中考复习专题之构造辅助圆
2024年中考复习-专题13隐圆问题3种模型(解析版)
专题13隐圆问题3种模型通用的解题思路：隐圆一般有如下呈现方式：（1）定点定长：当遇到同一个端点出发的等长线段时，通常以这个端点为圆心，等线段长为半径构造辅助圆；（2）定弦定角：当遇到动点对定点对定线段所张的角为定值时，通常把张角转化为圆周角构造辅助圆。
当遇到直角时，通常以斜边为直径构造辅助圆。
（3）四点共圆：对角互补的四边形的四个顶点共圆。
隐圆常与线段最值结合考查。
类型1：定点定长1．（2023•新城区校级三模）圆的定义：在同一平面内，到定点的距离等于定长的所有点所组成的图形．（1）已知：如图1，OA OB OC∠=︒，则ACB∠=AOB==，请利用圆规画出过A、B．C三点的圆．若7035︒．如图，Rt ABCAB=．∠=︒，2BCA∆中，90∠=︒，30ABC（2）已知，如图2．点P为AC边的中点，将AC沿BA方向平移2个单位长度，点A、P、C的对应点分别为点D、E、F，求四边形BDFC的面积和BEA∠的大小．（3）如图3，将AC边沿BC方向平移a个单位至DF，是否存在这样的a，使得直线DF上有一点Q，满足45∠=︒且此时四边形BADF的面积最大？若存在，求出四边形BADF面积的最大值及平移距离a，BQA若不存在，说明理由．【分析】（1）利用圆的定义知A，B，C三点共圆，再利用圆周角定理求解．（2）根据图形的平移性质，判定平移后图形形状，继而确定面积的计算方式和方法，角度问题也迎刃而解．（3）因角度不变，借助圆周角定点在圆周上运动时角度不变的思想，判断出D点能够向右移动的最大距离，求出四边形的最大面积．【解答】（1）以O 为圆心，OA 为半径作辅助圆，如图，，70AOB ∠=︒ ，35ACB ∴∠=︒，故答案为35︒．（2）连接PB ，PE ，如图，，Rt ABC ∆中，90ABC ∠=︒，30BCA ∠=︒，2AB =．4AC ∴=，60BAC ∠=︒，BC =．P 为Rt ABC ∆斜边AC 中点，122BP AC ∴==，线段AC 平移到DF 之后，2AB AD PE ===，2BP AE ==，∴四边形ABPE 为菱形，60BAC ∠=︒ ，30BEA ∴∠=︒，//CF BD ，且90ABC ∠=︒，∴四边形BDFC 为直角梯形，11()622S BD CF BC ∴=+⨯=⨯⨯=（3）如图所示，以AB 为斜边在AB 的右侧作等腰直角三角形OAB ，以O 为圆心，OA 为半径作O ，当AC 边沿BC 方向平移a 个单位至DF 时，满足45BQA ∠=︒且此时四边形BADF 的面积最大，∴直线DF 与O 相切于点Q ，连接OQ 交AD 于G ，过点O 作OH AD ⊥于H ，则90AHO OHG DQG ∠=∠=∠=︒，45OAH ∠=︒，30GDQ ∠=︒，90ABC ∠=︒ ，30BCA ∠=︒，2AB =，BC ∴=OA OB OQ ===1AH OH ∴==，33HG =，233OG =，3GQ ∴=，23DG GQ ==-，11AD AH HG GD ∴=++=++，1a ∴=+，此时直角梯形ABFD 的最大面积为：11()112222S BF AD AB =⨯+⨯=⨯++-++⨯=+．【点评】本题主要考查图形的平移，圆心角，圆周角之间的关系，解题的关键是数形结合，找到极值点求解．2．（2024•兰州模拟）综合与实践【问题情境】在数学综合实践课上，“希望小组”的同学们以三角形为背景，探究图形变化过程中的几何问题，如图，在ABC ∆中，AB AC =，90BAC ∠=︒，点D 为平面内一点（点A ，B ，D 三点不共线），AE 为ABD ∆的中线．【初步尝试】（1）如图1，小林同学发现：延长AE 至点M ，使得ME AE =，连接DM ．始终存在以下两个结论，请你在①，②中挑选一个进行证明：①DM AC =；②180MDA DAB ∠+∠=︒；【类比探究】（2）如图2，将AD 绕点A 顺时针旋转90︒得到AF ，连接CF ．小斌同学沿着小林同学的思考进一步探究后发现：12AE CF =，请你帮他证明；【拓展延伸】（3）如图3，在（2）的条件下，王老师提出新的探究方向：点D 在以点A 为圆心，AD 为半径的圆上运动()AD AB >，直线AE 与直线CF 相交于点G ，连接BG ，在点D 的运动过程中BG 存在最大值．若4AB =，请直接写出BG的最大值．【分析】（1）利用SAS 证明ABE MDE ∆≅∆，可得AB DM =，再结合AB AC =，即可证得DM AC =；由全等三角形性质可得BAE DME ∠=∠，再运用平行线的判定和性质即可证得180MDA DAB ∠+∠=︒；（2）延长AE 至点M ，使得ME AE =，连接DM ．利用SAS 证得ACF DMA ∆≅∆，可得CF AM =，再由12AE AM =，可证得12AE CF =；（3）延长DA 至M ，使AM AD =，设AM 交CF 于N ，连接BM 交CF 于K ，取AC 中点P ，连接GP ，可证得()ACF ABM SAS ∆≅∆，利用三角形中位线定理可得//AE BM ，即//AG BM ，利用直角三角形性质可得11222GP AC AB ===，得出点G 在以P 为圆心，2为半径的P 上运动，连接BP 并延长交P 于G '，可得BG '的长为BG 的最大值，再运用勾股定理即可求得答案．【解答】（1）证明：①AE 为ABD ∆的中线，BE DE ∴=，在ABE ∆和MDE ∆中，BE DE AEB MED AE ME =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()ABE MDE SAS ∴∆≅∆，AB DM ∴=，AB AC = ，DM AC ∴=；②由①知ABE MDE ∆≅∆，BAE DME ∴∠=∠，//AB DM ∴，180MDA DAB ∴∠+∠=︒；（2）证明：延长AE 至点M ，使得ME AE =，连接DM．由旋转得：AF AD =，90DAF ∠=︒，90BAC ∠=︒ ，360DAF BAC BAD CAF ∠+∠+∠+∠=︒，180BAD CAF ∴∠+∠=︒，由（1）②得：180MDA DAB ∠+∠=︒，DM AB AC ==，CAF MDA ∴∠=∠，在ACF ∆和DMA ∆中，AF AD CAF MDA AC DM =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()ACF DMA SAS ∴∆≅∆，CF AM ∴=，12AE AM = ，12AE CF ∴=；（3）如图3，延长DA 至M ，使AM AD =，设AM 交CF 于N ，连接BM 交CF 于K ，取AC 中点P ，连接GP ，由旋转得：AF AD =，90DAF ∠=︒，AF AM ∴=，1809090MAF ∠=︒-︒=︒，90BAC ∠=︒ ，MAF CAM BAC CAM ∴∠+∠=∠+∠，即CAF BAM ∠=∠，在ACF ∆和ABM ∆中，AC AB CAF BAM AF AM =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()ACF ABM SAS ∴∆≅∆，AFC AMB ∴∠=∠，即AFN KMN ∠=∠，ANF KNM ∠=∠ ，90FAN MKN ∴∠=∠=︒，BM CF ∴⊥，E 、A 分别是DB 、DM 的中点，AE ∴是BDM ∆的中位线，//AE BM ∴，即//AG BM ，AG CF ∴⊥，90AGC ∴∠=︒，点P 是AC 的中点，11222GP AC AB ∴===，∴点G 在以P 为圆心，2为半径的P 上运动，连接BP 并延长交P 于G '，BG ∴'的长为BG 的最大值，在Rt ABP ∆中，BP ==2BG BP PG ∴'=+'=+，BG ∴的最大值为2+．【点评】本题是几何综合题，考查了三角形的全等的性质与判定，两直线垂直的判定，三角形中位线定理，勾股定理，圆的性质，熟练掌握全等三角形的判定定理是解决本题的关键．3．（2022•番禺区二模）已知抛物线23(0)2y ax bx a =+->与x 轴交于点A ，B 两点，OA OB <，4AB =．其顶点C 的横坐标为1-．（1）求该抛物线的解析式；（2）设点D 在抛物线第一象限的图象上，DE AC ⊥垂足为E ，//DF y 轴交直线AC 于点F ，当DEF ∆面积等于4时，求点D 的坐标；（3）在（2）的条件下，点M 是抛物线上的一点，M 点从点B 运动到达点C ，FM FN ⊥交直线BD 于点N ，延长MF 与线段DE 的延长线交于点H ，点P 为N ，F ，H 三点构成的三角形的外心，求点P 经过的路线长．【分析】（1）利用对称性，求得A 和B 的坐标，然后用待定系数法求得抛物线的解析式；（2）证明CGA ∆和DEF ∆都为等腰直角三角形，利用等面积法求得4DF =，再求得直线AC 的解析式为1y x =-，设点D 的坐标，得到点F 的坐标，然后求解即可；（3）先求得45BDF ∠=︒，推出点P 的运动路径时11H N 的中点绕点F 逆时针旋转90︒得到2N H 的中点之间的弧长，证明四边形2DN FE 为正方形，即可求解．【解答】解：（1） 点A ，点B 两点关于直线1x =-对称，4AB =，(1,0)A ∴，(3,0)B -，代入232y ax bx =+-得，30239302a b a b ⎧+-=⎪⎪⎨⎪--=⎪⎩，解得：121a b ⎧=⎪⎨⎪=⎩，∴抛物线的解析式为21322y x x =+-．（2）如图1所示：//DF y 轴//GC ，GCA DFE ∴∠=∠，抛物线的解析式为22131(1)2222y x x x =+-=+-，∴顶点(1,2)C --，(1,0)A ，2AG ∴=，2CG =，CGA ∴∆为等腰直角三角形，45GCA DFE ∴∠=∠=︒，DE AC ⊥ ，DEF ∴∆为等腰直角三角形，DE EF ∴=，DF =，142DEF S DE EF ∆=⋅= ，DE ∴=，4DF ∴==，设直线AC 的解析式为y kx b =+，则02k b k b +=⎧⎨-+=-⎩，解得：11k b =⎧⎨=-⎩，∴直线AC 的解析式为1y x =-，设点213(,22D x x x +-，则(,1)F x x -，221311(1)42222DF x x x x ∴=+---=-=，解得：3x =或3x =-（舍)，(3,6)D ∴，(3,2)F ．（3）如图2所示，NFH ∆ 是直角三角形，NFH ∴∆的外心是斜边NH 的中点，当点M 位于点B 时，△11N FH ，其外心是斜边11H N 的中点，当点M 位于点C 时，得△2N FE ，其外心是斜边22N H 的中点，即2N E 的中点，(3,6)D ，(3,0)B -，33tan 16BDF +∴∠==，45BDF ∴∠=︒，由（2）得，45FDE ∠=︒，45DBA BAC ∴∠=∠=︒，//BD AC ∴，FN BD ∴⊥，DF ∴平分BDE ∠，90BDE ∠=︒，∴点D ，N ，F ，H 四点共圆，∴点P 在线段DF 的垂直平分线上，即点P 在2N E 上运动，即点P 的运动轨迹是一条线段．2290DN F N DH DHF ∠=∠=∠=︒ ，2FN FE =，∴四边形2DN FE 为正方形，此时点P 在DF 上，且2EP =；当点M 与点C 重合时，此时点P 在DF 上，即为2P ，且222FP EP ==，由题意，224BN BD DN =-=，BF =2N F =，21//FN DH ，2BFN ∴∆∽△1BH D ，∴21BN BF BD BH =，解得1FH =，1FP ∴=，由勾股定理可得：121P P =，即点P 的运动轨迹长为1．