1输入输出和状态空间模型
同步电机系统传递函数模型和状态空间模型
同步电机系统传递函数模型和状态空间模型同步电机系统传递函数模型和状态空间模型引言同步电机是一种重要的电动机类型，广泛应用于工业领域。
为了能够准确描述同步电机的运行特性，传递函数模型和状态空间模型是常用的数学工具。
本文将从基础理论出发，系统地介绍同步电机系统的传递函数模型和状态空间模型。
同步电机的传递函数模型传递函数模型是用来描述系统输入和输出之间关系的数学模型。
同步电机的传递函数模型可以通过对其系统方程进行 Laplace 变换获得。
系统方程同步电机的系统方程可以用以下形式表示：G(s)⋅I(s)=E(s)其中，G(s)是系统的传递函数，I(s)是电机的输入信号（电流），E(s)是电机的输出信号（电动势）。
传递函数通过对系统方程进行变换，可以得到同步电机的传递函数：G(s)=E(s) I(s)同步电机的传递函数一般为一个复数多项式的比值。
同步电机的状态空间模型状态空间模型是一种更加直观、直接的描述系统动态行为的数学模型。
同步电机的状态空间模型可以通过将系统方程转换成状态方程的形式来表示。
状态方程同步电机的状态方程可以用以下形式表示：dx(t)=Ax(t)+Bu(t)dty(t)=Cx(t)+Du(t)其中，x(t)是状态向量（包含电机的各种状态），u(t)是输入向量（电机的输入信号），y(t)是输出向量（电机的输出信号），A、B、C和D是系统的系数矩阵。
系数矩阵系数矩阵A是描述状态变量之间相互关系的矩阵，矩阵的维度与状态量的个数相同。
系数矩阵B是描述输入信号对状态变量的影响的矩阵，矩阵的维度与输入量的个数相同。
系数矩阵C是描述状态变量对输出信号的影响的矩阵，矩阵的维度与输出量的个数相同。
系数矩阵D是描述直接影响输出信号的输入信号的矩阵。
状态空间模型的优势与传递函数模型相比，状态空间模型具有以下优势： 1. 直观性：状态空间模型能够更加直接、直观地描述系统的动态行为。
2. 灵活性：状态空间模型能够更加灵活地处理多输入多输出系统。
状态空间模型
状态空间模型状态空间模型是一种用于描述动态系统行为的数学模型。
在状态空间模型中，系统的行为由状态方程和观测方程确定。
状态方程描述系统状态如何随时间演变，而观测方程则描述系统状态如何被观测。
通过利用状态空间模型，我们可以对系统进行建模、预测和控制。
状态空间模型的基本概念状态空间模型通常由以下几个要素构成：1.状态变量（State Variables）：描述系统状态的变量，通常用向量表示。
状态变量是系统内部的表示，不可直接观测。
2.观测变量（Observation Variables）：直接观测到的系统状态的变量，通常用向量表示。
3.状态方程（State Equation）：描述状态变量如何随时间演变的数学方程。
通常表示为状态向量的一阶微分方程。
4.观测方程（Observation Equation）：描述观测变量与状态变量之间的关系的数学方程。
状态空间模型的应用状态空间模型在许多领域都有着广泛的应用，包括控制系统、信号处理、经济学和生态学等。
其中，最常见的应用之一是在控制系统中使用状态空间模型进行系统建模和控制设计。
在控制系统中，状态空间模型可以用于描述系统的动态行为，并设计控制器来实现系统性能的优化。
通过对状态方程和观测方程进行数学分析，可以确定系统的稳定性、可控性和可观测性，并设计出满足特定要求的控制器。
状态空间模型的特点状态空间模型具有以下几个特点：1.灵活性：可以灵活地描述各种复杂系统的动态行为，适用于各种不同的应用领域。
2.结构化：将系统分解为状态方程和观测方程的结构使得系统的分析更加清晰和系统化。
3.预测性：通过状态空间模型，可以进行系统状态的预测和仿真，帮助决策者做出正确的决策。
4.优化性：可以通过状态空间模型设计出有效的控制器，优化系统的性能指标。
在实际应用中，状态空间模型可以通过参数估计和参数辨识等方法进行模型的训练和调整，以适应实际系统的特性。
