高等数学——不定积分课件
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高等数学课件4-1不定积分的定义
积分常数：对任 意函数f(x)，有 ∫(f(x)dx)=∫(f(x )dx)+C，其中C 为积分常数
积分上限函数： 对任意函数f(x)， 有 ∫(f(x)dx)=F(x) +C，其中F(x)为 积分上限函数， C为积分常数
PART THREE
直接积分法是一种常用的不定积分计算方法 直接积分法适用于求解简单、常见的不定积分 直接积分法需要掌握基本的积分公式和技巧 直接积分法需要根据积分公式和技巧进行计算，得出结果
步骤：选择合适 的辅助函数，进 行积分，然后利 用积分公式进行 求解
应用：适用于求 解含有三角函数、 指数函函数， 避免积分过程中 出现错误
积分公式：∫(P(x)/Q(x))dx = ∫P(x)dx/Q(x) + C
单击此处输入你的项正文，文字是您思想的提炼，言简意赅的阐述观点。
积分示例：∫(x^2+1)/(x^2-1)dx
单击此处输入你的项正文，文字是您思想的提炼，言简意赅的阐述观点。
注意事项： a. 确保Q(x)在积分区间内至少有一个根 b. 确保P(x)在 Q(x)的根处可导 c. 确保P(x)在Q(x)的根处的值不为0
a. 确保Q(x)在积分区间内至少有一个根 b. 确保P(x)在Q(x)的根处可导 c. 确保P(x)在Q(x)的根处的值不为0
积分步骤： a. 确定被积函数P(x)/Q(x) b. 确定Q(x)的根 c. 确定 Q(x)的根的乘积 d. 确定P(x)在Q(x)的根处的值 e. 计算积分
a. 确定被积函数P(x)/Q(x) b. 确定Q(x)的根 c. 确定Q(x)的根的乘积 d. 确定P(x)在Q(x)的根处的值 e. 计算积分
不定积分是微分方程的解
不定积分可以用来求解微 分方程
《不定积分》ppt课件
2
2
a2 x2 dx x a2 x2 a2 arcsin x C
2
2
a
.
+ 除牢记积分公式外，还需熟练运用几种常 用方法：
+ 〔1〕换元积分法 + 〔2〕分部积分法 + 〔3〕有理函数积分法〔运用分式变形处置
积分函数联络积分根本公式〕
.
+ 关于换元法的问题 不定积分的换元法是在复合函数求导法那 么的根底上得来的，我们应根据详细实例 来选择所用的方法，求不定积分不象求导 那样有规那么可依，因此要想熟练的求出 某函数的不定积分，只需作大量的练习。
ln a
shxdx chx C
chxdx shx C
dx
ln( x
x2 a2
x2 a2 ) C
I n
2
sin n
0
2
xdx cosn
0
xdx
n 1
n
I n2
x 2 a 2 dx x 2
x 2 a 2 a 2 ln( x 2
x2 a2 ) C
x 2 a 2 dx x 2
2
2
2
.
2.第一类换元法 利用复合函数的一阶微分形式的不变性，通过变量代换求不定积分
简记为
g（x） dx = f φ（x） φ‘（x）dx
例 1.求
e x dx
2x
解：令u =
x，原式= e x d x =
eu du = eu + C = e x + C
例 2.求
arcsin x−x2
x
dx
解
：
令
dt
=
1 4
1 t−3
−
第六章不定积分 《高等数学》课件
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例求co2s2xdx.
解
cos2
x 2
dx
1c2osxdx
12(dxcoxsdx)
1(xsinx)C 2
例求tan2xd.x
解 tan2xdx(se2xc1)dx
se2x cdx dx ta x x n C
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例 求不定积分
1 d x. x3 x
证明：
[ k f ( x ) d x ] k [ f ( x ) d x ] k f ( x ) [ k f ( x ) d x ] .
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五、积分的应用模型实例
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由于经济函数的边际就是经济函数的导数，所以， 由经济函数的边际通过计算不定积分，即可求出经济函数。 步骤如下：
证明： f(x )d x F (x ) C , ( F (x ) C ) f(x ) 结论性质：2 F (x )d x F (x ) C , d(F x)F (x)C .
