初三数学思维训练题
九年级数学中考创思维训练三 试题
2021年中考数学创新思维训练〔三〕本卷贰O 贰贰年贰月捌日编写； 出题人：令狐学复；欧阳化语；令狐理总。
一、填空题〔每一小题3分，一共15分〕1、EFGH 是矩形ABCD 的内接矩形，且1:3:=FG EF ，1:2:=BC AB ，那么=HE AH :2、某初三年级举行以班为单位的基层数学团体赛，在各校预赛的根底上，每校选派一个班级中25名同学参加决赛，实验初中三〔2〕班、三〔6〕班为该校的候选班级，他们预赛的成绩如下：已经算得两个班的平均分都是80分①利用你学的统计知识，比拟 班的实力更平衡些．②你认为应派班的25名同学参加决赛．3、数轴上表示1、2的对应点分别为A 、B ，点B 关于点A 的对称点C 所示的数是4、在平面直角坐标系中，直线k x y +-=与双曲线xy 1=只有一个交点，那么k 的值是5、如图，圆木的横截面圆半径均为r ，那么将这七根圆木用绳子扎住，每周所需绳子的长度为 二、〔一共7分〕如图，AM 是⊙O 的直径，AM BC ⊥，垂足为N ，CD 是弦，交AM和AB 于点E 、F ．①假如NM EN =，求证：AB CD ⊥．②假如弦CD 交AB 于点F ，且AB CD =，求证：ED EF CE ⋅=2．三、〔一共8分〕关于x 的方程0127)1(222=+--+-+b a a x a x 有两个相等的实数根，且满足02=-b a ． ①利用根与系数的关系判断这两根的正负情况．②假设将127)1(222+--+-+=b a a x a x y 图象沿对称轴向下挪动3个单位，写出顶点坐标和对称轴方程．四、〔11分〕如下图，52=AB ，2tan =∠ABC ，53cos =∠ACB ①求过A 、B 、C 三点的二次函数解析式．②假设D 是AB 的中点，试判断点D 在这条二次函数的图象上吗？并说明理由．③假设y 随x 的增大而减小，求x 的取值范围．五、〔9分〕正方形ABCD 中，有一直径为BC 的半圆，cm BC 2=，现有两点E 、F ，分别从点B 、点A 同时出发，点E 沿线段BA 以s cm /1的速度向点A 运动，点F 沿折线C D A --以s cm /2的速度向点C 运动，设点E 分开B 的时间是为t 秒①当t 为何值时，线段EF 与BC 平行？②设21<<t ，当t 为何值时，EF 与半圆相切？③当21<≤t 时，设EF 与AC 相交于点P ，问点E 、F 运动时，点P 的位置是否发生变化？假设变请给予证明，并求PC AP ⋅的值．化，请说明理由；假设不发生变化，A BCDEFPABCD EF A B CD EF参考答案一、1、1:5；2、①二班②六班；3、22-；4、2±=k ；5、r r π212+ 二、证明：①连结BM ，∵AM 是⊙O 的直径，∴︒=∠90ABM∵AM BC ⊥，∴CN BN =，BNM ENC ∠=∠ 又NM EN =，∴Rt △CEN ≌Rt △BMN ∴ECB MBC ∠=∠又∵AM BC ⊥，∴MC BM =，∴MBC A ∠=∠ ∴EBC A ∠=∠ 又AEF NEC ∠=∠ 在△AEF 和△CNE 中︒=∠=∠90AFE ENC即AB CD ⊥②连结BD 、BE 、AC∵点E 是BC 垂直平分线AM 上一点，∴EC BE = ∵AB CD =∴AB CD =，∴BC AD =，∴BDC ACD ∠=∠又AE AE AC AB ==, ∴△ABC ≌△ACE ∴BDC ACD ABE ∠=∠=∠BED ∠是公一共角∴△BED ∽△FEB ， ∴ED EF BE ⋅=2 ∴ED EF CE ⋅=2三、①解：由0)127(4)3(422=+----=∆b a a a得03=-+b a ，又02=-b a 得2,1==b a设这个方程的解为1x 、2x 那么04)3(221>=--=+a x x∴ 1x 、2x 均为正根② ∵ 2,1==b a∴ 127)1(222+--+-+=b a a x a x y 可化为： 442+-=x x y ，将此图象向下挪动2个单位，得 3)2(2--=x y顶点)3,2(-，对称轴为2=x 四、解：①)4,0(A ，)0,2(-B ，)0,3(C∴432322++-=x x y ②∵D 是AB 的中点，∴)2,1(-D ∵4)1(32)1(3222+-⨯+-⨯-≠ ∴点D 一在这条二次函数的图象上③∵625)21(322+--=x y ，032<-=a 开口向下∴当21>x 时，y 随x 的增大而减小五、解：①点E 分开点B t 秒，t BE =，t CF 24-=要使EF 与BC 平行，那么应CF BE = ∴t t 24-=，得34=t ②EF 与半圆相切，作AB FG ⊥于G 在Rt △EFG 中，∵2.22EF FGEG =+∴222)24(2)43(t t t -+=+-∴222+=t 〔秒〕 ③当21<≤t 时，点P 的位置不会发生变化 证明：E 、F 出发t 秒时，t BE =t AE -=2，t CF 24-=∴212442=--=t CF AE 又∵CD AB //,∴△AEP ∽△CFP ∴21==CF AF PC AP 因此，当21<≤t 时，点P 的位置与t 的取值无关，点P 的位置不会发生变化。
福建省福州市九年级数学思维训练(十)(无答案) 新人教
九年级数学思维训练(十)
11．平面直角坐标系内有两条直线l 1、l 2，直线l 1的解析式为2y x 13=-+，如果将坐标纸折叠，使直线l 1与l 2重合，此时点（－2，0）与点（0，2）也重合．
（1）求直线l 2的解析式；
（2）设直线l 1与l 2相交于点M ，问：是否存在这样的直线l ：y =x +t ，使得如果将坐标纸沿直线l 折叠，点M 恰好落在x 轴上若存在，求出直线l 的解析式；若不存在，请说明理由；
（3）设直线l 2与x 轴的交点为A ，与y 轴的交点为B ，以点C （0， 23
）为圆心，CA 的长为半径作圆，过点B 任作一条直线（不与y 轴重合），与⊙C 相交于D 、E 两点（点D 在点E 的下方）
①在如图所示的直角坐标系中画出图形；
②设OD =x ，△BOD 的面积为S 1，△BEC 的面积为S 2，
12
S y S = ，求y 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围．
12．如图，A 、B 为⊙O 上的两个定点，P 是⊙O 上的动点（P 不与A 、B 重合），我们称∠APB 为⊙O 上关于A 、B 的滑动角。
（1）已知∠APB 是O e 上关于点A 、B 的滑动角。
① 若AB 为⊙O 的直径，则∠APB =
② 若⊙O 半径为1，AB =2，求∠APB 的度数
（2）已知2O 为1O e 外一点，以2O 为圆心作一个圆与1O e 相交于A 、B 两点，∠APB 为1O e 上关于点A 、B 的滑动角，直线PA 、PB 分别交2O e 于点M 、N （点M 与点A 、点N 与点B 均不重合），连接AN ，试探索∠APB
与∠MAN 、∠ANB 之间的数量关系。
初中数学思维训练题目
初中数学思维训练题目数学是一门需要思维的学科，通过解题可以培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
在初中数学学习中，思维训练题目是非常重要的一部分。
下面我将为大家介绍一些初中数学思维训练题目，希望能够帮助大家提升数学思维能力。
一、逻辑思维题1. 在一条直线上，有三个点A、B、C。
已知AB的长度是2，BC的长度是3，问AC的长度是多少？解析：根据直线上的三点共线的性质，可以得知AC的长度等于AB和BC长度的和，即AC=AB+BC=2+3=5。
2. 有两个相同的容器，容器A中装满了水，容器B中只有一半的水。
现在需要将容器A中的水倒入容器B，使得容器B中的水正好装满。
问应该倒入容器B的水量是容器A中的多少？解析：由题意可知，容器B中只有容器A水量的一半，所以应该将容器A中的一半水倒入容器B，即容器A的水量的一半。
二、推理思维题1. 有一张长方形的纸片，将纸片的一角剪掉后，剩下的形状是什么？解析：纸片的形状是长方形，将一角剪掉后，剩下的形状仍然是长方形。
2. 有两个容器，一个容器中装满了水，另一个容器是空的。
现在需要将容器A中的水倒入容器B，但是只能使用一个空杯子。
请问如何操作才能将水倒入容器B？解析：可以借助空杯子，将容器A中的水先倒入空杯子，然后再将空杯子中的水倒入容器B。
三、创新思维题1. 有一条长为10米的绳子，需要将它分成两段，其中一段的长度是另一段的2倍。
请问应该如何分割绳子？解析：假设绳子的一段长度为x米，则另一段的长度为2x米。
根据题意，x+2x=10，即3x=10，解得x=10/3。
所以应该将绳子分成长度为10/3米和20/3米的两段。
2. 有一堆石头，其中有一块石头比其他的石头更重。
现在只有一个天平，可以使用三次称重的机会。
请问如何找出那块更重的石头？解析：首先将石头分成三堆，分别取两堆放在天平的两边进行第一次称重。
如果天平平衡，说明那块更重的石头在第三堆中；如果天平不平衡，说明那块更重的石头在较重的一边。
思维图形练习题初三
思维图形练习题初三思维图形练习题是初中数学教学中常见的一种题型，通过此类题目的训练能够提升学生的逻辑思维和空间想象能力，并且在解决实际问题时具有重要的应用价值。
本文将介绍一些常见的思维图形练习题，帮助初三学生更好地应对这类题目。
一、植树排列题要求：某学校的操场有36棵树，树被分成了A、B两组，每组树的排列形式如下图所示。
请你画出C组树的排列方式。
解题思路：通过观察A、B两组树的排列形式，我们可以发现每组树的排列都分成了3行12列的形式。
所以，C组树的排列也应该是这样的形式。
我们只需要在A、B两组树的排列下方再画出3行12列的格子，然后填入36棵树即可。
具体排列方式如下：（在这里插入画图）通过上述排列，我们就得到了C组树的排列方式。
二、颜色填充题要求：下图是一个由几个正方形组成的图形，请你将所有的正方形涂成两种颜色：红色和蓝色，使得每个正方形都与相邻的正方形不同色。
每个正方形只能涂成红色或者蓝色，不能出现其他颜色。
解题思路：对于这类题目，我们可以通过逐个正方形进行填充的方式来解决。
首先，我们可以任意选取一个正方形，填充为红色或蓝色。
然后，我们需要根据已填充的正方形来确定相邻的正方形的颜色。
具体步骤如下：1. 选取一个正方形，填充为红色（记为R）。
2. 根据已填充的正方形，确定相邻的正方形的颜色。
如果相邻正方形的颜色是蓝色，则将该正方形涂成红色；如果相邻正方形的颜色是红色，则将该正方形涂成蓝色。
3. 重复步骤2，直到所有的正方形都填充颜色为止。
通过上述步骤，我们可以逐个填充正方形，并保证每个正方形都与相邻的正方形不同色。
三、面积计算题要求：下图是一个由长方形和三个正方形组成的图形，请你计算整个图形的面积。
解题思路：对于这类题目，我们需要计算各个部分的面积，并将它们相加得到最终的面积。
具体步骤如下：1. 长方形的面积 = 长 ×宽，根据图中标注，长方形的长为10，宽为4，所以长方形的面积为40。
北师大版九年级数学上思维特训(一)含答案：正方形的旋转变换
