主成分分析原理及详解电子版本

合集下载

主成分分析原理介绍PPT课件

➢问题的提出
有n个地理样本，每个样本共有p个变量，构成一个n×p阶的地理数据矩阵
x11 x12 x1 p
X
x
21
x22
x2
p
x
n1
xn2
x np
当p较大时，在p维空间中考察问题比较麻烦。
1. 主成分分析的基本原理
为了克服这一困难，就需要进行降维处理，即用较少的几个综合指标来代替原来的指标，而且使这些综合指标能尽量多地反映原来指标所表示的信息，同时他们之间又是彼此独立的。
z1 l11x1 l12x2 l1p xp
z2 l21x1 l22x2 l2p xp
zm lm1x1 lm2 x2 lmpxp
z1，z2，…，zm分别称为原变量指标x1，x2，…， xP的第一，第二，…，第m主成分。
➢推广到p维空间：
由此可见，主成分分析的主要任务就是确定原变量xj（j=1，2，…，p）在诸主成分zi（i=1， 2，...，m）上的系数lij。
必须考虑许多指标，这些指标能从不同的侧面反映所研究的对象的特征，但指标过多，会增加分析的复杂性，原始变量能不能减少为有代表性的少数几个新变量，用它来代表原来的指标？
1. 主成分分析的基本原理
主成分分析就是寻找用较少的新变量代替原来较多的旧变量，而且使新变量尽可能多地保留原来较多信息的方法。
zz1 2csoisn cso insxx1 2Ux
U是正交矩阵，即有
UU1,UUE
zl，z2除了可以对包含在xl，x2中的信息起着浓缩作用之外，还具有不相关的性质，这就使得在研究复杂的问题时避免了信息重叠所带来的虚假性。二维平面上的各点的方差大部分都归结在 zl轴上，而z2轴上的方差很小。zl和z2称为原始变量x1和x2的综合变量。

主成分分析法PPT课件

6
3.832E-16
2.017E-15 100.000
7
3.351E-16
1.764E-15 100.000
8
2.595E-16
1.366E-15 100.000
000
10
1.683E-16
8.860E-16 100.000
11
7.026E-17
3.698E-16 100.000
• 因子分析是要利用少数几个公共因子去解释较多个要观测变量中存在的复杂关系,它不是对原始变量的重新组合,而是对原始变量进行分解,分解为公共因子与特殊因子两部分. 公共因子是由所有变量共同具有的少数几个因子；特殊因子是每个原始变量独自具有的因子.
3、应用中的优缺点比较
• 主成分分析优点：首先它利用降维技术用少数几个综合变量来代替原始多个变量,这些综合变量集中了原始变量的大部分信息.其次它通过计算综合主成分函数得分,对客观经济现象进行科学评价.再次它在应用上侧重于信息贡献影响力综合评价. 缺点：当主成分的因子负荷的符号有正有负时,综合评价函数意义就不明确.命名清晰性低.
12
2.750E-19
1.447E-18 100.000
13
-7.503E-17 -3.949E-16 100.000
14
-1.291E-16 -6.794E-16 100.000
15
-1.742E-16 -9.168E-16 100.000
16
-2.417E-16 -1.272E-15 100.000
四、主成分分析法的步骤
1数据归一化处理：数据标准化Z 2计算相关系数矩阵R： 3计算特征值；
特征值越大说明重要程度越大.
4计算主成分贡献率及方差的累计贡献率； 5计算主成分载荷与特征向量：