注：微分运算与求不定积分的运算是互逆的.两个运算在一起时，
d 完全抵消， d 抵消后相差一常数。
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(12)
dx co2sx
se2cxdxtaxn C;
(13)
dx sin2 x
cs2cxdxco x tC ;
(1)4sexc taxndxsexcC;
(1)5csxcoxtdxcsxcC.
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四、不定积分的性质
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由不定积分的定义知，若 F ( x ) 为 f ( x ) 在区间 I 的原函数，即
例求co2s2xdx.
解
cos2
x 2
dx
1c2osxdx
12(dxcoxsdx)
1(xsinx)C 2
例求tan2xd.x
解 tan2xdx(se2xc1)dx
se2x cdx dx ta x x n C
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例 求不定积分
1 d x. x3 x
证明：
[ k f ( x ) d x ] k [ f ( x ) d x ] k f ( x ) [ k f ( x ) d x ] .
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五、积分的应用模型实例
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由于经济函数的边际就是经济函数的导数，所以， 由经济函数的边际通过计算不定积分，即可求出经济函数。 步骤如下：
证明： f(x )d x F (x ) C , ( F (x ) C ) f(x ) 结论性质：2 F (x )d x F (x ) C , d(F x)F (x)C .
注：微分运算与求不定积分的运算是互逆的.两个运算在一起时，
d 完全抵消， d 抵消后相差一常数。
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(12)
dx co2sx
se2cxdxtaxn C;
(13)
dx sin2 x
cs2cxdxco x tC ;
(1)4sexc taxndxsexcC;
(1)5csxcoxtdxcsxcC.
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四、不定积分的性质
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由不定积分的定义知，若 F ( x ) 为 f ( x ) 在区间 I 的原函数，即
高等数学(第三版)课件：不定积分的积分方法
还应注意到，在换元—积分—还原的解题过程中,关 键是换元,若在被积函数中作变量代换 j(x) = u,还需要在
被积表达式中再凑出 j '(x)dx 即 dj(x),也就是 du ,这样才能
以u为积分变量作积分,也就是所求积分化为
f j(x)dj(x) f (u) du Fj(x) C
在上述解题过程中u可不必写出，从这个意义上讲，第 一换元积分法也称为“凑微分”法.
式而可能使其容易积分.当然在求出原函数后， 还要
将 t j1(x) 代回.还原成x的函数，这就是第二换元
积分法计算不定积分的基本思想.
定理2 设 x j(t) 是单调可导的函数，且
j(t) 0. 如果 f j(t)j(t) dt F(t) C,
则有
f (x) d x f j(t)j(t) d t F(t) C
3
1
2x
dx
1 u
1 2
du
=
1 2
1 du u
12 u C 2
3 2x C.
例4 求 x x2 4 dx.
解 令u x2 4，则du 2xdx，则
x
x2
4dx
1 2
udu
12 3
= 2 3u2 C
1 3
(
x2
3
4)2
C.
例5
求
(lnx)2
dx x
解 1 dx d(ln x)， x
= sect dt
= ln | sect tant | C.
x
x2 a2
t
a
根据sec t x ,利用图所示三角形，易得 a
对边 tan t 邻边
x2 a2 ， a
高等数学不定积分的计算教学ppt
dx.
6x 1
3(2x 1) 4
(2x 1)10 dx (2x 1)10 dx
3
4
( (2x
1)9
(2x
1)10
)dx
1
2
3d(2 (2x
x
1) 1)9
1 2
4d(2x 1) (2 x 1)10
3 ( 1) (2x 1)8 2 ( 1) (2x 1)9 C
例8
计算（5）
2x 1 x2 4 x 5 dx.
例8
计算（6）
6x 1 (2 x 1)10
dx.
例8
计算（7）
1
x
x
dx.
例8
计算（8）
(1
x x)3
dx.
