第六章常微分方程初值问题的数值解法习题课

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数值分析常微分方程数值解法

数值分析常微分方程数值解法
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第8页/共105页
➢ 数值积分方法(Euler公式)
设将方程 y=f (x, y)的两端从 xn 到xn+1 求积分, 得
y( xn1) y( xn )
xn1 f ( x, y( x))dx :
xn
xn1 F ( x)dx
xn
用不同的数值积分方法近似上式右端积分, 可以得到计算 y(xn+1)的不同的差分格 式.
h2 2
y''( )
Rn1
:
y( xn1)
yn1
h2 2
y''( )
h2 2
y''( xn ) O(h3 ).
局部截断误差主项
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第20页/共105页
➢ 向后Euler法的局部截断误差
向后Euler法的计算公式
yn1 yn hf ( xn1, yn1 ), n 0, 1, 2,
定义其局部截断误差为
y 计算 的n递1 推公式,此类计算格式统称为差分格式.
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第4页/共105页
数值求解一阶常微分方程初值问题
y' f ( x, y), a x b,
y(a)
y0
难点: 如何离散 y ?
➢ 常见离散方法
差商近似导数 数值积分方法 Taylor展开方法
4
第5页/共105页
➢ 差商近似导数(Euler公式)
(0 x 1)
y(0) 1.
解 计算公式为
yn1
yn
hfn
yn
h( yn
2xn ), yn
y0 1.0
n 0, 1, 2,
取步长h=0.1, 计算结果见下表
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微分方程数值解习题课

微分方程数值解习题课

微分方程初值问题数值解习题课一、应用向前欧拉法和改进欧拉法求由如下积分2xt y e dt -=⎰所确定的函数y 在点x =0.5,1.0,1.5的近似值。

解:该积分问题等价于常微分方程初值问题2'(0)0x y e y -⎧=⎪⎨=⎪⎩其中h=0.5。

其向前欧拉格式为2()100ih i i y y he y -+⎧=+⎪⎨=⎪⎩改进欧拉格式为22()2(1)10()20ih i h i i h y y ee y --++⎧=++⎪⎨⎪=⎩将两种计算格式所得结果列于下表二、应用4阶4步阿达姆斯显格式求解初值问题'1(0)1y x y y =-+⎧⎨=⎩00.6x ≤≤取步长h=0.1.解:4步显式法必须有4个起步值,0y 已知,其他3个123,,y y y 用4阶龙格库塔方法求出。

本题的信息有:步长h=0.1;结点0.1(0,1,,6)i x ih i i ===L ;0(,)1,(0)1f x y x y y y =-+==经典的4阶龙格库塔公式为11234(22)6i i hy y k k k k +=++++1(,)1i i i i k f x y x y ==-+121(,)0.05 1.0522i i i i hk hk f x y x y k =++=--+232(,)0.05 1.0522i i i i hk hk f x y x y k =++=--+433(,)0.1 1.1i i i i k f x h y hk x y k =++=--+算得1 1.0048375y =,2 1.0187309y =,3 1.0408184y =4阶4步阿达姆斯显格式1123(5559379)24i i i i i i hy y f f f f +---=+-+-1231(18.5 5.9 3.70.90.24 3.24)24i i i i i y y y y y i ---=+-+++由此算出4561.0703231, 1.1065356, 1.1488186y y y ===三、用Euler 方法求()'1,0101x y e y x x y =-++≤≤=问步长h 应该如何选取,才能保证算法的稳定性?解:本题(),1xf x y e y x =-++ (),0,01x y f x y e x λ'==-<≤≤本题的绝对稳定域为111x h he λ+=-<得02x he <<,故步长应满足02,00.736he h <<<<四、求梯形方法111[(,)(,)]2k k k k k k hy y f x y f x y +++=++的绝对稳定域。

数值分析习题(含答案)

数值分析习题(含答案)

第一章 绪论姓名 学号 班级习题主要考察点:有效数字的计算、计算方法的比较选择、误差和误差限的计算。

1 若误差限为5105.0-⨯,那么近似数0.003400有几位有效数字?(有效数字的计算) 解:2*103400.0-⨯=x ,325*10211021---⨯=⨯≤-x x 故具有3位有效数字。

