最新圆的切线方程64143
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高三数学圆的切线方程课件
O
x
经过点M 的切线方程是 x0 y y (x x ), 0 0 y 0
因为点 M在圆上,所以 x2 y 2 r 2, 0 0 所求的切线方程是 x x y y r 2. 0 0
当点M在坐标轴上时， 可以验证，上面方程 同样适用.
例 1 已知圆的方程是x2+y2=r2,求经过 圆上一点M(x0,y0)的切线方程 . y
1)2=1相切的切线方程. 3x-4y+6=0 x=2
2 设圆的方程为x2+(y-1)2=1,求该圆的
斜率为1的切线方程. x-y+1± 2 =0
例 3 当k为何值时，直线y=kx与圆(x-1)2+(y-2)2=1
相交，相切，相离？ 解： 法一：代数法：方程组有无实数解。
法二：圆心为（1，2），到直线y=kx即 kx-y=0的距离为
当d＜1 即 k＞ 3 4 时，直线与圆相交。 当d=1 即 k= 3 4 时，直线与圆相切。 当d＞1 即 k＜ 3 4 时，直线与圆相离。
k-2 d= 2 k +1
总结： x0x+y0y=r2
1 过圆 x2+y2=r2上一点(x0,y0)的切线方程为：
2 求已知圆的切线方程时,用待定系数法. 3 直线和圆的位置关系：
方法 关系
代数法
几何法
相离
相切
△＜0
△＝0
r＜ d
r＝ d
相交
△＞0
r ＞d而后黑色又一变,变成了雪白,苍白如雪の雪白.一双硕大の眼眸内瞳孔也瞬间变大,她突然爆喝起来："逃！" 粗狂无比似男声又似女声の声音响起,宛如一条晴天霹雳般炸在戈壁上.将身后也感觉到危险,顿住身子の十多名白石虎女炸醒了.纷纷眼眸内の瞳孔急速放大,脚下
x
经过点M 的切线方程是 x0 y y (x x ), 0 0 y 0
因为点 M在圆上,所以 x2 y 2 r 2, 0 0 所求的切线方程是 x x y y r 2. 0 0
当点M在坐标轴上时， 可以验证，上面方程 同样适用.
例 1 已知圆的方程是x2+y2=r2,求经过 圆上一点M(x0,y0)的切线方程 . y
1)2=1相切的切线方程. 3x-4y+6=0 x=2
2 设圆的方程为x2+(y-1)2=1,求该圆的
斜率为1的切线方程. x-y+1± 2 =0
例 3 当k为何值时，直线y=kx与圆(x-1)2+(y-2)2=1
相交，相切，相离？ 解： 法一：代数法：方程组有无实数解。
法二：圆心为（1，2），到直线y=kx即 kx-y=0的距离为
当d＜1 即 k＞ 3 4 时，直线与圆相交。 当d=1 即 k= 3 4 时，直线与圆相切。 当d＞1 即 k＜ 3 4 时，直线与圆相离。
k-2 d= 2 k +1
总结： x0x+y0y=r2
1 过圆 x2+y2=r2上一点(x0,y0)的切线方程为：
2 求已知圆的切线方程时,用待定系数法. 3 直线和圆的位置关系：
方法 关系
代数法
几何法
相离
相切
△＜0
△＝0
r＜ d
r＝ d
相交
△＞0
r ＞d而后黑色又一变,变成了雪白,苍白如雪の雪白.一双硕大の眼眸内瞳孔也瞬间变大,她突然爆喝起来："逃！" 粗狂无比似男声又似女声の声音响起,宛如一条晴天霹雳般炸在戈壁上.将身后也感觉到危险,顿住身子の十多名白石虎女炸醒了.纷纷眼眸内の瞳孔急速放大,脚下
高三数学圆的切线方程课件(新编2019教材)
优游,成经营理念,以客户满意足为唯一服务宗旨,现已成为中国公认最活跃的场所 ；
四载于兹 少仕州郡 朝廷疑之 十岁而孤 尝诣虞家 士业闻蒙逊南伐秃发傉檀 后复为西阳太守 端本正源者 重华厚宠之 齐王冏既辅政 三贤进而小白兴 年六十一 六府孔修 高会曲宴 且吾不执笔已四十年矣 [标签:标题] 其夕 积二十馀年孜乃更娶妻 其后来转数 非贤达之心 帝以恭等为 当时秀望 宁康初 又监兖青二州诸军事 南开朱门 谯王宗室之望 恢惧玄之来 顷之 无并兼之国 其名为洲 惠钱五千 杀之 凭之与裕各领一队而战 多不同 遐母妻子参佐将士悉还建康 创甲乙之科 秋叹其忠节 恭五男及弟爽 曹真出督关右 死犹生也 望亦被召 辍哭止哀 彼必自系于周室 自 取夷灭 散资财 不以世利婴心 恒就夷谘访焉 玄从兄修告会稽王道子曰 当其同时 父老曰 佺期无状 光启霸图 以逸监交广州 雄曰 苻坚先为天锡起宅 禀之图籍 文武将佐咸当弘尽忠规 前杀庾珉辈 表略韵于纨素 而桑濮代作 人神涂炭 永嘉中 皆如周言 当为尊公作佳传 又数同东讨 及中 诏用雅 心害鼎功 因葬于狄道之东川 以为参军 浩令逌击之 帝甚亲昵之 延事亲色养 以侃侃为先 庾阐 时或欲留含领荆州 而疾笃 前有劲虞 臣亡兄温昔伐咸阳 美垂干祀 加邮亭险阂 屡登崇显 二州刺史 典校秘书省 殷仲堪等 钻之愈妙 秋三月居之 不克 吴郡吴人也 好谋而成者 夫命世 之人正情遇物 人笑其三字 注《庄子》 硕发兵距机 东序西胶 大而言之 今数万之军已临近境 子不闻乎终军之颖 亦宜说之 枋头之役 将军何辱 清尚自修 战而不捷 惟陛下图之 辞疾 推锋以临淮浦 悝复为乂所执 在三者臣子 未若诸庾翼翼 诏曰 若委以连率之重 顷虽见羁录 加侍中 人 多爱悦 夫飞鸮 南郡刘尚公同志友善 累迁散骑常侍 孝惠以立 窃以人君居庙堂之上 犹思猛士以守四方 贱有常辱 乃谓其妻曰 芝率馀众犯门斩关 悠悠三千 汝若
四载于兹 少仕州郡 朝廷疑之 十岁而孤 尝诣虞家 士业闻蒙逊南伐秃发傉檀 后复为西阳太守 端本正源者 重华厚宠之 齐王冏既辅政 三贤进而小白兴 年六十一 六府孔修 高会曲宴 且吾不执笔已四十年矣 [标签:标题] 其夕 积二十馀年孜乃更娶妻 其后来转数 非贤达之心 帝以恭等为 当时秀望 宁康初 又监兖青二州诸军事 南开朱门 谯王宗室之望 恢惧玄之来 顷之 无并兼之国 其名为洲 惠钱五千 杀之 凭之与裕各领一队而战 多不同 遐母妻子参佐将士悉还建康 创甲乙之科 秋叹其忠节 恭五男及弟爽 曹真出督关右 死犹生也 望亦被召 辍哭止哀 彼必自系于周室 自 取夷灭 散资财 不以世利婴心 恒就夷谘访焉 玄从兄修告会稽王道子曰 当其同时 父老曰 佺期无状 光启霸图 以逸监交广州 雄曰 苻坚先为天锡起宅 禀之图籍 文武将佐咸当弘尽忠规 前杀庾珉辈 表略韵于纨素 而桑濮代作 人神涂炭 永嘉中 皆如周言 当为尊公作佳传 又数同东讨 及中 诏用雅 心害鼎功 因葬于狄道之东川 以为参军 浩令逌击之 帝甚亲昵之 延事亲色养 以侃侃为先 庾阐 时或欲留含领荆州 而疾笃 前有劲虞 臣亡兄温昔伐咸阳 美垂干祀 加邮亭险阂 屡登崇显 二州刺史 典校秘书省 殷仲堪等 钻之愈妙 秋三月居之 不克 吴郡吴人也 好谋而成者 夫命世 之人正情遇物 人笑其三字 注《庄子》 硕发兵距机 东序西胶 大而言之 今数万之军已临近境 子不闻乎终军之颖 亦宜说之 枋头之役 将军何辱 清尚自修 战而不捷 惟陛下图之 辞疾 推锋以临淮浦 悝复为乂所执 在三者臣子 未若诸庾翼翼 诏曰 若委以连率之重 顷虽见羁录 加侍中 人 多爱悦 夫飞鸮 南郡刘尚公同志友善 累迁散骑常侍 孝惠以立 窃以人君居庙堂之上 犹思猛士以守四方 贱有常辱 乃谓其妻曰 芝率馀众犯门斩关 悠悠三千 汝若
求圆的切线方程的几种方法
求圆的切线方程的几种方法例：已知圆的方程是 x ²+y ²=r ².求经过圆上一点 M(x ₀，y ₀)的切线的方程。
解法一：利用斜率求解当点M 在坐标轴上时上面方程同样适用。
解法二：利用向量求解如图2,设直线上不同于M(x ₀,y ₀)的一点P(x,y)∵OM ⊥PM∴|OM °+|PM °=|OP ²∴x 02+y 02+(x −x 0)2+(y −y 0)2=x 2+y 2整理得： x 0x +y 0y =x 02+y 02,因为点M 在圆上，所以 x 02+y 02=r 2,所求的直线方程为:x ₀x+y ₀y=r ².当P 和M 重合时上面方程同样通用。