例8
计算（1）
1 x2 a2 dx;
x2
1
a2 dx
1 2a
x
1
a
x
1
a
dx
1 2a
d(x a) xa
d(x a) x a
例6 计算
(2 arctan x)2
1 x2
dx.
1 1 x2 dx d(arctan x)
f
(arctan
x
)
1
1 x
2
dx
f
(arctan
x)d(arctan
x)
例6 计算
(2 arctan x)2
1 x2
dx.
1
原式
1 x2 dx d(arctan x)
(2
arctan
x)2
tan
x
1
sec
d(tan x
x
sec
高等数学 课件 PPT 第四章 不定积分
如果一个函数存在原函数，那么这些原函数之间有什 么关系呢？
一、原函数的概念
定理2
若F(x)是函数f(x)在区间I上的一个原函数,则F(x)+C（C为任意 常数）是fx在区间I上的全体原函数.
定理2说明,若一个函数有原函数,则它必有无穷多个原函数,且 它们彼此相差一个常数. 事实上，设F(x)和G(x)都是f(x)的原函数，则
g(x)=f［φ(x)］φ′(x)． 作变量代换u=φ(x)，并将φ′(x)dx凑微分成dφ(x)，则可将关 于变量x的积分转化为关于变量u的积分，于是有
∫f［φ(x)］φ′(x)dx=∫f(u)du． 如果∫f(u)du 可以求出，那么∫g(x)dx 的问题也就解决了，这就 是第一类换元积分法，又称为凑微分法．
一、第一类换元积分法
【例1】
解 本题的关键是将2xdx凑微分得dx2，然后令u=x2，则
【例2】
解 先将被积表达式中的sec2xdx凑微分得dtanx，然后令 u=tanx，再积分，即
一、第一类换元积分法
【例3】
一、第一类换元积分法
注意
（1）求不定积分的方法不唯一，不同方法算出的 答案也不相同，但它们的导数都是被积函数，经过恒等 变形后可以互化，其结果本质上只相差一个常数．
对于给定的函数fx具备什么条件才有原函数？这个问题将 在下一章讨论，这里先介绍一个结论.
一、原函数的概念
定理1
（原函数存在定理）若函数f(x)在区间I上连续,则函数 f(x)在区间I上存在原函数F(x).
由于初等函数在其定义区间上都是连续的,所以初等函 数在其定义区间上都存在原函数. 如果一个函数存在原函数，那么它的原函数是否唯一？事 实上，函数fx的原函数不是唯一的.例如，x2是2x的一个原 函数，而(x2+1)′=2x，故x2+1也是2x的一个原函数.
一、原函数的概念
定理2
若F(x)是函数f(x)在区间I上的一个原函数,则F(x)+C（C为任意 常数）是fx在区间I上的全体原函数.
定理2说明,若一个函数有原函数,则它必有无穷多个原函数,且 它们彼此相差一个常数. 事实上，设F(x)和G(x)都是f(x)的原函数，则
g(x)=f［φ(x)］φ′(x)． 作变量代换u=φ(x)，并将φ′(x)dx凑微分成dφ(x)，则可将关 于变量x的积分转化为关于变量u的积分，于是有
∫f［φ(x)］φ′(x)dx=∫f(u)du． 如果∫f(u)du 可以求出，那么∫g(x)dx 的问题也就解决了，这就 是第一类换元积分法，又称为凑微分法．
一、第一类换元积分法
【例1】
解 本题的关键是将2xdx凑微分得dx2，然后令u=x2，则
【例2】
解 先将被积表达式中的sec2xdx凑微分得dtanx，然后令 u=tanx，再积分，即
一、第一类换元积分法
【例3】
一、第一类换元积分法
注意
（1）求不定积分的方法不唯一，不同方法算出的 答案也不相同，但它们的导数都是被积函数，经过恒等 变形后可以互化，其结果本质上只相差一个常数．
对于给定的函数fx具备什么条件才有原函数？这个问题将 在下一章讨论，这里先介绍一个结论.
一、原函数的概念
定理1
（原函数存在定理）若函数f(x)在区间I上连续,则函数 f(x)在区间I上存在原函数F(x).