思维特训(一) 正方形的旋转变换解决与正方形旋转有关的题目，需要将旋转的性质与正方形的性质相结合，通过借助特殊的三角形、全等三角形、相似三角形等知识寻找解题思路．1．如图1－S －1，在正方形ABCD 中，点E ，F 分别在BC ，CD 上，且∠EAF ＝45°，将△ABE 绕点A 顺时针旋转90°，使点E 落在点E ′处，连接EE ′，则下列判断不正确的是( )图1－S －1A ．△AEE ′是等腰直角三角形B ．AF 垂直平分EE ′C ．△E ′EC ∽△AFD D ．△AE ′F 是等腰三角形2．如图1－S －2，正方形ABCD 和正方形CEFG 的边长分别为a 和b ，正方形CEFG 绕点C 旋转，给出下列结论：①BE ＝DG ；②BE ⊥DG ；③DE 2＋BG 2＝2a 2＋2b 2，其中正确的结论是________(填序号)．图1－S －23．如图1－S －3，正方形ABCD 的对角线相交于点O ，点O 又是正方形A 1B 1C 1O 的一个顶点，而且这两个正方形的边长相等．无论正方形A 1B 1C 1O 绕点O 怎样转动，两个正方形重叠部分的面积总等于一个正方形面积的14.想一想，这是为什么．图1－S－34．已知正方形ABCD和正方形AEFG有一个公共顶点A，点G，E分别在线段AD，AB上，若将正方形AEFG绕点A按顺时针方向旋转，连接DG，如图1－S－4，在旋转的过程中，你能否找到一条线段的长与线段DG的长度始终相等？并说明理由．图1－S－45．如图1－S－5，四边形ABCD是正方形，G是CD边上的一个动点(点G与C，D不重合)，以CG为一边在正方形ABCD外作正方形CEFG，连接BG，DE.我们探究图中线段BG和线段DE的长度关系及其所在直线的位置关系．(1)猜想图①中线段BG和线段DE的长度关系及其所在直线的位置关系；(2)将图①中的正方形CEFG绕着点C按顺时针(或逆时针)方向旋转任意角度α，得到如图②、如图③的情形．请你通过观察、测量等方法判断(1)中得到的结论是否仍然成立，并选取图②证明你的判断．图1－S－56．如图1－S－6①，已知P为正方形ABCD的对角线AC上一点(不与点A，C重合)，PE⊥BC于点E，PF⊥CD于点F.(1)求证：BP＝DP.(2)如图②，若四边形PECF绕点C按逆时针方向旋转，在旋转过程中是否总有BP＝DP？若是，请给予证明；若不是，请用反例加以说明．(3)试选取正方形ABCD的两个顶点，分别与四边形PECF的两个顶点连接，使得到的两条线段在四边形PECF绕点C按逆时针方向旋转的过程中长度始终相等，并给出证明．图1－S－67．如图1－S －7，正方形ABCD 绕点A 逆时针旋转角度n 后得到正方形AEFG ，边EF 与CD 相交于点O .(1)以图中已标有字母的点为端点连接两条线段(正方形的对角线除外)，要求所连接的两条线段相交且互相垂直，并说明这两条线段互相垂直的理由；(2)若正方形的边长为2 cm ，重叠部分(四边形AEOD )的面积为4 33 cm 2，求旋转的角度n .图1－S －7详解详析1．D[解析] ∵将△ABE绕点A顺时针旋转90°，使点E落在点E′处，∴AE′＝AE，∠E′AE＝90°，∴△AEE′是等腰直角三角形，故A正确；∵将△ABE绕点A顺时针旋转90°，使点E落在点E′处，∴∠E′AD＝∠BAE.∵四边形ABCD是正方形，∴∠DAB＝90°.∵∠EAF＝45°，∴∠BAE＋∠DAF＝45°，∴∠E′AD＋∠DAF＝45°，∴∠E′AF＝∠EAF.又∵AE′＝AE，∴AF垂直平分EE′，故B正确；∵AF⊥E′E，∠ADF＝90°，∴∠FE′E＋∠AFD＝∠AFD＋∠DAF，∴∠FE′E＝∠DAF，∴△E′EC∽△AFD，故C正确；∵AD⊥E′F，但∠E′AD不一定等于∠DAF，∴△AE′F不一定是等腰三角形，故D错误．故选D.2．①②③[解析] 如图，设BE，DG相交于点O，∵四边形ABCD和四边形CEFG都为正方形，∴BC＝CD，CE＝CG，∠BCD＝∠ECG ＝90°，∴∠BCD＋∠DCE＝∠ECG＋∠DCE＝90°＋∠DCE，即∠BCE＝∠DCG.在△BCE和△DCG中，BC＝CD，∠BCE＝∠DCG，CE＝CG，∴△BCE≌△DCG(SAS)，∴BE＝DG，∠1＝∠2.∵∠1＋∠4＝∠1＋∠3＝90°，∴∠2＋∠3＝90°，∴∠BOD＝90°，∴BE⊥DG，故①②正确；连接BD，EG，如图所示，∵DO2＋BO2＝BD2＝BC2＋CD2＝2a2，EO2＋OG2＝EG2＝CG2＋CE2＝2b2，∴DE2＋BG2＝DO2＋EO2＋BO2＋OG2＝2a2＋2b2，故③正确．3．解：在正方形ABCD 中，OB ＝OA ，∠AOB ＝90°，∠OAE ＝∠OBF ＝45°. 在正方形A 1B 1C 1O 中，∠A 1OC 1＝90°， ∴∠AOE ＝∠BOF .在△AOE 和△BOF 中，∠OAE ＝∠OBF ，OA ＝OB ，∠AOE ＝∠BOF ， ∴△AOE ≌△BOF (ASA)，∴重叠部分的面积等于△AOB 的面积， ∴重叠部分的面积总等于一个正方形面积的14.4．[解析] 观察DG 的位置，找包含DG 的三角形，要找两条线段相等，只要找到与之全等的三角形，即可找到与之相等的线段．解：如图，连接BE ，则BE ＝DG . 理由如下：∵四边形ABCD 和四边形AEFG 都是正方形， ∴AB ＝AD ，AE ＝AG ，∠BAD ＝∠EAG ＝90°， ∴∠BAD －∠BAG ＝∠EAG －∠BAG ，即∠DAG ＝∠BAE . 在△BAE 和△DAG 中，AB ＝AD ，∠BAE ＝∠DAG ，AE ＝AG ， ∴△BAE ≌△DAG (SAS)， ∴BE ＝DG .5．[解析] (1)根据正方形的性质，显然△BCG 顺时针旋转90°即可得到△DCE ，从而判断两条直线之间的关系；(2)结合正方形的性质，根据SAS仍然能够判定△BCG≌△DCE，从而证明结论．解：(1)BG＝DE，BG⊥DE.理由如下：∵四边形ABCD和四边形CEFG都是正方形，∴BC＝DC，CG＝CE，∠BCD＝∠ECG＝90°，∴∠BCG＝∠DCE.在△BCG和△DCE中，BC＝DC，∠BCG＝∠DCE，CG＝CE，∴△BCG≌△DCE(SAS)，∴BG＝DE.延长BG交DE于点H，如图所示．∵△BCG≌△DCE，∴∠CBG＝∠CDE.又∠CBG＋∠BGC＝90°，∠BGC＝∠DGH，∴∠CDE＋∠DGH＝90°，∴∠DHG＝90°，∴BH⊥DE，即BG⊥DE.(2)BG＝DE，BG⊥DE仍然成立．在题图②中证明如下：∵四边形ABCD、四边形CEFG都是正方形，∴BC＝CD，CG＝CE，∠BCD＝∠ECG＝90°，∴∠BCG＝∠DCE，∴△BCG≌△DCE(SAS)，∴BG＝DE，∠CBG＝∠CDE.又∵∠BHC＝∠DHO，∠CBG＋∠BHC＝90°，∴∠CDE＋∠DHO＝90°，∴∠DOH＝90°，∴BG⊥DE.6．解：(1)证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD，∠BAP＝∠DAP.在△P AB和△P AD中，AB＝AD，∠BAP＝∠DAP，AP＝AP，∴△P AB≌△P AD(SAS)，∴BP＝DP.(2)不是．反例：当四边形PECF绕点C按逆时针方向旋转，点P旋转到BC边上时，DP＞DC＞BP，此时BP＝DP不成立．(3)连接BE，DF，则BE与DF始终相等．证明：在题图①中，∵四边形ABCD是正方形，∴CA平分∠BCD.∵PE⊥BC，PF⊥CD，∴PE＝PF.又∠BCD＝90°，∴四边形PECF为正方形，∴EC＝FC，∴BE＝DF.在题图②中，连接DF，BE.易知∠DCF＝∠BCE.在△BEC和△DFC中，BC＝DC，∠BCE＝∠DCF，EC＝FC，∴△BEC≌△DFC(SAS)，∴BE＝DF.7．解：(1)答案不唯一，如连接AO，DE，则AO⊥DE.理由：如图所示，∵在Rt△ADO和Rt△AEO中，AD＝AE，AO＝AO，∴Rt△ADO≌Rt△AEO(HL)，∴∠DAO＝∠EAO(即AO平分∠DAE)，∴AO⊥DE(等腰三角形的三线合一)．(2)∵四边形AEOD 的面积为4 33cm 2，∴△ADO 的面积＝AD ·DO 2＝2 33cm 2.∵AD ＝2cm ，∴DO ＝2 33cm.在Rt △ADO 中，AO ＝AD 2＋DO 2＝4 33， ∴∠DAO ＝30°，∴∠EAD ＝60°， ∴∠EAB ＝30°，即n ＝30°.。
数学思维初三数学上册综合算式思维拓展练习题
数学思维初三数学上册综合算式思维拓展练习题数学思维是对于数学问题的理解、分析和解决的能力，是数学学习的核心。
在初三数学上册中，综合算式思维是一项重要的能力培养内容。
通过拓展练习题的训练，能够提高学生的数学思维能力，同时加深对于综合算式的理解。
本文将探讨初三数学上册综合算式思维拓展练习题的相关内容。
一、拓展思维题目1. 已知一根长为3米的绳子，需要用这根绳子将一个长方形包裹起来，长方形的长为5米，宽为2米。
假设绳子不能重叠，也不能短了，那么还需要多长的绳子？2. 有一堆苹果，其中三分之一是红苹果，四分之一是绿苹果，余下的是黄苹果。
如果红苹果的数量比绿苹果多两个，而黄苹果的数量是红苹果和绿苹果数量总和的两倍，那么一共有多少个苹果？3. 小明和小红分别有一些糖果，如果小明给小红5颗糖，她们两个人的糖果数量相等。
如果小红给小明5颗糖，小明就比小红多5颗糖。
那么小明和小红各自有多少颗糖？二、解题思路与方法1. 针对第一题，我们可以先计算长方形的周长，再用长方形的周长减去绳子的长，即可得到还需要多长的绳子。
长方形的周长 = 2 × (长 + 宽) = 2 × (5 + 2) = 14 米还需要的绳子长度 = 长方形的周长 - 绳子的长度 = 14 - 3 = 11 米因此，还需要11米的绳子。
2. 针对第二题，我们可以设绿苹果的数量为 x，则红苹果的数量为x + 2，黄苹果的数量为 x + (x + 2) = 2x + 2。
所以，绿苹果的数量为总苹果数量的 1/4，即 x = (1/4) ×总苹果数量红苹果的数量为总苹果数量的 1/3，即 x + 2 = (1/3) ×总苹果数量黄苹果的数量为总苹果数量的 1/2，即 2x + 2 = (1/2) ×总苹果数量将上述三个等式联立求解，可以得到总苹果数量。
3. 针对第三题，设小明有 x 颗糖，小红有 y 颗糖。
初中数学思维拓展题训练及答案
初中数学思维拓展题训练及答案一、选择题1、若一次函数y=kx+1与两坐标轴围成的三角形面积为3，则k 为（C ） A 、16 B 、-16 C 、±16 D 、±132、若11m n -=3，2322m mn nm mn n+---的值是（B ） A 、1.5 B 、35 C 、-2 D 、-753、判断下列真命题有（C ）①任意两个全等三角形可拼成平行四边形②两条对角线垂直且相等的四边形是正方形③四边形ABCD ，AB=BC=CD ，∠A=90°，那么它是正方形④在同一平面内，两条线段不相交就会平行⑤有一条对角线平分一个内角的平行四边形是菱形 A 、②③ B 、①②④ C 、①⑤ D 、②③④4、如图，矩形ABCD 中,已知AB=5,AD=12,P 是AD 上的动点,PE ⊥AC ，E,PF ⊥BD 于F,则PE+PF=（B ） A 、5 B 、6013 C 、245 D 、55125、在直角坐标系中，已知两点A （-8，3）、B （-4，5）以及动点C （0，n ）、D(m,0)，则当四边形ABCD 的周长最小时，比值为 mn（B ）A 、-23B 、-32C 、-34D 、34二、填空题6、当x= 负数 时，||3x x -与3x x-互为倒数。