结语状态空间模型是一种强大的数学工具，可以帮助我们理解和分析动态系统的行为。
1.控制系统的状态空间模型
Chapter1控制系统的状态空间模型1.1 状态空间模型在经典控制理论中，采用n 阶微分方程作为对控制系统输入量)(t u 和输出量)(t y 之间的时域描述，或者在零初始条件下，对n 阶微分方程进行Laplace 变换，得到传递函数作为对控制系统的频域描述，“传递函数”建立了系统输入量)]([)(t u L s U =和输出量)]([)(t y L s Y =之间的关系。
传递函数只能描述系统的外部特性，不能完全反映系统内部的动态特征，并且由于只考虑零初始条件，难以反映系统非零初始条件对系统的影响。
现代控制理论是建立在“状态空间”基础上的控制系统分析和设计理论，它用“状态变量”来刻画系统的内部特征，用“一阶微分方程组”来描述系统的动态特性。
系统的状态空间模型描述了系统输入、输出与内部状态之间的关系，揭示了系统内部状态的运动规律，反映了控制系统动态特性的全部信息。
1.1.1 状态空间模型的表示法例1-1（6P 例1.1.1） 如下面RLC （电路）系统。
试以电压u 为输入，以电容上的电压C u 为输出变量，列写其状态空间表达式。
例1-1图 RLC 电路图解：由电路理论可知，他们满足如下关系⎪⎩⎪⎨⎧==++)(d )(d )()()(d )(d t i t t u C t u t u t Ri t t i L C C 经典控制理论：消去变量)(t i ，得到关于)(t u C 的2=n 阶微分方程：)(1)(1d )(d d )(d 22t u LCt u LC t t u L R t t u C C C =++ 对上述方程进行Laplace 变换：)()()2(20202s U s U s s C ωωζ=++得到传递函数：202202)(ωζω++=s s s G ，LC10=ω，L R 2=ζ 现代控制理论：选择⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛)()(21t u t i x x C 流过电容的电流)(t i 和电容上的电压)(t u C 作为2个状态变量，2=n （2个储能元件）；1个输入为)(t u ，1=m ；1个输出C u y =，1=r 。
状态空间模型的实现及状态方程的解实验总结
状态空间模型的实现及状态方程的解实验总结以状态空间模型的实现及状态方程的解实验总结为标题状态空间模型是一种描述动态系统行为的数学模型，通过将系统的状态、输入和输出量化为向量形式，以状态方程和输出方程的形式表示系统的动态行为。
在实际应用中，状态空间模型常用于控制系统的设计和分析。
在状态空间模型中，系统的状态由一组变量表示，这些变量描述了系统在不同时间点的状态。
状态方程描述了状态随时间的演化规律，是系统动态行为的核心部分。
状态方程通常采用微分方程的形式表示，其中包含系统的状态变量、输入和系统参数。
解状态方程可以得到系统状态随时间的变化情况，从而可以对系统的动态行为进行分析和预测。
在实验中，我们可以通过实际测量或仿真来获取系统的输入和输出数据，并根据这些数据来估计系统的状态方程和参数。
然后，利用已知的状态方程和输入数据，可以通过数值求解方法来解状态方程，得到系统的状态随时间的变化情况。
解状态方程的结果可以与实际测量或仿真数据进行比较，以验证状态方程的准确性和模型的有效性。
在进行状态空间模型实验时，需要注意以下几点：1. 系统建模：首先需要对系统进行建模，确定系统的状态变量、输入和输出，并推导出系统的状态方程和输出方程。
建模的过程中需要考虑系统的特性和约束条件，以及系统的稳定性和可控性等因素。
2. 实验设计：根据系统的特点和实验目的，设计合适的实验方案。
选择合适的输入信号，以及采样频率和采样时长等参数，以确保实验数据的准确性和可靠性。
3. 数据采集：在实验中需要采集系统的输入和输出数据。
输入信号可以通过外部激励或系统自身的反馈信号来产生，输出信号可以通过传感器或测量设备进行采集。
