2 1次函数与正比例函数
函数知识点总结(掌握函数的定义、性质和图像)
函数知识点总结(掌握函数的定义、性质和图像)（一）正比例函数和一次函数1、正比例函数及性质一般地，形如y=kx(k 是常数，k≠0)的函数叫做正比例函数，其中k 叫做比例系数.注：正比例函数一般形式y=kx(k 不为零)①k 不为零②x 指数为1③b 取零当k>0时，直线y=kx 经过三、一象限，从左向右上升，即随x 的增大y 也增大；当k<0时，•直线y=kx 经它可以看⇔⎩⎨⎧>>00b k 直线经过第一、二、三象限⇔⎩⎨⎧<>00b k 直线经过第一、三、四象限 ⇔⎩⎨⎧><00b k 直线经过第一、二、四象限⇔⎩⎨⎧<<00b k 直线经过第二、三、四象限 注：y ＝kx+b 中的k ，b 的作用：1、k 决定着直线的变化趋势①k>0直线从左向右是向上的②k<0直线从左向右是向下的2、b决定着直线与y轴的交点位置①b>0直线与y轴的正半轴相交②b<0直线与y轴的负半轴相交（4）增减性：k>0，y随x的增大而增大；k<0，y随x增大而减小.（5）倾斜度：|k|越大，图象越接近于y轴；|k|越小，图象越接近于x轴.（6）图像的平移：当b>0时，将直线y=kx的图象向上平移b个单位；当b<0时，将直线y=kx的图象向下平移b个单位..轴交点坐标为与（方法：联立方程组求x、y例题：已知两直线y＝x+6与y＝2x-4交于点P，求P点的坐标？7、直线y=k1x+b1与y=k2x+b2的位置关系（1）两条直线平行：k1=k2且b1≠b2（2）两直线相交：k1≠k2（3）两直线重合：k1=k2且b1=b2平行于轴（或重合）的直线记作.特别地，轴记作直线8、正比例函数与一次函数图象之间的关系一次函数y=kx ＋b 的图象是一条直线，它可以看作是由直线y=kx 平移|b|个单位长度而得到（当b>0时，向上平移；当b<0时，向下平移）.9、一元一次方程与一次函数的关系任何一元一次方程到可以转化为ax+b=0（a ，b 为常数，a ≠0）的形式，所以解一元一次方程可以转化为：当某个一次函数的值为0时，求相应的自变量的值.从图象上看，相当于已知直线y=ax+b 确定它与x 轴的交点的横坐标的值.. （22b c x +的图（1（2）x 的反比例取值范围： ①k≠0;②在一般的情况下,自变量x 的取值范围可以是不等于0的任意实数;③函数y 的取值范围也是任意非零实数。
正比例函数及一次函数
，下列结论正确的是（ A. 函数图象必经过点（1，2） B．函数图象经过二、四象限 C． y 随 x 的增大而减小 D． y 随 x 的增大而增大
）
问题探究
如图所示，在同一直角坐标系中，正比例函数 y k1 x 、y k2 x、 y k3 x 、y k4 x的图象分别为 l1 、 l2 、 l3 、 l4 ，
待定系数法
待定系数法 y 正比例函数中只有一个待定系数 k ，故只要有一对 x ， 的值或一个非原点的点，就可以求得 k 值. 一次函数中有两个待定系数 k ，b ，需要两个独立条件 确定两个关于 k ，b 的方程，这两个条件通常为两个点或两 y 的值. 对x ，
待定系数法
1、根据函数的图象，求函数的解析式．
22Biblioteka 一次函数的性质3.已知一次函数 y 2m 4 x 3 n ． n 是什么数时，y 随 x 的增大而增大； （1）当m 、 n 是什么数时，函数图象经过原点； （2）当 m 、 （3）若图象经过一、二、三象限，求 m 、 n 的取值范围.
一次函数的性质 4.函数 y kx k (k 0) 在直角坐标系中的图象可能是（
1、为缓解用电紧张的矛盾，某电力公司制定了新的用 电收费标准，每月用电量(度)与应付电费(元)的关系 如图所示．根据图象求出与的函数关系式．
一次函数图像的应用
2.小高从家骑自行车去学校上学，先走上坡路到达点A，再走下 坡路到达点B，最后走平路到达学校C，所用的时间与路程的关 系如图所示.放学后，如果他沿原路返回，且走平路、上坡路、 下坡路的速度分别保持和去上学时一致，那么他从学校到家需 要的时间是( ) A.14分钟 B.17分钟 C.18分钟 D.20分钟
正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数
正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数【教学目标】1．通过具体实例，了解简单的分段函数，并能简单应用；2．整理初中已学过的函数正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数，特别是二次函数；3．学会运用函数图象理解和研究函数的性质。
【教学重点】基础知识整理【教学难点】题型分类解析【教学方法】引导学生自主学习法教学过程：【知识回顾】1．正比例函数的定义是：；图象是：2．反比例函数的定义是：；图象是：3．一次函数的定义: ；图象是：4．二次函数解析式的三种形式：①一般式、②两根式、③顶点式5．二次函数的图象和性质，通常抓住以下三方面：①对称轴②单调性、③最值 .【基础练习】1．函数y=x2+bx+c(x≥0)是单调函数的充要条件是f x=x2+bx+c对任意实数t都有f(2+t)=f(2-t ),则f(1)、f(2)、2．若函数()f(4)的大小关系是：3．关于x的不等式－mx2－8mx－21>0的解为：－7<x<－1则m的值为f x的顶点为(4,0)，且过点(0,2)，则4．二次函数()f(x)= ．5．两个不同函数()f x =x 2+ax+1和g(x)=x 2+x+a (a 为常数)定义域都为R ，若()f x 与g(x)的值域相同，则a= . 6．函数()f x =2x 2－mx+3当x∈(－∞,－1)时是减函数，当x∈(－1,＋∞)时是增函数，则f(2)= . 7．实系数方程20(0)ax bx c a ++=≠两实根异号的充要条件是 ，有两正根的充要条件是 ；有两负根的充要条件是 .8．已知二次函数21(0)y ax bx c a =++≠与一次函数2(0)y kx m k =+≠的图象相交于点(2,4),A B -（如图），则能使12y y >成立的x 的取值范围是_______．参考答案： 1． b≥ 02． f(2)<f(1)<f(4) 3． 34． 2)4(81-x5． 5-或16． 197． ;000;02121⎪⎩⎪⎨⎧>>+≥∆<x x x x ac ;0002121⎪⎩⎪⎨⎧><+≥∆x x x x(A （第8题）8． x<-2 ,x>8【典型例题】1．正比例函数、反比例函数、一次函数的图象、性质、应用 例1．已知正比例函数(21)y m x =-的图象上两点11(,)A x y 、22(,)B x y ，当12x x <时，有12y y >，那么m 的取值范围是_______． 答案：12m <例2．（1）已知函数)0()(<+=a xax x f ,请写出它的单调区间，你能画出它的简图吗？（2）请画出函数)0()(>+=a xax x f 的图象,并写出它的单调区间. 答案：（1）在)0,(-∞、),0(+∞上为增函数（2）),[],,(+∞--∞a a 增函数；],0(),0,[a a -减函数2．求二次函数的解析式例1．分别求满足下列条件的二次函数的解析式：①过点（0，2），（1，-1），（-2，20） ②过点（-1，0），（-4，0），（2，-36）③图象的顶点是(1,2)-，且经过原点答案：①2522+-=x x y ；②81022---=x x y ；③x x y 422--=例2．已知二次函数f(x)满足f(2)= -1，f(-1)= -1且f(x)的最大值是8，试确定此二次函数．思维分析：恰当选择二次函数的解析式法一：利用一般式设f(x)=ax 2+bx+c(a ≠0)，由题意得：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=--=+--=++84411242a bac c b a c b a 解得：⎪⎩⎪⎨⎧==-=744c b a ∴f(x)= - 4x 2+4x+7法二：利用顶点式∵f(2)= f(-1) ∴对称轴212)1(2=-+=x 又最大值是8 ∴可设)0(8)21()(2<+-=a x a x f ，由f(2)= -1可得a= - 47448)21(4)(22++-=+--=∴x x x x f法三：由已知f(x)+1=0的两根为x 1=2,x 2=-1，故可设f(x)+1=a(x-2)(x+1)即f(x)=ax 2-ax-2a-1,又84)12(482max=---=aa a a y 即得a= - 4或a=0(舍)∴f(x)= - 4x 2+4x+7例3．已知二次函数f(x)=ax 2+bx+c 满足下列条件：(1)图象过原点，(2)f(－x+2002)=f(x －2000)，(3)方程f(x)=x 有重根； 试确定此二次函数． 解：由(1)得：c=0,由(2)对称轴1220002002=-++-=x x x 可确定12=-ab， 由(3) f(x)=x 即ax 2+（b-1）x+c=0有重根 .2110)1(:))1(0(02-==∴=-==∆a b b c 从而得由x x x f +-=∴221)(3．二次函数在给定区间上的最值问题 例1．