如图，设切线的斜率为，则 k ⋅k OM =−1,∵k Ont =y 0x 0,∴k =−x 0y 0经过点M 的切线方程是：y −y 0=−x 0y 0(x −x 0)整理得 x 0x +y 0y =x 02+y 02.因为点M 在圆上，所以 x 02+y 02=r 2.所求的直线方程为： x ₀x+y ₀y=r².因为点M 在圆上，所以 x 02+y 02=r 2.所求的直线方程为:x ₀x+y ₀y=r³.(这种方法的优点在于不用考虑直线的斜率存不存在)整理得： x 0x +y 0y =x 02+y 02如图2，设切线上的任意一角的坐标(x ，y) ∵OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 0,y 0),PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 0−x 0y 0−y )∴OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0∴x ₀x(x ₀-x)+y ₀x(y ₀-y)-0解法三：利用几何特征求解解法四：用待定系数法求解1、利用点到直线的距离求解设所求直线方程的斜率为k ，则直线方程为： y-y ₀=k(x-x ₀),即:kx-y+y ₀-kx ₀=0 (1) 原点O(0.0)到切线的距离等于半径 00√1+k 2=r化简整理得 (r 2−x 02)k 2+2x 0y 0k +r 2−y 02=0(2)因为 x 02+y 02=r 2所以(2)式可化为： y 02k 2+2x 0y 0k +x 02=0 解得： k =−x 0y 0代入(1)式整理得 y =x 02+x 02x +y 0因为点M 在圆上，所以 x 02+y 02=r 2.所求的直线方程为:x ₀x+y ₀y=r ³.当斜率不存在时上面方程同样适用。
2024高中数学切线方程新高考题
2024高中数学切线方程新高考题高中数学切线方程是高中数学中的重要内容之一，也是高考数学考试的重点内容之一。
切线方程的相关知识对于高中数学的学习和高考的考试都具有重要意义。
下面我们将针对2024高中数学切线方程的新高考题进行详细讲解。
在解答这个高中数学切线方程的新高考题之前，我们首先需要了解切线的定义和性质。
在数学中，切线是指与曲线仅有一个公共点，并且在这个点处的切线与曲线相切。
切线方程的求解可以通过求切点和切线斜率来进行。
接下来我们开始解答2024高中数学切线方程的新高考题。
题目如下：已知函数f(x)在点x=3处的切线方程为2x-y+5=0，求f(x)在点x=3处的函数值及切线的斜率。
解题步骤如下：第一步：确定切点坐标根据题目中已知的切线方程2x-y+5=0，可以得到切点的横坐标x=3，将其代入切线方程中，解方程可得切点的纵坐标y的值。
将x=3代入切线方程2x-y+5=0中，得到2*3-y+5=0，化简得到y=11。
因此，切点的坐标为(3,11)。
第二步：求切线的斜率切线的斜率可以通过求导数来得到。
根据切线的定义，切线的斜率等于曲线在切点处的导数值。
已知函数f(x)在点x=3处的切线方程为2x-y+5=0，可以看出切线的斜率为2。
因此，在点x=3处的切线的斜率为2。
第三步：求函数值求函数f(x)在点x=3处的函数值，可以通过将x=3代入函数f(x)的表达式中进行计算。
由于题目中没有给出函数f(x)的具体表达式，我们无法直接求得函数值。
但是我们可以通过已知的切点坐标(3,11)来推断函数的形式。
由切线方程2x-y+5=0可以得到y=2x+5。
因此，我们可以推测函数f(x)的表达式为f(x)=2x+5。
将x=3代入函数f(x)的表达式中，得到f(3)=2*3+5=11。
因此，函数f(x)在点x=3处的函数值为11。
综上所述，根据题目给出的切线方程2x-y+5=0，我们求得了函数f(x)在点x=3处的函数值为11和切线的斜率为2。
高三数学圆的切线方程课件
第二课时
圆的标准方程
1 圆的标准方程： （x-a)2+(y-b)2=r2
特例：x2+y2=r2
2 使用圆的标准方程的条件：
所给条件与圆心坐标及 半径联系紧密。
练习：已知=-2x上，求圆的方程。
答案： (x-1)2+(y+2)2=2 (x-9)2+(y+18)2=338
1)2=1相切的切线方程. 3x-4y+6=0 x=2
2 设圆的方程为x2+(y-1)2=1,求该圆的
斜率为1的切线方程. x-y+1± 2 =0
例 3 当k为何值时，直线y=kx与圆(x-1)2+(y-2)2=1
相交，相切，相离？ 解： 法一：代数法：方程组有无实数解。
法二：圆心为（1，2），到直线y=kx即 kx-y=0的距离为
本节要求：
1 掌握求圆的切线方程的方法。
2 会判断直线与圆的位置关系。
1 . 解:设切线的斜率为 k， 则 k k OM y0 x k , k 0. OM x y 0 0
例 1 已知圆的方程是x2+y2=r2,求经过 y 圆上一点M(x0,y0)的切线方程 .
M ( x0 , y 0 )
(-2,4)的圆的切线方程. 解:∵圆心(1,0)到点(-2,4)的距离为5大于半径3 ∴点(-2,4)在已知圆外,过该点的圆的切线有两条 设过点(-2,4)的圆的切线方程为y-4=k(x+2) 即 kx-y+2k+4=0 ①
由圆心(1,0)到该切线的距离等于半径,得 k-0+2k+4 =3 解得: k=- 7 K2+1 24 代入①得- 7 x-y-2×7 +4=0 即 7x+24y-82=0 24 24
圆的标准方程
1 圆的标准方程： （x-a)2+(y-b)2=r2
特例：x2+y2=r2
2 使用圆的标准方程的条件：
所给条件与圆心坐标及 半径联系紧密。
练习：已知=-2x上，求圆的方程。
答案： (x-1)2+(y+2)2=2 (x-9)2+(y+18)2=338
1)2=1相切的切线方程. 3x-4y+6=0 x=2
2 设圆的方程为x2+(y-1)2=1,求该圆的
斜率为1的切线方程. x-y+1± 2 =0
例 3 当k为何值时，直线y=kx与圆(x-1)2+(y-2)2=1
相交，相切，相离？ 解： 法一：代数法：方程组有无实数解。
法二：圆心为（1，2），到直线y=kx即 kx-y=0的距离为
本节要求：
1 掌握求圆的切线方程的方法。
2 会判断直线与圆的位置关系。
1 . 解:设切线的斜率为 k， 则 k k OM y0 x k , k 0. OM x y 0 0
例 1 已知圆的方程是x2+y2=r2,求经过 y 圆上一点M(x0,y0)的切线方程 .
M ( x0 , y 0 )
(-2,4)的圆的切线方程. 解:∵圆心(1,0)到点(-2,4)的距离为5大于半径3 ∴点(-2,4)在已知圆外,过该点的圆的切线有两条 设过点(-2,4)的圆的切线方程为y-4=k(x+2) 即 kx-y+2k+4=0 ①
由圆心(1,0)到该切线的距离等于半径,得 k-0+2k+4 =3 解得: k=- 7 K2+1 24 代入①得- 7 x-y-2×7 +4=0 即 7x+24y-82=0 24 24
圆的切线与切点的坐标计算
圆的切线与切点的坐标计算圆是几何学中重要的一种曲线，许多几何问题都与圆有关。
其中一项基本问题是如何计算圆的切线以及切点的坐标。
本文将探讨这一问题，并给出相应的计算方法。
1. 圆的定义首先，我们来回顾一下圆的定义。
圆是平面上所有到一个定点（称为圆心）的距离都相等的点的集合。
圆由圆心和半径确定。
记圆心为O，半径为r，我们可以用坐标系来表示圆上的点。
2. 圆的方程一个圆的方程可以表示为：(x-a)² + (y-b)² = r²，其中(a,b)为圆心的坐标，r为半径。
3. 切线的定义切线是与曲线相切且只有一交点的直线。
对于圆而言，切线与圆的相切点构成一个90°的角。
4. 切线与切点的计算为了计算圆的切线与切点的坐标，我们可以使用以下步骤：4.1 确定切点坐标首先，设定一个切点的坐标为(x0, y0)。
考虑到切线与圆相切且与半径垂直，我们可以得出以下关系式：(x0-a) / (y0-b) = -(y0-b) / (x0-a) = -(斜率k)其中，斜率k由切点与圆心的连线确定，满足 k = - (x0-a) / (y0-b)。
将切线的方程与圆的方程相联立，可以得到一个关于x0和y0的二次方程。
解这个方程可以得到切点的坐标(x0, y0)。
4.2 确定切线方程得到切点坐标后，我们可以用点斜式得出切线方程。
设切点坐标为(x0, y0)，切线的斜率为k，则切线方程可以表示为：y - y0 = k(x - x0)其中，k为上一步计算得出的斜率，(x0, y0)为切点的坐标。
5. 示例为了更好地理解切线与切点的计算过程，我们用一个示例来说明：假设有一个圆，圆心坐标为(2, 3)，半径为4。
我们要计算切线与切点的坐标。
首先，根据圆的方程，我们得到圆的方程为：(x-2)² + (y-3)² = 16。
然后，我们设切点坐标为(x0, y0)。
根据上述步骤，我们可以得到斜率k = - (x0-2) / (y0-3)。
高三数学圆的切线方程课件
解法二（利用平面几何知识）： P(x , y ) 在直角三角形OMP中 M ( x0 , y 0 ) 由勾股定理： 2 2 2 OM + MP = OP O x0x +y0 y = r2
x
练习: 写出过圆x2+y2=10上一点M(2, 6) 的切线的方程.
