导数在经济学中的一些简单的应用

导数在经济学中的一些简单的应用

摘要：数学的理论知识在各个领域都有很多的应用，在经济学中的应用也非常广泛，本文主要介绍导数在经济学中的一些简单的应用。首先，介绍了导数在弹性方面的应用;其次，介绍了导数在边际量方面的应用；最后，介绍了导数在生产领域中的应用。本文还列举了一些具体的例子，通过这些例子使我们更深刻的理解导数在经济学中的应用，同时还总结了一些常用的计算公式和解决经济问题时所需要的具体步骤。

关键词:导数极大值拉格朗日乘数偏导数

Derivative in Economics of Some Simple Application

Abstract:Mathematical theory knowledge in various fields has lots of applications.The application in economics is very extensive.This paper mainly introduces some of the economics derivative simple application.Firstly,Introduces the application in the elastic derivative.Secondly,Introduced the derivative application in marginal quantity.Finally,Introduces the application in production field

derivative.Through these examples make us more profound understanding of derivative, and the application in economics also summarized some common calculation formula and solve an economic problem need concrete steps.

Key words:Derivative Maximum value Lagrange's multiplier Partial derivative

1.导数在弹性方面的应用

在物理学中，如果我们知道两个变量路程和时间的函数关系，运用导数的概念就可以求出速度和时间的关系。同理，在经济学中如果知道两个经济变量之间的函数关系，我们就可以通过导数这一数学工具来推导出弹性在这方面的应用。

1.1 弹性的定义

如果给了我们两个经济变量之间的函数关系为)

T ，则点弹性公式为：

f

(I

T

I dI dT I

dI T dT

I I T T e I ⋅==∆∆=→∆0lim ； e 为弹性系数；I ∆、T ∆分别为变量I 、T 的变动量。

1.2 需求的价格弹性

我们假设需求函数为)(X f Y =，x e 表示需求的价格弹性系数，则需求的价格点弹性的公式为：

Y

X dX dY Y X X Y e X x ⋅-=⋅∆∆-=→∆0lim

1.3 需求的交叉价格弹性

我们假设商品M 的需求量为M Q 是它的相关商品N 的价格N P 的函数，即)(N M P f Q =，则商品M 的需求的交叉价格点弹性公式为：

M

N N M N N M M

P MN

Q P dP dQ P P Q Q e N ⋅=∆∆=→∆0lim ； 例 假设在广州市某市场上有N M ,两家方便面生产厂商，这两家厂商是生产同种方便面但是有差异的竞争者；在广州该市场对方便面厂商M 来说，它的的需求函数为M M Q P -=300,对另一个方便面厂商N 来说，它的需求曲线为N N Q P 5.0200-=;两个方便面厂商目前的销售量分别为100,100==N M Q Q 。求：

(1) N M ,两个方便面厂商的需求的价格弹性N M e e ,分别是多少？

(2) 如果一个方便面厂商N 降价后，使得方便面N 厂商的需求量增加为200=N Q ，同时使竞争对手方厂商M 的需求量减少为80=M Q 。那么，方便面厂商M 的需求的交叉价格弹性MN e 为多少？

解：(1) 当100=M Q 时，200100300=-=M P ；当100=N Q 时，

1501005.0200=⨯-=N P ;

2100200)1(=⋅--=⋅-=M M M M M Q P dP dQ e ；3100150)2(=⋅--=⋅-=N

N N N N Q P dP dQ e 。 (2) 当80=M Q 时,12080300=-=M P 且100-=∆M Q ；

当200=N Q 时，1002005.0200=⨯-=N P 且100-=∆N P ；

所以 4

180********=⋅--=⋅∆∆=

M N N M MN Q P P Q e 。

1.4 需求的收入弹性 我们假设需求量用S 表示，消费者收入用T 表示，两者之间的函数关系为)(S f T =，则该商品的需求的收入弹性公式为：

S

T dT dS S T T S e T T ⋅=⋅∆∆=→∆0lim 例 假定某农民对于大米的消费量S 与该农民的收入T 之间的函数关系为31000S T =。求：当该农民的收入为64000=T 时，他对大米的需求的收入点弹性是多少？

解答：依题意得

10003

T S =

当64000=T 时，可得4=S

需求的收入点弹性公式可得：

3110001100031lim 3

20=⨯⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯=⋅=⋅∆∆=-→∆S T T S T dT dS S T T S e T T 可见当64000=T 时，该农民对大米的需求的收入的点弹性为3

1。 2.导数在边际量方面的应用

(1)我们假设某一个化肥厂的总成本函数用)(X TC 表示，该化肥厂的边际成本就是总成本的导数，用公式表示为：

)()(lim )(0X C T dX

dTC X X TC X MC Q '==∆∆=→∆