9、已知x 2-3x+1=0，求（x-1x ）2= 57、一个人要翻过两座山到另外一个村庄，途中的道路不是上山就是下山，已知他上山的速度为v ，下山的速度为v ′，单程的路程为s ．则这个人往返这个村庄的平均速度为 (2vv v v '+')8、将点A （4，0）绕着原点O 顺时针方向旋转30°角到对应点A '，则点A '的坐标是 (23,2)9、菱形ABCD 的一条对角线长为6，边AB 的长是方程(X-3)(X-4)=0的解，则菱形ABCD 的周长为 1610、△ABC 中，∠A=90°，AB=AC ，BD 是△ABC 的中线，△CDB 内以CD 为边的等腰直角三角形周长是 （222AB +或122AB +）11235...11231511211321④③②①11. 如图，边长为6的菱形ABCD 中，∠DAB=60°，AE=BE ，F 是AC•上一动点，EF+BF 的最小值为 (33) 12、如图，边长为3的正方形ABCD 顺时针旋转30°，得上图，交DE 于D ’,阴影部分面积是 (933-)13、如图，已知四边形ABCD 中，AC 和BD 相交于点O ， 且∠AOD ＝90°，若BC ＝2AD ，AB ＝12，CD ＝9，四边形ABCD 的周长是 (215+)14、有这样一组数：1，1，2，3，5…，现以这组数据的数作为正方形边长的长度构造如下正方形；再分别从左到右取2个、3个、4个、5个正方形拼成如下矩形记为①、②、③、④.第⑩个矩形周长是 46615、如图，在直线y=-33x+1与x 轴、y 轴交于点A 、B ，以线段AB 为直角边在第一象限内作等腰直角△ABC ，∠BAC=90°，第二象限内有一点P （a,12 ）,且△ABP 的面积与△ABC 的面积相等，则a= (342-+) 三、解答题16、如图，已知矩形ABCD ，延长CB 到E ，使CE=CA ，连结AE 并取中点F ，连结AE 并取中点F ，连结BF 、DF ，求证BF ⊥DF 。
2024中考数学复习—思维训练题(含参考答案)
中考复习—思维训练题一．试题（共17题）1．已知a ，b 是方程2350x x −−=的两根，则代数式3222671a a b b −+++的值是( ) A ．25−B ．24−C ．35D ．362．已知方程2230x x +−=的解是11x =，23x =−，则给出另一个方程2(23)2(23)30x x +++−=，它的解是( ) A ．1−或3B ．1或3C ．1−或3−D ．1或3−3．平面直角坐标系中，函数0)y x =<与4y x =+的图象交于点(,)P a b ，则代数式11a b−的值是( )A ．BC ．D 4．著名数学家华罗庚说过：“数形结合百般好，隔裂分家万事非．”请运用这句话中提到的思想方法判断方程2324x x x−=−的根的情况是( ) A ．有三个实数根 B ．有两个实数根 C ．有一个实数根 D ．无实数根5．华罗庚说过：“数形结合百般好，隔裂分家万事非．”请运用这句话中提到的思想方法判断方程2124x x x+=−+的根的情况是( ) A ．有三个实数根 B ．有两个实数根 C ．有一个实数根 D ．无实数根6．判断方程3|2|2x x =−−的根的情况是( ) A ．有四个实数根 B ．有两个实数根 C ．有一个实数根 D ．无实数根7．构建几何图形解决代数问题是“数形结合”思想的重要体现，在计算tan15︒时，如图，在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，30ABC ∠=︒，延长CB 使BD AB =，连接AD ，得15D ∠=︒，所以tan152AC CD ︒====−tan 22.5︒的值为( )A1+ BC1− D ．128．已知1x 、2x 、3x 为方程323940x x x +−−=的三个实数根，则下列结论一定正确的是( )A ．1230x x x <B ．1230x x x +−>C ．1230x x x −−>D ．1230x x x ++<9．如图是一些有规律的图案，它们由一些线段组成．图1中有3条线段，图2中有7条线段，图3中有15条线段，⋯，以此类推，第6个图中有( )条线段．A ．63B ．65C ．127D ．25510．如图所示，由一些点组成形如三角形的图形，每条“边”（包括两个顶点）有(1)n n >个点，每个图形总共的点数是S ，当8n =时，S 的值是( )A ．18B ．21C ．24D ．2711．我国宋朝时期的数学家杨辉，曾将大小完全相同的圆弹珠逐层堆积，形成“三角垛”，图1有1颗弹珠；图2有3颗弹珠；图3有6颗弹珠，往下依次是第4个图，第5个图，⋯；若用n a 表示图n 的弹珠数，其中1n =，2，3，⋯，则12320231111(a a a a +++⋯+= )A ．40442023B ．40422023C ．20211011D ．2023101212．关于x 的方程(2)(3)x x m −−=有两个不相等的实数根1x ，212()x x x <，则下列结论一定正确的是( )A ．14m >−B ．12522x x += C ．当0m >时，1223x x <<< D ．当0m >时，1223x x <<<13．已知2x =−，代数式244x x ++的值为 ．14．若x =3231x x x +++的值为 ． 15．已知实数a ，b 满足2222(21)(21)80a b a b +++−=，试求222a b +的值． 解：设222a b m +=．原方程可化为(1)(1)80m m +−=，即281m =，解得9m =±． 2220a b +，2229a b ∴+=．上面的这种方法称为“换元法”，换元法是数学学习中最常用的一种思想方法，在结构较复杂的数和式的运算中，若把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替（即换元），则能使复杂问题简单化．请根据以上阅读材料，解决问题．已知实数x ，y 满足2222(221)()3x y x y +−+=，则22332x y +−的值为 ． 16．若21m n +=，则2366m mn n ++的值为 ．17．当代数式235x x ++的值为7时，代数式23911x x +−的值为 ．思维片2024参考答案与试题解析一．试题（共17题）1．已知a ，b 是方程2350x x −−=的两根，则代数式3222671a a b b −+++的值是( ) A ．25−B ．24−C ．35D ．36【解答】解：a ，b 是方程2350x x −−=的两根， 2350a a ∴−−=，2350b b −−=，3a b +=, 235a a ∴−=，235b b =+， 3222671a a b b ∴−+++22(3)3571a a a b b =−++++ 10106a b =++10()6a b =++ 1036=⨯+ 36=．故选：D ．2．已知方程2230x x +−=的解是11x =，23x =−，则给出另一个方程2(23)2(23)30x x +++−=，它的解是( ) A ．1−或3B ．1或3C ．1−或3−D ．1或3−【解答】解：方程2230x x +−=的解是11x =，23x =−， ∴方程2(23)2(23)30x x +++−=，231x +=，233x +=−， 22x =−，26x =−，11x =−，23x =−，故选：C ．3．平面直角坐标系中，函数(0)y x x =<与4y x =+的图象交于点(,)P a b ，则代数式11a b−的值是( )A ．B ．3C ．3D ．3【解答】解：把点(,)P a b 分别代入0)y x x=−<与4y x =+中，得b =，4b a =+，即ab =，4b a −=，∴11b a a b ab −−===故选：A ．4．著名数学家华罗庚说过：“数形结合百般好，隔裂分家万事非．”请运用这句话中提到的思想方法判断方程2324x x x−=−的根的情况是( ) A ．有三个实数根 B ．有两个实数根 C ．有一个实数根 D ．无实数根【解答】解：画出函数3y x=和函数242y x x =−+的图象如图，观察图象，函数3y x=和函数242y x x =−+的图象有一个交点， 所以，方程2324x x x−=−有一个实数根， 故选：C ．5．华罗庚说过：“数形结合百般好，隔裂分家万事非．”请运用这句话中提到的思想方法判断方程2124x x x+=−+的根的情况是( ) A ．有三个实数根 B ．有两个实数根 C ．有一个实数根 D ．无实数根【解答】解：方程变形为2142x x x=−+−， ∴21(2)2x x=−−+，把解方程理解为求反比例函数1y x=图象与抛物线2(2)2y x =−−+的交点的横坐标， 反比例函数图象分布在第一、三象限，在第一象限，抛物线的顶点(2,2)在反比例函数图象上方，且抛物线的开口向下，如图， ∴反比例函数1y x=图象与抛物线2(2)2y x =−−+有3个交点， ∴原方程有3个实数解．故选：A ．6．判断方程3|2|2x x =−−的根的情况是( ) A ．有四个实数根 B ．有两个实数根 C ．有一个实数根 D ．无实数根【解答】解：3|2|2x x =−−， 20x ∴−>，2(2)3x ∴−=，2x ∴−，解得2x =，经检验，2x =+是原方程的解． 故方程3|2|2x x =−−的根的情况是有一个实数根．故选：C ．7．构建几何图形解决代数问题是“数形结合”思想的重要体现，在计算tan15︒时，如图，在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，30ABC ∠=︒，延长CB 使BD AB =，连接AD ，得15D ∠=︒，所以tan152AC CD ︒====−tan 22.5︒的值为( )A 1+BC 1−D ．12【解答】解：在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，45ABC ∠=︒，延长CB 使BD AB =，连接AD ，得22.5D ∠=︒，设1AC BC ==，则AB BD ==，tan 22.51AC CD ∴︒===， 故选：C ．8．已知1x 、2x 、3x 为方程323940x x x +−−=的三个实数根，则下列结论一定正确的是( )A ．1230x x x <B ．1230x x x +−>C ．1230x x x −−>D ．1230x x x ++<【解答】解：323940x x x +−−=，当0x =时，40−≠， 24390x x x∴+−−=， 1x ∴、2x 、3x 可以看作是抛物线239y x x =+−与反比例函数4y x=的三个交点的横坐标，由函数图象可知1230x x x>，1230x x x++<，根据已知条件无法判定1230x x x+−>，1230x x x−−>，故选：D．9．如图是一些有规律的图案，它们由一些线段组成．图1中有3条线段，图2中有7条线段，图3中有15条线段，⋯，以此类推，第6个图中有()条线段．A．63B．65C．127D．255【解答】解：由图可知，图1中有3条线段，图2中有7条线段，734=+，图3中有15条线段：15724=+⨯，图4中有31条线段：311544=+⨯，图5中有63条线段：633184=+⨯，则第6个图中有线段：63164127+⨯=（条)，故选：C．10．如图所示，由一些点组成形如三角形的图形，每条“边”（包括两个顶点）有(1)n n>个点，每个图形总共的点数是S，当8n=时，S的值是()A ．18B ．21C ．24D ．27【解答】解：根据题意分析可得： 2n =时，3S =， 3n =时，6S =， 4n =时，9S =， 5n =时，12S =，..．此后，n 每增加1，S 就增加3个． 故当8n =时，(81)321S =−⨯=． 故选：B ．11．我国宋朝时期的数学家杨辉，曾将大小完全相同的圆弹珠逐层堆积，形成“三角垛”，图1有1颗弹珠；图2有3颗弹珠；图3有6颗弹珠，往下依次是第4个图，第5个图，⋯；若用n a 表示图n 的弹珠数，其中1n =，2，3，⋯，则12320231111(a a a a +++⋯+= )A ．