采集到的数据需要进行预处理和滤波，以去除噪声和干扰，提高数据的质量和可靠性。
4. 系统辨识：通过实验数据和已知的输入信号，利用数值辨识方法来估计系统的状态方程和参数。
常用的辨识方法包括最小二乘法、卡尔曼滤波器和系统辨识工具箱等。
控制基本模型-概述说明以及解释
控制基本模型-概述说明以及解释1.引言1.1 概述概述在控制理论和应用中，控制基本模型是指用于描述和分析控制系统的数学模型。
控制基本模型是控制工程师和研究人员研究和设计控制系统时的基础，它提供了系统动力学行为的描述以及控制方法的分析和设计。
控制基本模型可以采用多种形式，包括传递函数模型、状态空间模型和输入-输出模型等。
这些模型通常基于系统动力学方程和输出-输入关系来建立。
通过对模型进行数学分析和仿真实验，我们可以深入了解和预测控制系统的行为，并针对不同的应用需求进行优化设计。
本文将重点介绍控制基本模型的定义和控制方法的介绍。
首先，我们将详细讨论基本模型的定义，包括传递函数模型、状态空间模型和输入-输出模型的基本原理和特点。
然后，我们将介绍一些常用的控制方法，如比例积分微分控制（PID控制），模糊控制和自适应控制等。
这些控制方法可以根据系统的需求和特点来选择和应用。
通过本文的学习，读者将能够理解和掌握控制基本模型的概念和基本原理，了解不同类型的控制方法的适用范围和特点。
同时，读者还将能够应用所学知识来设计和优化控制系统，提高系统的性能和稳定性。
总之，控制基本模型是控制系统设计和分析的基础，具有重要的理论和实际意义。
通过研究和应用控制基本模型，我们可以不断改进和优化控制系统，提高系统的性能和效果。
1.2文章结构1.2 文章结构本文的目的是探讨控制基本模型，并介绍相关的控制方法。
为了更好地组织本文的内容，文章结构如下所示：引言部分将在1.1概述中简要介绍控制基本模型的背景和意义，并在1.3目的中明确阐述本文的研究目标。
正文部分将分为两个小节进行讲解。
首先，在2.1基本模型定义中，我们将详细阐述控制基本模型的定义和内容，包括其在控制系统中的作用和应用领域。
其次，在2.2控制方法介绍中，我们将介绍几种常见的控制方法，包括PID控制器、模糊控制和神经网络控制等，以及它们在控制基本模型中的应用。
结论部分将在3.1总结中对本文进行总结，回顾并强调本文的重点内容和研究成果。
matlab里控制系统的三种数学模型的转换
在MATLAB中，控制系统的建模和分析是非常重要的。
控制系统的数学模型是描述系统行为的数学表示，可以用来进行模拟、分析和设计控制系统。
在控制系统中，常见的数学模型包括积分-微分模型、状态空间模型和传递函数模型。
接下来，我将按照深度和广度的要求，对这三种数学模型进行全面评估，并据此撰写一篇有价值的文章。
1. 积分-微分模型在控制系统中，积分-微分模型是一种常见的数学表示方法。
它由两部分组成：积分部分和微分部分。
积分部分描述了系统的累积效应，微分部分描述了系统的瞬时响应。
这种模型常用于描述惯性较大、响应缓慢的系统，例如机械系统和电气系统。
在MATLAB中，可以使用积分-微分模型来进行系统建模和仿真，以分析系统的稳定性和性能指标。
2. 状态空间模型状态空间模型是另一种常见的控制系统数学表示方法。
它由状态方程和输出方程组成，用来描述系统的状态变量和外部输入之间的关系。
状态空间模型适用于描述多变量、多输入多输出系统，例如飞行器、汽车控制系统等。
在MATLAB中，可以使用状态空间模型来进行系统分析和设计，包括系统的稳定性、可控性和可观性分析，以及控制器设计和系统性能评价。
3. 传递函数模型传递函数模型是控制系统中最常用的数学表示方法之一。
它用传递函数来描述系统的输入和输出之间的关系，其中传递函数是输入信号和输出信号的比值。
传递函数模型适用于描述单输入单输出系统，例如电路系统、机械系统等。
在MATLAB中，可以使用传递函数模型进行系统分析和设计，包括频域分析、极点和零点分析，以及控制器设计和系统稳定性评估。