《主成分分析》课件

投资组合优化
通过主成分分析，找到不同投资标的之间的关系，优化投资组合的效益。
主成分分析在市场调研中的应用
1
偏好分析
通过主成分分析，找到消费者的特征
产品定位
2
和偏好，精准制定相应的市场策略。
通过主成分分析，找到消费者对产品
的不同评价因素，合理确定产品的定
位。
3
竞品分析
通过主成分分析，评估竞争对手的优势和劣势，为企业提供相应的决策依据。
慕课在线学习行业民调
通过主成分分析，找到影响学习者的因素，比如课程质量、师资水平、学习难度等方面。
降水量分析和气候变化
通过主成分分析和时间序列分析，找到影响气象预测和气候变化的主要原因和特征。
食品市场调查分析
通过主成分分析，找到影响消费者购买健康食品的因素，制定相应的市场营销策略。
标准化数据
通过Z-score标准化数据，去除不同变量的量纲影响。
提取主成分
根据协方差矩阵的特征值和特征向量，提取主成分。
如何选择主成分数量
特征值
根据特征值大于1的原则，选择主成分的数量。
累计贡献率
当累计贡献率到达一定阈值后，选择主成分数量。
图形分析
通过屏幕图和贡献率图来选择主成分数量。
主成分分析的优点和缺点
应用
主成分分析适用于变量之间没有明确因果关系的情况下，提取它们的主成分；而因子分析需要基于理论或先验知识，对变量进行选择和定量，发现变量间的潜在因子。
主成分分析在金融分析中的应用
股票指数分析
通过主成分分析，找到影响整个股票市场的因素，快速判断股票市场的健康状况。
信用卡违约风险评估
通过主成分分析，找到导致信用卡违约的因素，提高信用卡贷款的质量。

PCA-主成分分析的原理及解释

PCA-主成分分析的原理及解释主成分分析（principal component analysis ，PCA ）PCA 利⽤正交变换将线性相关变量表⽰的观测数据转换为少数⼏个由线性⽆关变量表⽰的数据。

线性⽆关的变量称为主成分，其个数通常⼩于原始变量的个数，所以属于⽆监督学习中的降维⽅法。

⼀、PCA 的解释—最⼤⽅差理论由上图可以看到，x 1和x 2两个变量之间具有线性相关性。

已知其中⼀个变量x 1的取值时，对另⼀个变量x 2的预测不是完全随机的，反之亦然。

为了减少这种相关性，我们对坐标系进⾏旋转变换（正交变换），将数据投影到新坐标系的坐标轴上，那如何选择坐标系呢？我们将数据在每⼀轴上的坐标值的平⽅表⽰相应变量的⽅差，并且这个坐标轴上的⽅差是最⼤的（在所有可能的新坐标系中）。

找到第⼀坐标轴后，然后选择与第⼀坐标轴正交，且⽅差次之的⽅向作为第⼆坐标轴，如上图(b)。

主成分分析旨在选取正交变换中⽅差最⼤的变量，那为什么⽅差最⼤，变量之间的相关性越⼩？答：数据在某个⽅向上的轴的⽅差越⼤，那么说明数据分布得更为分散，相关性越⼩。

在信号处理领域，信号具有较⼤的⽅差，噪声具有较⼩的⽅差，信号与噪声之⽐称为信噪⽐。

⽽信噪⽐越⼤，意味着数据的质量越好。

回忆⼀下，线性代数的相关内容？正交矩阵：满⾜条件A T A =E 或者AA T =E 的n 阶⽅阵称为正交矩阵。

判定正交矩阵的充分必要条件为：A 的列（⾏）向量都是单位向量，且两两正交。

设A 为正交矩阵，则线性变换y =Ax 称为正交变换。

正交变换保证向量的内积和长度不变，具有保形性。

回忆⼀下，协⽅差和相关系数的知识？协⽅差和相关系数都可以⽤来描述两个分量之间相互关系的数字特征。

协⽅差Cov (X ,Y )=E [(X −EX )(Y −EY )]。

相关系数ρXY =Cov (X ,Y )√DX ⋅√DY。

相关系数（协⽅差）变⼤，X 与Y 的线性相关程度就变⼤。

推导：Processing math: 100%矩阵和向量求导的相关公式：：。

主成分分析(PCA)数学原理详解

主成分分析（PCA）数学原理详解PCA的数学原理可以分为以下几个步骤：1.数据中心化PCA首先将原始数据进行中心化处理，即将每个特征的均值减去相应特征的平均值，这是因为PCA假设数据围绕着原点分布，中心化可以消除数据的平移影响。