（1）已知f(x)=－x 2+2x+6, x∈［2,3］,求f(x)的最大（小）值；（2）已知f(x)=－x 2+5x+6, x∈［2,3］,求f(x)的最大（小）值． 答案：（1）大6，小3；（2）大449，小12；例2．已知f(x)=－x 2+ax+6, x∈［2,3］,求f(x)的最大值答案：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>-≤≤+<+=).6(,33);64(,424);4(,22)(2maxa a a a a a x f例3．已知y=f(x)=x 2－2x+3,当x ∈[t,t+1]时，求函数的最大值和最小值． 答案：32,2,12min 2max +-=+=>t t y t y t 时2,2,121min 2max =+=≤<y t y t 时 2,32,210min 2max =+-=≤<y t t y t 时2,32,02min 2max +=+-=≤t y t t y t 时例4．已知函数f(x)= －x 2+2ax+1－a 在0≤x ≤1时有最大值2，求a 的值． 思维分析：一般配方后结合二次函数图象对字母参数分类讨论 解：f(x)= -(x-a)2+a 2-a+1(0≤x ≤1),对称轴x=a 10 a<0时，121)0()(max -=∴=-==a a f x f20 0≤a≤1时)(25121)()(2max舍得±==+-==aaaafxf30 a>1时，22)1()(max=∴===aafxf综上所述：a= - 1或a=24．一元二次方程根的分布的讨论例1．已知关于x的二次方程x2+2mx+2m+1=0(1)若方程有两根，一根在区间（-1，0）内，另一根在区间（1，2）内，求m 的取值范围．(2)若方程两根在区间（0，1）内，求m的范围．思维分析：一般需从三个方面考虑①判别式Δ②区间端点函数值的正负③对称轴abx2-=与区间相对位置．解：设f(x)=x2+2mx+2m+1(1)由题意画出示意图216556)1(2)1(12)0(-<<-⇒⎪⎩⎪⎨⎧>+>=-<+=⇔mmffmf（2）2121100)1(0)0(0-≤<-⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<-<>>≥∆⇔m m f f例2．方程k x x =-232在（－1，1）上有实根，求k 的取值范围． 分析：宜采用函数思想，求)11(23)(2<<--=x x x x f 的值域．答案：)25,169[-∈k5．函数应用题：例．某租赁公司拥有汽车100辆，当每辆车的月租金为3000元时，可全部租出，当每辆车的月租金每增加50元时，未租的车将会增加一辆，租出的车每辆需要维护费150元，未租的车每辆每月需要维护费50元， （1）当每辆车的月租金定为3600元时，能租出多少辆车？（2）当每辆车的月租金定为多少时，租赁公司的月收益最大？最大月收益是多少？思维分析：应用问题的数学建模，识模—建模—解模—验模 解：（1）当每辆车的月租金定为3600元时，未租出的车辆数为125030003600=-∴租出100-12=88辆。
《正比例函数与一次函数》知识点归纳
《正比例函数与一次函数》知识点归纳《正比例函数》知识点表达式：y=kx （心0的常数）图像：正比例函数y=kx的图像是：一条经过（0,0）和（1,说明：正比例函数y=kx的图像也叫做“直线y=kX'；性质特征：1、图像经过的象限：k>0时，直线过原点，在一、三象限；k<0时，直线过原点，在二、四象限；增减性及图像走向：k>0时，y随x增大而增大k<0时，y随x增大而减小，直线从左往右由高降低;，直线从左往右由低升高;1、y与x成正比例：y=kx （k工0）;2、y 与x+ a 成正比例：y=k（x + a）（k 工0）;3、y + a与x成正比例：y + a=kx （k工0）;4、y + a 与x+ b 成正比例：y + a= k（x + b）（k 工0）;《一次函数》知识点表达式：y=kx+b （心0, k, b为常数）注意：（1）k M0,自变量x的最高次项的系数为1 ；（2）当b=0时，y=kx，y叫x的正比例函数。
四、成正比例关系的几种表达形式：的直线;2、、图像:一次函数y=kx+b （k丰0, b丰0）的图像是：一条经过（」,0）和k （0, b）的直线。
说明：（1）一次函数y=kx+b （k工0, b工0）的图像也叫做“直线y=kx+b” ;（2）直线y=kx+b与x轴的交点坐标是：（-丄，0）；k直线y=kx+b与y轴的交点坐标是：（0，b）.三、性质特征：1、图像经过的象限：（1）、k>0, b>0时，直线经过一、二、三象限；（2）、k>0, b< 0时，直线经过一、三、四象限；（3）、k < 0,b>0时，直线经过一、二、四象限；（4）、k < 0, b < 0时，直线经过二、三、四象限；b/02、增减性及图像走向:k>0时，y随x增大而增大，直线从左往右由高降低；k<0时，y随x增大而减小，直线从左往右由低升高；3、一次函数y=kx+b （k工0, b工0）中“ k和b的作用”：（1）k的作用：k决定函数的增减性和图像的走向k>0时，y随x增大而增大，直线从左往右由高降低;k<0时，y随x增大而减小，直线从左往右由低升高;（2）I k I的作用：l k I决定直线的倾斜程度I k I越大，直线越陡，直线越靠近y轴，与x轴的夹角越大;I k I 越小，直线越平缓，直线越远离 y 轴，与x 轴的夹角越小；(3) b 的作用：b 决定直线与y 轴的交点位置b>0时，直线与y 轴正半轴相交(或与y 轴的交点在x 轴的上方)；b <0时，直线与y 轴负半轴相交(或与y 轴的交点在x 轴的下方)；(4) k 和b 的共同作用：k 和b 共同决定直线所经过的象限四、 直线的平移规律：直线y=kx+b 可以由直线y=kx 平移得到当b>0时，将直线y=kx :向上平移b 个单位得到直线y=kx+b ;当b < 0时，将直线y=kx :向下平移I b I 个单位得到直线y=kx+b ;五、 两条直线平行和垂直： 直线 m y=ax+b;直线n: y=cx+d(1)当a=c ， b M d 时，直线m//直线n,反之也成立；例如：直线y=2x+3与直线y=2x-5都与直线y=2x 平行。
19.2.2一次函数的图像和性质(1)
-3 -5 -7 …
比一比：正比例函数y=－2x与一次函数y=－ 2x+3 、y=－2x－3图象有什么异同点.
y 6 5 4 3 2 1 -6 -5 -4 -3 -2 -1 -1 -2 -3 o 1
y=－2x+3
2 3 4
5
6
x
y=－2x－3
-4
-5 -6
y=－2x
观察：比较上面三个函数的相同点与不同点，根 据你的观察结果回答下列问题： 直线 (1)这三个函数的图象形状都是＿＿＿，并且倾斜程 相同 度＿＿＿；
19.2.2一次函数（2） 一次函数的图像和性质
0
提问复习
1、什么叫正比例函数、一次函 数？它们之间有什么关系？
一般地，形如 y=kx（k是常数，k≠0） 的函数， 叫做正比例函数； 一般地，形如 y=kx+b(k,b是常数，k≠0) 的函数，叫 做一就变成了 y=kx ,所以说正 比例函数是一种特殊的一次函数。 2、正比例函数的图象是什么形状？ 正比例函数的图象是(
经过原点的一条直线
)
3、正比例函数 y=kx（k是常数，k≠0）中， k的正负对函数图象有什么影响?
y=kx 图 象
y
性 质
经过一、三象限 y随x增大而增大
K>0
y
x
K<0
x
经过二、四象限 y随x增大而减小
既然正比例函数是特殊的一次 函数，正比例函数的图象是直线， 那么一次函数的图象也会是一条直 线吗？ 它们图象之间有什么关系? 一次函数又有什么性质呢?
3、已知函数y=(m-2)x+n的图象经过一、二、 三象限． 求 : m、n的取值范围.
课内练习： 1.下列各点中,那些点在函数y=4x+1的图象上? 那些不在函数的图象上? (2, 9) (5,1) (-1,-3) (-0.5,-1) 2.若函数y=2x-3 的图象经过点(1,a) ,(b, 2) 两点, 则a= ,b= . 3.点已知M(-3, 4)在一次函数y=ax+1的 图象上,则a的值是 .
正比例函数及一次函数
解: （1）设B市调往C市x台，调往D市（6 – x）台， A市运往C市（10 – x）台，运往D市（2 + x）台. y = 300x + 500（6 – x） + 400（10 – x） + 800（2 + x） y = 200x + 8600 （0≤x≤6的整数）
解: （2）∵200x + 8600 ≤9000 ∴x≤2，∴x = 0，1，2 答：共有三种调运方案。
（3）∵y = 200x + 8600 （0≤x≤6的整数） ∴x = 0时，总运费最低为8600元。
【例】 某博物馆每周都吸引大量中外游客前来参观.如果 游客过多，对馆中的珍贵文物会产生不利影响.但同时考 虑到文物的修缮和保存费用问题，还要保证一定的门票收 入.因此，博物馆采取了涨浮门票价格的方法来控制参观 人数.在该方法实施过程中发现：每周参观人数与票价之 间存在着如图所示的一次函数关系.在这样的情况下，如 果确保每周4万元的门票收入，那么每周应限定参观人数 是多少?门票价格应是多少元?
2007中考
正比例函数及一次函数
我们把形如 y kx b k , b 是常数，k 0 ） （
的函数叫做一次函数．
当b＝０时，y 叫做 x 的正比例函数.