2 14159.3=π具有4位有效数字的近似值是多少?(有效数字的计算) 解:10314159.0⨯= π,欲使其近似值*π具有4位有效数字,必需41*1021-⨯≤-ππ,3*310211021--⨯+≤≤⨯-πππ,即14209.314109.3*≤≤π即取(3.14109 , 3.14209)之间的任意数,都具有4位有效数字。

3 已知2031.1=a ,978.0=b 是经过四舍五入后得到的近似值,问b a +,b a ⨯有几位有效数字?(有效数字的计算)解:3*1021-⨯≤-aa ,2*1021-⨯≤-b b ,而1811.2=+b a ,1766.1=⨯b a 2123****102110211021)()(---⨯≤⨯+⨯≤-+-≤+-+b b a a b a b a故b a +至少具有2位有效数字。

2123*****10210065.01022031.1102978.0)()(---⨯≤=⨯+⨯≤-+-≤-b b a a a b b a ab 故b a ⨯至少具有2位有效数字。

4 设0>x ,x 的相对误差为δ,求x ln 的误差和相对误差?(误差的计算) 解:已知δ=-**xx x ,则误差为 δ=-=-***ln ln xx x x x则相对误差为******ln ln 1ln ln ln xxx x xxx x δ=-=-5测得某圆柱体高度h 的值为cm h 20*=,底面半径r 的值为cm r 5*=,已知cm h h 2.0||*≤-,cm r r 1.0||*≤-,求圆柱体体积h r v2π=的绝对误差限与相对误差限。

高等工程数学第六章习题及答案

高等工程数学第六章习题及答案

第6章 常微分方程数值解法 讨论一阶常微分方程初值问题(,),,()dyf x y a x bdx y a η⎧=≤≤⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ (6.1.1)的数值解法.数值解法可区分为两大类:(1) 单步法:此类方法在计算1n x + 上的近似值1y n + 时只用到了前一点n x 上的信息.如Euler 法,Runge-Kutta 法,Taylor 级数法就是这类方法的典型代表.(2) 多步法:此类方法在计算1yn +时,除了需要n x 点的信息外,还需要12,,n n x x -- ,等前面若干个点上的信息.线性多步法是这类方法的典型代表.离散化方法1. Taylor(台劳)展开方法2. 化导数为差商的方法3. 数值积分方法一、线性多步法基本思想:是利用前面若干个节点上()y x 及其一阶导数的近似值的线性组合来逼近下一个节点上()y x 的值. 1.一般公式的形式101',,1,,ppn in ii n i i i y a yh b y n p p +--==-=+=+∑∑其中i a ,i b 为待定常数,p 为非负整数.说明:(1)在某些特殊情形中允许任何i a 或i b 为零,但恒假设p a 和p b 不能同时全为零,此时称为1p +步法,它需要1p +个初始值01,,,.p y y y 当0p =时,定义了一类1步法,即称单步法.(2) 若10b -=,此时公式的右端都是已知的,能够直接计算出1n y +,故此时称为显式方法;若10b -≠,则公式的右端含有未知项111'(,),n n n y f x y +++=此时称其为隐式方法.2.逼近准则 准确成立:101()()'(),,1,.ppn in ii n i i i y x a y xh b y x n p p +--==-=+=+∑∑【定义 6.1】 如果对任意()r y x M =,某一线性多步法准确成立,而当()y x 为某一个1r +次多项式时,线性多步法不准确成立,则称此线性多步法是r 阶的. 注:(1)方法的阶越高,逼近效果越好. (2)1p +步法的最高阶可达 22r p =+. 3.线性多步法阶与系数的关系 局部截断误差101()()'(),,1,.ppn n in ii n i i i T y x a y xh b y x n p p +--==-=--=+∑∑()01()'()(),qq n n n q n T c y x c hy x c h y x =++++其中001011011,1[()],1{1[()()2,3,.!pi i p pi i i i p pq q q i i i i c a c i a b c i a i b q q ===--==-⎧=-⎪⎪⎪=--+⎪⎨⎪⎪⎪=--+-=⎪⎩∑∑∑∑∑【定理6.1】 线性多步法是r 阶的充分必要条件是0110,0r r C C C C +====≠称1r C +为误差常数.线性多步法是相容的:满足条件010C C ==,即0011,()1pi i ppiii i a i a b===-⎧=⎪⎪⎨⎪-+=⎪⎩∑∑∑4.线性多步法的构造方法 待定系数法:r 阶方法的系数,iia b 确定,可令010,r CC C ==== 即解下面方程得到1,0()1011()(),2,3,,01p a ii p pi a b i i i i p pq q i a q i q r i i i ⎧=∑⎪⎪=⎪⎪-+=∑∑⎪⎨==-⎪⎪⎪-⎪-+-=∑∑⎪==-⎩二、线性多步法的收敛性 记1(),pp p iii r ra rρ+-==-∑1().pi p ii r b rσ-=-=∑分别称为线性多步法的第一、第二特征多项式.()r ρ以及相应的线性多步法满足根条件:若()r ρ的所有根的模均不大于1,且模为1的根是单根。