2.协方差矩阵的计算PCA的关键是计算数据的协方差矩阵。

协方差矩阵描述了不同特征之间的相关性。

对于一个n维的数据集，协方差矩阵是一个n×n的矩阵，其中第(i,j)个元素表示第i个特征和第j个特征的协方差。

协方差矩阵的计算公式如下：$C = \frac{1}{n-1} \sum _{i=1}^{n}(X_i - \overline{X})(X_i - \overline{X})^T$其中，X是一个n×m的矩阵，表示n个样本的m个特征，$\overline{X}$ 表示特征均值向量协方差矩阵是一个对称矩阵，通过对协方差矩阵的特征值分解，可以得到特征值和特征向量。

3.特征值和特征向量的计算对协方差矩阵进行特征值分解，可以得到特征值和对应的特征向量。

特征值代表了数据在特征向量方向上的方差，而特征向量表示了数据的主成分方向。

设协方差矩阵为C，有如下特征值方程：$Cv = \lambda v$其中，v是特征向量，λ是特征值。

将特征值按从大到小的顺序排序，选择前k个最大的特征向量，即主成分，作为新的基向量。

这些特征向量构成了一个新的坐标系，用于表示原始数据的新坐标。

4.数据转换将原始数据投影到新的坐标系上，得到降维后的数据。

设原始数据集为X，新的基向量为V（由前k个特征向量组成），降维后的数据集为Y，可以通过如下公式计算：$Y=XV$其中，X是一个n×m的矩阵，表示n个样本的m个特征，V是一个m×k的矩阵，Y是一个n×k的矩阵。

通过PCA降维，可以获得降维后的数据集Y，它是一个n×k的矩阵。

总结：主成分分析（PCA）通过计算数据的协方差矩阵，得到协方差矩阵的特征值和特征向量。

(完整版)主成分分析法的步骤和原理.doc

（一）主成分分析法的基本思想主成分分析（ Principal Component Analysis ）是利用降的思想，将多个量化少数几个合量（即主成分），其中每个主成分都是原始量的性合，各主成分之互不相关，从而些主成分能反映始量的大部分信息，且所含的信息互不重叠。

[2]采用种方法可以克服一的指不能真反映公司的情况的缺点，引多方面的指，但又将复因素几个主成分，使得复得以化，同得到更科学、准确的信息。

（二）主成分分析法代数模型假用 p 个量来描述研究象，分用 X 1， X 2⋯X p 来表示， p 个量构成的 p 随机向量 X=(X 1，X 2⋯X p )t 。

随机向量 X 的均 μ，方差矩 Σ。

X 行性化，考原始量的性合：Z 1=μ11 X 1+μ12 X 2+⋯μ 1p X p Z 2=μ21 X 1+μ22 X 2+⋯μ 2p X p ⋯⋯ ⋯⋯ ⋯⋯Z p =μp1 X 1+μp2 X 2+⋯μ pp X p主成分是不相关的性合 Z 1，Z 2⋯⋯ Z p ，并且 Z 1 是 X 1，X 2 ⋯X p 的性合中方差最大者， Z 2 是与 Z 1 不相关的性合中方差最大者，⋯， Z p 是与 Z 1， Z 2 ⋯⋯ Z p-1 都不相关的性合中方差最大者。

（三）主成分分析法基本步第一步：估本数 n ，取的指数 p ，由估本的原始数据可得矩 X=(x ij ) m ×p ，其中 x ij 表示第 i 家上市公司的第 j 指数据。