由于初等函数在其定义区间上都是连续的,所以初等函 数在其定义区间上都存在原函数. 如果一个函数存在原函数，那么它的原函数是否唯一？事 实上，函数fx的原函数不是唯一的.例如，x2是2x的一个原 函数，而(x2+1)′=2x，故x2+1也是2x的一个原函数.
《高等数学》教学课件 第4章
〔4-3〕
例1 求 2exdx 。
解
2exdx 2 exdx 2ex C
性质2 两个函数代数和的积分等于它们积分的代数和，即
[ f (x) g(x)]dx f (x)dx g(x)dx
〔4-4〕
例2 求 (2x cos x)dx 。
解
(2x cos x)dx 2xdx cosxdx x2 sin x C
令us100
1
1
0.05 u 2du 0.1u 2 C
回代
1
0.1(s 100)2 C
又因为 Q(0) 0，得 C 1 ，故
1
Q 0.1(s 100)2 1
3
例2 求 (1 2x) dx 。
解 将dx凑成 dx 1 d(1 2x) ，则 2
(1
3
2x) dx
1 2
(1
2x)3
二、不定积分的概念
定义2 如果函数 F (x) 是 f (x) 的一个原函数，那么表达式 F (x) C
（ C为任意常数）称为 f (x) 的不定积分，记为 f (x)dx ，即
f (x)dx F (x) C
其中“ ”称为积分号，x 称为积分变量，f (x) 称为被积函
数，f (x)dx 称为被积表达式， C 称为积分常数。dx
1 2a
a
1
x
dx
a
1
x
dx
1 ( ln a x ln a x ) C 2a
1 ln a x C. 2a a x
同理有
1
1 xa
dx ln
C
x2 a2 2a x a
例10 求 csc xdx 。
解
csc xdx
高等数学课件 不定积分
启示 能否根据求导公式得出积分公式？ 结论
既然积分运算和微分运算是互逆的，因 此可以根据求导公式得出积分公式.
1
基 (1) 本 ( 2) 积 分 ( 3) 表
x dx
C kdx kx 1
( k是常数);
( 1);
dx x ln x C ; dx ln x C , 说明： x 0, x 1 1 ( x ) , x 0, [ln( x )] x x dx dx ln( x ) C , ln | x | C , x x dx ln x C . 简写为 x
y F ( x) C ； 4、由 F ' ( x ) f ( x ) 可 知 ， 在 积 分 曲 线 族 y F ( x ) C ( C是任意常数 ) 上横坐标相同的点 处作切线，这些切线彼此是______的； 5、若 f ( x ) 在某区间上______，则在该区间上 f ( x ) 的 原函数一定存在；
已知一曲线 y f ( x ) 在点 ( x , f ( x )) 处的
切线斜率为sec 2 x sin x ，且此曲线与 y 轴的交 点为(0,5)，求此曲线的方程.
解
dy sec 2 x sin x , dx y sec 2 x sin x dx
tan x cos x x 是cos x 的原函数.
ln x 1 ( x 0)
1 ln x 是 在区间( 0, )内的原函数. x
原函数存在定理：
连续函数一定有原函数.
问题：(1) 原函数是否唯一？ 例
sin x cos x
sin x C cos x
既然积分运算和微分运算是互逆的，因 此可以根据求导公式得出积分公式.
1
基 (1) 本 ( 2) 积 分 ( 3) 表
x dx
C kdx kx 1
( k是常数);
( 1);
dx x ln x C ; dx ln x C , 说明： x 0, x 1 1 ( x ) , x 0, [ln( x )] x x dx dx ln( x ) C , ln | x | C , x x dx ln x C . 简写为 x
y F ( x) C ； 4、由 F ' ( x ) f ( x ) 可 知 ， 在 积 分 曲 线 族 y F ( x ) C ( C是任意常数 ) 上横坐标相同的点 处作切线，这些切线彼此是______的； 5、若 f ( x ) 在某区间上______，则在该区间上 f ( x ) 的 原函数一定存在；
已知一曲线 y f ( x ) 在点 ( x , f ( x )) 处的
切线斜率为sec 2 x sin x ，且此曲线与 y 轴的交 点为(0,5)，求此曲线的方程.