常微分方程数值解法_OK

常微分方程数值解法_OK

y(xi )
O(h3)][yi
hf
(xi ,
yi )]
h2 2
y(xi ) O(h3 )
O(h2 )
欧拉法具有 1 阶精度。4
2. 隐式 Euler法
用向后差商公式代替导数项
y(xi1 ) h
y(xi )
y' (xi1 )
h 2
y' ' ( i
)
y(xi1 ) h
y(xi )
f (xi1, y(xi1 ))
i1 y(xi1 ) yi1 O(h3f)x ( x, y) f y ( x, y) f ( x, y) Step 1: 将 K2 在 ( xi , yi ) 点作 Taylor 展开
K2 f (xi ph, yi phK1)
f (xi , yi ) phfx (xi , yi ) phK1 f y (xi , yi ) O(h2 ) y(xi ) phy(xi ) O(h 2 )
f
(
xi
1
,
y(
xi
1
))]
h3 12
f
''( )
所以,有格式为:
yi1
yi
h[ f 2
(xi , yi )
f
(xi1, yi1 )]
上式称为梯形格式。
类似,可以算出梯形格式的误差估计式:
i1 O(h3 )
2阶的方法
梯形法是二阶、隐式单步的方法,要用迭代法求解。怎么求?
8
改进欧拉格式 /* modified Euler’s Formula */
xi1, yi h f ( xi , yi )
(i 0, ..., n 1)

哈尔滨工程大学工程算法课件06常微分方程的数值求解

哈尔滨工程大学工程算法课件06常微分方程的数值求解

欧拉法得: yn 1 yn hf xn , yn 因此,局部截断误差是 o h 2 。

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2 改进Euler法
2.1方法构造
dy f x, y ,对其从 xk 到 xk 1 进 在微分方程初值问题 dx 行定积分得:
y xk 1 y xk
yk 1 是未知,待求的,未知量在 f x, y 中这是
一个方程,如f是非线性或超越函数,此方程是无法直接解出来(要 依靠迭代法才能解出)。这类格式称为隐式格式。
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2.3 算例
y y x 例:用改进欧拉公式求解 , h 0.2 y 0 2 解: f x, y y x h yk 1 yk f xk , yk f xk 1 , yk 1 2 h h 1 2 y 2 x x y k 1 k 1 h k h k 1 1 2 2 可以从隐式格式中解出 yk 1 问题的精确解是 y x e x x 1
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精确解为: y x 2 x
2
可以看出误差随着计算在积累。
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1.4 Euler法的特点和误差
迭代格式 特点
1 单步方法:
yn 1 yn hf xn , yn n 0,1, 2,, N 1
2 显示格式: 3 局部截断误差为O h2
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第六章 常微分方程数值解
§6.0 引言
§6.1 欧拉方法 §6.2 龙格-库塔方法
§6.3 单步法的收敛性和稳定性
§6.4 线性多步法
1
§6.0 引言
1 主要考虑如下的一阶常微分方程初值问题 的求解:
dy f x, y dx y x0 y0

东南大学_数值分析_第六章_常微分方程数值解法

东南大学_数值分析_第六章_常微分方程数值解法

第六章 常微分方程数值解法——RK 4法、AB 4法******(学号) *****(姓名)上机题目要求见教材P307,23题。

一、算法原理题目要求采用RK 4法和AB 4法求解最简单的常微分方程初值问题(,),()y f x y a x by a η'=≤≤⎧⎨=⎩ (1)为求解式(1),采用离散化方法,就是寻求解)(x y 在区间],[b a 上的一系列点<<<<<n x x x x 321上的近似值 ,,,,21n y y y 。

