北航有限元7 非线性

xi X
j
dX
j
Fij d X
j
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变形前后微段长度平方的变化：
d l d l0 (
2 2
xk xk Xi X
j
ij ) d X i d X
j
2 E ij d X i d X
j
格林(Green)应变张量——初始构形中定义
1 xk xk E ij ( ij ) 2 Xi X j

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关于变形梯度 (反映变形特征)
x1 X j X 1 x 也称为运动的Jacobian矩阵 J Fij 2 X 1 x 3 X 1
变形梯度定义
F ij
xi
x1 X 2 x2 X 2 x3 X 2

为了确定变形前后物体构形中质点的位置，通 常引入物质坐标系OX1X2X3 和空间坐标系ox1x2x3


物质坐标（拉格朗日坐标）Xi：代表质点本身，不随 时间而变化，提供了材料点的标识。 空间坐标（欧拉坐标）xi：仅仅代表质点的空间位置， 随时间而变化。
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物体的运动方程 显然
xi xi ( X i , t )
ij
1, 0, i j i j
进一步引入位移： x i X i u i
E ij 1 2 X ( ui
j
xi X
)
j
j
ij
ui X
j

u j X i

uk uk X i X
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对于小变形问题
ui X
x1 x2 x , x n
F( x ) = 0
f1 ( x ) f2 (x) F (x) , f (x) n
0 0 0 0
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F ( ij ) 0
0
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各向同性屈服准则：各个方向屈服应力相同 各向异性屈服准则：不同方向屈服应力有差异
常用的各向同性Von-Mises屈服准则：
F ( ij )
0
1 2
ij ij
1 3
s0 0
2
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7.4 几何非线性
7.4.1 几何非线性问题及分类 7.4.2 几何非线性力学理论基础
随着有限元算法理论、计算机硬件和软件技术的 进步及实际工业的需求，CAE技术的应用逐步由 线性模拟为主向非线性模拟为主快速发展。

1969年，第一个商业非线性有限元程序——Marc诞生。 目前几乎所有的商业有限元软件都具备较强的非线性问 题的分析求解能力。

非线性求解技术的先进性与稳健性已经成为衡量 一个结构分析程序优劣的标准。
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7.3.1 材料非线性问题及分类
概念：由于材料的应力应变非线性关系引起的 非线性。 分类：


不依赖时间的弹、塑性问题

非线性弹性——橡胶 弹塑性——冲压成形 蠕变——载荷不变，变形随时间继续变化 松弛——变形不变，应力随时间衰减

依赖于时间的粘（弹、塑）性问题

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如板壳的大挠度问题 ——平衡方程必须建立于变形后的状态


接触非线性：接触状态的变化所引起。

如金属成形、跌落试验、多零件装配体等
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接触非线性例子
碰到障碍物的悬臂梁（端部 碰到障碍物时，梁端部的边 界条件发生了突然变化，阻 止了进一步的竖向挠度。） 板料的冲压成形
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变形体运动的描述 应变的度量 应力的度量 弹塑性问题本构方程的客观性

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变形体运动的描述

描述物体的运动和变形时，需要选择某一构形 作为各种方程式的参考。一般选择未变形构形 作为参考构形。

物体的构形：某一时刻所占据的空间区域 初始构形： 未变形构形 V0 现时构形： 当前时刻的变形构形 V
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F
nom
s0
F nom A0 L nom L0
L
nom

s0

s0
n o m (1 n o m ) p e ln (1 n o m ) E
x1 X 3 x2 X 3 x3 X 3
使用Jacobian矩阵行列式可以将当前构形和参考构 形上的积分联系起来：

f ( x, t )dV

f ( x ( X , t ), t ) J d V 0
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关于质量守恒定律
物体质量在变形过程中是不变的。
x k 1 x k
x k 1 x k
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非线性方程组的迭代求解方法
f 1 ( x1 , x 2 , , x n ) 0 f 2 ( x1 , x 2 , , x n ) 0 f ( x , x , , x ) 0 n n 1 2
X i X i ( xi , t )
i 1, 2, 3
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拉格朗日（Lagrange）描述（物质描述） ：独 立变量是材料坐标和时间，而空间坐标是时间 的函数，反映了物体中每个质点随时间不同所 占据空间点的变化，适用于固体力学问题的描 述。 欧拉（Euler）描述 （空间描述）：将空间坐标 和时间作为彼此独立的的变量来处理，反映了 同一个空间点在不同时刻被不同的质点占据， 一般用于流体力学问题的描述 。

每个增量步采用Newton-Raphson迭代法
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非线性方程的迭代求解方法
f (x) 0
直接迭代法
x g (x)
x k 1 g ( x k )
f ( xk ) f ( x k )
f ( xk ) f ( x 0 )
Newton-Raphson迭代 修正的N-R迭代
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7.2 非线性问题的有限元求解方法
非线性问题有限元控制方程： K ( q ) q P