【点评】本题主要考查二次函数的综合问题，包括待定系数法确定函数解析式，三角形外接圆的性质，弧长公式，勾股定理，三角函数解直角三角形等，理解题意，作出相应辅助线是解题的关键．4．（2021•红谷滩区校级模拟）（1）学习心得：小刚同学在学习完“圆”这一章内容后，感觉到有一些几何问题，如果添加辅助圆，运用圆的知识解决，可以使问题变得非常容易．例如：如图1，在ABC=，求BDC∆外一点，且AD AC∠的度数．若∆中，AB AC=，80BAC∠=︒，D是ABC以点A 为圆心，AB 为半径作辅助圆A ，则点C 、D 必在A 上，BAC ∠是A 的圆心角，而BDC ∠是圆周角，从而可容易得到BDC ∠=40︒．（2）问题解决：如图，在四边形ABCD 中，90BAD BCD ∠=∠=︒，25BDC ∠=︒，求BAC ∠的度数．（3）问题拓展：抛物线21(1)34y x =--+与y 轴交于点A ，顶点为B ，对称轴BC 与x 轴交于点C ，点P 在抛物线上，直线//PQ BC 交x 轴于点Q ，连接BQ ．①若含45︒角的直线三角板如图所示放置，其中，一个顶点与C 重合，直角顶点D 在BQ 上，另一顶点E 在PQ 上，求Q 的坐标；②若含30︒角的直角三角板一个顶点与点C 重合，直角顶点D 在BQ 上，另一个顶点E 在PQ 上，点D 与点B ，点Q 不重合，求点P 的坐标．【分析】（1）利用同弦所对的圆周角是所对圆心角的一半求解．（2）由A 、B 、C 、D 共圆，得出BDC BAC ∠=∠，（3）①先求出抛物线顶点的坐标，再由点D 、C 、Q 、E 共圆，得出45CQB OED ∠=∠=︒，求出CQ ，再求点Q 的坐标．②分两种情况，Ⅰ、当30︒的角的顶点与点C 重合时，Ⅱ、当60︒的角的顶点与点C 重合时，运用点D 、C 、Q 、E 共圆，求出CQ 即点P 的横坐标，再代入抛物线求出点P 的纵坐标，即可求出点P 的坐标．【解答】解：（1）AB AC = ，AD AC =，∴以点A 为圆心，点B 、C 、D 必在A 上，BAC ∠ 是A 的圆心角，而BDC ∠是圆周角，1402BDC BAC ∴∠=∠=︒，（2）如图2，90BAD BCD ∠=∠=︒ ，∴点A 、B 、C 、D 共圆，BDC BAC ∴∠=∠，25BDC ∠=︒ ，25BAC ∴∠=︒，（3）①如图3点B 为抛物线21(1)34y x =--+的顶点，∴点B 的坐标为(1,3)，45︒ 角的直角三角板如图所示放置，其中，一个顶点与C 重合，直角顶点D 在BQ 上，另一顶点E 在PQ 上，∴点D 、C 、Q 、E 共圆，45CQB CED ∴∠=∠=︒，3CQ BC ∴==，4OQ ∴=，∴点Q 的坐标为(4,0)，②如图4，Ⅰ、当30︒的角的顶点与点C 重合时，直角三角板30︒角的顶点与点C 重合，直角顶点D 在BQ 上，另一个顶点E 在PQ 上∴点D 、C 、Q 、E 共圆，60CQB CED ∴∠=∠=︒，3CQ BC ∴==1OQ ∴=+，∴把1+代入21(1)34y x =--+得94y =，∴点P 的坐标是(1+94Ⅱ、如图5，当60︒的角的顶点与点C 重合时，直角三角板60︒角的顶点与点C 重合，直角顶点D 在BQ 上，另一个顶点E 在PQ 上∴点D 、C 、Q 、E 共圆，30CQB CED ∴∠=∠=︒，CQ ∴==，1OQ ∴=+∴把1+21(1)34y x =--+得154y =-，∴点P 的坐标是(1+，154-综上所述，点P 的坐标是(1+94或(1+15)4-．【点评】本题主要考查了圆的综合题，解题的关键就是运用同弦对的圆周角相等．类型2：定弦定角1．（2022•雁塔区校级三模）问题提出（1）如图①，已知ABC ∆为边长为2的等边三角形，则ABC ∆的面积为问题探究（2）如图②，在ABC ∆中，已知120BAC ∠=︒，BC =，求ABC ∆的最大面积；问题解决（3）如图③，某校学生礼堂的平面示意为矩形ABCD ，其宽20AB =米，长24BC =米，为了能够监控到礼堂内部情况，现需要在礼堂最尾端墙面CD 上安装一台摄像头M 进行观测，并且要求能观测到礼堂前端墙面AB 区域，同时为了观测效果达到最佳，还需要从点M 出发的观测角45AMB ∠=︒，请你通过所学知识进行分析，在墙面CD 区域上是否存在点M 满足要求？若存在，求出MC 的长度；若不存在，请说明理由．【分析】（1）作AD BC ⊥于D ，由勾股定理求出AD 的长，即可求出面积；（2）作ABC ∆的外接圆O ，可知点A 在 BC上运动，当A O BC '⊥时，ABC ∆的面积最大，求出A H '的长，从而得出答案；（3）以AB 为边，在矩形ABCD 的内部作一个等腰直角三角形AOB ，且90AOB ∠=︒，过O 作HG AB ⊥于H ，交CD 于G ，利用等腰直角三角形的性质求出OA ，OG 的长，则以O 为圆心，OA 为半径的圆与CD 相交，从而O 上存在点M ，满足45AMB ∠=︒，此时满足条件的有两个点M ，过1M 作1M F AB ⊥于F ，作1EO M F ⊥于E ，连接OF ，利用勾股定理求出OE 的长，从而解决问题．【解答】解：（1）作AD BC ⊥于D ，ABC ∆ 是边长为2的等边三角形，1BD ∴=，AD ∴==ABC ∴∆的面积为122⨯=；（2）作ABC ∆的外接圆O ，120BAC ∠=︒ ，BC =，∴点A 在 BC上运动，当A O BC '⊥时，ABC ∆的面积最大，60BOA '∴∠=︒，33BH CH ==，3OH ∴=，6OB =，633A H OA OH ''∴=-=-=，ABC ∴∆的最大面积为133932⨯=（3）存在，以AB 为边，在矩形ABCD 的内部作一个等腰直角三角形AOB ，且90AOB ∠=︒，过O 作HG AB ⊥于H ，交CD 于G ，20AB = 米，10AH OH ∴==米，2OA =米，24BC = 米，14OG ∴=米，10214> ，∴以O 为圆心，OA 为半径的圆与CD 相交，O ∴ 上存在点M ，满足45AMB ∠=︒，此时满足条件的有两个点M ，过1M 作1M F AB ⊥于F ，作1EO M F ⊥于E ，连接OF ，10EF OH ∴==米，1102OM =114EM ∴=米，22112OE OM M E ∴-=米，18CM BF ∴==米，同理210212CM BH OE =+=+=（米)，MC ∴的长度为8米或12米．【点评】本题是四边形综合题，主要考查了等边三角形的性质，矩形的性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，垂径定理等知识，熟练掌握定角定边的基本模型是解题的关键．2．（2023•灞桥区校级模拟）问题提出：（1）如图①，ABC ∆为等腰三角形，120C ∠=︒，8AC BC ==，D 是AB 上一点，且CD 平分ABC ∆的面积，则线段CD 的长度为4．问题探究：（2）如图②，ABC ∆中，120C ∠=︒，10AB =，试分析和判断ABC ∆的面积是否存在最大值，若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由．问题解决：（3）如图③，2023年第九届丝绸之路国际电影开幕式在西安曲江竞技中心举行，主办方要在会场旁规划一个四边形花圃ABCD ，满足600BC =米，300CD =米，60C ∠=︒，60A ∠=︒，主办方打算过BC 的中点M 点（入口）修建一条径直的通道ME （宽度忽略不计）其中点E （出口）为四边形ABCD 边上一点，通道ME 把四边形ABCD 分成面积相等并且尽可能大的两部分，分别规划成不同品种的花圃以供影迷休闲观赏．问是否存在满足上述条件的通道ME ？若存在，请求出点A 距出口的距离AE 的长；若不存在，请说明理由．【分析】（1）由题意可知，CD 是ABC ∆的中线，利用等腰三角形的性质推出CD AB ⊥，利用三角函数求解即可解决问题；（2）当ABC ∆的AB 边上的高CD 最大时，三角形ABC 的面积最大，即CD 过圆心O ，连接AO ．求出CD 的最大值即可得出答案；（3）连接DM ，BD ．首先证明90BDC ∠=︒，求出BD ，推出BDC ∆的面积是定值，要使得四边形ABCD 的面积最大，只要ABD ∆的面积最大即可，因为BD 为定值，A ∠为定角60=︒，推出当ABD ∆是等边三角形时，求出四边形ABCD 的面积最大值，然后再求出90MDE ∠=︒，构建方程解决问题即可．【解答】解：（1）如图①，CD 平分ABC ∆的面积，AD DB ∴=，8AC BC == ，CD AB ∴⊥，1602ACD BCD ACB ∠=∠=∠=︒，cos 8cos 604CD AC ACD ∴=∠=︒=，CD ∴的长度为4，故答案为：4；（2）存在．如图②，10AB = ，120ACB ∠=︒都是定值，∴点C 在AB 上，并且当点C 在 AB 的中点时，ABC ∆的面积最大；连接OC 交AB 于点D ，则CD AB ⊥，152AD BD AB ===，1602ACD ACB ∠=∠=︒，∴tan AD ACD CD ∠=，53tan 603AD CD ==︒，∴125323ABC S AB CD ∆=⋅=，答：ABC ∆（3）存在．如图③，连接DM ，BD ，M 是BC 的中点，13002CM BC ∴==，CM CD ∴=，又60C ∠=︒ ，CMD ∴∆是等边三角形，60MDC CMD ∴∠=∠=︒，CM DM BM ==，30CBD MDB ∴∠=∠=︒，90BDC ∴∠=︒，tan 60BD CD ∴=⋅︒=米，在ABD ∆中，BD =60A ∠=︒为定值，由（2）可知当AB AD =时，即ABD ∆为等边三角形时ABD ∆的面积最大，此时也为四边形ABCD 的最大值(BDC ∆的面积不变），21330024max BDC BDA S S S ∆∆=+=⨯⨯=；ABD ∆ 是等边三角形，60ADB ∴∠=︒，90ADM ADB BDM ∴∠=∠+∠=︒，由12EMD CDM max S S S ∆∆+=，得：21130030022DE ⨯+=⨯解得：DE =，AE AD DE ∴=-==)，答：点A 距出口的距离AE 的长为米．【点评】本题是圆的综合题，考查了勾股定理，垂径定理，解直角三角形，等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意构造辅助圆，灵活运用所学知识解决问题，难度较大，属于中考压轴题．3．（2023•柯城区校级一模）如图，点A 与点B 的坐标分别是(1,0)，(5,0)，点P 是该直角坐标系内的一个动点．（1）使30APB ∠=︒的点P 有无数个；（2）若点P 在y 轴上，且30APB ∠=︒，求满足条件的点P 的坐标；（3）当点P 在y 轴上移动时，APB ∠是否有最大值？若有，求点P 的坐标，并说明此时APB ∠最大的理由；若没有，也请说明理由．【分析】（1）已知点A 、点B 是定点，要使30APB ∠=︒，只需点P 在过点A 、点B 的圆上，且弧AB 所对的圆心角为60︒即可，显然符合条件的点P 有无数个．（2）结合（1）中的分析可知：当点P 在y 轴的正半轴上时，点P 是（1）中的圆与y 轴的交点，借助于垂径定理、等边三角形的性质、勾股定理等知识即可求出符合条件的点P 的坐标；当点P 在y 轴的负半轴上时，同理可求出符合条件的点P 的坐标．