总结回顾：在本文中，我按照深度和广度的要求对MATLAB中控制系统的三种数学模型进行了全面评估。
我从积分-微分模型入手，介绍了其构成和适用范围。
我转而讨论了状态空间模型，阐述了其在多变量系统中的重要性。
我详细介绍了传递函数模型，强调了其在单输入单输出系统中的广泛应用。
在文章的我共享了对这三种数学模型的个人观点和理解，指出了它们在控制系统中的重要性和实用性。
现代控制理论期末公式总结
现代控制理论期末公式总结一、传递函数与频域分析1. 传递函数公式：传递函数是描述线性时不变系统输入输出关系的数学表达式，用来表示系统的动态特性。
一般形式为：H(s) = Y(s)/X(s)其中，H(s)表示传递函数，s表示复频域变量，Y(s)和X(s)分别表示输出和输入。
2. 频域分析公式：常见的频域分析方法包括波特图、根轨迹和Nyquist图等，用于分析系统的稳定性和频率响应。
相关公式如下：a. 波特图：H(jω) = |H(jω)|ejφ其中，H(jω)表示传递函数在复频域的值，|H(jω)|是幅频特性，φ是相频特性。
b. 根轨迹：K(sI - A)^-1B = 0根轨迹是描述闭环系统极点随控制参数变化情况的图形。
c. Nyquist图：L(jω) = L(Re(s),Im(s)) = |G(jω)H(jω)|ejφNyquist图是描述开环系统传递函数G(jω)H(jω)在复平面上轨迹的图形。
二、状态空间与观测器设计1. 状态空间模型：状态空间模型是用状态方程和输出方程描述动态系统的数学模型。
一般形式为：ẋ(t) = Ax(t) + Bu(t)y(t) = Cx(t) + Du(t)其中，ẋ(t)表示状态向量的导数，x(t)是状态向量，u(t)和y(t)分别是输入和输出向量，A、B、C、D是系统的系数矩阵。
2. 观测器设计公式：观测器是一种用于估计系统状态的附加反馈环节。
常见的观测器类型包括全状态反馈观测器和Luenberger观测器。
相关公式如下：a. 全状态反馈观测器：ẋe(t) = (A - LC)x(t) + Ly(t)其中，ẋe(t)表示观测器误差的导数，x(t)是系统状态向量，y(t)是系统输出，L是观测器的增益矩阵，A是系统的状态转移矩阵，C是输出矩阵。
b. Luenberger观测器：ẋe(t) = (A - LC)x(t) + Ly(t)其中，ẋe(t)表示观测器误差的导数，x(t)是系统状态向量，y(t)是系统输出，L是观测器的增益矩阵，A是系统的状态转移矩阵，C是输出矩阵。
状态空间模型及其在控制工程中的应用
状态空间模型及其在控制工程中的应用状态空间模型，也称为状态变量模型，是控制工程中一种常用的数学模型方法。
它以系统的状态变量为描述对象，通过状态方程和输出方程来描述系统的动态行为。
本文将介绍状态空间模型的基本概念，以及它在控制工程中的应用。
一、状态空间模型的基本概念状态空间模型是一种以状态变量为基础的数学模型，用于描述系统的动态行为。
状态变量是系统在某一时刻的内部状态，而状态方程则描述了状态变量随时间的演化规律。
更具体地说，状态空间模型可以表示为以下形式：˙x(t) = Ax(t) + Bu(t)y(t) = Cx(t) + Du(t)其中，x(t)为n维的状态向量，表示系统在时刻t的内部状态；u(t)为m维的输入向量，表示系统在时刻t的外部输入；y(t)为p维的输出向量，表示系统在时刻t的输出；A为n×n维的系统矩阵，描述了状态变量的演化规律；B为n×m维的输入矩阵，描述了输入对状态的影响；C为p×n维的输出矩阵，描述了状态对输出的影响；D为p×m维的直接传递矩阵，描述了输入对输出的直接影响。
二、状态空间模型在控制工程中的应用1. 控制器设计：状态空间模型可以方便地用于控制器的设计与分析。
通过对系统的状态变量建模，可以设计出满足特定性能指标的控制器。
例如，可以利用状态反馈控制的方法，通过选择合适的反馈增益矩阵K，使得系统的状态能够稳定地收敛到期望的状态。
