山东省临沂市数学高三理数9月月考试卷
山东省临沂第一中学(本校区)2024-2025学年高一上学期学科素养水平监测(第一次月考)数学试卷
2024级普通高中学科素养水平监测（第一次月考）数学一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则等于（ ）A.SB. C.RD.2.的（ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3.已知命题，，若命题p 是假命题，则a 的取值范围为（ ）A. B. C. D.4.若关于x 的不等式在上恒成立，则a 的取值范围是（ ）A. B. C. D.5.已知函数，则函数的解析式为（ ）A. B. C. D.6.已知关于x 的一元二次不等式的解集为，且实数满足，则实数m 的取值范围是（ ）A.或 B.或C.或 D.或7.已知则的值等于（ ）A. B.0C.D.48.对于非空数集，定义表示该集合中所有元素的和，给定集合，定义集合，则集合T 中元素的个数是（ ）A.集合T 中有1个元素B.集合T 中有10个元素C.集合T 中有11个元素D.集合T 中有15个元素二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符{}52,Z S s s n n ==-∈{}108,Z T t t n n ==+∈S T T∅a b >>0:R p x ∃∈200(1)10x a x +-+<13a ≤≤13a -<<13a -≤≤02a ≤≤270x ax -+>27x <<8a <8a ≤a <112a <2(2)68f x x x +=++()f x 2()2f x x x=+2()68f x x x =++2()4f x x x=+2()86f x x x =++2(1)210x m x m -++-<12x x x x <<12x x 12111m x x +<-{102m m <<}2m >{0m m <2}m >2{10m m <<}5m >{0m m <5}m >2,0,()(1),0,x x f x f x x >⎧=⎨+≤⎩4433f f ⎛⎫⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2-73M ()f M {1,2,3,4}S ={}(),T f A A S A =⊆≠∅合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.下列四个命题中，正确的是（ ）A.若，，则 B.若，且则C.若，则D.若，则10.函数的图象如图所示（图象与t 正半轴无限接近，但永不相交），则下列说法正确的是（ ）A.函数的定义域为B.函数的值域为C.当时，有两个不同的值与之对应D.当时11.已知，，下列命题中错误的是（ ）的最小值为2B.若则的最小值为C.若，则的最小值为10D.若，则的最小值为32三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知集合，，若，则________13.甲、乙两位消费者同时两次购买同一种物品，分别采用两种不同的策略，甲的策略是不考虑物品价格的升降，每次购买这种物品的数量一定；乙的策略是不考虑物品价格的升降，每次购买这种物品所花的钱数一定.若两次购买这种物品的单价分别为元，元（，，）则乙两次购买这种物品的平均价格为________；购物比较经济合算的是________（填“甲”或“乙”）.14.对于，两个集合，满足，且A 中元素个数不属于A ，同时中元素个数不属于.则满足题意的不同的的个数为________.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.（13分）记不等式的解集为，不等式的解集为.a b >c d >a c b d ->-a b >11a b >0ab <0a b >>0c >b c ba c a+>+0a b <<a bb a>()s f t =()s f t =[3,)-+∞()s f t =(0,5][1,2]s ∈t ()122(0,1)t t t t ∈≠()()1212f t f t t t ⋅>-0a >0b >R x ∈111123a b +=++ab a b ++14+21a b +=24a ba b++0a b >>264()a b a b +⋅{}21,,1M a =-{}1,N a =-{}1,M N a =- a =a b 0a >0b >a b ≠A B {}16,Z A B n n n =≤≤∈ A B =∅ B B A 0(R)a x a -≤∈A 2230x x -->B（1）当时，求；（2）若，求实数a 的取值范围.16.（15分）已知关于x 的不等式的解集是.（1）求实数a ，b 的值；（2）若，，且，求的最小值.17.（15分）求下列函数的定义域.（1）；（2）已知函数的定义域为，求函数的定义域.18.（17分）如图，建立平面直角坐标系，.x 轴在地平面上，轴垂直于地平面，单位长度为1千米.某炮位于坐标原点已知炮弹发射后的轨迹在函数的图象（弹道曲线）上，其中与发射方向有关.炮的射程是指炮弹落地点的横坐标.（1）确定的值，使炮弹恰好击中坐标为的目标，并求此时若炮弹未能击中目标的射程.（2）求炮的射程关于k 的函数解析式.，并求炮的最大射程.19.（17分）已知函数.（1）若不等式的解集为，求的取值范围（2）当时，解不等式.；（3）对任意的，不等式恒成立，求m 的取值范围.1a =A B ()R A B ≠∅ ð2250ax bx a +-+<113x x ⎧⎫⎨-<⎩<⎬⎭0m >0n >1am bn +=1n m n+()f x =(3)f x +(1,0)-(21)f x +xOy y ()2211k (0)20y kx x k =-+>k k (2,3)P ()x f k =2()(1)1(R)f x m x mx m m =+-+-∈()0f x <∅m 2m >-()f x m ≥[1,1]x ∈-2()1f x x x ≥-+。
山东省临沂市2024届高三下学期一模考试数学试题答案
２０２４年普通高等学校招生全国统一考试（模拟）数学试题参考答案及评分标准２０２４．３说明：一㊁本解答只给出了一种解法供参考，如考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容参照评分标准酌情赋分．二㊁当考生的解答在某一步出错误时，如果后继部分的解答未改该题的内容与难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确答案应得分数一半；如果后继部分的解答有较严重的错误或又出现错误，就不再给分．三㊁解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．四㊁只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．一㊁选择题：本题共８小题，每小题５分，共４０分㊂在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的㊂１．Ｂ㊀２．Ａ㊀３．Ｃ㊀４．Ｃ㊀５．Ａ㊀６．Ｂ㊀７．Ｄ㊀８．Ｂ二㊁选择题：本题共３小题，每小题６分，共１８分㊂在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求㊂全部选对的得６分，部分选对的得部分分，有选错的得０分㊂９．ＡＣＤ㊀１０．ＢＣＤ㊀１１．ＡＣ三㊁填空题：本题共３小题，每小题５分，共１５分㊂１２．［１，１０）㊀１３．２㊀１４．３６（２＋３）π㊀１４４π四㊁解答题：本题共５小题，共７７分㊂解答应写出文字说明㊁证明过程或演算步骤㊂１５．（１３分）解：（１）ｆ（ｘ）＝ａ㊃ｂ＝２ｃｏｓ２ｘ＋２３ｓｉｎｘｃｏｓｘ１分＝ｃｏｓ２ｘ＋１＋３ｓｉｎ２ｘ３分＝２ｓｉｎ（２ｘ＋π６）＋１，４分因为ｆ（ｘ０）＝１１５，即２ｓｉｎ（２ｘ０＋π６）＋１＝１１５，所以ｓｉｎ（２ｘ０＋π６）＝３５，５分又ｘ０ɪ（π６，π３），所以２ｘ０＋π６ɪ（π２，５π６），所以ｃｏｓ（２ｘ０＋π６）＝－４５，６分所以ｃｏｓ２ｘ０＝ｃｏｓ（２ｘ０＋π６－π６）７分㊀＝ｃｏｓ（２ｘ０＋π６）ｃｏｓπ６＋ｓｉｎ（２ｘ０＋π６）ｓｉｎπ６＝３－４３１０．８分（２）由题意知，ｇ（ｘ）＝１２（２ｓｉｎ（２（ｘ－π６）＋π６）＋１－１）＝ｓｉｎ（２ｘ－π６），１０分由ｇ（ｘ）ȡ１２得，π６＋２ｋπɤ２ｘ－π６ɤ５π６＋２ｋπ，ｋɪＺ，ʑπ６＋ｋπɤｘɤπ２＋ｋπ，ｋɪＺ，１１分令ｋ＝０，得ｘɪ［π６，π２］，令ｋ＝－１，得ｘɪ［－５π６，－π２］，又ｘɪ［－π６，π３］，ʑｘɪ［π６，π３］．故不等式ｇ（ｘ）ȡ１２，ｘɪ［－π６，π３］的解集为［π６，π３］．１３分１６．（１５分）（１）解：随机变量Ｘ可能取值为６，７，８，９．１分由题意得每次掷骰子上两级台阶的概率为２３，上三级台阶的概率为１３，２分则Ｘ－６Ｂ（３，１３）３分可得Ｐ（Ｘ＝６）＝（２３）３＝８２７，４分Ｐ（Ｘ＝７）＝Ｃ１３ˑ１３ˑ（２３）２＝４９，５分Ｐ（Ｘ＝８）＝Ｃ２３ˑ（１３）２ˑ２３＝２９，６分Ｐ（Ｘ＝９）＝（１３）３＝１２７，７分所以Ｘ的分布列为Ｘ６７８９Ｐ８２７４９２９１２７㊀㊀因为Ｅ（Ｘ－６）＝３ˑ１３＝１，所以Ｅ（Ｘ）＝７．９分（２）解：记甲㊁乙两位学生参加游戏，恰有一人获得奖品的概率为Ｐ，由题意知，位于第１０级台阶则认定游戏失败，无法获得奖品，所以投掷３次后，学员站在第７步台阶，第四次投掷次骰子，出现３的倍数，即位于第１０级台阶，１０分其概率Ｐ１＝Ｃ１３ˑ１３ˑ（２３）２ˑ１３＝４２７，１２分 所以Ｐ＝Ｃ１２ˑＰ１ˑ（１－Ｐ１）＝２ˑ４２７ˑ２３２７＝１８４７２９．１４分 甲㊁乙两位学生参加游戏，恰有一人获得奖品的概率为１８４７２９．１５分 １７．（１５分）解：（１）作直线ＡＢ１即为所求．１分 连结ＡＣ１交ＤＥ于点Ｍ，连结ＭＦ，２分ȵＡＤ＝２ＤＡ１，Ｃ１Ｅ＝２ＥＣ，ʑＡＤ＝Ｃ１Ｅ＝２３ＡＡ１＝２，又ＡＤʊＣ１Ｅ，ʑ四边形ＡＤＣ１Ｅ为平行四边形，ʑＡＭ＝ＭＣ１，４分 又Ｂ１Ｆ＝ＦＣ１，ʑＭＦʊＡＢ１，５分 又ＭＦ⊂平面ＤＥＦ，ＡＢ１⊄平面ＤＥＦ，ʑＡＢ１ʊ平面ＤＥＦ．６分（２）ȵＳәＡＢＣ＝１２ˑ２ˑ２ｓｉｎøＡＢＣ＝２ｓｉｎøＡＢＣʑ当øＡＢＣ＝π２时，ＳәＡＢＣ取最大值２，即当ＡＢʅＢＣ时，三棱柱ＡＢＣ－Ａ１Ｂ１Ｃ１的体积最大，７分又ȵＢＢ１ʅＡＢ，ＢＢ１ʅＢＣ，以Ｂ为坐标原点，ＢＡ，ＢＣ，ＢＢ１为ｘ轴，ｙ轴，ｚ轴建立空间直角坐标系，８分则Ｄ（２，０，２），Ｅ（０，２，１），Ｆ（０，１，３），ʑＤＥң＝（－２，２，－１），ＥＦң＝（０，－１，２），１０分 设平面ＤＥＦ的法向量ｎ＝（ｘ，ｙ，ｚ），由ｎ㊃ＤＥң＝０ｎ㊃ＥＦң＝０{，得－２ｘ＋２ｙ－ｚ＝０，－ｙ＋２ｚ＝０，{㊀取ｚ＝１，则ｙ＝２，ｘ＝３２，此时ｎ＝（３２，２，１），１２分又平面ＡＢＣ的一个法向量为ｍ＝（０，０，１），１３分记平面ＤＥＦ与平面ＡＢＣ夹角为θ，则ｃｏｓθ＝｜ｍ㊃ｎ｜｜ｍ｜｜ｎ｜＝１９４＋４＋１＝２２９２９．１４分故平面ＤＥＦ与平面ＡＢＣ夹角的余弦值为２２９２９．１５分１８．（１７分）解：（１）当ａ＝１时，ｆ（ｘ）＝ｘ２（ｌｎｘ＋１），ʑｆ（１）＝１，１分 又ｆᶄ（ｘ）＝ｘ（２ｌｎｘ＋３），２分ʑｆᶄ（１）＝３，３分 ʑｆ（ｘ）在（１，ｆ（１））处的切线方程为３ｘ－ｙ－２＝０．４分（２）ȵｘɪ（０，＋ɕ），ｆᶄ（ｘ）＝２ｘ（ｌｎｘ＋ａ）＋ｘ＝ｘ（２ｌｎｘ＋２ａ＋１），５分令φ（ｘ）＝２ｌｎｘ＋２ａ＋１，φᶄ（ｘ）＝２ｘ＞０，ʑφ（ｘ）在（０，＋ɕ）上单调递增，６分由φ（ｘ）＝２ｌｎｘ＋２ａ＋１＝０得ｘ＝ｅ－ａ－１２，７分ʑｆ（ｘ）在（０，ｅ－ａ－１２）上单调递减，在（ｅ－ａ－１２，＋ɕ）上单调递增．９分（３）ȵｆ（ｅ－ａ）＝０，ʑｘɪ（０，ｅ－ａ）时，ｆ（ｘ）＜０，ʑ０＜ｘ１＜ｅ－ａ－１２＜ｘ２＜ｅ－ａ，１０分ʑｌｎｘ１＜－ａ－１２＜ｌｎｘ２＜－ａ，即２（ｌｎｘ１＋ａ）＜－１＜２（ｌｎｘ２＋ａ）＜０，１１分由ｆ（ｘ１）＝ｆ（ｘ２）得，ｘ１２（ｌｎｘ１＋ａ）＝ｘ２２（ｌｎｘ２＋ａ），即ｅｌｎｘ１２（ｌｎｘ１＋ａ）ｅ２ａ＝ｅｌｎｘ２２（ｌｎｘ２＋ａ）ｅ２ａ，ʑｅ２（ｌｎｘ１＋ａ）㊃２（ｌｎｘ１＋ａ）＝ｅ２（ｌｎｘ２＋ａ）㊃２（ｌｎｘ２＋ａ），１３分令ｔ１＝２（ｌｎｘ１＋ａ），ｔ２＝２（ｌｎｘ２＋ａ），设ｇ（ｔ）＝ｔｅｔ，ｔɪ（－ɕ，０），ʑｇᶄ（ｔ）＝（ｔ＋１）ｅｔ．１４分ʑｔɪ（－ɕ，－１）时，ｇᶄ（ｔ）＜０，ｇ（ｔ）单调递减，ｔɪ（－１，０）时，ｇᶄ（ｔ）＞０，ｇ（ｔ）单调递增，下面证明ｔ１＋ｔ２＜－２，又ｔ２＞－１，即证ｔ１＜－２－ｔ２＜－１，即证ｇ（ｔ１）＞ｇ（－２－ｔ２），即证ｇ（ｔ２）＞ｇ（－２－ｔ２），１５分 令Ｇ（ｔ）＝ｇ（ｔ）－ｇ（－２－ｔ），ｔɪ（－１，０），Ｇᶄ（ｔ）＝ｇᶄ（ｔ）－ｇᶄ（－２－ｔ）＝（ｔ＋１）（ｅｔ－ｅ－２－ｔ）＞０，ʑＧ（ｔ）在（－１，０）上单调递增，１６分ʑＧ（ｔ）＞Ｇ（－１）＝０，从而得证，故２（ｌｎｘ１＋ａ）＋２（ｌｎｘ２＋ａ）＜－２，即ｌｎｘ１ｘ２＜－２ａ－１，ʑ０＜ｘ１ｘ２＜ｅ－２ａ－１，ʑ１ｘ１ｘ２＞ｅ２ａ＋１．１７分 １９．（１７分）（１）解：设动圆Ｃ的半径为ｒ，易知圆Ｃ１和圆Ｃ２的半径分别为５２，２，ȵＣ与Ｃ１，Ｃ２都内切，则｜ＣＣ１｜＝５２－ｒ，｜ＣＣ２｜＝ｒ－２，１分ʑ｜ＣＣ１｜＋｜ＣＣ２｜＝５２－ｒ＋ｒ－２＝４２，２分 又Ｃ１（－２，０），Ｃ２（２，０），ʑ｜Ｃ１Ｃ２｜＝４＜４２，３分 ʑ点Ｃ的轨迹是Ｃ１，Ｃ２为焦点的椭圆，４分 设Ｅ的方程为：ｘ２ａ２＋ｙ２ｂ２＝１（ａ＞ｂ＞０），则２ａ＝４２，２ｃ＝４，ʑａ２＝８，ｂ２＝ａ２－ｃ２＝４，ʑＥ的方程为：ｘ２８＋ｙ２４＝１．５分（２）（ｉ）证明：设Ａ（ｘ１，ｙ１），Ｂ（ｘ２，ｙ２），Ｐ（８，ｔ）（ｔʂ０），则结合圆锥曲线的性质，知直线ＰＡ的方程为ｘ１ｘ８＋ｙ１ｙ４＝１，６分 直线ＰＢ的方程为ｘ２ｘ８＋ｙ２ｙ４＝１，７分 又直线ＰＡ，ＰＢ都过点Ｐ（８，ｔ），则ｘ１＋ｔｙ１４＝１，ｘ２＋ｔｙ２４＝１，８分因此直线ＡＢ的方程为ｘ＋ｔｙ４＝１，显然当ｙ＝０时，ｘ＝１，９分㊀ʑ直线ＡＢ过定点（１，０）．１０分（ｉｉ）设ＡＢ方程为：ｘ＝ｍｙ＋１（ｍʂ０），联立ｘ＝ｍｙ＋１ｘ２＋２ｙ２＝８{，ʑ（ｍ２＋２）ｙ２＋２ｍｙ－７＝０，１１分ʑｙ１＋ｙ２＝－２ｍｍ２＋２，ｙ１ｙ２＝－７ｍ２＋２，１２分又Ａᶄ（ｘ１，－ｙ１），直线ＡᶄＢ方程为ｙ＋ｙ１＝ｙ１＋ｙ２ｘ２－ｘ１（ｘ－ｘ１），令ｙ＝０得ｘＭ＝ｘ１ｙ２＋ｘ２ｙ１ｙ１＋ｙ２＝（ｍｙ１＋１）ｙ２＋（ｍｙ２＋１）ｙ１ｙ１＋ｙ２＝２ｍｙ１ｙ２＋（ｙ１＋ｙ２）ｙ１＋ｙ２＝２ｍ㊃ｙ１ｙ２ｙ１＋ｙ２＋１＝２ｍ㊃－７ｍ２＋２－２ｍｍ２＋２＋１＝８，１４分ʑＭ（８，０），又Ｃ２（２，０），ʑ｜Ｓ１－Ｓ２｜＝１２｜Ｃ２Ｍ｜｜｜ｙ１｜－｜ｙ２｜｜＝３｜ｙ１＋ｙ２｜＝６｜ｍ｜ｍ２＋２＝６｜ｍ｜＋２｜ｍ｜ɤ６２２＝３２２，１６分ʑ｜Ｓ１－Ｓ２｜的最大值为３２２，当且仅当｜ｍ｜＝２｜ｍ｜，即ｍ＝ʃ２时取等号．１７分。
云南2024-2025学年高三上学期9月月考数学试题含答案
数学试卷（答案在最后）注意事项：1．答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚.2．每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.在试题卷上作答无效.3．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.满分150分，考试用时120分钟.一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）1.已知集合{13},{(2)(4)0}A xx B x x x =≤≤=--<∣∣，则A B = （）A.(2,3] B.[1,2)C.(,4)-∞ D.[1,4)【答案】A 【解析】【分析】解出集合B ，再利用交集含义即可得到答案.【详解】{(2)(4)0}{24}B xx x x x =--<=<<∣∣，而{|13}A x x =≤≤，则(2,3]A B ⋂=.故选：A.2.已知命题2:,10p z z ∃∈+<C ，则p 的否定是（）A.2,10z z ∀∈+<CB.2,10z z ∀∈+≥C C.2,10z z ∃∈+<C D.2,10z z ∃∈+≥C 【答案】B 【解析】【分析】根据存在量词命题的否定形式可得.【详解】由存在量词命题的否定形式可知：2:,10p z z ∃∈+<C 的否定为2,10z z ∀∈+≥C .故选：B3.正项等差数列{}n a 的公差为d ，已知14a =，且135,2,a a a -三项成等比数列，则d =（）A.7B.5C.3D.1【答案】C【解析】【分析】由等比中项的性质再结合等差数列性质列方程计算即可；【详解】由题意可得()23152a a a -=，又正项等差数列{}n a 的公差为d ，已知14a =，所以()()2111224a d a a d +-=+，即()()222444d d +=+，解得3d =或1-（舍去），故选：C.4.若sin160m ︒=，则︒=sin 40（）A.2m -B.2-C.2-D.2【答案】D 【解析】【分析】利用诱导公式求出sin 20︒，然后结合平方公式和二倍角公式可得.【详解】因为()sin160sin 18020sin 20m ︒=︒-︒=︒=，所以cos 20︒==，所以sin 402sin 20cos 202︒=︒︒=故选：D5.已知向量(1,2),||a a b =+= ，若(2)b b a ⊥- ，则cos ,a b 〈〉=（）A.5-B.10-C.10D.5【答案】C 【解析】【分析】联立||a b += 和(2)0b b a ⋅-=求出,b a b ⋅ 即可得解.【详解】因为(1,2)a = ，所以a =，所以222||27a b a b a b +=++⋅=，整理得222b a b +⋅=①，又(2)b b a ⊥- ，所以2(2)20b b a b a b ⋅-=-⋅=②，联立①②求解得11,2b a b =⋅= ，所以12cos ,10a b a b a b⋅〈〉=== .故选：C 6.函数)()ln f x kx =是奇函数且在R 上单调递增，则k 的取值集合为（）A.{}1-B.{0}C.{1}D.{1,1}-【答案】C 【解析】【分析】根据奇函数的定义得()))()222()ln lnln 10f x f x kx kx x k x -+=-+=+-=得1k =±，即可验证单调性求解.【详解】)()lnf x kx =+是奇函数，故()))()222()ln ln ln 10f x f x kx kx x k x -+=-+=+-=，则22211x k x +-=，210k -=，解得1k =±，当1k =-时，)()lnf x x ==，由于y x =在0,+∞为单调递增函数，故()lnf x =0,+∞单调递减，不符合题意，当1k =时，)()lnf x x =+，由于y x =在0,+∞为单调递增函数且()00f =，故)()ln f x x =为0,+∞单调递增，根据奇函数的性质可得)()ln f x x =+在上单调递增，符合题意，故1k =，故选：C7.函数π()3sin ,06f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭，若()(2π)f x f ≤对x ∈R 恒成立，且()f x 在π13π,66⎡⎤⎢⎣⎦上有3条对称轴，则ω=（）A.16 B.76C.136D.16或76【答案】B【解析】【分析】根据()2π3,2π2f T T =≤<求解即可.【详解】由题知，当2πx =时()f x 取得最大值，即π(2π)3sin 2π36f ω⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，所以ππ2π2π,Z 62k k ω+=+∈，即1,Z 6k k ω=+∈，又()f x 在π13π,66⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有3条对称轴，所以13ππ2π266T T ≤-=<，所以2π12T ω≤=<，所以76ω=.故选：B8.设椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>的右焦点为F ，过坐标原点O 的直线与E 交于A ，B 两点，点C 满足23AF FC = ，若0,0AB OC AC BF ⋅=⋅=，则E 的离心率为（）A.9B.7C.5D.3【答案】D 【解析】【分析】设(),A m n ，表示出,,,OA OC AF BF，根据0,0AB OC AC BF ⋅=⋅= 列方程，用c 表示出,m n ，然后代入椭圆方程构造齐次式求解可得.【详解】设(),A m n ，则()(),,,0B m n F c --，则()()(),,,,,OA m n AF c m n BF c m n ==--=+，因为23AF FC = ，所以()555,222n AC AF c m ⎛⎫==-- ⎪⎝⎭，所以()()55533,,,22222n c n OC OA AC m n c m m ⎛⎫⎛⎫=+=+--=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ，因为0,0AB OC AC BF ⋅=⋅=，所以222253302220c OA OC m m n AF BF c m n ⎧⎛⎫⋅=--=⎪ ⎪⎝⎭⎨⎪⋅=--=⎩ ，得34,55m c n c ==，又(),A m n 在椭圆上，所以222291625251c ca b+=，即()()222222229162525c a c a c a a c -+=-，整理得4224255090a a c c -+=，即42950250e e -+=，解得259e =或25e =（舍去），所以3e =.故选：D【点睛】关键点睛：根据在于利用向量关系找到点A 坐标与c 的关系，然后代入椭圆方程构造齐次式求解.二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9.数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知22()n S kn n k =-∈R ，则下列结论正确的是（）A.{}n a 为等差数列B.{}n a 不可能为常数列C.若{}n a 为递增数列，则0k >D.若{}n S 为递增数列，则1k >【答案】AC 【解析】【分析】根据,n n a S 的关系求出通项n a ，然后根据公差即可判断ABC ；利用数列的函数性，分析对应二次函数的开口方向和对称轴位置即可判断D .【详解】当1n =时，112a S k ==-，当2n ≥时，()()()221212122n n n a S S kn n k n n kn k -⎡⎤=-=-----=-+⎣⎦，显然1n =时，上式也成立，所以()22n a kn k =-+.对A ，因为()()()1222122n n a a kn k k n k k -⎡⎤-=-+---+=⎣⎦，所以是以2k 为公差的等差数列，A 正确；对B ，由上可知，当0k =时，为常数列，B 错误；对C ，若为递增数列，则公差20k >，即0k >，C 正确；对D ，若{}n S 为递增数列，由函数性质可知02322k k >⎧⎪⎨<⎪⎩，解得23k >，D 错误.故选：AC10.甲、乙两班各有50位同学参加某科目考试（满分100分），考后分别以110.820y x =+、220.7525y x =+的方式赋分，其中12,x x 分别表示甲、乙两班原始考分，12,y y 分别表示甲、乙两班考后赋分．已知赋分后两班的平均分均为60分，标准差分别为16分和15分，则（）A.甲班原始分数的平均数比乙班原始分数的平均数高B.甲班原始分数的标准差比乙班原始分数的标准差高C.甲班每位同学赋分后的分数不低于原始分数D.若甲班王同学赋分后的分数比乙班李同学赋分后的分数高，则王同学的原始分数比李同学的原始分数高【答案】ACD 【解析】【分析】根据期望和标准差的性质求出赋分前的期望和标准差即可判断AB ；作差比较，结合自变量范围即可判断C ；作出函数0.820,0.7525y x y x =+=+的图象，结合图象可判断D .【详解】对AB ，由题知()()1215E y E y ====，因为110.820y x =+，220.7525y x =+，所以()()120.82060,0.752515E x E x +=+===，解得()()1250,20E x E x =≈==，所以()()12E x E x >=，故A 正确，B 错误；对C ，因为111200.2y x x -=-，[]10,100x ∈，所以10200.220x ≤-≤，即110y x -≥，所以C 正确；对D ，作出函数0.820,0.7525y x y x =+=+的图象，如图所示：由图可知，当12100y y =<时，有21x x <，又因为0.820y x =+单调递增，所以当12y y >时必有12x x >，D 正确.故选：ACD11.已知函数()f x 及其导函数()f x '的定义域为R ，若(1)f x +与()f x '均为偶函数，且(1)(1)2f f -+=，则下列结论正确的是（）A.(1)0f '=B.4是()f x '的一个周期C.(2024)0f =D.()f x 的图象关于点(2,1)对称【答案】ABD 【解析】【分析】注意到()f x '为偶函数则()()2f x f x -+=，由()(1)1f x f x -+=+两边求导，令0x =可判断A ；()()11f x f x --='+'结合导函数的奇偶性可判断B ；利用()f x 的周期性和奇偶性可判断C ；根据()()2f x f x -+=和()(1)1f x f x -+=+可判断D .【详解】因为()f x '为偶函数，所以()()f x f x -'='，即()()f x f x c --=+，而(1)(1)2f f -+=，故2c =-，故()()2f x f x +-=，又(1)f x +为偶函数，所以()(1)1f x f x -+=+，即()()2f x f x =-，所以()2()2f x f x -+-=，故()(2)2f x f x ++=即()2(4)2f x f x +++=，()()4f x f x =+，所以4是()f x 的周期，故B 正确.对A ，由()(1)1f x f x -+=+两边求导得()()11f x f x --='+'，令0x =得()()11f f -'='，解得()10f '=，A 正确；对C ，由上知()()2f x f x +-=，所以()01f =，所以()()(2024)450601f f f =⨯==，C 错误；对D ，因为()()2f x f x +-=，()()2f x f x =-，故()2(2)2f x f x -++=，故()f x 的图象关于2,1对称，故选：ABD【点睛】关键点睛：本题解答关键在于原函数与导数数的奇偶性关系，以及对()(1)1f x f x -+=+两边求导，通过代换求导函数的周期.三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）12.曲线()e xf x x =-在0x =处的切线方程为______．【答案】1y =##10y -=【解析】【分析】求出函数的导函数，利用导数的几何意义求出切线的斜率，即可求出切线方程.【详解】因为()e xf x x =-，则()01f =，又()e 1xf x '=-，所以()00f '=，所以曲线()e xf x x =-在0x =处的切线方程为1y =．故答案为：1y =13.若复数cos 21sin isin (0π)2z θλθθθ⎛⎫=+-+<< ⎪⎝⎭在复平面内对应的点位于直线y x =上，则λ的最大值为__________．【答案】1-##1-+【解析】【分析】根据复数对应的点cos 21sin ,sin 2θλθθ⎛⎫⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭在y x =得212sin 1sin sin 2θλθθ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭，即可利用二倍角公式以及基本不等式求解.【详解】cos 21sin isin (0π)2z θλθθθ⎛⎫=+-+<< ⎪⎝⎭对应的点为cos 21sin ,sin 2θλθθ⎛⎫⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故cos 21sin sin 2θλθθ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭，故212sin 1sin sin 2θλθθ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭，由于()0,πθ∈，故sin 0θ>，则2sin 1111sin sin sin 122sin θλθθθθ==≤++++，当且仅当1sin 2sin θθ=，即2sin 2θ=，解得π3π,44θθ==时等号成立，114.过抛物线2:3C y x =的焦点作直线l 交C 于A ，B 两点，过A ，B 分别作l 的垂线与x 轴交于M ，N 两点，若||12AB =，则||MN =__________．【答案】【解析】【分析】联立直线与抛物线方程，得韦达定理，根据焦点弦的公式可得223332122k AB k +=+=，解得213k =，即可求解()111:AM y x x y k=--+得11M x ky x =+，即可代入求解.【详解】2:3C y x =0，根据题意可知直线l 有斜率，且斜率不为0，根据对称性不设直线方程为34y k x ⎛⎫=-⎪⎝⎭，联立直线34y k x ⎛⎫=-⎪⎝⎭与23y x =可得22223930216k x k x k ⎛⎫-++= ⎪⎝⎭，设()()1122,,,A x y B x y ，故2121223392,16k x x x x k ++==，故21223332122k AB x x p k +=++=+=，解得213k =，直线()111:AM y x x y k=--+，令0y =，则11M x ky x =+，同理可得22N x ky x =+，如下图，故()()()211221212121M N MN x x ky x ky x k y y x x k x x =-=+--=-+-=+-，()()22221212233192141483316k MN k x x x x k ⎛⎫+ ⎪⎛⎫=++-=+-⨯= ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭故答案为：83四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15.记ABC V 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知22cos 0a b c A -+=．（1）求角C ；（2）若AB 边上的高为1，ABC V 的面积为33，求ABC V 的周长．【答案】（1）π3C =；（2）23.【解析】【分析】（1）利用余弦定理角化边，整理后代入余弦定理即可得解；（2）利用面积公式求出c ，然后由面积公式结合余弦定理联立求解可得a b +，可得周长.【小问1详解】由余弦定理角化边得，2222202b c a a b c bc +--+⨯=，整理得222a b c ab +-=，所以2221cos 222a b c ab C ab ab +-===，因为()0,πC ∈，所以π3C =.【小问2详解】由题知，13123c ⨯=，即233c =，由三角形面积公式得1πsin 233ab =，所以43ab =，由余弦定理得()222π42cos 333a b ab a b ab +-=+-=，所以()2416433a b +=+=，所以3a b +=，所以ABC V 的周长为33a b c ++=+=16.如图，PC 是圆台12O O 的一条母线，ABC V 是圆2O 的内接三角形，AB 为圆2O 的直径，4,AB AC ==．（1）证明：AB PC ⊥；（2）若圆台12O O 的高为3，体积为7π，求直线AB 与平面PBC 夹角的正弦值．【答案】（1）证明见详解；（2）19.