2 晶体衍射和倒格子
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正格子基矢 ： a1 a 2 a3 倒格子基矢 ： b b2 b3 1
b1
a1
a3
a2
用倒易空间基矢 b b b3 构造一个倒易晶胞， 倒格子： 1 2
晶胞在空间重 复即为倒易点阵——倒格子 倒格矢： G v1b1 v 2 b2 v3b3 (其中v1 v2 v3为任意整数) 由倒格矢 G 确定的空间即为倒格子空间
AN
固体物理
电子1201 电子1202 电子1203
2013-2014年度第二学期 光学与电子信息学院 郑志平
A N
1 晶体结构 2 晶体衍射 3 晶体结合
目录
AN
4 声子Ⅰ 5 声子Ⅱ 6 自由电子费米气 7 能带论
A N2
AN
2
本章内容提要
2.1 倒格子
晶体衍射
Crystal Diffraction
3
满足 G T 2πm G v1b1 v 2 b2 v 3 b3
2 2 2 S (3) 倒格子原胞大小：
(4) 倒格矢 G hkl h b1 kb2 lb3 垂直于晶面族（hkl）
(5) (hkl)晶面族面间距dhkl与倒格矢 G hkl h b1 kb2 lb3 满足:
数值等于 a 的倒数的2 倍。
2014‐05‐28
16
2.1 倒格子 (2)二维：
Reciprocal Lattice
正方点阵：
y
正格基矢
ˆ a1 ax ˆ a 2 ay
2 ˆ b1 x a
a
0 y a
a
x
倒格基矢
2 ˆ b2 y a
0
2 1
NOTE: b1 a 2 , b a NOTE
d hkl OA n 0 2 a 1 hb1 kb 2 lb 3 h G hkl G hkl
14
2014‐05‐28
2.1 倒格子
Reciprocal Lattice
小结 小结：
(1)
(2) 正、倒格矢 正 倒格矢 ：
基矢 a i b j 2πδ，正、倒格子互为倒格子 基矢： 正 倒格子互为倒格子 ij T u1 a1 u 2 a2 u3 a3
2014‐05‐28
13
2.1 倒格子
Reciprocal Lattice
(5) (hkl)晶面族面间距dhkl与倒格矢 G hkl h b1 k b2 lb3
d hkl
满足 满足：
2π G hkl
G hkl 证明： (hkl)晶面族单位法矢 n0 G hkl
6
2.1 倒格子
Reciprocal Lattice
（2）三维晶格： ）三维晶格
n( r ) n( r T )
T u1 a1 u 2 a 2 u 3 a3
将周期函数展开 为傅立叶级数
n(r ) nG exp(iG r )
G
G 是 n( r ) 在倒空间的映像，满足傅立叶变换的关系
2.2 晶体衍射 2 3 结构因子和形状因子 2.3
2014‐05‐28
3
2.1 倒格子
Reciprocal Lattice
研究X射线衍射过程
倒格子概念的引入
处理周期性结构中的 波动过程
2014‐05‐28
4
2.1 倒格子
Reciprocal Lattice
1 倒格子定义 1.倒格子定义 （1）一维晶格： 考察晶格的局域物理量如原子的电子密度n(x)：
p
取复共轭
* *
1a n p dxn( x) exp(i 2px / a) a0
n( x) n p exp(i 2px / a)
p
n( x) n p exp( i 2px / a )
p
2014‐05‐28
n p n p
*
由：n( x)
*
n( x) 实函数
2 3
a1 b1 ca1 (a2 a3 ) a1 b1 2
NOTE： 正、倒基矢量纲不同，不能直接比较大小 正 倒基矢量纲不同 不能直接比较大小
2014‐05‐28
正、倒基矢有方向上的关系，但属不同的空间
方向上 大小上 10
一个倒格基矢与正格子中的一族晶面对应
Reciprocal Lattice face-centered cubic lattice 面心立方fcc f ： 倒格子 正格子