此外，还可以利用最优控制理论，基于状态空间模型设计出最优控制器，使得系统的控制性能最优化。
2. 系统仿真与分析：状态空间模型可以用于系统的仿真和分析。
通过将系统的参数代入状态方程和输出方程，可以得到系统的时域响应和频域特性，从而可以对系统的稳定性、响应速度以及抗干扰能力等进行分析。
此外，通过对状态空间模型做变换，还可以将系统的连续时间模型转化为离散时间模型，从而方便地进行数字控制系统的设计与分析。
3. 状态估计：状态空间模型还可以用于系统状态的估计与观测。
同步电机系统传递函数模型和状态空间模型
同步电机系统传递函数模型和状态空间模型同步电机系统是工业中非常常见的一种电机系统，广泛应用于风力发电、输电输能、轨道交通、工业生产等领域。
在电机运行过程中，了解同步电机系统传递函数模型和状态空间模型对于对其理解和进行系统控制非常重要。
同步电机系统的传递函数模型可以被表示为： G(s)= K / (T1s + 1)(T2s + 1)，其中K是增益，T1和T2是时间常数。
传递函数模型的意义是对输入和输出之间的关系进行建模。
在同步电机系统中，输入通常是电压，输出是转速。
如传递函数模型所示，输入的电压可以被分解成两个滞后时间常数的二阶系统，其中每个常数都代表了电机系统的动态转速响应。
这样的建模方法可以使我们更好地理解同步电机系统的转速响应，并从中得出控制策略。
除了传递函数模型，同步电机系统也可以由状态空间模型来描述，即将系统表示为一系列宏观的状态和它们之间的转换。
状态空间模型可以被表示为：x’=Ax+Bu, y=Cx+Du。
状态空间模型通过宏观的描述电机系统内部的变化，阐述了系统的动态响应方式和控制之间的关系。
在一个转速控制的例子中，输入电压被视为操作量u(t)，并且与电机系统的输出y(t)通过状态方程x’(t)=Ax(t)+Bu(t)和输出方程y(t)=Cx(t)+Du(t)进行联系。
这样的状态空间模型可以帮助我们设计和分析电机控制器。
总的来说，同步电机系统传递函数模型和状态空间模型都有各自的用途。
传递函数模型可以为我们提供关于电机系统动态特性的优越的定量分析方法，而状态空间模型则更适合于控制器的设计以及在运行实际系统时的仿真与测试。
或者，这两种模型也可以结合起来，并被用于对同步电机系统进行整体观察和控制。
在电机系统中，应用这样的模型可以使我们更好地理解它们的动态特性，并对其进行控制。
这样的导向是成为我们更有资格和信心地应对电机工业领域中的挑战和机遇的关键因素。
状态空间模型
Ce La 1
f
x1 x2 x3
1 La 0 0
u
J
x1
Y 0
1
0
x2
x3
最后根据上述状态方程和输出方程可画出结构图
u(t) 1
La
Ra
+++
x1 L
dt
x1
Ca
L
x2
x2
Y(t)
dt
1
1
Cm
J
+ x3
+
dt
x3
f J
F3
第2讲
状态空间模型
数学模型：描述系统动态行为的数学表达式， 称为控制系统的数学模型。
经典理论模型：用一个高阶微分方程或传递函 数描述。系统的动态特性仅仅由一个单输出对给定 输入的响应来表征。
实际上，系统内部还有若干其他变量，他们之 间（包含输出变量在内）是相互独立的。关于他们 对输入的响应是不易相互导出的，必须重新分别建 模求解。由此可见，单一的高阶微分方程，是不能 完全揭示系统内全部运动状态的。
x(t ) f x(t ) u(t )
y(t )
g
x(t
)
u(t )
5.非线性时变系统：
x(t) f x(t), u(t), t
y(t )
g
x(t ),
u(t), t
6.线性系统状态空间表达式的简便写法：
由上可知，对任意阶次的线性系统，其状态 空间表达式的基本形式是一样的，区别在于四个 矩阵不同，故可用四联矩阵来简单表示:
﹡完全描述：若给定 t=t0 时刻这组变量的值（初 始状态）又已知t≥t0 时系统的输入u(t)，则系统在 t≥t0 时，任何瞬时的行为就完全且唯一被确定。
根据系统的输入输出关系建立状态空间模型
建立该状态空间模型的关键是如何选择状态变量?
