2k
k 0
2k 1!
(1)k z2k
k 0
2k !
例6 arctan z 在 z 0 处展开成幂级数。
解：
arctan
z
b
二、复数项级数
定义4.2
z 设
为一复数列，表达式
n
zn z1 z2 zn
n1 为复数项级数，其前n项之和
Sn z1 z2 zn
为级数的部分和。 称级数收敛，
若
lim
n
Sn
S,
S称为级数的和，
记为
S zn
若
{Sn} 不收敛，则称级数是发散的
n1
n
n
n
Sn k an i bn 有
收敛，那么对满足
0
| z || z0 | 的z，
级数必绝对收敛。
如果在
z z 级数发散，那么对满足 0
复变函数课件
敛问题.
而由实数项级数 an 和 bn收敛的必要条件
n 1 n 1
lim an 0和 lim bn 0,
n n
立即可得 lim a n 0, 从而推出复数项级数
n
a 收敛的必要条件是 lim a
n 1 n n
n
0.
8
定义： 如果 | a n | 收敛, 则称级数 a n 绝对收敛.
f ( z )
n 1
nc n ( z - a ) n - 1
28
3) f(z)在收敛圆内可以逐项积分, 即
f ( z ) d z c ( z - a)
C n 0 n C
n
d z , C | z - a | R
或
z
a
cn n 1 f (z ) d z ( z - a) n 1 n 0
3
推论：若实数列{an}与{bn}中有一个发散， 则复数列{αn}一定发散。 例1. 下列数列是否收？如果收敛，求出 其极限.
1 n 1 (1)a n (1 ) in sin ; n n n ( 2)a n ( -1) i cos in; (3)a n p=3>1, 所以原级数在收敛圆上是处 处收敛的.
23
cn 1 n lim lim 1 n n 1 2) n cn , 即 R=1.
在收敛圆|z-1|=1 上, 当 z=0 时, 原级数成为
1 (-1) n n 1
n
, 级数收敛; 当 z=2 时, 原级数成为
cnz n 这是 ,
n 0
(4.1.4)的形式, 为了方便, 今后常就(4.1.4)讨论
而由实数项级数 an 和 bn收敛的必要条件
n 1 n 1
lim an 0和 lim bn 0,
n n
立即可得 lim a n 0, 从而推出复数项级数
n
a 收敛的必要条件是 lim a
n 1 n n
n
0.
8
定义： 如果 | a n | 收敛, 则称级数 a n 绝对收敛.
f ( z )
n 1
nc n ( z - a ) n - 1
28
3) f(z)在收敛圆内可以逐项积分, 即
f ( z ) d z c ( z - a)
C n 0 n C
n
d z , C | z - a | R
或
z
a
cn n 1 f (z ) d z ( z - a) n 1 n 0
3
推论：若实数列{an}与{bn}中有一个发散， 则复数列{αn}一定发散。 例1. 下列数列是否收？如果收敛，求出 其极限.
1 n 1 (1)a n (1 ) in sin ; n n n ( 2)a n ( -1) i cos in; (3)a n p=3>1, 所以原级数在收敛圆上是处 处收敛的.
23
cn 1 n lim lim 1 n n 1 2) n cn , 即 R=1.
在收敛圆|z-1|=1 上, 当 z=0 时, 原级数成为
1 (-1) n n 1
n
, 级数收敛; 当 z=2 时, 原级数成为
cnz n 这是 ,
n 0
(4.1.4)的形式, 为了方便, 今后常就(4.1.4)讨论
第四章 复变函数的级数
n1 n!
解
因为
(8i )n
8n ,
n! n!
lim un1 r
u n n
r1时收敛, r1时发散
r 1时可能收敛或发散
所以由正项级数的比值判别法知:
8n 收敛,
n1 n!
8n1 n! 8n (n 1)!
n
8
1
0
故原级数收敛, 且为绝对收敛.
15
§2 复变函数项级数
n cn
lim( n ) p n n 1
=1
所以 R 1 1.
27
例2
级数
n0
zn,
n0
zn n2
,
n0
zn n
的收敛半径，
并讨论它们在收敛圆上的敛散性。
解：根据比值法，三个级数都有lim Cn1 1
n Cn
故收敛半径R 均为1, 收敛圆周均为 z 1
设 z z0 ( 0)时,级数 cn (z z0 )n 收敛;
n0
由Abel定理，级数在 z z0 内收敛。
设z z0 ( 0)时,级数 cn (z z0 )n发散.
n0
23
由Abel定理的推论，级数在 z z0 内发散。 y
cn (z1
z0 )n
0
因而存在正数M,使对所有的n,
有 cn(z1 z0 )n M , 19
n
n
故 cn(z z0 )n
cn (z1 z0 )n
z z0 z1 z0
M
z z0 z1 z0
.