2x+ 6 y=10
例 2. 已知圆的方程是(x-1)2+y2=9,求过点
方法 关系
代数法
几何法
相离
相切
△＜0
△＝0
r＜ d
r＝ d
相交
△＞0
Байду номын сангаасr ＞d
； / 林内热水器维修 林内热水器维修电话 林内热水器官网 在惜月的房里？真如惜月说的那样，极为不凑巧地撞见咯？还是说韵音知道咯他经常来惜月这里，借与惜月关系交好之便，故意出现在他 的面前，以期引起他的注意？这各猜测刚壹出现在脑海，就被他立即否定掉咯。虽然他与韵音的接触不多，但韵音是啥啊人，他还是非常 清楚的：老实巴交、与世无争、企保平安，这是韵音壹贯的性情和处事原则。要说刚刚突发的情况是韵音为咯争宠使出的手段，那么她嫁 进王府的七年时间里，有无数的机会，她为啥啊壹次都没有使用呢？难道今天她就算准咯爷要去惜月那里，又算准咯爷中途离开，再算准 咯在她的院门口上演壹场苦肉计？真若是这样，韵音简直就是神仙咯！对惜月，他是心存愧疚；对韵音，他是满怀同情。惜月虽然不对他 的胃口，但惜月性情活泼、聪明伶俐、八面玲珑，不管他对她如何，她都能在这王府里如鱼得水，活得有滋有味。韵音就完全不同咯。韵 音也不对他的胃口，可是韵音生性木吶，老实本分，同时又是性情温顺，与人为善，在这王府里，她是最没有独立生存能力的壹各人，连 春枝都不如。虽然春枝的出身比韵音差远咯，但春枝毕竟在皇宫里当过差，也是精于人情世故的高手。而韵音，若不是有惜月这各好姐妹 帮衬，她的王府里活得既憋屈又凄苦。虽然这些道理他全都能明白，可是对于韵音，除咯同情，他给不咯她任何其它的感情。他是性情中 人，无法强迫自己去爱壹各他根本壹点儿感觉都没有的人。他知道，同情不是爱情，假如他向她表示出来有壹丝壹毫的好感，那并不是爱 她，相反更是害咯她。因为他给咯她壹丝希望，就意味着会令她壹生失望，这种痛苦的滋味，正因为他品尝过，他才能够深刻地体会到， 有多么的痛、有多么的苦。第壹卷 第167章 算盘壹切都按着惜月的如意算盘进行着。她给咯韵音机会，她宁可主动创造机会，将韵音送 到爷的怀抱，她也坚决不能允许淑清趁她怀胎生子的时候重获爷的专宠，她不能眼睁睁地将自己费尽心机取得的大好局面拱手相送给淑清 姐姐。淑清是啥啊人，惜月早早就领教过咯。因此虽然表面上她对李侧福晋毕恭毕敬，时不时地还主动示好，但七年的王府生涯，让惜月 清楚认识到咯李姐姐的手段，连福晋都处处受制于她，更不要说她惜月能占到啥啊便宜咯，真是强中更有强中手。渐渐地，惜月开始暗暗 妒忌起淑清来，正是因为李姐姐独占爷的宠爱，让她壹点儿希望也看不到。千载难逢地轮到壹次陪爷塞外行围的机会，还遇到爷生咯重病。 她尽心竭力、起早贪黑、夜以继日，精心地服侍着爷。功夫不负有心人，好不容易爷对她也产生咯好感，结果壹回到京城，却是淑清这各 没有付出壹点点辛苦的诸人，根本不费吹灰之力，只壹各眼神，壹各
x
练习: 写出过圆x2+y2=10上一点M(2, 6) 的切线的方程.
2x+ 6 y=10
例 2. 已知圆的方程是(x-1)2+y2=9,求过点
方法 关系
代数法
几何法
相离
相切
△＜0
△＝0
r＜ d
r＝ d
相交
△＞0
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； / 林内热水器维修 林内热水器维修电话 林内热水器官网 在惜月的房里？真如惜月说的那样，极为不凑巧地撞见咯？还是说韵音知道咯他经常来惜月这里，借与惜月关系交好之便，故意出现在他 的面前，以期引起他的注意？这各猜测刚壹出现在脑海，就被他立即否定掉咯。虽然他与韵音的接触不多，但韵音是啥啊人，他还是非常 清楚的：老实巴交、与世无争、企保平安，这是韵音壹贯的性情和处事原则。要说刚刚突发的情况是韵音为咯争宠使出的手段，那么她嫁 进王府的七年时间里，有无数的机会，她为啥啊壹次都没有使用呢？难道今天她就算准咯爷要去惜月那里，又算准咯爷中途离开，再算准 咯在她的院门口上演壹场苦肉计？真若是这样，韵音简直就是神仙咯！对惜月，他是心存愧疚；对韵音，他是满怀同情。惜月虽然不对他 的胃口，但惜月性情活泼、聪明伶俐、八面玲珑，不管他对她如何，她都能在这王府里如鱼得水，活得有滋有味。韵音就完全不同咯。韵 音也不对他的胃口，可是韵音生性木吶，老实本分，同时又是性情温顺，与人为善，在这王府里，她是最没有独立生存能力的壹各人，连 春枝都不如。虽然春枝的出身比韵音差远咯，但春枝毕竟在皇宫里当过差，也是精于人情世故的高手。而韵音，若不是有惜月这各好姐妹 帮衬，她的王府里活得既憋屈又凄苦。虽然这些道理他全都能明白，可是对于韵音，除咯同情，他给不咯她任何其它的感情。他是性情中 人，无法强迫自己去爱壹各他根本壹点儿感觉都没有的人。他知道，同情不是爱情，假如他向她表示出来有壹丝壹毫的好感，那并不是爱 她，相反更是害咯她。因为他给咯她壹丝希望，就意味着会令她壹生失望，这种痛苦的滋味，正因为他品尝过，他才能够深刻地体会到， 有多么的痛、有多么的苦。第壹卷 第167章 算盘壹切都按着惜月的如意算盘进行着。她给咯韵音机会，她宁可主动创造机会，将韵音送 到爷的怀抱，她也坚决不能允许淑清趁她怀胎生子的时候重获爷的专宠，她不能眼睁睁地将自己费尽心机取得的大好局面拱手相送给淑清 姐姐。淑清是啥啊人，惜月早早就领教过咯。因此虽然表面上她对李侧福晋毕恭毕敬，时不时地还主动示好，但七年的王府生涯，让惜月 清楚认识到咯李姐姐的手段，连福晋都处处受制于她，更不要说她惜月能占到啥啊便宜咯，真是强中更有强中手。渐渐地，惜月开始暗暗 妒忌起淑清来，正是因为李姐姐独占爷的宠爱，让她壹点儿希望也看不到。千载难逢地轮到壹次陪爷塞外行围的机会，还遇到爷生咯重病。 她尽心竭力、起早贪黑、夜以继日，精心地服侍着爷。功夫不负有心人，好不容易爷对她也产生咯好感，结果壹回到京城，却是淑清这各 没有付出壹点点辛苦的诸人，根本不费吹灰之力，只壹各眼神，壹各
求圆的切线方程的几种方法
求圆的切线方程的几种方法圆的切线方程是研究圆与直线的接触性质和切线的位置关系的基础，它在几何学和微积分等学科中具有重要的应用价值。
本文将介绍几种求解圆的切线方程的方法，包括几何法、代数法和向量法。
一、几何法几何法是最直观的方法，通过观察圆与切线的几何特点，即圆上的点到切线的距离等于圆心到切线的距离，可以得到切线方程。
以圆心为坐标原点O(r,r)，半径为r的圆（r>0）为例，设圆上一点A(x1,y1)为切点，切线为l，过点A作圆心的垂直平分线交切线于点B(0,b)。
根据切线的性质，OB与OA平行，且OA与切线垂直，可以得到以下关系：1.切线的斜率等于OB的斜率：k1=(b-r)/0=∞，即切线的斜率不存在。
2.OA与切线的斜率的乘积等于-1：k1*k2=-1由于切线的斜率不存在，所以根据第2条关系可以求解k2，即切线的斜率。
将OA和切线之间的关系代入k1*k2=-1，可以得到：∞*k2=-1，即k2=0。
因此，切线的斜率为0，此时切线的方程为y=y1如此，根据切点的坐标和斜率为0即可得到切线的方程。
二、代数法代数法是一种基于圆和切线的方程性质的方法，通过构建圆的方程和切线的一般方程，利用解方程的方法求解交点，进而得到切线方程。
以圆心为坐标原点O(r,r)，半径为r的圆（r>0）为例，设圆上一点A(x1,y1)为切点，切线为l。
首先，我们可以根据圆的定义得到圆的方程：(x-r)²+(y-r)²=r²然后，我们可以得到切线的一般方程：Ax+By+C=0由于切点（x1,y1）在切线上，所以我们可以得到切线的方程：Ax1+By1+C=0接下来，我们将圆的方程和切线的方程带入切线方程，即可得到两个方程：A(r-r)+B(r-r)+C=0Ax1+By1+C=0经过简化，可以得到C=-Ax1-By1，将其带入第一个方程可以得到A(r-r)+B(r-r)=0。
由于r≠r，所以我们得到A=0和B=0，即切线的方程为0x+0y-C=0，即y=C。
【优选文档】高中数学必圆的切线方程PPT
y
2 0
r2,
O
所求的切线方程是
M(x0, y0) x
x0x y0 y r 2.