1、已知 y mx
m2 -8
-n+3则当m、n满足什么条件时：
①是一次函数。 ②是正比例函数，而且对于它的每一组非零的对应 值（x，y）有xy<0。
例、A市和B市分别有库存机器12台和6台，现决定 支援C市和D市分别是10台和8台，已知从A市 调运一台机器到C市和D市的运费分别为400元 和800元，从B市调运到C市和D市的运费分别 为300元和500元。 （1）设B市运往C市机器x台，求总运费y与x的函数解析式；
一次函数与正比例函数
函数教学目标：理解函数的概念，会求函数值本次学案余留的作业，请家长督促学生完成，并于下次课带来给老师检查。
家长签名： 1．函数的概念一般地，在一个变化过程中有两个变量x 和y ，如果给定一个x 值，相应地就确定了一个y 值，那么我们称y 是x 的函数．其中x 是自变量，当自变量取一个值时，另一个变量就有唯一确定的值与它对应，这也是我们判断两个变量是否构成函数关系的依据．辨误区 自变量与另一个变量的对应关系若y 是x 的函数，当x 取不同的值时，y 的值不一定不同．如：y ＝x 2中，当x ＝2，或x ＝－2时，y 的值都是4.【例1－1】 下列关于变量x ，y 的关系式：①x －3y ＝1；②y ＝|x |；③2x －y 2＝9.其中y 是x 的函数的是( )．A ．①②③B ．①②C ．②③D ．①②【例1－2】 已知y ＝2x 2＋4，(1)求x 取12和－12时的函数值；(2)求y 取10时x 的值．谈重点 函数中变量的对应关系 当自变量取一个值时，另一个变量就会有唯一的值与之相对应；当另一个变量取某一数值，则自变量并不一定有唯一的值与之相对应，所以另一个变量与自变量并不是一一对应的关系．2．函数关系式用来表示函数关系的等式叫做函数关系式，也称为函数解析式或关系表达式． 谈重点 函数关系式中的学问①函数关系式是等式．②函数关系式中指明了哪个是自变量，哪个是函数．通常等式右边的代数式中的变量是自变量，等式左边的一个字母表示函数．③函数的解析式在书写时有顺序性．例如，y ＝x ＋1是表示y 是x 的函数．若写成x ＝y －1就表示x 是y 的函数．也就是说：求y 与x 的函数关系式，必须是用只含变量x 的代数式表示y ，即得到的等式(解析式)左边只含一个变量y ，右边是含x 的代数式．3．自变量的取值范围(1)使函数有意义的自变量的全体取值叫做自变量的取值范围． (2)自变量的取值范围的确定方法：首先，要考虑自变量的取值必须使解析式有意义．当解析式是整式时，自变量的取值范围是全体实数；当解析式是二次根式时，自变量的取值范围是使被开方数不小于0的实数；当解析式中含有零整数幂或负整数指数幂时，自变量的取值应使相应的底数不为0；其次，当函数解析式表示实际问题时，自变量的取值还必须使实际问题有意义．【例3】 若等腰三角形的周长为50 cm ，底边长为x cm ，一腰长为y cm ，y 与x 的函数关系式为y ＝12(50－x )，则变量x 的取值范围是__________．4．函数的表示方法函数的表示方法一般有三种：列表法、图象法、解析法，以解析法应用较多．有的函数可以用三种方法中的任何一种来表示，而有的只能用其中的一种或两种来表示．(1)列表法：列一张表，第一行表示自变量取的各个值，第二行表示相应的函数值，这种表示函数关系的方法称为列表法．(2)图象法：通过建立平面直角坐标系，以自变量取的每一个值为横坐标，以相应的函数值为纵坐标，描出每一个点，由所有这些点组成的图形称为这个函数的图象，这种表示函数关系的方法称为图象法．(3)解析法：用式子表示函数关系的方法称为解析法，这样的式子称为函数的解析式．析规律函数的三种表示方法三种表示方法各有优缺点，应用时要视具体情况，选择适当的表示方法，或将三种方法结合使用．①列表法：优点是能明显地显现出自变量与对应的函数值，缺点是取值有限；②图象法：优点是形象、直观、清晰地呈现出函数的一些性质，缺点是求得的函数值是近似的；③解析法：优点是简明扼要、规范准确，并且可以根据解析式列表、画图象，进而研究函数的性质；缺点是有些函数无法写出解析式，只能列出表格或画出图象来表示．【例4】你一定知道乌鸦喝水的故事吧！一个紧口瓶中盛有一些水，乌鸦想喝，但是嘴够不着瓶中的水，于是乌鸦衔来一些小石子放入瓶中，瓶中水面的高度随石子的增多而上升，乌鸦喝到了水．但是还没解渴，瓶中水面就下降到乌鸦够不着的高度，乌鸦只好再去衔些石子放入瓶中，水面又上升，乌鸦终于喝足了水，哇哇地飞走了．如果设衔入瓶中石子的体积为x，瓶中水面的高度为y，下面能大致表示上面故事情节的图象是()．5.怎样判定函数关系(1)从关系式判定函数由函数的定义知道，在某个变化过程中，有两个变量x和y，对于x每一个确定的值，y都有且只有一个值与之对应，当x取不同的值时，y的值可以相等也可以不相等，但如果一个x 的值对应着两个不同的y 值，那么y 一定不是x 的函数．根据这一点，我们可以判定一个关系式是否表示函数．(2)从表格中判定函数 根据函数的定义知道，从表格中理解函数仍然是先看是否只有两个变量，再看对于变量x 每一个确定的值，y 是否都有唯一的值和它对应，也就是说x 若取相同的值，y 必须是相同的值．(3)从图象上判定函数根据函数的定义知道，每一个x 值只能对应唯一的一个y 值，因此要判断哪些图形表示的是函数，只要在所给的自变量的取值范围内任作一条垂直于x 轴的直线，若直线与所给图形只有一个交点，则说明这个图形表示的是函数，若交点不止一个，则一定不是函数．【例5－2】 下列表示y 是x 的函数图象的是( )．练习：一、选择题1.下列变量之间的关系中，具有函数关系的有（ ）①三角形的面积与底边 ②多边形的内角和与边数 ③圆的面积与半径④y =12-x 中的y 与xA.1个B.2个C.3个D.4个2.对于圆的面积公式S =πR 2,下列说法中，正确的为（ ） A.π是自变量 B.R 2是自变量 C.R 是自变量 D.πR 2是自变量3.下列函数中，自变量x 的取值范围是x ≥2的是（ ）A.y =x -2B.y =21-x C.y =24xD.y =2+x ·2-x4.已知函数y =212+-x x ,当x =a 时的函数值为1，则a 的值为（ ） A.3 B.－1 C.－3 D.15.某人从A 地向B 地打长途电话6分钟，按通话时间收费，3分钟内收2.4元，每加一分钟加收1元.则表示电话费y （元）与通话时间x (分)之间的函数关系正确的是（ ）二、填空题6.轮子每分钟旋转60转，则轮子的转数n与时间t(分)之间的关系是__________.其中______是自变量，______是因变量.7.计划花500元购买篮球，所能购买的总数n(个)与单价a（元）的函数关系式为______，其中______是自变量，______是因变量.8.某种储蓄的月利率是0.2%，存入100元本金后，则本息和y(元)与所存月数x之间的关系式为______.9.已知矩形的周长为24，设它的一边长为x,那么它的面积y与x之间的函数关系式为______.10.已知等腰三角形的周长为20 cm,则腰长y(cm)与底边x(cm)的函数关系式为______，其中自变量x的取值范围是______.三、解答题11.如图所示堆放钢管.(1)填表层数 1 2 3 (x)钢管总数（2）当堆到x层时，钢管总数如何表示？13.某市出租车起步价是7元（路程小于或等于2千米），超过2千米每增加1千米加收1.6元，请写出出租车费y（元）与行程x（千米）之间的函数关系式.14.一个小球由静止开始在一个斜坡上向下滚动，其速度每秒增加2 m/s ，到达坡底时小球的速度达到40 m/s.(1)求小球的速度v (m/s)与时间t (s)之间的函数关系式； （2）求t 的取值范围；（3）求3.5 s 时小球的速度；（4）求n (s)时小球的速度为16 m/s.2一次函数与正比例函数教学目标：理解一次函数与正比例函数的概念及关系，会求函数的解析式本次学案余留的作业，请家长督促学生完成，并于下次课带来给老师检查。
专题2一次函数的图象与性质-重难点题型(举一反三)(浙教版)(原卷版)
专题5.3 一次函数的图象与性质-重难点题型【浙教版】函数图像一次函数变为正比例函数，正比例函数是一次函数的特例。
）A．B．C．D．【变式1-1】函数y＝ax+b﹣2的图象如图所示，则函数y＝﹣ax﹣b的大致图象是（）A．B．C．D．【变式1-2】（2019•杭州）已知一次函数y1＝ax+b和y2＝bx+a（a≠b），函数y1和y2的图象可能是（）A．B．C．D．【变式1-3】函数y＝|x﹣2|的图象大致是（）A．B．C．D．【题型2 正比例函数的图象】【例2】如图，三个正比例函数的图象分别对应函数关系式：①y＝ax，①y＝bx，①y＝cx，将a，b，c从小到大排列并用“＜”连接为（）A．a＜b＜c B．c＜a＜b C．c＜b＜a D．a＜c＜b【变式2-1】（2020秋•达川区期末）如图，四个一次函数y＝ax，y＝bx，y＝cx+1，y＝dx﹣3的图象如图所示，则a，b，c，d的大小关系是（）A．b＞a＞d＞c B．a＞b＞c＞d C．a＞b＞d＞c D．b＞a＞c＞d【变式2-2】（2021秋•茂名期中）直线y＝2kx的图象如图所示，则y＝（k﹣2）x+1﹣k的图象大致是（）A．B．C．D．【变式2-3】（2021春•新田县期末）如图，直线l1①x轴于点（1，0），直线l2①x轴于点（2，0），直线l3①x轴于点（3，0），…直线l n①x轴于点（n，0）．函数y＝x的图象与直线l1，l2，l3，…，l n分别交于点A1，A2，A3，…，A n ；函数y ＝3x 的图象与直线l 1，l 2，l 3，…，l n 分别交于点B 1，B 2，B 3，…，B n ，如果①OA 1B 1的面积记的作S 1，四边形A 1A 2B 2B 1的面积记作S 2，四边形A 2A 3B 3B 2的面积记作S 3，…四边形A n ﹣1A n B n B n ﹣1的面积记作S n ，那么S 2021＝ ．．） C ．第一、三、四象限D ．