记1(1,2,)i i i h x x i -=-=表示相邻两个节点的间距,称为步长。

求微分方程数值解的主要问题:(1) 如何将微分方程(,)y f x y '=离散化,并建立求其数值解的递推公式; (2) 递推公式的局部截断误差、数值数n y 与精确解)(n x y 的误差估计; (3) 递推公式的稳定性与收敛性. a) Runge-Kutta 方法基本思想:通过在1[,]i i x x +多预报几个点求斜率,并将其加权平均作为k *的近似值,以此构造更高精度的计算公式。

如果每步计算四次函数 的值,完全类似的,可以导出局部截断误差为)(5h O 的四阶Runge-Kutta 公式(RK 4):1123412132431(22),6(,),(,),221(,),22(,).n n n n n n n n n n y y k k k k k f x y h h k f x y k h k f x h y k k f x h y hk +⎧=++++⎪⎪=⎪⎪⎪=++⎨⎪⎪=++⎪⎪=++⎪⎩ (2)b) Adams 显式公式Runge-Kutta 方法是单步法,计算1+n y 时,只用到n y , 而已知信息1-n y 、2-n y 等没有被直接利用。

可以设想如果充分利用已知信息1-n y ,2-n y ,…来计算1+n y ,那么不但有可能提高精度,而且大大减少了计算量,这就是构造所谓线性多步法的基本思想。

第6章常微分方程初值问题的解法

第6章常微分方程初值问题的解法
yk 1ykh 2 k[f(xk,yk)f(xk 1,yk 1)]
ykh 2 k[ (ykx k 1 ) ( yk 1x k 1 1 )]
yk11 29 1yk1k05110
预估-校正Euler方法:
y k 1 0 .90 y k 5 0 .00 k 9 0 .1 5
20
Euler方法
xk
yk
yk y(xk)
0.0 1.000000
0.0
梯形方法
yk
yk y(xk)
1.000000
0.0

预估-校正方法
yk
yk y(xk)
1.000000
0.0
0.1 1.000000 0.2 1.010000
4.8×10-3 8.7×10-3
1.004762 1.018594
y(0) 1
其解析解为: y1xe-t2dt x[0,1] 0 很难得到其解析解
4
例如:
y=x+y , x[0,1]

y(0) 1
其解析解为 yx12ex
只有一些特殊类型的微分方程问题能够得到用解析表达式 表示的函数解,而大量的微分方程问题很难得到其解析解。
因此,只能依赖于数值方法去获得微分方程的数值解。
例如:
y=x+y , x[0,1]

y(0) 1
其解析解为:yx12ex
3
但是, 只有一些特殊类型的微分方程问题能够得到用解析 表达式表示的函数解,而大量的微分方程问题很难得到其解 析解。
因此,只能依赖于数值方法去获得微分方程的数值解。
例如:
y =e-x2 ,
x[0,1]
7.5×10-5 1.4×10-4

数值计算chapter6 常微分方程初值问题的数值解法

数值计算chapter6 常微分方程初值问题的数值解法

a = x0 < x1 < x 2 < L < x n = b
2
欧拉方法与改进欧拉方法 一、欧拉方法
对于 ∗ , 等分, 把 [a , b] n 等分,记分点为 b−a x i = a + ih h = , i = 0,1,2, L , n − 1 n
()
dy 由 = f ( x, y ), dx
y0 = 1 y1 = 0.1× 0 + 0.9 ×1 + 0.1 = 1 y2 = 0.1× 0.1 + 0.9×1 + 0.1 = 1.01 y3 = 0.1× 0.2 + 0.9 ×1.01 + 0.1 = 1.029 y4 = 0.1× 0.3 + 0.9 ×1.029 + 0.1 = 1.0561 y5 = 0.1× 0.4 + 0.9 ×1.0561 + 0.1 = 1.09049
(0 ) 先确定一个初始值 y i +1 , 然后再进行迭代计算
k+ k) yi(+1 1) = yi + hf xi +1 , yi(+1
(
)
( k = 0,1,2,L)
直至得到满足精度的近似解 y i +1 .
10
把显式欧拉公式与隐式欧拉公式相加,得 把显式欧拉公式与隐式欧拉公式相加,
h yi +1 = yi + [ f ( xi , yi ) + f ( xi +1 , yi +1 )] ( i = 0,1,2, L , n − 1) 2 梯形公式是一个二阶方法。 梯形公式是一个二阶方法。 上式称为梯形公式 可以证明, 梯形公式。 上式称为梯形公式。可以证明,

