概率论与数理统计教案-随机变量及其分布

概率论与数理统计教学教案第二章随机变量及其分布授课序号01教 学 基 本 指 标教学课题 第二章 第一节 随机变量及其分布 课的类型 新知识课 教学方法 讲授、课堂提问、讨论、启发、自学 教学手段 黑板多媒体结合 教学重点 随机变量的定义教学难点 随机变量分布函数的运算 参考教材 高教版、浙大版《概率论与梳理统计》 作业布置 课后习题大纲要求 理解随机变量的定义；理解分布函数的定义和性质；理解离散型随机变量和连续型随机变量的概念； 熟练掌握随机变量分布函数的求解。

教 学 基 本 内 容一、基本概念：1、在随机试验中，是相应的样本空间，如果对中的每一个样本点，有一个实 数与它对应，那么就把这个定义域为的单值实值函数称为（一维）随机变量。

2、设是一个随机变量，对于任意实数，称函数,为随机变量的分布函数。

3、设是随机试验，为随机变量，若的取值范围（记为） 为有限集或可列集，此时称为（一维）离散型随机变量.4、若一维离散型随机变量的取值为，称相应的概率E ΩΩω()XωΩ()X X ω=X x ()()x X P x F ≤=+∞<<∞-x X E X X X ΩX X 12,,,,n x x x (),1,2,i i P X x p i ===为离散型随机变量的分布律（或分布律）且满足（1）非负性；（2）正则性..5、设是随机试验，是相应的样本空间，是上的随机变量，是的分布函数，若存在非负函数使得，则称为（一维）连续性随机变量，称为的概率密度函数，满足：（1）；（2）。

二、定理与性质1、分布函数有如下性质：（1）对于任意实数，有，；（2）单调不减，即当时，有； （3）是的右连续函数，即。

2、连续型随机变量具有下列性质：（1）分布函数是连续函数，在的连续点处，；（2）对任意一个常数，所以，在事件 中剔除或剔除，都不影响概率的大小，即.注意的是，这个性质对离散型随机变量是不成立的，恰恰相反，离散型随机变量计算的就是“点点概率”。

（3）对任意的两个常数，。

三、主要例题：例1 设一盒子中装有10个球，其中5个球上标有数字1，3个球上标有数字2，2个球上标有数字3。

从中任取一球，记随机变量表示为“取得的球上标有的数字”，求的分布函数。

例2 设随机变量的分布律为X-1 0 2X 01,2,i p i ≥= ，11i i p +∞==∑E ΩX Ω()F x X ()f x ()()d xF x f t t -∞=⎰X ()f x X ()+∞<<-∞≥x x f ,0()⎰+∞∞-=1dx x f ()x F x ()10≤≤x F ()()1lim ,0lim ==+∞→-∞→x F x F x x ()x F 21x x <()()21x F x F ≤()x F x ()()000lim x F x F x x =+→()x F ()x f ()()x f x F ='(),,0c c P X c -∞<<+∞=={}a X b ≤≤X a =X b =()()()()P a X b P a X b P a X b P a X b ≤≤=<≤=≤<=<<,a b ()()baP a X b f x dx <≤=⎰X X ()x F X概率 0.2 0.4 0.4求（1）；（2）的分布函数。