（3）由三角形外角的性质可证得：在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角大于同弧所对的圆外角．要APB ∠最大，只需构造过点A 、点B 且与y 轴相切的圆，切点就是使得APB ∠最大的点P ，然后结合切线的性质、三角形外角的性质、矩形的判定与性质、勾股定理等知识即可解决问题．【解答】解：（1）以AB 为边，在第一象限内作等边三角形ABC ，以点C 为圆心，AC 为半径作C ，交y 轴于点1P 、2P ．在优弧1APB 上任取一点P ，如图1，则11603022APB ACB ∠=∠=⨯︒=︒．∴使30APB ∠=︒的点P 有无数个．故答案为：无数．（2）①当点P 在y 轴的正半轴上时，过点C 作CG AB ⊥，垂足为G ，如图1．点(1,0)A ，点(5,0)B ，1OA ∴=，5OB =．4AB ∴=．点C 为圆心，CG AB ⊥，122AG BG AB ∴===．3OG OA AG ∴=+=．ABC ∆ 是等边三角形，4AC BC AB ∴===．CG ∴===∴点C 的坐标为(3，．过点C 作CD y ⊥轴，垂足为D ，连接2CP ，如图1，点C 的坐标为(3，，3CD ∴=，OD =1P 、2P 是C 与y 轴的交点，1230APB AP B ∴∠=∠=︒．24CP CA == ，3CD =，2DP ∴== 点C 为圆心，12CD PP ⊥，12PD P D ∴==2(0P ∴，-．1(0P ，+．②当点P 在y 轴的负半轴上时，同理可得：3(0,P -．4(0,P -．综上所述：满足条件的点P 的坐标有：(0，-、(0，、(0,--、(0,-+．（3）当过点A 、B 的E 与y 轴相切于点P 时，APB ∠最大．理由：可证：APB AEH ∠=∠，当APB ∠最大时，AEH ∠最大．由2sin AEH AE∠=得：当AE 最小即PE 最小时，AEH ∠最大．所以当圆与y 轴相切时，APB ∠最大．①当点P 在y 轴的正半轴上时，连接EA ，作EH x ⊥轴，垂足为H ，如图2．E 与y 轴相切于点P ，PE OP ∴⊥．EH AB ⊥ ，OP OH ⊥，90EPO POH EHO ∴∠=∠=∠=︒．∴四边形OPEH 是矩形．OP EH ∴=，3PE OH ==．3EA ∴=．90EHA ∠=︒ ，2AH =，3EA =，EH ∴===OP ∴P ∴．②当点P 在y 轴的负半轴上时，同理可得：(0,P ．理由：①若点P 在y 轴的正半轴上，在y 轴的正半轴上任取一点M （不与点P 重合），连接MA ，MB ，交E 于点N ，连接NA ，如图2所示．ANB ∠ 是AMN ∆的外角，ANB AMB ∴∠>∠．APB ANB ∠=∠ ，APB AMB ∴∠>∠．②若点P 在y 轴的负半轴上，同理可证得：APB AMB ∠>∠．综上所述：当点P 在y 轴上移动时，APB ∠有最大值，此时点P 的坐标为和(0,．【点评】本题考查了垂径定理、圆周角定理、勾股定理、等边三角形的性质、矩形的判定与性质，切线的性质、三角形外角性质等知识，综合性强．同时也考查了创造性思维，有一定的难度．构造辅助圆是解决本题关键．类型3：四点共圆1．（2022•中原区校级模拟）阅读下列材料，并完成相应的任务．西姆松定理是一个平面几何定理，其表述为：过三角形外接圆上异于三角形顶点的任意一点作三边或其延长线的垂线，则三垂足共线（此线常称为西姆松线）．某数学兴趣小组的同学们尝试证明该定理．如图（1），已知ABC∆内接于O，点P在O上（不与点A，B，C重合），过点P分别作AB，BC，AC的垂线，垂足分别为点D，E，F．求证：点D，E，F在同一条直线上．如下是他们的证明过程（不完整）:如图（1），连接PB，PC，DE，EF，取PC的中点Q，连接QE．QF，则12EQ FQ PC PQ CQ====，（依据1)点E，F，P，C四点共圆，180FCP FEP∴∠+∠=︒．（依据2)又180ACP ABP∠+∠=︒，FEP ABP∴∠=∠．同上可得点B，D，P，E四点共圆，⋯⋯任务：（1）填空：①依据1指的是中点的定义及直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；②依据2指的是．（2）请将证明过程补充完整．（3）善于思考的小虎发现当点P是 BC的中点时，BD CF=，请你利用图（2）证明该结论的正确性．【分析】（1）利用直角直角三角形斜边上的中线的性质和圆内接四边形对角互补即可；（2）利用直角三角形斜边上中线的性质证明点E，F，P，C和点B，D，P，E四点分别共圆，再说明180FEP DEP∠+∠=︒，可证明结论；（3）连接PA，PB，PC，利用HL证明Rt PBD Rt PCF∆≅∆，从而得出结论．【解答】（1）解：①依据1指的是中点的定义及直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，②依据2指的是圆内接四边形对角互补，故答案为：①直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；②圆内接四边形对角互补；（2）解：如图（1），连接PB，PC，DE，EF，取PC的中点Q，连接QE．QF，则12EQ FQ PC PQ CQ ====，∴点E，F，P，C四点共圆，180FCP FEP∴∠+∠=︒，又180ACP ABP∠+∠=︒，FEP ABP∴∠=∠，同上可得点B，D，P，E四点共圆，DBP DEP∴∠=∠，180ABP DBP∠+∠=︒，180FEP DEP∴∠+∠=︒，∴点D，E，F在同一直线上；（3）证明：如图，连接PA，PB，PC，点P 是 BC的中点，∴ BPPC =，BP PC ∴=，PAD PAC ∠=∠，又PD AD ⊥ ，PF AC ⊥，PD PF ∴=，Rt PBD Rt PCF(HL)∴∆≅∆，BD CF ∴=．【点评】本题主要考查了四点共圆，以及圆内接四边形的性质，角平分线的性质，全等三角形的判定与性质等知识，证明Rt PBD Rt PCF ∆≅∆是解题的关键．2．（2021•哈尔滨模拟）（1）【学习心得】于彤同学在学习完“圆”这一章内容后，感觉到一些几何问题如果添加辅助圆，运用圆的知识解决，可以使问题变得非常容易．例如：如图1，在ABC ∆中，AB AC =，90BAC ∠=︒，D 是ABC ∆外一点，且AD AC =，求BDC ∠的度数．若以点A 为圆心，AB 为半径作辅助A ，则点C 、D 必在A 上，BAC ∠是A 的圆心角，而BDC ∠是圆周角，从而可容易得到BDC ∠=45︒．（2）【问题解决】如图2，在四边形ABCD 中，90BAD BCD ∠=∠=︒，25BDC ∠=︒，求BAC ∠的度数．（3）【问题拓展】如图3，如图，E ，F 是正方形ABCD 的边AD 上两个动点，满足AE DF =．连接CF 交BD 于点G ，连接BE 交AG 于点H ．若正方形的边长为2，则线段DH 长度的最小值是．【分析】（1）利用同弦所对的圆周角是所对圆心角的一半求解．（2）由A 、B 、C 、D 共圆，得出BDC BAC ∠=∠，（3）根据正方形的性质可得AB AD CD ==，BAD CDA ∠=∠，ADG CDG ∠=∠，然后利用“边角边”证明ABE ∆和DCF ∆全等，根据全等三角形对应角相等可得12∠=∠，利用“SAS ”证明ADG ∆和CDG ∆全等，根据全等三角形对应角相等可得23∠=∠，从而得到13∠=∠，然后求出90AHB ∠=︒，取AB 的中点O ，连接OH 、OD ，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得112OH AB ==，利用勾股定理列式求出OD ，然后根据三角形的三边关系可知当O 、D 、H 三点共线时，DH 的长度最小．【解答】解：（1）如图1，AB AC = ，AD AC =，∴以点A 为圆心，AB 为半径作圆A ，点B 、C 、D 必在A 上，BAC ∠ 是A 的圆心角，而BDC ∠是圆周角，1452BDC BAC ∴∠=∠=︒，故答案为：45；（2）如图2，取BD 的中点O ，连接AO 、CO ．90BAD BCD ∠=∠=︒ ，∴点A 、B 、C 、D 共圆，BDC BAC ∴∠=∠，25BDC ∠=︒ ，25BAC ∴∠=︒，（3）如图3，在正方形ABCD 中，AB AD CD ==，BAD CDA ∠=∠，ADG CDG ∠=∠，在ABE ∆和DCF ∆中，AB CD BAD CDA AE DF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()ABE DCF SAS ∴∆≅∆，12∴∠=∠，在ADG ∆和CDG ∆中，AD CD ADG CDG DG DG =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()ADG CDG SAS ∴∆≅∆，23∴∠=∠，13∴∠=∠，390BAH BAD ∠+∠=∠=︒ ，190BAH ∴∠+∠=︒，1809090AHB ∴∠=︒-︒=︒，取AB 的中点O ，连接OH 、OD ，则112OH AO AB ===，在Rt AOD ∆中，OD ===，根据三角形的三边关系，OH DH OD +>，∴当O 、D 、H 三点共线时，DH 的长度最小，最小值1OD OH =-=．（解法二：可以理解为点H 是在Rt AHB ∆，AB 直径的半圆 AB 上运动当O 、H 、D 三点共线时，DH 长度最小）1-．【点评】本题主要考查了圆的综合题，需要掌握垂径定理、圆周角定理、等腰直角三角形的性质以及勾股定理等知识，难度偏大，解题时，注意辅助线的作法．3．（2022•潢川县校级一模）如图1，点B 在直线l 上，过点B 构建等腰直角三角形ABC ，使90BAC ∠=︒，且AB AC =，过点C 作CD ⊥直线l 于点D ，连接AD ．（1）小亮在研究这个图形时发现，90BAC BDC ∠=∠=︒，点A ，D 应该在以BC 为直径的圆上，则ADB ∠的度数为45︒，将射线AD 顺时针旋转90︒交直线l 于点E ，可求出线段AD ，BD ，CD 的数量关系为；（2）小亮将等腰直角三角形ABC 绕点B 在平面内旋转，当旋转到图2位置时，线段AD ，BD ，CD 的数量关系是否变化，请说明理由；（3）在旋转过程中，若CD 长为1，当ABD ∆面积取得最大值时，请直接写AD 的长．【分析】（1）由90BAC ∠=︒，且AB AC =，可得45ACB ABC ∠=∠=︒，由90BAC BDC ∠=∠=︒，推出A 、B 、C 、D 四点共圆，所以45ADB ACB ∠=∠=︒；由题意知EAB DAC ∆≅∆，所以BE CD =，由AE AD =，90EAD ∠=︒，可知ADE ∆是等腰直角三角形，推出2CD DB EB BD DE +=+==；（2）如图2，将AD 绕点A 顺时针旋转90︒交直线l 于点E ．易证()EAB DAC SAS ∆≅∆，则BE CD =，由AE AD =，90EAD ∠=︒，所以ADE ∆是等腰直角三角形，则2DE =，由BD CD BD BE DE -=-=，推出BD CD-=；（3）当点D在线段AB的垂直平分线上且在AB的左侧时，ABD∆的面积最大．【解答】解：（1）①如图，在图1中．