复变函数PPT第四章
——代入法
1 例2 求 f ( z ) 2 在 z 0 点邻域内的 Taylor级数. (1 z )
解：z1 1 是 f ( z ) 的惟一奇点，且 z1 0 1, 故收敛半径 R 1.
利用逐项积分得
(n 1)z dz
n 0 n 0 n 0
z
z
0
( n 1) z dz z
n n 0
n 1
z . 1 z
所以
1 z n (n 1)z 1 z (1 z )2 n 0
z 1 .
n0
的收敛范围与和函数.
解 级数的部分和为
sn 1 z z 2 z n1 1 lim sn z 1 n 1 z
z 1
lim z 0
n n
1 zn , ( z 1) 1 z z n 收敛, 级数
n 0
级数
z n 发散.
所以收敛半径 R 1,
即原级数在圆 z 1内收敛, 在圆外发散, zn 1 在圆周 z 1上,级数 3 3 n 1 n n 1 n 收敛的 p 级数 ( p 3 1). 所以原级数在收敛圆上是处处收敛的.
(cos in) z n （2）
n 0
1 n 解 因为 cn cos in (e e n ), 所以收敛半径为 2 en en cn 1 1 e 2 n lim n1 R lim . n 1 lim 2 n 1 n e n c n e e e e n1
(7)(1 z ) 1 z
( 1)
1 例2 求 f ( z ) 2 在 z 0 点邻域内的 Taylor级数. (1 z )
解：z1 1 是 f ( z ) 的惟一奇点，且 z1 0 1, 故收敛半径 R 1.
利用逐项积分得
(n 1)z dz
n 0 n 0 n 0
z
z
0
( n 1) z dz z
n n 0
n 1
z . 1 z
所以
1 z n (n 1)z 1 z (1 z )2 n 0
z 1 .
n0
的收敛范围与和函数.
解 级数的部分和为
sn 1 z z 2 z n1 1 lim sn z 1 n 1 z
z 1
lim z 0
n n
1 zn , ( z 1) 1 z z n 收敛, 级数
n 0
级数
z n 发散.
所以收敛半径 R 1,
即原级数在圆 z 1内收敛, 在圆外发散, zn 1 在圆周 z 1上,级数 3 3 n 1 n n 1 n 收敛的 p 级数 ( p 3 1). 所以原级数在收敛圆上是处处收敛的.
(cos in) z n （2）
n 0
1 n 解 因为 cn cos in (e e n ), 所以收敛半径为 2 en en cn 1 1 e 2 n lim n1 R lim . n 1 lim 2 n 1 n e n c n e e e e n1
(7)(1 z ) 1 z
( 1)
[复变函数与积分变换][课件][第4章][级数]
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级
数
∑f
n =1
+∞
n
( z ) = f1 ( z ) + f 2 ( z ) + f 3 ( z ) +
+ f n ( z) +
为复
= f1 ( z ) + f 2 ( z ) +
+ f n ( z) = ∑ f k ( z) ．
k =1
n
sn ( z0 ) 若 z 0 ∈ D ，极限 nlim → +∞
敛点；
= s ( z0 )
存在，称
∑f
n =1
+∞
n
( z ) 在 z0 处收敛，和
∑f
n =1
+∞
n
( z0 ) = s ( z0 ) ， z0 为收
若 z 0 ∈ D ， {sn ( z 0 )} 发散，称
∑f
n =1
+∞
n
( z ) 在 z 0 处发散， z 0 为发散点．
D1 收敛域
D2 发散域
∑αn = s
n =1
+∞
Δ
收敛； 若 {s n }
∑α
n =1
+∞
n
收敛
⇔
∑a
n =1
+∞
n
和
∑b
n =1
+∞
n
均收敛．
⎛ n ⎞ ⎛ n ⎞ 证： s n = ∑ α k = ⎜ ∑ ak ⎟ + i ⎜ ∑ bk ⎟ ． k =1 ⎝ k =1 ⎠ ⎝ k =1 ⎠
此定理将复级数的审敛问题转化为实级数的审敛问题． 级数收敛之必要条件：
复变函数与积分变换课堂第四章PPT课件
n1
称为无穷级数, 其最前面n项的和
sn12 n
称为级数的部分和。
如果部分和数列{sn}收敛, 则级数 n 称为收敛，且 n 1
极限 lim n
sn
s
称为级数的和。如果数列
{
s
n
}
不收敛，则
级数 n 称为发散。 n 1
定理二 级数 n 收敛的充要条件是级数 a n 和
n 1
n 1
b n 都收敛。
1 n1 2 n
收敛，仍断定原级数发散。
另外, 因为 | n | 的各项都是非负的实数, 所以它的 n 1
收敛也可用正项级数的判定法来判定。