【解析】【分析】（1）转化为证明AB ⊥平面12O O CP ，利用圆台性质即可证明；（2）先利用圆台体积求出上底面的半径，建立空间坐标系，利用空间向量求线面角即可.【小问1详解】由题知，因为AB 为圆2O 的直径，所以AC BC ⊥，又4,AB AC ==AB ==，因为2O 为AB 的中点，所以2O C AB ⊥，由圆台性质可知，12O O ⊥平面ABC ，且12,,,O O P C 四点共面，因为AB ⊂平面ABC ，所以12O O AB ⊥，因为122,O O O C 是平面12O O CP 内的两条相交直线，所以AB ⊥平面12O O CP ，因为PC ⊂平面12O O CP ，所以AB PC ⊥.【小问2详解】圆台12O O的体积(2211ππ237π3V r =⋅+⋅⨯=，其中11r PO =，解得11r =或13r =-(舍去).由（1）知122,,O O AB O C 两两垂直，分别以2221,,O B O C O O 为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，如图，则(2,0,0),(2,0,0),(0,2,0),(0,1,3)A B C P -，所以(4,0,0),(2,1,3),(2,2,0)AB BP BC ==-=-.设平面PBC 的一个法向量为(,,)n x y z =，则230,220,n BP x y z n BC x y ⎧⋅=-++=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩解得,3,x y x z =⎧⎨=⎩于是可取(3,3,1)n =.设直线AB 与平面PBC 的夹角为θ，则sin cos ,19AB n θ===，故所求正弦值为19.17.已知函数()ln f x x ax =+．（1）若()0f x ≤在(0,)x ∈+∞恒成立，求a 的取值范围；（2）若()1,()e()xa g x f f x ==-，证明：()g x 存在唯一极小值点01,12x⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且()02g x >．【答案】（1）1,e⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）参变分离，构造函数()ln xh x x=-，利用导数求最值即可；（2121内，利用零点方程代入()0g x ，使用放缩法即可得证.【小问1详解】()0f x ≤在(0,)x ∈+∞恒成立，等价于ln xa x≤-在(0,)+∞上恒成立，记()ln x h x x =-，则()2ln 1x h x x='-，当0e x <<时，ℎ′<0，当e x >时，ℎ′>0，所以ℎ在()0,e 上单调递减，在()e,∞+上单调递增，所以当e x =时，ℎ取得最小值()ln e 1e e eh =-=-，所以1a e≤-，即a 的取值范围1,e ∞⎛⎤-- ⎥⎝⎦.【小问2详解】当1a =时，()()e()eln ,0xxg x f f x x x =-=->，则1()e x g x x'=-，因为1e ,xy y x==-在(0,)+∞上均为增函数，所以()g x '在(0,)+∞单调递增，又()121e 20,1e 102g g ⎛⎫=-''=- ⎪⎝⎭，1存在0x ，使得当∈0,0时，()0g x '<，当∈0,+∞时，()0g x '>，所以()g x 在()00,x 上单调递减，在()0,x ∞+上单调递增，所以()g x 存在唯一极小值点01,12x ⎛⎫∈⎪⎝⎭.因为01e 0x x -=，即00ln x x =-，所以00000()e ln =e x x g x x x =-+，因为01,12x ⎛⎫∈⎪⎝⎭，且=e x y x+1上单调递增，所以012001()=e e 2x g x x +>+，又9e 4>，所以123e 2>，所以00031()=e 222xg x x +>+=.18.动点(,)M xy 到直线1:l y=与直线2:l y =的距离之积等于34，且|||y x <．记点M 的轨迹方程为Γ．（1）求Γ的方程；（2）过Γ上的点P 作圆22:(4)1Q x y +-=的切线PT ，T 为切点，求||PT 的最小值；（3）已知点40,3G ⎛⎫⎪⎝⎭，直线:2(0)l y kx k =+>交Γ于点A ，B ，Γ上是否存在点C 满足0GA GB GC ++= ？若存在，求出点C 的坐标；若不存在，说明理由．【答案】（1）2213y x -=（2）2（3）3,44C ⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭【解析】【分析】（1）根据点到直线距离公式，即可代入化简求解，（2）由相切，利用勾股定理，结合点到点的距离公式可得PT =，即可由二次函数的性质求解，（3）联立直线与双曲线方程得到韦达定理，进而根据向量的坐标关系可得()02201224,3443k x k k y y y k ⎧=-⎪⎪-⎨-⎪=-+=⎪-⎩，将其代入双曲线方程即可求解.【小问1详解】根据(,)M xy 到直线1:l y=与直线2:l y =的距离之积等于3434=，化简得2233x y -=，由于|||y x <，故2233x y -=，即2213y x -=.【小问2详解】设(,)P x y，PT ====故当3y =时，PT 最小值为2【小问3详解】联立:2(0)l y kx k =+>与2233x y -=可得()223470k x kx ---=，设()()()112200,,,,,A x y B x y C x y ，则12122247,33k x x x x k k-+==--，故()212122444,3k y y k x x k+=++=+-设存在点C 满足0GA GB GC ++= ，则1201200433x x x y y y ++=⎧⎪⎨++=⨯⎪⎩，故()02201224,3443k x k k y y y k ⎧=-⎪⎪-⎨-⎪=-+=⎪-⎩，由于()00,C x y 在2233x y -=，故22222443333k k k k ⎛⎫-⎛⎫--= ⎪⎪--⎝⎭⎝⎭，化简得421966270k k -+=，即()()2231990k k --=，解得2919k =或23k =（舍去），由于()22Δ162830k k =+->，解得27k<且23k ≠，故2919k =符合题意，由于0k >，故31919k =，故022024,344334k x k k y k ⎧=-=-⎪⎪-⎨-⎪==-⎪-⎩,故3,44C ⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭，故存在3,44C ⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭，使得0GA GB GC ++= 19.设n ∈N ，数对(),n n a b 按如下方式生成：()00,(0,0)a b =，抛掷一枚均匀的硬币，当硬币的正面朝上时，若n n a b >，则()()11,1,1n n n n a b a b ++=++，否则()()11,1,n n n n a b a b ++=+；当硬币的反面朝上时，若n n b a >，则()()11,1,1n n n n a b a b ++=++，否则()()11,,1n n n n a b a b ++=+．抛掷n 次硬币后，记n n a b =的概率为n P ．（1）写出()22,a b 的所有可能情况，并求12,P P ；（2）证明：13n P ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是等比数列，并求n P ；（3）设抛掷n 次硬币后n a 的期望为n E ，求n E ．【答案】（1）答案见详解；（2）证明见详解，1111332n n P -⎛⎫=-⨯- ⎪⎝⎭；（3）21113929nn E n ⎛⎫=+--⎪⎝⎭【解析】【分析】（1）列出所有()11,a b 和()22,a b 的情况，再利用古典概型公式计算即可；（2）构造得1111323n n P P +⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭，再利用等比数列公式即可；（3）由（2）得()11111232nn n Q P ⎡⎤⎛⎫=-=--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，再分n n a b >，n n a b =和n n a b <讨论即可.【小问1详解】当抛掷一次硬币结果为正时，()()11,1,0a b =；当抛掷一次硬币结果为反时，()()11,0,1a b =.当抛掷两次硬币结果为（正，正）时，()()22,2,1a b =；当抛掷两次硬币结果为（正，反）时，()()22,1,1a b =；当抛掷两次硬币结果为（反，正）时，()()22,1,1a b =；当抛掷两次硬币结果为（反，反）时，()()22,1,2a b =.所以，12210,42P P ===.【小问2详解】由题知，1n n a b -≤，当n n a b >，且掷出反面时，有()()11,,1n n n n a b a b ++=+，此时11n n a b ++=，当n n a b <，且掷出正面时，有()()11,1,n n n n a b a b ++=+，此时11n n a b ++=，所以()()()()()1111112222n n n n n n n n n n P P a b P a b P a b P a b P +⎡⎤=>+<=>+<=-⎣⎦，所以1111323n n P P +⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭，所以13n P ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是以11133P -=-为首项，12-为公比的等比数列，所以1111332n n P -⎛⎫-=-⨯- ⎪⎝⎭，所以1111332n n P -⎛⎫=-⨯- ⎪⎝⎭.【小问3详解】设n n a b >与n n a b <的概率均为n Q ，由(2)知，()11111232nn n Q P ⎡⎤⎛⎫=-=--⎢⎥⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦显然，111110222E =⨯+⨯=.若n n a b >，则1n n a b =+，当下次投掷硬币为正面朝上时，11n n a a +=+，当下次投掷硬币为反面朝上时，1n n a a +=;若n n a b =，则当下次投掷硬币为正面朝上时，11n n a a +=+，当下次投掷硬币为反面朝上时，1n n a a +=;若n n a b <，则1n n b a =+，当下次投掷硬币为正面朝上时，11n n a a +=+，当下次投掷硬币为反面朝上时，11n n a a +=+.所以1n n a a +=时，期望不变，概率为111122262nn n Q P ⎡⎤⎛⎫+=+-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦;11n n a a +=+时，期望加1，概率为1111111124226262n nn n Q P ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+=-+-=--⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦.所以()11111112144626262nn nn nn n E E E E +⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+-++⨯--=+--⎢⎥⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦.故12112111111444626262n n n n n n E E E -----⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+--=+--+--⎢⎥⎢⎥⎥ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦=1111111446262n E -⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+--++--⎢⎥⎢⎥⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦011111111444626262n -⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--+--++--⎢⎥⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦ 111241612n n ⎡⎤⎛⎫--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥=-⎢⎥⎛⎫-- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦21113929nn ⎛⎫=+-- ⎪⎝⎭.经检验，当1n =时也成立.21113929nn E n ⎛⎫∴=+-- ⎪⎝⎭.【点睛】关键点点睛：本题第三问的关键是分1n n a a +=和11n n a a +=+时讨论，最后再化简n E 的表达式即可.。
山东省临沂市临沭第一中学届高三月学情调研考试数学(理)试题含答案
2017—2018学年上学期高三学情调研考试数学理试题第Ⅰ卷一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1、集合{|{|M x y N y y ====，则下列结论正确的是 A ．M N = B ．{}3M N = C ．{}0M N = D ．M N φ= 2、命题“,()n Nf n N +∀∈∈且()f n n >”的否定形式是 A ．,()n N f n N ∀∈∉且()f n n ≤ B ．,()n N f n N ∀∈∉且()f n n > C ．0,()n N f n N ∃∈∉且00()f n n ≤ D ．0,()n N f n N ∃∈∉且00()f n n > 3、函数()f x =的定义域为 A ．1(,9)9 B ．1[,9)9 C ．1(0,][9,)9+∞ D ．1(0,)(9,)9+∞ 4、若()220ln ,123,1x x f x x t dt x >⎧⎪=⎨+≤⎪⎩⎰，且(())10f f e =，则m 的值为 A ．1 B ．2 C ．3 D ．45、函数()32f x xbx cx d =+++的图象如图,则函数()2132log ()33c g x x bx =++的单调递增区间为A ．1(,)2-∞B ．(,2)-∞-C ．1(,)2+∞D ．(3,)+∞ 6、已知1225115,log ,log 52a b c ===，则 A ．b c a >> B ．a b c >> C ．a c b >> D ．b a c >>7、命题“对任意实数[1,2]x ∈-，关于x 的不等式20xa -≤恒成立"为真命题的一个充分不必要条件是A ．4a ≥B ．4a >C ．3a >D ．1a ≤8、函数221x x e x y e ⋅=-的大致图象是 9、若函数()13x f x m --=+的图象与x 轴没有交点，则实数m 的取值范围是 A ．0m ≥或1m <- B ．0m >或1m <- C ．1m >或0m ≤ D ．1m >或0m <10、已知定义在R 上的奇函数()f x 满足()(2)f x f x =-，且(1)2f -=， 则()()()123(2017)f f f f ++++的值为A ．1B ．0C ．-2D ．211、若函数()(),f x g x 满足()()220f x g x -=⎰，则称()(),f x g x 为区间[2,2]-上的一组正交函数，给出四组函数：①()()sin ,cos f x x g x x ==；②()()221,1f x xg x x =+=-; ③()(),1x x f x e g x e ==+; ④()()21,2f x x g x x ==其中为区间[2,2]-上的正交函数的组数为A ．3B ．2C ．1D ．012、函数()22log 02185,233x x f x x x x ⎧<<⎪=⎨-+≥⎪⎩,若存在实数,,,a b c d ，满足()()()()f a f b f c f d ===，其中0a b c d <<<<，则abcd 的取值范围是A ．(8,24)B ．(10,18)C ．(12,18)D ．(12,15)第Ⅱ卷二、填空题:本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上。
安徽省县中联盟2024-2025学年高三上学期9月联考数学试题含答案
2024~2025学年安徽省县中联盟高三9月联考数学试题（答案在最后）考生注意：1.满分150分，芳试时间120分钟.2.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷､草稿纸上作答无效.3.本卷命题范围：高考范围.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}{}3|278,|23,A x x B x x x =-<<=-≤∈Z ，则A B = （）A.{}1,0- B.{}0,1 C.{}1,0,1- D.{}0,1,2【答案】C 【解析】【分析】根据题意，求得集合{32}A xx =-<<∣，{}1,0,1,2,3,4,5B =-，结合集合交集的运算法则，即可求解.【详解】由题意得，集合{}3|278{32}A x x xx =-<<=-<<∣，{}{}|23,1,0,1,2,3,4,5B x x x =-≤∈=-Z ，根据集合交集的运算法则，可得{}1,0,1A B ⋂=-.故选：C.2.若2i12z z -=+，则z =（）A.23i +B.23i- C.32i+ D.32i-【答案】D 【解析】【分析】利用待定系数法，结合复数相等的充要条件可得2421a bb a -=⎧⎨=+⎩，即可求解.【详解】设复数()i ,z a b a b =+∈R ，则i z a b =-.因为2i 12z z -=+，所以i 2ii 12a b a b +-=-+，故()242i 1i a b b a -+=++，整理得2421a b b a -=⎧⎨=+⎩，所以3,2a b ==，所以32i z =+所以32i z =-故选：D.3.已知向量(a = ，若()3a b a -⊥ ，则b 在a上的投影向量为（）A.1,33⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭B.1,33⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭C.2,33⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭D.2,33⎛ ⎝⎭【答案】A 【解析】【分析】由()3a b a -⊥ 得到43a b ⋅= ，再结合投影向量的定义，从而可求解.【详解】因为()3a b a -⊥ ，所以230a a b -⋅= .又因为(a = ，所以43a b ⋅= ，故b 在a上的投影向量为13,333a b a a a a⎛⋅== ⎝⎭，故A 正确.故选：A.4.若()()13cos cos cos ,tan sin m βαββαββ+=+=，则cos2α=（）A.2321m - B.2161m- C.241m- D.221m-【答案】A 【解析】【分析】由()3cos tan sin βαββ+=可得()tan tan 3αββ+=，从而可得()3sin sin mαββ+=，可求出4cos mα=，再结合余弦二倍角公式即可求解.【详解】由()3cos tan sin βαββ+=，得()tan tan 3αββ+=，即()()sin sin 3cos cos αββαββ+=+，所以()3sin sin mαββ+=，所以()()()4cos cos cos cos sin sin mααββαββαββ⎡⎤=+-=+++=⎣⎦，所以2232cos22cos 11m αα=-=-，故A 正确.故选：A.5.已知圆柱和圆锥的底面半径均为2，且它们的表面积相等，圆柱和圆锥的体积之比为3:高为（）A.2B. C.4D.【答案】D 【解析】【分析】根据题意分别设出圆柱高1h ，圆锥高2h ，结合表面积相等S S =圆柱圆锥及体积比:3:V V =圆柱圆锥列出相应等式，从而可求解.【详解】设圆柱高为1h ，圆锥高为2h ，圆锥母线长为l ，底面半径均为2，则1124π4π,8π4π,3V h S h V h ==+=圆柱圆柱圆锥，4π2π,S l l =+=圆锥.因为S S =圆柱圆锥，所以122h +=①；又因为:3:V V =圆柱圆锥，所以21h =②.由①②得122,h h ==，故D 正确.故选：D.6.已知函数()()2237,22log 1,2x ax x a x f x x x -⎧--+≤⎪=⎨-->⎪⎩，在R 上单调递减，则a 的取值范围是（）A.30,4⎛⎤ ⎥⎝⎦B.3,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C.30,4⎡⎤⎢⎣⎦D.{}30,4∞⎡⎫⋃+⎪⎢⎣⎭【答案】C 【解析】【分析】根据题意，利用二次函数，指数函数与对数函数的单调性，结合分段函数单调性的判定方法，列出不等式组，即可求解.【详解】当2x >时，函数()()22log 1xf x x -=--单调递减，因为()f x 在R 上单调递减，分情况讨论：当0a =时，()()237,22log 1,2x x x f x x x --+≤⎧=⎨-->⎩，此时()223272log 21--⨯+>--，符合题意；当0a >时，需满足()223224672log 21a a a --⎧-≥⎪⎨⎪--+≥--⎩，解得304a <≤，综上，实数a 的取值范围为3[0,]4.故选：C.7.已知函数()πsin 2π6f x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭，当[]0,20x ∈时，把()f x 的图象与直线12y =的所有交点的横坐标依次记为123,,,,n a a a a ，记它们的和为n S ，则n S =（）A.11803B.5803C.20D.5903【答案】A 【解析】【分析】根据三角函数性质可得π1sin 2π62x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭时求得16x k =+或1,2k k +∈Z ，从而再利用分组并项及等差数列求和公式从而可求解.【详解】由π1sin 2π62x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则ππ2π2π66x k -=+或52ππ,6k k +∈Z ，解得16x k =+或1,2k k +∈Z ，所以123439401117131111,,1,1,,1919,1919,6266226622a a a a a a ===+==+==+==+= 所以40111120192019171311351662219196666222222S ⎛⎫⎛⎫⨯+⨯+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=+++++++++=+ 111801019102033⎛⎫=⨯+⨯= ⎪⎝⎭，故A 正确.故选：A.8.已知()f x 的定义域为()()()(),3f x y f x y f x f y ++-=R ，且()113f =，则20251()k f k ==∑（）A.13-B.23-C.13D.23【答案】B 【解析】【分析】根据题意，利用赋值法，求得()()6f x f x +=，得到()f x 的一个周期是6，再根据函数的周期性和奇偶性，求得()()()()()()1,2,3,4,5,6f f f f f f 的值，进而得到答案.【详解】由题意知，函数()f x 的定义域为()()()(),3f x y f x y f x f y ++-=R ，且()113f =，令1,0x y ==，得()()()()1010310f f f f ++-=，所以()203f =；令0x =，得()()()()0030f y f y f f y ++-=，所以()()f y f y -=，所以()f x 是偶函数，令1y =，得()()()()()1131f x f x f x f f x ++-==①，所以()()()21f x f x f x ++=+②，由①②知()()210f x f x ++-=，所以()()()()30,3f x f x f x f x ++=+=-，所以()()()63f x f x f x +=-+=，所以()f x 的一个周期是6，由②得()()()201f f f +=，所以()123f =-，同理()()()312f f f +=，所以()233f =-，又由周期性和偶函数可得：()()()()()()()()112422,511,60,333f f f f f f f f =-==-=-====所以()()()()12360f f f f ++++= ，所以20256112()337()(1)(2)(3)3k k f k f k f f f ===+++=-∑∑.故选：B.二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.为了解某品牌纯净水实际生产容量（单位：mL ）情况，某中学研究小组抽取样本，得到该品牌纯净水的实际容量的样本均值为600x =，样本方差2 2.25s =，假设该品牌纯净水的实际容量X 服从正态分布()2N x s ，则（）（若随机变量X 服从正态分布()2,N μσ，则()()0.683,220.955P X P X μσμσμσμσ-≤≤+≈-≤≤+≈）A.()5970.02P X ≤>B.()6030.04P X ≥>C.()597598.50.13P X ≤≤<D.()598.56030.83P X ≤≤<【答案】AD 【解析】【分析】由正态分布的对称性和3σ原则进行求解相关概率，得到答案.【详解】AB 选项，因为2600, 2.25x s ==，所以()2600,1.5X N ~，因为()6002 1.56002 1.50.955P X -⨯≤≤+⨯≈，故()()10.9555976030.02252P X P X -≤=≥≈=，故A 正确，B 错误；C 选项，()0.9555976000.47752P X ≤≤≈=，又因为()600 1.5600 1.50.683P X -≤≤+≈，所以()0.683598.56000.34152P X ≤≤≈≈，所以()597598.50.47750.34150.136P Y ≤≤≈-=，故C 错误；D 选项，()6006030.4775P X ≤≤≈，所以()598.56030.34150.47750.819P X ≤≤≈+=，故D 正确.故选：AD.10.“∞”可以看作数学上的无穷符号，也可以用来表示数学上特殊的曲线.如图所示的曲线C 过坐标原点,O C 上的点到两定点()()12,0,,0(0)F a F a a ->的距离之积为定值.则下列说法正确的是（）（参考数2.236≈）A.若1212F F =，则C 的方程为()()2222272x y x y +=-B.若C 上的点到两定点12F F ､的距离之积为16，则点()4,0-在C 上C.若3a =，点()03,y 在C 上，则2023y <<D.当3a =时，C 上第一象限内的点P 满足12PF F 的面积为92，则2212PF PF -=【答案】ACD 【解析】【分析】A 选项，设(),x y 为C 上任意一点，根据212OF OF a ⋅=，得到方程，化简后，结合1212F F =，得到6a =，代入后得到A 正确；B 选项，计算出4a =，代入到A 中所求方程，得到轨迹方法，检验()4,0-不在此曲线上；C 选项，由题意得到9，化简得到2018 2.124y =≈；D 选项，根据三角形面积和3a =，得到1212sin 1,90F PF F PF ∠=∠=，故点P 是曲线()()22222:18C x yx y+=-和以12F F 为直径的圆229x y +=在第一象限内的交点，求出3,22P ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，从而得到2212PF PF -=.【详解】A 选项，已知原点O 在C 上，则212OF OF a ⋅=，设(),T x y 为C 上任意一点，则有2a =，整理得()()2222222x ya x y +=-.若1212F F =，则6a =，C 的方程为()()2222272x y x y +=-，故A 正确；B 选项，若1216OF OF ⋅=，则4a =，将4a =代入方程得()()2222232x y x y +=-，显然点（)4,0-不在此曲线上，故B 错误；C 选项，若3a =，点()03,y 在C 9，整理得()22018405y +=，所以218 2.124y =≈，故C 正确；D 选项，因为12PF F 的面积121219sin 22PF PF F PF ∠==，又3a =，故129PF PF =，则1212sin 1,90F PF F PF ∠=∠=，所以点P 是曲线()()22222:18C x y x y +=-和以12F F 为直径的圆229x y +=在第一象限内的交点，联立方程组解得3,22x y ==，故3,22P ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，又()()12,,,0330F F -，故22133931824PF ⎛⎫=++=+ ⎪ ⎪⎝⎭22233931824PF ⎛⎫-+=- ⎪ =⎪⎝⎭所以2212PF PF -=，故D 正确.故选：ACD.【点睛】关键点点睛：由于原点O 在C 上，则212OF OF a ⋅=，设(),T x y 为C 上任意一点，则有212TF TF a ⋅=，从而得到轨迹方程，结合平面几何知识进行求解.11.设函数()()33f x x mx m =-+∈R ，则（）A.若()f x 有三个不同的零点123,,x x x ，则1230x x x ++=B.存在,m n ，使得x n =为曲线()y f x =的对称轴C.存在m ，使得点()()2,2g --为函数()()2323g x f x mx mx =++的对称中心D.若曲线()y f x =上有且仅有四点能构成一个正方形，则m =【答案】ACD 【解析】【分析】由31232()()()x ax x x x x x x -+=---，化简后即可求解A ；由()()2f x f n x =-以及()()()422g x g x g +--=-即可代入化简即可判断BC ；对于D ，由函数关系式可得()f x 的图象关于点(0,3)对称，则正方形的中心为(0,3)，不妨设正方形的4个顶点分别为A 、B 、C ，D ，设出AC 的方程，与曲线联立结合弦长公式可求出||AC ，同理可得||BD ，则22||||AC BD =可得a 与k 的关系，表示出a ，再构造函数可得答案．