倒格子仍是简单立方 2 晶格常数为 a
19
2.1 倒格子
Reciprocal Lattice
体心立方bcc b ：body-centered cubic lattice 倒格子 正格子
晶体结构： 体心立方 面心立方
2 ˆz ˆ y b1 a 2 ˆ ˆx z b2 a 2 ˆ y ˆ x b3 a
G T 2πm
a i b j 2πδij
(mZ)
证：G T v1b1 v 2 b 2 v 3 b 3 u 1a 1 u 2 a 2 u 3 a 3
思考题：
• 若
G T 2πm
2014‐05‐28
G T 2πm
za 3
ˆy ˆ) b1 (x a b2 2 2 y ˆ a
斜格子： 斜格子
a2
0
a1
x
倒格原胞体积：
2 4 2 b1 b2 S 2 a ˆ b12 y ˆ 方法二：构造倒格基矢： b1 b11 x 解出系数 ˆb y ˆ b b x
2014‐05‐28
倒格子依然为正方点阵
17
2 x a
2.1 倒格子
Reciprocal Lattice
a 2 夹角为45，长度均为a，求倒格基矢 若基矢 a 1 ， y 方法一：作单位矢量 a3 ，建立坐标系：
正格基矢： ˆ a1 ax 2a ˆ y ˆ) (x a 2 2 ˆ a3 z 倒格基矢： 2
倒格子初基原胞体积: b1 b2 b3
2014‐05‐28
9
2.1 倒格子
由定义可知 b ( a a ) 由定义可知： 2 3
1
Reciprocal Lattice
b1 c(a 2 a3 )
待定系数
1 c 2 a1 (a2 a3 ) a 2 a3 b1 2 a1 (a2 a3 ) a3 a1 取模 b 2 2 a1 (a2 a3 ) a1 a2 2 b3 2 b1 a1 (a2 a3 ) d a a
正格基矢：
思考: 在一般情况下，a1 a2 a3 不相互正交，此时 bi ai ?
2014‐05‐28
NOTE: a1 a 2 a3 相互正交，则 bi 与ai 恰为倒数关系
2 ˆ b1 a x 2 ˆ y b2 a b 2 z ˆ 3 a
2014‐05‐28
p
p
2 k p a
5
2.1 倒格子
Reciprocal Lattice 构成 倒格点集合 倒格子
2 k p G p ( p 0,1,) 倒格点： 倒格点 a
4 a
正格子与倒格子都是描述晶体的周期性的
2 a
0
2 a
4 a
n( x) n p exp(i 2px / a )
一个具有正格子周期性的物理量，在正格子中的表述与 在倒格子中的表述之间满足傅立叶变换的关系
2014‐05‐28
1 nG n(r ) exp(iG r )dr Vc cell
7
2.1 倒格子
Reciprocal Lattice
n(r ) nG exp(iG r )
基矢：
a ˆ y ˆz ˆ a1 x 2 a ˆy ˆz ˆ a 2 x 2 a ˆ y ˆz ˆ a x 2
3
原胞体积 原胞体积： 惯用晶胞的边长:
2014‐05‐28
a Ω 2
a
3
2π Ω 2 a
3
4 a
20
2.1 倒格子
S
2 a a
d hkl
2014‐05‐28
2π
G hkl
15
2.1 倒格子
Reciprocal Lattice
3 倒格子举例 3.倒格子举例 (1)一维 (1)一维：
a ax
2π b x a
基矢
正格子 倒格子
0 0
a
2a
x x
2/a 4/a
对一维晶格，倒格基矢 对 维晶格，倒格基矢 b 与正格基矢 a 方向相同，
2.1 倒格子
Reciprocal Lattice
2 倒格子性质 2.倒格子性质
(1)基矢 a i b j 2πδij
2 , i j ai b j 0, i j
正、倒格子互为倒格子
（2）倒格矢G和正格矢T 倒格 格 的标积是2 标积是 的整数倍： 数倍
(4)倒格矢 G hkl hb1 k b2 l b3 与正格子的晶面族(hkl) 满 足 G hkl (hkl) 足：
n