例2 下列数列是否收敛? 如果收敛, 求出其极限。
1)n 11 n ein; 2)nncosin
[解] 1) 因n 11 n ei n 11 n cos nisin n ，故
an2bn2 |an||bn|，因此
， an2bn2 |an| |bn|
n1
n1n1所以当 Nhomakorabeaa n 与
b n 绝对收敛时，
n 也绝对收敛，因此
n 1
n 1
n 1
n 绝对收敛的充要条件是 a n 和 b n 绝对收敛。
n 1
n 1
n 1
例1
考察级数
n 1
(
1 n
i 2n
)
的敛散性。
[解]
因 发散，虽 1 n1 n
n 1
[证] 因 s n 1 2 n ( a 1 a 2 a n )
i(b 1 b 2 b n )n in
其中s n a 1 a 2 a n ,n b 1 b 2 b n 分别为 a n 和 n 1
称为无穷级数, 其最前面n项的和
sn12 n
称为级数的部分和。
如果部分和数列{sn}收敛, 则级数 n 称为收敛，且 n 1
极限 lim n
sn
s
称为级数的和。如果数列
{
s
n
}
不收敛，则
级数 n 称为发散。 n 1
定理二 级数 n 收敛的充要条件是级数 a n 和
n 1
n 1
b n 都收敛。
1 n1 2 n
收敛，仍断定原级数发散。
另外, 因为 | n | 的各项都是非负的实数, 所以它的 n 1
收敛也可用正项级数的判定法来判定。
例2 下列数列是否收敛? 如果收敛, 求出其极限。
1)n 11 n ein; 2)nncosin
[解] 1) 因n 11 n ei n 11 n cos nisin n ，故
an2bn2 |an||bn|，因此
， an2bn2 |an| |bn|
n1
n1n1所以当 Nhomakorabeaa n 与
b n 绝对收敛时，
n 也绝对收敛，因此
n 1
n 1
n 1
n 绝对收敛的充要条件是 a n 和 b n 绝对收敛。
n 1
n 1
n 1
例1
考察级数
n 1
(
1 n
i 2n
)
的敛散性。
[解]
因 发散，虽 1 n1 n
n 1
[证] 因 s n 1 2 n ( a 1 a 2 a n )
i(b 1 b 2 b n )n in
其中s n a 1 a 2 a n ,n b 1 b 2 b n 分别为 a n 和 n 1
4复变函数幂级数
两个实数项级数的收敛问题.
性质 级数
收敛
n
的必要条件:
lim
n
n
0.
n1
定理3
若
n
收
敛
收
n
敛
，
且
n
n .
n1
n1
n1
n1
证明 n an ibn
an an2 bn2 ,
an2 bn2
由比较判定法
an和 bn均 绝 对 收 敛 ，
在
，
称
级
数(1)发
散
。
15 August 2019 © 2009, Henan Polytechnic University
1414
第四章幂级数
若级数(1)在D内处处收敛，其和为z的函数 s(z) f1(z) f2(z) fn(z)＋ ---级数(1)的和函数
特殊情况，在级数(1)中 fn (z) cn (z z0 )n 得
un
0, 则 n1
(-1) n
un收 敛.
(阿
贝
尔)若
数
列un单
调
有
界
，
且
级
数
n1
v
收
n
敛,
则
n1
unvn收
敛
；
（
狄
力
克
雷
）
若
数
列un单
调
递
减
，
且lim n
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因此，幂级数 cn(z z0 )n的收敛范围是 n0
以 z z0 为中心的圆域.
问题：幂级数在收敛圆周上的敛散性如何?
事实上, 幂级数在收敛圆周上敛散性的讨 论比较复杂, 没有一般的结论, 要对具体级数
进行具体分析.
例 1 求级数 z n 的收敛半径与和函数.
解
n0
z 1
limzn 0
级数 z n 发散.
c n z n 发散.
n0
• z0
2 收敛圆与收敛半径
定理3.由6 (Abel定理), 幂若级级数数 cnnzznn 在收z敛1 情0 况有三种: nn 00
处收敛(1，) 则对当所有z 的z1正时实, 数级都数 收 敛cnz. n 绝对收敛; n0 级数在复平面内绝对收敛.
若级数(2)n对0 cn所zn 有在的z2 正处发实散数，都则发当散z. z2 时, 级数
cnzn
发级散数. 在复平面内除原点外处处发散.
n0
(3) 既存在使级数发散的正实数, 也存在使级数收
敛的正实数.
设 z 时, 级数收敛; z 时, 级数发散. 如图:
y
收敛圆
R
收敛半径
o
.
.
1
.
1
.
x
幂级数 c n z n 的收敛范围是以原点为中心的圆域.
n0
收敛半径根据前面所述的三种情形, 分别 规定为 , 0, R.