第二、三、四象限【变式3-1】（2021•黄州区校级自主招生）已知过点（2，3）的直线y ＝ax +b （a ≠0）不经过第四象限，设s ＝a ﹣2b ，则s 的取值范围是（ ） A ．32≤s ＜6B ．﹣3＜s ≤3C ．﹣6＜s ≤32D ．32≤s ≤5【变式3-2】（2021春•忠县期末）已知一次函数y ＝（5﹣a ）x +a +1的图象不经过第四象限，且关于x 的分式方程102−x=2−axx−2有整数解，则满足条件的所有整数a 的和为（ ）A ．6B ．7C ．8D ．9【变式3-3】（2021•渝中区模拟）若关于x 的一元一次不等式组{23x ＞x −14x +1≥a恰有3个整数解，且一次函数y ＝（a﹣2）x +a +1不经过第三象限，则所有满足条件的整数a 的值之和是（ ） A ．﹣2B ．﹣1C ．0D ．1【题型4 一次函数图象与系数的关系】【例4】（2021春•鄢陵县期末）已知A （x 1，y 1）、B （x 2，y 2）是一次函数y ＝（2﹣m ）x +3图象上两点，且（x 1﹣x 2）（y 1﹣y 2）＜0，则m 的取值范围为 ．【变式4-1】如图，平面直角坐标系中，若点A （3，0）、B （4，1）到一次函数y ＝kx +4（k ≠0）图象的距离相等，则k 的值为 ．【变式4-2】（2020•成都模拟）在平面直角坐标系xOy 中，直线l ：y ＝kx ﹣1（k ≠0）与直线x ＝﹣k ，y ＝﹣k 分别交于点A ，B ．直线x ＝﹣k 与y ＝﹣k 交于点C ．记线段AB ，BC ，AC 围成的区域（不含边界）为W ；横，纵坐标都是整数的点叫做整点．（1）当k ＝﹣2时，区域W 内的整点个数为 ； （2）若区域W 内没有整点，则k 的取值范围是 ． 【变式4-3】已知一次函数y ＝（6+3m ）x +（n ﹣2）．求（1）当m ，n 为何值时，y 值随x 的增大而减小，且与y 轴交点在x 轴下方？ （2）当m ，n 为何值时，此一次函数也是正比例函数？（3）当m ＝﹣1，n ＝﹣2时，设此一次函数与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，并求出①AOB 的面积（O 为坐标原点）【题型5 一次函数图象上点的坐标特征】 【例5】已知一次函数y ＝（6+3m ）x +（n ﹣2）．求（1）当m ，n 为何值时，y 值随x 的增大而减小，且与y 轴交点在x 轴下方？ （2）当m ，n 为何值时，此一次函数也是正比例函数？（3）当m ＝﹣1，n ＝﹣2时，设此一次函数与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，并求出①AOB 的面积（O 为坐标原点）【变式5-1】如图，直线y ＝2x +3与x 轴相交于点A ，与y 轴相交于点B ．（1）求①AOB 的面积；（2）过B 点作直线BP 与x 轴相交于P ，①ABP 的面积是92，求点P 的坐标．【变式5-2】如图，直线y ＝kx +6与x 轴y 轴分别相交于点E ，F ．点E 的坐标（8，0），点A 的坐标为（6，0）．点P （x ，y ）是第一象限内的直线上的一个动点（点P 不与点E ，F 重合）． （1）求k 的值；（2）在点P 运动的过程中，求出①OP A 的面积S 与x 的函数关系式． （3）若①OP A 的面积为278，求此时点P 的坐标．【变式5-3】（2021春•青县期末）如图，直线y ＝﹣x +10与x 轴、y 轴分别交于点B ，C ，点A 的坐标为（8，0），P （x ，y ）是直线y ＝﹣x +10在第一象限内一个动点．（1）求①OP A 的面积S 与x 的函数关系式，并写出自变量的x 的取值范围； （2）当①OP A 的面积为10时，求点P 的坐标．【题型6 一次函数图象与几何变换】【例6】已知一次函数y ＝kx +b 的图象过点A （﹣4，﹣2）和点B （2，4） （1）求直线AB 的解析式；（2）将直线AB 平移，使其经过原点O ，则线段AB 扫过的面积为 ．【变式6-1】若直线y＝kx+3与直线y＝2x+b关于直线x＝1对称，则k、b值分别为（）A．k＝2、b＝﹣3B．k＝﹣2、b＝﹣3C．k＝﹣2、b＝1D．k＝﹣2、b＝﹣1【变式6-2】（2018春•沙坪坝区校级期末）如图：一次函数y=13x+2交y轴于A，交y＝3x﹣6于B，y＝3x﹣6交x轴于C，直线BC顺时针旋转45°得到直线CD．（1）求点B的坐标；（2）求四边形ABCO的面积；（3）求直线CD的解析式．【变式6-3】（2018•沙坪坝区模拟）如图，正比例函数y＝kx（k≠0）的图象过点A（2，﹣3）．直线y＝x+b沿y 轴平行移动，与x轴、y轴分别交于点B、C，与直线OA交于点D．（1）若点D在线段OA上（含端点），求b的取值范围；（2）当点A关于直线BC的对称点A'恰好落在y轴上时，求①OBD的面积．。
二次函数和一次函数知识点
二次函数I.定义与定义表达式一般地，自变量x和因变量y之间存在如下关系：y=ax^2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0，且a决定函数的开口方向，a>0时，开口方向向上，a<0时，开口方向向下,IaI还可以决定开口大小,IaI越大开口就越小,IaI越小开口就越大.）则称y为x的二次函数。
二次函数表达式的右边通常为二次三项式。
II.二次函数的三种表达式一般式：y=ax^2;+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）顶点式：y=a(x-h)^2;+k [抛物线的顶点P（h，k）]交点式：y=a(x-x1)(x-x2) [仅限于与x轴有交点A（x1，0）和 B（x2，0）的抛物线] 注：在3种形式的互相转化中，有如下关系:h=-b/2a k=(4ac-b^2;)/4a x1,x2=(-b±√b^2;-4ac)/2aIII.二次函数的图像在平面直角坐标系中作出二次函数y=x²的图像，可以看出，二次函数的图像是一条抛物线。
IV.抛物线的性质1.抛物线是轴对称图形。
对称轴为直线x = -b/2a。
对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的顶点P。
特别地，当b=0时，抛物线的对称轴是y轴（即直线x=0）2.抛物线有一个顶点P，坐标为P [ -b/2a ，(4ac-b^2;)/4a ]。
当-b/2a=0时，P在y轴上；当Δ= b^2-4ac=0时，P在x轴上。
二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小。
当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口。
|a|越大，则抛物线的开口越小。
4.一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。
当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右。
常数项c决定抛物线与y轴交点。
抛物线与y轴交于（0，c）6.抛物线与x轴交点个数Δ= b^2-4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点。
Δ= b^2-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点。
正比例函数,一次函数
【例4】 在抗击“非典”过程中，某医药研究所开发了 】 在抗击“非典”过程中， 一种预防“ 非典” 的药品.经试验这种药品的效果得知 经试验这种药品的效果得知， 一种预防 “ 非典 ” 的药品 经试验这种药品的效果得知 ， 当成人按规定剂量服用该药后1小时时 小时时， 当成人按规定剂量服用该药后 小时时， 血液中含药量最 达到每毫升5微克 接着逐步衰减， 微克， 高 ， 达到每毫升 微克 ， 接着逐步衰减 ， 至 8小时时血液 小时时血液 中含药量为每毫升1.5微克 每毫升血液中含药量y(微克 微克， 微克) 中含药量为每毫升 微克，每毫升血液中含药量 微克 随时间x(小时 的变化如图3-2-9所示 在成人按规定剂量服 小时)的变化如图 所示.在成人按规定剂量服 随时间 小时 的变化如图 所示 药后： 药后： (1)分别求出 分别求出x≤1，x≥1时，y与x之间的函数关系式 之间的函数关系式. 分别求出 ， 时 与 之间的函数关系式 (2)如果每毫升血液中含药量为 微克或 微克以上，对预 如果每毫升血液中含药量为2微克或 微克以上， 如果每毫升血液中含药量为 微克或2微克以上 非典”是有效的，那么这个有效时间为多少小时? 防“非典”是有效的，那么这个有效时间为多少小时 1、x ≤ 1时， y = 5x
3 k =− 2 = −3k + b 4 ⇒ 则有： 则有：−1= k + b 1 b = − 4
3 1 故M′N∶y=- x- 令x=0得y=∶ 得 4 4
1 4
P点坐标为 ，-1/4) 点坐标为(0， 点坐标为
【 例 3】 某博物馆每周都吸引大量中外游客前来参观 如 】 某博物馆每周都吸引大量中外游客前来参观.如 果游客过多， 对馆中的珍贵文物会产生不利影响.但同时 果游客过多 ， 对馆中的珍贵文物会产生不利影响 但同时 考虑到文物的修缮和保存费用问题， 考虑到文物的修缮和保存费用问题，还要保证一定的门票 收入.因此 因此， 收入 因此 ， 博物馆采取了涨浮门票价格的方法来控制参 观人数.在该方法实施过程中发现 在该方法实施过程中发现： 观人数 在该方法实施过程中发现 ： 每周参观人数与票价 之间存在着如图所示的一次函数关系.在这样的情况下 在这样的情况下， 之间存在着如图所示的一次函数关系 在这样的情况下 ， 如果确保每周4万元的门票收入 万元的门票收入， 如果确保每周 万元的门票收入 ，那么每周应限定参观人 数是多少?门票价格应是多少元 门票价格应是多少元? 数是多少 门票价格应是多少元 每周应限定参观人数为2000人， 人 每周应限定参观人数为 门票价格为20元 门票价格为 元.