【详解】因为()f x 有三个不同的零点123,,x x x ，所以()()()31233x mx x x x x x x -+=---，所以()()3321231223311233x mx x x x x x x x x x x x x x x x -+=-+++++-，所以1230x x x ++=，所以A 正确；对于B ，假设存在这样的,m n ，使得x n =为()f x 的对称轴，即存在这样的,m n 使得()()2f x f n x =-，即()333(2)23x mx n x m n x -+=---+，根据二项式定理，等式右边3(2)n x -展开式含有3x 的项为3x -，于是等式左右两边3x 的系数不相等，原等式不可能成立，于是不存在这样的,m n ，使得x n =为()f x 的对称轴，B 错误；对于C ，假设存在m ，使得点()()2,2g --为函数()()2323g x f x mx mx =++的对称中心，则()()()()3232329,434249g x x mx g x x m x =++--=--+--+，故()()()()()323243293424922g x g x x mx x m x g +--=+++--+--+=-，化简可得()()()2949490m x m x m -+-+-=，故90m -=得9m =时，()()2,2g --是()g x 的对称中心，故C 正确；对于D ，由()()33f x x mx a =-+∈R ，得()23f x x m ='-，当0m ≤时，′≥0，所以()f x 在上单调递增，所以曲线=上不存在4个点能构成正方形，所以0m >，由于3y x mx =-为奇函数，故其图象关于()0,0对此，故()f x 的图象关于点0,3对称，所以此正方形的中心为0,3，不妨设正方形的4个顶点分别为,,,A B C D ，其中一条对角线AC 的方程为3(0)y kx k=+>，则333x mx kx -+=+，解得x =，所以AC =，同理可得BD =，由22||||AC BD =，得()()221111km k m k k ⎛⎫⎛⎫++=+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，化简得()23110,k m k k-++=根据题意可知方程()23110k m k k-++=只有一个正解，因为1k =时上式不成立，所以1k ≠，所以232221112121111k k k k k k m k k k k k k k k k ⎛⎫-+++ ⎪⎝⎭-====-----，因为0m >，所以10k k-<，得01k <<，设1t k k =-，则0t <，令()2g t t t=+，由题意可知，只需要直线y m =-与函数()2g t t t=+的图象只有唯一的公共点即可，结合对勾函数图象可知-m =-，得m =，所以D 正确.故选：ACD.【点睛】关键点点睛：由()f x 的图象关于点0,3对称，判断正方形的中心为0,3，根据333x mx kx -+=+，求解AC =，BD =，由22||||AC BD =化简求解.三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.某中学举行数学解题比赛，其中7人的比赛成绩分别为：70,97,85,90,98,73,95，则这7人成绩的上四分位数与极差之和是__________.【答案】125【解析】【分析】根据百分位数以及极差的计算公式即可求解.【详解】将7个数据从小到大排列为70,73,85,90,95,97,98，因为775% 5.25⨯=，所以这7人成绩的上四分位数是97.极差为987028-=，故上四分位数与极差之和是9728125+=.故答案为：12513.若曲线()2e5x f x x -=+在点()2,7处的切线l 与曲线()3ln g x x ax =+在(),m b 处相切，则m =__________.【答案】43e【解析】【分析】根据题意利用导数求出()23f '=，可进一步求出切线:31l y x =+，再列出关于,m b 的方程组，从而可求解.【详解】由题得()22ee x xf x x --+'=，所以()222222e e 3f --=+='，所以切线():732l y x -=-，即31y x =+.因为()3ln g x x ax =+，所以()3g x a x'=+，所以()333ln 31g m a m b m am b m ⎧=+=⎪⎪=+⎨=+'⎪⎪⎩，解得43e m =.故答案为：43e .14.设双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左､右焦点分别是12,F F .过右焦点2F 作x 轴的垂线l ，过双曲线左支上一点M 作l 的垂线，垂足为N ，若存在点M 使得223MF MN =，则双曲线C 的离心率e 的取值范围为__________.【答案】3,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭【解析】【分析】设(),M m n ，且MN d =()32m c =-+，整理得转化为()222222224510540ba m a cm a c ab -+--=在(],m a ∞∈--上有解，结合二次函数的性质，求得22450b a ->，进而求得其离心率e 的取值范围.【详解】设(),M m n ，其中m a ≤-，则22221m n a b-=，再设MN d =，由题意得()2,0F c，可得2,d m c MF =-+=，因为223MF MN =()32m c =-+，两边平方得2229()()4m c n m c -+=-，整理得225()4n m c =-，又由22221m n a b -=，所以2222225()4a b m m c a b --=，变形得到()222222224510540b ama cm a c ab -+--=在(],m a ∞∈--上有解，其中4222222222222221004(45)(54)16(545)1440a c b a a c a b a b c b a a b ∆=----=+-=>，令()()22222222451054f m b ama cm a c ab =-+--，则()22220540f ac a b =--<，()()22232222432245105451050,f a b a a a c a c a b a a c a c -=----=---<当22450b a ->时，显然在(],a ∞--上方程()0f m =有一个解，满足题意，可得2224()50c a a -->，所以2249c a >，可得2294c a >，解得32c a >，即32e >；当22045b a -<时，此时对称轴的方程为22210045a cm b a-=>-，此时函数()f m 在(],a ∞--与x 轴没有公共点，方程()0f m =在(],a ∞--没有实数解，不符合题意，（舍去）；当22045b a -=时，此时()0f m =，可得2222205410a c a b m a c+=>，显然方程()0f m =在(],a ∞--没有实数解，不符合题意，（舍去）；综上，离心率e 的取值范围是3,2∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭.故答案为：3,2∞⎛⎫+⎪⎝⎭.【点睛】知识方法：求解圆锥曲线的离心率的常见方法：1、定义法：通过已知条件列出方程组，求得,a c 得值，根据离心率的定义求解离心率e ；2、齐次式法：由已知条件得出关于,a c 的二元齐次方程或不等式，然后转化为关于e 的一元二次方程或不等式，结合离心率的定义求解；3、特殊值法：根据特殊点与圆锥曲线的位置关系，利用取特殊值或特殊位置，求出离心率问题.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明､证明过程及演算步骤.15.记ABC V 的内角A B C ､､的对边分别为,,a b c，已知22sin c a A B C -=+=.（1）若b B =，求a 的值；（2）在（1）的条件下，求ABC V 的面积.【答案】（1）4（2）6+【解析】【分析】（1）根据正弦定理边角互化得2a c =，即可求解b =，1cos 2B =，由余弦定理即可求解，（2）由三角形面积公式即可代入求解.【小问1详解】由sin 2sin A B C +=和正弦定理可得2a c +=，又2c a -=，则b =.又因为(),0,πb B B =∈，所以1cos 2B =，由余弦定理得，(22222212cos ,2222a a a c b B a ac a ⎛++- +-⎝⎭===⎛+ ⎝整理得231204a -=，解得4a =.【小问2详解】由4a =及2c a -=，得2c =+因为()1cos ,0,π2B B =∈，所以sin 2B =，所以(11sin 426222ABC S ac B ==⨯⨯+⨯=+ .16.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>上有两点()0,4A 和163,5B ⎛⎫- ⎪⎝⎭.（1）求椭圆C 的焦距；（2）试探究是否存在过点()0,5-，且与椭圆C 交于不同的两点,M N ，并满足AM AN =的直线l ？若不存在，说明理由；若存在，求出直线l 的方程.【答案】（1）6（2）不存在，理由见解析【解析】【分析】（1）代入两点坐标，得到222516a b ⎧=⎨=⎩，求出c ，得到焦距；（2）假设存在该直线l ，分情况讨论：直线l 的斜率不存在时不成立，当直线l 的斜率存在时，设直线():50l y kx k =-≠，联立椭圆方程，得到两根之和，进而求MN 中点2212580,16251625k Q k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭，若AM AN =，则AQ MN ⊥，即1AQ MN k k ⋅=-，但计算出219100k =-，k 的值不存在，得到结论【小问1详解】由题意得2221619256125ba b ⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得222516a b ⎧=⎨=⎩，所以3c ==，所以椭圆C 的焦距为6.【小问2详解】假设存在该直线l ，分情况讨论：当直线l 的斜率不存在时，显然AM AN =不成立；当直线l 的斜率存在时，设直线():50,l y kx k =-≠联立22125165x y y kx ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩得()2216252502250,k x kx +-+=令()22Δ(250)422516250k k=-⨯⨯+>，得2925k>.所以()2222250250160,1010162516251625M N M N M N k k x x y y k x x k k k+=+=+-=-=-+++，取MN 的中点Q ，则2212580,16251625k Q k k ⎛⎫-⎪++⎝⎭，若AM AN =，则AQ MN ⊥，即1AQ MN k k ⋅=-，所以22804162511251625k k k k--+⋅=-+，解得219100k =-，k 的值不存在.综上，不存在满足题意的直线.17.如图，四棱锥P ABCD -中，PC ⊥底面ABCD ，底面ABCD 为菱形，60,2,,BAD AB PC M N ∠=== 分别为,PD PB 的中点.（1）证明：MN ⊥平面PAC ；（2）求二面角C PB D --的正弦值.【答案】（1）证明见解析（2）427【解析】【分析】（1）连接,BD AC 交于点O ，根据题意再结合线面垂直判定得到BD ⊥平面PAC ，再结合//MN BD ，从而可求解；（2）建立空间直角坐标系，再利用空间向量法分别求出平面PBC 和平面PBD 的一个法向量，再利用空间向量面面夹角求法，从而可求解.【小问1详解】证明：连接,BD AC 交于点O ，因为PC ⊥平面ABCD ，而BD ⊂平面ABCD ，所以BD PC ⊥.因为底面ABCD 为菱形，所以BD AC ⊥.因为,,PC AC C PC AC ⋂=⊂平面PAC ，所以BD ⊥平面PAC .因为,M N 分别为,PD PB 的中点，所以//MN BD ，所以MN ⊥平面PAC .【小问2详解】取PA 的中点E ，连接OE ，由题得//OE PC ，所以OE ⊥平面ABCD ，以O 为坐标原点，,,OA OB OE 所在直线分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系.因为底面ABCD 为菱形，60,2BAD AB PC ∠=== ，所以1,1OB OA OE ===，则()()()()0,1,0,,2,0,1,0B C P D -.所以()()()1,2,0,2,0,0,0,2BP BD PC =-=-=-.设平面PBD 的一个法向量()111,,m x y z =，则11112020m BP y z m BD y ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-=⎪⎩ ，令12x =，得1z =，则(m = .设平面PBC 的一个法向量 =s s ，则2020n PC z n BP y z ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩ ，令1x =，得y =，则()1,n = .设二面角C PB D --的大小为θ，所以cos cos ,7m nm n m n θ⋅===.所以sin 7θ==，所以二面角C PB D --的正弦值为7.18.已知函数()()()()1e 1ln 1,xf x x m x m x m =---+++∈R .（1）讨论()f x 的单调性；（2）若0m >且()f x 有2个不同的极值点,p q ，求证：()()()42ln3f p f q p q +++<.【答案】（1）答案见解析（2）证明见解析【解析】【分析】（1）求出导函数，分别讨论1m ≤-，10m -<<，0m =和>0四种情况讨论，结合()f x '的正负情况，从而可求解单调性；（2）把原不等式转化为()()()()()41ln 1e 212ln 3mf p f q p q m m m +++=++-+-<，然后构造函数()()()1ln 1e 21m h m m m m =++-+-，求出导函数，利用导函数求出单调性区间，然后利用函数单调性求出最值进行比较大小即可.【小问1详解】()f x 的定义域为()1,∞-+，由题可得()()()11e 1e 11xx m f x x m x m x x +⎛⎫=--+=--+' ⎪+⎝⎭，设()1e 1xg x x =-+，则()g x 在()1,∞-+上单调递增，且()00g =，若1m ≤-，则()0,1,0x m x ->∈-时，()()0,f x f x '<单调递减，∈0,+∞时，()()0,f x f x '>单调递增；若10m -<<，则(),0x m ∈时，()()0,f x f x '<单调递减，()1,x m ∈-，∈0,+∞时，()()0,f x f x '>单调递增；若0m =，则()()0,f x f x '≥在()1,∞-+上单调递增；若0m >，则()0,x m ∈时，()()0,f x f x '<单调递减，()1,0x ∈-，(),x m ∞∈+时，()()0,f x f x '>单调递增.综上，当1m ≤-时，()f x 在()1,0-上单调递减，在0,+∞上单调递增；当10m -<<时，()f x 在(),0m 上单调递减，在()()1,,0,m ∞-+上单调递增；当0m =时，()f x 在()1,∞-+上单调递增；当0m >时，()f x 在0,上单调递减，在()()1,0,,m ∞-+上单调递增.【小问2详解】由（1）知0m >时，()f x 恒有2个极值点,p q ，令p q <，则0,p q m ==，所以()()()()()()()4041ln 1e 21mf p f q p q f f m m m m m +++=++=++-+-，设()()()1ln 1e 21mh m m m m =++-+-，则()()ln 1e 3,mh m m =+-+'设()()m h m ϕ='，则()1e ,1m m m ϕ=-+'()m ϕ'在0,+∞上单调递减，()()00m ϕϕ''<=，所以()h m '在0,+∞上单调递减，又()()21ln2e 30,2ln3e 30h h ''=-+>=-+<，所以存在()01,2m ∈，使得()()000ln 1e30m h m m =+-+='，即()00e ln 13m m =++，当()00,m m ∈时，()()0,h m h m '>单调递增；当()0,m m ∞∈+时，()()0,h m h m '<单调递减，所以()()()()()()()0000000001ln 1e211ln 1ln 1321m h m h m m m m m m m m ≤=++-+-=++-+-+-()000ln 124m m m =++-，易知函数()ln 124y x x x =++-在()1,2上单调递增，所以()()000ln 1242ln 212242ln3m m m ++-<++⨯-=，所以()()()42ln3f p f q p q +++<.【点睛】方法点睛：（1）导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理；（2）利用导数解决含参函数的单调性问题时，一般将其转化为不等式恒成立问题，解题过程中要注意分类讨论和数形结合思想的应用；（3）证明不等式，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧.许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效.19.拿破仑排兵布阵是十分厉害的，有一次他让士兵站成一排，解散以后马上再重新站成一排，并要求这些士兵不能站在自己原来的位置上.（1）如果只有3个士兵，那么重新站成一排有多少种站法？4个呢？（2）假设原来有n 个士兵，解散以后不能站在自己原来位置上的站法为n D 种，写出1n D +和()1,2n n D D n -≥之间的递推关系，并证明：数列{}()12n n D nD n --≥是等比数列；（3）假设让站好的一排n 个士兵解散后立即随机站成一排，记这些士兵都没有站到原位的概率为n P ，证明：当n 无穷大时，n P 趋近于1e .（参考公式：23e 12!3!!nxx x x x n =++++++ ….）.【答案】（1）2种；9种（2）()11,2n n n D n D D n +-=+≥，证明见解析（3）证明见解析【解析】【分析】（1）根据题意第一个士兵再选位置的人第二个去选，依次类推再结合乘法原理即可求解；（2）根据题意分别求出1n +个人排队时()11,2n n n D n D D n +-=+≥，从而可求证{}1,2n n D nD n --≥为等比数列；（3）由（2）可求得()()11!1!!nn n D D n n n ---=-，从而可得()1111111!2!3!4!5!!nn n D P n n -==-+-+-++ ，从而可求解.【小问1详解】当有3个士兵时，重新站成一排有2种站法；当有4个士兵时，假设先安排甲，有3种站法，比如甲站到乙的位置，那就再安排乙，也有3种站法，剩下的两个人都只有1种站法，由乘法原理可得有33119⨯⨯⨯=种站法.【小问2详解】易知120,1D D ==.如果有1n +个人，解散后都不站原来的位置可以分两个步骤：第一步：先让其中一个士兵甲去选位置，有n 种选法；第二步：重排其余n 个人，根据第一步，可以分为两类：第一类：若甲站到乙的位置上，但乙没有站到甲的位置，这样的站法有n D 种；第二类：若甲站到乙的位置上，乙同时站到甲的位置，这样的站法有1n D -种.所以()11,2n n n D n D D n +-=+≥，又2121D D -=，所以()()()111111111n nn n nn n n n n n n n D n D n D D n D D nD D nD D nD D nD +------++-+-+===----.所以数列{}1,2n n D nD n --≥是首项为1，公比为1-的等比数列.【小问3详解】证明：由题意可知!nn D P n =，由（2）可得：()()()1111!1!!nnn n n n D D D nD n n n ----=-⇒-=-.所以()()()()()()()121122321(1)(1)(1)1,,,,!1!!1!2!1!2!3!2!2!1!2!n n n n n n n n n D D D D D D D D n n n n n n n n n -----------=-=-=-=------- 以上各式相加，可得：11111(1),!1!2!3!4!5!!nn D D n n --=-+-++ 所以1111(1)!2!3!4!5!!nn D n n -=-+-++.所以()()111111111111!2!3!4!5!!2!3!4!5!!n nn nD P n n n --==-+-++=-+--++ ，当n 无穷大时，11111(1)111e 2!3!4!5!!enn P n --=-+-+-+++== .【点睛】关键点点睛：本题主要根据题意找到()11,2n n n D n D D n +-=+≥，通过构造得到{}1,2n n D nD n --≥为等比数列，从而求出()()11!1!!nn n D D n n n ---=-，从而可求解.。
2024届山东临沂市高三下学期第一次阶段检测试题数学试题
2024届山东临沂市高三下学期第一次阶段检测试题数学试题注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。
2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。
第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。
3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设F 为双曲线C ：22221x y a b-=（a >0，b >0）的右焦点，O 为坐标原点，以OF 为直径的圆与圆x 2+y 2=a 2交于P 、Q两点．若|PQ |=|OF |，则C 的离心率为 A ．2 B ．3 C ．2D ．52．设抛物线24y x =上一点P 到y 轴的距离为1d ，到直线:34120l x y ++=的距离为2d ，则12d d +的最小值为（ ） A ．2B ．153C ．163D ．33．函数22cos x xy x x--=-的图像大致为（ ）.A ．B ．C ．D ．4．设命题p ：,a b R ∀∈，a b a b -<+，则p ⌝为 A ．,a b R ∀∈，a b a b -≥+ B ．,a b R ∃∈，a b a b -<+ C ．,a b R ∃∈，a b a b ->+D ．,a b R ∃∈，a b a b -≥+5．若命题：从有2件正品和2件次品的产品中任选2件得到都是正品的概率为三分之一；命题：在边长为4的正方形内任取一点，则的概率为，则下列命题是真命题的是（ ）A ．B ．C ．D ．6．已知函数()2ln 2xx f x ex a x=-+-（其中e 为自然对数的底数）有两个零点，则实数a 的取值范围是（ ） A ．21,e e⎛⎤-∞+ ⎥⎝⎦B ．21,e e ⎛⎫-∞+⎪⎝⎭C ．21,e e ⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭D ．21,e e ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭7．设全集U =R ，集合{}221|{|}xM x x x N x =≤=，＜，则UM N =（ ）A ．[]0,1B ．(]0,1C ．[)0,1D ．(],1-∞8．复数12i2i+=-（ ）． A ．iB ．1i +C ．i -D ．1i -9．过双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右焦点F 作双曲线C 的一条弦AB ，且0FA FB +=，若以AB 为直径的圆经过双曲线C 的左顶点，则双曲线C 的离心率为（ ） A 2B 3C ．2D 510．已知集合U =R ，{}0A y y =≥，{}1B y y x ==，则UAB =( )A ．[)0,1B ．()0,∞+C ．()1,+∞D ．[)1,+∞ 11．已知数列{}n a 为等比数列，若a a a 76826++=，且a a 5936⋅=，则a a a 768111++=（ ） A ．1318B ．1318或1936C ．139D ．13612．在正方体1111ABCD A B C D -中，点P 、Q 分别为AB 、AD 的中点，过点D 作平面α使1//B P 平面α，1//A Q 平面α若直线11B D ⋂平面M α=，则11MD MB 的值为（ ）A ．14B ．13C ．12D ．23二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
山东省济宁市嘉祥县第一中学2025届高三上学期第一次月考数学试题
山东省济宁市嘉祥县第一中学2025届高三上学期第一次月考数学试题一、单选题1．已知全集{}(){}06,2,4,6U U A B x x A B =⋃=∈≤≤⋂=N∣ð，则集合A =（）A ．{}3,5B ．{}0,3,5C ．{}1,3,5D ．{}0,1,3,52．设角α的顶点与直角坐标系的原点重合，始边与x 轴非负半轴重合，则“()π3π2π2π22k k k α+<<+∈Z ”是“cos 0α≤”的（）A ．充要条件B ．必要不充分条件C ．充分不必要条件D ．既不充分又不必要条件3．将函数()3sin 3y x ϕ=+的图象向右平移π9个单位长度，得到的函数图象关于y 轴对称，则ϕ的最小值为（）A ．π6B ．7π18C ．11π18D ．5π64．在ABC V 中，已知AB x =，BC =π4C =，若存在两个这样的三角形ABC ，则x 的取值范围是（）A ．)⎡+∞⎣B ．(0,C ．(2,D ．)5．已知ABC V 的内角, , A B C 的对边分别为, , ,a b c 若面积()22,3a b c S +-=则sin C =（）A ．2425B ．45C ．35D ．7256．已知(),0,αβπ∈，且cos 21tan 2sin 2βαβ-==，则()cos αβ-=（）A ．45-B ．35-C ．35D ．457．古希腊数学家特埃特图斯（Theaetetus ）利用如图所示的直角三角形来构造无理数.已知1,,,AB BC CD AB BC AC CD AC ===⊥⊥与BD 交于点O ，若DO AB AC =λ+μ，则λμ+=（）A1B ．1C 1D ．1-8．已知函数()ln f x x =，()g x 为()f x 的反函数，若()f x 、()g x 的图像与直线y x =-交点的横坐标分别为1x ，2x ，则下列说法正确的为（）A ．21ln x x >B ．120x x +<C ．110,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭D ．1211,ln22x x ⎛⎫-∈+ ⎪⎝⎭二、多选题9．下列说法中，正确的是（）A ．设有一个经验回归方程为12y x =-$，变量x 增加1个单位时， y 平均增加2个单位B ．已知随机变量()20,N ξσ~，若(2)0.2P ξ>=，则()220.6P ξ-≤≤=C ．两组样本数据1234,,,x x x x 和1234,,,y y y y .若已知10i i x y +=且()1,2,3,4i i x y i <=，则10x y +=D ．已知一系列样本点()(),1,2,3,i i x y i = 的经验回归方程为 ˆ3y x a=+，若样本点(),3m 与()2,n 的残差相等，则310m n +=10．已知函数(){}min sin ,cos f x x x =，则（）A ．()f x 关于直线π4x =-对称B ．()f xC ．()f x 在ππ,22⎛⎫- ⎪⎝⎭上不单调D ．在()0,2π，方程()f x m =（m 为常数）最多有4个解11．如图，在锐角ABC V 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若sin sin A B =，且)cos cos 2sin a B b A c C +=，D 是ABC V 外一点且B 、D 在直线AC 异侧，2DC =，6DA =，则下列说法正确的是（）A ．ABC V 是等边三角形B ．若AC =A ，B ，C ，D 四点共圆C ．四边形ABCD 面积的最小值为12D ．四边形ABCD 面积的最大值为12+三、填空题12．已知函数||e x y a b -=⋅+的图象过原点，且无限接近直线2y =但又不与该直线相交，则b a 的值为.13．已知ω∈R ，函数()6sin()f x x x ω=-⋅，存在常数a ∈R ，使得()f x a +为偶函数，则符合题意的ω的一个值为.14．记()x τ是不小于x 的最小整数,例如()()()1.22,22, 1.31τττ==-=-,则函数()()128x f x x x τ-=--+的零点个数为.四、解答题15．已知函数()ln f x x =，()1ag x x=-其中a 为常数.(1)过原点作()f x 图象的切线l ，求直线l 的方程；(2)若()0,x ∃∈+∞，使()()f x g x ≤成立，求a 的最小值.16．某手机App 公司对一小区居民开展5个月的调查活动，使用这款App 人数的满意度统计数据如下：月份x 12345不满意的人数y1201051009580(1)求不满意人数y 与月份x 之间的回归直线方程 y bxa =+ ，并预测该小区10月份对这款App 不满意人数；(2)工作人员从这5个月内的调查表中随机抽查100人，调查是否使用这款App 与性别的关系，得到下表：根据小概率值0.01α=的独立性检验，能否认为是否使用这款App 与性别有关？使用App不使用App女性4812男性2218附：回归方程 y bxa =+ 中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为1221ˆniii nii x ynx y b xnx==-=-∑∑，ay bx =- ，()()()()()22n ad bc a b c d a c b d χ-=++++，n a b c d=+++α0.10.050.010.0050.001x α2.7063.8416.6357.87910.82817．已知函数()sin()0,0,||2f x A x B A πωϕωϕ⎛⎫=++>><⎪⎝⎭的部分图象如图所示．(1)求函数()f x 的解析式；(2)将函数()y f x =的图象上所有的点向右平移12π个单位，再将所得图象上每一个点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数()y g x =的图象．当130,6x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，方程()0g x a -=恰有三个不相等的实数根()123123,,x x x x x x <<，求实数a 的取值范围和1232x x x ++的值．18．剪纸，又叫刻纸，是一种镂空艺术，是中国汉族最古老的民间艺术之一.原纸片为一圆形，直径20cm AB =，点C 在圆上.(1)如图1，需要剪去四边形1ACDC ，可以通过对折，沿DC ，AC 裁剪、展开实现.若5cm AD =，45DCA ∠=︒，求四边形1ACDC 的面积；(2)如图2，需要剪去四边形1CEC D ，可以通过对折，沿DC ，EC 裁剪、展开实现.若10cm AC =，30DCE ∠=︒，求镂空的四边形1CEC D 的面积最小值.19．若函数()f x 在定义域内存在0x ，使得()()()0011f x f x f +=+成立，则称()f x 具有性质P .(1)试写出一个具有性质P 的一次函数；(2)判断函数()e xg x ax =-是否具有性质P ；(3)若函数()2ln h x x ax =-具有性质P ，求实数a 的取值范围.。
山东省泰安第二中学2024-2025学年高三上学期10月月考数学试题