解
dy sec 2 x sin x , dx y sec 2 x sin x dx
tan x cos x x 是cos x 的原函数.
ln x 1 ( x 0)
1 ln x 是 在区间( 0, )内的原函数. x
原函数存在定理：
连续函数一定有原函数.
问题：(1) 原函数是否唯一？ 例
sin x cos x
sin x C cos x
《数学分析》第8章 不定积分ppt课件
证 (i) 由 (F( x) C) F ( x) f ( x), 知 F( x) C 也是 f ( x) 在 I 上的原函数.
(ii) 设 F(x) 和 G(x) 是 f (x) 在 I 上的任意两个原 函数, 则
(F ( x) G( x)) F ( x) G( x) f ( x) f ( x) 0.
又如, 已知曲线在每一点处的切线斜率 k( x), 求 f ( x), 使 y f ( x) 的图象正是该曲线, 即使得
f ( x) k( x).
定义1 设函数 f 与 F 在区间 I 上都有定义,若 F ( x) f ( x)， x I ,
则称 f 为 F 在区间 I 上的一个原函数.
例1 (i) 路程函数 s(t) 是速度函数 v(t) 的一个原函
三、不定积分的几何意义
若F (x)是 f (x) 的一个原函数, 则称 y = F (x) 的图
像是 f (x) 的一条积分曲线.
所有的积分曲线都是
y
y F(x)C
由其中一条积分曲线 沿纵轴方向平移而得 到的.
y F(x) ( x0 , y0 )
O
x
满足条件 F ( x0 ) y0 的原函数正是在积分曲线中 通过点( x0 , y0 )的那一条积分曲线. 例如, 质点以匀速 v0 运动时, 其路程函数
§1 不定积分概念与 基本积分公式
不定积分是求导运算的逆运算.
一、原函数 二、不定积分 三、不定积分的几何意义 四、基本积分表
一、原函数
微分运算的逆运算是由已知函数 f (x), 求函数F(x), 使
F ( x) f ( x). 例如 已知速度函数 v(t ), 求路程函数 s(t ). 即求
s(t), 使 s(t) v(t).
高等数学-不定积分课件
贰
请在此添加较简洁标题内容
在区间 I 上的一个原函数 .
定义 1 . 若在区间 I 上定义的两个函数 F (x) 及 f (x)
满足
则称 F (x) 为f (x)
问题:
1. 在什么条件下, 一个函数的原函数存在 ?
2. 若原函数存在, 它如何表示 ?
定理.
01
存在原函数 .
02
初等函数在定义区间上连续
则
原式
例19. 求
原式
解: 原式
例20. 求
解: 原式 =
例21. 求
例22. 求
解: 令
得
原式
CONTENTS
思考与练习
壹
下列积分应如何换元才使积分简便 ?
单击此处添加文本具体内容
贰
叁
肆
第三节
由导数公式
积分得:
分部积分公式
或
1) v 容易求得 ;
容易计算 .
分部积分法
第四章
解: 令
03
4.5 1,2,3,4,
05
4.2 1(1,2,4,6,7,9,12,15,16,18) 4 5
02
4.4 1,3,5,7,9,11
04
作业 P218
得 0 = 1
下述运算错在哪里? 应如何改正?
答: 不定积分是原函数族 , 相减不应为 0 .