40442023B ．40422023C ．20211011D ．20231012【解答】解：当1n =时，11212a ⨯==， 当2n =时，22(12)231222a +⨯=+==， 当3n =时，33(13)3412322a +⨯=++==， 当4n =时，44(14)45123422a +⨯=+++==， ⋯当2023n =时：20232023(12023)202320241234202322a +⨯=+++++==； 12320231111a a a a +++⋅⋅⋅+222221223344520232024=+++++⨯⨯⨯⨯⨯111112()1223344520232024=+++++⨯⨯⨯⨯⨯1111111112(1)223344520232024=−+−+−+−++− 12(1)2024=− 20231012=； 故选：D ．12．关于x 的方程(2)(3)x x m −−=有两个不相等的实数根1x ，212()x x x <，则下列结论一定正确的是( ) A ．14m >−B ．12522x x += C ．当0m >时，1223x x <<< D ．当0m >时，1223x x <<<【解答】解：由(2)(3)x x m −−=得2560x x m −+−=， 1x ∴，2x 为2560x x m −+−=的两个不相等的实数根， ∴△2(5)4(6)0m =−−−>，解得14m >−，选项A 正确；抛物线256y x x m =−+−的对称轴为直线5522x −=−=， ∴12522x x +=，选项B 正确； 当0m >时，抛物线(2)(3)y x x =−−与直线y m =交点在x 轴上方， 抛物线开口向上，1212x x ∴<<<，选项D 正确．故选：ABD ．13．已知2x =−，代数式244x x ++的值为 3 ． 【解答】解：原式2(2)x =+．当2x =−时，原式222)3=−+=， 故答案为3．14．若12x =，则代数式3231x x x +++的值为 3 ． 【解答】解：322231(1)1x x x x x x +++=+++，当x =原式2211213=++==+=． 故答案为：3．15．已知实数a ，b 满足2222(21)(21)80a b a b +++−=，试求222a b +的值．解：设222a b m +=．原方程可化为(1)(1)80m m +−=，即281m =，解得9m =±．2220a b +，2229a b ∴+=．上面的这种方法称为“换元法”，换元法是数学学习中最常用的一种思想方法，在结构较复杂的数和式的运算中，若把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替（即换元），则能使复杂问题简单化．请根据以上阅读材料，解决问题．已知实数x ，y 满足2222(221)()3x y x y +−+=，则22332x y +−的值为52． 【解答】解：设22x y m +=，原方程可化为(21)3m m −=，即2230m m −−=，解得11m =−，232m =， 220x y +， ∴2232x y +=， 22332x y ∴+−3322=⨯− 52=， 故答案为：52．16．若21m n +=，则2366m mn n ++的值为 3 ．【解答】解：21m n +=，2366m mn n ∴++3(2)6m m n n =++316m n =⨯+36m n =+3(2)m n =+31=⨯3=,故答案为：3．17．当代数式235x x ++的值为7时，代数式23911x x +−的值为 5− ．【解答】解：由题意得，2357x x ++=， 232x x ∴+=，23911x x ∴+−23(3)11x x =+−3211=⨯−611=−5=−，故答案为：5−．。
初三数学中考创新思维训练三
一、细心填一填（本大题共有12小题，15空，每空2分，共30分．请把结果直接填在题中的横线上．只要你理解概念，仔细运算，积极思考，相信你一定会填对的！）1．3的相反数是_________，－2的绝对值是___________. 2．4的算术平方根是__________，－8的立方根是___________.3．据中新社报道：2010年我国粮食产量将达到540 000 000 000千克，这个粮食产量用科学记数法可表示为______________________千克.4．分解因式：x 2－4=_________________. 5．函数y =12x +中，自变量x 的取值范围是___________________； 函数y中，自变量x 的取值范围是___________________.6．如图，已知a ∥b ，∠1=40?，则∠2=_________?.7．一n 边形的内角和等于1080?，那么这个正n 边形的边数n =_________.8．为发展农业经济，致富奔小康，养鸡专业户王大伯2004年养了2000只鸡. 上市前，他随机抽取了10只鸡，称得重量统计如下：根据统计知识，估计王大伯这批鸡的总重量约为_____________千克.9．如图，在⊙O 中，弦AB =1.8cm ，圆周角∠ACB =30?，则⊙O 的直径 为__________cm.10．有一直角梯形零件ABCD ，AD ∥BC ，斜腰DC 的长为10cm ， ∠D =120?，则该零件另一腰AB 的长是___________cm.11．两个完全相同的长方体的长、宽、高分别为5cm 、4cm 、3cm ， 把它们叠放在一起组成一个新的长方体，在这些长方体中，表 面积最大是__________cm 2.12．一串有黑有白，其排列有一定规律的珠子，被盒子遮住了一部分 （如图），则这串珠子被盒子遮住的部分有_________粒. 二、精心选一选（本大题共8小题，每题3分，共24分. 在每题所给出的四个选项中，只有一项是符合题意的.把所选项前的字母代号填在题后的括号内. 相信你一定会选对！）13．如图，a 、b 、c 在数轴上对应的点分别为A 、B 、C ，则下列结论正确的是 （ ）A.ab <0B. a －b >0C. abc <0D. c （a －b ）<014）A B C D 15．下列各式中，与分式x y x--的值相等的是（ ）A ．x x y + B ．x x y -- C ．x x y -+ D ．x x y- 16．已知一次函数y =kx +b 的图像如图所示，则当x <0时，y 的取值范围是（ ）A. y >0B. y <0C. －2<y <0D. y <－2（第6题）ba c21AB C D（第10题）B AC （第13题）（第9题）17．下面的平面图形中，是正方体的平面展开图的是（ ）1819 ）A B ．为了了解全国中学生的睡眠状况，采用普查方式 C ．为了了解人们保护水资源的意识，采用抽样调查的方式D ．对栽人航天器“神州五号”零部件的检查，采用抽样调查的方式20．中央电视台“幸运52”栏目中的“百宝箱”互动环节，是一种竞猜游戏. 游戏规则如下：在20个商标牌中，有5个商标牌的背面注明一定的奖金额，其余商标牌的背面是一张哭脸，若翻到哭脸就不得奖. 参与这个游戏的观众有三次翻牌的机会（翻过的牌不能再翻）. 某观众前两次翻牌均获得若干奖金，那么他第三次翻牌获奖的概率是（ ）A ．14 B ．15C ．16D ．320三、认真答一答（本大题共7小题，满分58分. 只要你认真思考, 仔细运算, 一定会解答正确的!） 21．（本题共有3小题，每小题5分，共15分）（1）计算：（－2）3+12（2004）0tan60?.（2）解不等式: 12(x －2)<3－x .（3）解方程组：{4,2 5.x y x y -=+=22．（本题满分6分）在如图的12×24的方格形纸中（每个小方格的边长都是1个单位）有一ΔABC . 现先把ΔABC 分别向右、向上平移8个单位和3个单位得到ΔA 1B 1C 1；再以点O 为旋转中心把ΔA 1B 1C 1按顺时针方向旋转90o 得到ΔA 2B 2C 2. 请在所给的方格形纸中作出ΔA 1B 1C 1和 ΔA 2B 2C 2.23．（本题满分8分）如图，给出四个等式：①AE =AD ；②AB =AC 件，另一个作为结论.（1（2）请你至少写出三个这样的正确命题. 24．（本题满分6分）某产品每件成本10间的关系如下表：若日销量y （件）是销售价x （元）的一次函数.（1）求出日销量y （件）与销售价x （元）的函数关系式；（2）要使每日的销售利润最大，每件产品的销售价应定位多少元？此时每日的销售利润是多少？ 25．（本题满分6分）如图，有两个可以自由转动的均匀转盘A 、B ，转盘A 被均匀地分成4等分，每份分别标上1，2，3，4四个数字；转盘B 被均匀地分成6等份，每份分别标上1，2，3，4，5，6六个数字. 有人为甲、乙两人设计了一个游戏，其规则如下：A.B. C. D.（1）同时自由转动转盘A、B；（2）转盘停止后，指针各指向一个数字（如果指针恰好指在分格线上，那么重转一次，直到指针指向某一数字为止），用所指的两个数字作成积. 如果得到的积是偶数，那么甲胜；如果得到的积是奇数，则乙胜（如果转盘A指针指向3，转盘B指针指向5，3×5=15，按规则乙胜）.你认为这样的规则是否公平？请说明理由；如果不公平，请你设计一个公平的规则，并说明理由.（2）①填写下表：②根据所填表中数据呈现的规律，猜想出用x表示y的二次函数关系式：___________;（3）当水面宽度为36m时，一艘吃水深度（船底部到水面的距离）为1.8m的货船能否在这个河段安全通过？为什么？27．（本题满分9分）某生活小区的居民筹集资金1600元，计划在一块上、下底分别为（如图）.（1）他们在ΔAMD和ΔBMC地带上种植太阳花，单价为8元/cm共花了160元，请计算种满ΔBMC地带所需的费用；（2）花木，刚好用完所筹集资金？（3）若梯形ABCD为等腰梯形，面积不变（如图）P，使得ΔAPB≌ΔDPC，且SΔAPD=SΔBPC，，并说出你的理由.四、动脑想一想（本大题共有2小题，共18分.28．（本题满分8分）如图，在平面直角坐标系中，直线l的解析式为y，关于x2x2－2(m+2)x+2m+5=0(m>0)有两个相等的实数根.（1）试求出m的值，并求出经过点A（0，－m）和点D（m，0）的直线解析式；（2）在线段AD上顺次取两B、C，使AB=CD－1，试判断ΔOBC的形状；（3）设直线l与直线AD交于点P，图中是否存在与ΔOAB相似的三角形？如果存在，请直接写出来；如果不存在，请说明理由.29．（本题满分10分）如图，正方形ABCD的边长为12，划分成12×12个小正方形. 将边长为n（n为整数，且2≤n≤11）的黑白两色正方形纸片按图中的方式黑白相间地摆放，第一张n×n的纸片正好盖住正方形ABCD左上角的n×n个小正方形格，第二张纸片盖住第一张纸片的部分恰好为（n－1）图乙×（n －1）的正方形. 如此摆放下去，最后直到纸片盖住 正方形ABCD 的右下角为止. 请你认真观察思考后回答下 列问题：（1）由于正方形纸片边长n 的取值不同，完成摆放时所使用正方形纸 片的张数也不同，请填写下表：（2）设正方形ABCD 被纸片盖住的面积（重合部分只计一次）为S 1，未被盖住的面积为S 2. ①当n =2时，求S 1∶S 2的值；②是否存在使得S 1=S 2的n 值？若存在，请求出这样的n 值；若不存在，请说明理由.参考答案一、细心填一填（本大题共有12小题，15空，每空2分，共30分．请把结果直接填在题中的横线上．只要你理解概念，仔细运算，积极思考，相信你一定会填对的！）1．－3，2 2. 2，－2 3. 5.4×1011 4. (x +2)(x －2) 5. x ≠－2, x ≥3 6. 