第六章_常微分方程初值问题的数值解法_习题课

第六章_常微分方程初值问题的数值解法_习题课

h2 h3 y ( x n ) y ( x n ) O(h 4 ) 2 6 而且 y ( x n ) f ( x n , y ( x n )) , y ( x n 1 ) f ( x n 1 , y ( x n 1 )) ,对 y ( x n 1 ) 也在 x n 处作 Talor 展开, y ( x n 1 ) y ( x n ) hy ( x n )
湖北民族学院理学院《数值计算方法》教学辅导材料
陈以平编写
h2 h3 y ( x n ) y ( x n ) O(h 4 ) 2 6 h h h2 h3 y ( x n ) y ( x n ) y ( x n ) y ( x n ) y ( x n ) O(h 4 ) 2 2 2 12 h3 y ( x n ) O(h 4 ) O(h 3 ) 12 h3 所以,梯形公式是 2 阶方法,其截断误差的主项是 y ( x n ) 。 12 y ( x n ) hy ( x n )
y k (0.9 0.1y k sin x k ) 0.1( y k 1 y k 1 sin x k 1 )
2
当 k=0,x0=1, y0=1 时,x1=1.2,有 y y (. . y sin x ) (. sin ) .
y f ( x, y ) 3.求解初值问题 欧拉法的局部截断误差是( y ( x ) y 改进欧拉法的局部截断误差是( ); 四阶龙格-库塔法的局部截断误差是( ). (A)O(h2) (B)O(h3) (C)O(h4) (D)O(h5)
4. 改进欧拉法的平均形式公式是( ) y p y k hf ( x k , y k ) y p y k hf ( x k , y k ) (B) y c y k hf ( x k , y p ) .(A) y c y k hf ( x k , y p ) y k ( y p y c ) y k ( y p y c ) y p y k hf ( x k , y k ) y p y k hf ( x k , y k ) (C) y c y k hf ( x k , y p ) (D) y c y k hf ( x k , y p ) y k h ( y p y c ) y k ( y p y c ) (D) 答案:

常微分方程初值问题的数值解法

常微分方程初值问题的数值解法

就得到初值问题(7.1),(7.2)的解y(t )的解析表达式。然而
在实际问题和科学研究中所遇到的微分方程往往很复
杂,很多情况下不可能求出它的解析解。有时侯即使
能求出解析解,也会由于很难从解析解中计算函数y(t )
的值而不实用。
例如,容易求出初值问题
y' 1 y cos t,0 t T
注意:这是“折
线法”而非“切
yN
线法”除第一个
点是曲线切线外,
其他点不是切线
而是折线(如右 图所示)。
y2 yy10
t0 a t1 t2
tN b x
§7.2.1 显式单步法的一般形式 显式单步法的一般形式是
yn1 yn h (tn , yn , h), n 0,1, , M 1 (7.2.4)
普希兹)条件。常数L称为函数f 在D0中的Lipschitz常数。
例1 函数f (t, y) t y 在区域D0 (t, y) | 1 t 2, 3 y 4
关于y满足Lipschitz条件,相应的Lipschitz常数可取为L 2
3 存在性定理 定理1 设函数f (t, y)在凸集D R2中有定义,若存在常数
(7.4)
若k 2,则数值解法(7.3)统称为多步法,或具体称 为k步法。
显示法、隐式法与截断误差 若在差分方程(7.3)中,ynk能表示为tn , yn, yn1, , ynk-1, h 的显函数,即
ynk G(tn , yn , yn1, , ynk-1, h), n 0,1, , M - k (7.5)

y0 yn1
Hale Waihona Puke y(t0 yn)

