奥数 勾股定理

学而思培优
五年级第一讲补充习题
12 5 13 9 17 5 14 4 9 17 3 5 13 14
图1
11. 如图，两个长方形大小相同，长和宽分别为 12 和 8，求阴影部分的面积．
12 8 A 8 12 7 8 B 12 12 8 D C 7
【解析】如右图所示，连接 AC ． 由 于 DC 8 7 1 ， 根 据 勾 股 定 理 可 知 ， AC 2 AD2 DC 2 122 12 145 ， 而 2 2 2 AC AB B，所以 C BC 2 145 82 81 ，可知 BC 9 ． 那么四边形 ABCD 的面积等于
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第一讲 勾股定理
本讲巩固
1. (2003 年第 1 届希望杯 5 年级 1 试第 9 题) 正方形的一条对角线长 13 厘米，这个正方形的面积是 13÷ 2=84.5 【解析】13× 平方厘米。
B
2. (2005 年第 3 届希望杯 5 年级 2 试第 7 题) 如图所示的三角形 ABC 的三条边 AB、BC、AC 中，最长的是______。 【解析】 根据勾股定理：AB2 22 42 20 , AC 2 12 52 26 , BC 2 32 52 34 。 A 所以，显然 BC 最长。 一个直角三角形，三条边长都是整数，其中一条直角边长度是 11，求斜边长（写出所有情 况） 。 2 2 2 【解析】11 =121×1=(61+60)(61-60)=61 －60 ，斜边长为 61。 4. 已知图中正方形的面积是 20 平方厘米，则图中里外两个圆的面积之和是 3.
81 ， 5
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五年级第一讲补充习题
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那么长方形的面积等于
81 162 2 32.4 。 5 5
13. （2007 年第十二届华杯赛六年级决赛第 3 题） 如图所示，两个正方形 ABCD 和 DEFG 的边长都是整数厘米，点 E 在线段 CD 上，且 CE＜DE，线段 CF ＝5 厘米，则五边形 ABCFG 的面积等于________平方厘米.
5. （2001 年第 8 届华杯赛初赛第 1 题） 2002 年国际数学家大会在北京召开，大会会标如下图所示。它是由四个相同的直角三角形拼成的(直 角边长为 2 和 3)。问：大正方形的面积是多少?
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五年级第一讲补充习题
给孩子受益一生的教育 【解析】中间小正方形的面积为 1，大正方形的面积为 4 个三角形与中间小正方形的面积之和，所以，大正 方形的面积＝
1 1 12 1 8 9 42 ，阴影部分的面积为12 8 42 54 ． 2 2
。
12. 如图，已知长方形长是宽的 2 倍，对角线的长是 9，则长方形的面积是
9
【解析】可以根据勾股定理进行分析：直角三角形中两条直角边的平方和等于斜边的平方。 因为长方形的长是宽的 2 倍，设长方形的宽为 a ，那么长用 2a 来表示，那么长方形的面积可以用 2a a 来 表示。 适用勾股定理， 2a 2a a a 9 9 ,得出 a a
解上述方程，得 2x=65，所以 x=32.5 平方厘米。
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10. （第 17 届日本小学算术奥林匹克试题） 沿直线将一个长方形剪掉一个角后形成一个五边形，已知这个五边形 5 条边的长度分别是 5 厘米、 9 厘米、 。这个五边形的面积是 平方厘米。 13 厘米、 14 厘米、 17 厘米（未必是按顺序的）
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五年级第一讲补充习题
给孩子受益一生的教育 【解析】如图所示，连接 AB 和 CD 相交于 O，容易由勾股定理和半圆面积公式得到三角形，ACH 的面积， 即得到三角形 AOC 的面积等于 AH，HC 上两个“月牙形”的面积之和。因此，这 8 个“月牙形”的总面积等于 正方形 ACBD 的面积。 由于这 8 个“月牙形”的总面积为 5 平方厘米，而正方形 EFGH 的面积为正方形 ACBD 的面积的 2 倍， 所以正方形 EFGH 的面积等于 10 平方厘米。
【解析】两弯月形面积＝ BC 何时有最大值.因为 本题即 AC× ，当
＋
× AC× BC＝ 时，
× AC× BC 有
BC 有最大值，即 AC＝BCBiblioteka Baidu时，阴影面积最大. 最大值，此时 AC×
15. (2005 年第 10 届华杯赛团体决赛口试题） 如图，阴影正方形的顶点分别是大正方形 EFGH 各边的中点，分别以大正方形各边的一半为直径向外 作半圆，再分别以阴影正方形的各边为直径向外作半圆，形成 8 个“月牙形”。这 8 个“月牙形”的 总面积为 5 平方厘米，问大正方形 EFGH 的面积是多少平方厘米?
