高中数学第2轮总复习 专题6 第2课时 线性规划 文
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5． 可 行 域 ： 由 所 有 可 行 解 组 成 的 区 域 称 为 可 行 域 ， 也是约束条件中各个不等式解集的交集，在坐标 系中表现为各个不等式所示的平面区域的公共部 分．可行域可能是封闭的多边形，也可能是一侧 开 放 的 无 限 大 的 平 面 区 域 ．6． 最 优 解 就 是 使 目 标 函数取得最大值或最小值的可行解，可行解可能 只 有 一 个 ， 也 有 可 能 有 无 数 个 (当 一 边 界 所 在 直 线 的 斜 率 与 线 性 目 标 函 数 对 应 的 直 线 斜 率 相 等 时 )， 最优解一般是在边界上或顶点上取得．
专题六
解析几何
第2课时 线性规划
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1． 约 束 条 件 ： 就 是 变 量 x、 y满 足 的 一 组 条 件 ， 一 般
3x 4 y 2 0
表
现
为
不
等 式 (组
)，
如
2
x
y
3
0
(※ )． 如 果 约 束
x 3 y 0
条件对应的不等式均为一次，则又可称为线性约束
条件．
2． 目 标 函 数 ： 就 是 欲 求 最 大 值 或 最 小 值 所 涉 及 的
公 式 得 kPA
1 3
，
k
O
P
1， 所 以
1
u
1. 3
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考点2 应用线性规划解决实际问题
例2：制订投资计划时，不仅要考虑可能获得的 盈利，而且要考虑可能出现的亏损．某投资人 打算投资甲、乙两个项目，根据预测，甲、乙 项 目 可 能 的 最 大 盈 利 率 分 别 为100% 和50%， 可 能 的 最 大 亏 损 率 分 别 为 30% 和10%， 投 资 人 计 划 投 资 金 额 不 超 过10万 元 ， 要 求 确 保 可 能 的 资 金 亏 损 不 超 过1.8万 元 ． 问 投 资 人 对 甲 、 乙 两 个 项 目 各 投 资多少万元，才能使可能的盈利最大？
要题型有：1求与平面区域相关的距离最值； 2求与平面区域相关的斜率最值；3求与指
数函数、对数函数为目标函数的最值问题． 解答时同样要分析非线性目标函数与平面区 域的位置关系，进而确定它们的最值．
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y0 变试题实数x，y满足不等式组xy0 ，
2xy20 求u y1的取值范围．
x1
分 析 ： 因 为 表 达 式 y1与 斜 率 的 坐 标 公 式 类 似 ， x1
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考点1 求线性约束条件下的非线性目标函数问题
x y 2 0
例1：设x，y满足约束条件
x
2
y
1
0，
y 0
则z x 12 y 12 的最小值是( )
A. 4 B.16
5
25
C. 5 D. 25
4
16
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分析：所求最小值实质上求平面区域内的
点到点1,1的距离的最小值的平方，解答
6万 元 投 资 乙 项 目 ， 才 能 在 确 保 亏 损 不 超 过 1.8 万 元 的 前 提 下 ， 使 可 能 的 盈 利 最 大 ． ppt课件
【思维启迪】线性规划在实际应用中较为广泛， 利用线性规划解决应用问题的方法可按下列步 骤进行：①根据题意，建立数学模型，作出可 行域；②设所求的目标函数f (x，y) m；③平 行移动目标函数对应的直线方程确定m的最大 值或最小值．
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分 析 ： 根 据 已 知 的 数 据 建 立 不 等 式 约 束 条 件 和 目 标 函 数 ， 然 后 通 过 作 出 平 面 区 域 和 平 行 直 线 确 定 目 标 函 数 的 最 值 ．
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解 析 ： 设 投 资 人 分 别 用 x、 y万 元 投 资 甲 、 乙 两 个 项 目 ．
x y 10
由
题
意
知
，
0.3 x
x 0
0.1y
1.8 .
y 0
目 标 函 数 为 z x 0.5 y，
上述不等式组表示的平面
百度文库
区域如图阴影部分所示
(含 边 界 )， 即 为 可 行 域 ．
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作
直
线
l
：
0
x
0.5
y
0，
并
作
平
行
于
直
线
l
的
0
一
组
直
线
系 x 0.5 y z， z R， 其 中 有 一 条 直 线 经 过 可 行 域 上
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变试题 某人有楼房一幢，室内面积共计180 m2，拟 分割成两类房间作为旅游客房．大房间每间面积为 18 m2，可住游客5名，每名游客每天住宿费40元；小 房间每间面积为15 m2，可住游客3名，每名游客每天 住宿费50元．装修大房间每间需要1000元，装修小房 间每间需600元．如果他只能筹款8000元用于装修， 且游客能住满客房，他应隔出大房间和小房间各多 少间，能获得最大收益？
时首先根据约束条件画出平面区域，然后 观察点与平面区域的位置关系，进而求得 最小值．
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解析：如图所示，由平面区域的形状易知区域内的
点到点P1,1的最小距离就是点P到直线x2y1
0的距离，即 (x1)2 (y1)2 | 1211|， 12 22
即x12 y12 4，故选A.