=，，且AB AC∠=︒90BACACB ABC∴∠=∠=︒，45，∠=∠=︒90BAC BDC∴、B、C、D四点共圆，A∴∠=∠=︒；45ADB ACB②由题意可知，90∠=∠=︒，EAD BAC∴∠=∠，EAB DAC又AE AD=，AB AC=，EAB DAC SAS∴∆≅∆，()∴=，BE CD，90AE AD=∠=︒，EAD∴∆是等腰直角三角形，ADE∴=，DE，+=+=CD DB EB BD DE∴+=；CD DB故答案为45︒，CD DB+=；（2）线段AD，BD，CD的数量关系会变化，数量关系为BD CD-=．理由如下：如图2，将AD绕点A顺时针旋转90︒交直线l于点E．则90∠=∠=︒，DAE CAB∴∠=∠，DAC EAB又AD AE=，AC AB=，EAB DAC SAS∴∆≅∆，()∴=，BE CD，90AE AD=∠=︒，EAD∴∆是等腰直角三角形，ADE∴=，2DE，-=-=BD CD BD BE DE∴-=；2BD CD（3）由（2）知，CDA BEA∆≅∆，∴∠=∠，CDA AEB，∠=︒DEA45∴∠=︒-︒=︒，AEB18045135∴∠=∠=︒，135CDA AEB∴∠+∠=︒+︒=︒，13545180CDA ABC∴、B、C、D四点共圆，A于是作A、B、C、D外接圆O，如图，当点D在线段AB的垂直平分线上且在AB的左侧时，DG经过圆心，此时DG最长，因此ABD∆的面积最大．作DG AB ⊥，则DG 平分ADB ∠，DB DA =，在DA 上截取一点H ，使得1CD DH ==，45ADB ACB ∠=∠=︒ ，22.5GDB ∴∠=︒，67.5DBG ∠=︒，67.54522.5DBC ∴∠=︒-︒=︒，4522.522.5HCB DHC HBC ∠=∠-∠=︒-︒=︒，HCB HBC ∴∠=∠，HB CH ∴==，1AD BD DH BH ∴==+=．【点评】本题考查三角形综合题、等腰直角三角形的性质和判定、全等三角形的判定和性质、圆等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会利用辅助圆解决问题，属于中考压轴题．。
部编数学九年级上册专题24定点定长构造辅助圆(解析版)含答案
专题24 定点定长构造辅助圆1．如图，已知AB AC AD==，2CBD BDCÐ=Ð，44BACÐ=°，则CADÐ的度数为( )A．68°B．88°C．90°D．112°【解答】解：如图，AB AC AD==Q，\点B、C、D在以点A为圆心，以AB的长为半径的圆上；2CBD BDCÐ=ÐQ，2CAD CBDÐ=Ð，2BAC BDCÐ=Ð，2CAD BAC\Ð=Ð，而44BACÐ=°，88CAD\Ð=°，故选：B．2．如图，在四边形ABCD中，AB AC AD==，50BACÐ=°则BDCÐ的大小是( )A．30°B．75°C．15°D．25°【解答】解：由AB AC AD==，50BACÐ=°，则可添加辅助圆，\有1252BDC BACÐ=Ð=°，故选：D．3．如图，在矩形ABCD 中，已知3AB =，4BC =，点P 是BC 边上一动点（点P 不与B ，C 重合），连接AP ，作点B 关于直线AP 的对称点M ，则线段MC 的最小值为( )A ．2B ．52C ．3D 【解答】解：连接AM ，Q 点B 和M 关于AP 对称，3AB AM \==，M \在以A 圆心，3为半径的圆上，\当A ，M ，C 三点共线时，CM 最短，5AC ==Q ，3AM AB ==，532CM \=-=，故选：A ．4．如图，正方形ABCD 中，E 为AB 中点，FE AB ^，2AF AE =，FC 交BD 于O ，则DOC Ð的度数为( )A ．60°B ．67.5°C ．75°D ．54°【解答】解：如图，连接DF 、BF ．FE AB ^Q ，AE EB =，FA FB \=，2AF AE =Q ，AF AB FB \==，AFB \D 是等边三角形，AF AD AB ==Q ，\点A 是DBF D 的外接圆的圆心，1302FDB FAB \Ð=Ð=°，Q 四边形ABCD 是正方形，AD BC \=，90DAB ABC Ð=Ð=°，45ADB DBC Ð=Ð=°，FAD FBC \Ð=Ð，FAD FBC \D @D ，15ADF FCB \Ð=Ð=°，60DOC OBC OCB \Ð=Ð+Ð=°．解法二：连接BF ．易知15FCB Ð=°，451560DOC OBC FCB Ð=Ð+Ð=°+°=°故选：A ．5．如图，已知等边ABC D 的边长为8，以AB 为直径的圆交BC 于点F ．以C 为圆心，CF 长为半径作图，D 是C e 上一动点，E 为BD 的中点，当AE 最大时，BD 的长为( )A ．B ．C ．2D ．12【解答】解：点D 在C e 上运动时，点E 在以F 为圆心的圆上运动，要使AE 最大，则AE 过F ，连接CD ，ABC D Q 是等边三角形，AB 是直径，EF BC \^，F \是BC 的中点，E Q 为BD 的中点，EF \为BCD D 的中位线，//CD EF \，CD BC \^，8BC =，4CD =，故BD ===，故选：B ．二．填空题（共6小题）6．如图，点A ，B 的坐标分别为(4,0)A ，(0,4)B ，C 为坐标平面内一点，2BC =，点M 为线段AC的中点，连接OM ，OM 的最大值为 1+ ．【解答】解：C Q 为坐标平面内一点，2BC =，\点C 的运动轨迹是在半径为2的B e 上，如图，取4OD OA ==，连接OD ，Q 点M 为线段AC 的中点，OM \是ACD D 的中位线，12OM CD \=，OM \最大值时，CD 取最大值，此时D 、B 、C 三点共线，此时在Rt OBD D 中，BD ==，2CD \=+，OM \的最大值是1+．故答案为：1+．7．如图，四边形ABCD 中，AB AC AD ==，且3CAD BAC Ð=Ð，若42DBC Ð=°，则CAD Ð= 84° ，BDC Ð= ．【解答】解：AB AC AD ==Q ，\点B ，C ，D 在以A 为圆心的圆上，42DBC Ð=°Q ，284CAD DBC \Ð=Ð=°，3CAD BAC Ð=ÐQ ，1283BAC CAD \Ð=Ð=°，12BDC BAC Ð=ÐQ ，128142BDC \Ð=´°=°．故答案为：84°，14°．8．如图所示，AB AC AD ==，18DBC Ð=°，则CAD Ð= 36° ．【解答】解：AB AC AD ==Q ，B \、C 、D 三点在以点A 为圆心，以AB 为半径的圆上．18DBC Ð=°Q ，236CAD DBC \Ð=Ð=°．故答案为：36°．9．如图，四边形ABCD 中，AE 、AF 分别是BC ，CD 的中垂线，80EAF Ð=°，30CBD Ð=°，则ABC Ð= 40° ，ADC Ð= ．【解答】解：连接AC，AEQ、AF分别是BC、CD的中垂线，\==，AB AC ADB\、C、D在以A为圆心，AB为半径的圆上，Q，Ð=°CBD30\Ð=Ð=°，DAC DBC260=，Q，CF DFAF CD^DAF\Ð=°，30\Ð=°，ADC60又803050Q，EACÐ=°-°=°\Ð=Ð=°-°=°．905040ABC ACE故答案为：40°，60°．10．如图，AB AC ADÐ是BDCÐ的k倍，那么DBCÐ的 k 倍．Ð是CAB==，如果DAC【解答】解：AB AC AD==Q，\点B、C、D在以A为圆心的圆上，12BDC CAB \Ð=Ð，12DBC DAC Ð=Ð，DAC k CAB Ð=ÐQ ，222k k DBC CAB BDC k BDC \Ð=Ð=´Ð=Ð，故答案为：k11．如图，矩形ABCD 中，4AB =，8BC =，P 是直线AB 上的一个动点，2AE =，APE D 沿PE翻折形成FPE D ，连接PF 、EF ，则FC 的最小值是 2 ，点F 到线段BC 的最短距离是 ．【解答】解：连接CE ，作EG BC ^于G ，2AE EF ==Q ，\点F 在以E 为圆心，AE 为半径的圆上运动，在Rt CDE D 中，由勾股定理得，CE ===，FC \的最小值为22CE -=，90DAB ABC BGE Ð=Ð=Ð=°Q ，\四边形ABGE 是矩形，4EG AB \==，\点F 到线段BC 的最短距离是2，故答案为：2-，2．三．解答题（共9小题）12．如图，在ABC D 中，AB AC =，过点B 作BD BC ^，BD BC =，连接AD 交BC 于点F ．E 是CD 的中点，连接AE 交BC 于G ．（1）若AB BD =，求ADC Ð的度数；（2）若4BC BF =，且4AB =，求四边形ABDC 的面积．【解答】解：（1）如图1中，AB AC =Q ，BD BC =，AB BD =，AB BC AC \==，ABC \D 是等边三角形，60ABC \Ð=°，BA BC BD ==Q ，A \、C 、D 三点在B e 上，1302ADC ABC \Ð=Ð=°．（2）如图2中，连接BE ．90DBC Ð=°Q ，DE EC =，BE EC DE \==，AB AC =Q ，AE \垂直平分BC ，BG CG \=，设BG CG a ==，则2BC BD a ==，14BF BC =Q ，BF FG \=，//BD AG Q ，BFD GFA \D D ∽，\1BF BD FG AG==，2BD AG a \==，在Rt ABG D 中，222AB AG BG =+Q ，22164a a \=+，2165a \=，21111642222422225ABCD S BC AG BC BD a a a a a \=××+××=´´+´´==四边形．13．如图，AB AC AD ==，2CBD BDC Ð=Ð，40BAC Ð=°，求CAD Ð的度数．【解答】解：AB AC AD ==Q ，B \，C ，D 在以A 为圆心，AB 为半径的圆上，2CAD CBD \Ð=Ð，2BAC BDC Ð=Ð，2CBD BDC Ð=ÐQ ，40BAC Ð=°，280CAD BAC \Ð=Ð=°．14．圆的定义：在同一平面内，到定点的距离等于定长的所有点所组成的图形．（1）已知：如图1，OA OB OC ==，请利用圆规画出过A 、B ．C 三点的圆．若70AOB Ð=°，则ACB Ð= 35° ．如图，Rt ABC D 中，90ABC Ð=°，30BCA Ð=°，2AB =．（2）已知，如图2．点P 为AC 边的中点，将AC 沿BA 方向平移2个单位长度，点A 、P 、C 的对应点分别为点D 、E 、F ，求四边形BDFC 的面积和BEA Ð的大小．（3）如图3，将AC 边沿BC 方向平移a 个单位至DF ，是否存在这样的a ，使得直线DF 上有一点Q ，满足45BQA Ð=°且此时四边形BADF 的面积最大？若存在，求出四边形BADF 面积的最大值及平移距离a ，若不存在，说明理由．【解答】（1）以O 为圆心，OA 为半径作辅助圆，如图，，70AOB Ð=°Q ，35ACB \Ð=°，故答案为35°．（2）连接PB ，PE ，如图，，Rt ABC D 中，90ABC Ð=°，30BCA Ð=°，2AB =．4AC \=，60BAC Ð=°，BC =．