微分方程中包含输入量的导数项(2/11)
若按照前面的方法那样选取相变量为状态变量,即 x1(t)=y(t), x2(t)=y’(t), …, xn(t)=y(n-1)(t) 则可得如下状态方程
... xn 1 xn x1 x2 xn a1 xn ... an x1 b0u ( n ) ... bn u
0 ... B 0 b
微分方程中不包含输入量的导数项(6/9)
上述式子清楚说明了状态空间模型中系统矩阵A与微分方 程(2-6)中的系数a1, a2,…, an之间,输入矩阵B与方程(2-6)中 系数b之间的对应关系。 通常将上述取输出y和y的各阶导数为状态变量称为相 变量。 上述状态空间模型中的系统矩阵具有特别形式,该矩阵的最 后一行与其矩阵特征多项式的系数有对应关系,前n-1行为1 个n-1维的零向量与(n-1)(n-1)的单位矩阵。 该类矩阵称为友矩阵。友矩阵在线性定常系统的状态 空间分析方法中是一类重要的矩阵,这在后面的章节中 可以看到。
其中i(i=0,1,…,n)为待定系数。
微分方程中包含输入量的导数项(5/11)
因此,有
x1 y 0u x2 1u x2 1u 0 u x3 2 u y xn 1 y ( n 1) n 2 u n 3u 0 u ( n 1) xn n 1u xn y ( n ) n 1u n 2 u 0 u ( n ) a1 y ( n 1) an y b0u ( n ) b1u ( n 1) bn u n 1u n 2 u 0 u ( n )
化输入-输出描述为状态空间描述及其几种标准形式
为便于揭示系统内部的重要结构特性，导出标准形实 现最有意义，从传递函数组成上可分存在与不存在零、极 点对消两种情况，这里只研究不存在零、极点对消的情况， 所求得的状态空间描述中，状态变量数量最少，各矩阵的 维数最小，构造硬件系统时所需的积分器个数最少，称为 最小实现。
本节先研究SISO系统。
n阶SISO控制系统的时域模型为：
y ( n ) a n 1 y ( n 1 ) a 1 y a 0 y b m u ( m ) b m 1 u ( m 1 ) b 1 u b 0 u
系统的传递函数为：
W (s)bm ssnm ab n m 1 s1n sm 1 1 a1b s1 s a0 b0
状态变量的选取原则
▪系统储能元件的输出 ▪系统输出及其各阶导数 ▪使系统状态方程成为某种标准形式的变量
（对角线标准型和约当标准型）
[例1-6 ] 电路如图所示。建立该电路以电压u1,u2为输入量， uA为输出量的状态空间表达式。 L1 uA L2
+ _u1
i1 R1
+_u2 i2 R2
[解]：
图
增加一项 b n u
一、传递函数中没有零点时的实现
微分方程形式（微分方程中不包含输入函数的导数项）：
y (n ) a n 1 y (n 1 ) a 1 y a 0 y b 0 u
系统的传递函数为： W (s)snan1sn1b 0a1sa0
1、标准I型
1.）选择状态变量 若给定初始条件 y (0 )y ,(0 ) ,,y (n 1 )(0 )及 t0 的输 u (t) 入 则系统行为被完全确定，依此选择一组状态变量。即：
东南大学自动控制原理控制系统的状态空间模型
对偶实现
g(s)
n1sn1
sn an1sn1
1s 0
a1s a0
d
则状态空间表达式可为
d=0时为严格真系统
0 0 0 a0
1
0
a1
A 0 0 ,
1
0
an2
0 0 1 an1
实现过程：
第一步：分解传递函数
g(s)
bn
(bn1
bnan1)sn1 (b1 sn an1sn1
bna1)s a1s a0
(b0
bna0
)
第二步：定义虚拟输出
~y (s)
sn
an1s n1
1
a1s a0
u(s)
则 y(s) ((bn1 bnan1)sn1 (b1 bna1)s (b0 bna0 )) ~y (s) bnu(s)
bnu(t)
第三步：取n个状态变量 x1 ~y, x2 ~y (1) , , xn ~y (n1)
x1 ~y (1) x2 ,
xn1
~y (n1)
xn ,
xn ~y (n) an1xn a0 x1 u
y(t) (b0 bna0 )x1(t) (b1 bna1)x2 (t) (bn1 bnan1)xn (t) bnu(t)
假设零初始条件（即x(0)=0)，进行拉普拉斯变换后得到系统的 传递函数矩阵为
G(s) C(sI A)1 B D
自动控制原理知识点总结