(h,k,l h k l为互质整数)
a3
C B
a2
a1
Fra Baidu bibliotek
a3
o
a2
a1
A
（hkl）晶面族中离原点最近的晶面ABC
在坐标轴上的截距分别为1/h, 1/k, 1/l
即 b1 b2 b3 分别为 a1 a 2 a3 的倒矢量 有相同量纲 属同 空间 G 是 k 空间的特定矢量 G 与波矢 k 有相同量纲，属同一空间，
2014‐05‐28
8
2.1 倒格子
Reciprocal Lattice
2 , i j ai b j 0, i j
a 0 x x+a
由晶格的周期性：n( x ) n( x a ) n( x T )
将周期函数展开 为傅立叶级数
p
平移矢量 T ma mZ 平移矢量：
n( x ) n 0 [C p cos2px / a S p sin 2px / a ]
n( x) n p exp( (i 2px / a) n p exp( (ikx ik )
3
2π Ω a 2 a 3 a 3 a1 a1 a 2 Ω
a bc b a c c a b
3 2
2014‐05‐28
二维、一维同理
12
2.1 倒格子
Reciprocal Lattice
2014‐05‐28
ai b j 2 ij
2
21
22
b11b12b21b22
18
2.1 倒格子 ( )三维 (3)三维：
Reciprocal Lattice
简单立方sc ： simple cubic lattice
倒格基矢：
ˆ a1 ax ˆ ay a 2 ˆ a3 az
G
n( r ) 找到一组矢量 ，使得 G 在 T 作用下周期性不变
n(r ) 的周期性要求：G T 2m
令：
G v1b1 v 2 b2 v 3 b3 v1 , v 2 , v3 Z
2 , i j ai b j 0, i j
成立，一个为正 成立， 个为正
11
格矢，则另一个必为倒格矢吗？
2.1 倒格子
Reciprocal Lattice
( ) 正 (3) 正、倒格子原胞大小满足： 倒格子原胞大小满足 2 3 2 2 二维 S 三维 S 三维 证：
2 一维 a a
Ω b1 b 2 b 3
b1
a1
a3
a2
用倒易空间基矢 b b b3 构造一个倒易晶胞， 倒格子： 1 2
晶胞在空间重 复即为倒易点阵——倒格子 倒格矢： G v1b1 v 2 b2 v3b3 (其中v1 v2 v3为任意整数) 由倒格矢 G 确定的空间即为倒格子空间
AN
固体物理
电子1201 电子1202 电子1203
2013-2014年度第二学期 光学与电子信息学院 郑志平
A N
1 晶体结构 2 晶体衍射 3 晶体结合
目录
AN
4 声子Ⅰ 5 声子Ⅱ 6 自由电子费米气 7 能带论
A N2
AN
2
本章内容提要
2.1 倒格子
晶体衍射
Crystal Diffraction
3
满足 G T 2πm G v1b1 v 2 b2 v 3 b3
2 2 2 S (3) 倒格子原胞大小：
(4) 倒格矢 G hkl h b1 kb2 lb3 垂直于晶面族（hkl）
(5) (hkl)晶面族面间距dhkl与倒格矢 G hkl h b1 kb2 lb3 满足:
数值等于 a 的倒数的2 倍。
2014‐05‐28
16
2.1 倒格子 (2)二维：
Reciprocal Lattice
正方点阵：
y
正格基矢
ˆ a1 ax ˆ a 2 ay
2 ˆ b1 x a
a
0 y a
a
x
倒格基矢
2 ˆ b2 y a
0
2 1
NOTE: b1 a 2 , b a NOTE
d hkl OA n 0 2 a 1 hb1 kb 2 lb 3 h G hkl G hkl
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2014‐05‐28
2.1 倒格子
Reciprocal Lattice
小结 小结：
(1)
(2) 正、倒格矢 正 倒格矢 ：
