概率论与数理统计教案-随机变量及其分布

概率论与数理统计教学教案

第二章随机变量及其分布

授课序号01

教 学 基 本 指 标

教学课题 第二章 第一节 随机变量及其分布 课的类型 新知识课 教学方法 讲授、课堂提问、讨论、启发、自学 教学手段 黑板多媒体结合 教学重点 随机变量的定义

教学难点 随机变量分布函数的运算 参考教材 高教版、浙大版《概率论与梳理统计》 作业布置 课后习题

大纲要求 理解随机变量的定义；

理解分布函数的定义和性质；

理解离散型随机变量和连续型随机变量的概念； 熟练掌握随机变量分布函数的求解。

教 学 基 本 内 容

一、基本概念：

1、在随机试验中，是相应的样本空间，如果对中的每一个样本点，有一个实 数与它对应，那么就把这个定义域为的单值实值函数称为（一维）随

机变量。

2、设是一个随机变量，对于任意实数，称函数

,

为随机变量的分布函数。

3、设是随机试验，为随机变量，若的取值范围（记为） 为有限集或可列集，此时称为（一维）离散型随机变量.

4、若一维离散型随机变量的取值为，称相应的概率

E ΩΩω()X

ωΩ()X X ω=X x ()()x X P x F ≤=+∞<<∞-x X E X X X ΩX X 12,,,,n x x x (),1,2,i i P X x p i ===

为离散型随机变量的分布律（或分布律）且满足（1）非负性；（2）正则性..

5、设是随机试验，是相应的样本空间，是上的随机变量，是的分布函数，若存在非负函数

使得

，

则称为（一维）连续性随机变量，称为的概率密度函数，满足：（1）；

（2）。

二、定理与性质

1、分布函数有如下性质：

（1）对于任意实数，有，；

（2）单调不减，即当时，有； （3）是的右连续函数，即。

2、连续型随机变量具有下列性质：

（1）分布函数是连续函数，在的连续点处，；

（2）对任意一个常数，所以，在事件 中剔除或剔除

，都不影响概率的大小，即

.

注意的是，这个性质对离散型随机变量是不成立的，恰恰相反，离散型随机变量计算的就是“点点概率”。

（3）对任意的两个常数，。

三、主要例题：

例1 设一盒子中装有10个球，其中5个球上标有数字1，3个球上标有数字2，2个球上标有数字3。从中任取一球，记随机变量表示为“取得的球上标有的数字”，求的分布函数。

例2 设随机变量的分布律为

X

-1 0 2

X 01,2,i p i ≥= ，1

1i i p +∞

==∑E ΩX Ω()F x X ()f x ()()d x

F x f t t -∞

=⎰

X ()f x X ()+∞<<-∞≥x x f ,0()⎰+∞

∞

-=1dx x f ()x F x ()10≤≤x F ()()1lim ,0lim ==+∞

→-∞

→x F x F x x ()x F 21x x <()()21x F x F ≤()x F x ()()00

0lim x F x F x x =+→()x F ()x f ()()x f x F ='(),,0c c P X c -∞<<+∞=={}a X b ≤≤X a =X b =()()()()P a X b P a X b P a X b P a X b ≤≤=<≤=≤<=<<,a b ()()b

a

P a X b f x dx <≤=⎰X X ()x F X

概率 0.2 0.4 0.4

求（1）；（2）的分布函数。 例3 设连续型随机变量的密度函数为

求（1），（2）的分布函数。

授课序号02

教 学 基 本 指 标

教学课题

第二章 第二节

常用的离散分布

课的类型 新知识课

教学方法 讲授、课堂提问、讨论、启发、自学 教学手段 黑板多媒体结合

教学重点 常用离散分布的分布律

教学难点 二项分布分布律的求解 参考教材 高教版、浙大版《概率论与梳理统计》

作业布置 课后习题

大纲要求 熟练掌握常用离散型随机变量分布律的构造及概率的求解

教 学 基 本 内 容

一、基本概念：

1，伯努利（Bernoulli ）试验：设对一随机试验，只关心某一事件发生还是不发生，即该随机试验只有两种可能的试验结果：和，则称这样的随机试验叫伯努利（Bernoulli ）试验.

2，二项分布：记随机变量表示在重伯努利试验中事件发生的次数，则的取值为，相应的分布律为：

称随机变量服从参数为的二项分布，记为.

3，分布：二项分布中，当时，即有

.

()-0.7P X ≤X ()F x X ()2

301

x x f x ⎧<<=⎨

⎩其他

()0.5P X

01,0,1,,.n k

k n P X k p p p k n k -⎛⎫==-<<= ⎪⎝⎭

X ,n p (),X B n p 01-()1,B p (),B n p 1n =()1,X B p ()()

11,01,0,1-==-<<=k

k P X k p p p k

4，泊松分布：设随机变量的取值为，相应的分布律为

其中.

称随机变量服从参数为的泊松分布，记为.

5，超几何分布：设有件产品，其中有件是不合格品.若从中不放回地抽取件，设其中含有的不合格品的件数取值为，相应的分布律为

则服从参数为，和的超几何分布，记为，其中，和均为正整数.

6，几何分布：在伯努利试验中，记每次试验中事件发生的概率为.设随机变量表示事件首次出现时的试验次数，则的取值为，相应的分布律为

称随机变量服从参数为的几何分布，记为.

7，负二项分布:在伯努利试验中，记每次试验中事件发生的概率为.设随机变量表示事件第次出现时的试验次数，则的取值为，相应的分布律为

称随机变量服从参数为的负二项分布，记为.其中当时，即为几何分布.

二、定理与性质：

1，泊松定理：在重伯努利试验中，记事件在一次试验中发生的概率为，如果当时，有

，则．

三、主要例题：

例1 某人向同一目标重复射击5次，每次命中目标的概率为0.8，求（1）此人能命中3次的概率；（2）此人

()λP X 0,1,2,,,n (),0,1,,!

x

P X x e x x λλ-==

= 0>λX λ()X P λ (),,H N M n N ()M M N ≤()n n N ≤X max(0,),,min(,)+- n M N n M (),max(0,),,min(,)-⎛⎫⎛⎫

⎪⎪-⎝⎭⎝⎭===+-⎛⎫ ⎪⎝⎭

M N M k n k P X k k n M N n M N n X n N M (),, X H N M n n N M ()Ge p A p X A X 1,2,,,n ()()

1

1,01,1,2,,,-==-<<= k P X k p p p k n X p ~()X Ge p (,)NB r p A p X A r X ,1,,,r r r n ++ ()()11,

01,,1,,,1k r

r k P X k p p p k r r r n r --⎛⎫==-<<=++ ⎪-⎝⎭

X ,r p ~NB(,)X r p =1r n A n p n →∞n np λ→()lim 1!k n k

k n n n n p p e k k λλ--→∞⎛⎫-= ⎪⎝⎭