例3 设连续型随机变量的密度函数为求（1），（2）的分布函数。

授课序号02教 学 基 本 指 标教学课题第二章 第二节常用的离散分布课的类型 新知识课教学方法 讲授、课堂提问、讨论、启发、自学 教学手段 黑板多媒体结合教学重点 常用离散分布的分布律教学难点 二项分布分布律的求解 参考教材 高教版、浙大版《概率论与梳理统计》作业布置 课后习题大纲要求 熟练掌握常用离散型随机变量分布律的构造及概率的求解教 学 基 本 内 容一、基本概念：1，伯努利（Bernoulli ）试验：设对一随机试验，只关心某一事件发生还是不发生，即该随机试验只有两种可能的试验结果：和，则称这样的随机试验叫伯努利（Bernoulli ）试验.2，二项分布：记随机变量表示在重伯努利试验中事件发生的次数，则的取值为，相应的分布律为：称随机变量服从参数为的二项分布，记为.3，分布：二项分布中，当时，即有.()-0.7P X ≤X ()F x X ()2301x x f x ⎧<<=⎨⎩其他()0.5P X <X ()F x E A A A (),B n p X n A X 0,1,2,,n ()()1,01,0,1,,.n kk n P X k p p p k n k -⎛⎫==-<<= ⎪⎝⎭X ,n p (),X B n p 01-()1,B p (),B n p 1n =()1,X B p ()()11,01,0,1-==-<<=kk P X k p p p k4，泊松分布：设随机变量的取值为，相应的分布律为其中.称随机变量服从参数为的泊松分布，记为.5，超几何分布：设有件产品，其中有件是不合格品.若从中不放回地抽取件，设其中含有的不合格品的件数取值为，相应的分布律为则服从参数为，和的超几何分布，记为，其中，和均为正整数.6，几何分布：在伯努利试验中，记每次试验中事件发生的概率为.设随机变量表示事件首次出现时的试验次数，则的取值为，相应的分布律为称随机变量服从参数为的几何分布，记为.7，负二项分布:在伯努利试验中，记每次试验中事件发生的概率为.设随机变量表示事件第次出现时的试验次数，则的取值为，相应的分布律为称随机变量服从参数为的负二项分布，记为.其中当时，即为几何分布.二、定理与性质：1，泊松定理：在重伯努利试验中，记事件在一次试验中发生的概率为，如果当时，有，则．三、主要例题：例1 某人向同一目标重复射击5次，每次命中目标的概率为0.8，求（1）此人能命中3次的概率；（2）此人()λP X 0,1,2,,,n (),0,1,,!xP X x e x x λλ-=== 0>λX λ()X P λ (),,H N M n N ()M M N ≤()n n N ≤X max(0,),,min(,)+- n M N n M (),max(0,),,min(,)-⎛⎫⎛⎫⎪⎪-⎝⎭⎝⎭===+-⎛⎫ ⎪⎝⎭M N M k n k P X k k n M N n M N n X n N M (),, X H N M n n N M ()Ge p A p X A X 1,2,,,n ()()11,01,1,2,,,-==-<<= k P X k p p p k n X p ~()X Ge p (,)NB r p A p X A r X ,1,,,r r r n ++ ()()11,01,,1,,,1k rr k P X k p p p k r r r n r --⎛⎫==-<<=++ ⎪-⎝⎭X ,r p ~NB(,)X r p =1r n A n p n →∞n np λ→()lim 1!k n kk n n n n p p e k k λλ--→∞⎛⎫-= ⎪⎝⎭至少命中2次的概率。

例2 某课程有两种不同的考核方式。

第一种，学生在一学期内要参加四次独立的小测验，每次测验的及格率为0.8，四次中至少要有三次及格，考核通过。

第二种，学生只需在学期末参加一次期末考试，考核通过率也为0.8，试问哪种考核方式更受到学生的青睐？例3 设随机变量有分布律，求的值，并求解.例4 设某保险公司的某人寿保险险种有1000人投保，每个投保人在一年内死亡的概率为0.005，且每个人在一年内是否死亡是相互独立的，试求在未来一年中这1000个投保人中死亡人数不超过10人的概率．例5 设，则对任意正整数和，证明X ()()30,1,2,!kc P X k k k ⨯=== c ()2P X ≤~()X Ge p m n ()()P X m n X m P X n >+>=>授课序号03教 学 基 本 指 标教学课题 第二章 第三节 常用的连续分布课的类型 新知识课 教学方法 讲授、课堂提问、讨论、启发、自学 教学手段 黑板多媒体结合教学重点 正态分布教学难点 常用连续型随机变量概率求解 参考教材 高教版、浙大版《概率论与梳理统计》作业布置 课后习题大纲要求 熟练掌握常用连续型随机变量密度函数的构造及概率的求解教 学 基 本 内 容一、基本概念：1、均匀分布设为随机变量，对任意的两个实数， 概率密度函数为则称随机变量服从区间上的均匀分布，记为.2，均匀分布的分布函数若，则相应的分布函数为3、指数分布设为随机变量，概率密度函数为则称随机变量服从参数为的指数分布，记为.4、指数分布的分布函数X ,()a b a b <()1,,0,a xb f x b a⎧<<⎪=-⎨⎪⎩其它，X (),a b (),X U a b (),X U a b ()0,,,1,.x a x a F x a x b b a x b <⎧⎪-⎪=≤<⎨-⎪≥⎪⎩X ()e ,0,00,x x f x λλλ-⎧>=>⎨⎩其它，X λ()X E λ例3 设随机变量，借助于标准正态分布的分布函数表，求下列事件的概率 （1），（2）， （3）， （4）（5）。