第六章 常微分方程解法

第六章 常微分方程解法
yn1 yn h ( xn , yn , h)
§6.1 概述
常微分方程数值解法所考虑的主要问 题有:
(1) 方法推导。即用什么样的途径来导出 递推格式; (2) 收敛性。即差分方程的解能否充分逼 近微分方程初值问题的解; (3) 误差传播。在递推过程中,每一步 都会产生截断误差和舍入误差,这个误 差是否对后续各步产生严重影响。
第六章 常微分方程的数值解法
§6.4 改进欧拉方法
(modified Euler’s method)
§6.4 改进欧拉方法
梯形方法比欧拉方法更精确,但是一 种隐式方法,求解方程计算量大。 实际计算中,迭代初始值yn+1可取欧拉 方程结果,迭代一次即可,这样的计算 公式叫改进欧拉法。
§6.4 改进欧拉方法
§6.1 概述 理论做了系统阐述。在代数数论领域,他引进了相 应的符号表示法及其计算法则,建立起被称为“李 普希兹代数”的超复数系。在微分几何方面,他自 1869年起对黎曼关于n维流形的度量结构的工作做 出进一步阐述和推广,开创了微分不变量理论的研 究,因此被认为是协变微分的奠基人之一。他的工 作后来被里奇有效地用于张量分析。
§6.1 概述
本章我们将学习一阶常微分方程的初 值问题的数值解:
dy f ( x, y ) dx y ( x0 ) y0 (1) (2)
一般情况下,方程(1)有无穷多个解, 式(2)是确定解的初始条件。
§6.1 概述
定义: 如果一元函数y(x)对一切 a x b 满足 (1) ( x, y( x)) 平面区域D
计算方法 (力学系本科生)
第六章 常微分方程 的数值解法 (Integration of ordinary differential equations)

计算方法 第6章 常微分方程数值解

计算方法 第6章 常微分方程数值解

已知Euler格式 yn1 yn hf ( xn , yn )
h2 y( xn1 ) yn1 2 y''( xn )
即Euler格式具有一阶精度
如果令
y( xn1 ) y( xn1 ) 2h

y'( xn )
f ( xn , yn )
并假定 y( xn1 ) yn1, y( xn ) yn
常微分方程数值解
常微分方程的数值解法
§1 引 言 §2 欧拉方法 §3 龙格-库塔方法
2
§1 引 言
在工程和科学技术的实际问题中,常需要解常微 分方程。但常微分方程组中往往只有少数较简单和典 型的常微分方程(例如线性常系数常微分方程等)可 求出其解析解。对于变系数常微分方程的解析求解就 比较困难,而一般的非线性常微分方程就更不用说了。 在大多数情况下,常微分方程只能用近似法求解。这 种近似解法可分为两大类:一类是近似解析法,如级 数解法、逐次逼近法等;另一类则是数值解法,它给 出方程在一些离散点上的近似解。
yn
2
xn yn

令 h 0.1 将 x0 0, y0 1 代入Euler格式
步进计算结果见P106表5.1
第五章:常微分方程数值解
Euler值
y 1 2x
第五章:常微分方程数值解
Euler格式的误差分析
pn1
事实上Euler格式的每一步都存在误差,为了方便讨论y算( x)

d2x
dt 2 x(t
0
c
m )
x x
0
0 (t

t) 0

x(t ) x
0
0
5

第六章常微分方程的数值解法

第六章常微分方程的数值解法

第六章常微分方程的数值解法第六章常微分方程的数值解法在自然科学研究和工程技术领域中,常常会遇到常微分方程的求解问题。

传统的数学分析方法仅能给出一些简单的、常系数的、经典的线性方程的解析表达式,不能处理复杂的、变系数的、非线性方程,对于这些方面的问题,只能求诸于近似解法和数值解法。

而且在许多实际问题中,确确实实并不总是需要精确的解析解,往往只需获得近似的解或者解在若干个点上的数值即可。

在高等数学课程中介绍过的级数解法和逐步逼近法,能够给出解的近似表达式,这一类方法称为近似解法。

还有一类方法是通过计算机来求解微分方程的数值解,给出解在一些离散点上的近似值,这一类方法称作为数值方法。

本章主要介绍常微分方程初值问题的数值解法,包括Euler 方法、Runge-Kutta 方法、线性多步法以及微分方程组与高阶微分方程的数值解法。

同时,对于求解常微分方程的边值问题中比较常用的打靶法与有限差分法作了一个简单的介绍。

§1 基本概念1.1 常微分方程初值问题的一般提法常微分方程初值问题的一般提法是求解满足如下条件的函数,,b x a x y ≤≤)(=<<=α)(),(a y bx a y x f dxdy, (1.1) 其中),(y x f 是已知函数,α是给定的数值。

通常假定上面所给出的函数),(y x f 在给定的区域},),{(+∞<≤≤=yb x a y x D 上面满足如下条件:(1) 函数),(y x f 在区域D 上面连续;(2) 函数),(y x f 在区域D 上关于变量y 满足Lipschitz(李普希茨)条件:212121,),(),(y y b x a y y L y x f y x f ?≤≤?≤?,, (1.2)其中常数L 称为Lipschitz(李普希茨)常数。