第二步：了消除各指之在量化和数量上的差，指数据行准化，得到准化矩（系自生成）。

第三步：根据准化数据矩建立方差矩 R ，是反映准化后的数据之相关关系密切程度的指，越大，明有必要数据行主成分分析。

(完整版)主成分分析法的原理应用及计算步骤...doc

............
zm
lm1x1
lm 2x2
lmpxp
系数lij的确定原：
①zi与zj（i≠j；i，j=1，2，⋯，m）相互无关；
②z1是x1，x2，⋯，xP的一切性合中方差最大者，z2是与z1不相关的x1，x2，⋯，xP的所有性合中方差最大者；zm是与z1，z2，⋯⋯，zm－1都不相关的x1，x2，⋯xP，的所有性合中方差最大者。
标准化后的变量的协方差矩阵就是原变量的相关系数矩阵。也就是说，在标准化前后变量的相关系数矩阵不变化。
根据以上论述，为消除量纲的影响，将变量标准化后再计算其协方差矩阵，就是直接计算原变量的相关系数矩阵，所以主成分分析的实际常用计算步骤是：☆计算相关系数矩阵
☆求出相关系数矩阵的特征值i及相应的正交化单位特征向量ai
与原量Xj之的相互
关程度：
( ,
xi
)
(
, 1,2,
L
, ;
1,2,
L
, )
P Zk
kakii
p k
m
三、主成分分析法的计算步骤
主成分分析的具体步如下：
（1）算方差矩
算品数据的方差矩：Σ=(sij)pp，其中
1
n
i，j=1，2，⋯，p
sij
( xki
xi)( xkj
xj)
n
1k 1
解特征方程
I
R 0
，常用雅可比法（Jacobi）求出特征，并使其按大
小序排列1
2
p
0；
p
1,2, L , p)
2
e ( i
分求出于特征
i
的特征向量

(完整版)主成分分析法的步骤和原理

（一）主成分分析法的基本思想主成分分析（Principal Component Analysis ）是利用降维的思想，将多个变量转化为少数几个综合变量（即主成分），其中每个主成分都是原始变量的线性组合，各主成分之间互不相关，从而这些主成分能够反映始变量的绝大部分信息，且所含的信息互不重叠。

[2]采用这种方法可以克服单一的财务指标不能真实反映公司的财务情况的缺点，引进多方面的财务指标，但又将复杂因素归结为几个主成分，使得复杂问题得以简化，同时得到更为科学、准确的财务信息。

（二）主成分分析法代数模型假设用p 个变量来描述研究对象，分别用X 1，X 2…X p 来表示，这p 个变量构成的p 维随机向量为X=(X 1，X 2…X p )t 。

设随机向量X 的均值为μ，协方差矩阵为Σ。

对X 进行线性变化，考虑原始变量的线性组合： Z 1=μ11X 1+μ12X 2+…μ1p X pZ 2=μ21X 1+μ22X 2+…μ2p X p…… …… ……Z p =μp1X 1+μp2X 2+…μpp X p主成分是不相关的线性组合Z 1，Z 2……Z p ，并且Z 1是X 1，X 2…X p 的线性组合中方差最大者，Z 2是与Z 1不相关的线性组合中方差最大者，…，Z p 是与Z 1，Z 2 ……Z p-1都不相关的线性组合中方差最大者。

（三）主成分分析法基本步骤第一步：设估计样本数为n ，选取的财务指标数为p ，则由估计样本的原始数据可得矩阵X=(x ij )m ×p ，其中x ij 表示第i 家上市公司的第j 项财务指标数据。