C
．( π 取 3.14 )
【解析】设图中大圆的半径为 r ，正方形的边长为 a ，则小圆的直径等于正方形的边长，所以小圆的半径为
a a2 ，大圆的直径 2r 等于正方形的对角线长，即 (2r )2 a 2 a 2 ，得 r 2 ． 2 2 所以，大圆的面积与正方形的面积之比为： πr 2 : a 2 π : 2 ，所以大圆面积为： 20 2 π 10π ；小圆的 a 2 2 面积与正方形的面积之比为： π( ) : a π : 4 ，所以小圆的面积为： 20 4 π 5π ；两个圆的面积之和 2 为： 10π 5π 15π 15 3.14 47.1 (平方厘米)．
1 × 2× 3× 4＋1＝13． 2
6. 一个直角三角形，三条边长都是整数，其中一条直角边长度是 12，求斜边长（写出所有情况） 。 2 2 2 【解析】12 =2×72=(37-35)(37+35)=37 －35 ，斜边长为 37； =4×36=(20-16)(20+16)=202－162，斜边长为 20； =6×24=(15-9)(15+9)=152－92，斜边长为 15； =8×18=(13-5)(13+5)=132－52，斜边长为 13。 7. （2005 年第 10 届华杯赛团体决赛口试题 10 分题 22．）(抢答题 2) 右图中的两个滑块 A，B 由一个连杆连接，分别可以在垂直和水平的滑道上滑动。开始时，滑块 A 距 O 点 20 厘米，滑块 B 距 O 点 15 厘米。问；当滑块 A 向下滑到 O 点时，滑块 B 滑动了多少厘米?
12 12 2 18 ，则其面积为： 5 10 5 5
9. （2005 年第 10 届华杯赛团体决赛口试题） 如图所示，如果长方形 ABCD 的面积是 56 平方厘米，那么四边形 MNPQ 的面积是多少平方厘米?
【解析】如图所示，过 M，N，P，Q 分别作长方形 ABCD 的各边的平行线。易知交成中间的阴影正方形的 边长为 3 厘米，面积等于 9 平方厘米。 设△MQD，△NAM，△PBN，△QCP 的面积之和为 S，四边形 MNPQ 的面积等于 x，则
【解析】CF＝5，又 CE 和 EF 都是整数，根据勾股定理可知 CE＝3，EF＝4，CD＝7， 所以五边形 ABCFG 的面积为： ＝16＋49＋6＝71（平方厘米）
14. （2004 年第 9 届华杯赛总决赛二试第 2 题） 如右图， 在以 AB 为直径的半圆上取一点 C， 分别以 AC 和 BC 为直径在△ABC 外作半圆 AEC 和 BFC． 当 C 点在什么位置时，图中两个弯月型（阴影部分）AEC 和 BFC 的面积和最大．
第10题
【解析】长方形的长肯定是 17 厘米，又知截下的一角为直角三角形，它三条边为勾股数，结合题目数据 只可能是 3、4、5，5、12、13 这两种。所以五边形各边的长度只有以下两种情况，如图 1 所示。左图中， 五边形的面积为 17 14 5 12 2 208 ，右图中，五边形的面积为 17 13 4 3 2 215 。
【解析】由 AB ＝A0 ＋OB ＝20 ＋15 ＝25 ，可知连杆的长度等于 25 厘米。当滑块 A 向下滑到 O 点时，滑块 B 距 O 点的距离是 25 厘米，故滑块 B 滑动了 25－15＝10(厘米)。 (2010 年数学解题能力展示六年级初试试题) 梯形的上底为 5，下底为 10，两腰分别为 3 和 4，那么梯形的面积为________． 【解析】根据题意，将两腰部分的三角形，则可形成一个新三角形，此三角形的三条边长分别为 3、4、 5， 所以其为直角三角形，其高为 8.