第三章3静定结构受力分析(平面刚架)

MA= qa2+2qa2-2aYB=0 (1)
2） 对中间铰C建立矩平衡方程 qa
MB=0.5qa2+2aXB -aYB=0 (2) 解方程(1)和(2)可得
a
XB=0.5qa YB=1.5qa 3） 再由整体平衡 X=0 解得 XA=-0.5qa Y=0 解得 YA=0.5qa
qa/X2 A YA
l/2
D
反.
l/4
P
l/4
A
B
XA
解:1)取附属部分
C
X D P()
l
l
YA
YB
YC
YC P / 4() YD P / 4()
A XA
YA
YD X D
D
XD
B
YD
YB
2)取基本部分
P C
X A P() YA P()
YB P / 4() YC
思考题: 图示体系支反力和约束力的计算途径是怎样的?
2m
8kN
B24kN.m
6kN
4m
6kN
0
－6kN
∑X = 8－8 = 0
8kN
∑Y = －6－（－6） = 0
16kN.m 6kN
∑M = 24－8 － 16 = 0
作内力图
8kN
QDA=8kN NDA=0 MDA=8kN.m（左拉）
1m
16
8 24
6kN
2m
8kN
M kN.m
6kN
4m
QDB=8kN NDB=6kN MDB=16kN.m（右拉）
对O点取矩可求出B点水平反力，由B支座开始做弯矩图。
2、集中力偶作用处，弯矩图发生突变，突变前后弯矩两条线平行。
3、三铰刚架绘制弯矩图时，关键是求出一水平反力！！
4、主从结构绘制弯矩图 可以利用弯矩图与荷载、支承及连结之
间的对应关系，不求或只求部分约束力。
绘制图示刚架的
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
D
E
弯矩图
120 q=20kN/m
2m 2m
仅绘M图,并不需要 求出全部反力.
A
80kN 90
120 ↓↓↓↓↓↓↓↓
F
C
180 60
120
先由AD
MEA=80×6-½×2200×kN6²=120
62.5
180
3m
∑Y=0 得 YA=80kN
20kN
M60图 B kM.m
再由整体平衡方程 ∑X=0
得 XB=20kN
6、刚结点上各杆端弯矩及集中力偶应满足结点的力矩平衡。两杆相交刚 结点无集中力偶作用时，两杆端弯矩等值，同侧受拉。
×P
D
×B
C
×q
A
E
（a）
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
×C
× A （e）
B×
↓↓↓↓↓↓↓↓↓ ↓↓↓↓↓↓↓↓↓
P
D
B
C
q
A
E
（b）
C
A （f）
B
例:作图示结构的M,Q,N图
3kN m B
P
P
P
P
P
P P
P
§3-3 静定平面刚连架接两个杆端的刚结点,若
一. 刚架的受力特点 二. 刚架的支座反力计算
结点上无外力偶作用,则两 个杆端的弯矩值相等,方向 相反.
三. 刚架指定截面内力计算
与梁的指定截面内力计算方法相同.
例1: 求图示刚架1,2截面的弯矩
M1
M
C1 2 l
M2
2
P
l
M
A
XA
l
YB
P 2
()
例2: 求图示刚架的支座反力
q
ql2 解:
ql
Fx 0, X A ql 0, X A ql()
l
A
Fy 0,YA ql 0,YA ql()
XA
l 2
MA YA
l 2
M A 0, M A ql l ql2 0,
M A 2ql2 (逆时针转)
C
B
XB
例3: 求图示刚架的支座反力
方法:切断两个刚片之间的约束,取一个刚片为隔离体,假定 约束力的方向,由隔离体的平衡建立三个平衡方程.