山东省泰安第二中学2024-2025学年高三上学期10月月考数学试题一、单选题1．已知幂函数()()2221mm f x m m x +-=-+在 0,+∞ 上单调递减，则m 的值为（ ）A ．0B ．1C ．0或1D ．1-2．已知角α的终边经过点34,55P ⎛⎫- ⎪⎝⎭，则sin 2α=（ ）A ．2425-B ．725- C ．725D ．24253．已知函数941y x x =-++(1x >-)，当x a =时，y 取得最小值b ，则a b +=（ ） A ．3-B ．2C ．3D ．84．已知1sin 64x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则cos 23x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭（ ）A ．78-B ．78C ．D 5．著名数学家、物理学家牛顿曾提出：物体在空气中冷却，如果物体的初始温度为1C θo ，空气温度为0C θo，则t 分钟后物体的温度θ（单位：C o ）满足：()010kt e θθθθ-=+-．若常数0.05k =，空气温度为30C o ，某物体的温度从90C o 下降到50C o ，大约需要的时间为（ ）（参考数据：ln3 1.1≈） A ．16分钟B ．18分钟C ．20分钟D ．22分钟6．设函数21()ln(1||)1f x x x =+-+，则使()(21)f x f x <-成立的x 的范围是（ ） A ．1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．1,(1,)3⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭UC ．11,33⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．11,,33⎛⎫⎛⎫-∞-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭U7．已知21πsin()4()2x x f x ++=，()f x '为()f x 的导函数，则()f x '的大致图象是（ ） A ． B ．C ．D ．8．定义在实数集R 上的奇函数()f x 恒满足()()11f x f x -=+，且()0,1x ∈时，()142x f x =+，则52f ⎛⎫= ⎪⎝⎭（ ）A ．52B ．52-C ．1D ．172-二、多选题9．下列求导错误的是（ ） A ．()21log 33ln 2'=B ．()1ln 22'=x xC ．()2sin sin 2x x '=D ．2cos cos sin x x x x x '+⎛⎫=⎪⎝⎭10．已知函数()25()log 23f x x x =--，则下列结论正确的是（ ）A ．函数()f x 的单调递增区间是[1,)+∞B ．函数()f x 的值域是RC ．函数()f x 的图象关于1x =对称D ．不等式()1f x <的解集是(2,1)(3,4)--U11．已知函数2()log (1)(0)=-->f x x m m 的两个零点为12,x x 12()x x <，则（ ）A ．122x x <<B ．12111x x += C ．124x x <D．1223+≥+x x三、填空题12．设α：24x <≤，β：x m >，α是β的充分条件，则实数m 的取值范围是.13．已知函数21,0,()log ,0x x f x x x +≤⎧=⎨>⎩则函数()y f f x =⎡⎤⎣⎦的所有零点之和为. 14．已知函数()sin ,06f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭，若5412f f ππ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭且()f x 在区间5,412ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上有最小值无最大值，则ω=．四、解答题15．已知函数2())2sin ()()612f x x x x R ππ=-+-∈（I ）求函数()f x 的最小正周期；（Ⅱ）求使函数()f x 取得最大值的x 的集合．16．函数()cos()f x A x ωφ=+（其中 0A >，0ω>，||2ϕπ<）的部分图象如图所示，先把函数 ()f x 的图象上的各点的横坐标缩短为原来的12（纵坐标不变），把得到的曲线向左平移4π个单位长度，再向上平移1个单位，得到函数()g x 的图象.（1）求函数()g x 图象的对称中心.（2）当,88x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，求 ()g x 的值域.（3）当,88x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，方程 ()()2()230g x m g x m +-+-=有解，求实数m 的取值范围.17．已知函数1()(1)ln (0)f x ax a x a x =--+≠.(1)若2a =，求曲线()y f x =在1x =处的切线 (2)讨论函数()f x 的单调性；18．已知函数()2()log 2()xf x k k R =+∈的图象过点(0,2)P ．（1）求k 的值并求函数()f x 的值域；（2）若函数1()2()22xf x h x a ⎛⎫+ ⎪⎝⎭=-⋅，则是否存在实数a ，对任意14[]0,x ∈，存在2[0,2]x ∈使()()122h x f x ≥+成立？若存在，求出a 的取值范围；若不存在，请说明理由．19．若定义在R 上，且不恒为零的函数()y f x =满足：对于任意实数x 和y ，总有()()()()2f x y f x y f x f y ++-=恒成立，则称()f x 为“类余弦型”函数.（1）已知()f x 为“类余弦型”函数，且()514f =，求()0f 和()2f 的值；（2）证明：函数()f x 为偶函数；（3）若()f x 为“类余弦型”函数，且对于任意非零实数t ，总有()1f t >，设有理数1x 、2x 满足12x x <，判断()1f x 和()2f x 大小关系，并证明你的结论.。
高三9月月考(数学)试题含答案
高三9月月考（数学）（考试总分：150 分）一、 单选题 （本题共计12小题，总分60分）1.（5分）1、已知集合{}Z x x x A ∈<=,3，{}N x x x B ∈>=,1，则B A ⋂=（ ）A ．φB ．}{3,2,2,3-- C.}{2 D ．}{2,2-2.（5分）2、若复数，，则的实部为（ ）A ．B ．C ．D ．3.（5分）3、函数4log 3)(21++-=x x f x 的零点所在的区间为（ ）A ．)3,2(B ．)4,3(C ．)2,1(D ．)1,0(4.（5分）4、直线b x y +=21是曲线)0(ln >=x x y 的一条切线，则实数b ＝（ ） A ．ln2+1 B ．ln2﹣1 C ．ln3+1D ．ln3﹣15.（5分）5、在ABC ∆中，若满足)2cos()2sin(A B b a -+=ππ，则该三角形的形状为（ ）A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰三角形或直角三角形6.（5分）6、函数)82lg()(2--=x x x f 的单调递增区间是（ ）A ．)2,(--∞B ．)1,(-∞C ．),1(+∞D ．),4(+∞7.（5分）7、某数学兴趣小组从商标中抽象出一个函数图象如图，其对应的函数)(x f 可能是（ ）A ．11)(-=x x f B ．11)(-=x x f 12z i =-()23z i i =-12z z +1234C ．xx f 2tan11)(π-=D ．11)(2+=x x f 8.（5分）8）9.（5分）9、已知)(x f 是奇函数，且当时42)(-=x x f ，则不等式0)2(>-x f 的解集为（ ）A ．}{40><x x x 或B ．}{420><<x x x 或 C ．}{20><x x x 或 D ．}{22>-<x x x 或10.（5分）10、已知平面向量a ，b 2=，向量a 与b -a 的夹角为 150的最大值为（ ） A ．32B ．3C ．4D ．334 11.（5分）11、圣·索菲亚教堂（英语：SAINT SOPHIA CATHEDRAL ）坐落于中国黑龙江省，是一座始建于1907年拜占庭风格的东正教教堂，距今已有114年的历史，为哈尔滨的标志性建筑．1996年经国务院批准，被列为第四批全国重点文物保护单位，是每一位到哈尔滨旅游的游客拍照打卡的必到景点其中央主体建筑集球，圆柱，棱柱于一体，极具对称之美，可以让游客从任何角度都能领略它的美．小明同学为了估算索菲亚教堂的高度，在索菲亚教堂的正东方向找到一座建筑物AB ，高为m )15315(-，在它们之间的地面上的点（D M B ,,三点共线）处测得楼顶，教堂顶C 的仰角分别是15和60，在楼顶处测得塔顶C 的仰角为 30，则小明估算索菲亚教堂的高度为（ ）0x >M A AA ．m 20B ．m 30C ．m 320D ．m 33012.（5分）12、已知在函数x x x f ln )(2+=与函数ax x x g -=22)(的图象上存在关于y 轴对称的点，则实数的取值范围为（ ）A ．⎥⎦⎤ ⎝⎛-∞-e 1, B ．⎥⎦⎤ ⎝⎛-∞-21, C ．(]e -∞-, D ．(]1,-∞-二、 填空题 （本题共计4小题，总分20分） 13.（5分）13，，，的夹角为在方向上的数量投影为__________14.（5分）14、在ABC ∆中，角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,，A bc C A c b sin )sin()(22=+-，且3π=B ，则C 的大小为________.15.（5分）15，下列说法正确的是①图像关于②的最小正周期为 ③在区间 ④图像关于a 1a =2b =a b a b +a ()f x ()f x 2π()f x ()f x16.（5分）16、当[)+∞∈,1x 时，1ln -≥+x x xae x恒成立，则实数的取值区间．．为______．三、 解答题 （本题共计7小题，总分80分）17.（12分）17、已知向量)2,cos 3(),1,(sin x b x a =-=，函数2)()(b a x f +=．（1）求函数)(x f 的最小正周期；（2）若⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈2,4ππx ，求函数)(x f 的值域． 18.（12分）18、已知三棱柱111C B A ABC -中，BC AB ⊥，O 为的中点，⊥O A 1平面ABC ，21===AA BC AB ，M 为11B A 的中点.（1）求证：//1O A 平面MBC ； （2）求三棱锥C BB M 1-的体积.19.（12分）19、已知等比数列{}n a 的公比1≠q ，321=a ，且22a 、33a 、成等差数列．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设n n a b 2log =，求数列{}n b 的前n 项和n T ．20.（12分）20、某大型商场举办店庆十周年抽奖答谢活动，凡店庆当日购物满1000元的顾客可从装有4个白球和2个黑球的袋子中任意取出2个球，若取出的都是黑球获奖品a AC 44aA ，若取出的都是白球获奖品B ，若取出的两球异色获奖品C. （1）求某顾客抽奖一次获得奖品B 的概率；（2）若店庆当天有1500人次抽奖，估计有多少人次获得奖品C.21.（12分）21、已知函数)(ln )(R a xax x f ∈+=． （Ⅰ）讨论函数)(x f 的单调性； （Ⅱ）求出函数)(x f 零点的个数．22.（10分）22、在平面直角坐标系xOy 中，点P 是曲线⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+=t t y tt x C 11:1(t 为参数)上的动点，以坐标原点O 为极点，X 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为.（1）求曲线1C 的普通方程和曲线2C 的直角坐标方程； （2）若点P 在y 轴右侧，点Q 在曲线2C 上，求PQ 的最小值.23.（10分）23、已知函数b x a x x f -+-=)(，R b a ∈,．（1）当1=b 时，对任意的R m ∈，关于x 的不等式22)(2+-<m m x f 总有解，求实数a 的取值范围．（2）当0,0=>b a 时，求不等式2)(<x f 的解集．答案一、 单选题 （本题共计12小题，总分60分） 1.（5分）1、【答案】C【解析】分析：直接求得即可.故选：C.2.（5分）2、【答案】C【解析】因为，，所以，则的实部为．3.（5分）3、【答案】C在上为减函数，，，则，因此，函数的零点所在的区间为.故选：C.4.（5分）4、【答案】B【解析】解：求导得：y∵直线y +b 是曲线y ＝ln x （x ＞0）的一条切线，x ＝2，把x ＝2代入曲线方程得：y ＝ln2，把切点（2，ln2）代入直线方程得：ln2＝1+b ， 解得：b ＝ln2﹣1， 故选：B ．5.（5分）5、【答案】D【解析】分析：由题设条件和正弦定理化简得，得到，求得或.A B 12i z =-213z i =+1232i z z +=+12z z +3()0,∞+()110f =>()260f =-<()()120f f ⋅<()f x ()1,2sin cos sin cos A A B B =sin 2sin 2A B =A B =，即，可得， 因为，所以或所以为等腰三角形或直角三角形. 故选：D.6.（5分）6、【答案】D【解析】对于函数，，解得或，所以，函数的定义域为.内层函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，外层函数为增函数，因此，函数的单调递增区间为.故选：D.7.（5分）7、【答案】A【解析】选项A ：函数的图象的渐近线为 或与原图象相符；选项B ：选项C ：时，函数无意义与原图不相符； 选项D ：故选：A8.（5分）8、【答案】C【解析】由，得，则9.（5分）9、【答案】B【解析】当时 ，又是奇函数，图象关于原点对称，即可画出函数图象如下所示，sin cos sin cos A A B B =sin 2sin 2A B =,(0,)A B π∈A B =ABC ()()2ln 28f x x x =--2280x x -->2x <-4x >()()2ln 28f x x x =--()(),24,-∞-+∞228u x x =--(),2-∞-()4,+∞ln y u =()()2ln 28f x x x =--(4)+∞，1x =1x =-1x =-3x =1x =0x >()24x f x =-()f x要使，结合图象可得或，解得或故不等式的解集为，故选：．10.（5分）10、【答案】C【解析】分析：利用向量的位置关系，利用几何意义，在圆中表示出向量，从而求得最大模长.详解：设，，则，，又向量与的夹角为，则，即C 点的轨迹为优弧上的点， 则圆心角，三角形AOB 为正三角形，圆半径，则当取圆O 的直径向量4.故选：C. 【点睛】方法点睛：利用向量满足的条件，抽象成几何意义，来求得向量模长的最值.11.（5分）11、【答案】D【解析】分析：由正弦得出，再结合正弦定理得到，进而能求. 详解：由题意知：，所以()20f x ->22x ->220x -<-<4x >02x <<{}|024x x x <<>或B a →b AB →→=a AC →→=2AB =b a CB →→→-=a →b a →→-150︒30ACB ∠=AB 60AOB ∠=2OA AB ==a AC →→='AC AM CM CD 45CAM ∠=︒105AMC ∠=︒30ACM ∠=︒在中，在中，由正弦定理得 所以，在中，故选：D12.（5分）12、【答案】D【解析】 由题可得在有解，即在有解，在有解，令所以在单调递减，且，所以当时，，则，单调递增，当时，，则，单调递减，所以，故.故选：D.二、 填空题 （本题共计4小题，总分20分）13.（5分）13、【答案】 2【解析】由已知得，在方向上的数量投影为，，，的夹角为，所以数量投影为2。
山东省临沂市兰临沂第四中学2024-2025学年高二上学期10月月考数学试题(含答案)
山东省临沂市兰临沂第四中学2024-2025学年高二上学期10月月考数学试题（考试时间：120分钟试卷满分：150分）注意事项：1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共58分）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知直线,若,则( )A.-1或2B.1C.1或-2D.-22.过点的直线与线段MN 相交，，则的斜率的取值范围为( )A.B.C.或D.或3.在三棱柱中,记,点满足,则( )A. B. C. D.4.已知点关于直线对称，则对称点的坐标为( )A. B. C. D.5.已知向量,若共面,则( )A.4B.2C.3D.16.点到直线的距离最大时，其最大值以及此时的直线方程分别为( )7.下列命题中正确的是( )A.点关于平面对称的点的坐标是B.若直线的方向向量为，平面的法向量为，则C.若直线的方向向量与平面的法向量的夹角为，则直线与平面所成的角为12:20,:2(1)20l ax y l x a y +-=+++=12//l l a =(3,3)P l (2,3),(3,2)M N ---l k 1665k ≤≤566k ≤≤65k ≤6k ≥16k ≤65k ≥111ABC A B C -1,,AA a AB b AC c === P 12BP PC =AP = 121333a b c -+ 212333a b c ++212333a b c +-121333a b c ++(2,1)P -10x y -+=(0,1)-(0,2)-(1,1)-(2,1)-(2,1,3),(1,4,2),(1,3,)a b c λ=-=--=,,a b c λ=(2,1)P --:(13)(1)240(R)l x y λλλλ+++--=∈310x y -+=40x y +-=250x y +-=310x y -+=(3,2,1)M yOz (3,2,1)--l (1,1,2)e =- α(6,4,1)m =-l α⊥l α120︒l α30︒D.已知为空间任意一点,四点共面，且任意三点不共线，若，则8.在空间直角坐标系中,,点在平面ABC 内,则当|OH |取最小时，点的坐标是( )A. B. C. D.二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知向量，则( )A.若，则B.若，则C.若,则D.若,则向量在向量上的投影向量10.下列说法正确的是( )A.直线的倾斜角的取值范围是B.“”是“直线与直线互相垂直”的充要条件C.过点且在轴,轴截距相等的直线方程为D.经过平面内任意相异两点的直线都可以用方程.11.已知正方体的棱长为1,E 为线段的中点,点和点分别满足,其中,则下列说法正确的是( )A.平面AECB.AP 与平面所成角的取值范围为C.D.点到直线的距离的最小值为三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.O ,,,A B C P 12OP mOA OB OC =-+12m =-O xyz -(1,0,0),(0,2,0),(0,0,2)A B C H H 211,,333⎛⎫ ⎪⎝⎭(2,1,1)(2,1,1),(1,,2)a x b y ==-1,24x y ==-ab ‖1,1x y ==a b⊥1,12x y ==cos ,a b <>= 1,12x y ==ab 112,,333c ⎛⎫=- ⎪⎝⎭sin 20x y α++=θπ3π0,,π44⎡⎤⎡⎫⋃⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭1a =-210a x y -+=20x ay --=(1,2)P x y 30x y +-=()()1122,,,x y x y ()()()()211211x x y y y y x x --=--表示1111ABCD A B C D -1B C F P 11111,D F D C D P D B λμ==,[0,1]λμ∈BP ⊥11BDD B 45,60︒︒⎡⎤⎣⎦PE PF +P 1B C PE =12.在直线上求一点,使它到直线的距离等于原点到的距离,则此点的坐标为________________.13.已知空间向量两两夹角为,且,则__________________.14.如图,两条异面直线a,b 所成的角为,在直线a,b 上分别取点,和点A,F,使,且.已知,则线段的长为_____________.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.(13分)如图,三棱柱中,底面边长和侧棱长都等于1,.(1)设,用向量表示,(2)并求出的长度;(3)求异面直线与所成角的余弦值.16.(15分)已知点,_________________，从条件①、条件②、条件③中选择一个作为已知条件补充在横线处,并作答(1)求直线的方程;(2)求直线关于直线的对称直线的方程条件①:点关于直线的对称点的坐标为；条件②:点的坐标为，直线过点且与直线PM 平行;210x y -+=:320l x y +-=l ,,a b c 60︒||||||1a b c === |2|a b c -+= θA 'E AA a '⊥AA b '⊥,,A Em AF n EF l '===AA '111ABC A B C -1160BAA CAA ︒∠=∠=1,,AA a AB b AC c === ,,a b c1BC 1BC 1AB 1BC (1,3)P 1l 2:250l x y +-=1l P 1l 1P (1,1)-M (6,2)-1l (2,4)-条件③:点N 的坐标为,直线过点且与直线PN 垂直.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.17.（15分）已知直线.(1)若坐标原点到直线,求的值;(2)当时，直线过与的交点，且它在两坐标轴上的截距相反，求直线的方程.18.(17分)如图,在四棱锥中,底面ABCD ,底面ABCD 为直角梯形,,分别为线段AD,DC,PB 的中点.(1)证明：平面PEF//平面GAC ；(2)求直线GC 与平面PCD 所成角的正弦值.19.(17分)如图1所示中,分别为PA,PB 中点.将沿DC 向平面ABCD上方翻折至图2所示的位置，使得。
2023_2024学年山东省临沂市高三上册期中考试数学模拟测试卷(附答案)
2x2
ax 1 ex ，若曲线
y
f
x在点 0,
f
0处的切线方程
为 2x by 1 0 ．
(1)求 f x的解析式；
(2)求 f x在区间1,3上的最值．
19．已知
ABC
的内角
A，B，C
所对的边分别为
a，b，c，
a
sin
B
π 6
b
2
c
，三条内角平分
线相交于点 O，△OBC 的面积为15 3 ．
,
3 5
上单调递减
D． f x的图象向左平移 4 个单位长度得到函数 g x cos 2x 的图象
11．已知平面向量
OA
2m,
3，
OB
m
2,
4
，则（
）
A．若直线 AB 的一个方向向量为 1,1，则 m 1
B．若向量
AB
是单位向量，则
m
2
C．若向量
OP
4,1满足
PA
AB
，则
m
3
D．当
bn1 3bn 2 ．
(1)求 bn 的通项公式；
cn
(2)设数列 cn 满足
an1
an2
a2 n2
1 ,
bn
,
n 为奇数
n 为偶数
，若 cn 的前
n
项和为 Tn
T2n ，证明：
3 16
．
22．已知函数 f x x2 ax 2 ln x ， a R ．
(1)讨论 f x的单调性；
(2)已知 f x有两个极值点 x1, x2 ，且 x1 x2 ，证明： 2 f x1 f x2 1 3ln 2 ．
山东省临沂市重点高中2021-2022学年高三上学期第一次月考 数学试题
2021-2022学年第一学期高三年级综合测试数 学 试 题本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟。
第Ⅰ卷（共60分）一、单项选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中只有一项符合题目要求）1、已知集合A ＝{1，2，3}，B ＝{x |x 2<9}，则A ∩B ＝( ) A. {－2，－1，0，1，2，3} B.{－2，－1，0，1，2}C. {1，2，3}D.{1，2}2、是“函数在区间上为增函数”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3、若向量a ，b 的夹角为3π，且||2a =，||1b =，则向量2a b +与向量a 的夹角为（ ） A ．6π B ．3π C ．23π D ．56π4、 已知，，，则，，的大小关系为（ ） A ．B ．C ．D ．5、已知复数2z i =+，则1zi+在复平面上对应的点所在象限是（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限6、设曲线y=ax-ln(x+1)在点(0,0)处的切线方程为y=2x ,则a=( ) A.0B.1C.2D.37、下列函数中，既是奇函数又在定义域内递增的是（ ） A ．3()f x x x =+ B ．()31x f x =- C ．1()f x x=-D ．3()log f x x =8、若存在唯一的实数,使得曲线 (ω>0)关于点(t ,0)对称,则的取值范围是( )A. B. C. D.多项符合要求，全部选对的得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分） 9、若函数有两个零点，则实数的可能取值有（ ）A ．-2B ．0C ．2D ． 4 10、下列函数的周期为的是（ ） A.y=sinxB.C.D.11、若函数f (x )=2x 3-ax 2(a<0)在上有最大值,则a 的取值可能为( ) A.-6 B.-5 C.-3 D.-212、对于定义域为的函数，若存在区间，同时满足下列条件：①在上是单调的；②当定义域是时，的值域也是，则称为该函数的“和谐区间”.下列函数存在“和谐区间”的是（） A ．B ．C ．D ．第Ⅱ卷（共90分） 三、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）13、若命题“”是真命题，则实数a 的取值范围是_______14、已知(3,4)a =，(,6)b t =-，且,a b 共线，则向量a 在b 方向上的投影向量为__________． 15．设()sin 23cos 2f x x x =+，将()f x 的图像向右平移(0)ϕϕ>个单位长度，得到()g x 的图像，若()g x 是偶函数，则ϕ的最小值为__________．16．已知函数11,1()3ln ,1x x f x x x ⎧+≤⎪=⎨⎪>⎩，则当函数()()F x f x ax =-恰有两个不同的零点时，实数a 的取值范围是 ．四、解答题（本大题共6个小题，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17、（本小题10分）设函数．（I ）求的单调区间． （II ）求在区间上的最大值．18、（本小题12分）已知函数（为常数）。
山东省临沂市2024-2025学年高三上学期期中教学质量检测数学试题
临沂市高三教学质量检测考试数学2024.11本试卷共4页，19题，全卷满分150分。
考试用时120分钟。
注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则（ ）A .B .C .D .2.已知非零实数a ，b 满足，则（ ）A .B .C .D .3.在平行四边形ABCD 中，点E 为线段CD 的中点，记，，则（ ）A .B .C .D .4.已知函数，则不等式的解集是（ ）A .B .C .D .5.已知，，则（ ）ABCD .16.“”是“不等式在上恒成立”的（ ）A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充要条件D .既不充分也不必要条件7.已知函数（）与函数的图象在区间内交点的坐标分别为{}26A x x x =-<{}3,2,1,1,2,3B =---A B = {}2,1,1,2,3--{}2,1,1,2--{}1,1,2,3-{}1,1,2-a b >11a b<22a b>33a b>22ac bc>AB m = AD n =AE = 12m n - 12m n- 12m n + 12m n+ ()341xf x x =--()0f x >()0,2()(),02,-∞+∞ ()1,0-()(),10,-∞-+∞ ()1sin 3αβ-=tan 2tan αβ=()sin αβ+=3a <220x ax -+≥()0,+∞sin 1y x ω=+0ω>1221x x y +=+()2π,2π-，，…，，则的值可能是（ ）A .2B .4C .5D .88已知数列的前n 项和为，，，，（），则（ ）A .341B .340C .61D .60二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。
河南省创新发展联盟2024-2025学年高三上学期9月月考数学试题(含解析)