基矢 a i b j 2πδ，正、倒格子互为倒格子 基矢： 正 倒格子互为倒格子 ij T u1 a1 u 2 a2 u3 a3
2014‐05‐28
13
2.1 倒格子
Reciprocal Lattice
(5) (hkl)晶面族面间距dhkl与倒格矢 G hkl h b1 k b2 lb3
d hkl
满足 满足：
2π G hkl
G hkl 证明： (hkl)晶面族单位法矢 n0 G hkl
6
2.1 倒格子
Reciprocal Lattice
（2）三维晶格： ）三维晶格
n( r ) n( r T )
T u1 a1 u 2 a 2 u 3 a3
将周期函数展开 为傅立叶级数
n(r ) nG exp(iG r )
G
G 是 n( r ) 在倒空间的映像，满足傅立叶变换的关系
2.2 晶体衍射 2 3 结构因子和形状因子 2.3
2014‐05‐28
3
2.1 倒格子
Reciprocal Lattice
研究X射线衍射过程
倒格子概念的引入
处理周期性结构中的 波动过程
2014‐05‐28
4
2.1 倒格子
Reciprocal Lattice
1 倒格子定义 1.倒格子定义 （1）一维晶格： 考察晶格的局域物理量如原子的电子密度n(x)：
p
取复共轭
* *
1a n p dxn( x) exp(i 2px / a) a0
n( x) n p exp(i 2px / a)
p
n( x) n p exp( i 2px / a )
p
2014‐05‐28
n p n p
*
由：n( x)
*
n( x) 实函数
2 3
a1 b1 ca1 (a2 a3 ) a1 b1 2
NOTE： 正、倒基矢量纲不同，不能直接比较大小 正 倒基矢量纲不同 不能直接比较大小
2014‐05‐28
正、倒基矢有方向上的关系，但属不同的空间
方向上 大小上 10
一个倒格基矢与正格子中的一族晶面对应
Reciprocal Lattice face-centered cubic lattice 面心立方fcc f ： 倒格子 正格子
倒格子仍是简单立方 2 晶格常数为 a
19
2.1 倒格子
Reciprocal Lattice
体心立方bcc b ：body-centered cubic lattice 倒格子 正格子
晶体结构： 体心立方 面心立方
2 ˆz ˆ y b1 a 2 ˆ ˆx z b2 a 2 ˆ y ˆ x b3 a
G T 2πm
a i b j 2πδij
(mZ)
证：G T v1b1 v 2 b 2 v 3 b 3 u 1a 1 u 2 a 2 u 3 a 3
思考题：
• 若
G T 2πm
2014‐05‐28
G T 2πm
za 3
ˆy ˆ) b1 (x a b2 2 2 y ˆ a
斜格子： 斜格子
a2
0
a1
x
倒格原胞体积：
2 4 2 b1 b2 S 2 a ˆ b12 y ˆ 方法二：构造倒格基矢： b1 b11 x 解出系数 ˆb y ˆ b b x
2014‐05‐28
倒格子依然为正方点阵
17
2 x a
2.1 倒格子
Reciprocal Lattice
a 2 夹角为45，长度均为a，求倒格基矢 若基矢 a 1 ， y 方法一：作单位矢量 a3 ，建立坐标系：
正格基矢： ˆ a1 ax 2a ˆ y ˆ) (x a 2 2 ˆ a3 z 倒格基矢： 2
倒格子初基原胞体积: b1 b2 b3
2014‐05‐28
9
2.1 倒格子
由定义可知 b ( a a ) 由定义可知： 2 3
1
Reciprocal Lattice
b1 c(a 2 a3 )
待定系数
1 c 2 a1 (a2 a3 ) a 2 a3 b1 2 a1 (a2 a3 ) a3 a1 取模 b 2 2 a1 (a2 a3 ) a1 a2 2 b3 2 b1 a1 (a2 a3 ) d a a
正格基矢：
思考: 在一般情况下，a1 a2 a3 不相互正交，此时 bi ai ?