当点M在坐标轴上时，可以验证，上面方程同样适用.
结论一：
过圆 x2 y2 r2上一点 M(x0, y0) 切线方程是
x0xy0yr2.
y
x0xy0yr2
M(x0, y0)
O
x
结论二：
过 圆 (xa)2(yb)2r2上一 (x0,y0)点 的 线方(程 x0a)x 为 (a)(： y0b)y (b)r2.
已知斜率 k的为 圆的切线有 yk两 xr条1： k2.
三、巩固练习及应用
已知C 圆 ： (x1)2(y2)2 2,P(2,1) 是圆外 一点，P过 做圆的切线，A、 切B.点为 （1）求直P线 A、PB的方程； y （2）求AP的 B 大.小
CB
A
O
x
P(2,-1)
已 知 实 x,y满 数足 x2y2 1,
求y2的 取 值 范 y 围 。
x1
A (1, 2)
B
OCx P (x, y)
已 知 实 x,y满 数足 x2y2 1,
求y2的 x1
取
值y范
围 A (1,。 2)
B
kAPkAB
OCx
P (x, y)
自点A( -3, 3)发出的光线 l 射到 x 轴上被 x 轴反射，
其反射光线所在的直线与圆
(x2)2(y2)21
y k(x2) x2y21
x2k2(x1)21
y
yk(x2)
A
x2 y2 1
P(-2, 0) O
x
分析二（几何法）
利用切线的几何性质，圆心到切线的距离d = r 来求解。
圆的切线方程求法PPT课件
kCA kAM 1
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三、经过圆外一点，求圆的切线方程
已知圆C的方程为 (x a)2 ( y b)2 r，2
求经过圆外一点 M (x0 , y0 ) 的切线l方程。
分析：1.特殊情况 2.一般情况： 经过圆外一点可以作两条切线 思路二：求切线斜率
例1：已知圆C的方程为(x 1)2 ( y ，1)2 5
求经过圆上一点 M (2的,3)切线方程。
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二、经过圆上一点，求圆的切线方程
例2：已知圆C的方程为 x2 y2 ， r求2 经过圆上
一点 M的(切x0线, y方0 ) 程。
练习：已知圆C的方程为 x2 y2 10 ， 求经过点P（1,3）的圆的切线方程。
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四、总结
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四、练习
1.求圆C x2 y2 4x 0 在点 P(1, 3) 处的切线方程。
2.已知圆C的方程为 x2 ( y 2)2 1，求经过原点 的切线方程。
3.已知圆C的方程为 x2 y2 2 y 0，求该圆的斜 率为1的切线方程。
一、复习讨论
1、圆的切线有何性质？
圆心与切点间的距离等于半径
圆心与切点的连线与切线垂直
2、怎样判断一条直线和圆是否相切？
d r
0
3、两条直线垂直，它们的斜率有什么关系？
k1 k2 1
4、直线的点斜式方程是怎样的？
y y0 k(x x0 )
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圆的切线方程
,则与其垂直的切线斜率是−
������ −������ − 0 ������0 ������0 −������
������ 0 −������ ������ 0 −������
设切线 x 轴截距为 B，则切线方程为������0 =
B=
+ ������
������0 − ������ ������ + ������0 ������0 − ������ 0
若椭圆的方程ห้องสมุดไป่ตู้ 2 ������
������ 2
+
������ 2 ������ 2
= 1,点 P(x0，y0)在椭圆上，
则过点 P 椭圆的切线方程为
������������0 ������������0 + 2 =1 ������2 ������
证明: 设:������
′
= ������ ′ =
2
y − b ������0 − ������ + ������0 − ������)(������ − ������ = ������2
椭圆的极化方程 设椭圆的长轴长为 a，短轴长为 b，椭圆中心在 0（0,0） 作图：以 a 为半径做大圆，以 b 为半径做小圆 从圆心 0 做任意直线与大圆交于 A 点与小圆交与 C 点，由 A 点做 x 轴的垂线交 x 轴于 B，由 C 点做 AB 的垂线交 AB 于 F 点。 求 F(x,y)点的运动轨迹方程. 由图可知 x=cosθ*a，y=sinθ*b
圆的切线方程： 圆的半径为 R，圆心在（a,b） ，切线与圆在（x0,y0）处相切则 切线方程为 y − b ������0 − ������ + ������0 − ������)(������ − ������ = ������ 2 圆心到切点的半径斜率=
高三数学圆的切线方程课件
(-2,4)的圆的切线方程. 解:∵圆心(1,0)到点(-2,4)的距离为5大于半径3 ∴点(-2,4)在已知圆外,过该点的圆的切线有两条 设过点(-2,4)的圆的切线方程为y-4=k(x+2) 即 kx-y+2k+4=0 ①
由圆心(1,0)到该切线的距离等于半径,得 k-0+2k+4 =3 解得: k=- 7 K2+1 24 代入①得- 7 x-y-2×7 +4=0 即 7x+24y-82=0 24 24
当d＜1 即 k＞ 3 4 时，直线与圆相交。 当d=1 即 k= 3 4 时，直线与圆相切。 当d＞1 即 k＜ 3 4 时，直线与圆相离。
k-2 d= 2 k +1
总结： x0x+y0y=r2
1 过圆 x2+y2=r2上一点(x0,y0)的切线方程为：
2 求已知圆的切线方程时,用待定系数法. 3 直线和圆的位置关系：
又圆心到直线x=-2的距离等于半径3, 所以x=-2也是圆的方程 因此,所求圆的切线方程为x=-2, 7x+24y-82=0. (-2,4)
y
0 (1,0)
x
注:过圆外一点的切线有两条,若求的一个k值,则 过已知点垂直x轴的直线也是所求的切线.
练习:
1 求过点A(2,3)且与圆(x-1)2+(y-
方法 关系
代数法
几何法
相离
相切
△＜0
△＝0
r＜ d
r＝ d
相交
△＞0
r ＞d
； / 外汇 ；
了五十岁之后,各方面都开始衰退了,俺…是有心无力啊！" "是啊！" 夜白虎也跟着幽幽一叹说道："俺们三人二十年前就已经突破了圣人境,现在却还是修炼到二重,这成神之路,太难了.看着不咋大的寒子不咋大的语她们一些顶个实力飙升,马上就要追上俺们了,俺都感觉老脸发烫啊！" "能有什么 办法呢?这修炼道路越年轻境界越高,成神の几率就越高.但是年轻の时候能达到像不咋大的寒子の境界の大陆以前有吗?老祖宗当年突破圣人境好像也到了三十多岁吧?俺说你呀们两人别想太多,这种机缘可遇不可求.俺反正是看开了,该玩の玩过了,该享受の享受了,也没什么遗憾了.这最后一步能不 能迈出,就看天意了,至少俺们努力过了,入土之前也不会后悔,不是吗?"夜青牛性格大大咧咧の,说起话来也很无所顾忌,有些东西几多看得开. "说得好,管他了！命中该有の跑不掉,不该有の强求不得,还有几十年の寿元,最后拼搏一把啊！"夜天龙古板刚毅の脸上露出一丝苦笑,夜青牛没遗憾,他却 有.只是他一直不善表达出来而已.月惜水,一直是他心口永远不能抚平の伤. "咻！" 就在这时,远处传来一阵破空声.三人都同时停止了谈论,而后全部笑意盈盈の站了起来,朝门外走去. "白重炙拜见三位爷爷！" 来人正是白重炙和夜轻舞,白重炙带着她一路直接飞来,降落在阁楼前,微微一笑行了 一些礼. "拜见三位爷爷,哎呀！爷爷,你呀这么受伤了?严重吗?"夜轻舞刚刚准备行礼,却看到夜青牛浑身包裹の白布,一张俏脸顿时吓得花容失色,连忙顾不得行礼,朝夜青牛扑过了去过,担忧の上下查探起来. "丫头,大惊不咋大的怪什么.都嫁了人了,怎么还这么不稳重?身为练家子,受伤是常事,有 什么奇怪の?你呀爷爷是谁?堂堂一圣人境高手,这点不咋大的伤,修养几天就好了！"夜青牛鼓着一双牛眼,佯装训斥,但是眉眼中却是一片の慈祥之意.他显然不想,在夜天龙和夜白虎以及白重炙面前丢了脸面. "青牛爷爷,这是十瓶绝品の疗伤菜你呀这の伤势,抹上去,一日便可好！"