2024-2025年度河南省高三年级联考（二）数学注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.4.本试卷主要考试内容：集合与常用逻辑用语，函数与导数，三角函数，平面向量，数列，不等式.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}21A x x =-<，{}3B x a x a =<<+.，若{}15A B x x =<< ，则a =（）A.0B.1C.2D.32.已知符号）（表示不平行，向量(1,2)a =--，(,7)b m m =+ .设命题:(0,)p m ∀∈+∞，a ）（b ，则（）A.:(0,)p m ⌝∃∈+∞，//a b，且p ⌝为真命题B.:(0,)p m ⌝∀∈+∞，//a b，且p ⌝为真命题C.:(0,)p m ⌝∃∈+∞，//a b，且p ⌝为假命题D.:(0,)p m ⌝∀∈+∞，//a b，且p ⌝为假命题3.若||0a b >>，则下列结论一定成立的是（）A.22a b ab> B.2211ab a b> C.33a b< D.a c c b->-4.已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且31S ma =，则“7m =”是“{}n a 的公比为2”的（）A.必要不充分条件B.充分不必要条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件5.已知函数3()log f x x =，若0b a >>，且a ，b 是()f x 的图像与直线(0)y m m =>的两个交点对应的横坐标，则4a b +的最小值为（）A.2B.4C.6D.86.三角板主要用于几何图形的绘制和角度的测量，在数学、工程制图等领域被广泛应用.如图，这是由两块直角三角板拼出的一个几何图形，其中||||AB AC = ，||||BD BC =，0BD BC ⋅= .连接AD ，若AD x AB y AC =+，则x y -=（）A.1B.2D.327.若0a ≠，()2ππsin 066x ax bx c ⎛⎫-++≥ ⎪⎝⎭对[0,8]x ∈恒成立，则（）A.0a > B.0bc +> C.0c > D.16b c a-=-8.已知A 是函数()e 3xf x x =+图象上的一点，点B 在直线:30l x y --=上，则||AB 的最小值是（）A.72e 22e- B.3C. D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.设数列{}n a ，{}n b 的前n 项和分别为n S ，n T ，且3n an b =，则下列结论不正确的是（）A.若{}n a 是递增数列，则{}n S 是递增数列B.若{}n a 是递减数列，则{}n S 是递减数列C.若{}n a 是递增数列，则{}n T 是递增数列D.若{}n a 是递减数列，则{}n T 是递减数列10.已知(31)f x +为奇函数，(3)1f =，且对任意x ∈R ，都有(2)(4)f x f x +=-，则必有（）A.(11)1f =-B.(23)0f =C.(7)1f =- D.(5)0f =11.已知函数()sin sin 3f x x x =+，则（）A.()f x 的图象关于点(π,0)中心对称B.()f x 的图象关于直线π4x =对称C.()f x 的值域为⎡⎢⎣⎦D.()f x 在π3π,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且1a =，3b =，1cos 3C =，则ABC △外接圆的面积是__________.13.已知某种污染物的浓度C （单位：摩尔/升）与时间t （单位：天）的关系满足指数模型(1)0ek t C C -=，其中0C 是初始浓度（即1t =时该污染物的浓度），k 是常数.第2天（即2t =）测得该污染物的浓度为5摩尔/升，第4天测得该污染物的浓度为15摩尔/升，若第n 天测得该污染物的浓度变为027C ，则n =__________.14.1796年，年仅19岁的高斯发现了正十七边形的尺规作图法.要用尺规作出正十七边形，就要将圆十七等分.高斯墓碑上刻着如图所示的图案.设将圆十七等分后每等份圆弧所对的圆心角为α，则162121tan2k k α==+∑__________.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.（13分）在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，4cos 5A =，2cos 3cos a C c A =.（1）求sin C 的值；（2）若3a =，求ABC △的周长.16.（15分）已知函数()sin()(0,0,0π)f x A x b A ωϕωϕ=++>><<的部分图象如图所示.（1）求()f x 的解析式；（2）求()f x 的零点；（3）将()f x 图象上的所有点向右平移π12个单位长度，得到函数()g x 的图象，求()g x 在7π0,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域.17.（15分）已知函数3()33xx a f x ⋅=+，且()()66log 3log 122f f +=.（1）求a 的值；（2）求不等式()22310f x x +->的解集.18.（17分）已知函数2()(2)ln(1)2f x ax x x x =++--.（1）当0a =时，求()f x 的单调区间与极值；（2）当0x ≥时，()0f x ≤恒成立，求a 的取值范围.19.（17分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，若对任意的n +∈N ，都有2n n S kS =（k 为非零常数），则称数列{}n a 为“和等比数列”，其中k 为和公比.（1）若23n a n =-，判断{}n a 是否为“和等比数列”.（2）已知{}n b 是首项为1，公差不为0的等差数列，且{}n b 是“和等比数列”，2n b nc =，数列{}n c 的前n 项和为n T .①求{}n b 的和公比；②求n T ；③若不等式2134(1)22nn n n T m -+->--对任意的n +∈N 恒成立，求m 的取值范围.2024-2025年度河南省高三年级联考（二）数学参考答案1.C 由题意可得{}13A x x =<<.因为{}15A B x x =<< ，所以1,35a a ≥⎧⎨+=⎩，解得2a =.2.A :(0,)p m ⌝∃∈+∞，//a b ，当(7)2m m -+=-，即7m =时，//a b，所以p ⌝为真命题.3.B 当3a =，2b =-时，2218,12a b ab =-=，此时22a b ab <，则A 错误.因为||0a b >>，所以a b >，且0ab ≠，所以2210a b >，所以2211ab a b>，则B 正确.当2a =，1b =-时，338,1a b ==-，此时33a b >，则C 错误.当2a =，1b =，3c =时，1a c -=-，2c b -=，此时a c c b -<-，则D 错误.4.A 设{}n a 的公比为q ，则()23123111S a a a q q a ma =++=++=.因为10a ≠，所以21q q m ++=.由7m =，得217q q ++=，即260q q +-=，解得2q =或3q =-.由2q =，得7m =，则“7m =”是“{}n a 的公比为2”的必要不充分条件.5.B 由题意可得01a b <<<，1b a=，则44a b +≥，当且仅当42a b ==时，等号成立.故4a b +的最小值为4.6.A 如图，以A 为原点，AB ，AC的方向分别为x ，y 轴的正方向，建立直角坐标系，设1AB =，则(0,0)A ，(1,0)B ，(0,1)C ，故(1,0)AB = ，(0,1)AC =.作DF AB ⊥，交AB 的延长线于点F .设||1AB = ，则||||1BF DF ==，所以(2,1)D ，所以(2,1)AD = .因为AD x AB y AC =+，所以2,1x y ==，则1x y -=.7.B 因为[0,8]x ∈，所以πππ7π,6666x ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦.当[0,1)x ∈时，ππsin 066x ⎛⎫-< ⎪⎝⎭；当()1,7x ∈时，ππsin 066x ⎛⎫-> ⎪⎝⎭；当(7,8]x ∈时，ππsin 066x ⎛⎫-< ⎪⎝⎭.因为()2ππsin 066x ax bx c ⎛⎫-++≥ ⎪⎝⎭对[0,8]x ∈恒成立，所以1，7是20ax bx c ++=的两根，且0a <，则17,17,b ac a ⎧+=-⎪⎪⎨⎪⨯=⎪⎩故80b a =->，70c a =<，15b c a -=-，0b c a +=->.8.D由题意可得()(1)e x x f x +'=.设()()g x f x '=，则()(2)e xg x x '=+，当1x <-时，()0f x '<，当1x >-时，()0g x '>，()f x '单调递增.因为(0)1f '=，所以()(1)e 1xf x x '=+=，得0x =，此时(0,3)A ，故min ||AB ==.9.ABD当7n a n =-时，{}n a 是递增数列，此时{}n S 不是递增数列，则A 错误.当12n a n =-+时，{}n a 是递减数列，此时{}n S 不是递减数列，则B 错误.由{}n a 是递增数列，得{}n b 是递增数列，且0n b >，则{}n T 是递增数列，故C 正确.由{}n a 是递减数列，得{}n b 是递减数列，且0n b >，则{}n T 是递增数列，故D 错误.10.CD由(31)f x +为奇函数，可得(31)(31)f x f x -+=-+，则()f x 的图象关于点(1,0)对称.又(2)(4)f x f x +=-，所以()f x 的图象关于直线3x =对称，则()f x 是以8为周期的周期函数，所以(7)(3)1f f =-=-，(5)(1)0f f ==，(11)(3)1f f ==，(23)(7)1f f ==-，故选CD.11.ACD因为(π)(π)sin(π)sin 3(π)sin(π)sin 3(π)0f x f x x x x x ++-=++++-+-=，所以()f x 的图象关于点(π,0)中心对称，则A 正确.由题意可得()sin sin 32sin 2cos f x x x x x =+=，则ππππ2sin 2cos 2cos 2cos 4244f x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，ππππ2sin 2cos 2cos 2cos 4244f x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=--=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以ππ44f x f x ⎛⎫⎛⎫+≠- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()f x 的图象不关于直线π4x =对称，则B 错误.由题意可得3()2sin 2cos 4sin 4sin f x x x x x ==-.设sin [1,1]t x =∈-，则3()44y g t t t ==-+，故()22()124431g t t t '=-+=--.由()0g t '>，得3333t -<<；由()0g t '<，得313t -≤<-或313t <≤，则()g t 在31,3⎡⎫--⎪⎢⎣⎭和3,13⎛⎤⎥⎝⎦上单调递减，在33,33⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增.因为(1)(1)0g g -==，38339g ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，38339g ⎛⎫=⎪⎝⎭，所以8383()99g t ⎡∈-⎢⎣⎦，即()f x 的值域是838399⎡-⎢⎣⎦，则C 正确.当π3π,24x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，2sin 2t x ⎤=∈⎥⎣⎦.因为sin t x =在π3π,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，且()g t在,13⎤⎥⎣⎦上单调递减，所以()f x 在π3π,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，则D 正确.12.9π4由余弦定理可得22212cos 1921383c a b ab C =+-=+-⨯⨯⨯=，则c =因为1cos 3C =，所以22sin 3C =，则ABC △外接圆的半径32sin 2c R C ==，故ABC 外接圆的面积为29ππ4R =.13.7由题意可得030e 5,e 15,k kC C ⎧=⎨=⎩则2e 3k =，解得ln32k =.因为(1)00e 27k n C C -=，即3ln(1)200e 27n C C -=，所以ln 3(1)2e 27n -=，所以ln 3(1)ln 273ln 32n -==，解得7n =.14.15由题可知2π17α=，则222π11tan 1tan π217cos 17k k k α+=+=，则161616162211112π2π2π2cos 1cos 16cos 1717171tan 2k k k k k k k k α====⎛⎫==+=+ ⎪⎝⎭+∑∑∑∑.由161611π2π(21)π(21)π33πππ2sin cos sin sin sin sin 2sin 17171717171717k k k k k ==+-⎡⎤⋅=-=-=-⎢⎥⎣⎦∑∑，得1612πcos117k k ==-∑，故原式16115=-=.15.解：（1）因为4cos 5A =，且0πA <<，所以3sin 5A ==.因为2cos 3cos a C c A =，所以2sin cos 3sin cos A C C A =，所以342cos 3sin 55C C ⨯=⨯，即cos 2sin C C =.因为22sin cos 1C C +=，所以21sin 5C =.因为0πC <<，所以5sin 5C =.（2）由（1）可知3sin 5A =，4cos 5A =，5sin 5C =，25cos 5C =，则3254525sin sin()sin cos cos sin 55555B AC A C A C =+=+=⨯+⨯=.由正弦定理可得sin sin sin a b cA B C==，则sin sin a B b A ==sin sin a Cc A==，故ABC △的周长为3a b c ++=+.16.解：（1）由图可知3(1)22A --==，3(1)12b +-==，()f x 的最小正周期7ππ2π1212T ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭.因为2π||T ω=，且0ω>，所以2ω=.因为()f x 的图象经过点π,312⎛⎫⎪⎝⎭，所以ππ2sin 2131212f ϕ⎛⎫⎛⎫=⨯++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即πsin 16ϕ⎛⎫+=⎪⎝⎭，所以ππ2π()62k k ϕ+=+∈Z ，即π2π()3k k ϕ=+∈Z .因为0πϕ<<，所以π3ϕ=.故π()2sin 213f x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭.（2）令()0f x =，得π1sin 232x ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，则ππ22π()36x k k +=-∈Z 或π5π22π()36x k k +=-∈Z ，解得ππ4x k =-或7ππ()12k k -∈Z ，故()f x 的零点为ππ4k -或7ππ()12k k -∈Z .（3）由题意可得πππ()2sin 212sin 211236g x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-++=++ ⎪ ⎪⎢⎝⎭⎝⎭⎣⎦.因为7π0,12x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以ππ4π2,663x ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦.当ππ262x +=，即π6x =时，()g x 取得最大值π36g ⎛⎫= ⎪⎝⎭；当π4π263x +=，即7π12x =时，()g x 取得最小值7π112g ⎛⎫=- ⎪⎝⎭.故()g x 在7π0,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域为1⎡⎤⎣⎦.17.解：（1）因为3()33x x a f x ⨯=+，所以221393(2)333933x x x x a a af x --+⨯-===+++，则33()(2)3333x xx a a f x f x a ⨯+-=+=++.又666log 3log 12log 362+==，所以()()66log 3log 12f f a +=，从而2a =.（2）由（1）可知236()23333x x x f x ⨯==-++，显然()f x 在R 上单调递增.因为1(0)2f =，所以由()22310f x x +->，可得()23(0)f x x f +>，则230x x +>，解得3x <-或0x >，故不等式()22310f x x +->的解集为(,3)(0,)-∞-+∞ .18.解：（1）当0a =时，2()2ln(1)2f x x x x =+--，其定义域为(1,)-+∞，则()222(2)22111x x x x f x x x x x ---+'=--==+++.当(1,0)x ∈-时，()0f x '>，()f x 的单调递增区间为(1,0)-，当(0,)x ∈+∞时，()0f x '<，()f x 的单调递减区间为(0,)+∞，故()f x 的极大值为(0)0f =，无极小值.（2）设1t x =+，[1,)t ∈+∞，2()(2)ln 1g t at a t t =+--+，[1,)t ∈+∞，则2()ln 2at a t t a tg -=+-+'.设()()h t g t '=，则222222()2a a t at a h t t t t --++-'=--=.设2()22m t t at a =-++-，则函数()m t 的图象关于直线4at =对称.①当2a ≤时，()m t 在[1,)+∞上单调递减.因为(1)240m a =-≤，所以2()220m t t at a =-++-≤在[1,)+∞上恒成立，即()0h t '≤在[1,)+∞上恒成立，则()h t 在[1,)+∞上单调递减，即()g t '在[1,)+∞上单调递减，所以()(1)0g t g ''≤=，所以()g t 在[1,)+∞上单调递减，则()(1)0g t g ≤=，即()0f x ≤在[0,)+∞上恒成立，故2a ≤符合题意.②当2a >时，()m t 在[1,)+∞上单调递减或在[1,)+∞上先增后减，因为(1)240m a =->，所以存在01t >，使得()00m t =.当()01,t t ∈时，()0m t >，即()0h t '>，所以()g t '在()01,t 上单调递增.因为(1)0g '=，所以()0g t '>在()01,t 上恒成立，所以()g t 在()01,t 上单调递增，则()0(1)0g t g >=，故2a >不符合题意.综上，a 的取值范围为(,2]-∞.19.解：（1）因为23n a n =-，所以121n a n +=-，所以12n n a a +-=.因为11a =-，所以{}n a 是首项为-1，公差为2的等差数列，则22n S n n =-，所以2244n S n n =-，所以222444422n n S n n n S n n n --==--.因为442n n --不是常数，所以{}n a 不是“和等比数列”.（2）①设等差数列{}n b 的公差为d ，前n 项和为n S ，则21(1)1222n n n d d S nb d n n -⎛⎫=+=+- ⎪⎝⎭，所以222(2)n S dn d n =+-.因为{}n b 是“和等比数列”，所以2n n S kS =，即222(2)22kd kd dn d n n k n ⎛⎫+-=+- ⎪⎝⎭，所以2,22,2kd d kd d k ⎧=⎪⎪⎨⎪-=-⎪⎩解得4,2,k d =⎧⎨=⎩即{}n b 的和公比为4.②由①可知12(1)21n b n n =+-=-，则212n n n c -=，所以35211232222n n n T -=++++ ，所以2352121112122222n n n n nT -+-=++++ ，所以235212121211122311111422222212nn n n n n n T -++⎡⎤⎛⎫⨯-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦=++++-=- ，即2132344332n n n T ++=-⨯，所以21834992nn n T -+=-⨯.③设2121212134834348103429922992n n n n n n n n n n P T ----++++=-=--=-⨯⨯，12121103710345(1)092924n n n n nn n n P P ++-+++-=-⨯+⨯=>.不等式2134(1)22n n n n T m -+->--对任意的n +∈N 恒成立，即不等式(1)2n n P m >--对任意的n +∈N 恒成立.当n 为奇数时，()1min 23n m P P --<==-，则1m >；当n 为偶数时，()2min 122n m P P -<==-，则32m <.综上，m 的取值范围是31,2⎛⎫⎪⎝⎭.。
2024-2025学年高三上学期第一次联考(9月月考) 数学试题[含答案]
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2024~2025学年高三第一次联考（月考）试卷数学考生注意：1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟.2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚.3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷､草稿纸上作答无效.4.本卷命题范围：集合､常用逻辑用语､不等式､函数､导数及其应用.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则集合的真子集的个数为（）{}4,3,2,0,2,3,4A =---{}2290B x x =-≤A B ⋂A.7B.8C.31D.322.已知，，则“，”是“”的（ ）0x >0y >4x ≥6y ≥24xy ≥A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件3.国家速滑馆又称“冰丝带”，是北京冬奥会的标志性场馆，拥有亚洲最大的全冰面设计，但整个系统的碳排放接近于零，做到了真正的智慧场馆､绿色场馆，并且为了倡导绿色可循环的理念，场馆还配备了先进的污水､雨水过滤系统，已知过滤过程中废水的污染物数量与时间（小时）的关系为()mg /L N t （为最初污染物数量，且）.如果前4个小时消除了的污染物，那么污染物消0e kt N N -=0N 00N >20%除至最初的还需要（ ）64%A.3.8小时 B.4小时C.4.4小时D.5小时4.若函数的值域为，则的取值范围是（）()()2ln 22f x x mx m =-++R m A.B.()1,2-[]1,2-C.D.()(),12,-∞-⋃+∞(][),12,-∞-⋃+∞5.已知点在幂函数的图象上，设，(),27m ()()2n f x m x =-(4log a f =，，则，，的大小关系为（ ）()ln 3b f =123c f -⎛⎫= ⎪⎝⎭a b c A.B.c a b <<b a c<<C. D.a c b <<a b c<<6.已知函数若关于的不等式的解集为，则的()()2e ,0,44,0,x ax xf x x a x a x ⎧->⎪=⎨-+-+≤⎪⎩x ()0f x ≥[)4,-+∞a 取值范围为（ ）A.B. C. D.(2,e ⎤-∞⎦(],e -∞20,e ⎡⎤⎣⎦[]0,e 7.已知函数，的零点分别为，，则（ ）()41log 4xf x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭()141log 4xg x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭a b A. B.01ab <<1ab =C.D.12ab <<2ab ≥8.已知，，，且，则的最小值为（ ）0a >0b >0c >30a b c +-≥6b a a b c ++A. B. C. D.29495989二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.下列说法正确的是（ ）A.函数是相同的函数()f x =()g x =B.函数6()f x =C.若函数在定义域上为奇函数，则()313xx k f x k -=+⋅1k =D.已知函数的定义域为，则函数的定义域为()21f x +[]1,1-()f x []1,3-10.若，且，则下列说法正确的是（）0a b <<0a b +>A. B.1a b >-110a b+>C. D.22a b <()()110a b --<11.已知函数，则下列说法正确的是（ ）()()3233f x x x a x b=-+--A.若在上单调递增，则的取值范围是()f x ()0,+∞a (),0-∞B.点为曲线的对称中心()()1,1f ()y f x =C.若过点可作出曲线的三条切线，则的取值范围是()2,m ()()3y f x a x b =+-+m ()5,4--D.若存在极值点，且，其中，则()f x 0x ()()01f x f x =01x x ≠1023x x +=三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.__________.22lg 2lg3381527log 5log 210--+⋅+=13.已知函数称为高斯函数，表示不超过的最大整数，如，，则不等式[]y x =x []3.43=[]1.62-=-的解集为__________；当时，的最大值为__________.[][]06x x <-0x >[][]29x x +14.设函数，若，则的最小值为__________.()()()ln ln f x x a x b =++()0f x ≥ab 四､解答题：本题共5小题､共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.（本小题满分13分）已知全集，集合，.U =R {}231030A x x x =-+≤{}220B x xa =+<（1）若，求和；8a =-A B ⋂A B ⋃（2）若，求的取值范围.()UA B B ⋂= a 16.（本小题满分15分）已知关于的不等式的解集为.x 2280ax x --<{}2x x b-<<（1）求，的值；a b （2）若，，且，求的最小值.0x >2y >-42a bx y +=+2x y +17.（本小题满分15分）已知函数.()()()211e 2x f x x ax a =--∈R （1）讨论的单调性；()f x （2）若对任意的恒成立，求的取值范围.()e x f x x ≥-[)0,x ∈+∞a 18.（本小题满分17分）已知函数是定义在上的奇函数.()22x xf x a -=⋅-R（1）求的值，并证明：在上单调递增；a ()f x R （2）求不等式的解集；()()23540f x x f x -+->（3）若在区间上的最小值为，求的值.()()442x x g x mf x -=+-[)1,-+∞2-m 19.（本小题满分17分）已知函数.()()214ln 32f x x a x x a =---∈R （1）若，求的图像在处的切线方程；1a =()f x 1x =（2）若恰有两个极值点，.()f x 1x ()212x x x <（i ）求的取值范围；a （ii ）证明：.()()124ln f x f x a+<-数学一参考答案､提示及评分细则1.A 由题意知，又，所以{}2290B x x ⎡=-=⎢⎣∣ {}4,3,2,0,2,3,4A =---，所以的元素个数为3，真子集的个数为.故选.{}2,0,2A B ⋂=-A B ⋂3217-=A 2.A 若，则，所以“”是“”的充分条件；若，满足4,6x y 24xy 4,6x y 24xy 1,25x y ==，但是，所以“”不是“”的必要条件，所以“”是24xy 4x <4,6x y 24xy 4,6x y “”的充分不必要条件.故选A.24xy 3.B 由题意可得，解得，令，可得4004e 5N N -=44e 5k -=20004e 0.645t N N N -⎛⎫== ⎪⎝⎭，解得，所以污染物消除至最初的还需要4小时.故选B.()248e e ek kk---==8t =64%4.D 依题意，函数的值域为，所以，解得()()2ln 22f x x mx m =-++R ()2Δ(2)420m m =--+ 或，即的取值范围是.故选D.2m 1m - m ][(),12,∞∞--⋃+5.C 因为是軍函数，所以，解得，又点在函数的图()()2nf x m x =-21m -=3m =()3,27()n f x x =象上，所以，解得，所以，易得函数在上单调递增，又273n=3n =()3f x x =()f x (),∞∞-+，所以.故选C.1241ln3lne 133log 2log 2->==>=>=>a c b <<6.D 由题意知，当时，；当时，；当时，(),4x ∞∈--()0f x <[]4,0x ∈-()0f x ()0,x ∞∈+.当时，，结合图象知；当时，，当()0f x 0x ()()()4f x x x a =-+-0a 0x >()e 0x f x ax =- 时，显然成立；当时，，令，所以，令，解0a =0a >1e x x a (),0e x x g x x =>()1e xxg x -='()0g x '>得，令0，解得，所以在上单调递增，在上单调递减，所以01x <<()g x '<1x >()g x ()0,1()1,∞+，所以，解得综上，的取值范围为.故选D.()max 1()1e g x g ==11e a0e a < a []0,e 7.A 依题意得，即两式相减得4141log ,41log ,4a b a b ⎧⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭⎪⎨⎛⎫⎪= ⎪⎪⎝⎭⎩441log ,41log ,4a ba b ⎧⎛⎫=⎪ ⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪-= ⎪⎪⎝⎭⎩.在同一直角坐标系中作出的图()44411log log log 44a ba b ab ⎛⎫⎛⎫+==- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭4141log ,log ,4xy x y x y ⎛⎫=== ⎪⎝⎭象，如图所示：由图象可知，所以，即，所以.故选A.a b >1144ab⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()4log 0ab <01ab <<8.C 因为，所以，所以30a b c +- 30a b c +> 11911121519966399939911b a b a b b b b a b c a b a b a a a a ⎛⎫++=+=++--=-= ⎪+++⎝⎭++ ，当且仅当，即时等号成立，所以的最小值为.故选C.1911991b b a a ⎛⎫+= ⎪⎝⎭+29b a =6b aa b c ++599.AD 由解得，所以，由，解得10,10x x +⎧⎨-⎩ 11x - ()f x =[]1,1-210x -，所以的定义域为，又，故函数11x - ()g x =[]1,1-()()f x g x ===与是相同的函数，故A 正确；，()f x ()g x ()6f x ==当且仅当方程无解，等号不成立，故B 错误；函数=2169x +=在定义域上为奇函数，则，即，即()313x x k f x k -=+⋅()()f x f x -=-331313x xx x k k k k ----=-+⋅+⋅，即，整理得，即，()()33313313x x xxxxk k k k ----=-+⋅+⋅313313x x x x k kk k ⋅--=++⋅22919x x k k ⋅-=-()()21910x k -+=所以，解得.当时，，该函数定义域为，满足，210k -=1k =±1k =()1313xx f x -=+R ()()f x f x -=-符合题意；当时，，由可得，此时函数定义域为1k =-()13311331x x xxf x --+==--310x -≠0x ≠，满足，符合题意.综上，，故C 错误；由，得{}0x x ≠∣()()f x f x -=-1k =±[]1,1x ∈-，所以的定义域为，故D 正确.故选AD.[]211,3x +∈-()f x []1,3-10.AC 因为，且，所以，所以，即，故A 正确；0a b <<0a b +>0b a >->01a b <-<10ab -<<因为，所以，故В错误；因为，所以，0,0b a a b >->+>110a ba b ab ++=<0a b <<,a a b b =-=由可得，所以，故C 正确；因为当，此时，故0a b +>b a >22a b <11,32a b =-=()()110a b -->D 错误.故选AC.11.BCD 若在上单调递增，则在上佰成立，所以()f x ()0,∞+()23630f x x x a '=-+- ()0,x ∞∈+，解得，即的取值范围是，故A 错误；因为()min ()13630f x f a '==--'+ 0a a (],0∞-，所以，又()()32333(1)1f x x x a x b x ax b =-+--=---+()11f a b =--+，所以点()()()332(21)21(1)1222f x f x x a x b x ax b a b -+=-----++---+=--+为曲线的对称中心，故B 正确；由题意知，所以()()1,1f ()y f x =()()3233y f x a x b xx =+-+=-，设切点为，所以切线的斜率，所以切线的方程为236y x x =-'()32000,3x x x -20036k x x =-，所以，整理得()()()3220000336y x x x x x x --=--()()()322000003362m xx x x x --=--.