2014‐05‐28
NOTE: a1 a 2 a3 相互正交，则 bi 与ai 恰为倒数关系
2 ˆ b1 a x 2 ˆ y b2 a b 2 z ˆ 3 a
2014‐05‐28
p
p
2 k p a
5
2.1 倒格子
Reciprocal Lattice 构成 倒格点集合 倒格子
2 k p G p ( p 0,1,) 倒格点： 倒格点 a
4 a
正格子与倒格子都是描述晶体的周期性的
2 a
0
2 a
4 a
n( x) n p exp(i 2px / a )
一个具有正格子周期性的物理量，在正格子中的表述与 在倒格子中的表述之间满足傅立叶变换的关系
2014‐05‐28
1 nG n(r ) exp(iG r )dr Vc cell
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2.1 倒格子
Reciprocal Lattice
n(r ) nG exp(iG r )
基矢：
a ˆ y ˆz ˆ a1 x 2 a ˆy ˆz ˆ a 2 x 2 a ˆ y ˆz ˆ a x 2
3
原胞体积 原胞体积： 惯用晶胞的边长:
2014‐05‐28
a Ω 2
a
3
2π Ω 2 a
3
4 a
20
2.1 倒格子
S
2 a a
d hkl
2014‐05‐28
2π
G hkl
15
2.1 倒格子
Reciprocal Lattice
3 倒格子举例 3.倒格子举例 (1)一维 (1)一维：
a ax
2π b x a
基矢
正格子 倒格子
0 0
a
2a
x x
2/a 4/a
对一维晶格，倒格基矢 对 维晶格，倒格基矢 b 与正格基矢 a 方向相同，
2.1 倒格子
Reciprocal Lattice
2 倒格子性质 2.倒格子性质
(1)基矢 a i b j 2πδij
2 , i j ai b j 0, i j
正、倒格子互为倒格子
（2）倒格矢G和正格矢T 倒格 格 的标积是2 标积是 的整数倍： 数倍
(4)倒格矢 G hkl hb1 k b2 l b3 与正格子的晶面族(hkl) 满 足 G hkl (hkl) 足：
n
(h,k,l h k l为互质整数)
a3
C B
a2
a1
Fra Baidu bibliotek
a3
o
a2
a1
A
（hkl）晶面族中离原点最近的晶面ABC
在坐标轴上的截距分别为1/h, 1/k, 1/l
即 b1 b2 b3 分别为 a1 a 2 a3 的倒矢量 有相同量纲 属同 空间 G 是 k 空间的特定矢量 G 与波矢 k 有相同量纲，属同一空间，
2014‐05‐28
8
2.1 倒格子
Reciprocal Lattice
2 , i j ai b j 0, i j
a 0 x x+a
由晶格的周期性：n( x ) n( x a ) n( x T )
将周期函数展开 为傅立叶级数
p
平移矢量 T ma mZ 平移矢量：
n( x ) n 0 [C p cos2px / a S p sin 2px / a ]
n( x) n p exp( (i 2px / a) n p exp( (ikx ik )
3
2π Ω a 2 a 3 a 3 a1 a1 a 2 Ω
a bc b a c c a b
3 2
2014‐05‐28
二维、一维同理
12
2.1 倒格子
Reciprocal Lattice
2014‐05‐28
ai b j 2 ij
2
21
22
b11b12b21b22
18
2.1 倒格子 ( )三维 (3)三维：
Reciprocal Lattice
简单立方sc ： simple cubic lattice
倒格基矢：
ˆ a1 ax ˆ ay a 2 ˆ a3 az
G
n( r ) 找到一组矢量 ，使得 G 在 T 作用下周期性不变
n(r ) 的周期性要求：G T 2m
令：
G v1b1 v 2 b2 v 3 b3 v1 , v 2 , v3 Z
2 , i j ai b j 0, i j
成立，一个为正 成立， 个为正
11
格矢，则另一个必为倒格矢吗？
2.1 倒格子
Reciprocal Lattice
( ) 正 (3) 正、倒格子原胞大小满足： 倒格子原胞大小满足 2 3 2 2 二维 S 三维 S 三维 证：
2 一维 a a
Ω b1 b 2 b 3