P Q 为Rt ABC D 斜边AC 中点，122BP AC \==，线段AC 平移到DF 之后，2AB AD PE ===，2BP AE ==，\四边形ABPE 为菱形，60BAC Ð=°Q ，30BEA \Ð=°，//CF BD Q ，且90ABC Ð=°，\四边形BDFC 为直角梯形，11()622S BD CF BC \=+´=´´=，（3）如图所示，当AC 边沿BC 方向平移2个单位至DF 时，满足45BQA Ð=°且此时四边形BADF 的面积最大，此时直角梯形ABFD 的最大面积为，11()22)2422S BF AQ AB =´+´=´+´=+15．在Rt ABC D 中，90ABC Ð=°，BE AC ^，EG 、EF 分别平分AEB Ð和CEB Ð，求证：BG BF =．【解答】解：连接GF ，取GF 中点O ，连接BO ，EO ，BE AC ^Q ，90AEB BEC \Ð=Ð=°，EG Q 、EF 分别平分AEB Ð和CEB Ð，45GEB FEB \Ð=Ð=°，90GEF \Ð=°，在Rt GBFD中，BO，EO分别是斜边的中线，D和Rt GEF==，BO GO FO\==，EO GO FO\===，BO EO GO FO\、B、F、E四点在以O为圆心，BO为半径的圆上，G\Ð=Ð=°，45BGF BEF\D是等腰直角三角形，GBF\=．GB FB16．如图，在ABCÐ=°，连接BDCBD=，DE垂直平分AC，且30D中，AB AC=；（1）求证：AB ADD是等腰三角形，求ABC（2）设AD交BC于点P，若ABPÐ的度数．【解答】解：（1）证明：作BDCD的外接圆，延长DE交圆于点F，连接CF、AF，如图所示，则有30Ð=Ð=°．DBC DFCDEQ垂直平分AC，\=，AF FC\Ð=Ð=°，30AFE CFE\Ð=°，60AFCAFC\D是等边三角形，\=．AF AC=Q，AB AC\==，AF AC AB\点A为所作圆的圆心，AB AD\=．=，（2）①若PA PB则ABC BAPÐ=Ð．Q，AB AC=\Ð=Ð．ABC ACBQ，260Ð=Ð=°DAC DBC\Ð=Ð+Ð=°+Ð，APB PAC ACB ACB60\Ð=°+Ð．APB ABC60Q，Ð+Ð+Ð=°ABC BAP APB180\Ð+°=°，ABC360180解得：40Ð=°ABC=，②若BA BP同理可得：20ABCÐ=°．=，③AB AP此时P与C重合，则D与E重合，不符合题意，故舍去．综上所述：当ABPD是等腰三角形时，ABCÐ的度数为40°或20°．17．【阅读】辅助线是几何解题中沟通条件与结论的桥梁．在众多类型的辅助线中，辅助圆作为一条曲线型辅助线，显得独特而隐蔽．性质：如图①，若90Ð=Ð=°，则点D在经过A，B，C三点的圆上．ACB ADB【问题解决】运用上述材料中的信息解决以下问题：（1）如图②，已知DA DB DC==．求证：2ADB ACBÐ=Ð．（2）如图③，点A，B位于直线l两侧．用尺规在直线l上作出点C，使得90Ð=°．（要求：ACB要有画图痕迹，不用写画法）（3）如图④，在四边形ABCD中，90^，点F在CA的延长线上，连接DF，CADÐ=°，CB DBÐ=Ð．ADF ABD求证：DF是ACDD外接圆的切线．【解答】解：（1）如图②，由DA DB DC==，可知点A，B，C在以D为圆心，DA为半径的圆上．所以，2Ð=Ð．ADB ACB（2）如图③，点1C ，2C 就是所要求作的点．（3）如图④，取CD 的中点O 为圆心，CD 为直径作圆O ，则O e 是ACD D 的外接圆；由90DAC DBC Ð=Ð=°，可得点B 在ACD D 的外接圆上．ACD ABD \Ð=Ð．ADF ABD Ð=ÐQ ，ACD ADF \Ð=Ð．90ACD ADC Ð+Ð=°Q ，90ADF ADC \Ð+Ð=°．90CDF \Ð=°．即CD DF ^．DF \是ACD D 外接圆的切线．18．在Rt ABC D 中，90A Ð=°，4AC AB ==，D ，E 分别是边AB ，AC 的中点，若等腰Rt ADE D 绕点A 逆时针旋转，得到等腰Rt △11AD E ，设旋转角为(0180)a a <°…，记直线1BD 与1CE 的交点为P ．（1）如图1，当90a =°时，线段1BD 的长等于 线段1CE 的长等于 ；（直接填写结果）（2）如图2，当135a =°时，求证：11BD CE =，且11BD CE ^；（3）求点P 到AB 所在直线的距离的最大值．（直接写出结果）【解答】（1）解：90A Ð=°Q ，4AC AB ==，D ，E 分别是边AB ，AC 的中点，2AE AD \==，Q 等腰Rt ADE D 绕点A 逆时针旋转，得到等腰Rt △11AD E ，设旋转角为(0180)a a <°…，\当90a =°时，12AE =，190E AE Ð=°，1BD \==1E C ==故答案为：，；（2）证明：当135a =°时，如图2，Rt Q △11AD E 是由Rt ADE D 绕点A 逆时针旋转135°得到，11AD AE \=，11135D AB E AC Ð=Ð=°，在△1D AB 和△1E AC 中Q 1111AD AE D AB E AC AB AC =ìïÐ=Ðíï=î，\△1D AB @△1()E AC SAS ，11BD CE \=，且11D BA E CA Ð=Ð，记直线1BD 与AC 交于点F ，BFA CFP \Ð=Ð，90CPF FAB \Ð=Ð=°，11BD CE \^；（3）解：如图3，作PG AB^，交AB 所在直线于点G ，1D Q ，1E 在以A 为圆心，AD 为半径的圆上，当1BD 所在直线与A e 相切时，直线1BD 与1CE 的交点P 到直线AB 的距离最大，此时四边形11AD PE 是正方形，12PD =，则1BD ==故30ABP Ð=°，则2PB =+，故点P 到AB 所在直线的距离的最大值为：1PG =．19．如图，在Rt ABC D 中，90C Ð=°，6AC =，8BC =，点F 在边AC 上，并且2CF =，点E 为BC 边上的动点，将FCE D 沿直线EF 翻折，点C 落在点P 处，求点P 到边AB 距离的最小值．【解答】解：如图，延长FP 交AB 于M ，2FP CF ==Q ，\点P 在以F 为圆心，CF 为半径的圆上运动，当FP AB ^时，点P 到AB 的距离最小，A A Ð=ÐQ ，90AMF C Ð=Ð=°，AMF ACB \D D ∽，\AF FM AB BC=，2CF =Q ，6AC =，8BC =，4AF \=，10AB ==，\4108FM =，3.2FM \=，2PF CF ==Q ，1.2PM \=，\点P 到边AB 距离的最小值为1.2．20．如图，ABC D 中，4AC BC ==，90ACB Ð=°，过点C 任作一条直线CD ，将线段BC 沿直线CD 翻折得线段CE ，直线AE 交直线CD 于点F ．（1）小智同学通过思考推得当点E 在AB 上方时，AEB Ð的角度是不变的，请按小智的思路帮助小智完成以下推理过程：AC BC EC ==Q ，A \、B 、E 三点在以C 为圆心以AC 为半径的圆上．AEB \Ð=ACB = °．（2）若2BE =，求CF 的长．（3）线段AE 最大值为 ；若取BC 的中点M ，则线段MF 的最小值为 ．【解答】解：（1）AC BC EC ==Q ，A \、B 、E 三点在以C 为圆心以AC 为半径的圆上，1452AEB ACB \Ð=Ð=°，故答案为：12，45；（2）由折叠可知，CD 垂直平分BE ，BE CD \^，设CD 、BE 交于点G ，则112GE BG BE ===，90FGE \Ð=°，45AEB Ð=°Q ，1FG GE \==，在Rt CEG D 中，由勾股定理得，CG ==1CF CG FG \=-=-；（3）A Q ，B ，E ，三点在以C 为圆心，以AC 为半径的圆上，\当AE 经过圆心C 时，线段AE 的最大值为28AC =，在Rt ABC D 中，4AC BC ==，90ACB Ð=°，AB \==122BM CM BC ===，45ABC BAC Ð=Ð=°，连接BF ，取AB 的中点O ，连接OF ，如图，CD Q 垂直平分BE ，45AEB Ð=°，BF EF \=，45EBF AEB \Ð=Ð=°，90EFB \Ð=°，90AFB \Ð=°，12OF AB OA OB \====，\点F 在以点O 为圆心，AB 为直径的圆上，90ACB Ð=°Q ，\点C 在O e 上，\当OF 经过点M 时，MF 最短，此时OF BC ^，tan 212OM BM ABC \=×Ð=´=，2MF OF OM \=-=-，即线段MF 的最小值为2，故答案为：8；2．。
“构造辅助圆”在初中数学解题中的灵活运用
２０２３年９月下半月㊀解题研究㊀㊀㊀㊀构造辅助圆 在初中数学解题中的灵活运用◉吉林师范大学数学与计算机学院㊀王㊀雪㊀㊀摘要:在数学解题过程中,常规的解题思路并不能应对一些比较复杂的几何问题,这时候就需要转换思路,有时利用 圆 ,就可以有效解答一类问题．借助 辅助圆 将几何问题中分散的条件集中,有助于发现题目中的隐含条件,从而起到化繁为简的作用．本文中通过实例分析,帮助学生明确辅助圆的应用环境,以及针对不同题型如何构造辅助圆．关键词:辅助圆;初中数学;几何问题㊀㊀构造辅助圆 是指在原有的几何图形上,构建一个辅助圆,利用圆的特性来完成题目的解答．通过辅助圆的构造,能够将几何题目中较为繁杂的已知条件进行集中处理,同时能够发现几何图形中的隐藏条件,利用对这部分条件的分析,快速解决问题．本文中结合实例,帮助学生明确辅助圆的应用环境,以及针对不同题型如何构造辅助圆．１构造辅助圆 解决数学问题的应用现状目前初中生在解题的过程中,较少应用辅助圆,且应用效果不理想．在几何题的解答过程中,辅助线的应用是比较常见的,但是有部分题目通过辅助线来解答依旧存在难度,甚至需要多条辅助线才能完成,如果学生用这种方法应对选择题和填空题,就会浪费大量的时间．而应用辅助圆则可以为相关问题披上圆的外衣,这样就可以依据圆的性质进行解题,从根本上起到化繁为简的作用[１]．２构造辅助圆 解决数学问题的实际案例２．１辅助圆在求线段长度的几何问题中的应用在解决求线段长度的几何问题中,通常是利用相同端点的线段构造辅助圆,以端点作为圆心,选取相等的线段作为半径或直径,完成辅助圆的构建后再利用圆的基本性质求解线段长度[２]．例１㊀在四边形D C B E 中,点A 在B E 上,A E ʊC D ,A B ＝A C ＝A D ＝A E ＝５c m ,且B C ＝１９c m ,求对角线B D 的长度．解析:由A E ʊC D ,得øB D C ＝øD B E ．图１由A B ＝A C ＝A D ＝A E ,将点D ,C ,B ,E 视为圆上的点构建辅助圆,如图１．于是弦D E 与弦B C 的长度相等．又由B C ＝１９c m ,得B C ＝D E ＝１９c m ．因为E B 为辅助圆的直径,所以øE D B ＝９０ʎ．所以在R tәE D B 中,根据勾股定理可知,B D ＝E B ２－E D ２．又A B ＝５c m ,E B 为圆A 的直径,则E B ＝１０c m ．所以B D ＝１０２－(１９)２＝９(c m )．２．２辅助圆在求度数的几何问题中的应用在解决求度数的几何问题中,通常可以将公共点作为顶点,作三角形的外接圆．在构建辅助圆的过程中要将三角形与辅助圆建立明确的关系．图２例２㊀如图２所示,әA B C为等腰三角形,且A B ＝A C ,直线A P 为әA B C 外侧直线,点B 与点D 关于A P 轴对称．求证:ø１＝ø２．证明:ȵ点B ,D 关于直线A P 对称,ʑ直线A P 为线段B D 的垂直平分线．ʑәA D B 为等腰三角形．图３ʑA D ＝A B ＝A C ．