记，所以3200029120x x x m -++=()322912h x x x x m =-++()26h x x '=-，令，解得或，当时，取得极大值，当时，1812x +()0h x '=1x =2x =1x =()h x ()15h m =+2x =取得极小值，因为过点可作出曲线的三条切线，所以()h x ()24h m=+()2,m ()()3y f x a x b =+-+解得，即的取值范围是，故C 正确；由题意知()()150,240,h m h m ⎧=+>⎪⎨=+<⎪⎩54m -<<-m ()5,4--，当在上单调递增，不符合题意；当，()223633(1)f x x x a x a =-+-=--'()0,a f x (),∞∞-+0a >令，解得，令，解得在()0f x '>1x <-1x >+()0f x '<11x -<<+()f x 上单调递增，在上单调递堿，在上单调递增，因为,1∞⎛- ⎝1⎛+ ⎝1∞⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭存在极值点，所以.由，得，令，所以，()f x 0x 0a >()00f x '=()2031x a-=102x x t+=102x t x =-又，所以，又，()()01f x f x =()()002f x f t x =-()()32333(1)1f x x x a x b x ax b =-+--=---+所以，又，所以()()()330000112121x ax b t x a t x b ---+=-----+()2031x a-=，化简得()()()()()()()322320000000013112121312x x x b x x b t x x t x b----=----=------，又，所以，故D 正确.故选BCD.()()20330t x t --=010,30x x x t ≠-≠103,23t x x =+=12. 由题意知10932232862log 184163381255127log 5log 210log 5log 121027---⎛⎫+⋅+=+⋅-+ ⎪⎝⎭62511411410log 5log 2109339339=-⋅+=-+=13.（2分）（3分） 因为，所以，解得，又函数[)1,616[][]06x x <-[][]()60x x -<[]06x <<称为高斯函数，表示不超过的最大整数，所以，即不等式的解集为.当[]y x =x 16x < [][]06x x <-[)1,6时，，此时；当时，，此时01x <<[]0x =[]2[]9x x =+1x []1x ，当且仅当3时等号成立.综上可得，当时，的[][][]2119[]96x x x x ==++[]x =0x >[]2[]9x x +最大值为.1614. 由题意可知：的定义域为，令，解得令，解21e -()f x (),b ∞-+ln 0x a +=ln ;x a =-()ln 0x b +=得.若，当时，可知，此时，不合题1x b =-ln a b -- (),1x b b ∈--()ln 0,ln 0x a x b +>+<()0f x <意；若，当时，可知，此时，不合ln 1b a b -<-<-()ln ,1x a b ∈--()ln 0,ln 0x a x b +>+<()0f x <题意；若，当时，可知，此时；当ln 1a b -=-(),1x b b ∈--()ln 0,ln 0x a x b +<+<()0f x >时，可知，此时，可知若，符合题意；若[)1,x b ∞∈-+()ln 0,ln 0x a x b ++ ()0f x ln 1a b -=-，当时，可知，此时，不合题意.综上所ln 1a b ->-()1,ln x b a ∈--()ln 0,ln 0x a x b +<+>()0f x <述：，即.所以，令，所以ln 1a b -=-ln 1b a =+()ln 1ab a a =+()()ln 1h x x x =+，令，然得，令，解得，所以在()ln 11ln 2h x x x '=++=+()0h x '<210e x <<()0h x '>21e x >()h x 上单调递堿，在上单调递增，所以，所以的最小值为.210,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭21,e ∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭min 2211()e e h x h ⎛⎫==- ⎪⎝⎭ab 21e -15.解：（1）由题意知，{}2131030,33A x x x ⎡⎤=-+=⎢⎥⎣⎦∣ 若，则，8a =-{}()22802,2B x x =-<=-∣所以.(]1,2,2,33A B A B ⎡⎫⋂=⋃=-⎪⎢⎣⎭（2）因为，所以，()UA B B ⋂= ()UB A ⊆ 当时，此时，符合题意；B =∅0a 当时，此时，所以，B ≠∅0a <{}220Bx x a ⎛=+<= ⎝∣又，U A ()1,3,3∞∞⎛⎫=-⋃+ ⎪⎝⎭13解得.209a -< 综上，的取值范围是.a 2,9∞⎡⎫-+⎪⎢⎣⎭16.解：（1）因为关于的不等式的解集为，x 2280ax x --<{2}xx b -<<∣所以和是关于的方程的两个实数根，且，所以2-b x 2280ax x --=0a >22,82,b a b a⎧=-⎪⎪⎨⎪-=-⎪⎩解得.1,4a b ==（2）由（1）知，所以1442x y +=+()()()221141422242241844242y xx y x y x y x y y x ⎡⎤+⎛⎫⎡⎤+=++-=+++-=+++-⎢⎥ ⎪⎣⎦++⎝⎭⎣⎦，179444⎡⎢+-=⎢⎣ 当且仅当，即时等号成立，所以.()2242y x y x +=+x y ==2x y +74-17.解：（1）由题意知，()()e e x x f x x ax x a=-=-'若，令.解得，令，解得，所以在上单调递琙，在0a ()0f x '<0x <()0f x '>0x >()f x (),0∞-上单调递增.()0,∞+若，当，即时，，所以在上单调递增；0a >ln 0a =1a =()0f x ' ()f x (),∞∞-+当，即时，令，解得或，令，解得，ln 0a >1a >()0f x '>0x <ln x a >()0f x '<0ln x a <<所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增；()f x (),0∞-()0,ln a ()ln ,a ∞+当，即时，令，解得或，令，解得，ln 0a <01a <<()0f x '>ln x a <0x >()0f x '<ln 0a x <<所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增.()f x (),ln a ∞-()ln ,0a ()0,∞+综上，当时，在上单调递减，在上单调递增；当时，在0a ()f x (),0∞-()0,∞+01a <<()f x 上单调递增，在上单调递减，在上单调递增当时，在上(,ln )a ∞-()ln ,0a ()0,∞+1a =()f x (),∞∞-+单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增.1a >()f x (),0∞-()0,ln a ()ln ,a ∞+（2）若对任意的恒成立，即对任意的恒成立，()e xf x x - [)0,x ∞∈+21e 02xx ax x -- [)0,x ∞∈+即对任意的恒成立.1e 102x ax -- [)0,x ∞∈+令，所以，所以在上单调递增，当()1e 12x g x ax =--()1e 2x g x a=-'()g x '[)0,∞+，即时，，所以在上单调递增，所以()10102g a =-' 2a ()()00g x g '' ()g x [)0,∞+，符合题意；()()00g x g = 当，即时，令，解得，令，解得，所()10102g a =-<'2a >()0g x '>ln 2a x >()0g x '<0ln 2a x < 以在上单调递减，()g x 0,ln 2a ⎡⎫⎪⎢⎣⎭所以当时，，不符合题意.0,ln 2a x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()()00g x g <=综上，的取值范围是.a (],2∞-18.（1）证明：因为是定义在上的奇函数，所以，()f x R ()010f a =-=解得，所以，1a =()22x xf x -=-此时，满足题意，所以.()()22x x f x f x --=-=-1a =任取，所以12x x <，()()()()211122121211122222122222222122x x x x x x x x x x x x f x f x x x --⎛⎫--=---=--=-+ ⎪++⎝⎭又，所以，即，又，12x x <1222x x <12220x x -<121102x x ++>所以，即，所以在上单调递增.()()120f x f x -<()()12f x f x <()f x R （2）解：因为，所以，()()23540f x x f x -+->()()2354f x x f x ->--又是定义在上的奇函数，所以，()f x R ()()2354f x x f x ->-+又在上单调递增，所以，()f x R 2354x x x ->-+解得或，即不等式的解集为.2x >23x <-()()23540f x x f x -+->()2,2,3∞∞⎛⎫--⋃+ ⎪⎝⎭（3）解：由题意知，令，()()()44244222xxxxxxg x mf x m ---=+-=+--322,,2x x t t ∞-⎡⎫=-∈-+⎪⎢⎣⎭所以，所以.()2222442x xxxt --=-=+-()2322,,2y g x t mt t ∞⎡⎫==-+∈-+⎪⎢⎣⎭当时，在上单调递增，所以32m -222y t mt =-+3,2∞⎡⎫-+⎪⎢⎣⎭，解得，符合题意；2min317()323224g x m m ⎛⎫=-++=+=- ⎪⎝⎭2512m =-当时，在上单调递减，在上单调递增，32m >-222y t mt =-+3,2m ⎛⎫- ⎪⎝⎭(),m ∞+所以，解得或（舍）.222min ()2222g x m m m =-+=-=-2m =2m =-综上，的值为或2.m 2512-19.（1）解：若，则，所以，1a =()214ln 32f x x x x =---()14f x x x =--'所以，又，()14112f =--='()1114322f =--=所以的图象在处的切线方程为，即.()f x 1x =()1212y x -=-4230x y --=（2）（i ）解：由题意知，()22444a x a x x x af x x x x x '---+=--==-又函数恰有两个极值点，所以在上有两个不等实根，()f x ()1212,x x x x <240x x a -+=()0,∞+令，所以()24h x x x a =-+()()00,240,h a h a ⎧=>⎪⎨=-<⎪⎩解得，即的取值范围是.04a <<a ()0,4（ii ）证明：由（i ）知，，且，12124,x x x x a +==04a <<所以()()2212111222114ln 34ln 322f x f x x a x x x a x x ⎛⎫⎛⎫+=---+--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()()2212121214ln ln 62x x a x x x x =+-+-+-，()()()21212121214ln 262x x a x x x x x x ⎡⎤=+--+--⎣⎦()116ln 1626ln 22a a a a a a =----=-+要证，即证，只需证.()()124ln f x f x a+<-ln 24ln a a a a -+<-()1ln 20a a a -+-<令，所以，()()()1ln 2,0,4m a a a a a =-+-∈()11ln 1ln a m a a a a a -=-++=-'令，所以，所以即在上单调递减，()()h a m a ='()2110h a a a =--<'()h a ()m a '()0,4又，所以，使得，即，()()1110,2ln202m m '-'=>=<()01,2a ∃∈()00m a '=001ln a a =所以当时，，当时，，所以在上单调递增，在()00,a a ∈()0m a '>()0,4a a ∈()0m a '<()m a ()00,a 上单调递减，所以.()0,4a ()()()max 00000000011()1ln 2123m a m a a a a a a a a a ==-+-=-+-=+-令，所以，所以在上单调递增，所以()()13,1,2u x x x x =+-∈()2110u x x =->'()u x ()1,2，所以，即，得证.()000111323022u a a a =+-<+-=-<()0m a <()()124ln f x f x a +<-。
绵阳南山中学2024-2025学年高三上学期9月月考数学试题(含答案)
2024年9月绵阳南山中学2024-2025学年秋高三上9月月考试题数 学一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．若集合{}2A x =∈≤，{}23B x x =-≤≤，则A B =（ ）A ．{}03x x ≤≤B ．{}24x x -≤≤C ．{}0,1,2,3D ．{}2,1,0,1,2,3,4--2．若命题p ：x R ∃∈，2220x x ++≤，则命题p 的否定是（ ） A ．x R ∃∈，2220x x ++> B ．x R ∀∈，2220x x ++< C ．x R ∀∈，2220x x ++>D ．x R ∀∈，2220x x ++≤3．若0a b c <<<，则下列不等式一定成立的是（ ）A ．11c c a b-<- B ．2a b c +>C ．2ab c >D ．ac bc >4．记等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若57a =，102a =，则14S =（ ） A ．49B ．63C ．70D ．1265．已知函数1()ln(1)f x x x b=+-为偶函数，则b =（ ） A ．0 B ．14C ．12D ．16．已知把物体放在空气中冷却时，若物体原来的温度是1θ℃，空气的温度是0θ℃，则mi n t 后物体的温度θ℃满足公式()010e ktθθθθ-=+-（其中k 是一个随着物体与空气的接触状况而定的正常数）.某天小明同学将温度是80℃的牛奶放在20℃空气中，冷却2min 后牛奶的温度是50℃，则下列说法正确的是（ ）A ．ln2k =B ．牛奶的温度从50℃降至35℃还需4minC ．2ln2k =D ．牛奶的温度从50℃降至35℃还需2min 7．根据变量Y 和x 的成对样本数据，由一元线性回归模型()()20,Y bx a eE e D e σ=++⎧⎨==⎩得到经验回归模型ˆy bx a =+，求得残差图.对于以下四幅残差图，满足一元线性回归模型中对随机误差假设的是（ ）A ．B ．C ．D ．8．已知函数22,0,()414,0,x x f x x x ⎧⎪=⎨-++<⎪⎩…若存在唯一的整数x ，使得()10f x x a -<-成立，则所有满足条件的整数a 的取值集合为（ ） A ．{2,1,0,1}--B ．{2,1,0}--C ．{1,0,1,2}-D ．{1,0,1}-二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9．下列函数中，是增函数的是（ ） A ．()22xxf x -=-B ．()1f x x=-C ．()3f x x x =+D ．()cos f x x x =-10．某制药公司为了研究某种治疗高血压的药物在饭前和饭后服用的药效差异，随机抽取了200名高血压患者开展试验，其中100名患者饭前服药，另外100名患者饭后服药，随后观察药效，将试验数据绘制成如图所示的等高条形图，已知22()()()()()n ad bc a b c d a c b d χ-=++++，且()26.6350.01P χ>=，则下列说法正确的是（ ）A ．饭前服药的患者中，药效强的频率为45B ．药效弱的患者中，饭后服药的频率为710C ．在犯错误的概率不超过0.01的条件下，可以认为这种药物饭前和饭后服用的药效有差异D ．在犯错误的概率不超过0.01的条件下，不能认为这种药物饭前和饭后服用的药效有差异11．已知函数()f x （x R ∈）是奇函数，()g x 是()f x 的导函数（x R ∈），()12f =且有()f x 满足()()222f x f x +=-，则下列说法正确的是（ ）A ．(2022)0f =B ．函数()g x 为偶函数C ．(1)1g =D ．函数()g x 的周期为4 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在题中的横线上.) 12．若1cos 3α=，()0,α∈π，则sin 2α= . 13．函数1()2sin (440)f x x x x x=--≤≤≠且的所有零点的和等于 . 14．对任意的(0,)x ∈+∞，不等式()2ln2100x x a x ax a ⎛⎫-+-++≤ ⎪⎝⎭恒成立，则实数 a = .四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15．（13分）ABC V 中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且5,7a b ==. (1)若8c =，求B ；(2)若ABC V 的面积为，求c .16．（15分）在数列{}n a 中，n S 是其前n 项和，且364n n S a -=． (1)求数列{}n a 的通项公式；(2)若n +∀∈N ，144n S λλ-<≤+恒成立，求λ的取值范围．17．（15分）某生物兴趣小组研究某种植物的生长，每天测量幼苗的高度，设其中一株幼苗从观察之日起，第x 天的高度为 c m y ，测得一些数据图如下表所示:(1)由表中数据可看出，可用线性回归模型拟合y 与x 的关系，请用相关系数加以证明； (2)求y 关于x 的回归直线方程，并预测第7天这株幼苗的高度. 参考数据:()5521140, 5.53i i i i i x y y y ===-=∑∑.参考公式:相关系数()()niix x y y r --=∑ˆy bx a =+ 中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为()()()121ˆˆˆ,nii nii ix x yy bay bx x x ==--==--∑∑.18．（17分）函数32()231f x x ax =-+.(1)若a =1，求函数()f x 在1x =-处的切线方程；(2)证明：存在实数a 使得曲线()y f x =关于点(1,3)-成中心对称图形； (3)讨论函数()f x 零点的个数.19．（17分）已知()21e 4e 52x x f x ax =-+--.(1)当3a =时，求()f x 的单调递增区间； (2)若()f x 有两个极值点1x ，2x . （i ）求a 的取值范围；（ii ）证明：()()12120f x f x x x +++<.数学参考答案及评分标准二、 多选题12、913、0 14四、解答题 15.（1）由余弦定理知2221cos 22a cb B ac +-== …………………………………………………….……..3分又()0,B ∈π故3B π=； ……………………………………………………….…..6分（2）由三角形的面积公式1sin 2S ab C ==从而sin C =…………………………………….……..8分若(0,)2C π∈,1cos 7C ==，8c ==……………10分若(,)2C π∈π，1cos 7C ==-，c ==12分从而8 c =或 …………………………………..13分 16.（1）因为364n n S a -=，当1n =时，11364S a -=，解得132a =；………………………………………………...2分当2n ≥时，11364n n S a ---=，所以11330n n n n S a S a ----=+，所以112n n a a -=-;………4分所以 是以32为首项，12-为公比的等比数列，所以11322n n a -⎛⎫=⨯- ⎪⎝⎭. …………………………………………………………………….6分（2）由（1）可得6411,326464113326411,32n nn n n n a S n ⎧⎡⎤⎛⎫-⎪⎢⎥ ⎪⎝⎭⎡⎤⎪⎢⎥+⎣⎦⎛⎫==--=⎢⎥⎨ ⎪⎝⎭⎡⎤⎢⎥⎪⎣⎦⎛⎫+⎢⎥ ⎪⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦⎩为偶数为奇数， 又12x y ⎛⎫= ⎪⎝⎭在R 上单调递减，则12xy ⎛⎫=- ⎪⎝⎭在R 上单调递增，所以当n 为偶数时，264164111163232n ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫-≥-=⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，当n 为奇数时，64164111323232n⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫+≤+=⎢⎥ ⎪⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎢⎥⎣⎦，………………………………………10分 所以当1n =时n S 取得最大值为32，当2n =时n S 取得最小值为16， 因为n +∀∈N ，144n S λλ-<≤+恒成立，所以1163244λλ-<⎧⎨≤+⎩，解得717λ≤<，………………………………………………… …...14分所以λ的取值范围为[)7,17. …………………………………………………………...15分17.（1）由1(12345)35x =++++=，1(1.3 1.7 2.2 2.8 3.5) 2.35y =++++=，()52110ii x x =-=∑，……………………… …….3分所以()()55niii ix x y y x y xyr ---==∑∑5.50.9955.53==≈≈ ……………………………………....7分因为r 与1非常接近，故可用线性回归模型拟合y 与x 的关系．（2）由题意可得：()515215 5.50.55, 2.30.5530.6510ˆˆˆi ii ii x y xyba y bx x x ==-====-=-⨯=-∑∑，….11分所以y 关于x 的回归直线方程为ˆ0.550.65yx =+． ………………………………………….…………..13分 当7x =时，ˆ0.5570.65 4.5y=⨯+=， 由此预测当年份序号为第7天这株幼苗的高度为4.5cm ……………………………..…15分 18.（1）2()666(1)f x x x x x '==--(1)12,(1)4f f '-=-=-………………………………………………………………..….2分故()f x 在1x =-处的切线方程为412(1)y x +=+，即128y x =+…………………4分 （2） (1)33f a =-，若存在这样的a ，使得(1,3)-为()f x 的对称中心，则333a -=-，2a = …………………………………………………….……6分 现在只需证明当2a =时()(2)6f x f x +-=-，事实上，32322()(2)2612(2)6(2)1(1212)(2424)6f x f x x x x x x x +-=+++-+-+=-+--于是()(2)6f x f x +-=-………………………………………………………………….8分 即存在实数2a =使得(1,(1))f 是()f x 的对称中心. ………………………………………. .9分 （3）2()666()f x x ax x x a '=-=-， 3.1）当0a >时，()(),0,x a ∞∞∈-⋃+时()0f x '>，故()f x 在()(),0,,a ∞∞-+上单调递增，(0,)x a ∈时，()0f x '<，()f x 单调递减， ………………………………………………..10分则()f x 在0x =处取到极大值，在x a =处取到极小值，由(0)10=>f ，而(1)130f a -=--<，根据零点存在定理()f x 在(,0)-∞上有一个零点； i)若01a <<，即3()10f a a =->， ()f x 在(0,)+∞无零点，从而()f x 在R 上有1个零点；………………………………………………………….11分 ii)若1a >，即3()10f a a =-<，(0)()0f f a <，()f x 在(0,)a 有一个零点,3(4)1610,()(4)0f a a f a f a =+><，故()f x 在(,)a +∞有一个零点，从而()f x 在R 上有3个零点；……………………………………………………………12分 iii)若1a =，即3()10f a a =-=，()f x 在(0,)+∞有一个零点，从而()f x 在R 上有2个零点；……………………………………………………………..13分 3.2)当0a =时，()f x 在R 上单调递增，(0)10f =>， x →-∞时，()f x →-∞，从而()f x 在R 上有一个零点； …………………………………………………….....14分3.3）当0a <时，()(),0,x a ∈-⋃+∞∞时()0f x '>，故()f x 在()(),,0,a -+∞∞上单调递增，(,0)x a ∈时，()0f x '<，()f x 单调递减. ………………………….15分 而3()10f a a =->，(0)0f >，故()f x 在(,)a +∞无零点，又2(21)(21)(2)1f a a a -=--+，由2(21)1,22a a ->-<-，故(21)0f a -<，(21)()0f a f a -<，从而()f x 在(,)a -∞有一个零点，从而()f x 在R 上有一个零点.………………………………………………..…..16分 综上：当1a <时，()f x 在R 上只有1个零点；1a =时，()f x 在R 上有2个零点；1a >时()f x 在R 上有3个零点。
浙江省金华市2025届高三上学期9月月考数学试题含答案
金华2024学年第一学期高三9月月考数学试题卷（答案在最后）命题：高三数学组校对：高三数学组一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{|(1)(2)0},{1,0,1,2,3}A x x x B =--≤=-，则A B = （）A.{}1,0,3- B.{}1,0,1- C.{}1,2 D.{}2,3【答案】C 【解析】【分析】解不等式化简集合A ，利用交集的定义直接求解即得.【详解】依题意，集合{|(1)(2)0}{|12}A x x x x x =--≤=≤≤，而{1,0,1,2,3}B =-，所以{}1,2A B = .故选：C2.已知复数()i 17i z =-，则z =（）A.7i -+B.7i-- C.7i+ D.7i-【答案】D 【解析】【分析】根据复数乘法运算和共轭复数概念可得.【详解】因为()i 17i 7i z =-=+，所以7i z =-.故选：D3.函数π()cos sin 4f x x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的最小正周期是（）A.π4 B.π2C.πD.2π【答案】C 【解析】【分析】利用三角恒等变换得到()1πsin 2244f x x ⎛⎫=+-⎪⎝⎭，利用2πT ω=求出最小正周期.【详解】由余弦和角公式、倍角公式、降幂公式可得()2ππ22cos cos sin sinsin cos sin 4422f x x x x x x x ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭()1cos 21πsin 2sin 2cos 2sin 242244244x x x x x -⎛⎫=-⋅=+-+- ⎪⎝⎭，所以()f x 的最小正周期为2ππ2T ==．故选：C4.比较两组测量尺度差异较大数据的离散程度时，常使用离散系数，其定义为标准差与均值之比.某地区进行调研考试，共10000名学生参考，测试结果（单位：分）近似服从正态分布，且平均分为57.4，离散系数为0.36，则全体学生成绩的第84百分位数约为（）附：若随机变量Z 服从正态分布()2,,()0.68N P Z μσμσ-<≈.A.82B.78C.74D.70【答案】B 【解析】【分析】先根据题意计算标准差，从而得到正态分布()257.4,20.664N ，再利用正态密度曲线的轴对称性和百分位数的定义进行求解即可.【详解】根据题意得标准差为57.40.3620.664⨯=，所以测试结果（单位：分）近似服从正态分布()257.4,20.664N ，又因为0.6884%0.52=+，且()0.68P Z μσ-<≈，所以全体学生成绩的第84百分位数约为57.420.66478μσ+=+≈.故选：B .5.设抛物线()2:20C y px p =>的焦点为F ，直线l 与C 交于A ，B 两点，FA FB ⊥，2FA FB =，则l 的斜率是（）A.±1B.C.D.±2【答案】D 【解析】【分析】根据抛物线的定义得到如图的抛物线，得到11,AA AF BB BF ==，可求得AH ，做1BH AA ⊥在直角三角形Rt ABH △中，可求得BH ，结合斜率的定义进行求解即可【详解】下图所示为l 的斜率大于0的情况．如图，设点A ，B 在C 的准线上的射影分别为1A ，1B ，1BH AA ⊥，垂足为H ．设22FA FB a ==，0a >，则AB =．而11AH AA BB AF BF a =-=-=，所以2BH a ==，l 的斜率为2BH AH=．同理，l 的斜率小于0时，其斜率为2-．另一种可能的情形是l 经过坐标原点O ，可知一交点为O ，则FO FA ⊥，可求得2FA FO p ==，可求得l 斜率为2FA FO=，同理，l 的斜率小于0时，其斜率为2-．故选：D6.某地响应全民冰雪运动的号召，建立了一个滑雪场．该滑雪场中某滑道的示意图如下所示，A 点、B 点分别为滑道的起点和终点，它们在竖直方向的高度差为20m ．两点之间为滑雪弯道，相应的曲线可近似看作某三次函数图像的一部分．综合考安全性与趣味性，在滑道的最陡处，滑雪者的身体与地面约成43~48 的夹角．若还要兼顾滑道的美观性与滑雪者的滑雪体验，则A 、B 两点在水平方向的距离约为（）A.13mB.19mC.23mD.29m【答案】D 【解析】【分析】以滑道的最陡处为原点O 建立平面直角坐标系，由题意可知，O 为AB 的中点，设三次函数的解析式为()32f x ax bx cx =++，其中0a ≠，设点()0,10A x -，则()0,10B x -，在滑道最陡处，设滑雪者的身体与地面所成角为α，由题意得出0b =，()()()300020010tan 1030f c f x ax cx f x ax c α⎧==-⎪⎪=+=-'⎨=+='⎪⎪⎩，求出02x ，即可得解.