由常微分方程的基本理论可以知道,假如(1.1)中的),(y x f 满足上面两个条件,则常微分方程初值问题(1.1)对于任意给定的初始值α都存在着唯一的解,,b x a x y ≤≤)(并且该唯一解在区间[a,b]上是连续可微的。

微分方程的数值解法

微分方程的数值解法

4 微分方程的数值解法 4.2 常微分方程边值问题的数值解
方程离散:
Gx 和 Rx 在各节点的值表示为 将各函数 Px 、 Pi Pa ih 、 Gi Ga ih 和 Ri Ra ih 。原方程中各导 数用差商代替有
dy பைடு நூலகம் x h y x h dx 2h
求解思路:区间离散、方程离散 区间离散: 将a到b整个范围内分成n个等距区间,令 h b a / n , 则第i个区间的终点为 xi a ihi 0,1,2,, n ,在该点的y 值可表示为 yi ya ihi 0,1,2,, n 。 求解代数方程组
式中yj,i为第j个变量yj(x)在节点xi处的近似解; n为因变量和方程的个数。
4 微分方程的数值解法 4.2 常微分方程边值问题的数值解 ——二阶常微分方程的有限差分法
二阶常微分方程的边值问题: d 2 y dy 2 P x G x y R x dx dx ya A, yb B
4 微分方程的数值解
4.1.4 常微分方程组初值问题的数值解 一个自变量,m个因变量组成的一个常微分方程组
f1 x, y1 , y2 , , ym y1 y f x, y , y , , y 2 2 1 2 m f m x, y1 , y2 , , ym ym y x y 2 0 20 y m x0 y m 0
4 微分方程的数值解法 基本概念
微分方程的初值问题: 求解微分方程时,必须有一些已知条件。若所给 的已知条件为某特定点上各阶因变量的值,此类问题 为初值问题。
dCA kCA dt t 0, C A C A0
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O(h2 )
所以,隐式
Euler
方法也是
1
阶方法,其截断误差的主项是
h2 2
y(xn ) 。
8.对梯形公式推导局部截断误差及其主项,并指出该方法是几阶方法. 解:其局部截断为
Tn1

y(xn1 )
y(xn )
h[f 2
(xn ,
y(xn ))
f
(xn1 ,
y(xn1 ))]
当 k=2,x3=0.6 时,已知 x2=0.4,y2=0.614 4,有
y(0.6)y3=0.2×0.614 4×(4-0.4×0.4613)=0.800 0
10. 用 欧 拉 预 报 - 校 正 公 式 求 解 初 值 问 题
y

y()
y

y
sin
x


,取步长
h=0.2, 计 算
。 。 。 。
3.求解初值问题

y y
(
x
f )
(x, y) y
欧拉法的局部截断误差是(
);
改进欧拉法的局部截断误差是( );
四阶龙格-库塔法的局部截断误差是( ).
(A)O(h2) (B)O(h3) (C)O(h4) (D)O(h5)
4. 改进欧拉法的平均形式公式是( )

y(xn1 )
y(xn ) hy(xn )
h2 2
y(xn ) O(h3 )
而且 y(xn1 ) f (xn1, y(xn1 )) ,也在 xn 处作 Talor 展开,有
y(xn1 ) y(xn ) hy(xn ) O(h2 )
所以,因此其局部截断为

k2 ]
,整理后
y(xi1) y(xi ) O(h3 )
陈以平编写
13. (1)取步长为 0.1,试用欧拉公式求解常微分方程初值问题
y x y 1

y(0)

1
在 x=0.4 处的近似值(计算过程保留 3 位小数);
(2) 试用泰勒展式估计改进欧拉公式的局部截断误差。
解:(1)欧拉公式为: yi1 yi h(xi yi 1) ,计算结果为:

y(xn ) hy(xn )
h2 2
y(xn )
h3 6
y(xn ) O(h4 )

y(xn )
h 2
y(xn )
h 2
y(
xn
)

h2 2
y
(
x
n
)

h3 12
y(xn ) O(h4 )

h3 12
y(xn )

O(h4 )

O(h3 )
Tn1 y(xn1 ) y(xn ) hf (xn , y(xn )) 对 y(xn1 ) 在 xn 处作 Talor 展开,有
y(xn1 )
y(xn ) hy(xn )
h2 2
y(xn ) O(h3 )
湖北民族学院理学院《数值计算方法》教学辅导材料
陈以平编写
.(A)

y y
p c

yk yk
hf hf
(xk , (xk ,
yk yp
) )
yk


(yp

yc )

