一道高中数学竞赛 题的五种解法

一道高中数学竞赛题的五种解法
乌海市第十中学 王祥
题目：已知实数x 、y 满足122=++y xy x ，求y x xy 22+-的取值范围。

解法一：因为221xy y x +=+
所以22113()xy xy x y =-=-+且（x-y ）
1
-13xy ≤≤可以得出
又因为2212xy xy y x -=-+ 所以1
1-233xy ≤≤
因此22xy y x -+的取值范围为1
[,3]3。

解法二：因为222xy y x ≥+
所以2213xy xy y x +=≥+ 即1
3xy ≤----------⑴
又因为210()xy x y =-≥+
所以1xy ≥-------------------⑵
由（1）（2）得1
-13xy ≤≤
因为2212xy xy y x -=-+ 所以1
1-233xy ≤≤
因此22xy y x -+的取值范围为1
[,3]3。

解法三：设2222,1m xy y xy y x x -=+=++，
以
上两式相加得2212m
y x +=+--------------------------------（1）
两式相减得21xy m =--------------------------------（2）
所以（1）+（2）得232()m
x y -=+
（1）-（2）得
2312()m x y -=- 又因为
2302()m x y -=≥+且23102()m x y -=≥- 所以
133m ≤≤ 因此2
2xy y x -+的取值范围为1[,3]3。

解法四：设
22xy m y x -+=-----------------------------（1） 221xy y x +=+---------------------------------（2）
由（1）+（2）得2212
m y x +=+ （2）-（1）得21xy m =- 因为
222xy y x +≥ 所以
112m m +≥- 即133
m ≤≤ 因此22xy y x -+的取值范围为1[,3]3。

解法五：设
22xy m y x -+=-----------------------------（1） 2
21xy y x +=+---------------------------------（2） 由（1）+（2）得2212
m y x +=
+-----------------------（3） （2）-（1）得12
m xy -= ------------------------------（4） 因为（3）+2（4）得232()m x y -=+
所以x y +=-----------------------------------（5）
由（4）（5）知设x 、y 是方程
2t ±102m -+=的两个根。

所以23144()022m m ac b --∆=
-=-≥ 即13
m ≥
又因为
230
2 ()m x y-
=≥+
所以3
m≤
即1
3 3
m
≤≤
因此
2
2xy y
x-+的取值范围为1[,3]
3。