第二步：为了消除各项财务指标之间在量纲化和数量级上的差别，对指标数据进行标准化，得到标准化矩阵（系统自动生成）。

第三步：根据标准化数据矩阵建立协方差矩阵R ，是反映标准化后的数据之间相关关系密切程度的统计指标，值越大，说明有必要对数据进行主成分分析。

其中，R ij （i ，j=1，2，…，p ）为原始变量X i 与X j 的相关系数。

主成分分析完整版

主成分分析完整版一、主成分分析的原理1.标准化数据：先对原始数据进行标准化处理，以确保不同变量的尺度一致。

2.计算协方差矩阵：对标准化后的数据计算协方差矩阵，矩阵中的元素表示不同变量之间的相关性。

3.计算特征值和特征向量：对协方差矩阵进行特征值分解，得到特征值和对应的特征向量。

4.选择主成分：按照特征值的大小选择最重要的k个特征值和它们对应的特征向量，称之为主成分。

5.数据转换：将原始数据投影到选取的主成分上，得到降维后的数据。

二、主成分分析的方法1.方差解释比：主成分分析通过特征值展示了每个主成分的重要性。

方差解释比是计算每个主成分的方差所占总方差的比例。

选择解释总方差的比例较高的主成分，可以保留更多的信息。

2.累计方差解释比：累计方差解释比是计算前n个主成分的方差解释比之和。

通过选择累计方差解释比较高的主成分，可以保留更多的原始数据信息。

3.维度选择：主成分分析可以通过选择合适的主成分数来实现数据降维。

通过观察特征值的大小和累计方差解释比，可以选择合适的主成分数。

三、主成分分析的应用1.数据可视化：主成分分析可以将高维度的数据转换为低维度的数据，从而方便可视化。

通过在二维或三维空间中绘制主成分，可以更好地理解数据的分布和关系。

2.特征提取：主成分分析可以提取数据中的最重要特征，从而减少数据维度并保留主要信息。

特征提取可以在分类、聚类等问题中提高算法的效果。

3.数据压缩：主成分分析可以将高维度的数据压缩为低维度的数据，从而节省存储空间和计算时间。

压缩后的数据可以用于后续分析和处理。

4.噪音过滤：主成分分析通过保留数据中最重要的特征，可以减少噪音的影响。

通过滤波后的数据可以提高实验测量的准确性和稳定性。

综上所述，主成分分析是一种强大的数据降维技术，可以在许多领域中应用。

熟悉主成分分析的原理、方法和应用，对于理解数据和提升数据分析的能力具有重要意义。

第11章(1)主成分分析 ppt课件

假定有n个样本，每个样本共有p个变量，构成一个n×p阶的地理数据矩阵
x11
X
x21
xn1
x12 x1 p
x22
x2
p
xn 2
xnp
（1）
ppt课件
20
当p较大时，在p维空间中考察问题比较麻烦。为了克服这一困难，就需要进行降维处理，即用较少的几个综合指标代替原来较多的变量指标，而且使这些较少的综合指标既能尽量多地反映原来较多变量指标所反映的信息，同时它们之间又是彼此独立的。
2 141.503 1.684 24.301 1752.35 452.26 32.314
14.464 1.455 27.066
3 100.695 1.067 65.601 1181.54 270.12 18.266
0.162
7.474 12.489
4 143.739 1.336 33.205 1436.12 354.26 17.486
k1
k1
ppt课件
（4）
25
（二）计算特征值与特征向量：
① 解特征方程 I R 0 ，常用雅可比法（Jacobi）求出特征值，并使其按大小顺序排
列 12 ,p0；
②
分别求出对应于特征值
的特征向量
i
ei(i1 ,2, ,p)，要求 e i =1，即
，
p
其中 e表i2j 示1向量的e i第j j个分量。e i
ppt课件
23
从以上的分析可以看出，主成分分析的
实质就是确定原来变量xj（j=1，2 ，…， p）在诸主成分zi（i=1，2，…，m）上的荷载 lij （ i=1，2，…，m； j=1，2 ，…，p）。
从数学上容易知道，从数学上可以证明，