(B)

yp yc

yk yk
hf hf
(xk , yk (xk , y p
) )
yk


(yp


y
f
(x, y) ,
y
f
' x
(
x,
y)
yf
y y(. . y sin x) . (. .sin.) .
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y(.) y . (. . . sin.) .(. . sin.)
yk (1 h) (1 h h 2 )

hxk 1

h2 xk


y
k
1

1 2[yp

yc ]
1 [h(1 2
h)xk

hxk1 ] (1
h
h2 2 )yk
当 k=0 时,x0=0,y0=1,x1=0.1,有
y1

1 2
[0.1
(1

0.1)

0

O(h2 )
所以,显式 Euler 方法是 1 阶方法,其截断误差的主项是 h2 2
y(xn ) 。
7.对隐式 Euler 公式推导局部截断误差及其主项,并指出该方法是几阶方法。 解:其局部截断为
Tn1 y(xn1 ) y(xn ) hf (xn1, y(xn1 )) 对 y(xn1 ) 在 xn 处作 Talor 展开,有

y(xn1 )

y(xn ) hy(xn )
h2 2
y(xn ) O(h3 )
所以,因此其局部截断为
Tn1

y(xn1 )
y(xn )
h[f 2
(xn ,
y(xn ))
f
(xn1 ,
y(xn1 ))]
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Tn1 y(xn1 ) y(xn ) hf (xn1, y(xn1 ))

y(xn ) hy(xn )
h2 2
y(xn ) O(h3 )
y(xn ) hy(xn ) h2 y(xn ) O(h3 )
h2 2
y(xn ) O(h3 )
0.2 yk (4 xk yk )(k 0,1,2) 当 k=0,x1=0.2 时,已知 x0=0,y0=1,有
y(0.2)y1=0.2×1(4-0×1)=0.800 0
当 k=1,x2=0.4 时,已知 x1=0.2, y1=0.8,有
y(0.4)y2=0.2×0.8×(4-0.2×0.8)=0.614 4
预报值 校正值
y k 1

yk
h( yk

y
2 k
sin
xk
)
yk (0.8 0.2 yk sin xk )
y k 1

yk

h 2
[(
y
k

y
2 k
sin
xk
) ( y k 1

2
y k 1
sin
xk 1 )]

yk
(0.9
0.1y k
y(0.2),y(0.4)的近似值,计算过程保留 5 位小数.l
解 步长 h=0.2, 此时 f(x,y)=-y-y2sinx.
欧拉预报-校正公式为:
有迭代公式:
预报值 校正值
y k1 yk hf (xk , yk )
yk 1

yk

h 2
[
f
(
xk
,
y
k
)

f (xk1 , y k1 )]
k1 f (xi , yi ) y(xi )
k2 f (xi h, yi hk1) f (xi , yi ) hfx(xi , yi ) hk1 f y(xi , yi )

1 [h2 2!
f

xx
(
xi
,
yi
)

2h
2k1
f

xy
(
xi
,
yi
)

h2
k12
而且 y(xn ) f (xn , y(xn )) ,因此其局部截断为
Tn1 y(xn1 ) y(xn ) hf (xn , y(xn ))

y(xn ) hy(xn )
h2 2
y(xn ) O(h3 )
y(xn ) hy(xn )

h2 2
y(xn ) O(h3 )
f

yy
(
xi
,
yi
)]

O(
h3
)
陈以平编写
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又 y(xi ) fx(xi , yi ) f y(xi , yi ) y(xi ) fx(xi , yi ) f y(xi , yi )k1
代入
yi 1

yi

h 2
[k1
yc )

(C)

yp yc

yk yk
hf hf
(xk , yk ) (xk , y p
)
yk

h
(yp

yc
)
答案:(D)

(D)

yp yc

yk yk

hf hf
(xk , yk ) (xk , y p
)
yk
所以,梯形公式是
2
阶方法,其截断误差的主项是
h3 12
y(xn )

9.用欧拉法解初值问题
y

y()
y xyBiblioteka (x
.)
,取步长
h=0.2.计算过程保留
4
位小数.
解: h=0.2, f(x)=-y-xy2.首先建立欧拉迭代公式
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