一元二次方程知识要点
文案大全一元二次方程1. 一元二次方程的一般形式: a ≠0时，ax 2+bx+c=0叫一元二次方程的一般形式，研究一元二次方程的有关问题时，多数习题要先化为一般形式，目的是确定一般形式中的a 、 b 、 c ； 其中a 、 b,、c 可能是具体数，也可能是含待定字母或特定式子的代数式.2. 一元二次方程的解法: 一元二次方程的四种解法要求灵活运用， 其中直接开平方法虽然简单，但是适用范围较小；公式法虽然适用范围大，但计算较繁，易发生计算错误；因式分解法适用范围较大，且计算简便，是首选方法；配方法使用较少.3. 一元二次方程根的判别式: 当ax 2+bx+c=0 (a ≠0)时，Δ=b 2-4ac 叫一元二次方程根的判别式.请注意以下等价命题：Δ＞0 <=> 有两个不等的实根； Δ=0 <=> 有两个相等的实根； Δ＜0 <=> 无实根； Δ≥0 <=> 有两个实根（等或不等）. 4. 一元二次方程的根系关系： 当ax 2+bx+c=0 (a ≠0) 时，如Δ≥0，有下列公式： .acx x abx x )2(a 2ac 4b b x )1(212122,1=-=+-±-=，； ※ 5．当ax 2+bx+c=0 (a ≠0) 时，有以下等价命题：(以下等价关系要求会用公式 ac x x a b x x 2121=-=+，；Δ=b 2-4ac 分析，不要求背记)（1）两根互为相反数 ⇔ a b-= 0且Δ≥0 ⇔ b = 0且Δ≥0；（2）两根互为倒数 ⇔ a c=1且Δ≥0 ⇔ a = c 且Δ≥0；（3）只有一个零根 ⇔ ac = 0且a b-≠0 ⇔ c = 0且b ≠0；（4）有两个零根 ⇔ a c = 0且a b-= 0 ⇔ c = 0且b=0；（5）至少有一个零根 ⇔ ac=0 ⇔ c=0；（6）两根异号 ⇔ ac＜0 ⇔ a 、c 异号；（7）两根异号，正根绝对值大于负根绝对值⇔ ac ＜0且a b-＞0⇔ a 、c 异号且a 、b 异号；（8）两根异号，负根绝对值大于正根绝对值⇔ ac ＜0且a b-＜0⇔ a 、c 异号且a 、b 同号；（9）有两个正根 ⇔ ac ＞0，a b-＞0且Δ≥0 ⇔ a 、c 同号， a 、b 异号且Δ≥0；（10）有两个负根 ⇔ a c ＞0，a b-＜0且Δ≥0 ⇔ a 、c 同号， a 、b 同号且Δ≥0.6．求根法因式分解二次三项式公式：注意：当Δ＜ 0时，二次三项式在实数范围内不能分解.文案大全ax 2+bx+c=a(x-x 1)(x-x 2) 或 ax 2+bx+c=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+--a 2ac 4b b x a 2ac 4b b x a 22. 7．求一元二次方程的公式：x 2-（x 1+x 2）x + x 1x 2 = 0. 注意：所求出方程的系数应化为整数. 8．平均增长率问题--------应用题的类型题之一 （设增长率为x ）： (1) 第一年为 a , 第二年为a(1+x) , 第三年为a(1+x)2.（2）常利用以下相等关系列方程： 第三年=第三年 或 第一年+第二年+第三年=总和. 9．分式方程的解法： .0)1(≠），值（或原方程的每个分母验增根代入最简公分母公分母两边同乘最简去分母法.0.2≠分母，值验增根代入原方程每个换元凑元，设元，换元法）（10. 二元二次方程组的解法：.0)3(0)2(0)4(0)1(0)4(0)2(0)3(0)1(0)4)(3(0)2)(1()3(;02;1⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==⎩⎨⎧===------分组为应注意：的方程）（）（中含有能分解为方程组）分解降次法（程中含有一个二元一次方方程组法）代入消元（※11．几个常见转化：；；或；；；⎪⎩⎪⎨⎧<-+-=--≥-+=-=-+-=+-+=+-+=--+=+)x x (x x 4)x x ()x x ()x x (x x 4)x x ()x x (x x 2)x 1x (x1x 2)x 1x (x1x x x 4)x x ()x x (x x 2)x x (x x )1(212122122121212212212122222221221221212212221⎪⎩⎪⎨⎧=--=-=-⇒=-4x x .22x x 2x x .12x x )2(221212121）两边平方为（和分类为 ； ⎪⎩⎪⎨⎧-==⇒==.,)2(34x x 34x x )1()916x x (34x x )3(2121222121因为增加次数两边平方一般不用和分类为或 ；.0x ,0x :.1x x B sin A cos ,1A cos A sin ,90B A B sin x ,A sin x )4(2122212221>>=+==+︒=∠+∠==注意隐含条件可推出由公式时且如文案大全AB C cba.0x ,0x :.x ,x ),,(,x ,x )5(212121>>注意隐含条件的关系式推导出含有公式等式面积例如几何定理，相似形系可利用图形中的相等关时若为几何图形中线段长.k ,)6(”辅助未知元“引入些线段的比，并且可把它们转化为某比例式、等积式等条件角三角形、三角函数、如题目中给出特殊的直.,;,)7(知数的关系但总可求出任何两个未般求不出未知数的值少一个时，一方程个数比未知数个数一般可求出未知数的值数时方程个数等于未知数个解三角形1.三角函数的定义：在Rt ΔABC 中,如∠C=90°，那么sinA=c a =斜对； cosA=c b =斜对；tanA=ba=邻对； cotA=a b =对邻.2．余角三角函数关系 ------ “正余互化公式” 如∠A+∠B=90°, 那么：sinA=cosB ； cosA=sinB ； tanA=cotB ； cotA=tanB. 3. 同角三角函数关系：sin 2A+cos 2A =1； tanA ·cotA =1. ※ tanA=A cos A sin ※ cotA=Asin Acos 4. 函数的增减性：在锐角的条件下，正弦，正切函数随角的增大，函数值增大；余弦，余切函数随角的增大，函数值反而减小.5．特殊角的三角函数值：如图：这是两个特殊的直角三角形，通过设k, 它可以推出特殊角的直角三角函数 值，要熟练记忆它们.K3 KKKK2 K230°45°60°ABC ABC文案大全※ 6. 函数值的取值范围： 在0° 90°时.正弦函数值范围：0 1； 余弦函数值范围: 1 0； 正切函数值范围：0 无穷大； 余切函数值范围：无穷大 0.7.解直角三角形：对于直角三角形中的五个元素，可以“知二可求三”，但“知二”中至少应该有一个是边.※ 8. 关于直角三角形的两个公式： Rt △ABC 中: 若∠C=90°, .:m :R :r .m 2cR 2c b a r c c 斜边上中线外接圆半径，内切圆半径，；==-+=9．坡度： i = 1:m = h/l = tan α； 坡角: α.10. 方位角：11．仰角与俯角：12．解斜三角形：已知“SAS ” “SSS ” “ASA ” “AAS ” 条件的任意三角形都可以经过“斜化直”求出其余的边和角.※ 13．解符合“SSA ”条件的三角形：若三角形存在且符合“SSA ”条件，则可分三种情况：（1）∠A ≥90°，图形唯一可解； （2） ∠A ＜90°，∠A 的对边大于或等于它的已知邻边，图形唯一可解；（3）∠A ＜90°，∠A 的对边小于它的已知邻边，图形分两类可解. 14．解三角形的基本思路：（1）“斜化直，一般化特殊” ------- 加辅助线的依据；（2）合理设“辅助元k ”，并利用k 进一步转化是分析三角形问题的常用方法-------转化思想； （3）三角函数的定义，几何定理，公式，相似形等都存在着大量的相等关系，利用其列方程（或方程组）是解决数学问题的常用方法---------方程思想.北东北偏西30南偏东70仰角俯角水平线铅垂线lha i=1:m文案大全函数及其图象一 函数基本概念1.函数定义：设在某个变化过程中，有两个变量x,、y, 如对x 的每一个值, y 都有唯一的值与它对应，那么就说y 是x 的函数，x 是自变量.※ 2.相同函数三个条件：（1）自变量范围相同；（2）函数值范围相同；（3）相同的自变量值所对应的函数值也相同.※3. 函数的确定：对于 y=kx 2(k ≠0), 如x 是自变量，这个函数是二次函数；如x 2是自变量，这个函数是一次函数中的正比例函数. 4.平面直角坐标系：（1）平面上点的坐标是一对有序实数，表示为: M （x,y ），x 叫横坐标，y 叫纵坐标； （2）一点，两轴，（四半轴），四象限，象限中点的坐标符号规律如右图：（3） x 轴上的点纵坐标为0，y 轴上的点横坐标为0; 即“x 轴上的点纵为0，y 轴上的点横为0”；反之也 成立；（4）象限角平分线上点M(x,y) 的坐标特征:x=y <=> M 在一三象限角平分线上； x=-y <=> M在二四象限角平分线上. （5）对称两点M(x 1,y 1), N(x 2,y 2) 的坐标特征：关于y 轴对称的两点 <=> 横相反，纵相同； 关于x 轴对称的两点 <=> 纵相反，横相同； 关于原点对称的两点 <=> 横、纵都相反. 5.坐标系中常用的距离几个公式 -------“点求距”（1）如图，轴上两点M 、N 之间的距离：MN=|x 1-x 2|=x 大-x 小 , PQ=|y 1-y 2|=y 大-y 小 . （2）如图， 象限上的点M （x,y ）:到y 轴距离：d y =|x|； 到x 轴距离: d x =|y|；22y x r +=到原点的距离：.（3）如图，轴上的点M （0,y ）、N （x,0）到原点的距离： MO=|y|； NO=|x|.※（4）如图，平面上任意两点M （x 2,y 2）、N （x 2,y 2）之间的距离： .)y y ()x x (d 221221-+-=xyo + +_ _-- ++ -xyoM(x,y )r xyo M(x,y )N(x,y )C文案大全※ 6. 几个直线方程 :y 轴 <=> 直线 x=0 ； x 轴 <=> 直线 y=0 ； 与y 轴平行，距离为∣a ∣的直线 <=> 直线 x=a ； 与x 轴平行，距离为∣b ∣的直线 <=> 直线 y=b. 7. 函数的图象：(1) 把自变量x 的一个值作为点的横坐标，把与它对应的函数值y 作为点的纵坐标，组成一对有序实数对，在平面坐标系中找出点的位置，这样取得的所有的点组成的图形叫函数的图象；(2) 图象上的点都适合函数解析式，适合函数解析式的点都在函数图象上；由此可得“图象上的点就能代入”-------重要代入！(3) 坐标平面上，横轴叫自变量轴，纵轴叫函数轴；利用已知的图象，可由自变量值查出函数值，也可由函数值查出自变量值；可由自变量取值范围查出对应函数值取值范围，也可由函数值取值范围查出对应自变量取值范围；(4) 函数的图象由左至右如果是上坡，那么y 随x 增大而增大（叫递增函数）；函数的图象由左至右如果是下坡，那么y 随x 增大而减小（叫递减函数）. 8. 自变量取值范围与函数取值范围：一次函数1. 一次函数的一般形式：y=kx+b . (k ≠0)2. 