主成分分析原理及详解

主成分分析原理及详解PCA的原理如下：1.数据的协方差矩阵：首先计算原始数据的协方差矩阵。

协方差矩阵是一个对称矩阵，描述了不同维度之间的相关性。

如果两个维度具有正相关性，协方差为正数；如果两个维度具有负相关性，协方差为负数；如果两个维度之间没有相关性，协方差为0。

2.特征值分解：对协方差矩阵进行特征值分解，得到特征值和特征向量。

特征值表示该特征向量对应的主成分的方差大小。

特征向量表示数据中每个维度的贡献程度，也即主成分的方向。

3.选择主成分：根据特征值的大小选择前k个主成分，使其对应的特征值之和占总特征值之和的比例达到预定阈值。

这些主成分对应的特征向量构成了数据的新基。

4.数据映射：将原始数据投影到新基上，得到降维后的数据。

投影的方法是将数据点沿着每个主成分的方向上的坐标相加。

PCA的步骤如下：1.数据预处理：对原始数据进行预处理，包括去除均值、缩放数据等。

去除均值是为了消除数据的绝对大小对PCA结果的影响；缩放数据是为了消除数据在不同维度上的量纲差异。

2.计算协方差矩阵：根据预处理后的数据计算协方差矩阵。

3.特征值分解：对协方差矩阵进行特征值分解，得到特征值和特征向量。

4.选择主成分：根据特征值的大小选择前k个主成分，其中k是满足预设的方差百分比的最小主成分数量。

5.数据映射：将原始数据投影到前k个主成分上，得到降维后的数据。

PCA的优缺点如下：2.缺点：PCA是一种线性方法，无法处理非线性数据；PCA对异常值敏感，可能会导致降维后的数据失去重要信息；PCA的解释性较差，不易解释主成分和原始数据之间的关系。

综上所述，PCA是一种常用的数据降维方法，通过保留数据的最大方差，将高维数据映射到低维空间。

它的原理基于协方差矩阵的特征值分解，步骤包括数据预处理、计算协方差矩阵、特征值分解、选择主成分和数据映射。

PCA具有很多优点，如无监督学习、重要特征提取和数据压缩等，但也存在一些缺点，如无法处理非线性数据和对异常值敏感。

主成分分析法的原理和步骤

主成分分析法的原理和步骤主成分分析（Principal Component Analysis，简称PCA）是一种常用的多元统计分析方法，它通过线性变换将高维数据转换为低维数据，从而实现降维和数据可视化。

PCA的基本思想是通过选取少数几个主成分，将原始变量的方差最大化，以便保留大部分的样本信息。

下面我将详细介绍PCA的原理和步骤。

一、主成分分析的原理主成分分析的核心原理是将n维的数据通过线性变换转换为k维数据（k<n），这k维数据是原始数据最具有代表性的几个维度。

主成分是原始数据在新坐标系中的方向，其方向与样本散布区域最大的方向一致，而且不同主成分之间互不相关。

也就是说，新的坐标系是通过原始数据的协方差矩阵的特征值分解得到的。

具体来说，假设我们有一个m个样本、维度为n的数据集X，其中每个样本为一个n维向量，可以表示为X=\left ( x_{1},x_{2},...,x_{m} \right )。

我们的目标是找到一组正交的基变量（即主成分）U=\left ( u_{1},u_{2},...,u_{n} \right )，使得原始数据集在这组基变量上的投影方差最大。

通过对协方差矩阵的特征值分解，可以得到主成分对应的特征向量，也就是新的基变量。

二、主成分分析的步骤主成分分析的具体步骤如下：1. 标准化数据：对于每一维度的数据，将其减去均值，然后除以标准差，从而使得数据具有零均值和单位方差。

标准化数据是为了消除不同维度上的量纲差异，确保各维度对结果的影响是相等的。

2. 计算协方差矩阵：对标准化后的数据集X，计算其协方差矩阵C。

协方差矩阵的元素c_{ij}表示第i维度与第j维度之间的协方差，可以用以下公式表示：\[c_{ij}=\frac{\sum_{k=1}^{m}\left ( x_{ik}-\bar{X_{i}} \right )\left( x_{jk}-\bar{X_{j}} \right )}{m-1}\]其中，\bar{X_{i}}表示第i维度的平均值。

主成分分析的原理与方法

主成分分析的原理与方法主成分分析（Principal Component Analysis, PCA）是一种常用的数据降维和特征提取方法。

它通过提取数据中的主要特征，将高维数据转化为低维表示，从而简化数据分析和可视化过程。

本文将介绍主成分分析的原理与方法，并对其在实际应用中的一些注意事项进行探讨。

一、主成分分析的原理主成分分析的基本原理是通过线性变换将原始数据映射到一组新的正交变量上，这些新的变量被称为主成分。

主成分的生成过程为以下几个步骤：1. 数据标准化在进行主成分分析之前，首先要对原始数据进行标准化处理，确保数据在不同维度上具有相同的尺度，避免因为尺度不同而影响主成分的提取。