例1: 求图示刚架的支座反力
C
B
C
B
l
2
YB
P
lP
A
l
2
A X A YA
解:
Fx 0, X A P 0, X A P()
MA
0, P
l 2
YB
l
0,YB
P 2
()
Fy
0,YA
YB
0,YA
二次抛物线
凸向即q指向
出现尖点
尖点指向即P的指向
4.集中力偶作用处
无变化
发生突变
m
两直线平行
注备
Q=0区段M图 Q=0处，M 平行于轴线 达到极值
集中力作用截 集中力偶作用点
面剪力无定义
弯矩无定义
5、在自由端、铰支座、铰结点处，无集中力偶作用，截面弯矩等于零， 有集中力偶作用，截面弯矩等于集中力偶的值。
2
YA
解: YB P / 2()
2
B
l
XB
2
YB
YA P / 2()
X B P / 4() X A P / 4()
P/4
P/4
M 2 Pl / 4(右侧受拉) M1 Pl / 4(上侧受拉) M1 M 2 (外侧受拉)
§3-3 静定刚架受力分析
一. 刚架的受力特点 二. 刚架的支座反力计算
＋，－号；竖标大致成比例。
NDC QDC
1m
8kN
QDA MDA NDA
QDA=8kN NDB MDB NMDDAA==08k0NQ.DmB （左D拉）
8kN.m 8kN
MDC
8QkNDC=－6kAN NDC=0 MDC=24kDN.m（下拉）
6kN C
QDB=8kN
6kN
NM8DDkBBN==61k6NkN.mB（右拉）
2.三铰刚架(三铰结构)的支座反力(约束力)计算
方法:取两次隔离体,每个隔离体包含一或两个刚片,建立六
个平衡方程求解--双截面法.
例1: 求图示刚架的支座反力
解:1)取整体为隔离体
P
XA YA
XC
C
A
B
lΒιβλιοθήκη Baidu
l
l 2
l 2
MA Fy
0, P 0,YA
l 2
YB
l
0,
YB
YB 0,YA YB
1/2qa2
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
C
1/2qa2
A
a
a
qa2 q
B XqBa/2 YB
2 绘制弯矩图
注意：三铰刚架绘制弯矩图往往只须求一水平反力,然后由 支座作起！！
画三铰刚架弯矩图
CM
O M
M/2
M/2
a
C
A
B
a
a
Mo=m－2a×XB=0, 得 XB=M/2a
注意：
A
RA
B
XB
YB
1、三铰刚架仅半边有荷载，另半边为二力体，其反力沿两铰连线，
另外，根据这些关系，常可不经计算直观检查 M 图的轮廓是否正确。 ①M图与荷载情况不符。 ②M图与结点性质、约束情况不符。 ③作用在结点上的各杆端弯矩及结点集中力偶不满足平衡条件。
内力图形状特征
Q图 M图
1.无何载区段 2.均布荷载区段 3.集中力作用处
平行轴线
↓↓↓↓↓↓
＋ －
发生突变
＋P －
斜直线
NEF 4P()
MA 0, P3l YB l 0,YB 3P()
Fy 0, NCD 6P()
Fx 0, X A 0
Fy 0,YA YB P 0,YA 2P()
3.复合刚架(主从结构)的支座反力(约束力)计算
例1: 求图示刚架的支座反力
方法:先算附属部分,后算基本部 分,计算顺序与几何组成顺序相
一. 刚架的受力特点
梁
1 8
ql2
l
1 ql2 8
刚架
桁架
弯矩分布均匀 可利用空间大
§3-3 静定刚架受力分析
一. 刚架的受力特点 二. 刚架的支座反力计算
静定刚架的分类:
三铰刚架 (三铰结构)
简支刚架 悬臂刚架
单体刚架 (联合结构)
复合刚架 (主从结构)
1.单体刚架(联合结构)的支座反力(约束力)计算
例题2: 作图示结构弯矩图 练习: 作图示结构弯矩图
ql2 / 2
q
q ql / 2 l
ql
l
ql l / 2 l/2
l
练习: 作图示结构弯矩图
P
l
P l/2
l
l/2
l
l
l
例题3: 作图示结构弯矩图
P
Pl / 2
Pl / 4
P
Pl / 2
l
Pl / 4
l 3Pl / 4
3Pl / 4
l
l
l
练习: 作图示结构弯矩图
第三章 静定结构受力分析
§3-3 静定平面刚架
一. 刚架的受力特点
刚架是由梁柱组成的含有刚结点的杆件结构。
与铰结点相比，刚结点具有不同的特点。从变 形角度来看，在刚结点处各杆不能发出相对转 动，因而各杆间的夹角保持不变。从受力角度 来看，刚结点可以承受和传递弯矩，因而在刚 架中弯矩是主要内力。
§3-3 静定平面刚架
然后先由A.B支座开始 作弯矩图.