【详解】以滑道的最陡处为原点O 建立平面直角坐标系，由题意可知，O 为AB的中点，设三次函数的解析式为()32f x ax bx cx =++，其中0a ≠，设点()0,10A x -，则()0,10B x -，()232f x ax bx c '=++，在滑道最陡处，0x =，则()f x '的对称轴为直线0x =，则03ba-=，可得0b =，则()23f x ax c '=+，()3f x ax cx =+，在滑道最陡处，设滑雪者的身体与地面所成角为α，则()sin cos 120tan 2sin tan cos 2f c παπααπααα⎛⎫+ ⎪⎛⎫⎝⎭'==+==-=- ⎪⎛⎫⎝⎭+ ⎪⎝⎭，所以，()3tan x f x ax α=-，()213tan f x ax α'=-，由图可知()()2003000130tan 10tan f x ax x f x ax αα⎧=-=⎪⎪⎨='⎪-=-⎪⎩，可得0230tan x α=，4348α<< ，则()0230tan 29m x α=≈.故选：D.7.设,,A B C 三点在棱长为2的正方体的表面上，则AB AC ⋅的最小值为（）A.94-B.2- C.32-D.43-【答案】B【解析】【分析】建立空间直角坐标系，不妨假设A 在平面xOy 中，设()12,,0A a a ，()123,,B b b b ，()123,,C c c c ，()112,,0B b b 和()112,,0C c c 分别是点B ，C 在平面xOy 上的投影，利用向量不等式可得：()211113311114AB AC AB AC b c AB AC AB AC +⋅+≥⋅≥-⋅≥-，即可求解【详解】将正方体置于空间直角坐标系O xyz -中，且A 在平面xOy 中，点O 和点()2,2,2的连线是一条体对角线．设()12,,0A a a ，()123,,B b b b ，()123,,C c c c ，()112,,0B b b 和()112,,0C c c 分别是点B ，C 在平面xOy 上的投影．可得()130,0,B B b = ，()130,0,C C c = ，110AB C C ⋅= ，110AC B B ⋅= 则()()111111111111AB AC AB B B AC C C AB AC AB C C AC B B B B C C⋅=+⋅+=⋅+⋅+⋅+⋅ 1133AB AC b c =⋅+uuu r uuu r，因为()211113311114AB AC AB AC b c AB AC AB AC +⋅+≥⋅≥-⋅≥-，当且仅当点C 为11B C 的中点时，等号成立，可得()2211111244AB AC B C +-=-≥- ，所以2AB AC ⋅≥-，当()1,1,0A ，11222b c b c -=-=，且330b c =时等号成立．故选：B【点睛】关键点点睛：本题形式简洁，但动点很多，且几乎没有约束条件，这时就需要学生对于动点所在的位置进行分类讨论，讨论的顺序、对于对称性的使用都对学生提出了很高的要求．从几何角度来看，点B ，C 不会位于A 所在面的一侧，故如果采用坐标形式计算数量积，一定会有一项是非负的，且可以取到0．找到这一突破口后，即可将问题转化为平面向量的问题，也就很容易得到结果了．8.已知数列{}n a 满足1122n n n a a a ++<<+，11a =，n S 是{}n a 的前n 项和．若2024m S =，则正整数m 的所有可能取值的个数为（）A.48B.50C.52D.54【答案】D 【解析】【分析】根据11n n a a ++<可得11n n a a +<-，由累加迭代法可得n a n >，进而可得()14046m m +<，由122n n a a +<+得252,3n n a n -<⨯≥，进而根据等比数列的求和可得406225m <，两种情况结合可得1063,m ≤≤进而可求解.【详解】由11n n a a ++<，得11n n a a +<-，由累加法，当2n ≥时，=−K1+K2+⋅⋅⋅+211>1+1+⋅⋅⋅+1=，因此=1+2+⋅⋅⋅+>1+2+⋅⋅⋅+=2024>所以()14048m m +<，当63m =时，()14032m m +=，故63m ≤；由122n n a a +<+，得()2221321122222222222,a a a a a a <+⇒<+<++=++所以()2233243112222222222a a a a <+<+++=++，以此类推，得1122212222252,3n n n n n n n a a n -----<++=+=⨯≥，因此()12212145222m m m S a a a -<++⋅⋅⋅+<++++⋅⋅⋅+，即()2121220245552512m m ---<+⨯=⨯--，得1202925m ->；又892256,2512==，所以19m -≥，即10m ≥；综上可知，1063m＃，故满足条件的正整数m 所有可能取值的个数为6310154-+=个.故选：D【点睛】关键点点睛：本题关键在于利用不等式1122n n n a a a ++<<+将数列的通项公式通过放缩法和累加法可求得n a n >且252,3n n a n -<⨯≥，再由2024m S =解不等式即可得出正整数m 的所有可能取值.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知()1,0A -，()3,2B，()2,1C -，ABC V 的外接圆为M ，则（）A.点M 的坐标为()1,1- B.M 的面积是5πC.点()4,3在M 外D.直线23y x =-与M 相切【答案】BC 【解析】【分析】根据垂直平分线计算交点得到圆心为()1,1，再计算半径为R =个选项得到答案.【详解】()1,0A -，()3,2B 的垂直平分线的斜率满足：131220AB k k +=-=-=--，()1,0A -，()3,2B 的中点为()1,1，故垂直平分线方程为()21123y x x =--+=-+；同理可得()3,2B，()2,1C -的垂直平分线方程为：1433y x =-+，231433y x y x =-+⎧⎪⎨=-+⎪⎩，两条垂直平分线的交点为：()1,1，故圆心为()1,1，R ==，圆方程为()()22115x y -+-=.对选项A ：点M 的坐标为()1,1，错误；对选项B ：M 的面积是2π5π⨯=，正确；对选项C ：()()224131135-+-=>，正确；对选项D ：M到直线的距离5d ==<，相交，错误.故选：BC10.连续投掷一枚均匀的骰子3次，记3次掷出点数之积为X ，掷出点数之和为Y ，则（）A.事件“X 为奇数”发生的概率18B.事件“17Y <”发生的概率为5354C.事件“2X =”和事件“4Y =”相等D.事件“4X =”和事件“Y ＝6”独立【答案】ABC 【解析】【分析】利用相互独立事件、对立事件的概率公式计算判断AB ；写出事件的所有基本事件判断C ；利用相互独立事件的定义判断D.【详解】对于A ，事件“X 为奇数”等价于“3次掷出的点数都为奇数”，其发生的概率为311()28=，A 正确；对于B ，事件“17Y <”的对立事件为“17Y =或18Y =”，而“18Y =”等价于“3次掷出的点数均为6”，其概率为311(6216=，“17Y =”等价于“掷出的3个点数中有2个6和1个5”，其概率为13311C (672=，因此()11531712167254P Y <=--=，B 正确；对于C ，事件“2X =”和事件“4Y =”包含相同的样本点(2,1,1,(1,2},1,(1),1,2))，因此是相等事件，C 正确；对于D ，事件“4X =”等价于“3次掷出的点数中有2个1和1个4，或者2个2和1个1”，其概率为6121636=，事件“6Y =”等价于“3次掷出的点数中有3个2，或者2个1和1个4，或者1个1，1个2和1个3”，其概率为1365216108++=，而积事件等价于“3次掷出的点数中有2个1和1个4”，其概率31152167236108=≠⨯，D 错误．故选：ABC11.设1a >，n 为大于1的正整数，函数的定义域为R ，()()()yf x f y a f x y -=-，()10f ≠，则（）A.()00f =B.()f x 是奇函数C.()f x 是增函数D.()()11n f n a n f +>+【答案】AD 【解析】【分析】运用赋值判定A;运用赋值结合反证法判定B;运用特例判定C;运用赋值加累加法判定D ．【详解】令y x =可知，()()()00xa f f x f x =-=，所以()00f =，A 正确；令1x =，1y =-得()()()1112f f f a--=，令1x =-，1y =得()()()112f f af --=-，则()()1220f af a+-=．若()f x 是奇函数，则()()22f f -=-，结合1a >知()20f =．而令2,1x y ==得()()()211f f af -=，所以()10f =，矛盾！，故()f x 不是奇函数，B 错误；取()()11xf x a a =-+>，则()()()yxyf x f y a a a f x y -=-=-，满足题设要求，但此时()f x 为减函数，故C 错误；由()()()211f f af -=，()()()2321f f a f -=，…，()()()11nf n f n a f +-=，累加可得()()121111n nf n a a a a f a ++-=+++=- ．设()()()()1111n n n F n aa a n a na n +=---+=-+-，()()()()111110n n n F n F n a a a a a ++-=--+=-->，故()()10F n F >=，即()()11n f n a n f +>+，D 正确．故选：AD.【点睛】知识点点睛：本题考查抽象函数、函数的基本性质、函数与不等式．抽象函数作为近年来的热门考点，以形式简洁、内涵丰富而常见于各大模拟卷及高考卷．本题属于难题.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.对于各数位均不为0的三位数abc ，若两位数ab 和bc 均为完全平方数，则称abc 具有“S 性质”，则具有“S 性质”的三位数的个数为__________．【答案】4【解析】【分析】先列出具有两位数，且每一位都不为0的完全平方数，然后根据题意组合即可.【详解】已知22416,525==2222636,749,864,981====经过组合可知：具有“S 性质”的组合有：16,64ab bc ==；36,64ab bc ==；64,49ab bc ==；81,16ab bc ==，此时的三位数分别为：164,364,649,816，共4个.故答案为：413.过双曲线2213x y -=的一个焦点作倾斜角为60o 的直线，则该直线与双曲线的两条渐近线围成的三角形的面积是__________.【答案】2【解析】【分析】求出过焦点的直线方程和渐近线方程后可求三角形的面积.【详解】由双曲线的对称性不妨设倾斜角为60o的直线过右焦点，由双曲线2213x y -=可得渐近线方程为3y x =±，双曲线的半焦距为2c =，故右焦点坐标为()2,0F ，过倾斜角为60o的直线方程为)2y x =-，由)23y x y x ⎧=-⎪⎨=⎪⎩可得交点坐标为(A ，由)233y x y x ⎧=-⎪⎨=-⎪⎩可得交点坐标为3,22B ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，倾斜角为60o的直线与双曲线的两条渐近线围成的三角形的面积为12222⎛⎫⨯--= ⎪ ⎪⎝⎭，故答案为：2.14.已知四面体ABCD 各顶点都在半径为3的球面上，平面ABC ⊥平面BCD ，直线AD 与BC 所成的角为90︒，则该四面体体积的最大值为_________________.【答案】【解析】【分析】根据给定条件，探求四面体体积的表达式，并确定体积最大时四面体的结构特征，结合球半径、球心O 到平面ABC 和平面BCD 的距离及BC 长表示出最大体积的关系式，再利用均值不等式、导数求最值求解作答.【详解】在ABC V 中，过A 作AH BC ⊥于H ，连接DH ，因为AD BC ⊥，,,AH AD A AH AD =⊂ 平面ADH ，则⊥BC 平面ADH ，显然DH ⊂平面ADH ，有DH BC ⊥，而平面ABC ⊥平面BCD ，则90AHD ∠= ，四面体ABCD 的体积1136AHD V S BC BC AH DH =⋅=⋅⋅ ，当BC 长固定时，DH 经过DBC △的外接圆圆心2O 时，DH 最大，此时H 为BC 中点，并且AH 经过ABC V 外接圆圆心1O ，四面体ABCD 的体积V 最大，令四面体ABCD 外接球球心为O ，连接12,OO OO ，则1OO ⊥平面ABC ，2OO ⊥平面BCD ，令1122,,2OO d OO d BC a ===，显然四边形12OO HO 是矩形，于是222222129d d a OH CH OC ++=+==，且21AH d DH d ==+，21(AH DH d d ⋅=≤9d d =+21d d +=，即21d d =时取等号，此时21d d ==，929AH DH ⋅=+=，因此1(93V a ≤，令()(93f a a a =+<<，4()9f a '=+，由()0f a '=，得a =0a <<()0f a '>3a <<时，()0f a '<，因此()f a 在上单调递增，在上单调递减，所以当a =()f a 取得最大值f =V 的最大值为故答案为：【点睛】关键点睛：解决与球有关的内切或外接问题时，关键是确定球心的位置，再利用球的截面小圆性质求解.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知()sin f x x a x =+，曲线()y f x =在点()π,πP 处的切线斜率为2.（1）求a 的值；（2）求不等式()()1320f x f x ++->的解集.【答案】（1）1-（2）(),4-∞【解析】【分析】（1）求导，根据导数的几何意义可得参数值；（2）根据导数判断函数单调性，再结合函数的奇偶性解不等式即可.【小问1详解】由已知()sin f x x a x =+，得()1cos f x a x =+'，又函数=在点()π,πP 处的切线斜率为2，即()π1cos π12f a a =+=-='，解得1a =-；【小问2详解】由（1）得()sin f x x x =-，()1cos f x x =-'，则()1cos 0f x x ='-≥恒成立，即()f x 在R 上单调递增，又()()()sin sin f x x x x x f x -=---=-+=-，即函数()f x 为奇函数，由()()1320f x f x ++->，可知()()()13223f x f x f x +>--=-，即123x x +>-，解得4x <，即不等式的解集为(),4∞-.16.如图，在三棱台111ABC A B C -中，上､下底面是边长分别为4和6的等边三角形，1AA ⊥平面ABC ，设平面11AB C 平面=ABC l ，点,E F 分别在直线l 和直线1BB 上，且满足1,EF l EF BB ⊥⊥.（1）证明：⊥EF 平面11BCC B ；（2）若直线EF 和平面ABC 所成角的余弦值为63，求该三棱台的体积.【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）根据线面平行的性质定理可得11B C ∥l ，再结合线面垂直的判定定理可得结果；（2）建立空间直角坐标系，分别求出平面11BCC B 与平面ABC 的法向量，利用线面角的向量求法及棱台的体积公式可得结果.【小问1详解】由三棱台111ABC A B C -知，11B C ∥平面ABC ，因为11B C ⊂平面11AB C ，且平面11AB C 平面=ABC l ，所以11B C ∥l ，因为EF l ⊥，所以EFBC ⊥，又11,EF BB BC BB B ⊥⋂=，1,BC BB ⊂平面11BCC B ，所以⊥EF 平面11BCC B ；【小问2详解】取BC 中点M ，连接AM ，以A 为原点，AM 为y 轴，1AA 为z 轴，过点A 做x 轴垂直于yOz 平面，建立空间直角坐标系如图，设三棱台的高为h ，则()()()()113,33,0,2,3,,6,0,0,1,3,,B B h CB BB h ==-设平面11BCC B 的法向量为 =s s ，则100CB n BB n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ，即6030x x zh =⎧⎪⎨-+=⎪⎩，令3z =，可得平面11BCC B 的一个法向量(0,3n h = ，易得平面ABC 的一个法向量()0,0,1m =，设EF 与平面ABC 夹角为θ，23,31m n n h m ⋅==+=，所以23cos ,31m nm n m n h ⋅==⋅+⨯由6cos 3θ=，得3sin 3θ=，由（1）知EF∥n，所以233sin cos ,|331m n h θ===+⨯，解得6h =(11923V h s s ss +'='=+.17.在ABC V 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ．已知,,a b c 成公比为q 的等比数列．（1）求q 的取值范围；（2）求tantan 22A C的取值范围．【答案】（1）5151,22q ⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭（2）135,32⎡⎪⎢⎪⎣⎭.【解析】【分析】（1）根据等比数列性质与三角形三边关系列出不等式求解即可；（2）利用正弦定理、余弦定理化简根据q 的取值范围利用对勾函数的单调性即可求解.【小问1详解】由题意知2,b aq c aq ==，根据三角形三边关系知：22222201110q q q a aq aq q qa aq aq q q aq aq a q >⎧+>⎧⎪⎪+>+>⎪⎪⇒⎨⎨+>+>⎪⎪⎪⎪+>>⎩⎩，解得11,22q ⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭；【小问2详解】由（1）及正弦定理、余弦定理知：222222221sin 1cos 2tan tan 221cos sin 12a b c A C A C a a c b a aq aq ab c b a A C c a c b a aq aq bc +---+-+-=⋅=⋅==+-++-+++222122111111q q q q q q q q q+-==-=-++++++，由对勾函数的性质知：()11f q q q=++在1,12⎛⎫- ⎪⎪⎝⎭上单调递减，在11,2⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭上单调递增，所以())111f q q q ⎡=++∈⎣，则2131,1321q q⎡-∈⎪⎢⎪⎣⎭++，即tantan 22A C的取值范围为13,32⎡⎫-⎪⎢⎪⎣⎭.18.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>过点(A ，且C 的右焦点为()2,0F ．（1）求C 的方程：（2）设过点()4,0的一条直线与C 交于,P Q 两点，且与线段AF 交于点S ．（i ）若AS FS =，求PQ ；（ii ）若APS △的面积与FQS 的面积相等，求点Q 的坐标．【答案】（1）22184x y +=（2）（i ）5PQ =；（ii ）2⎫⎪⎪⎭或2⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭.【解析】【分析】（1）将点A 坐标代入椭圆方程，再由222a b c =+的关系式即可得出结果；（2）（i ）由AS FS =可知S 为AF 的中点，即可得2,2S ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，求出直线PQ 的方程并与椭圆联立，利用弦长公式即可得出结果；（ii ）易知直线SF 平分PFQ ∠，由两三角形面积相等以及三角形相似可证明//PF AQ ，再由点Q 在线段AF 的垂直平分线上，与C 的方程联立可得2⎫⎪⎪⎭或2⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭.【小问1详解】根据题意有221(0)42a b a b+=>>，且由椭圆的几何性质可知22224a b c b =+=+，所以228,4a b ==.所以C 的方程为22184x y +=.【小问2详解】（i ）如下图所示：若AS FS =可得，S 为AF的中点，可得2,2S ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，即PQ的斜率为202244PQ k -==--，所以直线PQ的方程为()44y x =--；设()()1122,,,P x y Q x y ，联立直线和椭圆方程可得252404x x --=，所以1212168,55x x x x +==-，即可得5PQ===因此可得5PQ =；（ii ）显然PQ 的斜率存在，设PQ 的方程为()4y k x =-，代入C 的方程有：()222221163280kx k x k +-+-=，其中Δ0>.则可得2212122216328,2121k k x x x x k k -+==++，以下证明：直线SF 平分PFQ ∠，易知AF x ⊥轴，故只需满足直线FP 与FQ 的斜率之和为0.设,FP FQ 的斜率分别为12,k k ，则：()()()()121212121212121244242222224k x k x k x x y y k k k x x x x x x x x --+-+=+=+=------++，()()1212121238224x x x x k x x x x -++=⨯-++，代入2212122216328,2121k k x x x x k k -+==++，有120k k +=，故直线AF 平分PFQ ∠，即AFP AFQ ∠=∠.因为APS △的面积等于FQS 的面积，故SA SP SF SQ =，即SA SQ SFSP=，故//PF AQ .故,AFQ AFP FAQ AQ FQ Q ∠=∠=∠⇒=在线段AF 的垂直平分线上.易知线段AF的垂直平分线为2y =，与C 的方程联立有27x =，故Q的坐标为2⎫⎪⎪⎭或2⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭.19.设5n ≥为正整数，120n a a a <<<< 为正实数列．我们称满足j i k ja a r a a -=-（其中1≤<<≤i j k n ）的三元数组(,,)i j k 为“r -比值组”.（1）若5n =，且{}n a 为等差数列，写出所有的1-比值组；（2）给定正实数r ，证明：中位数为4（即(,,)i j k 中4j =）的r -比值组至多有3个；（3）记r -比值组的个数为()n f r ，证明：2()4n n f r <.【答案】（1）(1,2,3),(1,3,5),(2,3,4),(3,4,5)；（2）证明见解析；（3）证明见解析.【解析】【分析】（1）由15i j k ≤<<≤以及等差数列性质得1j i k ja a j ia a k j--==--，进而根据r -比值组的定义对i 和相应j i -的取值进行分类讨论即可得解.（2）依据题意得,i j 固定时，则至多有一个k 使得j i k ja a r a a -=-成立，接着由4j =得i 的取值有三种即可得证.（3）由,i j 固定时，则至多有一个k 使得j i k ja a r a a -=-成立，结合i 值的取法数可得j i k ja a r a a -=-的三元数组的个数为()1j g r j ≤-，同理得,j k 固定时()j g r n j ≤-，进而得(){}min ,1j g r n j j ≤--，再对n 分偶数和奇数两种情况计算()12()n n jj f r g r -==∑即可得证.【小问1详解】因为{}n a 为等差数列，设其公差为d ，若5,1n r ==，则15i j k ≤<<≤，()()1j i k ja a j i d j ia a k j dk j---===---，所以当1i =且1j i -=时，2j =，1k j -=即3k =，此时1-比值组为()1,2,3；当1i =且2j i -=时，3j =，2k j -=即5k =，此时1-比值组为()1,3,5；当1i =且3j i -=时，4j =，3k j -=即7k =，不符合；当2i =且1j i -=时，3j =，1k j -=即4k =，此时1-比值组为()2,3,4；当2i =且2j i -=时，4j =，2k j -=即6k =，不符合；当3i =且1j i -=时，4j =，1k j -=即5k =，此时1-比值组为()3,4,5；当3i =且2j i -=时，5j =，不符合；当4i =且1j i -=时，5j =，不符合；综上，若5n =且{}n a 为等差数列的所有的1-比值组为(1,2,3),(1,3,5),(2,3,4),(3,4,5).【小问2详解】因为120n a a a <<<< ，1≤<<≤i j k n ，所以当,i j 固定时，则至多有一个k 使得j i k ja a r a a -=-成立，因为4j =，所以2i =或3或4共三种取法，所以中位数为4（即(,,)i j k 中4j =）的r -比值组至多有3个.【小问3详解】对给定的()1j j n <<，满足1≤<<≤i j k n ，且j i k ja a r a a -=-①的三元数组的个数记为()j g r ，因为120n a a a <<<< ，所以当,i j 固定时，则至多有一个k 使得①成立，因为i j <，所以i 值有1j -种取法，故()1j g r j ≤-，同理，若当,j k 固定时，则至多有一个i 使得①成立，因为j k <，所以k 值有n j -种取法，故()j g r n j ≤-，所以(){}min ,1j g r n j j ≤--，当n 为偶数时，设2,N n m m *=∈，则当2j m ≤≤时，(){}min ,11j g r n j j j ≤--=-，当121m j m +≤≤-时，(){}min ,12j g r n j j n j m j ≤--=-=-，所以()()()121221()n m m n jjj j j j m f r g r g r g r --===+==+∑∑∑()()()()()2121121211221mm j j m j m j m m m -==+≤-+-=++⋯+-+-+-+⋯++⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦∑∑()()22211224m m m m n m m m --=+=-<=，当n 为奇数时，设21,N n m m *=+∈，则当2j m ≤≤时，(){}min ,11j g r n j j j ≤--=-，当12m j m +≤≤时，(){}min ,121j g r n j j n j m j ≤--=-=+-，则有()()()()()12222121()121n mmmmn j j j j j j j j m j j m f r g r g r g r g j g m j-===+==+==+≤-++-∑∑∑∑∑()()()()()22111211221224m m m m n m m m m m -+=++⋯+-++-+-+⋯++=+==⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦，所以综上，记r -比值组的个数为()n f r ，则2()4n n f r <.【点睛】关键点睛：求证2()4n n f r <的关键1是得出,i j 固定时至多有一个k 使得j i k j a a r a a -=-成立，从而结合i 值的取法数可得j i k ja a r a a -=-的三元数组的个数为()1j g r j ≤-，同理得,j k 固定时()j g r n j ≤-，进而得(){}min ,1j g r n j j ≤--，关键2是明确到()21j j n ≤≤-影响到,1n j j --的大小，而n 的奇偶性影响()12n jj g r -=∑的取值，进而对n 分偶数和奇数两种情况计算()12()n nj j fr g r -==∑并将()12n j j g r -=∑分成两部分计算即可得证.。
山东省临沂市2024-2025学年高三上学期期中教学质量检测数学试题
山东省临沂市2024-2025学年高三上学期期中教学质量检测数学试题一、单选题1．已知集合{}26A x x x =-<，{}3,2,1,1,2,3B =---，则A B = （）A ．{}2,1,1,2,3--B ．{}2,1,1,2--C ．{}1,1,2,3-D ．{}1,1,2-2．已知非零实数a ，b 满足a b >，则（）A ．11a b<B ．22a b >C ．33a b >D ．22ac bc >3．在平行四边形ABCD 中，点E 为线段CD 的中点，记AB m = ，AD n = ，则AE =（）A ．12m n- B ．12m n- C ．12m n+ D ．12m n+ 4．已知函数()341x f x x =--，则不等式()0f x >的解集是（）A ．()0,2B ．()(),02,-∞+∞ C ．()1,0-D ．()(),10,-∞-⋃+∞5．已知()1sin 3αβ-=，tan 2tan αβ=，则()sin αβ+=（）A ．3B ．3C ．3D ．16．“3a <”是“不等式220x ax -+≥在()0,∞+上恒成立”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件7．已知函数sin 1y x ω=+（0ω>）与函数1221x xy +=+的图象在区间(2π,2π)-内交点的坐标分别为1122(,)(,),,(,)n n x y x y x y ，则1()ni i i x y =+∑的值可能是（）A ．2B ．4C ．5D ．88．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，21a =，122n n n a a a --=+，（3n ≥），则9S =（）A ．341B ．340C ．61D ．60二、多选题9．已知z 为复数，且210z z ++=，则（）A ．31z =B ．1z z +=C ．1z z -=D ．1z z ⋅=10．已知()332f x x x =-+，则（）A ．()f x 有三个零点B ．()()10104f f -+=C ．当()2,x ∞∈-+时，()0f x ≥D ．曲线=存在两条过点()2,0-的切线11．定义“01数列”{}n a 如下：①{}0,1i a ∈，1,2,,i n = ；②{}n a 共有+m k 项（*,m k ∈N ，m k ≥），其中m 项为0，k 项为1，且对任意的j m k +≤，*j ∈N ，12,,,j a a a 中0的个数不少于1的个数.记“01数列”的个数为(),f m k ，则（）A ．()3,25f =B ．()()()4,44,13,2f f f =+C ．()(),,1f m m f m m =-D ．当m k >时，()()(),,11,f m k f m k f m k =-+-三、填空题12．已知n S 为数列{}n a 的前n 项和，若2n S n =，则2024a 的值为.13．已知函数()f x 的定义域为D ，写出一个同时具有下列性质①②③的函数：.对任意12,x x D ∈，12x x ≠，①若12x x <，12()()f x f x <；②1212()()()f x x f x f x =；③1212()()()22x x f x f x f ++>.14．已知关于x 的方程()sin 1cos 220a x b x b ++++=有解，则22a b +的最小值为.四、解答题15．已知函数()()sin f x A x =+ωϕ（0ω>，π2ϕ<）图象的一个最高点的坐标为π,23⎛⎫⎪⎝⎭，与之相邻的一个对称中心的坐标为7π,012⎛⎫⎪⎝⎭.(1)求()f x 的解析式；(2)若()()121f x f x ==，求12x x -的最小值，16．已知等比数列{}n a 满足1212a a -=，2314a a -=.(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)记数列{}n a 的前n 项和为n S ，前n 项积为n T ，求证：2n n S T +≤.17．在ABC V 中，已知内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，csin cos A a C =，sin(2)A C B -=.(1)求sin B ；(2)若4b =，求ABC V 的面积.18．已知函数()1ln e x f x x -=+.(1)求()f x 的导函数()f x '的极值；(2)不等式()1f x kx ≥-对任意[)1,x ∞∈+恒成立，求k 的取值范围；(3)对任意k ∈R ，直线y kx b =+与曲线()y f x =有且仅有一个公共点，求b 的取值范围.19．已知集合{}1,2,3,,A m = ，其中*m ∈N ，3m ≥.对于集合A 的n （*n ∈N ，3n ≥）元子集B ，若B 中不存在三个元素构成等差数列，则称集合B 为集合A 的“缺等差子集”(1)当5m =时，写出集合A 包含元素1和2的“缺等差子集”；(2)当14m =时，求集合A 的“缺等差子集”元素个数的最大值；(3)当()1312km =+，且2k ≥时，是否存在满足2k n =的集合A 的“缺等差子集”，请说明理由.。