2. 计算协方差矩阵计算标准化后的数据的协方差矩阵，协方差矩阵反映了不同维度之间的相关性。

通过协方差矩阵，可以确定数据中的主要方向和相关性强弱。

3. 特征值分解对协方差矩阵进行特征值分解，得到特征值和对应的特征向量。

特征值表示了每个主成分所解释的方差比例，而特征向量则是对应于特征值的主成分。

4. 选择主成分根据特征值的大小，选择前k个最大的特征值对应的特征向量作为主成分，其中k是用户预设的维度。

二、主成分分析的方法主成分分析一般可以通过以下几个步骤来完成：1. 数据准备首先，需要准备原始数据集，并对数据进行标准化处理，使得数据在不同维度上具有相同的尺度。

2. 计算协方差矩阵根据标准化后的数据，计算协方差矩阵，可以使用公式进行计算，也可以使用相关的库函数进行计算。

3. 特征值分解对协方差矩阵进行特征值分解，可以得到特征值和对应的特征向量。

4. 选择主成分根据特征值的大小，选择前k个最大的特征值对应的特征向量作为主成分。

5. 数据转换将原始数据通过选取的主成分进行线性变换，得到在主成分上的投影值，即将高维数据转化为低维表示。

三、注意事项与应用场景在进行主成分分析时，需要注意以下几个事项：1. 数据的线性关系主成分分析假设数据具有线性关系，如果数据之间的关系是非线性的，主成分分析可能无法提取到有效的信息。

主成分分析方法PPT课件

X
x21
x22
x2
p
xn1
xn 2
xnp
❖ 当p较大时，在p维空间中考察问题比较麻烦。为了克服这一困难，就需要进行降维处理. 要求：较少的几个综合指标尽量多地反映原来较多变量指标所反映的信息，同时它们之间又是彼此独立的
例，成绩数据
❖ 100个学生的数学、物理、化学、语文、历史、英语的成绩如下表（部分）。
p
lk2j 1, (k 1,2,, m)
j 1
Rlk lk (R E)lk 0
计算主成分贡献率及累计贡献率
▲贡献率:
k
p
i
(k 1,2,, p)
i 1
▲累计贡献率:
k
p
j1 j / i1 i
一般取累计贡献率达85—95%的特征值 1, 2 ,, m 所对应的第一、第二、…、第m（m≤p）个主成分
6
6
样方
1
物种X1 1
物种X2 5
2 3 4 5 6 总和 2 0 2 -4 -1 0 2 1 0 -4 -4 0
种X2
X2
12
10
8
6
4
2
0
0
1
2
3
4
5
6
7
种X1
6 5 4 3 2 1 0 -5 -4 -3 -2 -1-1 0 1 2 3 4 5 6 -2 -3 -4 -5
X1
中心化后的原始数据矩阵
X
1 5
2 2
0 1
2 0
4 4
1 4
❖ 把坐标轴X1、 X2刚性地旋转一个角度，得
到图中新坐标
轴Y1和Y2
X2
6

主成分分析(PCA)原理详解_精品

主成分分析（PCA）原理详解_精品
PCA的基本思想是将原始数据通过线性变换，转化为一组新的互相独
立的变量，这些新变量是原始数据中的线性组合，且保留了原始数据的最
大方差。

这意味着通过选择保留方差较大的线性组合，可以有效减少数据
的维度，同时尽量保留数据的有用信息。

具体来说，PCA的实现过程如下：
1.数据标准化：首先，要对原始数据进行标准化处理，保证每个特征
的均值为0，方差为1、这是因为PCA是基于方差最大化的，如果特征的
尺度差异较大，会导致方差较大的特征主导整个PCA过程，而忽略了方差
较小但是有用的特征。