故可以A C 为半径,点A 为圆心,构建如图３所示的辅助圆．ȵP 为B D 中点,且A P 为过点E 的直线,ʑәD E B 为等腰三角形．ʑD E ＝B E ．ʑøE D B ＝øE B D ．ʑø２＝２øE D B ．又ø１＝２øC D B (同弧所对的圆心角是圆周角的２倍),ʑø１＝ø２．２．３辅助圆在求图形面积问题中的应用在数学中考题中,涉及面积的题型也很多,当题目条件较多且分散的几何图形很难运用面积公式时,可以尝试构建辅助圆,利用圆的基本性质以及圆的面３７Copyright ©博看网. All Rights Reserved.解题研究２０２３年９月下半月㊀㊀㊀积公式进行计算[３]．例３㊀如图４,әA B C 为等边三角形,且A B ＝A D ,AH ʅC D 于点H ,且P C ʅBC ,C P 与AH 交于点P ,求证:S әA B C ＝３４A PB D ．图４㊀㊀㊀图５解析:依题意可知A B ＝A C ＝B C ＝A D ,构建以点A 为圆心,A B 为半径的圆,得到如图５所示的辅助圆．ȵәA B C 为等边三角形,ʑøB A C ＝øA C B ＝øA B C ＝６０ʎ．ʑøB D C ＝１２øB A C ＝３０ʎ．又øB C P ＝９０ʎ,øB C A ＝６０ʎ,ʑøP C A ＝øC D B ＝３０ʎ．ȵøC B D ＝１２øC A D ＝øP A C ,ʑәB C D ʐәA P C ．ʑB C ʒA P ＝B D ʒA C ．又B C ＝A C ,ʑB C ２＝A P ˑB D ．ʑS әA B C ＝３４A PB D ．２．４辅助圆在求线段比或面积比问题中的应用图形中的某两条线段成比例或图形面积成比例这类题型是中考的难点和重点．利用辅助圆则可以结合圆的性质,通过圆中的线与角的关系进行求解．构建辅助圆时,要将有关线段置于辅助圆的关键位置,例如,可作为直径㊁半径或弧所对的弦．这样容易发现线段之间的关系,从而更加简便地进行解答[４]．例４㊀在R t әA B C 中,A C ＝B C ,øA C B ＝９０ʎ,P是C B 延长线上的一点,B P ʒB C ＝k ,已知０ɤk ɤ１,过点B 作A B 的垂线,过点P 作A P 的垂线,使两条垂线相交于点Q ,且A P ＝P Q ,连接A Q ,求әA B C 与әA P Q 的面积比．分析:根据已知条件分析,әA P Q 的面积较难求解,所以可以根据әA P Q 来构建辅助圆．解析:以A Q 为直径,A Q 的中点O 为圆心,构建如图６所示的辅助圆．ȵA P ＝P Q ,且øA P Q ＝９０ʎ,ʑәA P Q 为等腰直角三角形．设B C ＝A C ＝m ．图６ȵB P ʒB C ＝k ,ʑB P ＝k m ,P C ＝(k ＋１)m ．ʑP A ＝m ２＋[(k ＋１)m ]２＝m k ２＋２k ＋２．ʑS әA B C ʒS әA P Q＝１２A C ２１２P A ２＝１２m ２１２(k ２＋２k ＋２)m ２＝１ʒ(k ２＋２k ＋２)．２．５辅助圆在求线段极值问题中的应用辅助圆在求线段极值问题中有着广泛的应用,特别是在数学竞赛中经常遇到．例５㊀在边长为４的正方形A B C D 中,P 为对角线B D 上的一个动点,且与点B ,D 不重合,连接A P ,过B 作A P 的垂线,垂足为H ,连接DH ,求线段DH 的最小值．图７分析:由于无论点P 如何运动,A B 的长度都不会改变,因此可以A B 为直径,A B 的中点E 为圆心构建辅助圆,通过圆确定点H 的运动轨迹．解析:取A B 中点E ,连接D E ,构建如图７所示的几何图形,可得D E ＝(１２A B )２＋A D ２＝４２＋２２＝２５．当点H 与点M 重合时,线段DH 的长度最短,此时DH ＝DM ＝D E －M E ＝２５－２．综上所述, 构造辅助圆 在初中数学解题中的广泛应用,不仅包含大量的几何问题,而且部分代数问题中也可使用．构建辅助圆时,要结合题目的具体情况,根据四点共圆的条件确定辅助圆．通过辅助圆在不同类型几何问题中的应用,明确构建辅助圆在初中数学解题中的可行性与实用性,通过辅助圆的灵活应用,提升学生的实际解题能力．参考文献:[１]刘怀权． 构造辅助圆 在初中数学解题中的应用[J ]．数理天地(初中版),２０２２(１２):２１Ｇ２２．[２]蒋天林．从江苏高考试题谈辅助圆在解题中的运用[J ]．中学生数理化(高考使用),２０２０(５):１１Ｇ１２．[３]黄磊． 圆 来如此简单 辅助圆 构造的解题探究[J ]．数理化解题研究,２０２１(１４):１０Ｇ１１．[４]徐勤．辅助圆在中考数学试题中的应用[J ]．科学大众:科学中考,２０２２(４):１３Ｇ１５．Z４７Copyright ©博看网. All Rights Reserved.。
2023年中考数学专项复习课件：辅助圆在解题中的应用
模型分析
(2)当∠C＝90°时，点C在⊙O上运动(如图②，不与点A，B重合).其中 AB为⊙O的直径；(3)当∠C>90°时，点C在如图③所示的 上运动( 不与点A，B重合).其中 ∠AOB＋∠ACBA＝B 180°
1 2
模型应用
12. 如图，在矩形 ABCD中，AB＝4，BC＝6，E是矩形内部的一个动点 ，且AE⊥BE，则线段CE的最小值为2__1_0__2___．
r－d
0
d－r
连接OD并延长交
连接OD交⊙O于
此时点E的位置
点E与点D重合
⊙O于点E
点E
模型应用 1. 如图，在平面直角坐标系中，⊙M的半径为2，圆心M的坐标为(3，4) ，P是⊙M上的任意一点，PA⊥PB，且PA，PB分别与x轴交于点A，B. 若点A，B关于原点O对称，则AB的最小值为_6_______．
对的劣弧BD上运动，连接OA，OP，则AP≤OA＋OP，
∴当O，A，P三点共线时，AP取得最大值，最大值即为OA＋OP的值．
过点O作OQ⊥AB于点Q，
∵∠DPB＝120°，∴∠BAD＝60°，
∵AD＝BD＝6，∴∠OAQ＝30°，AQ＝ 1 AB＝3，
2
∴OA＝2 3 ，∴OA＋OP＝4 3，
∴AP的最大值为4 3 .
15 4
过点C作CP的垂线，与PB的延长线交于点Q，则CQ的最大值为______.
第8题图
第9题图
10. 如图，在四边形ABCD中，BD＝4，∠BAD＝∠BCD＝90°，则四边
形ABCD面积的最大值为___8_____．
11. 如图，等腰直角△ABC的斜边AB下方有一动点D，∠ADB＝90°，
CE
第1题图
2025年中考数学总复习第一部分考点精讲第六章圆微专题(十三)构造辅助圆
2025版
数学
甘肃专版
如图，在四边形ABCD中，AB＝AC＝AD，∠BDC＝14°，则
∠BAC＝
28° .
【方法指导】定点是点A，定长是AB，找出圆心和半径，作图即可．
2025版
数学
甘肃专版
类型二：定弦定角构造辅助圆
解题方法模型构造
遇到动点C和定线段AB所构成的∠ACB为定角时，通常把∠ACB转化为圆
∴△ABE≌△BCF(SAS)，∴∠BAE＝∠CBF，
∵∠CBF＋∠ABF＝90°，∴∠BAE＋∠ABF＝90°，
∴∠APB＝90°，∴点P在以AB为直径的圆上，
设AB的中点为G，当C，P，G在同一直线上时，CP有最小值，
∵CG＝ 2 + 2＝2 5，PG＝AG＝BG＝2，∴CP＝2 5－2.
【方法指导】定长为BC，∠BAC＝∠BDC，四点共圆．
.
2025版
数学
甘肃专版
1．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝6，点E是AB边的中点，F是线
段BC边上的动点，将△EBF沿EF所在直线折叠得到△EB′F，连接B′D，则
B′D的最小值是 2 -2
.
【方法指导】定点是点E，定长是AE，找出圆心和半径，作图即可．
作A′G⊥CD，EH⊥CD，垂足分别为G，H，
∵四边形ABCD是矩形，AB＝3，
1
3
EA′＝EA＝ AB＝ ，∠BAD＝∠ADC＝90°，
2
2
AD＝BC＝4，CD＝AB＝3，
∴四边形AEHD是矩形，EH＝AD＝4，
2025版
数学
1
3
∵S△CA′D＝ CD∙A′G＝ A′G，
2
2
∴当A′G最小时，S△CA′D最小，
中考数学复习专题解读——《辅助圆》问题(共19张PPT)
3.如图，四边形ABCD中，AB=AC=AD，若 ∠CAD=76°，则∠CBD= 度。
4.如图，在△ABC中，∠C为钝角，点E，H分别 是边AB上的点，点K和M分别是边AC和BC上的 点，且AH=AC，EB=BC，AE=AK，BH=BM。
判定3：共底边的两个三角形顶角相等，且 在底边的同侧，则四个顶点共圆。
判定4：对于凸四边形ABCD，若对角互补 或一个外角等于其邻补角的内对角，则A、 B、C、D四点共圆。
判定5：对于凸四边形ABCD其对角线AC、 BD交于点P，若PA·PC=PB·PD，则A、B、C、 D四点共圆。（相交弦定理的逆定理）
例1.已知：四边形ABCD中, ∠ ABC=∠ ADC=90°, E、F分别是AC、BD的中点.求证：EF⊥BD.
例1.已知：四边形ABCD中, ∠ ABC=∠ ADC=90°, E、 F分别是AC、BD的中点.求证：EF⊥BD.
本题考察知识点比较隐蔽，没有添 加辅助线对于学生来讲是一个难点 ，变式性比较强，图形可变，条件 也可以变，施展的平台可以借助于 四点共圆来实现更多的变式。
（1）求证：E、H、M、K四点共圆； （2）若KE=EH，CE=3，求线段KM的长。
F分别是AC、BD的中点. 求证：∠ABD=∠ACD
练习反馈
1. 锐角△ABC的三条高AD、BE、CF交于H， 在A、B、C、D、E、F、H七个点中。能组 成四点共圆的组数是（ ）
A. 4组 B. 5组 C. 6组 D. 7组
2如图，A，B，C，D是圆上四点，AD，BC 的延长线交于点P，弧AB、弧CD分别为 100°、40°，则∠P的度数为（ ）
解析：证明：连接BE、DE ∠ ∠ ABC=∠ ADC=90°，
2024年中考数学二轮复习题型突破课件—构造辅助圆解题
典例9图答案
强化练习
1. 如图，正方形ABCD的边长为2，点E在边BC上，沿AE将正方形进行折
叠，使点B落在正方形ABCD内部的点P处，则CP长的最小值是（ C ）
A. 2
B. 2－
C. 2－2
D. 2＋2
第1题
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
2. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝3，AB＝5，D是边BC上一
圆心，圆心角为360°－2α的劣弧上运动（点O，C在AB的异侧）.
典例7 如图，∠ABC＝∠EAD＝90°，D是线段AB上的动点且AC⊥ED于
点G，AB＝AE＝4，则BG长的最小值为（ C ）
A. 2
B. 2－1
C. 2－2
D.
典例7图
典例8 如图，O是等边三角形ABC内一点，连接OA，OB，OC，且
8
9
10
11
12
5. （2023·亳州谯城一模）如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，P是
矩形ABCD内的一点，连接PA，PC，PD.若PA⊥PD，则PC长的最小值
为（ C ）
A. 2－4
B. 2－3
C. 2
D. 4
第5题
1
2
4
5
6
7
8
9
10
11
12
6. （2023·合肥瑶海一模）如图，在△ABC中，∠B＝45°，AC＝2，以
1
2
3
4
5
6
7
8
9
.