第四节
有理函数的积分
第四章
一、有理函数的积分
有理函数: 时, 多项式 + 真分 式 分解 若干部分分式之和
其中部分分式的形式为
A
有理函数
B
相除
C
例1. 将下列真分式分解为部分分式 : 解: 用拼凑法
高等数学第四章 第二节不定积分 课件
1 x+ 1 例17 求 ∫ (1 − 2 )e x dx . x ′ 1 1 解 ∵ x + = 1− 2 , x x
1 ∴ ∫ (1 − 2 )e x = ∫e
x+ 1 x
x+
1 x
dx
1 x+ 1 d( x + ) = e x + C. x
例18 求 解
cot x dx ∫ ln sin x
同样可证
∫ csc xdx = ln csc x − cot x + C
或
x 1 1 − cos x = ln tan + C = ln + C. 2 1 + cos x 2
1 dx . 例12 求∫ 1 + cos x 1 1 − cos x 解法一 ∫ dx = ∫ dx 1 + cos x (1+ cos x)(1− cos x) 1 − cos x 1 1 dx = ∫ 2 dx − ∫ 2 d (sin x ) =∫ 2 sin x sin x sin x 1 = − cot x + + C. sin x
x x
1 8) ∫ f ( x ) d x = 2∫ f ( x )d x x
1 9) ∫ f (arctan x) d x = ∫ f (arctan x)darctan x 2 1+ x
例7. 求
dln x 1 d(1+ 2ln x) 解: 原式 = ∫ = ∫ 1+ 2ln x 2 1+ 2ln x
其中 ψ − 1 ( x ) 是 x = ψ ( t ) 的反函数。 的反函数。
d (( ∫ f [ψ ( t )]ψ ′( t ) dt )
《不定积分教学》课件
不定积分的性质
总结词
不定积分的性质是理解不定积分的关键，它包括比较定理、积分中值定理等。
详细描述
比较定理指出，如果一个函数在某个区间上大于或小于另一个函数，那么它的不定积分在相应的区间上也大于或 小于另一个函数的不定积分。积分中值定理则指出，如果一个函数在某个区间上连续，那么在这个区间上至少存 在一点，使得函数在该点的值等于函数在该区间上的不定积分值的平均值。
在电磁学中，不定积分可以用于 求解电场、磁场、电流等物理量 的分布和变化规律。
微积分基本定理
要点一
微积分基本定理
微积分基本定理是微积分学中的核心定理之一，它建立了 不定积分和定积分之间的联系，即牛顿-莱布尼茨公式。
要点二
计算方法
通过微积分基本定理，可以计算定积分的值，从而得到原 函数或物理量的具体数值。
针对学生在使用换元法和分部积分法时存在的问 题，加强相关训练。
及时总结与反思
学生应及时总结解题经验，反思自己在解题过程 中存在的问题，以便进一步提高。
05
总结与回顾
本章重点回顾
不定积分的概念
回顾了不定积分的定义、性质和计算方法，以及不定积分与原函数 的关系。
不定积分的计算方法
总结了不定积分的多种计算方法，包括直接积分法、换元积分法、 分部积分法等，并给出了相应的例题和练习题。
C)，其中 (C) 是积分常数。
换元积分法
总结词
换元积分法是通过引入新的变量来简化 不定积分计算的方法。
VS
详细描述
换元积分法的关键是选择适当的换元，将 复杂的不定积分转化为简单的不定积分或 已知的积分。通过换元，可以将不定积分 的被积函数转化为更易于处理的形式，从 而简化计算过程。
《新编高等数学》课件5高等数学-第五章 不定积分
（11） csc x cot xdx csc x C
（12） a xdx a x C
ln a
（13） e xdx e x C
12
第一节 不定积分的概念和性质 三、基本积分表
以上所列基本积分公式是求不定积分的基础，必须熟记。
例5-2 求
1 x2
dx
解
1 x2
dx
x2dx
1 x21 C 2 1
x2
dx
x
3
3 x
1 x2
dx
xdx
3
dx
3dx x
1 x2
dx
1 x2 3x 3ln | x | 1 C
2
x
18ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
第一节 不定积分的概念和性质
x2
例5-10 求 1 x2 dx
四、不定积分的性质
解
x2 1 x2
dx
x2 1
1 x2
1
dx
1
1 1 x2
dx
x arctan x C
19
第一节 不定积分的概念和性质 四、不定积分的性质
例5-11 求