2.计算协方差矩阵：计算标准化后的数据的协方差矩阵，其中协方差
矩阵的第i行第j列表示第i个和第j个特征之间的协方差。

3.计算特征值和特征向量：对协方差矩阵进行特征值分解，得到特征
值和特征向量。

特征向量是协方差矩阵的特征值对应的单位长度向量。

4.选择主成分：根据特征值的大小，选择前k个特征向量作为主成分，这些主成分对应的特征值表示了数据中的主要信息。

5.数据转换：将原始数据乘以选取的特征向量构成的变换矩阵，实现
数据的降维。

转换后的数据保留了原始数据的主要信息。

需要注意的是，PCA只能对线性关系进行降维，对非线性关系的数据
效果不好。

此时可以使用核主成分分析（Kernel PCA）来处理非线性关系
的数据。

总结起来，PCA通过将原始数据进行线性变换，得到一组新的互相独立的变量，以降低数据的维度和特征之间的相关性。

它能够在保留数据主要信息的同时，减少数据的冗余和噪音，提高数据分析和建模的效果。

【2024版】主成分分析PPT课件

协方差矩阵的对角线上的元素之和等于特征根之和。
三、精度分析
1）贡献率：第i个主成分的方差在全部方差中所占
比重
i
p
i 1
i
，称为贡献率
，反映了原来P个指标多大
的信息，有多大的综合能力。
2）累积贡献率：前k个主成分共有多大的综合能力，用这k个主成分的方差和在全部方差中所占比重
k
p
i i
i1
主成分分析试图在力保数据信息丢失最少的原则下，对这种多变量的截面数据表进行最佳综合简化，也就是说，对高维变量空间进行降维处理。
很显然，识辨系统在一个低维空间要比在一个高维空间容易得多。
在力求数据信息丢失最少的原则下，对高维的变量空间降维，即研究指标体系的少数几个线性组合，并且这几个线性组合所构成的综合指标将尽可能多地保留原来指标变异方面的信息。这些综合指标就称为主成分。要讨论的问题是：
四、原始变量与主成分之间的相关系数
Fj u1 j x1 u2 j x2 upj xp j 1,2,, m, m p
F UX UF X
x1 u11 u12 L u1p F1
x2
M
u21 M
u22 M
L
u2
p
F2
M M
x
p
u p1
up2
L
u
pp
Fp
Cov(xi , Fj ) Cov(ui1F1 ui2F2 L uipFp , Fj ) uij j
u11 u12 u1p
U
(u1
,,
up
)
u21
u22
u2
p
u p1
up2
u
pp

《主成分分析法》课件

目的
主成分分析法的目的是减少数据的维度，同时保留数据中的主要信息，以便更好地理解和分析数据。
历史与发展
1901年
由英国统计学家Karl Pearson提出主成分的概念。
1933年
美国统计学家Harold Hotelling将主成分分析法应用于心理学和教育学领域。
20世纪70年代
随着计算机技术的发展，主成分分析法在各个领域得到广泛应用。
04
主成分分析法的步骤
数据标准化
总结词
消除量纲和数量级对分析的影响
详细描述
在进行主成分分析之前，需要对数据进行标准化处理，即将各指标的均值调整为0，标准差调整为1，以消除不同量纲和数量级对分析的影响。

计算相关系数矩阵
总结词
衡量变量间的相关性
VS
详细描述
通过计算原变量之间的相关系数矩阵，可以了解各变量之间的相关性。相关系数矩阵中的元素表示各指标之间的相关系数，用于衡量变量间的线性关系。
详细描述
市场细分是主成分分析法在市场营销领域中的重要应用。通过对市场数据进行主成分分析，可以提取出影响市场需求的共同因素，进而将市场划分为不同的子市场。这种分析方法有助于企业识别不同子市场的需求特点、消费行为和竞争状况，为制定针对性的营销策略提供依据。
实例二：客户分类
要点一
总结词
利用主成分分析法对客户进行分类，有助于企业更好地了解客户群体特征，提高客户满意度和忠诚度。
01
数学模型
主成分分析通过线性变换将原始变量转换为彼此独立的主成分，这种变换是线性的。
变换矩阵
02
03
特征向量
线性变换需要一个变换矩阵，该矩阵由原始变量和主成分之间的系数构成。