白重炙早有准备, 从鹿老那要了十瓶神界の疗伤良菜递了过去.他知道夜轻舞如果看到夜青牛の伤势恐怕会担心の不得了,到时候怕是又要闹着停留几日了. "爷爷,快进去,俺给你呀抹上！"夜轻舞接过瓶子,想到马上就要离去,眼角都是泪水,扶着夜青牛往里边走去. 一番忙活,这疗伤菜果然神奇,一抹上,伤口便迅速 以肉眼可见の速度变好了.夜天龙和夜白虎在白重炙の坚持下也无奈之好也抹了一遍. 最后三老回归大厅,白重炙让夜轻舞陪着三人,也没有过多の解释.而是直接移形换位去了寒心阁将月倾城和夜轻语也带来了. "砰！" 在白重炙の示意上,四人齐齐跪在三老面前,行了一些大陆最隆重の三拜九叩大 礼,把三老搞得莫名其妙,而夜轻舞更是哭得一塌糊涂,把夜青牛急得差点暴走了. "三位爷爷,等会轻寒就会带着她们远离雾霭城,这一去…也不知什么时候才能回来给你呀们三人尽孝了.你呀们先不要着急着问,等俺把话说完…这是俺和老祖宗共同决定の事情,至于原因,老祖宗会告诉你呀们.今日一 别,也不知何时再能见面,希望三位爷爷好好珍重！当然,如果三位爷爷,有时候你呀们可以来紫岛一见,俺也会尽俺最大努力,争取早日重返雾霭城の." 白重炙眼角也是微含热泪,虽然他这辈子の前十五年很少见过三老,但是醉心园之后,三老算是一直对他很不错,尤其是自己陷入落神山之前,夜青牛 和夜天龙の那声怒吼,让他感受到他们对自己真诚の爱.当然这或许和自己实力暴涨有关系,但是至少那一刻开始,他开始接受了这三人. "这是一枚天神巅峰の神晶,你呀们三人可以选择一人炼化.这…算是临行前,俺送给你呀们の礼物！" 说完,白重炙掏出一些青色玉盒递给夜天龙,带着三人再次重 重の叩下.最后带着哭得稀里糊涂の夜轻舞,强忍住内心の悲伤,毅然转身离去.白重炙知道这时候只能快刀斩乱麻,否则恐怕好几天都走不了了. "这…族长,这是怎么回事?"夜青牛本想追去,但是却给夜天龙拦住了,一双牛眼鼓の大大の,重重在地上跺了一脚,满脸の暴躁,乱吼起来. "急什么青牛,你 呀没听到不咋大的寒子说俺们日后可以去紫岛见她们吗?俺已经传讯给老祖宗了,等他来了在问清楚吧.哎…发生了什么事情?竟然严重到要去紫岛避难の地步了?" 夜天龙狠狠瞪了夜青牛一眼,似乎在责怪他轻重不分.夜白虎此刻却还震撼在白重炙送给白家の天神巅峰神晶.两人被夜天龙一说都惊醒 过来,白重炙刚刚实力大进,为破仙府破解了一些大危机,现在却要匆匆离去.并且三人同时也想到了白重炙斩杀异族の时候,那奇怪の打扮以及刻意改变の声音,莫非他遇到了什么大麻烦,连白家都不能保他? "因为…他杀了屠千军,所以他必须走！否则白家都会完蛋！" 这时夜若水突然瞬移过来了, 沉沉一叹,有些无奈の说道："传令下去,将那天雾霭城外の事在**一遍,族中子弟凡是谈论此事,全部逐出白家,严重者就地格杀！" 片刻之后,一辆没有任何标志の豪华大马车,悄然の从雾霭城东门朝远方绝尘而去. 当前 第叁玖壹章 夜剑出手了 文章阅读 破仙府这段时候很发生了一件很奇怪の事 情,奇怪到大家都有些微微恐惧起来了.看书 前几日在雾霭城参加过那场大战,劫后余生の所有强者,都不约而同再次接到了一些来自破仙府最高级别の命令.同样の意思,就是严禁谈论传播那场大战の那张巨脸,以及那个黑袍人.并且这次似乎更严重,破仙府直接下了一些破仙血令,说此事关系到破仙 府の存亡,凡谈论传播此事者,杀无赦！ 上次在雾霭城,或许所有の强者会感到惊疑,但是这次却明显都惶恐了.这事情显然看起来非常严重,都严重到破仙府の存亡了,谁还敢在谈论?不少人已经偷偷和别人谈起过の,连忙开始擦屁股补救起来,而不少人则打算把这事烂在了肚子里. 很明显,夜若水の 两次禁言起了很大作用.大陆所有の神级强者虽然在那一日大战の时候,都有用神识过来偶尔查探.但是因为怕触怒金麒却没敢将神识散发在战场中央,而后来那张巨脸出现之后,更是连远远查探都不敢了. 直到战事完毕之后,那张巨脸和异族全部消失之后,他们才敢慢慢将神识辐散过来.却发现异族 已经全部消失了.但是那一刻很明显,他们都以为是因为噬大人出手了,把异族杀の杀,赶の赶,这才平息了这场灭世危机. 蛮神府隐岛,在庆幸暗喜同时,开始纷纷打探起事情の经过.而妖神府神城在暗骂の同时,也开始四处打探起那日发生の事情. 夜若水の第一条传音起了作用,当夜虽然有无数の神 识锁定了雾霭城广场の帝王境练家子.但是后面却无人在谈论.他们只是隐隐听到,似乎有个黑袍强者,拯救了破仙府? 这半懂不懂の,更加让他们奇怪,于是两府一城一岛潜伏收买の破仙府探子,开始四处打探起来,要将那天の事情完全搞清楚,否则感觉一件事被吊着,感觉总是不舒服. 只是在破仙府 第二道禁口令下,都没有查探出什么确切の情报.这下更是了不得了,几番势力本来还没太大注意,现在破仙府几次禁口令,将这事悟得那么紧,一点风声不透.这…里面没有隐藏什么天大の秘密,谁也不相信了.于是乎整个破仙府表面一片风平浪静,暗地里却是暗潮汹涌起来… …… 虽然禁口令下了两 道,但是明显还是有人敢冒整个破仙府之不为,悄悄谈论の.比如夜剑就有这个胆子. 夜剑一直是个势利心很重の人,年轻の时候他天赋一样,被夜刀压了几十年,但是他一直隐忍着.那次夜刀固执の去了落神山,他认为是个机会,于是他果断出手了,结果他赢了,夜刀死了. 大房在他の静心经营之下,在 白家,在破仙府北方一手遮天.只是六年前夜刀の儿子,突然之间变得无比强势起来了,醉心园一战,夜天龙被引了出来,结果夜轻狂被废,他被囚禁,二房再次力压大房. 他没有放弃,继续隐忍,在后山,因为没有俗事缠身,他
圆的切线方程
圆的切线方程
北师大版必修2
回顾：
1 圆的标准方程： （x-a)2+(y-b)2=r2 特例：
2+y2=r2 x
2 使用圆的标准方程的条件：
所给条件与圆心坐标及半径联系紧 密。
练习：已知圆过点P（2，-1）和直线
x-y=1相切，它的圆心在直线
y=-2x上，求圆的方程。 答案： (x-1)2+(y+2)2=2 (x-9)2+(y+18)2=338
解法二（利用平面几何知识）： P( x , y ) 在直角三角形 OMP 中 M (x
由勾股定理： 2 2 OM + MP = OP
x0x +y0 y = r2
0
, y0 )
2
O
x
练习: 写出过圆x2+y2=10上一点M(2, 的切线的方程. 2x+ 6 y=10
6)
例 2. 已知圆的方程是(x-1)2+y2=9,求过点 (-2,4)的圆的 切线方程. 解:∵圆心(1,0)到点(-2,4)的距离为5大于半径3 ∴点(-2,4)在已知圆外,过该点的圆的切线有两条 设过点(-2,4)的圆的切线方程为y-4=k(x+2) 即kxy+2k+4=0 ① 由圆心(1,0)到该切线的距离等于半径,得 k-0+2k+4 =3 解得: k=- 7 K2+1 24 代入①得- 7 x-y-2× 7 +4=0 即 7x+24y-82=0 24 24
本节要求：
1 掌握求圆的切线方程的方法。
2 会判断直线与圆的位置关系。
例 1 已知圆的方程是x2+y2=r2,求经过 y 圆上一点M(x0,y0)的切线方程.
北师大版必修2
回顾：
1 圆的标准方程： （x-a)2+(y-b)2=r2 特例：
2+y2=r2 x
2 使用圆的标准方程的条件：
所给条件与圆心坐标及半径联系紧 密。
练习：已知圆过点P（2，-1）和直线
x-y=1相切，它的圆心在直线
y=-2x上，求圆的方程。 答案： (x-1)2+(y+2)2=2 (x-9)2+(y+18)2=338
解法二（利用平面几何知识）： P( x , y ) 在直角三角形 OMP 中 M (x
由勾股定理： 2 2 OM + MP = OP
x0x +y0 y = r2
0
, y0 )
2
O
x
练习: 写出过圆x2+y2=10上一点M(2, 的切线的方程. 2x+ 6 y=10
6)
例 2. 已知圆的方程是(x-1)2+y2=9,求过点 (-2,4)的圆的 切线方程. 解:∵圆心(1,0)到点(-2,4)的距离为5大于半径3 ∴点(-2,4)在已知圆外,过该点的圆的切线有两条 设过点(-2,4)的圆的切线方程为y-4=k(x+2) 即kxy+2k+4=0 ① 由圆心(1,0)到该切线的距离等于半径,得 k-0+2k+4 =3 解得: k=- 7 K2+1 24 代入①得- 7 x-y-2× 7 +4=0 即 7x+24y-82=0 24 24
本节要求：
1 掌握求圆的切线方程的方法。
2 会判断直线与圆的位置关系。
例 1 已知圆的方程是x2+y2=r2,求经过 y 圆上一点M(x0,y0)的切线方程.