140 7. 8 8. 5000 9. 3.6 11. 176 12. 27二、精心选一选（本大题共8小题，每题3分，共24分. 在每题所给出的四个选项中，只有一项是符合题意的.把所选项前的字母代号填在题后的括号内. 相信你一定会选对！） 13. C 14. B 15. D 16. D 17. C 18. A 19. C 20. C三、认真答一答（本大题共7小题，满分58分. 只要你认真思考, 仔细运算, 一定会解答正确的!）21. （1）－9；（2）x <83；（3）{3,1.x y ==- 22．ΔA 1B 1C 1和ΔA 2B 2C 2如图所示.23．（1）如果AE=AD ，AB=AC ，那么∠B =∠C证明：在ΔABE 和ΔACD 中，∵AE=AD ，∠A =∠A ，AB=AC ，∴ΔABE ≌Δ（2）①如果AE=AD ，AB=AC ，那么OB=OC . ②如果AE=AD ，∠B =∠C ，那么AB=AC . ③如果OB=OC ，∠B =∠C ，那么AE=AD . 24．（1）y =－x +40；（2）当销售价定为25元/件时日销售利润最大，为225元.25．这个游戏不公平.把游戏中由A 、B 两个转盘中所指的两个数字的“积”改成“和”，游戏就公平了. 因为在A 盘和B 盘中指针所指的两个数字作和共有24种情况，而A 盘中每个数字与B 盘中的数字作和得到偶数和奇数的结果都是3，这样这24个和中，偶数和奇数的种数都是12，所以甲和乙获胜的可能性是一样的，这对他们就公平了.26．（1）如图所示； （2）①； ②y =200x 2;（3）当水面宽度为36m ，即x =18m 时，y =1.62m<1.8m ， 所以这艘货船不能安全通过该河段.27．（1）∵梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∴∠MAD =∠MCB ，∠MDA =∠MBC ，∴ΔMAD ∽ΔMCB ，∴S ΔMAD ∶S ΔMBC =1∶4. ∵种植ΔMAD 地带花费160元，∴S ΔMAD =160÷8=20（m 2），∴S ΔMBC =80（m 2）， ∴种植ΔMBC 地带花费640元.（2）设ΔMAD 的高为h 1，ΔMBC 的高为h 2，梯形ABCD 的高为h ，则 S ΔMAD =12×10 h 1=20，∴h 1=4；S ΔMBC =12×10 h 2=80，∴h 2=8，∴h =h 1+h 2=12，∴S 梯形ABCD =12×（AD +BC ） h =180，∴S ΔMAB + S ΔMCD =180－（20+80）=80（m 2）.∵160+640+80×12=1760（元），160+640+80×10=1600， ∴应种植茉莉花刚好用完所筹集的资金.（3）点P 在AD 、BC 的中垂线上. 此时，PA=PD ，PB=PC . ∵AB=DC ，∴ΔAPB ≌ΔDPC .设ΔAPD 的高为x ，则ΔBPC 的高为（12－x ）， ∴S ΔAPD =12×10 x =5x , S ΔBPC =12×20（12－x ）=10（12－x ），由S ΔAPD = S ΔBPC ，即5x =10（12－x ），可得x =8.∴当点P 在AD 、BC 的中垂线上，且与AD 的距离为8cm 时，S ΔAPD = S ΔBPC . 28．（1）由题意得Δ=[－2（m +2）]2－4×2×（2m +5）=0，∴m=∵m >0，∴m.∴点A （0、D0）. 设经过A 、D 两点的直线解析式为y =kx +b ，则0,b b ==+⎧⎪⎨⎪⎩解得1,k b ==⎧⎨⎩∴y =x－. （2）作OE ⊥AD 于E ，由（1）得OA=OD，∴AD=∴OE=AE=ED=12AD =∵AB=CD1，∴BE=EC =1，∴OB=OC .在Rt ΔOBE 中，tan ∠OBE=OE BE=ΔOBC 为等边三角形.（3）存在，ΔODC 、ΔOPC 、ΔOPA . 29．（1）依此为11，10，9，8，7（2）S 1=n 2+（12－n ）[n 2－（n －1）2]= －n 2+25n －12. ①当n =2时，S 1=34，S 2=110，∴S 1∶S 2=17∶55； ②若S 1=S 2，则有－n 2+25n －12=12×122，即n 2－25n +84=0，解得n 1=4, n 2=21（舍去）。
福建省福州市九年级数学思维训练(七)(无答案) 新人教版
九年级数学思维训练（七）
一．如图，在平面直角坐标系中，直线：y=－2x＋b (b≥0)的位置随b的不同取值而变化．
(1)已知⊙M的圆心坐标为(4，2)，半径为2．
当b= 时，直线：y=－2x＋b (b≥0)经过圆心M：
当b= 时，直线：y=－2x＋b(b≥0)与OM相切：
(2)若把⊙M换成矩形ABCD，其三个顶点坐标分别为：A (2，0)、B（6，0）、C(6，2). 设直线扫过矩形ABCD 的面积为S，当b由小到大变化时，请求出S与b的函数关系式，
二．已知抛物线y=4
1x 2 + 1(如图所示)． (1)填空：抛物线的顶点坐标是(______，______)，对称轴是_____；
(2)已知y 轴上一点A(0，2)，点P 在抛物线上，过点 P 作PB ⊥x 轴，垂足为B ．若△PAB 是等边三角形，求点P
的坐标；
(3)在(2)的条件下，点M 在直线．．AP 上．在平面内是否存在点N ，使四边形OAMN 为菱形?若存在，直接写出所有．．
满足条件的点N 的坐标；若不存在，请说明理由．。
【初中数学思维训练】第121题——比较大小之归一法
【初中数学思维训练】第121题——比较大小之归一法【第121题】【解】归一法就是把要比较大小的两个数化为同一类型，然后再进行比较。
往期回顾【初中数学思维训练】第1题——值得拥有的超级无敌大法【初中数学思维训练】第2题——枚举法与方程思想【初中数学思维训练】第3题——作差法与作商法比较大小【初中数学思维训练】第4题——有理数运算的那点事儿【初中数学思维训练】第5题——用字母表示数【初中数学思维训练】第6题——直接与间接，算术与方程【初中数学思维训练】第7题——比较大小的常用方法【初中数学思维训练】第8题——速算的秘密【初中数学思维训练】第9题——假糊涂，真聪明【初中数学思维训练】第10题——学最好的他人，做最好的自己【初中数学思维训练】第11题——数学解题的要义在于主动求变【初中数学思维训练】第12题——绝妙的降次化简之法【初中数学思维训练】第13题——品味计算之美【初中数学思维训练】第14题——“造”的艺术【初中数学思维训练】第15题——降次之术【初中数学思维训练】第16题——心中有目标，未来有预见【初中数学思维训练】第17题——最值问题【初中数学思维训练】第18题——简单而巧妙的派生公式【初中数学思维训练】第19题——1的妙用【初中数学思维训练】第20题——见连等设K【初中数学思维训练】第21题——整体思想在分式化简求值中的运用【初中数学思维训练】第22题——变形金刚【初中数学思维训练】第23题——面积与相似，谁与争锋【初中数学思维训练】第24题——折叠与面积【初中数学思维训练】第25题——消元的智慧【初中数学思维训练】第26题——只有一个公共点【初中数学思维训练】第27题——眼前一亮的感觉【初中数学思维训练】第28题——数学上的“慢生活”【初中数学思维训练】第29题——初中几何的两大精神支柱【初中数学思维训练】第30题——消元法与整体思想【初中数学思维训练】第31题——全等与隐藏圆【初中数学思维训练】第32题——全等是初中几何的根基【初中数学思维训练】第33题——容易被人忽视的倒数法【初中数学思维训练】第34题——二次函数的最值【初中数学思维训练】第35题——不等式组的解集【初中数学思维训练】第36题——消常数法解方程组【初中数学思维训练】第37题——巧用乘法分配律【初中数学思维训练】第38题——巧解一元一次方程【初中数学思维训练】第39题——比较大小的巧妙方法【初中数学思维训练】第40题——利用整体巧求面积【初中数学思维训练】第41题——用平方差公式解题【初中数学思维训练】第42题——降次的妙用【初中数学思维训练】第43题——凑整【初中数学思维训练】第44题——乘法公式在计算中的运用【初中数学思维训练】第45题——整体思想（换元法）【初中数学思维训练】第46题——整体代换，巧妙求值【初中数学思维训练】第47题——巧解绝对值求值【初中数学思维训练】第48题——绝对值的几何意义【初中数学思维训练】第49题——把握整体，灵活解题【初中数学思维训练】第50题——设而不求【初中数学思维训练】第51题——倒数法的妙用【初中数学思维训练】第52题——变量多，巧相加【初中数学思维训练】第53题——对称式【初中数学思维训练】第54题——多边形内角和定理【初中数学思维训练】第55题——外角和定理【初中数学思维训练】第56题——三线八角【初中数学思维训练】第57题——用配方法因式分解【初中数学思维训练】第58题——用主元法分解因式【初中数学思维训练】第59题——用换元法分解因式【初中数学思维训练】第60题——用待定系数法分解因式【初中数学思维训练】第61题——双十字相乘法【初中数学思维训练】第62题——二次根式巧求值【初中数学思维训练】第63题——逐项通分【初中数学思维训练】第64题——拆项法【初中数学思维训练】第65题——换元法【初中数学思维训练】第66题——一个特殊的完全平方公式【初中数学思维训练】第67题——见连等设k【初中数学思维训练】第68题——二次根式的整数部分【初中数学思维训练】第69题——分子有理化【初中数学思维训练】第70题——换元法在二次根式化简中的运用【初中数学思维训练】第71题——和差代换法【初中数学思维训练】第72题——一元二次方程与整体思想【初中数学思维训练】第73题——对偶式的运用【初中数学思维训练】第74题——数形结合思想【初中数学思维训练】第75题——面积法【初中数学思维训练】第76题——三角形的中位线【初中数学思维训练】第77题——等边三角形的构造【初中数学思维训练】第78题——从熟悉的问题入手【初中数学思维训练】第79题——旋转引辅助线法【初中数学思维训练】第80题——轴对称引辅助线法【初中数学思维训练】第81题——多边形的外角和【初中数学思维训练】第82题——平行四边形的判定【初中数学思维训练】第83题——构造平行四边形证明【初中数学思维训练】第84题——造全等【初中数学思维训练】第85题——旋转型造全等【初中数学思维训练】第86题——面积的比【初中数学思维训练】第87题——基本图形的运用【初中数学思维训练】第88题——梅氏定理【初中数学思维训练】第89题——用换元法解高次方程【初中数学思维训练】第90题——变换主元法【初中数学思维训练】第91题——倒数方程【初中数学思维训练】第92题——配方法【初中数学思维训练】第93题——求作新方程【初中数学思维训练】第94题——构造法【初中数学思维训练】第95题——“1”的发现【初中数学思维训练】第96题——根的定义【初中数学思维训练】第97题——配偶式【初中数学思维训练】第98题——适当变形，巧解方程【初中数学思维训练】第99题——别开生面的换元法【初中数学思维训练】第100题——巧解方程组【初中数学思维训练】第101题——解直角三角形与平面直角坐标系【初中数学思维训练】第102题——用待定系数法求二次函数的解析式【初中数学思维训练】第103题——判别式的妙用【初中数学思维训练】第104题——方程与函数图象【初中数学思维训练】第105题——数形结合【初中数学思维训练】第106题——函数与几何【初中数学思维训练】第107题——见中点，巧添平行线【初中数学思维训练】第108题——巧添垂线【初中数学思维训练】第109题——补全图形【初中数学思维训练】第110题——辅助圆【初中数学思维训练】第111题——圆的定义【初中数学思维训练】第112题——弦心距【初中数学思维训练】第113题——巧用直径【初中数学思维训练】第114题——四点共圆【初中数学思维训练】第115题——补形【初中数学思维训练】第116题——高斯求和与裂项相消【初中数学思维训练】第117题——不易被察觉的裂项相消【初中数学思维训练】第118题——一个经典公式的反复【初中数学思维训练】第119题——比较大小之各路方法云集【初中数学思维训练】第120题——比较大小之平方法。