5
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【思维启迪】求非线性目标函数的最值问题主
因 此 可 转 化 为 斜 率 问 题 来 解 决 ．
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解析：满足已知不等式组的
可 行 域 如 图 所 示 ， 视 ( x， y ) 为坐标平面可行域内的点，
则 u y 1 表 示 动 点 ( x， y )与 x 1
定 点 1,1 连 线 的 斜 率 ， 由 条 件 求 得
各 交 点 的 坐 标 O 0, 0 ， A 2, 2 ， B 1, 0 ， 由 斜 率
变 量 x、 y的 解 析 式 ， 如 果 目 标 函 数 是 关 于 两 个 变 量
x、 y的 一 次 解 析 式 ， 则 目 标 函 数 又 可 称 为 线 性 目 标
函 数 ， 如 z 3x 5 y.
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3．二元线性规划问题：就是在线性约束条件下 求线性目标函数的最大值或最小值的问题．如在 线性约束条件(※)下求函数z 3x 5y的最大值或 最小值问题． 4．可行解就是满足线性约束条件(※)的解(x，y)， 它是由约束条件构成的集合的一个元素．
的 点 M 时 ， z最 大 ， 这 里 点 M 是 直 线 x y 10与 直 线
0 .3 x
0 .1 y
1 .8的
交
点
．
解
方
程
组
x
0
.3
y 10 x 0.1y
， 1.8
得
x y
4 6
.此
时
z
1
4
0.5
6
7
(万
元
)．
所
以
当
x
4，
y 6时 ， z取 得 最 大 值 ． 故 投 资 人 用4万 元 投 资 甲 项 目 ，
5． 可 行 域 ： 由 所 有 可 行 解 组 成 的 区 域 称 为 可 行 域 ， 也是约束条件中各个不等式解集的交集，在坐标 系中表现为各个不等式所示的平面区域的公共部 分．可行域可能是封闭的多边形，也可能是一侧 开 放 的 无 限 大 的 平 面 区 域 ．6． 最 优 解 就 是 使 目 标 函数取得最大值或最小值的可行解，可行解可能 只 有 一 个 ， 也 有 可 能 有 无 数 个 (当 一 边 界 所 在 直 线 的 斜 率 与 线 性 目 标 函 数 对 应 的 直 线 斜 率 相 等 时 )， 最优解一般是在边界上或顶点上取得．
专题六
解析几何
第2课时 线性规划
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1． 约 束 条 件 ： 就 是 变 量 x、 y满 足 的 一 组 条 件 ， 一 般
3x 4 y 2 0
表
现
为
不
等 式 (组
)，
如
2
x
y
3
0
(※ )． 如 果 约 束
x 3 y 0
条件对应的不等式均为一次，则又可称为线性约束
条件．
2． 目 标 函 数 ： 就 是 欲 求 最 大 值 或 最 小 值 所 涉 及 的
公 式 得 kPA
1 3
，
k
O
P
1， 所 以
1
u
1. 3
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考点2 应用线性规划解决实际问题
例2：制订投资计划时，不仅要考虑可能获得的 盈利，而且要考虑可能出现的亏损．某投资人 打算投资甲、乙两个项目，根据预测，甲、乙 项 目 可 能 的 最 大 盈 利 率 分 别 为100% 和50%， 可 能 的 最 大 亏 损 率 分 别 为 30% 和10%， 投 资 人 计 划 投 资 金 额 不 超 过10万 元 ， 要 求 确 保 可 能 的 资 金 亏 损 不 超 过1.8万 元 ． 问 投 资 人 对 甲 、 乙 两 个 项 目 各 投 资多少万元，才能使可能的盈利最大？
要题型有：1求与平面区域相关的距离最值； 2求与平面区域相关的斜率最值；3求与指
数函数、对数函数为目标函数的最值问题． 解答时同样要分析非线性目标函数与平面区 域的位置关系，进而确定它们的最值．
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y0 变试题实数x，y满足不等式组xy0 ，
2xy20 求u y1的取值范围．
x1
分 析 ： 因 为 表 达 式 y1与 斜 率 的 坐 标 公 式 类 似 ， x1
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考点1 求线性约束条件下的非线性目标函数问题
x y 2 0
例1：设x，y满足约束条件
x
2
y
1
0，
y 0
则z x 12 y 12 的最小值是( )
A. 4 B.16
5
25
C. 5 D. 25
4
16