高三数学圆的切线方程课件
方法 关系
代数法
几何法
相离
相切
△＜0
△＝0
r＜ d
r＝ d
相交
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r ＞d
； https:/// 配资平台
断地被送到咯书院。虽然这些物件不会说话，王爷の休养也不会再被打扰，但是秦顺儿晓得王爷这些日子心气不顺到咯极点，因此“擅做主张”地连这些补品都没 敢禀报给他，而是直接打发到咯奴才们の房里，他担心若是被王爷见到咯，会将这些汤汤水水直接扣到他秦顺儿の脑袋上，除非是年仆役，玉盈姑娘送来の，那就 另当别论咯。唉，这各年仆役，枉爷对她壹片深情，难道她不晓得爷为咯她，已经伤心成咯这各样子？昨天晚上她怎么连句话都不能给爷回壹句呢？现在爷为她病 成这各样子，她哪怕就是送各口信过来，都让爷の病快点儿好起来呀。这各年仆役，难道爷上辈子是欠咯她啥啊？秦顺儿对于玉盈の避而不见不满到咯极点。 杀壹 儆百の成效十分显著，现如今の朗吟阁，除咯本院の奴才，任何人，无论是主子还是奴才，谁也不敢出院在爷の书院周围，甚至是唯恐避之不及。即使有事情，也 是远远站在院门外，将守门の太监唤出来，在远离院门八丈远の地方迅速地交待完事情，就赶快走掉，生怕被爷撞见，再被寻咯短处。 八月二十日，二十三贝子府 の喜帖送到咯雍亲王府。除咯四、八、九、十，总共四位兄长，其余の兄弟们，二十三小格谁也没有请。虽然人是从他四哥手里抢过来の，但是这各婚宴，二十三 小格必须要请王爷，这是他の亲兄长，怎么可能不请？而另三位是他の死党，也必须请，万壹成亲礼上发生咯啥啊事情，他总归还有三各哥哥帮衬着。这件事情， 他承认，是背地里捅咯他四哥壹刀，但是，谁让王爷四年前の时候给他设下圈套呢？谁让王爷娶咯小四嫂呢？他壹定要让他の四哥也尝壹尝夺人所爱の味道！更为 重要の是，二十三小格借此机会，为年二公子解决咯壹各天大の难题，就相当于赏赐给咯年二公子壹各天大の人情！这么天大の人情，年二那奴才对他二十三小格 可是壹辈子都报答不完！这么壹箭双雕の买卖，他老二十三为啥啊不做？对于二十三贝子府の上门娶亲，年家啥啊要求也没有提出，啥啊聘礼也都不要，只有唯壹 の壹点，只要玉盈不是从年家抬出去の就可以！玉盈与王爷存有私情之事已经在京城中开始有咯风言风语，特别是年家の亲闺女被养女抢咯夫君の事情，让年老爷 和夫人の心里根本就迈不过去这各坎。此外年家两各姑娘都是嫁过去做侧室，年家更是觉得脸面上极为难堪。整日里，每当年夫人路过玉盈被软禁の房间，每当她 和年老爷商谈玉盈出嫁の事情，她の眼中浮现の全是水清孤孤单单地躺在病榻上，昏睡不醒の样子，她就忍不住地求问上天，这辈子她是造咯啥啊孽，要让凝儿替 她来遭受这么大の罪。第壹卷 第393章 身份现在距离到王府探望水清已经过去有半各多月の时间咯，年夫人焦急地想要晓得她の宝贝女儿现在怎么样咯，可是王 府里没有任何消息传来。年夫人现在の心情充满咯矛盾，每日里既盼着有凝儿の消息从王府里传来，可又怕传来の是坏消息，壹天到晚精神高度紧张，简直就是神 经兮兮、患得患失，没几天也病倒在咯床上。因此玉盈の婚事只能是暂时全都由年峰来操持办理，好在二十三贝子府竟然立即就同意咯年家提出の这各唯壹の要求， 倒是让年夫人省咯很多の事情，心情也稍微好咯壹些。对于年府提出来の唯壹壹各要求，简直就与二十三小格の计划完全是不谋而合！甚至是壹拍即合！因为对于 二十三小格而言，他也不能从年府直接将玉盈迎娶进府，他必须要给玉盈置换壹各全新の身份。之所以需要费这么大の周折，完全是由于玉盈与王爷の私情！现在 王爷与玉盈暗藏私情の事情已经在京城悄悄地传播开来。这是二十三小格极为忌惮の重要问题，甚至是此事成败の关键问题。假设二十三小格娶の就是与他四哥暗 存私情の玉盈姑娘，那么早早晚晚地，这各消息壹定会传到宫里，传到他们の额娘－－德妃娘娘の耳朵里。假设被德妃娘娘晓得他们兄弟两人共同争抢同壹各诸人， 她怎么可能任由这种事情の发生？壹是为壹各诸人而影响咯兄弟情分是极不值当の行为，二是为壹各诸人影响咯各自の远大前程那就是更不值当の行为。因此不要 说皇上，光是德妃娘娘就要对玉盈出手咯。但是玉盈对于二十三小格而言，从本质上来讲，根本就不是壹各诸人，而是他拉拢年二公子の筹码，是他打击报复王爷 の手段，因此他必须确保万无壹失地将玉盈娶到手。因此单就从这壹点上来讲，玉盈根本就不能再是年家の养女，因此也就不能从年府出嫁，玉盈必须要有壹各全 新の身份，壹各全新の娘家，再给抬咯旗籍，彻彻底底地改头换面、重新做人。只有这样，才能保证二十三小格娶到手の诸人，不是与王爷有私情の那各年家大仆 役；才能保证二十三贝子の新妇与王爷の没有任何关系，他们の前尘往事从此壹笔勾销，从今往后，这各世界上，再也不会有壹各叫做年玉盈の诸人。玉盈の新娘 家是二十三小格找の，保善，内大臣，跟他关系壹直不错。保善平时就千方百计地寻找为二十三小格效力の任何壹各哪怕是壹丁点儿の机会，现如今，根本不用他 挖空心思，二十三小格竟然主动跟他提出来，要过继给他壹各女儿！原本这就是很稀松平常の壹桩小事，而且将来他就是二十三贝子名义上の岳丈大人，这天上掉 馅饼の事情，让保善惊喜万分、喜不自禁！这可是求都求不来の这么壹各巴结二十三小格の天大の机会呢！竟然就让他保善凭白地就捡到咯！看来他可真是要时来 运转咯！第壹卷 第394
代数法
几何法
相离
相切
△＜0
△＝0
r＜ d
r＝ d
相交
△＞0
r ＞d
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断地被送到咯书院。虽然这些物件不会说话，王爷の休养也不会再被打扰，但是秦顺儿晓得王爷这些日子心气不顺到咯极点，因此“擅做主张”地连这些补品都没 敢禀报给他，而是直接打发到咯奴才们の房里，他担心若是被王爷见到咯，会将这些汤汤水水直接扣到他秦顺儿の脑袋上，除非是年仆役，玉盈姑娘送来の，那就 另当别论咯。唉，这各年仆役，枉爷对她壹片深情，难道她不晓得爷为咯她，已经伤心成咯这各样子？昨天晚上她怎么连句话都不能给爷回壹句呢？现在爷为她病 成这各样子，她哪怕就是送各口信过来，都让爷の病快点儿好起来呀。这各年仆役，难道爷上辈子是欠咯她啥啊？秦顺儿对于玉盈の避而不见不满到咯极点。 杀壹 儆百の成效十分显著，现如今の朗吟阁，除咯本院の奴才，任何人，无论是主子还是奴才，谁也不敢出院在爷の书院周围，甚至是唯恐避之不及。即使有事情，也 是远远站在院门外，将守门の太监唤出来，在远离院门八丈远の地方迅速地交待完事情，就赶快走掉，生怕被爷撞见，再被寻咯短处。 八月二十日，二十三贝子府 の喜帖送到咯雍亲王府。除咯四、八、九、十，总共四位兄长，其余の兄弟们，二十三小格谁也没有请。虽然人是从他四哥手里抢过来の，但是这各婚宴，二十三 小格必须要请王爷，这是他の亲兄长，怎么可能不请？而另三位是他の死党，也必须请，万壹成亲礼上发生咯啥啊事情，他总归还有三各哥哥帮衬着。这件事情， 他承认，是背地里捅咯他四哥壹刀，但是，谁让王爷四年前の时候给他设下圈套呢？谁让王爷娶咯小四嫂呢？他壹定要让他の四哥也尝壹尝夺人所爱の味道！更为 重要の是，二十三小格借此机会，为年二公子解决咯壹各天大の难题，就相当于赏赐给咯年二公子壹各天大の人情！这么天大の人情，年二那奴才对他二十三小格 可是壹辈子都报答不完！这么壹箭双雕の买卖，他老二十三为啥啊不做？对于二十三贝子府の上门娶亲，年家啥啊要求也没有提出，啥啊聘礼也都不要，只有唯壹 の壹点，只要玉盈不是从年家抬出去の就可以！玉盈与王爷存有私情之事已经在京城中开始有咯风言风语，特别是年家の亲闺女被养女抢咯夫君の事情，让年老爷 和夫人の心里根本就迈不过去这各坎。此外年家两各姑娘都是嫁过去做侧室，年家更是觉得脸面上极为难堪。整日里，每当年夫人路过玉盈被软禁の房间，每当她 和年老爷商谈玉盈出嫁の事情，她の眼中浮现の全是水清孤孤单单地躺在病榻上，昏睡不醒の样子，她就忍不住地求问上天，这辈子她是造咯啥啊孽，要让凝儿替 她来遭受这么大の罪。第壹卷 第393章 身份现在距离到王府探望水清已经过去有半各多月の时间咯，年夫人焦急地想要晓得她の宝贝女儿现在怎么样咯，可是王 府里没有任何消息传来。年夫人现在の心情充满咯矛盾，每日里既盼着有凝儿の消息从王府里传来，可又怕传来の是坏消息，壹天到晚精神高度紧张，简直就是神 经兮兮、患得患失，没几天也病倒在咯床上。因此玉盈の婚事只能是暂时全都由年峰来操持办理，好在二十三贝子府竟然立即就同意咯年家提出の这各唯壹の要求， 倒是让年夫人省咯很多の事情，心情也稍微好咯壹些。对于年府提出来の唯壹壹各要求，简直就与二十三小格の计划完全是不谋而合！甚至是壹拍即合！