数学思维能力提升初三上册综合算式练习题
数学思维能力提升初三上册综合算式练习题数学思维是数学学习中非常关键的一环，它要求学生在解题过程中能够灵活运用数学知识，善于分析问题，独立思考。
而综合算式是初中数学中一个重要的考察点，它要求学生能够综合运用各种数学概念和方法来解决问题。
下面是一些初三上册综合算式练习题，旨在帮助学生提升数学思维能力。
题目1：某公司年初的营业额为500万元，年底的营业额增加了30%。
请计算该公司年底的营业额是多少？解析：首先，我们可以将年初的营业额表示为500万元。
然后，根据题目中给出的信息，年底的营业额是年初营业额的增加了30%。
所以我们可以使用下面的式子来计算年终的营业额：年终营业额 = 年初营业额 + 年初营业额 ×增长率将年初营业额和增长率代入上式，可以得到：年终营业额 = 500万元 + 500万元 × 0.3 = 650万元所以该公司年终的营业额是650万元。
题目2：水桶中有30升水，小明一共倒掉了水桶中的1/3的水，然后又倒掉了剩下水的2/5。
请问水桶中还剩下多少升水？解析：根据题目中给出的信息，小明先倒掉了水桶中的1/3的水，那么剩下的水量就是原来水量的2/3。
然后，小明又倒掉了剩下水的2/5，那么水桶中剩下的水量就是原来水量的2/3 × 3/5。
即：水桶中剩下的水量 = 30升 × 2/3 × 3/5 = 12升所以水桶中还剩下12升水。
题目3：一辆汽车以每小时60公里的速度行驶，如果行驶2小时30分钟，那么汽车行驶的距离是多少公里？解析：题目要求我们计算汽车行驶的距离，根据题目中给出的信息，汽车的速度是每小时60公里，行驶的时间是2小时30分钟。
那么，我们可以使用下面的式子来计算距离：行驶的距离 = 速度 ×时间将速度和时间代入上式，可以得到：行驶的距离 = 60公里/小时 × (2小时 + 30分钟/60) = 60公里/小时 ×(2.5小时) = 150公里所以汽车行驶的距离是150公里。
九年级数学数学思维练习题及答案
九年级数学数学思维练习题及答案第一题：求解方程1. 解方程：2(x+3) - 3(x-1) = 4(2x+1) + 5解：首先将方程两边的括号展开得到：2x + 6 - 3x + 3 = 8x + 4 + 5然后合并同类项得到：-x + 9 = 8x + 9接下来移项得到：-9 - 9 = 8x + x-18 = 9x最后得到：x = -22. 解方程：(x+3)^2 - 5(x+3) + 6 = 0解：首先将方程中的(x+3)看作一个整体，即令u = x + 3，那么方程变为：u^2 - 5u + 6 = 0然后因式分解得到：(u-2)(u-3) = 0由此得到u的两个解为u=2和u=3再将u代回原方程得到：x + 3 = 2 或 x + 3 = 3所以x的两个解为x=-1和x=0第二题：解释数学概念1. 请解释什么是“数列”？解：数列是按照一定规律排列的一组数的集合。
其中每一个数称为数列的项，数列的第一个数称为首项，数列中的相邻两项之差称为公差。
数列常常用一般项公式表示，例如等差数列的一般项公式是An = A1 + (n-1)d，其中An表示数列的第n项，A1表示首项，d表示公差。
2. 请解释什么是“函数”？解：函数是一种特殊的关系，它将一个集合中的每个元素都对应到另一个集合中的唯一元素。
通常用f(x)表示函数，其中x是自变量，f(x)是对应的因变量。
函数可以用图像、公式或者表格来表示。
函数的定义域是自变量可能的取值的集合，值域是函数所有可能的结果的集合。
第三题：数学实际应用1. 请举一个数学在金融领域的应用示例。
解：数学在金融领域有很多应用，其中之一是用于计算利息。
金融领域中的利息计算涉及到复利的概念，复利是指在一定时期内获得的利息再加到本金中，下一次计算利息时基于新的本金计算。
利息的计算涉及到指数函数和对数函数等数学知识。
2. 请举一个数学在科学研究中的应用示例。
解：数学在科学研究中有广泛的应用，其中一个例子是在物理学中的运动学问题。
初三思维测试题及答案
初三思维测试题及答案一、选择题1. 下列哪个选项是正确的？A. 圆的周长与直径成正比例B. 圆的面积与半径成正比例C. 圆的周长与半径成正比例D. 圆的面积与直径成正比例答案：C解析：圆的周长公式为C=2πr，其中C为周长，r为半径，π为圆周率。
由此可知，圆的周长与半径成正比例。
2. 已知一个三角形的两边长分别为3和4，第三边长x满足以下哪个条件？A. x > 1B. x < 7C. 1 < x < 7D. x = 5答案：C解析：根据三角形的三边关系，任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。
所以，第三边长x应满足1 < x < 7。
3. 一个数的平方根是它本身，这个数是？A. 0B. 1C. -1D. 以上都不是答案：A解析：一个数的平方根是它本身，只有0满足这个条件，因为0的平方根是0。
二、填空题4. 已知一个等腰三角形的底边长为6，两腰长分别为5，那么这个三角形的周长是______。
答案：16解析：等腰三角形的两腰相等，所以周长为底边长加上两倍的腰长，即6 + 5 × 2 = 16。
5. 一个数的相反数是-3，那么这个数是______。
答案：3解析：一个数的相反数是与它相加等于0的数，所以-3的相反数是3。
三、解答题6. 已知一个直角三角形的两条直角边长分别为3和4，求斜边长。
答案：5解析：根据勾股定理，直角三角形的斜边长等于两直角边的平方和的平方根，即√(3² + 4²) = √(9 + 16) = √25 = 5。
7. 一个数列的前三项为2，4，8，求第四项。
答案：16解析：观察数列，可以发现每一项都是前一项的2倍，所以第四项为8 × 2 = 16。
四、应用题8. 一个工厂生产某种产品，每件产品的成本为50元，售价为80元。
如果工厂想要获得10000元的利润，需要生产并销售多少件产品？答案：62.5件解析：每件产品的利润为售价减去成本，即80 - 50 = 30元。
数学思维初三数学上册综合算式思维训练题
数学思维初三数学上册综合算式思维训练题在初中数学的学习过程中，综合算式是一个重要的知识点。
通过综合算式的训练，学生能够培养自己的数学思维能力，提高解决问题的能力。
本文将为大家介绍一些初三数学上册的综合算式思维训练题，希望能够对大家的学习有所帮助。
1. 已知一个三位数的百位数和个位数的和是6，百位数和十位数的差是9，求这个三位数。
解析：设这个三位数为abc，根据题意可得：a + c = 6（百位数和个位数的和是6）a -b = 9（百位数和十位数的差是9）根据方程组的推理，我们可以得到b = a - 9。
又因为a、b、c都是0到9之间的整数，由此我们可以列出约束条件：0 ≤ a ≤ 90 ≤ b ≤ 90 ≤ c ≤ 9将b = a - 9代入a + c = 6的方程中，得到a + c = 6 - 9，即a + c = -3。
根据约束条件可知，a和c的取值范围为0到9之间的整数，因此a + c不可能等于-3。
因此，这个三位数不存在。
2. 若正整数n满足n² - 5n + 6 = y，其中y为一个正整数，求n的最大值。
解析：我们可以通过因式分解的方法来解决这个问题。
根据题意可得：n² - 5n + 6 = y(n - 2)(n - 3) = y由于y为正整数，因此(n - 2)(n - 3)必须大于0。
根据符号位法则，当两个数的乘积大于0时，这两个数要么都是正数，要么都是负数。
因此，要使(n - 2)(n - 3)大于0，n - 2和n - 3必须同时大于0或者同时小于0。
当n - 2 > 0且n - 3 > 0时，即n > 2且n > 3，n的最小值为4；当n - 2 < 0且n - 3 < 0时，即n < 2且n < 3，n的最大值为2。
综上所述，n的最大值为2。
3. 某数的百位数是个位数的2倍，个位数是十位数的2倍，这个三位数是多少？解析：设这个三位数为abc，根据题意可得：a = 2c（百位数是个位数的2倍）c = 2b（个位数是十位数的2倍）将c = 2b代入a = 2c的方程中，得到a = 2(2b)，即a = 4b。
初三数学思维训练题
初中数学思维训练一、平面图形的运动1、平移2、翻折3、旋转二、分类讨论三、新题型四、函数解析式的确定1、已知函数解析式的确定——待定系数法——关键是求点的坐标（几何法、解析法综合运用）2、未知函数解析式的确定——列方程（直接法、间接法、参数法）利用面积、勾股定理、平行线截得比例线段、相似性（全等）等方法找到等量关系——求函数定义域（解析式法、极限法）五、探索问题千变万化，但少不了对图形的分析和研究，运用数学数形结合的思想，化动为静、化繁为简的转化思想，分类讨论的思想，用几何和代数的方法求出x的值。
PDABCMNE初三数学思维训练题（一）一、平移1. 如图，在Rt △ABC 中，AB ＝6cm ，BC ＝4cm ，点D 是斜边AB 上的中点，把△ADC 沿着AB 方向平移1cm 得△EFP ，EP 与FP 分别交边BC 于点H 和点G ，则GH ＝ cm ． 2. 如图，在△ACB 中，∠CAB=90°,AC=AB ＝3,将△ABC 沿直线BC 平移，顶点A 、C 、B 平移后分别记为A 1、C 1、B 1，若△ACB 与△A 1C 1B 1重合部分的面积2，则CB 1= .3. 如图，把Rt △ABC 放在直角坐标系内，其中∠CAB =90°，BC =5，点A 、B 的坐标分别为(1,0)、(4,0)，将△ABC 沿x 轴向右平移，当点C 落在直线26y x =-上时，线段BC 扫过的面积为 cm 2 ．二、翻折4. 如图所示，将边长为2的正方形纸片折叠，折痕为EF ，顶点A 恰好落在CD 边上的中点P 处，B 点落在点Q 处，PQ 与CF 交于点G . 设C 1为△PCG 的周长，C 2为△PDE 的周长，则C 1 :C 2 = .5. 如图，Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=3，3cot 4A =，点D 、E 分别是边BC 、AC 上的点，且∠EDC=∠A ，将△ABC 沿DE 对折，若点C 恰好落在边AB 上，则DE 的长为 .6. 如图，在ABC ∆中，MN ∥AC ，直线MN 将ABC ∆分割成面积相等的两部分.将BMN ∆沿直线MN 翻折，点B 恰好落在点E 处，联结AE ，若AE ∥CN ，则:AE NC = .H GA BCP AC BEBC三、旋转7. 如图，在Rt △ABC 中，90ACB ∠=︒，点O 在AB 上，且6CA CO ==，1cos 3CAB ∠=，若将△ABC 绕点A 顺时针旋转得到Rt △AB’C’，且C’落在CO 的延长线上，联结'BB 交CO 的延长线于点F ，则BF = .8. 如图，在ABC ∆中，90C ∠=，10AB =，3tan 4B =，点M 是AB 边的中点，将ABC ∆绕着点M 旋转，使点C 与点A 重合，点A 与点D 重合，点B 与点E 重合，得到DEA ∆，且AE 交CB 于点P ，那么线段CP 的长是 ．9. 