自动控制原理知识点总结一、数学模型与传递函数1.系统的数学模型：数学模型是通过建立系统的数学方程来描述系统的物理特性和行为规律。
2.传递函数：传递函数是描述系统的输入和输出之间关系的函数，它是系统的拉普拉斯变换的比值。
二、系统的稳定性1.稳定性的概念：系统的稳定性是指系统在给定条件下的输出是否能够始终收敛到一个有限的范围内。
2.稳定性判据：稳定性可以通过判断系统的极点位置来确定，例如极点都位于左半平面时系统是稳定的。
3. 稳定性分析方法：常用的稳定性分析方法有根轨迹法、Nyquist稳定判据和Bode稳定判据。
三、系统的时间响应1.系统的单位冲击响应：单位冲击响应是系统对冲激信号的输出响应，它可以通过拉普拉斯变换和反变换求得。
2.系统的单位阶跃响应：单位阶跃响应是系统对阶跃信号的输出响应，它可以通过拉普拉斯变换和反变换求得。
3.响应特性参数：常用的响应特性参数有时间常数、峰值时间、峰值幅值、上升时间、超调量和稳态误差等。
四、控制系统的单一闭环反馈1.开环系统与闭环系统：开环系统是指没有反馈路径的系统，闭环系统是指存在反馈路径的系统。
2.单位负反馈控制系统：单位负反馈控制系统是指闭环系统中反馈信号与输入信号的比例为-1的系统。
3.闭环系统的稳态误差：稳态误差是指系统在达到稳定状态后，输出与期望输出之间的偏差。
4.稳态误差的计算和减小方法：可以通过增大控制增益、引入积分环节或者采用预估控制来减小稳态误差。
五、PID控制器1.PID控制器的结构和原理：PID控制器是由比例环节、积分环节和微分环节组成的控制器。
比例环节根据当前误差来调节输出，积分环节根据累积误差来调节输出，微分环节根据误差变化率来调节输出。
2.PID调节器参数整定方法：常用的整定方法有经验整定法、频域法和模拟优化等。
六、根轨迹法1.根轨迹的概念和性质：根轨迹是描述系统极点运动规律的图形,它是由系统的传递函数特征方程的根随一个参数的改变轨迹而形成的。
状态空间模型
y (t ) = [b0 bn a0 , b1 bn a1, L, bn 1 bn an 1 ]X (t ) + bnu (t )
Example
分别求传递函数
和 2）
4 s 2 + 3s 3 G(s) = 2 s + 7s + 5
s 3 G(s) = 2 1） s + 3s + 2
Example
设一线性系统的状态表示为
dx1 dt = x1 + x2 + u dx 2 = x2 u dt y = x1 x2 + 2u
{A, B, C , D}
试求其输入-输出微分方程.
解:
1 2 1 , , [1 1],2, = 0 1 1
1
代入公式(3)得
的状态模型表示。 解：1） m=1,n=2且 a0 = 2, a1 = 3, b0 = 3, b1 = 1.
0 A= a0 1 0 1 0 B = , = , a1 2 3 1 C = [b0 b1 ] = [ 3 1], D = 0
状态模型为：
1 x1 (t ) 0 d x1 (t ) 0 = + u (t ) dt x2 (t ) 2 3 x2 (t ) 1 x1 (t ) y (t ) = [ 3 1] x2 (t )
其中 H i 为待定向量,维数与 X 相同. 显然,由初始条件X (0) = X 0 可得 H 0 = X 0 , 并将(3)式代入(2)式得:
H1 + 2 H 2t + L + nH nt n 1 + L = AH 0 + AH1t + L + AH nt n + L
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麻省理工学院
电气工程与计算机科学系
6.243j（2003秋季）非线性系统动力学
A.Megretski
讲座1：输入/输出和状态空间模型1
本章介绍非线性动力系统建模的一些基本定义和简单例子。
1.1动态模型
描述一个系统，最普遍的方法是采用动态输入/输出模型（尽管不一定是最方便的方法）。
1.1.1什么是信号？
在这一章中，信号是指局部可微的函数z:R+→R k，其中R+表示非负实数。
“局部可微”的概念来自于Lebesque测度原理，是指在有限区间内的微分有意义。
广义函数，例如δ(t)，就不是局部可微的。
在信号函数中，一般将自变量t∈R+看作“时间”（通常是这样）。
例1.1函数z=z(·)由
z(t)=
t−0.9sgn(cos(1/t))t>0,
0t=0
定义，当
z(t)=
1/t for t>0,
0for t=0
