矩阵函数的性质及其在微分方程组中的应用
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§7矩阵函数的性质及其在微分方程组中的应用
1.矩阵函数的性质： 设n n C B A ⨯∈. 1．
A e Ae e dt
d At At At
⋅== proof : 由 ()∑∑
⋅==∞
=m m m m At
A t m At m e
!1!
1
对任何t 收敛。因而可以逐项求导。
()∑∞=--=∴01!11m m m At A t m e dt d ()()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅=∑∞=-11!11m m At m A ()⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛⋅=∑k At k A !1At
e A ⋅= ()()()A e A At m A A t m At m m m m m ⋅=⋅⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-=⋅-=∑∑∞
=∞=---0111
1!11!11 可见，A 与At e 使可以交换的，由此可得到如下n 个性质
2．设BA AB =，则 ①．At At Be B e =⋅ ②．B A A B B A e e e e e +=⋅=⋅
③．()()A
A A A
A A
B A B A B A B
A B A B A B
A cos sin 22sin sin cos 2cos sin cos cos sin sin sin sin cos cos cos 22=-=⇒+=+-=+=
proof ：①，由m m BA B A BA AB =⇒=
而∑∑∞
=∞==⎪⎭
⎫
⎝⎛=00!1!1m m m m m m At
B A t m B t A m B e
()∑∑∞
=∞
=⋅==00!1!1m m
m m m At m B BA t m At e B ⋅=
②令()Bt At B A e e e t C --+⋅⋅=)( 由于
()0=t C dt
d
)(t C ∴为常数矩阵 因而E e e e C C t C =-⋅===000)0()1()(
当1=t 时，E e e e B A B A =⋅⋅--+ …………………. （@）
特别地 A B -= 有E e e e A A =⋅⋅-0
∴ 有 ()
A A
e e --=1
∴
同理有()
B B
e e --=1
代入（@）式 因而有B A B A e e e ⋅=+ 3.利用绝对收敛级数的性质，可得 ①A i A e iA sin cos +=
()
()
iA iA
iA iA
e e i
A e e A ---=
+=
⇒21sin 2
1cos ②()()A A A A sin sin cos cos -=-=-
4.E A A =+22cos sin
()()A E A A
E A cos 2cos sin 2sin ππ+=+
A E i A e e =+π2
二.矩阵函数再微分方程组中的应用—常用于线性监测系统中 1. 一阶线性常导数其次方程组的通解 AZ dt
dZ = 其中()T
n n n x x x X C A ,,,21 =∈⨯ 则有()K e t X At ⋅= 其中()T
n k k k K ,,,21 =
1eg 解方程：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+=+-=+-=3
13212211
234x
x dt
dx x x dt
dx
x x dt dx
解：原方程变为矩阵形式AX dt dX = ⎪
⎪⎪⎭⎫
⎝⎛--=201034011A ()T
x x x X 321,,=
由()()2
12--=-λλλA E 得⎪⎪
⎪⎭
⎫ ⎝⎛=→100110002J A
120
0000-⎪⎪⎪⎭⎫
⎝
⎛=∴P e e e e P e t t
t t At
⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛=∴-321120
00
00
)(k k k P e e e e P t X t t
t t
2. 一阶线性常导数微分方程的定解问题：
1Th :一阶线性常数微分方程组的定解问题：
()
()⎪⎩⎪⎨
⎧==T
n x x x Z AZ
dt dZ
)0(,),0(),0(210 有唯一解)0(X e X At ⋅=
proof :实际上，由
AZ dt
dz
=的通解为K e t Z At ⋅=)( 将初值)0(X 代入，得)0(X k =
)0(Z e X At =∴
由1Th 可的定解问题()⎪⎩⎪
⎨⎧==T
n t x t x t x t X AZ dt dZ
)(,),(),()(002010
的唯一解为()()00)(t X e T X t t A ⋅=-
2eg 求定解问题：()()⎪⎩⎪⎨⎧==T
x Ax
dt dx
1,00,⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=1221A 的解
解：由
0=-A E λ 得i x 32,1±=
对应的特征向量记为：T
i ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=231,1α ⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛-=231,1i β 则，于是矩阵：⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-+=2312311
1
i i
P
1330
0--⋅⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛⋅=∴P e e P e
it it
At
⎪
⎪⎪⎪
⎭
⎫
⎝⎛+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=t t t e t X At 3sin 313cos 3sin 3210)(