非线性方程(组)的求解方法


直接迭代法 Newton-Raphson迭代法 修正的Newton-Raphson迭代法

非线性问题通常采用增量法求解（追踪加载过 程中应力和变形的演变历史。）

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比较：线弹性 —几何非线性

线弹性：小变形假设——假定物体发生的 位移远小于物体本身的几何尺寸，应变远 小于1。建立平衡方程时不考虑物体位置 和形状的变化。
几何非线性：物体发生有限变形——大位 移、大转动的情况。建立平衡方程时必须 考虑物体位置和形状的变化。

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7.4.2 几何非线性力学理论基础
第7讲 非线性专题
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第7讲 非线性专题
7.1 非线性问题及分类 7.2 非线性问题的有限元求解方法 7.3 材料非线性 7.4 几何非线性
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7.1 非线性问题及分类

在分析线性弹性问题时，假定：

应力应变线性关系 结构位移很小（变形远小于物体的几何尺寸） 加载时边界条件的性质不变
7.3.2 非线性弹性材料行为
橡胶应力应变关系曲线
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7.3.3 弹塑性材料行为
弹塑性材料进入塑 性的特征：载荷卸 去后存在不可恢复 的永久变形。 应力应变之间不是 单值对应关系，与 加载历史有关。

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单轴应力状态下弹塑性材料行为

单轴（一维）应力状态下材料的应力应变行为 可以从拉伸试验中获得。
Kq P
如果不满足上述条件之一，就称为非线性问题。

非线性结构的基本特征：变化的结构刚度
K (q )q P
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非线性问题可以分为三类：

材料非线性：体系的非线性由材料的应力应变 关系的非线性引起。

如金属变形弹塑性行为、橡胶的超弹性行为等

几何非线性：结构的位移使体系的受力状态发 生了显著的变化。

F n o m (1 n o m ) A L ln ln (1 n o m ) L0
p

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一般应力状态下弹塑性材料行为


在单向受力情况下，当应力达到材料的屈服强度时 材料开始产生塑性变形。 对于一般复杂的应力状态，应力状态由六个应力分 量决定时，显然不能根据某个单独应力分量的数值 作为判断材料是否进入塑性变形的标准。为此，引 入以应力分量为坐标的应力空间，根据代表不同应 力路径的实验结果，可以定出从弹性阶段进入塑性 阶段的各个界限，即屈服应力点。在应力空间中， 这些屈服应力点形成一个区分弹性和塑性的分界 面——屈服面。描述这个屈服面的数学表达式就是 我们所要寻求的一般应力状态下的屈服准则。
变形体运动的描述 应变的度量方法 应力的度量方法

7.4.3 几何非线性问题的表达格式
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7.4.1 几何非线性问题及分类
概念：由于大位移、大转动而引起的非线性。 分类：


大位移、大转动、小应变问题 ——板壳的大挠度和后屈曲 大位移、大转动、大应变问题 ——薄板成形、弹性材料的受力
xi ( X i , 0 ) X i
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i 1, 2, 3
i 1, 2, 3
运动方程
xi xi ( X i , t )
i 1, 2, 3
函数 x i ( X i , t ) 将参考构形映射到t时刻的当前构形。 根据变形的连续性要求，这种变换必须是一一对应 的，也即变换应是单值连续的，因此上述变换应有 唯一的逆变换
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(1) 将总的外力载荷分为一系列载荷段
K (q )q P
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(2) 在每一载荷段中进行迭代，直至收敛
K (q )q P
K (q )q P
P1
( k 1)
K T (q 1 )
(k )
(k )
N-R迭代:
K T (q i ) q i
(k ) (k )
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Green应变张量的定义
初始构形中P0Q0距离的平方：
d l0 d X i d X i
2
现时构形中PQ距离的平方：
d l d xi d xi (
2
xi X m
dX
)( m
xi X n
dX n )
xi
xi
n
X m X
dX m dX
n
d xi
直接迭代法 N-R迭代 修正的N-R迭代
x g (x)
x k 1 g ( x k )
1
x k 1 x k F ( x k )
F (x k )
1
x k 1 x k F ( x 0 )
f1 x2 f2 x2 fn x2 f1 xn f2 xn fn xn xx

dV 0dV dV
J dV 0
0
0 J
J
0
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应变的度量

有限变形情况下，小变形情况下的应变度量 方法已经不再适用，必须重新定义。

刚体转动，应变度量必须为零。小变形情况下的 应变度量方法不能满足这个要求

非线性连续介质力学中使用了多种不同的应 变和应变率度量。在有限元方法中使用最普 遍的有两种： Green应变张量Eij 变形率张量Dij（率形式的本构方程中）
F (x k )
f1 x 1 f2 F ( x k ) x1 fn x1

k
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非线性问题的增量法求解过程
(1) 将总的外力载荷分为一系列载荷段 (2) 在每一载荷段中进行迭代，直至收敛 (3) 所有载荷段循环，并将结果进行累加
Pi
(k )
Pi
q1
(k )
(k )
P
( k 1)
Pi
(k)
qi
(k )
q i 1 q i
(k )
(k )
q
(k )
q
( k 1)
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(3) 所有载荷段循环，并将结果进行累加
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7.3 材料非线性
7.3.1 材料非线性问题及分类 ห้องสมุดไป่ตู้.3.2 非线性弹性材料行为 7.3.3 弹塑性材料行为