如图，将△ABC 绕顶点C 旋转至△DEC 位置，使顶点D 恰好落在边AB 上，已知AC=3，BC=4，︒=∠90ACB ，则=∠BED cot _______________．四、分类讨论10. 已知等腰三角形的周长为20，一个内角的余弦值为23，那么这个等腰三角形的腰长等于 ．11. 抛物线23y ax bx =++的顶点在坐标轴上，则a = ．12. 在△ABC 中，5AB =，4AC =，3BC =，D 是边AB 上的一点，E 是边AC 上的一点（D 、E与端点不重合），如果△CDE 与△ABC 相似，那么CE =五、新题型13. 若等腰三角形的顶角为θ，则定义msad nθ=，其中m 、n 分别表示这个等腰三角形的底边长和腰长，请根据定义推算： ① 若已知锐角θ满足4tan 3θ=，则sad θ= ； ②36sad ︒= ． 14. 下列图案由边长相等的黑、白两色正方形按一定规律拼接而成，依此规律，第n 个图案中白色正方形的个数为___________．C ABOF 'C 'B EDCBA…… 第n 个15. 现规定一种新的运算“*”：b a b a *=，如23239*==，则132*＝（ ） （A ） 18 （B ） 8 （C ） 16 （D ） 32初三数学思维训练题（二）一、函数型综合题１．已知抛物线23y ax bx =++与x 的交点为A （1,0）、B （3,0），与y 轴交于点C. （1）求出抛物线的解析式及顶点P 的坐标；（2）若点M 在抛物线的对称轴上，且∠AMP=∠ACB ，求点M 的坐标；（3）若点G 在线段OC 上，且OG=2CG ，抛物线的对称轴与x 轴相交于点E ，点F 为射线AG 上一点，且△ABF 与△AEG 相似，求出点F 的坐标；（4）设点Q 是抛物线上的一个动点，当点Q 在第四象限时，△ACQ 的面积为158，求点Q 的坐标.二、几何型综合题1、已知：点A 、B 都在半径为9的圆O 上，P 是射线OA 上一点，以PB 为半径的圆P 与圆O 相交的另一个交点为C ，直线OB 与圆P 相交的另一个交点为D ，2cos 3AOB ∠=． （1）求：公共弦BC 的长度；（2）如图，当点D 在线段OB 的延长线上时，设AP=x ，BD=y ，求y 关于x 的函数解析式，并写出它的定义域；（3）如果直线PD 与射线CB 相交于点E ，且△BDE 与△BPE 相似，求线段AP 的长．OAPB CD（第（2）小题图）H参考答案：初三数学思维训练题（一）(1)23; (2) 或 ; (3) 16; (4) 4:3; (5) 12548; (6) 1 ; (7) 14; (8)74; (9) 724; (10) 6 或； (11) 3或7 或-1； (12) 2或3625或258；(13)(14) )5n+3 ； (15) A. 初三数学思维训练题（二） 一、函数型综合题（1）243y x x =-+；2(2)1y x =--；顶点P （2，-1）； （2）M 1（2,2）M 2（2，-2）；（3）（-1,4）或34(,)55 ；（4）53(,)24-二、几何型综合题（1）BC =（2）y 关于x 的函数解析式为463y x =-,定义域为92x >．（3）线段AP 的长为9292．---精心整理，希望对您有所帮助。
初三思维测试题及答案
初三思维测试题及答案一、选择题1. 某工厂生产一批零件，合格率为95%，那么不合格率为（）。
A. 5%B. 95%C. 4%D. 105%答案：A2. 已知一个数的平方是36，那么这个数可能是（）。
A. 6B. -6C. 6或-6D. 0答案：C3. 一个长方体的长、宽、高分别为a、b、c，那么它的体积是（）。
A. abcB. ab+bc+acC. a+b+cD. 2(ab+bc+ac)答案：A4. 一个圆的半径为r，那么它的周长是（）。
A. 2πrB. πrC. 2πr²D. πr²答案：A5. 已知一个等腰三角形的底角为45°，那么它的顶角是（）。
A. 45°B. 90°C. 135°D. 无法确定答案：B二、填空题6. 一个数的相反数是-5，那么这个数是_________。
答案：57. 一个数的绝对值是8，那么这个数可能是_________或_________。
答案：8或-88. 一个等差数列的首项是2，公差是3，那么它的第5项是_________。
答案：179. 一个二次函数的顶点坐标是(2,3)，且开口向上，那么它的解析式可能是_________。
答案：y=a(x-2)²+3，其中a>010. 一个直角三角形的两直角边长分别为3和4，那么它的斜边长是_________。
答案：5三、解答题11. 已知一个二次函数的图像经过点(1,0)和(-1,0)，且顶点坐标为(0,1)，求这个二次函数的解析式。
答案：y=x²+1解析：因为二次函数的图像经过点(1,0)和(-1,0)，所以这两个点是函数的根，可以设函数的解析式为y=a(x-1)(x+1)。
又因为顶点坐标为(0,1)，所以当x=0时，y=1，代入解析式得到1=a(0-1)(0+1)，解得a=-1。
所以这个二次函数的解析式为y=-x²+1。
12. 一个长方体的长、宽、高分别为a、b、c，求它的表面积。
九年级数学思维训练试题一课标 试题
文博中学九年级数学思维训练试题一人教新课标版本卷贰O贰贰年贰月捌日编写；出题人：令狐学复；欧阳化语；令狐理总。
直线与圆的位置有相交、相切、相离三种情形，既可从直线与圆交点的个数来断定，也可以从圆心到直线的间隔与圆的半径的大小比拟来考察．讨论直线与圆的位置关系的重点是直线与圆相切，直线与圆相切涉及切线的性质和断定、切线长定理、弦切角的概念和性质、切割线定理等丰富的知识，这些丰富的知识对应着以下根本图形、根本结论：注：点与圆的位置关系和直线与圆的位置关系确实定有一共同的准确断定方法，即量化的方法(间隔与半径的比拟)，我们称“由数定形〞，勾股定理的逆定理也具有这一特点．【例题求解】【例1】如图，AB是半圆O的直径，CB切⊙O于B，CD切⊙O于D，交BA的延长线于E，假设EA=1，ED=2，那么BC的长为．思路点拨从C点看，可用切线长定理，从E点看，可用切割线定理，而连OD，那么OD⊥EC，又有相似三角形，先求出⊙O的半径．注：连结圆心与切点是一条常用的辅助线，利用切线的性质可构造出直角三角形，在圆的证明与计算中有广泛的应用．【例2】如图，AB、AC与⊙O相切于B、C，∠A=50°，点P是圆上异于B、C的一个动点，那么∠BPC的度数是( )A．65° B．115° C．60°和115° D．130°和50°思路点拨略【例3】 如图，以等腰△ABC 的一腰AB 为直径的⊙O 交BC 于D ，过D 作DE ⊥AC 于E ，可得结论：DE 是⊙O 的切线．问：(1)假设点O 在AB 上向点B 挪动，以O 为圆心，OB 为半径的圆的交BC 于D ，DE ⊥AC 的条件不变，那么上述结论是否还成立?请说明理由；(2)假如AB=AC=5cm ，sinA=53，那么圆心O 在AB 的什么位置时，⊙O 与AC 相切?思路点拨 (1)是结论探究题，(2)是条件探究题，从切线的断定方法和性质入手，分别画图，方能求解．【例4】 如图，Rt △ABC 中，AC=5，BC=12，∠ACB=90°，P 是AB 边上的动点(与点A 、B 不重合)，Q 是BC 边上的动点(与点B 、C 不重合)． (1)当PQ ∥AC ，且Q 为BC 的中点时，求线段PC 的长；(2)当PQ 与AC 不平行时，△CPQ 可能为直角三角形吗?假设有可能，求出线段CQ 的长的取值范围；假设不可能，请说明理由．思路点拨 对于(2)，易发现只有点P 能作为直角顶点，建立一个研究的模型——以CQ 为直径的圆与线段AB 的交点就是符合要求的点P ，从直线与圆相切特殊位置入手，以此确定CQ 的取值范围． 注：断定一直线为圆的切线是平面几何中一种常见问题，断定的根本方法有： (1)从直线与圆交点个数入手；(2)利用角证明，即证明半径和直线垂直；(3)运用线段证明，即证明圆心到直线的间隔 等于半径．一个圆的问题，从不同的条件出发，可有不同的添辅助线方式，进而可得不同的证法，对于分层次设问的问题，需整体考虑；【例5】如图，在正方形ABCD 中，AB=1，︵AC 是以点B 为圆心，AB 长为半径的圆的一段弧，点E 是边AD 上的任意一点〔点E 与点A 、D 不重合〕，过E 作︵AC 所在圆的切线，交边DC 于点F ，G 为切点．〔1〕当∠DEF=45°时，求证点G 为线段EF 的中点；〔2〕设AE=x ，FC=y ，求y 关于x 的函数解析式，并写出函数的定义域； 〔3〕将△DEF 沿直线EF 翻折后得△D 1EF ，如图，当EF=65时，讨论△AD 1D 与△ED 1F 是否相似，假如相似，请加以证明；假如不相似，只要求写出结论，不要求写出理由．思路点拨 图中有多条⊙B 的切线，由切线长定理可得多对等长线段，这是解(1)、(2)问的根底，对于(3)，由(2)求出x 的值，确定E 点位置，这是解题的关键．注：本例将几何图形置于直角坐标系中，综合了圆的有关性质、相似三角形的断定与性质、切线的断定与性质、等边三角形的断定与性质等丰富的知识，并结合了待定系数法、数形互助等思想方法，具有较强的选拔功能．初三数学思维训练 A 组1．如图，AB 为⊙O 的直径，P 点在AB 延长线上，PM 切⊙O 于M 点，假设OA=a ，FM=a 3，那么△PMB 的周长为 ．2．PA 、PB 切⊙O 于A 、B ，∠APB=78°，点C 是⊙O 上异于A 、B 的任意一点，那么∠ACB= ． 3．如图，EB 、EC 是⊙O 的两条切线，B 、C 是切点，A 、D 是⊙O 上两点，假如∠F=46°，∠DCF=32°，那么∠A 的度数是 ．4．如图，以△ABC 的边AB 为直径作⊙O 交BC 于D ，过点D 作⊙O 的切线交AC 于E ，要使DE ⊥AC ，那么△ABC 的边必须满足的条件是 ．5．1l 、2l 表示直线，给出以下四个论断：①1l ∥2l ；②1l 切⊙O 于点A ；③2l 切⊙O 于点B ；④AB 是⊙O 的直径．假设以其中三个论断作为条件，余下的一个作为结论，可以构造出一些命题，在这些命题中，正确命题的个数为( )1 B．2 C．3 D．46．如图，圆心O在边长为2的正方形ABCD的对角线BD上，⊙O过B点且与AD、DC边均相切，那么⊙O的半径是( ) A．)12(2+ C．1(2- B．)122+22- D．127．直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AD+BC<DC，假设腰DC上有一点P，使AP⊥BP，那么这样的点( )A．不存在 B．只有一个 C．只有两个 D．有无数个8．如图，圆内接△ABC的外角∠ACH的平分线与圆交于D点，DP⊥AC于P，DH⊥BH于H，以下结论：①=；③AP＝BH；④DH为圆的切线，其中一定成立的是( )CH=CP；②AD DBA．①②④ B．①③④ C．②③④ D．①②③9．如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠ACB=45°，∠ABC=120°，⊙O的半径为1，(1)求弦AC、AB的长； (2)假设P为CB的延长线上一点，试确定P点的位置，使PA与⊙O相切，并证明你的结论．10．如图，AB是⊙O的直径，点P在BA的延长线上，弦CD⊥AB于E，且PC2=PE·PO．(1)求证：PC是⊙O的切线；(2)假设OE：EA=1：2，且PA＝6，求⊙O的半径；11．(1)如图a，直线AB过圆心O，交⊙O于A、B，直线AF交⊙O于F(不与B重合)，直线l交⊙O于C、D，交AB于E且与AF垂直，垂足为G，连AC、 AD.