4m
2m
5m
5、对称性的利用
对称结构在对称荷载作用下，反力和内力都呈对称分布；对 称结构在反对称荷载作用下，反力和内力都呈反对称分布。
m
m
m
h
q ↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
ql2/8
ql2/8
ql2/8
h
l/2
l/2
静定刚架的 M图正误判别
利用上述内力图与荷载、支承和联结之间的对应关系，可在绘制内力图时减 少错误，提高效率。
如静定刚架仅绘制其弯矩图，并不需要求出全部反力， 只需求出与杆轴线垂直的反力。
分段 定点 连线
1、悬臂刚架 可以不求反力，由自由端开始直接求作内力图。
例题1: 作图示结构弯矩图
Pl / 2
Pl / 2
l/2
练习: 作弯矩图
PP
P l/2
l
Pl / 2
l
2Pl
l
l
Pl
Pl
l
Pl
2、简支型刚架弯矩图 简支型刚架绘制弯矩图时，往往只须求出一个与 杆件垂直的支座反力，然后由支座作起。
QDC=－6kN NDC=0 MDC=24kN.m（下拉）
8 6
－ ＋
Q kN
6
＋
N kN
§3-3 静定刚架受力分析
一. 刚架的受力特点 二. 刚架的支座反力计算 三. 刚架指定截面内力计算 四.刚架的内力分析及内力图的绘制 五.刚架弯矩图的绘制
做法:拆成单个杆,求出杆两端的弯矩,按与单跨 梁相同的方法画弯矩图.
l
2
解:
Fx 0, X B P() l P
MB
Fy 0,YA 0
2
A
MB 0, MB pl / 2(顺时针转) YA
l
例4: 求图示刚架的约束力 q
C
A
ql
l
l
l
B
A
ql
ql
C
XC
YC
N AB
解:
Fy 0,YC 0
MA
0, ql
l 2
XC
l
0,
XC
1 2
ql()
1 Fx 0, NAB XC 2 ql()
P
2
() P () 2
X B Fx 0, X A P XB 0
2
2
YB
2)取右部分为隔离体
C YC
B
XB
l
P
MC
0,
XB
l
YB
2
0,
XB
P4
()
Fy Fx
0,YC YB 0, X B
0,YC YB XC 0, XC
P
4
() 2 ()
YB
例2: 求图示刚架的支座反力和约束力
三. 刚架指定截面内力计算
四.刚架的内力分析及内力图的绘制
①分段：根据荷载不连续点、结点分段。 ②定形：根据每段内的荷载情况，定出内力图的形状。 ③求值：由截面法或内力算式，求出各控制截面的内力值。
④画图：画M图时，将两端弯矩竖标画在受拉侧，连以直 线，再叠加上横向荷载产生的简支梁的弯矩图。Q，N 图要标
4kN/m
2kN
1.5m
A 7kN M
C 1.5m
B
Q BC
C
Q CB
QCB 5.8kN, QBC 7kN
B
2kN
A
4m
B
2.75kN
C
Q
B
N BA
5.8kN
7.5kN A
N
N CB
C
2kN
N BC
YC
NBA 7.25kN
NBC 2.75kN
C NCB 6.85kN
6.85kN
B
YB
XB
M
A
0,
M
A
P
l 2
YB
l
0,
M
A
1 2
Pl(顺时针转)
例3: 求图示刚架的反力和约束力 P
B
l
XB YB
P
C
E
XB
B
CE
YB
N CD
N EF
XA
A
l
D
F
l
l
YA
3)取BCE为隔离体
解:1)取BCE为隔离体
Fx 0, XB 0
2)取整体为隔离体
MC 0, P l YB l NEF l 0,
P MA
XC
解:1)取整体为隔离体
C
l
2
Fx 0, XB P()
A
l 2
YA
C
B
l
2
YB
l
2
2)取右部分为隔离体
X B
MC
0,
X
B
l
YB
l 2
0,YB
2P()
Fy 0,YC YB 0,YC YB 2P()
Fx 0, XB XC 0, XC P()
3)取整体为隔离体
YC
Fy 0,YA YB 0,YA YB P()
ql l
5ql / 4
q
l
l 5ql / 4 l
5ql2 / 4
ql2
3ql2 / 2
5ql2 / 4
例四: 作图示结构弯矩图
3M / 4
M /2
M
M /4 M /2
M / 4l
2ql 2 ql2
0
ql
l
l
l
ql2 / 2 ql
3、三铰刚架弯矩图
1 反力计算 0
1） 整体对左底铰建立矩平衡方程
a