关于一次函数的几个概念：y=kx+b (k ≠0)的图象是一条直线，所以也叫直线y=kx+b,图象必过y 轴上的点( 0,b )和x 轴上的点( -b/k,0 )；注意：如图，这两个点也是画直线图象时应取的两个点. b 叫直线y=kx+b (k ≠0)在y 轴上的截距，b 的本质是直线与y轴交点的纵坐标，知道截距即知道解析式中b 的值.x y (x,y)00(0,b)(-b/k, 0)b -b/k, 即取点对角 03.y=kx+b (k≠0) 中，k，b符号与图象位置的关系：yxok>0, b>0k>0, b<0图象过一二三象限，图象上坡.图象过一三四象限，图象上坡.图象过一二四象限，图象下坡.图象过二三四象限，图象下坡.4. 两直线平行：两直线平行 <=> k1=k2※两直线垂直<=> k1k2=-1.5. 直线的平移：若m＞0,n＞0, 那么一次函数y=kx+b图象向上平移m个单位长度得y=kx+b+m；向下平移n 个单位长度得y=kx+b-n （直线平移时，k值不变）.6.函数习题的四个基本功：(1) 式求点：已知某直线的具体解析式，设y=0，可求出直线与x轴的交点坐标（x0 ,0）；设x=0，可求出直线与y轴的交点坐标(0,y0)；已知两条直线的具体解析式，可通过列二元一次方程组求出两直线的交点坐标(x0 ,y0)；交点坐标的本质是一个方程组的公共解；(2) 点求式：已知一次函数图象上的两个点，可设这个函数为y=kx+b，然后代入这两个点的坐标，得到关于k、b的两个方程，通过解方程组求出k、b，从而求出解析式 ------ 待定系数法；(3) 距求点：已知点M(x0 ,y0)到x轴,y轴的距离和所在象限，可求出点M的坐标；已知坐标轴上的点P到原点的距离和所在半轴，可求出点P的坐标；(4) 点求距：函数题经常和几何相结合，利用点的坐标与它所在的象限或半轴特征可求有关线段的长，从而使得函数问题几何化.正比例函数1.正比例函数的一般形式：y=kx (k≠0)；属于一次函数的特殊情况；（即b=0的一次函数）它的图象是一条过原点的直线；也叫直线y=kx.2．画正比例函数的图象：正比例函数y=kx (k≠0)的图象必过(0,0)点和（1，k）点，注意：如图，这两个点也是画正比例函数图象时应取的两个点，即列表如右：xy(x, y)1K(0,0)(1,K)文案大全文案大全3.y=kx (k ≠0)中，k 的符号与图象位置的关系：k>0k<0.象限，图象下坡.4. 求正比例函数解析式：已知正比例函数图象上的一点，可设这个正比例函数为y=kx,把已知点的坐标代入后, 可求k, 从而求出具体的函数解析式------ 待定系数法.二次函数1. 二次函数的一般形式：y=ax 2+bx+c.(a ≠0)2. 关于二次函数的几个概念：二次函数的图象是抛物线，所以也叫抛物线y=ax 2+bx+c ；抛物线关于对称轴对称且以对称轴为界，一半图象上坡，另一半图象下坡；其中c 叫二次函数在y 轴上的截距, 即二次函数图象必过（0，c ）点.3. y=ax 2(a ≠0)的特性：当y=ax 2+bx+c (a ≠0)中的b=0且c=0时二次函数为y=ax 2 (a ≠0);这个二次函数是一个特殊的二次函数，有下列特性：（1）图象关于y 轴对称；（2）顶点（0，0）；（3）y=ax 2(a ≠0)可以经过补0看做二次函数的一般式，顶点式和双根式，即： y=ax 2+0x+0, y=a(x-0)2+0, y=a(x-0)(x-0). 4. 二次函数y=ax 2+bx+c (a ≠0)的图象及几个重要点的公式：5. 二次函数y=ax 2+bx+c (a ≠0)中，a 、b 、c 与Δ的符号与图象的关系： (1) a ＞0 <=> 抛物线开口向上； a ＜0 <=> 抛物线开口向下； (2) c ＞0 <=> 抛物线从原点上方通过； c=0 <=> 抛物线从原点通过；文案大全c ＜0 <=> 抛物线从原点下方通过；(3) a, b 异号 <=> 对称轴在y 轴的右侧； a, b 同号 <=> 对称轴在y 轴的左侧；b=0 <=> 对称轴是y 轴；(4) Δ＞0 <=> 抛物线与x 轴有两个交点；Δ=0 <=> 抛物线与x 轴有一个交点（即相切）； Δ＜0 <=> 抛物线与x 轴无交点.6．求二次函数的解析式：已知二次函数图象上三点的坐标，可设解析式y=ax 2+bx+c ，并把这三点的坐标代入，解关于a 、b 、c 的三元一次方程组，求出a 、b 、c 的值, 从而求出解析式-------待定系数法. 8．二次函数的顶点式： y=a(x-h)2+k (a ≠0)； 由顶点式可直接得出二次函数的顶点坐标（h, k ），对称轴方程 x=h 和函数的最值 y 最值= k.9．求二次函数的解析式：已知二次函数的顶点坐标（x 0,y 0）和图象上的另一点的坐标，可设解析式为y=a(x-x 0)2+ y 0，再代入另一点的坐标求a ，从而求出解析式.（注意：习题无特殊说明，最后结果要求化为一般式）10. 二次函数图象的平行移动：二次函数一般应先化为顶点式，然后才好判断图象的平行移动；y=a(x-h)2+k的图象平行移动时，改变的是h, k 的值, a 值不变，具体规律如下： k 值增大 <=> 图象向上平移； k 值减小 <=> 图象向下平移； （x-h ）值增大 <=> 图象向左平移； (x-h)值减小 <=> 图象向右平移.11. 二次函数的双根式：(即交点式) y=a(x-x 1)(x-x 2) (a ≠0)；由双根式直接可得二次函数图象与x 轴的交点（x 1,0）,（x 2,0）.12. 求二次函数的解析式：已知二次函数图象与x 轴的交点坐标（x 1,0），（x 2,0）和图象上的另一点的坐标，可设解析式为y= a(x-x 1)(x-x 2)，再代入另一点的坐标求a ，从而求出解析式. （注意：习题最后结果要求化为一般式）13．二次函数图象的对称性：已知二次函数图象上的点与对称轴，可利用图象的对称性求出已知点的对称点，这个对称点也一定在图象上.反比例函数1. 反比例函数的一般形式：);0k (kx y xk y 1≠==-或图象叫双曲线.※ 2. 关于反比例函数图象的性质： 反比例函数y=kx -1中自变量x 不能取0, 故函数图象与y 轴无交点; 函数值y 也不会是0, 故图象与x 轴也不相交.3. 反比例函数中K的符号与图象所在象限的关系：图象过二四象限，图象上坡.图象过一三象限，图象下坡.k>0k<04. 求反比例函数的解析式：已知反比例函数图象上的一点，即可设解析式y=kx-1, 代入这一点可求k 值，从而求出解析式.函数综合题1．数学思想在函数问题中的应用：数学思想经常在函数问题中得到体现，例如：分析函数习题常常需要先估画符合题意的图象,利用数形结合降低难度；而点求式、式求点、点求距、距求点等基本操作则是转化思想在函数中应用；当函数问题与几何问题相结合时，方程思想则成为解决问题的基本思路；函数习题中，当图象与图形不唯一、点位置不唯一、可知条件不唯一时，往往造成函数问题的分类.2．数学方法在函数问题中的应用：建立坐标系、建立新函数、函数问题几何化、挖掘隐含条件、分类讨论、相等关系找方程、不等关系找不等式、等量代换、配方、换元、待定系数法、等各种数学方法在函数中经常得到应用，了解这些数学方法是十分必要的.3．函数与方程的关系：正比例函数y=kx (k≠0)、一次函数y=kx+b (k≠0)都可以看作二元一次方程，而二次函数y=ax2+bx+c (a≠0)可以看作二元二次方程，反比例函数)0k(xky≠-=可以看作分式方程，这些函数图象之间的交点，就是把它们联立为方程组时的公共解.4．二次函数与一元二次方程的关系：（1）如二次函数y=ax2+bx+c (a≠0)中的Δ＞0时，图象与x轴相交，函数值y=0，此时, 二次函数转化为一元二次方程ax2+bx+c=0 (a≠0)，这个方程的两个根x1 、x2是二次函数y=ax2+bx+c与x轴相交两点的横坐标，交点坐标为（x1 ,0）（x2 ,0）；（2）当研究二次函数的图象与x轴相交时的有关问题时，应立即把函数转化为它所对应的一元二次方程，此时，一元二次方程的求根公式，Δ值，根系关系等都可用于这个二次函数.（3）如二次函数y=ax2+bx+c (a≠0)中的Δ＞0时，图象与x轴相交于两点A（x1 ,0）,B（x2 ,0）有重要关系式: OA=|x1|, OB=|x2|,若需要去掉绝对值符号,则必须据题意做进一步判断；同样,图象与y轴交点C(0,c),也有关系式: OC=|c|.5．二元二次方程组解的判断：一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组，若消去一个未知数，则转化为一元二次方程，此时的Δ值将决定原方程组解的情况，即：Δ＞0 <=> 方程组有两个解；Δ=0 <=>方程组有一个解；Δ＜0 <=>方程组无实解.文案大全初三数学应知应会的知识点 ( 圆 )几何A级概念：（要求深刻理解、熟练运用、主要用于几何证明）文案大全文案大全几何B级概念：（要求理解、会讲、会用，主要用于填空和选择题）一基本概念：圆的几何定义和集合定义、弦、弦心距、弧、等弧、弓形、弓形高文案大全文案大全三角形的外接圆、三角形的外心、三角形的内切圆、 三角形的内心、 圆心角、圆周角、 弦 切角、 圆的切线、 圆的割线、 两圆的内公切线、 两圆的外公切线、 两圆的内（外） 公切线长、 正多边形、 正多边形的中心、 正多边形的半径、 正多边形的边心距、 正 多边形的中心角. 二 定理：1．不在一直线上的三个点确定一个圆.2．任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆. 3．正n 边形的半径和边心距把正n 边形分为2n 个全等的直角三角形. 三 公式：1.有关的计算：（1）圆的周长C=2πR ；（2）弧长L=180R n π；（3）圆的面积S=πR 2. （4）扇形面积S 扇形 =LR 21360R n 2=π；（5）弓形面积S 弓形 =扇形面积S AOB ±ΔAOB 的面积.（如图） 2.圆柱与圆锥的侧面展开图：（1）圆柱的侧面积：S 圆柱侧 =2πrh ； (r:底面半径；h:圆柱高)（2）圆锥的侧面积：S 圆锥侧 =LR 21. （L=2πr ，R 是圆锥母线长；r 是底面半径）四 常识：1． 圆是轴对称和中心对称图形. 2． 圆心角的度数等于它所对弧的度数.3． 三角形的外心 ⇔ 两边中垂线的交点 ⇔ 三角形的外接圆的圆心；三角形的内心 ⇔ 两内角平分线的交点 ⇔ 三角形的内切圆的圆心.4． 直线与圆的位置关系：（其中d 表示圆心到直线的距离；其中r 表示圆的半径）直线与圆相交 ⇔ d ＜r ； 直线与圆相切 ⇔ d=r ； 直线与圆相离 ⇔ d ＞r.5． 圆与圆的位置关系：（其中d 表示圆心到圆心的距离，其中R 、r 表示两个圆的半径且R ≥r ）两圆外离 ⇔ d ＞R+r ； 两圆外切 ⇔ d=R+r ； 两圆相交 ⇔ R-r ＜d ＜R+r ； 两圆内切 ⇔ d=R-r ； 两圆内含 ⇔ d ＜R-r.6．证直线与圆相切，常利用：“已知交点连半径证垂直”和“不知交点作垂直证半径” 的方法加辅助线.7．关于圆的常见辅助线：文案大全文案大全文案大全。
沪科版数学八年级上册同步教学课件 第1课时 正比例函数的图象和性质
当k>0时，y的值随着x值的增大而增大; 当k<0时，y的值随着x值的增大而减小.