求证：①∠BAD=∠CAG；②AC·AD=AE·AF．(2)在问题(1)中，当直线l向上平行挪动与⊙O相切时，其他条件不变．①请你在图b中画出变化后的图形，并对照图a标记字母；②问题(1)中的两个结论是否成立?假如成立，请给出证明；如不成立，请说明理由．B组12．如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，⊙O分别与AB、AC相切于点E、F，圆心O在BC上，假设AB=a，AC=b，那么⊙O的半径等于．13．如图，AB是半圆O的直径，点M是半径OA的中点，点P在线段AM上运动(不与点M重合)，点Q在半圆O上运动，且总保持PQ=PO，过点Q作⊙O的切线交BA的延长线于点C．(1)当∠QPA=60°时，请你对△QCP的形状做出猜测，并给予证明．(2)当QP⊥AB时，△QCP的形状是三角形．(3)由(1)、(2)得出的结论，请进一步猜测当点P在线段AM上运动到任何位置时，△QCP一定是三角形．14．如图，AB 为⊙O 的直径，CB 切⊙O 于B ，CD 切⊙O 于D ，交BA 的延长线于E ，假设AB=3，ED=2，那么BC 的长为( ) A ．2 B ．3 C ．3．5 D ．415．如图，PA 、PB 是⊙O 的两条切线，A 、B 切点，直线OP 交⊙O 于C 、D ，交AB 于E ，AF 为⊙O 的直径，以下结论：(1)∠APB=∠AOP ；(2) BC DF =；(3)PC ·PD=PE ·PO ，其中正确结论的个数有( ) A ．3个 B ．2个 C ．1个 D ．0个16．如图，△ABC ，过点A 作外接圆的切线交BC 的延长线于点P ，22=PA PC ，点D 在AC 上，且21=CD AD ，延长PD 交AB 于点E ，那么BE AE 的值是( ) A ．41 B ．42 C ．21 D ．2217．如图，AB 为半圆O 的直径，AP 为过点A 的半圆的切线． 在AB 上任取一点C(点C 与A 、B 不重合)，过点C 作半圆的切线CD 交AP 于点D ；过点C 作CE ⊥AB ，垂足为E ．连结BD ，交CE 于点F ． (1)当点C 为AB 的中点时(如图1)，求证：CF ＝EF ； (2)当点C 不是AB 的中点时(如图2)，试判断CF 与EF的相等关系是否保持不变，并证明你的结论．18．如图，△ABC 中，∠C=90°，AC=6，BC=3，点D 在AC 边上，以D 为圆心的⊙D 与AB 切于点E ．(1)求证：△ADE ∽△ABC ；(2)设⊙D 与BC 交于点F ，当CF=2时，求CD 的长；(3)设CD=a ，试给出一个a 值，使⊙D 与BC 没有公一共点，并说明你给出a 的值符合的要求．19．如图，⊙Oˊ与x轴交于A、B两点，与y轴交于C、D两点，圆心Oˊ的坐标是(1，一1)，半径是5.(1)求A、B、C、D四点的坐标；(2)求经过点D的切线的解析式；(3)问过点A的切线与过点D的切线是否垂直?假设垂直，请写出证明过程；假设不垂直，试说明理由．参考答案本卷贰O贰贰年贰月捌日编写；出题人：令狐学复；欧阳化语；令狐理总。
【必刷题】2024九年级数学上册数学思维拓展专项专题训练(含答案)
【必刷题】2024九年级数学上册数学思维拓展专项专题训练（含答案）试题部分一、选择题：1. 若a+b=5，ab=1，则a²+b²的值为（）A. 10B. 17C. 26D. 302. 下列各数中，是无理数的是（）A. √9B. √16C. √3D. π3. 已知一组数据的方差是9，那么这组数据每个数据都加5后，方差变为（）A. 4B. 9C. 14D. 244. 下列函数中，是正比例函数的是（）A. y=2x+1B. y=x²C. y=3xD. y=x15. 在平面直角坐标系中，点P(a,b)关于原点对称的点是（）A. (a,b)B. (a,b)C. (a,b)D. (b,a)6. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A. 等边三角形B. 矩形C. 正五边形D. 半圆7. 下列方程中，是一元一次方程的是（）A. 2x+3y=6B. x²+3x+2=0C. 3x5=0D. xy=38. 若平行线l1：2x+3y+1=0，l2：2x+3y+c=0，则l1与l2的距离是（）A. |c|/√13B. c/√13C. √13/|c|D. √13/c9. 已知一组数据的平均数是50，那么这组数据的中位数可能是（）A. 45B. 50C. 55D. 6010. 下列关于x的不等式中，有解的是（）A. x²<0B. x²=0C. x²>0D. x²≤0二、判断题：1. 互为相反数的两个数的和为0。
（）2. 一组数据的众数只有一个。
（）3. 两条平行线上的任意两点到第三条直线的距离相等。
（）4. 中心对称图形一定是轴对称图形。
（）5. 任何两个实数的和都是实数。
（）三、计算题：1. 已知一组数据：2，3，5，7，x，求x的值，使得这组数据的平均数为5。
2. 若一个正方形的边长为a，求其面积。
3. 已知等差数列的首项为3，公差为2，求第10项的值。
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初中数学思维训练
一、平面图形的运动
1、平移
2、翻折
3、旋转
二、分类讨论
三、新题型
四、函数解析式的确定
1、已知函数解析式的确定——待定系数法——关键是求点的坐标（几何法、解析法综合运用）
2、未知函数解析式的确定——列方程（直接法、间接法、参数法）利用面积、勾股定理、平行线截得比例线段、相似性（全等）等方法找到等量关系——求函数定义域（解析式法、极限法）
五、探索问题千变万化，但少不了对图形的分析和研究，运用数学数形结合的思想，化动为静、化繁为简的转化思想，分类讨论的思想，用几何和代数的方法求出x的值。
P
D
A
B
C
M
N
E
初三数学思维训练题（一）
一、平移
1. 如图，在Rt △ABC 中，AB ＝6cm ，BC ＝4cm ，点D 是斜边AB 上的中点，把△ADC 沿着AB 方
向平移1cm 得△EFP ，EP 与FP 分别交边BC 于点H 和点G ，则GH ＝ cm ． 2. 如图，在△ACB 中，∠CAB=90°,AC=AB ＝3,将△ABC 沿直线BC 平移，顶点A 、C 、B 平移后分
别记为A 1、C 1、B 1，若△ACB 与△A 1C 1B 1重合部分的面积2，则CB 1= .
3. 如图，把Rt △ABC 放在直角坐标系内，其中∠CAB =90°，BC =5，点A 、B 的坐标分别为(1,0)、
(4,0)，将△ABC 沿x 轴向右平移，当点C 落在直线26y x =-上时，线段BC 扫过的面积
为 cm 2 ．
二、翻折
4. 如图所示，将边长为2的正方形纸片折叠，折痕为EF ，顶点A 恰好落在CD 边上的中点P 处，
B 点落在点Q 处，PQ 与CF 交于点
G . 设C 1为△PCG 的周长，C 2为△PDE 的周长，则C 1 :C 2 = .
5. 如图，Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=3，3
cot 4
A =
，点D 、E 分别是边BC 、AC 上的点，且∠EDC=∠A ，将△ABC 沿DE 对折，若点C 恰好落在边AB 上，则DE 的长为 .
6. 如图，在ABC ∆中，MN ∥AC ，直线MN 将ABC ∆分割成面积相等的两部分.将BMN ∆沿直线
MN 翻折，点B 恰好落在点E 处，联结AE ，若AE ∥CN ，则:AE NC = .
H G
A B
C
P A
C B
E
B
C
三、旋转
7. 如图，在Rt △ABC 中，90ACB ∠=︒，
点O 在AB 上，且6CA CO ==，1
cos 3
CAB ∠=，若将△ABC 绕点A 顺时针旋转得到Rt △AB’C’，且C’落在CO 的延长线上，联结'BB 交CO 的延长线于点F ，则BF = .
8. 如图，在ABC ∆中，90C ∠=o ，10AB =，3
tan 4
B =
，点M 是AB 边的中点，将ABC ∆绕着点M 旋转，使点C 与点A 重合，点A 与点D 重合，点B 与点E 重合，得到DEA ∆，且AE 交CB 于点P ，那么线段CP 的长是 ．
9. 如图，将△ABC 绕顶点C 旋转至△DEC 位置，使顶点D 恰好落在边AB 上，已知AC=3，BC=4，
︒=∠90ACB ，则=∠BED cot _______________．
四、分类讨论
10. 已知等腰三角形的周长为20，一个内角的余弦值为
2
3
，那么这个等腰三角形的腰长等于 ．
11. 抛物线23y ax bx =++的顶点在坐标轴上，则a = ．
12. 在△ABC 中，5AB =，4AC =，3BC =，D 是边AB 上的一点，E 是边AC 上的一点（D 、E
与端点不重合），如果△CDE 与△ABC 相似，那么CE =
五、新题型
13. 若等腰三角形的顶角为θ，则定义m
sad n
θ=
，其中m 、n 分别表示这个等腰三角形的底边长和腰长，请根据定义推算： ① 若已知锐角θ满足4
tan 3
θ=
，则sad θ= ； ②36sad ︒= ． 14. 下列图案由边长相等的黑、白两色正方形按一定规律拼接而成，依此规律，第n 个图案中白色
正方形的个数为___________．
C
A
B
O F 'C '
B E
D
C
B
A
…… 第n 个
15. 现规定一种新的运算“*”：b a b a *=，如23239*==，则
1
32
*＝（ ） （A ） 18 （B ） 8 （C ） 16 （D ） 3
2
初三数学思维训练题（二）
一、函数型综合题
１．已知抛物线2
3y ax bx =++与x 的交点为A （1,0）、B （3,0），与y 轴交于点C. （1）求出抛物线的解析式及顶点P 的坐标；
（2）若点M 在抛物线的对称轴上，且∠AMP=∠ACB ，求点M 的坐标；
（3）若点G 在线段OC 上，且OG=2CG ，抛物线的对称轴与x 轴相交于点E ，点F 为射线AG 上一点，且△ABF 与△AEG 相似，求出点F 的坐标；
（4）设点Q 是抛物线上的一个动点，当点Q 在第四象限时，△ACQ 的面积为15
8
，求点Q 的坐标.
二、几何型综合题
1、已知：点A 、B 都在半径为9的圆O 上，P 是射线OA 上一点，以PB 为半径的圆P 与圆O 相交的另一个交点为C ，直线OB 与圆P 相交的另一个交点为D ，2cos 3
AOB ∠=． （1）求：公共弦BC 的长度；
（2）如图，当点D 在线段OB 的延长线上时，设AP=x ，BD=y ，求y 关于x 的函数解析式，并写出它的定义域；
（3）如果直线PD 与射线CB 相交于点E ，且△BDE 与△BPE 相似，求线段AP 的长．
O
A
P
B C
D
（第（2）小题图）
H
参考答案：
初三数学思维训练题（一）
(1)2
3; (2) 或; (3) 16; (4) 4:3; (5) 12548; (6) ：1 ; (7) 14; (8)
74; (9) 724; (10) 6 或； (11) 3或7 或-1； (12) 2或3625或258
；
(13)
(14) )5n+3 ； (15) A. 初三数学思维训练题（二） 一、函数型综合题
（1）2
43y x x =-+；2
(2)1y x =--；顶点P （2，-1）； （2）M 1（2,2）M 2（2，-2）；（3）（-1,4）或34
(,)55 ；（4）53(,)24
-
二、几何型综合题
（1）BC =（2）y 关于x 的函数解析式为463y x =
-,定义域为9
2
x >．（3）线段AP 的长为9
29
2
．。