平面与回转体表面相交(1)

平面与回转体表面相交

引入：

物体表面上经常出现平面与回转面的交线，画图时通常把平面看成截平面，把交线看成截交线，再应用截交线的作图方法作出该交线的投影。

1.截交线的特点

平面与回转体相交产生的截交线通常是一条封闭的平面曲线，或曲线和直线围成的平面图形或多边形。

截交线是截平面与回转体表面的共有线。

截交线的形状取决于回转体表面的形状。

截交线的形状取决于截平面与回转体轴线的相对位置。

2.求回转体表面截交线投影的分析方法

1）分析截平面与回转体轴线之间的相互位置——搞清楚截交线的空间形状。

2）分析截平面与投影面的位置关系——初步掌握截交线的投影特点。

3.求平面与回转体表面截交线的步骤：

1）求截交线的特殊点这些点通常是转向轮廓线上的点、极限位置点（最高、最低点，最前、最后点，最左、最右点）。

2）求一般点是指在各特殊点之间插入一些点，目的是使截交线连接得更加平顺、光滑。通常是在具有积聚性投影的截平面投影上插入这些点，完成这些点的各面投影。

3）判别可见性并光滑连线。

4.回转体被截切的情况、投影分析和作图

1）平面与圆柱相交

截交情况：

依据截平面与圆柱体轴线的相对位置不同，其截交线的形状有圆、椭圆、和两条直线三种。

表4.1平面与圆柱面的交线

作图举例：

例题完成圆柱被切割后的俯视图和左视图。

分析：从立体图及已知条件可知，这是圆柱被正垂面截切，截平面与圆柱轴线斜交，截交线是椭圆。截交线正面投影重影为一直线，水平投影与圆柱面的投影重影积聚为圆；其侧面投影可根据投影规律和圆柱表面取点的方法求出。

作图：

①作截交线上的特殊点：椭圆长短轴的四个端点，转向轮廓线上点，最高、最低、最前和最后的点。

②作一般点：在主视图中插入Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ点的投影1’(2’)和3’(4’)。按圆柱表面取点方法作出相应点的水平和侧面投影。

③依顺序连接各点，作图结果如图c所示。

（a）（b）（c）例题如图a所示为接头的立体图及已知条件，完成接头的投影图。

分析：接头由左端的凹榫和右端的凸榫组成。凹榫的槽口可以看作是由两个平行于圆柱体轴线的正平面和一个垂直于圆柱体轴线的侧平面切割圆柱形成的切口；凸榫可以看作是分别由两个垂直于圆柱体轴线的侧平面和平行于圆柱体轴线的水平面切割而形成。由于各截平面与圆柱体轴线平行，接头的左、右两部分

的截交线在正面和水平面上的投影都是直线。

作图：

（a ）立体图及已知条件 （b ）作接头左边切口投影

（c ）作接头右边切口投影 （d ）作图结果

接头的视图 注意：连接切口各点之间的线段时应注意各线段的可见性。

2）平面与圆锥相交

截交情况：

根据截平面与圆锥轴线的相对位置不同，截平面与圆锥面的交线有五种形状。

作图举例：

完成圆锥被正平面截切后主视图

分析：由已知条件可知，截平面为侧平面，与圆锥体轴线平行，截交线是一条双曲线。截平面的正面和水平投影都具有积聚性。

作图：

①作特殊点底圆周上点，转向轮廓线上点

②作一般点在截交线正面投影的适当位置插入两个点。

③依次按顺序连接出截交线。

3）平面与球相交

球体被平面截切后的截交线是个圆。若截平面是投影面的平行面，则在所平行的投影面上的投影为圆的实形，其他两个投影面上的投影为直线。若截平面是投影面的垂直面，该截交线在所垂直的投影面上的投影积聚为直线，直线的长度为圆的直径，而在其他两个投影面上的投影是椭圆。椭圆的长轴既为直径的长度，

而短轴为直径在该投影面上的投影。

(a) (b)

球被截切

作图举例：

例如图 a所示为圆球被平面截切，求作球体的截交线的投影。

分析：球体被一正垂面截切，截交线在正面投影积聚为直线，直线的长度为截交圆的直径；在其他两个投影面上的投影是椭圆。椭圆的长轴为截交圆直径的长度，短轴为截交圆直径在该投影面上的投影。

作图：

①作特殊点确定椭圆的长短轴的端点,转向轮廓线上的点。

②确定一般点

③依次连接各点

（a）（b）（c）（d）

圆球体截交线

例完成半球上部开槽后的俯视图和左视图。

在求作平面和组合回转体截交线的投影时，可分别作出平面和组合回转体的各段回转面以及各平面表面的交线的投影，然后拼成所求的截交线的投影。

题如图a、b所示为顶针的立体图及已知条件，完成顶针的投影图。

分析：如图4.35a所示顶针是由同轴的一个圆锥和两个半径不同的圆柱组合后由一水平的截平面和侧平的截平面截切形成。截平面与圆锥的截交线为双曲线，与两圆柱的截交线为直线。如图4.35b所示条件给出顶针的正面和侧面投影，因此应先作出顶针被截切前的水平投影，再作截交线。

作图：

①作出完整的顶针水平投影图。

②作圆柱部分截交线。

作大圆柱截交线；作小圆柱截交线。

③作圆锥部分截交线。

④作图结果如图d所示。

需要特别指出：应注意圆锥及两个异径圆柱组合中的分界线以及被切割后这些交线的画法。三个立体的上半部分轮廓线是可见，下半部分轮廓是不可见的，

截断面上没有分界线。

（a）立体图（b）已知条件（c）特殊点确定

（d）一般点作图（e）作图结果

顶针的投影

5.平面立体与回转体相贯

平面立体与回转体相交产生的相贯线，通常是由平面立体的各个棱面或底面与回转体表面的交线连接而成的。因此求平面立体与回转体的相贯线可归结为求作平面与回转体表面的交线。

平面立体与回转体的相贯线一般情况下是几段相接的平面曲线，特殊情况下可能是几段相连的直线段；各相贯线段的连接点是平面立体的棱线或底边与回转体表面的贯穿点。

例如图 a三棱柱与圆柱相交，根据图b所示已知条件，作出它们的相贯线。

分析：由图可见，它是一个三棱柱与一个圆柱体相交。在图示位置，可看作由三棱柱的三个棱面，即两个正垂面与一个水平面分别与圆柱体相交。求出各棱