10
11
中考总复习专题六辅助圆
例题解析
300 1.如图，已知：AB=AC=AD，∠BAC=60o,则∠BDC=_______.
思路点拨：
A
600
本题用一般的方法较难解决， 注意到已知条件AB=AC=AD ，可以点A为圆心，AB长为半 D 径作圆，则点C、D都在此圆 上，从而运用圆周角定理求解 .
练习
B
Q
20 ②当 CQ 12时，圆O与直线AB 3 有两个交点，当点 P运动到这两个交
M(P)
20 3
12
O
点时，CP Q为直角三角形 .
C
5
A
20 ③当0 CQ 时，圆O与直线AB 3 相离，点P在圆O外，CPQ小于90， CPQ不可能为直角三角形 .
20 综上所述，当 CQ 12时, CPQ 可能为直角三角形 . 3
可以点E为圆心，AO长为直径 作圆，如果圆E与直线x=b有交
O
C x=b
x
点，则存在四边形DEFB为矩
形.反之，则不存在.
例题解析
(3)设直线x=b与x轴交于点C，问四边形DEFB能不能是矩形？ 若能，求出t的值；若不能，说明理由.
解：能。以点E为圆心，AO长为直
y
径作圆，则半径为EO=4.
F B (b,t) D
(2)S=2b
O
C x=b
x
例题解析
(3)设直线x=b与x轴交于点C，问四边形DEFB能不能是矩形？ 若能，求出t的值；若不能，说明理由. 思路点拨：
y
因为四边形DEFB是平行四边 形，所以四边形DEFB要成为
F B (b,t) D
(0,8) A
专题2.9辅助圆三种模型与真题训练-2022年中考数学考前30天迅速提分复习方案(全国通用)(原卷版
2022年中考数学考前30天迅速提分复习方案（全国通用）专题2.9辅助圆三种模型与真题训练题型一：定点定长构造辅助圆一．解答题（共3小题）1．（2019•新城区校级三模）圆的定义：在同一平面内，到定点的距离等于定长的所有点所组成的图形．（1）已知：如图1，OA＝OB＝OC，请利用圆规画出过A、B．C三点的圆．若∠AOB＝70°，则∠ACB＝．如图，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠BCA＝30°，AB＝2．（2）已知，如图2．点P为AC边的中点，将AC沿BA方向平移2个单位长度，点A、P、C的对应点分别为点D、E、F，求四边形BDFC的面积和∠BEA的大小．（3）如图3，将AC边沿BC方向平移a个单位至DF，是否存在这样的a，使得直线DF上有一点Q，满足∠BQA＝45°且此时四边形BADF的面积最大？若存在，求出四边形BADF面积的最大值及平移距离a，若不存在，说明理由．2．（2021•内乡县一模）（1）【学习心得】于彤同学在学习完“圆”这一章内容后，感觉到一些几何问题如果添加辅助圆，运用圆的知识解决，可以使问题变得非常容易．例如：如图1，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，D是△ABC外一点，且AD＝AC，求∠BDC的度数．若以点A为圆心，AB为半径作辅助⊙A，则点C、D必在⊙A上，∠BAC是⊙A的圆心角，而∠BDC是圆周角，从而可容易得到∠BDC＝°．（2）【问题解决】如图2，在四边形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，∠BDC＝25°，求∠BAC的数．（3）【问题拓展】如图3，如图，E，F是正方形ABCD的边AD上两个动点，满足AE＝DF．连接CF交BD于点G，连接BE交AG于点H．若正方形的边长为2，则线段DH长度的最小值是．3．（2021•红谷滩区校级模拟）（1）学习心得：小刚同学在学习完“圆”这一章内容后，感觉到有一些几何问题，如果添加辅助圆，运用圆的知识解决，可以使问题变得非常容易．例如：如图1，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝80°，D是△ABC外一点，且AD＝AC，求∠BDC的度数．若以点A为圆心，AB为半径作辅助圆⊙A，则点C、D必在⊙A上，∠BAC是⊙A 的圆心角，而∠BDC是圆周角，从而可容易得到∠BDC＝．（2）问题解决：如图，在四边形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，∠BDC＝25°，求∠BAC的度数．（3）问题拓展：抛物线与y轴交于点A，顶点为B，对称轴BC与x轴交于点C，点P在抛物线上，直线PQ∥BC交x轴于点Q，连接BQ．①若含45°角的直线三角板如图所示放置，其中，一个顶点与C重合，直角顶点D在BQ上，另一顶点E在PQ上，求Q的坐标；②若含30°角的直角三角板一个顶点与点C重合，直角顶点D在BQ上，另一个顶点E在PQ上，求点P的坐标．题型二：定弦定角构造辅助圆一．选择题（共3小题）1．（2022•睢阳区模拟）如图，正方形OABC中，A（8，0），B（8，8），点D坐标为（﹣6，0），连接CD，点P为边OA上一个动点，连接CP，过点D作DE⊥CP于点E，连接AE，当AE取最小值时，点E的纵坐标为（）A．3﹣B．4﹣C．D．2．（2021•永嘉县校级模拟）如图，△ABC，AC＝3，BC＝4，∠ACB＝60°，过点A作BC的平行线l，P为直线l上一动点，⊙O为△APC的外接圆，直线BP交⊙O于E点，则AE的最小值为（）A．B．7﹣4C．D．13．（2021•安徽二模）如图，在矩形ABCD中，AD＝5，AB＝3，点E在AB上，＝，在矩形内找一点P，使得∠BPE＝60°，则线段PD的最小值为（）A．2﹣2B．C．4D．2二．填空题（共2小题）4．（2021•郯城县校级模拟）如图，半径为4的⊙O中，CD为直径，弦AB⊥CD且过半径OD的中点，点E为⊙O上一动点，CF⊥AE于点F．当点E从点B出发顺时针运动到点D时，点F所经过的路径长为．5．（2020•碑林区校级模拟）如图，等边△ABC中，AB＝6，点D、点E分别在BC和AC上，且BD ＝CE，连接AD、BE交于点F，则CF的最小值为．三．解答题（共3小题）6．（2019•新城区校级三模）圆的定义：在同一平面内，到定点的距离等于定长的所有点所组成的图形．（1）已知：如图1，OA＝OB＝OC，请利用圆规画出过A、B．C三点的圆．若∠AOB＝70°，则∠ACB＝．如图，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠BCA＝30°，AB＝2．（2）已知，如图2．点P为AC边的中点，将AC沿BA方向平移2个单位长度，点A、P、C的对应点分别为点D、E、F，求四边形BDFC的面积和∠BEA的大小．（3）如图3，将AC边沿BC方向平移a个单位至DF，是否存在这样的a，使得直线DF上有一点Q，满足∠BQA＝45°且此时四边形BADF的面积最大？若存在，求出四边形BADF面积的最大值及平移距离a，若不存在，说明理由．7．（2019•新城区校级一模）问题提出：如图1：在△ABC中，BC＝10且∠BAC＝45°，点O为△ABC的外心，则△ABC的外接圆半径是．问题探究：如图2，正方形ABCD中，E、F分别是边BC、CD两边上点且∠EAF＝45°，请问线段BE、DF、EF有怎样的数量关系？并说明理由．问题解决：如图3，四边形ABCD中，AB＝AD＝4，∠B＝45°，∠D＝135°，点E、F分别是射线CB、CD上的动点，并且∠EAF＝∠C＝60°，试问△AEF的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值．若不存在，请说明理由．8．（2019•碑林区校级一模）（1）如图1，已知△ABC中，∠ABC＝30°，AB＝AC＝1，则S△ABC＝．（2）如图2，在平面直角坐标系xOy中，点A在y轴上运动，点B在x轴上运动，且AB＝4，求△AOB面积的最大值．（3）如图3，⊙O的半径为2，弦AB＝2，点C为优弧上一动点，AM⊥AC交射线CB于点M，请问，△ABM的周长存在最大值还是最小值？若存在，求出相应的最值；若不存在，说明理由．题型三：对角互补构造辅助圆一．解答题（共5小题）1．（2020•碑林区校级模拟）问题提出：（1）如图①，半圆O的直径AB＝10，点P是半圆O上的一个动点，则△PAB的面积最大值是．问题探究：（2）如图②，在边长为10的正方形ABCD中，点G是BC边的中点，E、F分别是AD和CD边上的点，请探究并求出四边形BEFG的周长的最小值．问题解决：（3）如图③，四边形ABCD中，AB＝AD＝6，∠BAD＝60°，∠BCD＝120°，四边形ABCD 的周长是否存在最大值，若存在，请求出最大值；若不存在，请说明理由．2．（2018•大荔县一模）（1）如图①，点A、点B在线段l的同侧，请你在直线l上找一点P，使得AP+BP的值最小（不需要说明理由）．（2）如图②，菱形ABCD的边长为6，对角线AC＝6，点E，F在AC上，且EF＝2，求DE+BF的最小值．（3）如图③，四边形ABCD中，AB＝AD＝6，∠BAD＝60°，∠BCD＝120°，四边形ABCD 的周长是否存在最大值，若存在，请求出最大值；若不存在，请说明理由．3．（2021•内乡县一模）（1）【学习心得】于彤同学在学习完“圆”这一章内容后，感觉到一些几何问题如果添加辅助圆，运用圆的知识解决，可以使问题变得非常容易．例如：如图1，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，D是△ABC外一点，且AD＝AC，求∠BDC的度数．若以点A为圆心，AB为半径作辅助⊙A，则点C、D必在⊙A上，∠BAC是⊙A的圆心角，而∠BDC是圆周角，从而可容易得到∠BDC＝°．（2）【问题解决】如图2，在四边形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，∠BDC＝25°，求∠BAC的数．（3）【问题拓展】如图3，如图，E，F是正方形ABCD的边AD上两个动点，满足AE＝DF．连接CF交BD于点G，连接BE交AG于点H．若正方形的边长为2，则线段DH长度的最小值是．4．（2021•红谷滩区校级模拟）（1）学习心得：小刚同学在学习完“圆”这一章内容后，感觉到有一些几何问题，如果添加辅助圆，运用圆的知识解决，可以使问题变得非常容易．例如：如图1，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝80°，D是△ABC外一点，且AD＝AC，求∠BDC的度数．若以点A为圆心，AB为半径作辅助圆⊙A，则点C、D必在⊙A上，∠BAC是⊙A 的圆心角，而∠BDC是圆周角，从而可容易得到∠BDC＝．（2）问题解决：如图，在四边形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，∠BDC＝25°，求∠BAC的度数．（3）问题拓展：抛物线与y轴交于点A，顶点为B，对称轴BC与x轴交于点C，点P在抛物线上，直线PQ∥BC交x轴于点Q，连接BQ．①若含45°角的直线三角板如图所示放置，其中，一个顶点与C重合，直角顶点D在BQ上，另一顶点E在PQ上，求Q的坐标；②若含30°角的直角三角板一个顶点与点C重合，直角顶点D在BQ上，另一个顶点E在PQ上，求点P的坐标．5．（2020•梁园区一模）如图1，点B在直线l上，过点B构建等腰直角三角形ABC，使∠BAC＝90°，且AB＝AC，过点C作CD⊥直线l于点D，连接AD．（1）小亮在研究这个图形时发现，∠BAC＝∠BDC＝90°，点A，D应该在以BC为直径的圆上，则∠ADB的度数为°，将射线AD顺时针旋转90°交直线l于点E，可求出线段AD，BD，CD的数量关系为；（2）小亮将等腰直角三角形ABC绕点B在平面内旋转，当旋转到图2位置时，线段AD，BD，CD的数量关系是否变化，请说明理由；（3）在旋转过程中，若CD长为1，当△ABD面积取得最大值时，请直接写AD的长．【真题训练】一．选择题（共1小题）1．（2021•攀枝花）如图，在矩形ABCD中，已知AB＝3，BC＝4，点P是BC边上一动点（点P不与B，C重合），连接AP，作点B关于直线AP的对称点M，则线段MC的最小值为（）A．2B．C．3D．二．解答题（共2小题）2．（2015•汕尾）在Rt△ABC中，∠A＝90°，AC＝AB＝4，D，E分别是边AB，AC的中点，若等腰Rt△ADE绕点A逆时针旋转，得到等腰Rt△AD1E1，设旋转角为α（0＜α≤180°），记直线BD1与CE1的交点为P．（1）如图1，当α＝90°时，线段BD1的长等于，线段CE1的长等于；（直接填写结果）（2）如图2，当α＝135°时，求证：BD1＝CE1，且BD1⊥CE1；（3）求点P到AB所在直线的距离的最大值．（直接写出结果）3．（2014•淄博）如图，点A与点B的坐标分别是（1，0），（5，0），点P是该直角坐标系内的一个动点．（1）使∠APB＝30°的点P有个；（2）若点P在y轴上，且∠APB＝30°，求满足条件的点P的坐标；（3）当点P在y轴上移动时，∠APB是否有最大值？若有，求点P的坐标，并说明此时∠APB 最大的理由；若没有，也请说明理由．。