议一议
（1）正比例函数y=x和y=3x中，随着x值的增大y的 值都增加了，其中哪一个增加得更快？你能说明其 中的道理吗？ （2）正比例函数y= - 1 x和y =-4x中，随着x值的增
2
大y的值都减小了，其中哪一个减小得更快？你是如 何判断的？
|k|越大，直线越陡，直线越靠近y轴.
当堂练习
1.下列图象哪个可能是函数y=-x的图象（ B ）
在正比例函数y=kx中， 当k>0时，y的值随着x值的增大而增大; 当k<0时，y的值随着x值的增大而减小.
练一练
1.已知正比例函数y=kx (k>0)的图象上有两点（x1，y1）， （x2，y2），若x1<x2，则y1 < y2.
2. 正比例函数y=k1x和y=k2x的图象如图，则k1和k2
的大小关系是（A ）
第12章 一次函数 12.2 一次函数
第1课时 正比例函数的图象和性质
学习目标
情境引入
1.理解正比例函数的概念，能在用描点法画正比 例函数图象过程中发现正比例函数图象性质;
2.能用正比例函数图象的性质简便地画出正比例 函数图象;
3.能够利用正比例函数解决简单的数学问题.
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知识回顾
1.函数有哪些表示方法? 它们之间有什么关系? 图象法、列表法、关系式法
＋m＋1是一次函数．
(2)若它是正比例函数，求 m 的值． 解：(2)因为 y＝(m－5)xm2－24＋m＋1是一次函数， 所以 m2－24＝1且m－5≠0且m＋1＝0. 所以 m＝±5且m≠5且m＝－1， 则这样的m不存在， 所以函数y＝(m－5)xm2－24＋m＋1不可能为 正比例函数．
北师大版八年级数学上册第四章 一次函数 一次函数与正比例函数
课堂检测
基础巩固题
4.已知y与x－3成正比例，当x＝4时，y＝3． (1)写出y与x之间的函数关系式，并指出它是什么函数； (2)求x＝2.5时，y的值．
解 ：(1)设y＝k(x－3)， 把 x＝4，y＝3 代入上式，得 3＝ k(4－3)， 解得 k＝3， 所以y＝3(x－3)， 所以y＝3x－9， y是x的一次函数． (2)当x＝2.5时，y＝3×2.5 - 9＝ -1.5．
一次函数的简单应用
课后作业
作业 内容
教材作业 从课后习题中选取
自主安排 配套练习册练习
吗？如果是，请指出相应的k与b的值.
A
解: (1)因为BC边上的高AD也是BC边上的中线，
所以BD= 1.x 在Rt△ABD中，由勾股定理，得
2
B
h AD AB2 BD2 x2 1 x2 3 x,
4
2
即 h 3 x.
2
所以h是x的一次函数，且 k 3 ,b 0.
2
DC
课堂检测
拓广探索题
函数是一次函数
关系式为：y=kx+b (k,b为常数，k≠0）
特别地，当b=0时，称y是x的正比例函数.
函数是正比例函数
关系式为：y=kx (k为常数，k≠0）
探究新知
思考 一次函数的结构特征有哪些？
答：一次函数的结构特征： （1）k≠0 . （2）x 的次数是1. （3）常数项b可以为一切实数.
探究新知
方法点拨
1.判断一个函数是一次函数的条件： 自变量是一次整式，一次项系数不为零； 2.判断一个函数是正比例函数的条件： 自变量是一次整式，一次项系数不为零， 常数项为零．
巩固练习
变式训练
下列函数中哪些是一次函数，哪些又是正比例函数？
人教八下数学课件-19.2.1正比例函数
巩固练习 2.已知正比例函数y=(k+5)x. （1）若函数图象经过第二、四象限，则k的取值范围是_k_<_-_5___. 解析：因为函数图象经过第二、四象限，所以k+5<0，解得k<-5. （2）若函数图象经过点（3，-9），则k__=_-8__.
解析：将坐标（3，-9）带入函数解析式中，得-9=(k+5)·3， 解得k=-8.
y=-4x y=-1.5x 看图发现：这两个函数图象都是经过原点和第 二、四 象限 的直线.
探究新知
y=kx (k是常数，k≠0)的图象是一 条经过原点的直线
y=kx(k≠0)
经过的象限
k＞0
第一、三象限
k＜0
第二、四象限
提示：函数y=kx 的图象我们也称作直线y=kx
巩固练习
1.用你认为最简单的方法画出下列函数的图象：
解：（1）函数y=2x中自变量x可为任意实数.
①列表如下： x … -2 -1 0 1 2 … y … -4 -2 0 2 4 …
探究新知
②描点； ③连线.
同样可以画出
函数
的图
象.
y=2x
y1x 3
看图发现：这两个图象都是经过原点的 直线 ． 而且都经过第 一、三 象限；
探究新知 解：（2）函数y=-1.5x，y=-4x的图象如下：
（3）从北京南站出发2.5小时后，是否已过了距始发站1100千米 的南京南站？
探究新知
(1)乘京沪高速列车，从始发站北京南站到终点 站海虹桥站，约需要多少小时(结果保留小数
探究新知
（2）京沪高铁列车的行程y（单位：千米）与 运解行：时y间=30t0（t（单0≤位t≤4：.4）时）之间有何数量关系？
北师大版八年级数学上册《一次函数与正比例函数》一次函数PPT精品课件
零．
样
式
2200232/35//45/4
9
•
•
•
• •
例典单1例：精击写析此出处下编列各辑题母中版y与标题x之样间式的三级关二级 单击此处系式，并判断单击此
：•y单是击否此为处编x的辑母一版次文函本样数式？是否为五 四级正比编辑例函数？ （1）• 二汽•级三车级 以60km/h的速度匀速级行驶,行母版 驶路程为
击 此 处 编
但m-1• ≠三0•级,四即级 m≠1,
版 文
辑
• 五级
所以m=-1.
本
母
样 式
版
4.若函数y=(m-3)x+m2-9是正比例函数，求m的值. 标
解：根据题意，得m2-9=0,
题
解得m=±3，
样 式
但m-3≠0,即m≠3,
所以m=-3.
2200232/35//45/4
18
•
•
•
• •
样 式
y=60－0.12x
2200232/35//45/4
6
•
•
•
• •
单
单
上单•(1单面)•击y击二=的此级3此+处两0处编.个5辑x编函母版数辑文关母本系样版式式标: 题样五级大两有式四级个家什三级讨么函二级论关数击此处编辑母关一系?系下,式这
击 此 处 编
(2) y=• 三60级－0.12x • 四级
辑
• 五级
本
母
一次 函数
正比例函数的概样式念
版 标
题
函数关系式的确定
样
式
2200232/35//45/4
23
5 kg 时• 三的•级四级长度，并填入下表：
浙教版数学中考复习：函数(一)课件 (共69张PPT)
• 解析：因为一次函数y＝kx＋b过点（2,3）,（0,1）,
•
所以ቊ3
= 1
2������ + = ������
������,解得ቊ������������
= =
1 1
•
所以一次函数的解析式为������ = ������ + 1.
•
当y=0时，x+1=0，x=-1,
•
所以一次函数������ = ������ + 1的图象与x轴交于点（-
4. 实际应用
考点1:反比例函数的概念
定义：形如________(k为常数，k≠0)的函数称为反比例函数，其中x是自变量，y是x的函
数，k是比例系数．
表达式：
或
或xy＝k(k≠0)．
防错提醒：(1)k≠0； (2)自变量x≠0； (3)函数y≠0.