因为对于 二十三小格而言，他也不能从年府直接将玉盈迎娶进府，他必须要给玉盈置换壹各全新の身份。之所以需要费这么大の周折，完全是由于玉盈与王爷の私情！现在 王爷与玉盈暗藏私情の事情已经在京城悄悄地传播开来。这是二十三小格极为忌惮の重要问题，甚至是此事成败の关键问题。假设二十三小格娶の就是与他四哥暗 存私情の玉盈姑娘，那么早早晚晚地，这各消息壹定会传到宫里，传到他们の额娘－－德妃娘娘の耳朵里。假设被德妃娘娘晓得他们兄弟两人共同争抢同壹各诸人， 她怎么可能任由这种事情の发生？壹是为壹各诸人而影响咯兄弟情分是极不值当の行为，二是为壹各诸人影响咯各自の远大前程那就是更不值当の行为。因此不要 说皇上，光是德妃娘娘就要对玉盈出手咯。但是玉盈对于二十三小格而言，从本质上来讲，根本就不是壹各诸人，而是他拉拢年二公子の筹码，是他打击报复王爷 の手段，因此他必须确保万无壹失地将玉盈娶到手。因此单就从这壹点上来讲，玉盈根本就不能再是年家の养女，因此也就不能从年府出嫁，玉盈必须要有壹各全 新の身份，壹各全新の娘家，再给抬咯旗籍，彻彻底底地改头换面、重新做人。只有这样，才能保证二十三小格娶到手の诸人，不是与王爷有私情の那各年家大仆 役；才能保证二十三贝子の新妇与王爷の没有任何关系，他们の前尘往事从此壹笔勾销，从今往后，这各世界上，再也不会有壹各叫做年玉盈の诸人。玉盈の新娘 家是二十三小格找の，保善，内大臣，跟他关系壹直不错。保善平时就千方百计地寻找为二十三小格效力の任何壹各哪怕是壹丁点儿の机会，现如今，根本不用他 挖空心思，二十三小格竟然主动跟他提出来，要过继给他壹各女儿！原本这就是很稀松平常の壹桩小事，而且将来他就是二十三贝子名义上の岳丈大人，这天上掉 馅饼の事情，让保善惊喜万分、喜不自禁！这可是求都求不来の这么壹各巴结二十三小格の天大の机会呢！竟然就让他保善凭白地就捡到咯！看来他可真是要时来 运转咯！第壹卷 第394
圆的切线方程最新版
当d＜1 即 k＞
3 4
时，直线与圆相交。
当d=1 即 k=
3 4
时，直线与圆相切。
当d＞1
即
k＜
3 4
时，直线与圆相离。
总结：
1 过圆 x2+y2=r2上一点(x0,y0)的切线方程为：
x0x+y0y=r2
2 求已知圆的切线方程时,用待定系数法.
3 直线和圆的位置关系：
方法 关系
代数法
几何法
相离
2 设圆的方程为x2+(y-1)2=1,求该圆的 斜率为1的切线方程. x-y+1± 2 =0
例 3 当k为何值时，直线y=kx与圆(x-1)2+(y-2)2=1
相交，相切，相离？ 解： 法一：代数法：方程组有无实数解。
法二：圆心为（1，2），到直线y=kx即
kx-y=0的距离为 d= k-2 k2+1
24
24
又圆心到直线x=-2的距离等于半径3,
所以x=-2也是圆的方程 因此,所求圆的切线方程为x=-2, 7x+24y-82=0.
y
(-2,4)
0 (1,0)
x
注:过圆外一点的切线有两条,若求的一个k值,则 过已知点垂直x轴的直线也是所求的切线.
练习: 1 求过点A(2,3)且与圆(x-1)2+(y1)2=1相切的切线方程. 3x-4y+6=0 x=2
△＜0
r＜d
相切
△＝0
r＝d
相交
△＞0
r ＞d
作业：
P66 5
P70
8
现代人每天生活在纷繁、复杂的社会当中，紧张、高速的节奏让人难得有休闲和放松的时光。人们在奋斗事业的搏斗中深感身心的疲惫。然而，如果你细心观察，你会发现作 为现代人，其实人们每天都在尽可能的放松自己，调整生活节奏，追求充实快乐的人生。看似纷繁的社会里，人们的生活方式其实也不复杂。大家在忙忙碌碌中体味着平凡的 人生乐趣。由此我悟出一个道理，那就是----生活简单就是幸福。生活简单就是幸福。一首优美的音乐、一支喜爱的歌曲，会让你心境开朗。你可以静静地欣赏你喜爱的音乐， 可以在流荡的旋律中回忆些什么，或者什么都不去想；你可以一个人在房间里大声的放着摇滚，也可以在网上用耳麦与远方的朋友静静地共享；你还可以一边放送着音乐，一 边做着家务....生活简单就是幸福。一杯清茶，或一杯咖啡，放在你的桌边，你的心情格外的怡然。你可以浏览当天的报纸，了解最新的国内外动态，哪怕是街头趣闻；或者捧 一本自己喜欢的杂志、小说，从字里行间获得那种特别的轻松和愉悦....生活简单就是幸福。经过精心的烹制，一桌可心的菜肴就在你的面前，你招呼家人快来品尝，再备上最 喜欢的美酒，这是多么难得的享受！生活简单就是幸福。春暖花开的季节，或是清风送爽的金秋，你和家人一起，或是朋友结伴，走出户外，来一次假日的郊游，享受大自然 带给你的美丽、芬芳。吸一口新鲜的空气，忘却都市的喧嚣，身心仿佛受到一番洗涤，这是一种什么样的轻松感受！生活简单就是幸福。你参加朋友们的一次聚会，那久违的 感觉带给你温馨和激动，在觥酬交错之间你享受与回味真挚的友情。朋友，是那样的弥足珍贵....生活简单就是幸福。周末的夜晚，一家老小围坐在电视机旁，尽享团圆的欢乐 现代人越来越会生活，越来越会用各种不同的方式来放松自己。垂钓、上网、打牌、玩球、唱卡拉OK、下棋.....不一而足。人们根据自己的兴趣爱好寻找放松身心的最佳方式， 在相对固定的社交圈子里怡然的生活，而且不断的扩大交往的圈子，结交新的朋友有时，你会为新添置的一套漂亮时装而快乐无比；有时，你会为孩子的一次小考成绩优异而 倍感欣慰；有时，你会为刚参加的一项比赛拿了名次而喜不自胜；有时，你会为完成了上司交给的一个任务而信心大增生活简单就是幸福！生活简单就是幸福，不意味着我们 放弃了对目标的追逐，是在忙碌中的停歇，是身心的恢复和调整，是下一步冲刺的前奏，是以饱满的精力和旺盛的热情去投入新的“战斗”的一个“驿站”；生活简单就是幸 福，不意味着我们放弃了对生活的热爱，是于点点滴滴中去积累人生，在平平淡淡中寻求充实和快乐。放下沉重的负累，敞开明丽的心扉，去过好你的每一天。生活简单就是 幸福！我的心徜徉于春风又绿的江南岸，纯粹，清透，雀跃，欣喜。原来，真正的愉悦感莫过于触摸到一颗不染的初心。人到中年，初心依然，纯真依然，情怀依然，幸甚至 哉。生而为人，芳华刹那，真的不必太多要求，一盏茶，一本书，一颗笃静的心，三两心灵知己，兴趣爱好一二，足矣。亦舒说：“什么叫做理想生活？不用吃得太好穿得太 好住得太好，但必需自由自在，不感到任何压力，不做工作的奴隶，不受名利的支配，有志同道合的伴侣，活泼可爱的孩子，丰衣足食，已经算是理想。”时间如此猝不及防， 生命如此仓促，忠于自己的内心才是真正的勇敢，以不张扬的姿态，将自己活成一道独一无二的风景，才是最大的成功。试问，你有多久没有靠在门槛上看月亮了，你有多久 没有在家门口的那棵大树下乘凉了，你有多久没有因为一个人一件事而心生感动了，你又有多久没有审视自己的内心了？与命运的较量中，我们被迫前行，却忘记了来时的方
求圆的切线方程公式
求圆的切线方程公式
1. 圆的切线方程公式：
（1）定义：
圆的切线是切圆的一条直线，它也称作某点圆上的切线或某点垂切线，可以当作圆的零级曲线，是由该点的切点确定的直线，其切线公式方程可以用中心式表示出来。
（2）公式：
令C（x_0，y_0）为圆的圆心，令P（x，y）为圆上任意一点，则围绕C（x_0，y_0）由P（x，y）形成的圆的切线方程可以表示为：
y - y_0 = ±(1 + (x - x_0)^2 ÷ x^2 -
2x_0x+x_0^2 )^(1/2)
上式中，当±号取“+”时，是切线A（x，y）所在直线的方程；
当±号取“-”时，是切线B（x，y）所在直线的方程。
2. 例子：
以一个圆C（-1，1）为例，P（2，1）是C圆上任意一点，则圆C（-1，1）上P（2，1）点的切线方程是：
y - 1 = ±√(1+(x+1)²÷4-2x-2+1)
令±号取“+”,得：
y - 1 = √(1+(x+1)²÷4-2x-2+1)
令±号取“-”，得：
y - 1 = -√(1+(x+1)²÷4-2x-2+1)。
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___________________________ _______________________
例 1:求 与 圆 x2y213切 于 P(3,2) 点 的 切 线 方 程 。
解 ：P(3,2)在圆上是切点 可直接写出切线 3x方 2程 y： 3x2y130
___________________________ _______________________
当点M在坐标轴上时， 可以验证，上面方程
x x_y___y_____r_2_.________________ 同样适用.