则
n1
n1
n1
例 1 下列数列是否收敛? 如果收敛,求出其极限.
1)n
(11)ein n
2)nncoin s
ei(in) ei(in) n
2 en en n
2
例 2 下列级数是否收敛? 是否绝对收敛.
1) 1(1 i )
n1 n n
2) (8i)n
n0 n!
3)
(1)n n1 n
21ni
此定理说明: 判别复数列的敛散性可转化为判别 两个实数列的敛散性.
2 复数项级数的概念
设 n anib n 是复数列, 则称
n12 n
n1
为无穷级数.称
n
Sn k12 n
k1
为该级数的部分和.
级数收敛与发散的概念
定义4.2 如果级数
n12 n
n1
的部分和数列 S n 收敛于复数 S, 则称级数收敛,
n
n0
S n 1 z z2 zn 1 1 1 z z n(z 1 ).
z 1
lim
n
Sn
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
1 1
z
级数 z n 收敛,
n0
所以收敛半径 R 1, 在 z 1 内, 级数 z n
n0
绝对收敛, 且有
zn
1
.
n1
1 z
3 收敛半径的求法
定理二 (比值法) 设级数 c n z n . 如果 n0 lim cn1 , c n n
n 0
cn (zz0)n,
或 z0 0 的特殊情形
cn znc0 c 1 z c2z2 cn zn,
n 1
这类函数项级数称为幂级数.
定理一 (Abel定理) 若级数 c n z n 在 z0 0 n0
处收敛，则当 z z0 时, 级数 c n z n 绝对收敛; n0
若级数 c n z n 在 z 0 处发散，则当 z z0 时, 级数 n0
如果e >0, 存在正整数N, 使得当n>N 时, 不等式
n e 成立, 则称当n时, a n 收敛于 , 或称 是 n 的极限, 记作
lni mn .
复数列收敛与实数列收敛的关系
定理一 lni mn 的充分必要条件是
l n ia n m a , l n ib n m b .
推 论 如果级数 n 收敛, 则 lnimn 0. n1
定义4.3 设 n 是复数项级数, 如果正项
n1
级数 n 收敛, 则称级数 n 绝对收敛.
n1
n1
非绝对收敛的收敛级数称为条件收敛级数.
绝对收敛级数的性质
定理三 若级数 n n绝收对敛收敛, 则 n 也收敛,
n n 1 1
第四章复变函数的 级数
主要内容
本章介绍复变函数级数的概念, 重点是Taylor级数、Laurent级数及其展开.
§4.1 复数项级数
1 复数列的极限 2 复数项级数概念
1 复数列的极限
称 n a n i b n ( n 1 ,2 ,3 ,) 为复数列, 简称
为数列, 记为 n . 定义4.1 设 n 是数列，aib是常数.
定理4.4 设 n 是收敛数列，则其有界, 即
存在M>0, 使得 nM (n 1 ,2 ,3 , ).
§4.2 幂 级 数
1 幂级数的概念 2 收敛圆与收敛半径 3 收敛半径的求法 4 幂级数的运算和性质
1 幂级数的概念
设 fn (z)(n 1 ,2 , )是定义在区域D上的
复变函数列,称
n1
并且
n n .
n1
n1
补充 因为 nan 2b n 2anb n,所以
n
n
n
n
k a k 2b k 2 a k b k.
k 1
k 1
k 1
k 1
因此, 如果 a n 和 b n 都绝对收敛时, n 也
n1
n1
n1
绝对收敛.
综上可得:
n 绝对收敛 a n 和 b n 都绝对收敛.
这时称S为级数的和, 并记做
n S.
n1
如果 S n 不收敛，则称级数发散.
复数项级数与实数项级数收敛的关系
定理二 级数 n (anibn)收敛的充要
n1
n1
条件是 an , bn 都收敛, 并且
n1
n1
n anibn.
n1
n1
n1
说明
复数项级数的收敛问题
两个实数项级数的收敛问题
区域D内收敛. 此时级数的和是函数
S ( z ) f 1 ( z ) f 2 ( z ) f n ( z )
称为该级数在区域D上的和函数.
当 fn (z) c n 1 (z z0 )n 1或 fn(z)cn1zn1时,
函数项级数的形式为
c n (z a )n c 0 c 1 (z z0 ) c 2 (z z0 )2
fn (z)f1 (z)f2 (z)fn (z)
n 1
为复变函数项级数. S n ( z ) f 1 ( z ) f 2 ( z ) f n ( z )
为该级数的部分和.
如果对 z0 D,下述极限存在
ln i m Sn(z0)S(z0),
则称级数 f n ( z ) 在 z 0 点收敛, 且S ( z 0 ) 是级数和. n1 如果级数 f n ( z ) 在D内处处收敛, 则称其在 n1