一道高中数学竞赛 题的五种解法

一道高中数学竞赛题的五种解法

乌海市第十中学 王祥

题目：已知实数x 、y 满足122=++y xy x ，求y x xy 22+-的取值范围。 解法一：因为221xy y x +=+

所以22113()xy xy x y =-=-+且（x-y ）

1

-13xy ≤≤可以得出

又因为2212xy xy y x -=-+ 所以1

1-233xy ≤≤

因此22xy y x -+的取值范围为1

[,3]3。

解法二：因为222xy y x ≥+

所以2213xy xy y x +=≥+ 即1

3xy ≤----------⑴

又因为210()xy x y =-≥+

所以1xy ≥-------------------⑵

由（1）（2）得1

-13xy ≤≤

因为2212xy xy y x -=-+ 所以1

1-233xy ≤≤

因此22xy y x -+的取值范围为1

[,3]3。

解法三：设2222,1m xy y xy y x x -=+=++，

以

上两式相加得2212m

y x +=+--------------------------------（1）

两式相减得21xy m =--------------------------------（2）

所以（1）+（2）得232()m

x y -=+

（1）-（2）得

2312()m x y -=- 又因为

2302()m x y -=≥+且23102()m x y -=≥- 所以

133m ≤≤ 因此2

2xy y x -+的取值范围为1[,3]3。 解法四：设

22xy m y x -+=-----------------------------（1） 221xy y x +=+---------------------------------（2）

由（1）+（2）得2212

m y x +=+ （2）-（1）得21xy m =- 因为

222xy y x +≥ 所以

112m m +≥- 即133

m ≤≤ 因此22xy y x -+的取值范围为1[,3]3

。 解法五：设

22xy m y x -+=-----------------------------（1） 2

21xy y x +=+---------------------------------（2） 由（1）+（2）得2212

m y x +=

+-----------------------（3） （2）-（1）得12

m xy -= ------------------------------（4） 因为（3）+2（4）得232()m x y -=+

所以x y +=-----------------------------------（5）

由（4）（5）知设x 、y 是方程

2t ±102m -+=的两个根。 所以23144()022m m ac b --∆=

-=-≥ 即13

m ≥

又因为

230

2 ()m x y-

=≥+

所以3

m≤

即1

3 3

m

≤≤

因此

2

2xy y

x-+的取值范围为1[,3]

3

。