中考数学复习指导：例谈构造辅助圆解几何题
例谈构造辅助圆解几何题在解几何题时，经常要添加辅助线，其中，有一种不寻常的辅助线——圆，值得我们研究，下面举例说明添加辅助圆在解几何题中的作用．一、通过辅助圆确定等腰三角形个数例1 如图1，在平面直角坐标系中，已知A点坐标是（2，－2），在y轴上确定点P，使△AOP为等腰三角形，则符合条件的点P共有_______个．解析在平面直角坐标系中，因为O、A两点固定不动，相当于已知等腰三角形一边OA，OA既可作底，又可作腰，因为等腰三角形中有两边相等，所以我们可以利用同圆中半径相等这一性质，通过构造圆来解决．此题应分三种情况考虑：①当OA为腰、∠A为等腰三角形顶角时，可以以点A为圆心、OA为半径的作圆，交y轴于P1点，则点P1就是所求；②当OA为腰、∠O为等腰三角形顶角时，可以以点D为圆心、OA为半径的作圆，交y轴于P2和P4点，则点P2和P4亦是所求；③当OA为底时，作OA的中垂线交y轴于P3点，则点P3亦是所求作的点．综上，符合条件的点P共有4个．二、通过辅助圆确定直角三角形个数例2 在平面直角坐标系中，点A的坐标为(1，1)，点B的坐标为(11，1)，点C到直线AB的距离为4，且△ABC是直角三角形，则满足条件的点C有____个．解析如图2所示，在第一象限内，以AB为直角边时，存在C1、C2两点；以AB为斜边时，作以AB为直径的圆，交直线y＝5于C3、C4两点，由直径所对的圆周角是直角可知，C3、C4两点亦满足条件；由对称性可知，第四象限内存在C5、C6、C7、C8四个点．故满足条件的点C共有8个．说明在平面直角坐标系中确定等腰三角形和直角三角形个数时，均可通过作辅助圆来解决，这样在求满足条件的点时可以做到不重不漏，是一种较好的解题方法．三、通过辅助圆解决两个直角三角形共斜边问题例3 已知：如图3，△ABC中，点E、F分别是AB、AC上的点．DE⊥AB，DF⊥AC，AD⊥EF．求证：AD平分∠BAC．解析 设AD 的中点为D ，连结OE ，OF ．∵OE ⊥AB ，DF ⊥AC ．∴OE ，OF 分别是Rt △ADE ，Rt △ADF 斜边上的中线，∴OE ＝12AD ，OF ＝12AD ， 即点O 到A 、E 、D 、F 的距离相等，由此知，四点A 、E 、D 、F 在以点O 为圆心，12AD为半径的圆上，AD 是直径．于是EF 是⊙O 的弦，而EF ⊥AD ，∴AD 平分 EDF，即 DE DF ， 故∠DAE ＝∠DAF ，即AD 平分∠BAC ．说明 当两个直角三角形共斜边时，意味着存在四点共圆．通过构圆，利用垂径定理来解决平分角的问题．四、通过辅助圆解决共端点的等线段问题例4 如图4，已知四边形ABCD ，AB ∥CD ，且AB ＝AC ＝AD ＝a ，BC ＝b ，且2a >b ，求cos ∠DBA 的值．解析 既然已知AB ＝AC ＝AD ，自然想到作以点A为圆心、AB 为半径的辅助圆，以点A 为圆心，a 为半径作圆，延长BA 交⊙A 于E 点，连接ED ．∵AB ∥CD ，∴∠CAB=∠DCA ，∠DAE=∠CDA ．∵AC=AD ，∴∠DCA=∠CDA ，∴∠DAE=∠CAB∴△CAB ≌△DAE ，∴ED ＝BC ＝b ．∵BE 是直径，∴∠EDB ＝90°．在Rt △EDB 中，ED ＝b ，BE ＝2a ，由勾股定理得ED 2＋BD 2＝BE 2．说明 当题目中有多条线段共端点时，常作以公共端点为圆心，等长线段为半径作圆，则易沟通题设和结论的联系，使问题迅速获解．五、利用同弧所对的圆心角和圆周角的关系求角的度数例5 已知：如图5，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 与x 轴交于点A （－2，0）、B(8，0)，与y 轴交于点C(0，－4)．直线y ＝x ＋m 与抛物线交于点D 、E （D 在E 的左侧），与抛物线的对称轴交于点F ．(1)求抛物线的解析式；(2)当m ＝2时，求∠DCF 的大小；解析(1)y ＝213442x x --；； (2) 由(1)可得抛物线的对称轴为x ＝3．∵m ＝2．∴直线的解析式为y ＝x ＋2．∵直线y ＝x ＋2与抛物线交于点D 、E ，与抛物线的对称轴交于点F ，∴F 、D 两点的坐标分别为F(3，5)，D （－2，0）．设抛物线的对称轴与x 轴的交点为M ．可得CM ＝FM ＝MD ＝5．∴F 、D 、C 三点在以M 为圆心，半径为5的圆上，∴∠DCF ＝12∠DMF ＝45°． 六、通过辅助圆求线段的取值范围例6 如图6，梯形ABCD 中，BC ∥AD ，∠BAD ＝90°，AD ＝18，BC ＝24，AB ＝m ，在线段BC 上任取一点P ，连结DP ，作射线PE ⊥DP ，PE 与直线AB 交于点E ．(1)当CP ＝6时，试确定点E 的位置；(2)若设CP ＝x ，PE ＝y ，写出y 关于x 的函数关系式；(3)在线段BC 上能否存在不同的两点P 1、P 2，使得按上述作法得到的点E 都分别与点A 重合，若能，试求出此时m 的取值范围；若不能，请说明理由．解析 (1)，(2)略；(3)能找到这样的P 点，当点E 与点A 重合时，∵∠APD ＝90°．∴点P 在以AD 为直径的圆上，设圆心为点Q ，则点Q 为AD 的中点．要使在线段BC 上能找到两个不同的点P 1与P 2满足条件，只要使线段BC 与OQ 相交，即圆心Q 到BC 的距离d 满足0<d<2AD ． ∵AD ∥BC ．∴d ＝m ．∴0<m<182＝9．。
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B（﹣6，0），点C是y轴上的一个动点，当
∠B段
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A
9
探究3.在平面直角坐标系中，已知点A（4，0）、
B（﹣6，0），点C是y轴上的一个动点，当
∠BCA=45°时，点C的坐标为
．
变式1：如果把∠BCA=45°改成∠BCA=30°， 还会做吗？
A
D
A
D
M
F
F
BE
CG
图 18
A
BE
图 19
D
证法5
F
BE
CG
P
图 22
A
CG
N
A
D
Q
BE
C
图 21
证法3
A
D
F
B
E
H
CG 图 20
F 证法4
G
15
3.(2014年山东淄博市中考数学)如图，点A与 点B的坐标分别是（1,0），（5,0），点P是 该直角坐标系内的一个动点。
（1）使∠APB=30°的点P有 个；
中考专题复习之
构造辅助圆
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A
1
一.复习旧知
圆的“集合”定义是什么？
圆是所有到定点
•o
的距离等于定长
的点的集合
A
2
A O
B
圆周角定理？
D 同弧所对的圆周角相等， 且等于这条弧所对圆心
角的一半
C
A
3
C
直径所对的圆周角是直角，
A
B 90°的圆周角所对的弦
O
是直径
A
4
二.探索新知
探究1.如图所示，在四边形ABCD中， AB=AC=AD，∠BAC=20°∠CAD=80°，则 ∠BDC=______度，∠DBC=______度
• 条件3：动点对定线段所张的角为定值
• 依据：不在同一直线上的三点确定一个圆
或：同弧所对的圆周角相等且等于 这条弧所对的圆心角的一半 •小结3： 当遇有 动点对定线段所张的角为定值时， 通常 把张角转化为圆周角 构造辅助圆.
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A
12
三.巩固练习
1.（2011湖北鄂州中考）如下图OA=OB=OC且 ∠ACB=30°，则∠AOB的大小是（ ）
A.40°
B.50° C.60° D.70°
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D
A
A
C
30°
B
13
2. （2012青海中考） 如图，四边形Ａ ＢＣＤ是正方形，点Ｅ是边ＢＣ的中点， ∠ＡＥＦ=90，EF交正方形外角的平分线Ｃ Ｆ于 Ｆ。求证：ＡＥ=EＦ。（人教版八年 级下册第69页）
A
D
F
BE
CG
A
14
一题多解
证法1 ＡＥ=EＦ 证法2
（2）若点P在y轴上且∠APB=30°，
求满足条件的点P的坐标；
（3）当点P在y轴上移动时，∠APB是否
有最大值？若有，求点P的坐标，并说明
此时∠APB最大的理由；若没有，也请说
明理由．
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A
16
四.课堂小结
条件1
•o
构造圆的条件：
条件2
O
条件 3
定张角
…… 条件…
定线段
A
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图中无圆，心中有圆
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A
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探究3.在平面直角坐标系中，已知点A（4，0）、
B（﹣6，0），点C是y轴上的一个动点，当
∠BCA=45°时，点C的坐标为
．
变式2：如果把“∠BCA=45°”改成“∠ BCA=θ° 还能做吗？
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A
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可构造圆的条件3
• 什么条件让你想到可以构造圆，可以构造 圆的依据是什么？
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可构造圆的条件1
• 什么条件让你想到可以构造圆，可以构造 圆的依据是什么？
• 条件1： 同一个端点出发的几条等长线段
• 依据： 圆的定义
•小结1： 当遇有 同一个端点出发的等长线段 时， 通常以 这个端点 为圆心，等线段长为半径，
构造辅助圆.
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A
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探究2.如图，矩形ABCG的与矩形CDEF全等， 并且AB=1，BC=3，点B、C、D在同一条直 线上，∠APE 的顶点P在线段BD上移动，使 ∠APE 为直角的点P的个数是 （ ）
• 今天研究的这三类问题，从表面上看似乎 与圆无关，但如果我们能深入挖掘题目中 的隐含条件，善于联想所学定理，巧妙地 构造符合题意特征的辅助圆，再利用圆的 有关性质来解决问题，往往能起到化隐为 显、化难为易的解题效果！
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A．0 B．1 C．2 D．3
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可构造圆的条件2
• 什么条件让你想到可以构造圆，可以构造 圆的依据是什么？
• 条件2：
直角
• 依据： 90°的圆周角所对的弦是直径.
•小结2：当遇有
直角
时，
通常以 斜边为直径 ，构造辅助圆.
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A
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探究3.在平面直角坐标系中，已知点A（4，0）、