时是一个有效信号，当z(t)=˙δ(t)时不是。
上面的定义形式包含了所谓的连续时间（CT）信号。
离散时间（DT）信号可以作为特殊CT信号由上面的形式表示。
准确地说，如果信号z:R+→R k 在每个时间间隔[k,k+1)(k=0,1,2,...)内都是常数，那么它就是一个DT 信号。
1.1.2什么是系统？
系统是产生信号（称为输出信号）的，通常依赖于其它信号（输入）和一些参数（初始条件）。
在大部分应用中，系统的数学模型由行为集决定（通常绝对如此）。
对于自治系统（也就是没有输入的系统），行为集B={z}，其中信号z:R+→R k（对于所有B中的信号，k必须是一致的）。
对于输入为v、输出为w的系统，行为集包含所有的输入/输出对，即z=(v(·),w(·))。
这12003年9月3日版
1
两种定义并没有实质性差别，可以认为信号对z=(v(·),w(·))就是包含依次排列的输入和输出的单向量信号z(t)=[(v(t);w(t)]。
在这种定义中，一个确定的输入v(·)可以出现在(v,w)∈B的很多输入/输出对中，也可以不出现在任何一对中，所以行为集不一定能把系统输出定义为任意一个系统输入的函数。
典型例子就是唯一确定一个输出，除了要知道输入外，还需要知道一些其它信息（初始条件和不确定参数）。
例1.2由包含所有标量信号对(v,w)的行为集确定常见的理想积分系统（传递函数为G(s)=1/s）如下：
w(t2)−w(t1)= t
2
t1
v(τ)dτ,∀t1,t2∈[0,∞]
在这个例子中，只要知道v和w(0)，就可以唯一确定输出。
在例1.1.2中，系统由一个积分方程描述。
对于相同的系统，描述方法很多（例如传递函数和微分方程等）。
1.1.3什么是线性/非线性系统？
当一个系统的行为集满足叠加原理时，这个系统称为线性系统。
也就是说，对于任何z1,z2∈B和c∈R，有z1+Z2∈B和cz1∈B。
除去一些没有意义的例子2，由关于v和w呈线性的方程定义的系统是线性系统。
特殊地，例1.1.2涉及的理想积分系统是线性的。
1.2系统状态
任意行为模型B={z(·)}都可以定义系统状态，认识到这一点是很重要的。
1.2.1在t时刻，定义同一状态的两个信号
给定时间t0，假设系统状态包含所有过去（t<t0）和未来（t>t0）行为的相关信息，我们得到以下定义。
定义假设B是一个行为集，信号z1,z2∈B，如果信号
z12(t)=
z1(t)for t≤t0,
z2(t)for t>t0
和
z21(t)=
z2(t)for t≤t0,
z1(t)for t>t0
也属于行为集，那么我们称t0时刻，z1,z2可交换。
定义假设B是一个行为集，信号z1,z2,z∈B，如果t0时刻，z和z1交换与z和z2交换是一样的，我们称z1,z2在B上定义了相同的状态。
2例如由非线性方程(v(t)−w(t))2=0∀t定义的（线性）系统
2
定义假设B 是一个行为集，X 是一个任意集合，如果只要x (t,z 1(·))=x (t,z 2(·))，z 1和z 2在t 时刻就定义B 中的相同状态，那么我们称函数x :R ×B →X 是系统B 的一个状态。
例1.3假设系统输入v 和输出w 是二进制信号，也就是取值集合为{0,1}的DT 信号。
输入/输出关系为：仅当v (t )=1时，w (t )=1;当t 1,t 2∈Z +时，w (t 1)=w (t 2)=1；当t ∈(t 1,t 2) Z 时，w (t )=0；当区间(t 1,t 2)内刚好有两个整数t 时，v (t )=1。
也就是说，系统在输入的时候记数一，记到三时，系统计数器清零，输出1（否则输出0）。
很容易得出，当且仅当N (t 0,z 1)=N (t 0,z 2)时，输入/输出对z 1=(v 1,w 1)和z 2=(v 2,w 2)在（离散）时间t 0可交换，其中N (t 0,z )是v (t )中的数字一，z =(v,w )∈B ，t ∈(t 0,t 1) Z ，t 1是下一次（t 0之后）w (t )=1时对应的整数时间t 。
因此，系统状态可以由函数x :R +×B →{0,1,2},x (t,z )=N (t,z )来定义。
在这个例子中，已知系统状态可以写出系统的状态空间方程
x (t +1)=f (x (t ),v (t )),w (t )=g (x (t ),v (t ))(1.1)
其中
f (x,v )=(x +v )mod3,
并且当且仅当x =2和v =1时g (x,v )=1。
3。