考点2:反比例函数的图象与性质
(1)反比例函数的图象：反比例函数y＝������������(k≠0)的图象是________，且关于________对称． (2)反比例函数的性质：
• C.当x>0时，y随x的增大而增大
D.当x<0时，y随x的增大而减小
2.1反比例函数的图象与性质
【练6】已知点A(1，y1)，B(2，y2)，C(－3，y3)都在反比例函数y＝���6���的图象上，则y1，y2，y3的 大小关系是( )
A．y3＜y1＜y2
B．y1＜y2＜y3
C．y2＜y1＜y3
1.3一次函数的解析式
【例4】已知一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象过点(0，2)，且与两坐标轴围成的三角形面积为 2，求此一次函数的解析式．
解析：
【例4】已知一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象过点(0，2)，且与两坐标轴围成的三角形面积为 2，求此一次函数的解析式．
【人教版】八年级数学下册课件-19.2.1 正比例函数
描点(在直角坐标系中描出
y
表格中数对对应的点)；
y=-1.5x
连表线格(连中的接点直很角多坐，标可系以中选的
3 2
点)，如取图几.个有代表性的作图。
1
用同样的方法，我们可以 得到y=-4x的图象，如图.
-2 -1 O 1 2 x -1 -2
状元成才路
y=-1.5x
x … -3 -2 -1 0 1 2 3 …
根据题意画图，如下，当k＞0时，A( 6，6)，
此 A得’k时=(S-6k△，A.3因O6B)，=此此12k=×时±6kS△×A.36O=B=12，12 ×解（得-k=6k6
3
k
.当k＜0时，
2
）×6=12，解
2
2
状元成才路
错因分析：解题时忽略了k值的正负 情况，导致漏解.在解答此类型的题目时， 要根据题目条件画出图形，分类讨论.
因为两点确定一条直线，所以可用两点法画 正比例函数y=kx(k是常数，k≠0)的图象.一般地， 过 原 点 与 点 (1，k)(k≠0)的 直 线 ， 即 正 比 例 函 数 y=kx(k是常数，k≠0)的图象.
状元成才路
知识点 3 正比例函数解析式的确定
例3 已知正比例函数y=kx经过点(-1，2)， 求这个正比例函数的解析式.
状元成才路
19.2 一次函数
19.2.1 正比例函数
R·八年级数学下册
状元成才路
新课导入
两个变量x，y成正比例， 且 比 例 系 数 是 k(k ≠ 0) ， 你 能 写出y与x的关系式吗？
状元成才路
学习目标
(1) 知 道 什 么 样 的 函 数 是 正 比 例 函 数 ， 能 根 据正比例函数的定义确定字母系数的值.
最新人教版初中八年级下册数学【第十九章一次函数 19.2.1 正比例函数】教学课件
回答
按道理来说，只要落在函数图象上的任意两点都能确定这条直线.但是为了便捷，我们一般选用原点 (0,0),另一个点可以选择在坐标系中容易标记的.
y1x 3
x …0 3… y …0 1…
y 6
5
4
3
y1x
2
3
1
–4 –3 –2 –1 O –1 –2 –3 –4 –5 –6
1 2 3 4 5x
回答
自变量的取值范围一旦不是全体实数，那函数图象就不是整一条直线，我们就要根据自变量的取值范 围来确定函数图象了.
解：(1)因为函数图象经过一、三象限;
y
所以3a-6>0
解得 a>2
Ox
1.已知正比例函数y=(3a-6)x. (2)当a为何值时，该函数图象经过点(2,6);
解：(2) 函数图象经过点(2,6) 即当x=2时，y=6， 因此6=2(3a-6) 解得a=3
1.已知正比例函数y=(3a-6)x.
(3)图象上有两点(1,y1),(-2,y2),且y1<y2 ,求a的取值范围.
方法一：图象法
y
从图象观察可得，
y2
y随x的增大而减小
所以3a-6<0
1
-2
O
y1
解得 a<2
方法二：代数法 点(1,y1),(-2,y2)在函数图象上 所以y1=3a-6，y2=-2(3a-6)
x
又因为y1<y2 所以3a-6<-2(3a-6)
解得 a<2
2.一个长方体的长为2cm，宽为1.5cm，高为xcm， 体积为ycm3. (1)求体积y与高x之间的函数关系式; (2)写出自变量x的取值范围; (3)画出函数的图象.
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解：(1)y甲＝0.5x＋1000，y乙＝0.6x (2)当y甲＝8400时，得0.5x＋1000＝8400，解得x＝14800； 当y乙＝8400时，得0.6x＝8400，解得x＝14000， 所以选择甲印刷厂印刷的作业本本数多一些
10. 某市为了鼓励居民节约用电，采用分段计费的方法按月计算每户家庭的 电费，月用电量不超过200度时，按0.55元/度计费；月用电量超过200度时， 其中的200度仍按0.55元/度计费，超过部分按0.70元/度计费．设每户家庭月用 电量为x度时，应交电费y元．
3. (深圳模拟)若2y＋1与x－5成正比例，则( A) A．y是x的一次函数 B．y与x没有函数关系 C．y是x的函数，但不是一次函数 D．y是x的正比例函数
4. 汽车离开甲站10千米后，以60千米/时的速度匀速前进了t小时， 则汽车离开甲站所走的路程s(千米)与时间t(小时)之间的关系式是(A ) A．s＝10＋60t B．s＝60t C．s＝60t－10 D．s＝10－60t
解：(1)12 cm (2)质量x每增加1 kg，弹簧长度增加0.5 cm (3)y＝12＋0.5x，是一次函数 (4)当x＝10时，y＝12＋0.5×10＝17(cm)
1. 下列函数中，是一次函数的是( C )
A．y＝3x
B．y＝x2＋3
C．y＝3x－1 D．y＝x＋1 1
2. 若 y＝x＋2－b 是正比例函数，则 b 的值是( D) A．－2 B．0.5 C．0 D．2来自北师版第四章 一次函数
2 一次函数与正比例函数
若两个变量x，y间的对应关系可以表示成y＝kx＋b(k，b为常数，k≠__0__)的 形式，则称y是x的一次函数．特别地，当_b_＝__0_时，称y是x的正比例函数．
【典例导引】 【例1】 已知函数y＝(m－3)x＋m2－9. (1)当m为何值时，此函数是正比例函数？ (2)当m为何值时，此函数是一次函数？
4
…
50＋20 …
6.
已知一次函数
y＝2x－1，当
x＝0
时，y＝_－__1；当
y＝0
1 时，x＝_2__.
7. (广州期末)已知等腰三角形周长为 20，则底边长 y 关于腰长 x 的函数 关系式是_y_＝__2_0_－__2_x，写出自变量的取值范围_5_<__x_<_1_0_.
8. 下面由火柴棒拼出的一列图形中，第n个图形由n个正方形组成：
【变式训练】
1. 下列函数关系式：①y＝－x；②y＝2x＋11；③y＝x2＋x＋1；④y＝－3x， 其中一次函数的个数是( B ) A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个
2. (佛山期末)下列变量之间的变化关系不是一次函数的是( B ) A．圆的周长和它的半径 B．圆的面积和它的半径 C．2x＋y＝5中的y和x D．正方形的周长C和它的边长a
x(kg) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 y(cm) 12 12.5 13 13.5 14 14.5 15 15.5 16
根据上述对应值回答： (1)弹簧不挂物体时的长度是多少？ (2)当所挂物体的质量x每增加1 kg，弹簧长度如何变化？ (3)求弹簧总长y(cm)与所挂物体质量x(kg)的函数关系式，并指出是什么函数？ (4)当所挂物体的质量为10 kg时，弹簧的长度是多少？
【典例导引】 【例2】 一个小球由静止开始从一个斜坡上向下滚动， 其速度每秒增加2 m，到达斜坡底时，小球的速度达到40 m/s，求： (1)小球速度v(m/s)与时间t(s)之间的函数表达式； (2)求t的取值范围； (3)当t＝3.5 s时，小球的速度； (4)几秒时小球的速度为16 m/s? 解：(1)v＝2t (2)0≤t≤20 (3)7 m/s (4)t＝8 s
通过观察可以发现：第4个图形中，火柴棒有_1_3__根，第n个图形中， 火柴棒有__3_n_＋__1__根，若用y表示火柴棒的根数，x表示正方形的个数， 则y与x的函数表达式是y_＝__3_x_＋__1___，y是x的_一__次__函数．
三、解答题 9.某中学要印刷一批作业本，要求作业本的封面设计能体现学科特 点．甲印刷厂提出，每个作业本收0.5元的印刷费，另加1000元的封面设计 费；乙印刷厂提出，每个作业本收0.6元的印刷费，不收封面设计费． (1)分别写出甲、乙两厂的收费y甲(元)，y乙(元)与印刷数量x(本)之间的函 数表达式； (2)如果学校有8400元经费用于印制这批作业本，通过计算说明选择哪家 印刷厂印刷的作业本本数多一些．
5. 一种树苗的高度用h表示，树苗生长的年数用k表示， 测得的有关数据如下表(树苗原高50 cm)： 则用年数k表示树苗高度h的公式是( C) A．h＝50k＋5 B．h＝50＋5(k－1) C．h＝50＋5k D．h＝50(k－1)＋5
年数k 高度h/cm
1 50＋5
2 50＋10
3 50＋15
【方法点拨】 列关系式的步骤：(1)认真分析，理解题意；(2)同列方程解应 用题的思路一样，先找出等量关系；(3)写出关系式；(4)注意自变量的取值 范围．对于实际问题，自变量的取值改变，有时关系式也随之改变．
【变式训练】 3. 弹簧挂上物体后会伸长，测得某一弹簧的长度y(cm)与悬挂物体的质量x(kg) 有下面一组对应值．
(1)分别求出0≤x≤200和x>200时，y与x的函数表达式； (2)小明家5月份交纳电费117元，小明家这个月用电多少度？ 解：(1)当0≤x≤200时，y＝0.55x；当x>200时，y＝0.7x－30 (2)因为200×0.55＝110，而117>110，所以x>200， 由0.7x－30＝117得x＝210，即小明家这个月用电210度