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分析：所求最小值实质上求平面区域内的
点到点1,1的距离的最小值的平方，解答
6万 元 投 资 乙 项 目 ， 才 能 在 确 保 亏 损 不 超 过 1.8 万 元 的 前 提 下 ， 使 可 能 的 盈 利 最 大 ． ppt课件
【思维启迪】线性规划在实际应用中较为广泛， 利用线性规划解决应用问题的方法可按下列步 骤进行：①根据题意，建立数学模型，作出可 行域；②设所求的目标函数f (x，y) m；③平 行移动目标函数对应的直线方程确定m的最大 值或最小值．
ppt课件
分 析 ： 根 据 已 知 的 数 据 建 立 不 等 式 约 束 条 件 和 目 标 函 数 ， 然 后 通 过 作 出 平 面 区 域 和 平 行 直 线 确 定 目 标 函 数 的 最 值 ．
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解 析 ： 设 投 资 人 分 别 用 x、 y万 元 投 资 甲 、 乙 两 个 项 目 ．
x y 10
由
题
意
知
，
0.3 x
x 0
0.1y
1.8 .
y 0
目 标 函 数 为 z x 0.5 y，
上述不等式组表示的平面
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区域如图阴影部分所示
(含 边 界 )， 即 为 可 行 域 ．
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作
直
线
l
：
0
x
0.5
y
0，
并
作
平
行
于
直
线
l
的
0
一
组
直
线
系 x 0.5 y z， z R， 其 中 有 一 条 直 线 经 过 可 行 域 上
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变试题 某人有楼房一幢，室内面积共计180 m2，拟 分割成两类房间作为旅游客房．大房间每间面积为 18 m2，可住游客5名，每名游客每天住宿费40元；小 房间每间面积为15 m2，可住游客3名，每名游客每天 住宿费50元．装修大房间每间需要1000元，装修小房 间每间需600元．如果他只能筹款8000元用于装修， 且游客能住满客房，他应隔出大房间和小房间各多 少间，能获得最大收益？
时首先根据约束条件画出平面区域，然后 观察点与平面区域的位置关系，进而求得 最小值．
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解析：如图所示，由平面区域的形状易知区域内的
点到点P1,1的最小距离就是点P到直线x2y1
0的距离，即 (x1)2 (y1)2 | 1211|， 12 22
即x12 y12 4，故选A.
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【思维启迪】求非线性目标函数的最值问题主
因 此 可 转 化 为 斜 率 问 题 来 解 决 ．
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解析：满足已知不等式组的
可 行 域 如 图 所 示 ， 视 ( x， y ) 为坐标平面可行域内的点，
则 u y 1 表 示 动 点 ( x， y )与 x 1
定 点 1,1 连 线 的 斜 率 ， 由 条 件 求 得
各 交 点 的 坐 标 O 0, 0 ， A 2, 2 ， B 1, 0 ， 由 斜 率
变 量 x、 y的 解 析 式 ， 如 果 目 标 函 数 是 关 于 两 个 变 量
x、 y的 一 次 解 析 式 ， 则 目 标 函 数 又 可 称 为 线 性 目 标
函 数 ， 如 z 3x 5 y.
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3．二元线性规划问题：就是在线性约束条件下 求线性目标函数的最大值或最小值的问题．如在 线性约束条件(※)下求函数z 3x 5y的最大值或 最小值问题． 4．可行解就是满足线性约束条件(※)的解(x，y)， 它是由约束条件构成的集合的一个元素．
的 点 M 时 ， z最 大 ， 这 里 点 M 是 直 线 x y 10与 直 线
0 .3 x
0 .1 y
1 .8的
交
点
．
解
方
程
组
x
0
.3
y 10 x 0.1y
， 1.8
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x y
4 6
.此
时
z
1
4
0.5
6
7
(万
元
)．
所
以
当
x
4，
y 6时 ， z取 得 最 大 值 ． 故 投 资 人 用4万 元 投 资 甲 项 目 ，