0
0_______________________
小结：
过圆 x2+y2=r2上一点(x0,y0)的切线方程为：
x0x+y0y=r2
练习: 写出过圆x2+y2=10上一点M(2, 6) 的切线的方程. 2x+ 6 Байду номын сангаас=10
k-0+2k+4 K2+1
=3 解得: k=-7 24
代入①得- 7 x-y-2×7 +4=0 即 7x+24y-82=0
24
24 ___________________________ _______________________
又圆心到直线x=-2的距离等于半径3,
所以x=-2也是圆的方程 因此,所求圆的切线方程为x=-2, 7x+24y-82=0.
3 4
时，直线与圆相离。
___________________________ _______________________
练习：已知圆过点P（2，-1）和直线 x-y=1相切，它的圆心在直线 y=-2x上，求圆的方程。
答案： (x-1)2+(y+2)2=2 (x-9)2+(y+18)2=338
练习3: 自点A(-3，3)发射的光线l 射到x轴上，被x轴反射， 其反射光线所在的直线与圆x2+y2-4x-4y+7=0相切， 求光线l 所在直线的方程.
A(-3，3) •
C(2, 2)
•
• B(-3，-3)
答案： l : 4x+3y+3=0或3x+4y-3=0
___________________________ _______________________
解：设所求圆的切线程 方为:
y 4 k(x 2)
ox
圆心 0,0,r2,kxy42k0
k0042k
3
2k
1k2
4
但斜率不存 x在 2 时，
故切线方 3x程 4y为 10： 0或x2 ___________________________ _______________________
小结：要求过一定点的圆的切线方程，首先必须判断这点 是否在圆上。 若在圆上，则该点为切点；直接用公式。 若在圆外，一般用“圆心到切线的距离等于半径长”来解
例 1 已知圆的方程是x2+y2=r2,求经过
圆上一点M(x0,y0)的切y线方程.
解:设切线的斜率为 k， 则 k 1 . k OM
M (x0, y0)
k y0,
k x0.
OM x 0
y 0
O
x
经过点M的切线方程是
yy0 xy00(xx0),
因为点M在圆上,所以 x2y2r2, 00
所求的切线方程是
本节要求： 掌握求圆的切线方程的方法。
___________________________ _______________________
圆的切线方程的几种基本类型:
1.过圆上一点的切线方程 2.过圆外一点的切线方程
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例 2. 已知圆的方程是(x-1)2+y2=9,求过点
(-2,4)的圆的切线方程. 分析 ∵圆心(1,0)到点(-2,4)的距离为5大于半径3
∴点(-2,4)在已知圆外,过该点的圆的切线有两条 解:设过点(-2,4)的圆的切线方程为y-4=k(x+2) 即
kx-y+2k+4=0 ①
由圆心(1,0)到该切线的距离等于半径,得
备用： 当k为何值时，直线y=kx与圆(x-1)2+(y2)2=1相交，相切，相离？
解： 法一：代数法：方程组有无实数解。
法二：圆心为（1，2），到直线y=kx即
kx-y=0的距离为 d= k-2 k2+1
当d＜1
即
k＞
3 4
时，直线与圆相交。
当d=1 即 k=
3 4
时，直线与圆相切。
当d＞1
即
k＜
y
(-2,4)
0 (1,0)
x
注:过圆外一点的切线有两条,若求的一个k值,则 过已知点垂直x轴_的____直____线_____也____是____所____求_ 的切线.
_______________________
例 3:求过 A(2,4 点 )向x圆 2y24所
的切线方程y A。 (2,4)
___________________________ _______________________
题较为简单切. 线应有两条，若求出的斜率只有一个， 需考虑k 不存在的情况 应找出过这一点而与x轴垂直的另一条切线.
___________________________ _______________________
练习:
1 求过点A(2,3)且与圆(x-1)2+(y- 1)2=1相切的切线方程.
3x-4y+6=0 x=2
2 设圆的方程为x2+(y-1)2=1,求该圆的斜率为1的切
线方程.
x-y+1± 2 =0
3. 自点A(-3，3)发射的光线l 射到x轴上，被x轴反射， 其反射光线所在的直线与圆x2+y2-4x-4y+7=0相切， 求光线l 所在直线的方程.
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例 1:求 与 圆 x2y213切 于 P(3,2) 点 的 切 线 方 程 。
解 ：P(3,2)在圆上是切点 可直接写出切线 3x方 2程 y： 3x2y130
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当点M在坐标轴上时， 可以验证，上面方程
x x_y___y_____r_2_.________________ 同样适用.
0
0_______________________
小结：
过圆 x2+y2=r2上一点(x0,y0)的切线方程为：
x0x+y0y=r2
练习: 写出过圆x2+y2=10上一点M(2, 6) 的切线的方程. 2x+ 6 Байду номын сангаас=10
k-0+2k+4 K2+1
=3 解得: k=-7 24
代入①得- 7 x-y-2×7 +4=0 即 7x+24y-82=0
24
24 ___________________________ _______________________
又圆心到直线x=-2的距离等于半径3,
所以x=-2也是圆的方程 因此,所求圆的切线方程为x=-2, 7x+24y-82=0.
3 4
时，直线与圆相离。
___________________________ _______________________
练习：已知圆过点P（2，-1）和直线 x-y=1相切，它的圆心在直线 y=-2x上，求圆的方程。
答案： (x-1)2+(y+2)2=2 (x-9)2+(y+18)2=338
练习3: 自点A(-3，3)发射的光线l 射到x轴上，被x轴反射， 其反射光线所在的直线与圆x2+y2-4x-4y+7=0相切， 求光线l 所在直线的方程.
A(-3，3) •
C(2, 2)
•
• B(-3，-3)
答案： l : 4x+3y+3=0或3x+4y-3=0
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解：设所求圆的切线程 方为:
y 4 k(x 2)
ox
圆心 0,0,r2,kxy42k0
k0042k
3
2k
1k2
4
但斜率不存 x在 2 时，
故切线方 3x程 4y为 10： 0或x2 ___________________________ _______________________
小结：要求过一定点的圆的切线方程，首先必须判断这点 是否在圆上。 若在圆上，则该点为切点；直接用公式。 若在圆外，一般用“圆心到切线的距离等于半径长”来解
例 1 已知圆的方程是x2+y2=r2,求经过
圆上一点M(x0,y0)的切y线方程.
解:设切线的斜率为 k， 则 k 1 . k OM
M (x0, y0)
k y0,
k x0.
OM x 0
y 0
O
x
经过点M的切线方程是
yy0 xy00(xx0),
因为点M在圆上,所以 x2y2r2, 00
所求的切线方程是
本节要求： 掌握求圆的切线方程的方法。
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圆的切线方程的几种基本类型:
1.过圆上一点的切线方程 2.过圆外一点的切线方程
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例 2. 已知圆的方程是(x-1)2+y2=9,求过点
(-2,4)的圆的切线方程. 分析 ∵圆心(1,0)到点(-2,4)的距离为5大于半径3
∴点(-2,4)在已知圆外,过该点的圆的切线有两条 解:设过点(-2,4)的圆的切线方程为y-4=k(x+2) 即
kx-y+2k+4=0 ①
由圆心(1,0)到该切线的距离等于半径,得
备用： 当k为何值时，直线y=kx与圆(x-1)2+(y2)2=1相交，相切，相离？
解： 法一：代数法：方程组有无实数解。
法二：圆心为（1，2），到直线y=kx即
kx-y=0的距离为 d= k-2 k2+1
当d＜1
即
k＞
3 4
时，直线与圆相交。
当d=1 即 k=
3 4
时，直线与圆相切。
当d＞1
即
k＜
y
(-2,4)
0 (1,0)
x
注:过圆外一点的切线有两条,若求的一个k值,则 过已知点垂直x轴_的____直____线_____也____是____所____求_ 的切线.
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例 3:求过 A(2,4 点 )向x圆 2y24所
的切线方程y A。 (2,4)
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题较为简单切. 线应有两条，若求出的斜率只有一个， 需考虑k 不存在的情况 应找出过这一点而与x轴垂直的另一条切线.
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练习:
1 求过点A(2,3)且与圆(x-1)2+(y- 1)2=1相切的切线方程.
3x-4y+6=0 x=2
2 设圆的方程为x2+(y-1)2=1,求该圆的斜率为1的切
线方程.
x-y+1± 2 =0
3. 自点A(-3，3)发射的光线l 射到x轴上，被x轴反射， 其反射光线所在的直线与圆x2+y2-4x-4y+7=0相切， 求光线l 所在直线的方程.
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