例4 设随机变量，借助于标准正态分布的分布函数表，求下列事件的概率（1），（2），（3），（4）（5）。

例5 设随机变量，为何值，满足()0,1X N ()()1.22= 1.220.8888P X ≤Φ=()()()1.22=1- 1.22=1- 1.2210.88880.1112P X P X >≤Φ=-=()()()1.22= 1.221 1.2210.88880.1112P X ≤-Φ-=-Φ=-=()()()()()1 1.22= 1.221 1.22[11]P X -<≤Φ-Φ-=Φ--Φ=0.8888[10.8413]=0.7301--()()()()1.22= 1.22 1.22= 1.22 1.22P X P X ≤-<≤Φ-Φ-()()1.22[1 1.22]=0.8888[10.8888]=0.7776=Φ--Φ--()1,4X N ()3-13-13=0.841322P X ⎛⎫⎛⎫≤Φ=Φ= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()3-13=1-3=1-10.84130.15872P X P X ⎛⎫>≤Φ=-= ⎪⎝⎭()()313=1210.97720.02282P X --⎛⎫≤-Φ=-Φ=-= ⎪⎝⎭()()()311113=1[11]22P X ---⎛⎫⎛⎫-<≤Φ-Φ=Φ--Φ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=0.8413[10.8413]=0.6826--()()31313=33=22P X P X ---⎛⎫⎛⎫≤-<≤Φ-Φ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()1[12]=0.8413[10.9772]=0.8185=Φ--Φ--()0,1X N c ()=0.95P X c ≤授课序号04教 学 基 本 指 标教学课题 第二章 第四节 随机变量函数的分布 课的类型 新知识课 教学方法 讲授、课堂提问、讨论、启发、自学 教学手段 黑板多媒体结合教学重点 随机变量函数的分布构造教学难点 连续型随机变量函数的密度函数求解参考教材 高教版、浙大版《概率论与梳理统计》 作业布置 课后习题大纲要求 熟练掌握随机变量函数的分布律或密度函数求解教 学 基 本 内 容一、基本概念：1，一维离散型随机变量函数的分布设为一维离散型随机变量，分布律为，为任一函数，则随机变量的取值为，相应的分布律为.X ()()1,2,i i P X x p i === ()y g x =()Y g X =()1,2,i g x i = ，()(){}()():,1,2,i kk i i ki ii g x y P Y y P X x g x y p k =======∑2，一维连续型随机变量函数的分布设是一维连续型随机变量，为相应的密度函数，的分布函数与概率密度函数求解的一般步骤：（1）由随机变量的取值范围确定随机变量的取值范围； （2）对任意一个，求出.其中是与相同的随机事件，而是实数轴上的某个集合（通常是一个区间或若干个区间的并集）.（3）分布函数的定义写出，（4）通过对分布函数求导，得到密度函数，. .二、定理与性质：1，设连续型随机变量的密度函数为，是连续型随机变量，若为严格单调函数，为相应的反函数，且为可导函数，则的密度函数为. 2、设，则当时，，特别地，三、 主要例题：例1 设离散型随机变量的分布律为-2 -1 0 2 概率0.10.20.30.4求以下随机变量的分布律（1）；（2）。