高三9月月考(数学)试题含答案
高三9月月考（数学）（考试总分：150 分）一、 单选题 （本题共计12小题，总分60分）1.（5分）1．已知集合A ＝{x |log 2(x －1)＜0}，B ＝{x |x ≤3}，则∁R A ∩B ＝( )A ．(－∞，1)B ．(2，3)C ．(2，3]D ．(－∞，1]∪[2，3]2.（5分）2．已知i 为虚数单位，且复数z 满足z －2i ＝11－i ，则复数z 在复平面内的点到原点的距离为( )A.132B.262C.102 D.523.（5分）3．已知x 、y 取值如下表：x 0 1 4 5 6 8 y1.3m5.66.17.49.3 从所得的散点图分析可知：y 与x 线性相关，且y ＝0.95x ＋1.45，则m ＝( ) A ．1.5 B ．1.55 C ．1.8 D ．3.54.（5分）4已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π2＝35，－π2<α<π2，则sin 2α的值等于( )A.1225 B ．－1225 C ．－2425 D .24255.（5分） 5．已知互不重合的直线a ，b ，互不重合的平面α，β，给出下列四个命题，错误的命题是( )A ．若a ∥α，a ∥β，α∩β＝b ，则a ∥bB ．若α⊥β，a ⊥α，b ⊥β则a ⊥bC ．若α⊥β，α⊥γ，β∩γ＝a ，则a ⊥αD ．若α∥β，a ∥α，则a ∥β 6.（5分）6．“a ≤－2”是“函数f (x )＝|x －a |在[－1，＋∞)上单调递增”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件7.（5分）7．已知O 为△ABC 内一点，且AO →＝12(OB →＋OC →)，AD →＝tAC →，若B ，O ，D 三点共线，则t 的值为( )A.14B.13C.12D.238.（5分）8．执行如图所示的程序框图，若输出的S 值为－2，则①中应填( )A ．n <98?B ．n <99?C ．n <100?D ．n <101?9.（5分）9．已知点F 1、F 2是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，若双曲线左支上存在点P 与点F 2关于直线y ＝bax 对称，则该双曲线的离心率为( )A.2B.52 C ．2 D.5 10.（5分）10．若实数x 、y 满足xy >0，则x x ＋y ＋2y x ＋2y的最大值为( ) A ．2－2 B ．2＋2 C ．4－22 D ．4＋22 11.（5分）11．曲线y ＝ln x 上的点到直线2x －y ＋3＝0的最短距离是( ) A.4－ln 25 B.4＋ln 25 C.4－ln 25D.4＋ln 2512.（5分）12．已知三棱锥P ABC 的棱AP 、AB 、AC 两两垂直，且长度都为3，以顶点P 为球心，以2为半径作一个球，则球面与三棱锥的表面相交所得到的四段弧长之和等于( ) A ．3π B.3π2 C.4π3 D.5π6 二、 填空题 （本题共计4小题，总分20分）13.（5分）13．已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，前n 项积为T n ，若S 3＝a 2＋4a 1，T 5＝243，则a 1的值为____________．14.（5分）14．已知点Q 在圆C ：x 2＋y 2＋2x －8y ＋13＝0上，抛物线y 2＝8x 上任意一点P 到直线l ：x ＝－2的距离为d ，则d ＋|PQ |的最小值等于________． 15.（5分）15．“克拉茨猜想”又称“3n ＋1猜想”，是德国数学家洛萨·克拉茨在1950年世界数学家大会上公布的一个猜想：任给一个正整数n ，如果n 是偶数，就将它减半；如果n 为奇数就将它乘3加1，不断重复这样的运算，经过有限步后，最终都能够得到1.己知正整数m 经过6次运算后得到1，则m 的值为________． 16.（5分）16．已知偶函数f (x )满足f (x －1)＝f (x ＋1)，且当x ∈[0，1]时，f (x )＝x 2，若关于x 的方程f (x )＝|log a |x ||(a >0，a ≠1)在[－2，3]上有5个根，则a 的取值范围是________．三、 解答题 （本题共计6小题，总分70分）17.（10分）17．(本小题满分10分)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，设m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋A ，cos 2A －cos 2B ，n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－A ，且m ∥n .(1)求角B 的值；(2)若△ABC 为锐角三角形，且A ＝π4，外接圆半径R ＝2，求△ABC 的周长． 18.（12分）18.(本小题满分12分)甲、乙两俱乐部举行乒乓球团体对抗赛．双方约定：①比赛采取五场三胜制(先赢三场的队伍获得胜利，比赛结束)；②双方各派出三名队员，前三场每位队员各比赛一场．已知甲俱乐部派出队员A 1、A 2、A 3，其中A 3只参加第三场比赛，另外两名队员A 1、A 2比赛场次未定；乙俱乐部派出队员B 1、B 2、B 3，其中B 1参加第一场与第五场比赛，B 2参加第二场与第四场比赛，B 3只参加第三场比赛．根据以往的比赛情况，甲俱乐部三名队员对阵乙俱乐部三名队员获胜的概率如下表：(1)12得取胜的概率最大？(2)若A 1参加第一场与第四场比赛，A 2参加第二场与第五场比赛，各队员每场比赛的结果互不影响，设本次团体对抗赛比赛的场数为随机变量X ，求X 的分布列及数学期望E (X )．19.（12分）19．(本小题满分12分)如图，在四棱锥P ABCD 中，底面四边形ABCD 内接于圆O ，AC 是圆O 的一条直径，P A ⊥平面ABCD ，P A ＝AC ＝2，E 是PC 的中点，∠DAC ＝∠AOB .(1)求证：BE ∥平面P AD ；(2)若二面角P CD A 的正切值为2，求直线PB 与平面PCD 所成角的正弦值． 20.（12分）20．(本小题满分12分)已知圆E ：x 2＋⎝⎛⎭⎫y －122＝94经过椭圆C ：x 2a 2＋y2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点F 1，F 2且与椭圆C 在第一象限的交点为A ，且F 1，E ，A 三点共线．直线l 交椭圆C 于M ，N 两点，且MN →＝λOA →(λ≠0)．(1)求椭圆C 的方程；(2)当△AMN 的面积取到最大值时，求直线l 的方程．21．21.（12分）(本小题满分12分)已知椭圆C 1：x 26＋y 2b 2＝1(b >0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，点F 2也为抛物线C 2：y 2＝8x 的焦点，过点F 2的直线l 交抛物线C 2于A ，B 两点． (1)若点P (8，0)满足|P A |＝|PB |，求直线l 的方程；(2)T 为直线x ＝－3上任意一点，过点F 1作TF 1的垂线交椭圆C 1于M ，N 两点，求|TF 1||MN |的最小值．22.（12分）已知函数f (x )＝ax －12x 2－b ln(x ＋1)(a >0)，g (x )＝e x －x －1，曲线y ＝f (x )与y ＝g (x )在原点处有公共的切线．(1)若x ＝0为函数f (x )的极大值点，求f (x )的单调区间(用a 表示)； (2)若∀x ≥0，g (x )≥f (x )＋12x 2，求a 的取值范围．答案一、 单选题 （本题共计12小题，总分60分）1.（5分）1．解析：选D.由集合A ＝{x |log 2(x －1)＜0}＝{x |1＜x ＜2}，则∁R A ＝{x |x ≤1或x ≥2}，又B ＝{x |x ≤3}，所以∁R A ∩B ＝(－∞，1]∪[2，3]．2.（5分）2．解析：选B.由z －2i ＝11－i ，得z ＝2i ＋11－i ＝2i ＋1＋i （1－i ）（1＋i ）＝12＋52i ，所以复数z 在复平面内的点的坐标为⎝⎛⎭⎫12，52，到原点的距离为14＋254＝262.故选B.3.（5分）3．解析：选 C.由题意知x －＝0＋1＋4＋5＋6＋86＝4，y －＝1.3＋m ＋5.6＋6.1＋7.4＋9.36＝29.7＋m6，将⎝⎛⎭⎪⎫4，29.7＋m 6代入y ^＝0.95x ＋1.45中，得29.7＋m 6＝0.95×4＋1.45，解得m ＝1.8. 4.（5分）4．解析：选C.因为cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π2＝35，所以sin α＝－35，又－π2<α<π2，所以cos α＝45，所以sin 2α＝2sin αcos α＝2×⎝⎛⎭⎫－35×45＝－2425，5.（5分）5．解析：选D. A 中，由线面平行的判定和性质得满足条件的直线a ，b 平行，故正确．B 中，满足条件的直线a ，b 垂直，故正确．C 中，由面面垂直的性质可得，交线a 与α垂直，故正确．D 中，直线a 与β可能平行，也可能在β内，故不正确．综上D 不正确．答案D. 6.（5分）解析：选A.结合图象可知函数f (x )＝|x －a |在[a ，＋∞)上单调递增，易知当a ≤－2时，函数f (x )＝|x －a |在[－1，＋∞)上单调递增，但反之不一定成立，故选A.7.（5分）7．解析：选B.设线段BC 的中点为M ，则OB →＋OC →＝2OM →，因为2AO →＝OB →＋OC →，所以AO →＝OM →，则AO →＝12AM →＝14(AB →＋AC →)＝14(AB →＋1t AD →)＝14AB →＋14t AD →，由B ，O ，D 三点共线，得14＋14t ＝1，解得t ＝13.故选B.8.（5分）8．解析：选B.由题意知，该程序框图的功能是计算S ＝lg 12＋lg 23＋…＋lgnn ＋1＝－lg(n ＋1)，当n ＝98时，S ＝－lg 99>－2；当n ＝99时，S ＝－lg 100＝－2，跳出循环，故①中应填n <99?故选B.9.（5分）解析：选D.如图所示，点P 与点F 2关于直线y ＝ba x 对称，所以|OP |＝|OF 2|＝|OF 1|＝c ，所以PF 1⊥PF 2，tan ∠PF 1F 2＝ba ，又|F 1F 2|＝2c ，所以|PF 2|＝2b ，|PF 1|＝2a ，又因为点P 在双曲线上，所以|PF 2|－|PF 1|＝2a ，即2b －2a ＝2a ，b ＝2a ，故e ＝ca＝ 5.10.（5分）10．解析：选C. x x ＋y ＋2yx ＋2y ＝x （x ＋2y ）＋2y （x ＋y ）（x ＋y ）（x ＋2y ）＝x 2＋4xy ＋2y 2x 2＋3xy ＋2y 2＝1＋xyx 2＋3xy ＋2y 2＝1＋1x y ＋3＋2y x ≤1＋13＋22＝4－22，当且仅当x y ＝2y x ，即x 2＝2y 2时取等号． 11.（5分）11．解析：选D.因为直线2x －y ＋3＝0的斜率为2，所以令y ′＝1x ＝2，解得x ＝12，把x ＝12代入曲线方程得y ＝－ln 2，即曲线在点⎝⎛⎭⎫12，－ln 2处的切线斜率为2，⎝⎛⎭⎫12，－ln 2到直线2x －y ＋3＝0的距离d ＝|1＋ln 2＋3|22＋（－1）2＝4＋ln 25，故曲线y ＝ln x 上的点到直线2x －y ＋3＝0的最短距离是4＋ln 25.12.（5分）12．解析：选B.如图所示，Rt △P AC ，Rt △P AB 为等腰直角三角形，且AP ＝AB ＝AC ＝ 3.以顶点P 为球心，以2为半径作一个球与Rt △P AC 的PC ，AC 分别交于点M ，N ，得cos ∠APN ＝32，所以∠APN ＝π6，所以∠NPM ＝π12，所以MN ︵＝π12×2＝π6，同理GH ︵＝π6，HN ︵＝π2×1＝π2，又GM ︵是以顶点P 为圆心，以2为半径的圆的周长的16，所以GM ︵＝2π×26＝2π3， 所以球面与三棱锥的表面相交所得到的四段孤长之和等于π6＋π6＋π2＋2π3＝9π6＝3π2.故选B.二、 填空题 （本题共计4小题，总分20分）13.（5分）解析：由已知，S 3＝a 1＋a 2＋a 3＝a 2＋4a 1，则a 3＝3a 1，所以q 2＝3.又T 5＝a 1a 2a 3a 4a 5＝a 53＝243，所以a 3＝a 1q 2＝3，a 1＝1.故答案为1.14.（5分）解析：抛物线y 2＝8x 的焦点为F (2，0)，故直线l ：x ＝－2为抛物线的准线，由抛物线的定义可知，d ＝|PF |.圆C 的方程可变形为(x ＋1)2＋(y －4)2＝4，圆心为C (－1，4)，半径r ＝2.如图所示，d ＋|PQ |＝|PF |＋|PQ |.显然，|PF |＋|PQ |≥|FQ |(当且仅当F ，P ，Q 三点共线，且点P 在点F ，Q 之间时取等号)．而|FQ |为圆C 上的动点Q 到定点F 的距离，显然当Q 处在Q ′的位置，P 处在P ′的位置时，|FQ |取得最小值，且最小值为|CF |－r ＝（－1－2）2＋（4－0）2－2＝ 5－2＝3.答案：315.（5分）15．解析：如果正整数m 按照上述规则经过6次运算得到1，则经过5次运算后得到的一定是2；经过4次运算后得到的一定是4；经过3次运算后得到的为8或1；经过2次运算后得到的是16；经过1次运算后得到的是5或32；所以开始时的数为10或64.所以正整数m 的值为10或64.故答案为1,8,10或64.16.（5分）解析：由f (x －1)＝f (x ＋1)得函数f (x )的最小正周期T ＝2，根据函数的奇偶性、周期性画出函数f (x )在[－2，3]上的图象，然后再画函数g (x )＝|log a |x ||的图象，如图所示，使它们有5个交点即可，当a >1时，只要保证log a 3≤1即可，解得a ≥3，当0<a <1时，只要保证－log a 3≤1即可，即log a 3≥－1，解得0<a ≤13， 综上a ∈⎝⎛⎦⎤0，13∪[)3，＋∞.三、 解答题 （本题共计6小题，总分70分）17.（10分）17．解：(1)由m ∥n ，得cos 2A －cos 2B ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋A cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－A ，即2sin 2B －2sin 2A ＝2⎝⎛⎭⎫34cos 2A －14sin 2A ，化简得sin B ＝32，故B ＝π3或2π3.(2) 易知B ＝π3，则由A ＝π4，得C ＝π－(A ＋B )＝5π12.由正弦定理a sin A ＝bsin B ＝csin C ＝2R ， 得a ＝4sin π4＝22，b ＝4sin π3＝23，c ＝4sin 5π12＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋π6＝4×⎝⎛⎭⎪⎫22×32＋12×22＝6＋2， 所以△ABC 的周长为6＋23＋3 2.18.（12分）18.解：(1)设A 1、A 2分别参加第一场、第二场，则P 1＝56×23×23＝1027，设A 2、A 1分别参加第一场、第二场，则P 2＝34×23×23＝13，所以P 1>P 2， 所以甲俱乐部安排A 1参加第一场，A 2参加第二场，则甲俱乐部以3∶0取胜的概率最大．(2)比赛场数X 的所有可能取值为3、4、5， P (X ＝3)＝56×23×23＋16×13×13＝718，P (X ＝4)＝56C 12×23×13×23＋16×⎝⎛⎭⎫233＋16C 12×13×23×13＋56×⎝⎛⎭⎫133＝1954，P (X ＝5)＝1－P (X ＝3)－P (X ＝4)＝727， 所以X 的分布列为X 3 4 5 P7181954727所以E (X )＝3×718＋4×1954＋5×727＝20954.19.（12分）19．解：(1)证明：因为∠DAC ＝∠AOB ，所以AD ∥OB .因为E 为PC 的中点，O 为圆心，连接OE ，所以OE ∥P A ，又OB ∩OE ＝O ，P A ∩AD ＝A ，所以平面P AD ∥平面EOB ， 因为BE ⊂平面EOB ，所以BE ∥平面P AD .(2)因为四边形ABCD 内接于圆O 且AC 为直径，所以AD ⊥CD ，又P A ⊥平面ABCD ，所以P A ⊥CD ，又P A ∩AD ＝A ，所以CD ⊥平面P AD ，所以CD ⊥PD ，所以∠PDA 是二面角P CD A 的平面角，因为tan ∠PDA ＝2，P A ＝2，所以AD ＝1， 如图，以D 为坐标原点，DA 所在的直线为x 轴，DC 所在的直线为y 轴，过点D 且垂直于平面ABCD 的直线为z 轴建立空间直角坐标系D xyz .P A ＝AC ＝2，AD ＝1，延长BO 交CD 于点F ，因为BO ∥AD ，所以BF ⊥CD ，又因为BF ＝BO ＋OF ，所以BF ＝1＋12＝32，又CD ＝3，所以DF ＝32，所以P (1，0，2)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，32，0， C (0，3，0)，设平面PCD 的法向量n ＝(x ，y ，z )，因为⎩⎪⎨⎪⎧n ·CP →＝0，n ·DC →＝0.所以⎩⎨⎧（x ，y ，z ）·（1，－3，2）＝0，（x ，y ，z ）·（0，3，0）＝0，即⎩⎨⎧x －3y ＋2z ＝0，3y ＝0.令z ＝1，则x ＝－2，y ＝0.所以n ＝(－2，0，1)是平面PCD 的一个法向量，又PB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，－2，所以|cos 〈PB →，n 〉|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪PB →·n |PB →||n |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪－1＋0－25×5＝35， 所以直线PB 与平面PCD 所成角的正弦值为35.20.（12分）20．解：(1)因为F 1，E ，A 三点共线，所以F 1A 为圆E 的直径，所以AF 2⊥F 1F 2.由x 2＋⎝⎛⎭⎫0－122＝94，得x ＝±2，所以c ＝2，|AF 2|2＝|AF 1|2－|F 1F 2|2＝9－8＝1，2a ＝|AF 1|＋|AF 2|＝4，所以a ＝2.因为a 2＝b 2＋c 2，所以b ＝2，所以椭圆C 的方程为x 24＋y 22＝1.(2)由题知，点A 的坐标为(2，1)，因为MN →＝λOA →(λ≠0)，所以直线的斜率为22， 故设直线l 的方程为y ＝22x ＋m ，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝22x ＋m x 24＋y22＝1得，x 2＋2mx ＋m 2－2＝0，设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，所以x 1＋x 2＝－2m ，x 1x 2＝m 2－2，Δ＝2m 2－4m 2＋8>0，所以－2<m <2.又|MN |＝1＋k 2|x 2－x 1|＝1＋12（x 1＋x 2）2－4x 1x 2＝12－3m 2，点A 到直线l的距离d ＝6|m |3， 所以S △AMN ＝12 |MN |·d ＝1212－3m 2×63 |m |＝22（4－m 2）m 2≤22×4－m 2＋m 22＝2，当且仅当4－m 2＝m 2，即m ＝±2时等号成立，此时直线l 的方程为y ＝22x ± 2. 21.（12分）21．解：(1)由抛物线C 2：y 2＝8x 得F 2(2，0)，当直线l 的斜率不存在，即l ：x ＝2时，满足题意．当直线l 的斜率存在时，设l ：y ＝k (x －2)(k ≠0)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎨⎧y 2＝8x ，y ＝k （x －2）得k 2x 2－(4k 2＋8)x ＋4k 2＝0，所以x 1＋x 2＝4k 2＋8k 2，y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)－4k ＝8k .设AB 的中点为G ，则G ⎝ ⎛⎭⎪⎫2k 2＋4k2，4k ，因为|P A |＝|PB |，所以PG ⊥l ，k PG ·k ＝－1，所以4k －02k 2＋4k 2－8·k ＝－1， 解得k ＝±2，则y ＝±2(x －2)，所以直线l 的方程为y ＝±2(x －2)或x ＝2.(2)因为F 2(2，0)，所以F 1(－2，0)，b 2＝6－4＝2，所以椭圆C 1：x 26＋y 22＝1.设点T 的坐标为(－3，m )，则直线TF 1的斜率kTF 1＝m －0－3＋2＝－m ，当m ≠0时，直线MN 的斜率k MN ＝1m ， 直线MN 的方程是x ＝my －2，当m ＝0时，直线MN 的方程是x ＝－2，也符合x ＝my －2的形式，所以直线MN 的方程是x ＝my －2.设M (x 3，y 3)，N (x 4，y 4)，则联立⎩⎪⎨⎪⎧x 26＋y 22＝1x ＝my －2，得(m 2＋3)y 2－4my －2＝0，所以y 3＋y 4＝4m m 2＋3，y 3y 4＝－2m 2＋3 .|TF 1|＝m 2＋1，|MN |＝（x 3－x 4）2＋（y 3－y 4）2 ＝（m 2＋1）[（y 3＋y 4）2－4y 3y 4]＝24（m 2＋1）m 2＋3 .所以|TF 1||MN |＝124×（m 2＋3）2m 2＋1＝124⎝ ⎛⎭⎪⎫m 2＋1＋4m 2＋1＋4≥33，当且仅当m 2＋1＝4m 2＋1，即m ＝±1时，等号成立，此时|TF 1||MN |取得最小值33.22.（12分）22.解：(1)由题意知，f (x )的定义域为x ∈(－1，＋∞)，且f ′(x )＝a －x －b x ＋1，g ′(x )＝e x －1， 因为曲线y ＝f (x )与y ＝g (x )在原点处有公共的切线，故f ′(0)＝g ′(0)，解得a ＝b ，所以f (x )＝ax －12 x 2－a ln(x ＋1)，f ′(x )＝a －x －a x ＋1＝－x 2＋（a －1）x x ＋1＝－x [x －（a －1）]x ＋1， 当a ＝1时，f ′(x )≤0，函数f (x )在定义域上是减函数，故不满足题意；当a ≠1时，因为x ＝0为函数f (x )的极大值点，故由y ＝－x 2＋(a －1)x 的图象可知a －1<0，由f ′(x )<0得x ∈(－1，a －1)∪(0，＋∞)，由f ′(x )>0得x ∈(a －1，0)，所以函数f (x )的单调递增区间为(a －1，0)，单调递减区间为(－1，a －1)，(0，＋∞)．(2)因为g ′(x )＝e x －1，且当－1<x <0时，g ′(x )<0，当x >0时，g ′(x )>0，故当x ＝0时，g (x )取得最小值0，所以g (x )≥0，即e x ≥x ＋1，从而x ≥ln(x ＋1)．设F (x )＝g (x )－f (x )－12x 2＝e x ＋a ln(x＋1)－(a ＋1)x －1，则F ′(x )＝e x ＋a x ＋1－(a ＋1)， ①当a ＝1时，因为x ≥0，所以F ′(x )≥x ＋1＋a x ＋1－(a ＋1)＝x ＋1＋1x ＋1－2≥0，所以F (x )在[0，＋∞)上单调递增，从而F (x )≥F (0)＝0，即e x ＋ln(x ＋1)－2x －1≥0，所以g (x )≥f (x )＋12x 2.②当0<a <1时，由①知e x ＋ln(x ＋1)－2x －1≥0，所以g (x )＝e x －x －1≥x －ln(x ＋1)≥a [x －ln(x ＋1)]，故F (x )≥0，即g (x )≥f (x )＋12x 2.③当a >1时，令h (x )＝e x ＋a x ＋1－(a ＋1)，则h ′(x )＝e x －a （x ＋1）2. 显然h ′(x )在[0，＋∞)上单调递增，又h ′(0)＝1－a <0，h ′(a －1)＝e a －1－1>0，所以h ′(x )在(0，a －1)上存在唯一零点x 0，当x ∈(0，x 0)时，h ′(x )<0，所以h (x )在(0，x 0)上单调递减，从而h (x )<h (0)＝0，即F ′(x )<0，所以F (x )在(0，x 0)上单调递减，从而当x ∈(0，x 0)时，F (x )<F (0)＝0，即g (x )<f (x )＋12x 2，不符合题意．综上，实数a 的取值范围为(0，1]．。
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山东省临沂市数学高三理数 9 月月考试卷
姓名:________
班级:________
成绩:________
一、 单选题 (共 12 题；共 24 分)
1. （2 分） 已知合集 U=R，集合 A . （1，2） B . [1,2) C.
，则集合
是（ ）
D.
2. （2 分） 设 l，m，n 均为直线，其中 m，n 在平面 内，“ ”是“ 且 ”的（ ） A . 充分不必要条件 B . 必要不充分条件 C . 充分必要条件 D . 既不充分也不必要条件 3. （2 分） 已知 a=log20.3，b=20.1 ， c=0.21.3 ， 则 a，b，c 的大小关系是（ ）
A . a＜b＜c
B . c＜a＜b
C . a＜c＜b
D . b＜c＜a
4. （2 分） 已知命题 p:a,b ,则|a|+|b|>1 是|a+b|>1 的充分不必要条件;命题 q:已知 A,B,C 是锐角三角形
ABC 的三个内角,向量
,
,则 与 的夹角是锐角,则（ ）
A . p假q真 B . p 且 q 为真
第 1 页 共 11 页
C . p真q假 D . p 或 q 为假
5. （2 分） (2019 高一上·湖南月考) 已知函数
、 、 ，且 A.
，求
B.
，若 的取值范围（ ）
有四个不等实根 、
C.
D.
6. （2 分） (2019 高二上·晋江月考) 已知 M，N 分别是四面体 OABC 的棱 OA，BC 的中点，点 P 在线段 MN 上，
且
，设向量
，
，
则
（）
A. B. C. D.
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7. （2 分） (2020·大庆模拟) 单位后得到的函数为奇函数则函数
的图象（ ）
的最小正周期为 π，若其图象向左平移 个
A . 关于点
对称
B . 关于点
对称
C . 关于直线
对称
D . 关于直线
对称
8. （2 分） 已知向量 =(cosx-sinx,2cosx)， =(cosx+sinx,sinx) 是（ ）
A . 周期为 π 的偶函数 B . 周期为 π 的奇函数
C . 周期为 的偶函数
D . 周期为 的奇函数
9. （ 2 分 ） (2019 高 一 下 · 吉 林 月 考 ) 在
中，角
A.3
，且
，则
的面积
（）
， 则函数 f(x)=（ ） 2-1
所对的边分别为
，若
B.
C. D.
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10. （2 分） (2019 高一上·重庆月考) 函数
的单调递减区间为（ ）
A. B.
C. D.
11. （2 分） (2020 高一上·长春期末) 将函数
再向右平移 个单位长度，得到函数
的图象，则
A.
图象上所有点的横坐标缩短为原来的 ， 图象的一条对称轴是直线（ ）
B.
C.
D.
12. （2 分） (2019 高一上·南海月考) 若定义域为 的偶函数
在
的解集为（ ）
A.
B.
上是增函数，则不等式
C. D.
二、 填空题 (共 4 题；共 4 分)
第 4 页 共 11 页
13.（1 分）(2019 高二上·桂林月考) 已知向量
，
，若
，则实数 等于________
14. （1 分） (2018 高三上·定远期中) 若
，
，则
=________
15. （1 分） (2019 高三上·衡阳月考) 在平行六面体
，
， 、 分别是棱
和
（用弧度表示）
中， 的中点，则 与
， 所成角为________；
16. （1 分） (2019 高一上·永春月考) 在极坐标系中，若点 A、B 的极坐标分别为 （ 为极点）的面积等于________．
三、 解答题 (共 6 题；共 35 分)
17. （5 分） 已知函数 f(x)=
.
（1） 当 a>0 时，解关于 x 的不等式 f(x)<0；
（2） 若当 a>0 时，f(x)<0 在 x
[1,2]上恒成立，求实数 a 的取值范围.
18. （5 分） （1） 求 ；
的内角
的对边分别为
，且
，
，则
．
（2） 若
，点 在 边上，
，
19. （5 分） 已知函数
．
（1） 求函数 f（x）的最小正周期和单调区间；
，求
的面积．
（2） 设锐角△ABC 的三个内角 A、B、C 的对应边分别是 a，b，c，若
，
﹣ ，求 b．
20. （10 分） (2020 高一下·海淀期中) 如图,在等腰直角三角形
中,
在线段 PQ 上.
，f（ ） = ,点 M
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（1） 若
,求 PM 的长；
（2） 若点 在线段
上,且
21. （5 分） (2019·河西模拟) 已知函数
（1） 当
时，若对任意
均有
,求△
的面积. ．
成立，求实数 的取值范围；
（2） 设直线 与曲线
和曲线
相切，切点分别为
,
，其中
．
①求证：
；
②当
时，关于 的不等式
恒成立，求实数 取值范围．
22. （5 分） (2015 高二上·集宁期末) 已知函数 f（x）=x3+bx2+cx 的极值点为 x=﹣ 和 x=1 （1） 求 b，c 的值与 f（x）的单调区间 （2） 当 x∈[﹣1，2]时，不等式 f（x）＜m 恒成立，求实数 m 的取值范围．
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一、 单选题 (共 12 题；共 24 分)
1-1、 2-1、 3-1、 4-1、 5-1、 6-1、 7-1、 8-1、 9-1、 10-1、 11-1、 12-1、
二、 填空题 (共 4 题；共 4 分)
13-1、 14-1、 15-1、
参考答案
第 7 页 共 11 页
16-1、
三、 解答题 (共 6 题；共 35 分)
17-1、
17-2、
18-1、
第 8 页 共 11 页
18-2、
19-1、
19-2、
20-1、
20-2
、
第 9 页 共 11 页
21-1、
21-2、
第 10 页 共 11 页
22-1、
22-2、
第11 页共11 页。