1
dx
sin2 x cos2 x
解
1
dx sin2 x cos2 x dx
sin2 x cos2 x
sin2 x cos2 x
1 cos2
x
1 sin 2
x
dx
tan x cot x C
20
第二节 第一类换元积分法
解 (3ex sin x 2)dx 3 exdx sin xdx 2 dx
3ex cos x 2x C
15
第一节 不定积分的概念和性质 四、不定积分的性质
（12） a xdx a x C
ln a
（13） e xdx e x C
12
第一节 不定积分的概念和性质 三、基本积分表
以上所列基本积分公式是求不定积分的基础，必须熟记。
例5-2 求
1 x2
dx
解
1 x2
dx
x2dx
1 x21 C 2 1
x2
dx
x
3
3 x
1 x2
dx
xdx
3
dx
3dx x
1 x2
dx
1 x2 3x 3ln | x | 1 C
2
x
18ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
第一节 不定积分的概念和性质
x2
例5-10 求 1 x2 dx
四、不定积分的性质
解
x2 1 x2
dx
x2 1
1 x2
1
dx
1
1 1 x2
dx
x arctan x C
19
第一节 不定积分的概念和性质 四、不定积分的性质
例5-11 求
1
dx
sin2 x cos2 x
解
1
dx sin2 x cos2 x dx
sin2 x cos2 x
sin2 x cos2 x
1 cos2
x
1 sin 2
x
dx
tan x cot x C
20
第二节 第一类换元积分法
解 (3ex sin x 2)dx 3 exdx sin xdx 2 dx
3ex cos x 2x C
15
第一节 不定积分的概念和性质 四、不定积分的性质
第4章-不定积分 高等数学教学课件
考察不定积分 cos 3xdx.
显然cos 3x的原函数不能由基本积分公式直接求出,
但cos3x是基本初等函数f (u) = cosu与 u=3x的复合函数.
sin 3x' 3cos3x,1 sin 3x就是cos3x的一个原函数.
3
cos 3x的原函数与cos u的原函数关系密切,前者可通过后者求得.
表达式.
定义2 若F(x)是函数f (x) 在区间I上的一个原函数,
则f (x)的原函数的一般表达式F(x)+C称为f (x)的不定积
分，记作 f (x)dx,即
f (x)dx F(x) C,
其中 称为积分号，f (x)称为被积函数, f (x)dx称为被积表达式,
x称为积分变量, C称为积分常数.
(3)如果f (x)有多个原函数，那么这些原函数之 间有什么关系？
对此有如下三个定理:
定理1(原函数存在定理)
如果f (x)在某一区间连续，那么它在该区 间的原函数一定存在. 注 (1)由于初等函数在其定义域内都是连续的，故 初等函数在其定义域内都有原函数.
(2)一个函数的原函数不是唯一的.
定理2
证明 G 'x F 'x f x, x I, G x F x ' G '(x) F '(x) f (x) f (x) 0, x I.
由Lagrange中值定理，知
Gx F x C0, xI，
其中 C0是常数.
证毕
由定理2和3知,若F(x) 是f (x)的一个原函数,则 f (x) 的所有原函数全体就是形如F(x)+C的函数构成的集, 其中C为任意常数. 因此,F(x)+C是f (x)的原函数的一般
《高数不定积分》课件
对求解结果进行检查，确认计算结果是否正确。
总结与复习
通过本课件的学习，您已经了解了不定积分的基本概念、公式和常见函数的积分方法，以及常见题型的解决步骤。 现在可以进行总结和复习，巩固所学内容。
部分特殊函数的不定积分需要 使用特定的公式和技巧进行求 解，如指数函数和对数函数。
解决不定积分例题的步骤与方法
1 分析与拆解
2 选择合适的方法
仔细阅读题目，分析函数的特征，并拆解成基本 的函数表达式。
根据不同的函数类型，选择换元法、分部积分法 等适合的方法进行计算。
3 化简与推导
4 检查答案
根据所选方法，化简积分表达式，并推导出结果。
基本不定积分公式
常数函数
∫kdx = kx + C
幂函数
∫x^n dx = (x^(n+1))/(n+1) + C, 其中n≠-1
指数函数
∫e^x dx = e^x + C
三角函数
∫sinx dx = -cosx + C
常见初等函数的不定积分
指数函数
求解e^x的不定积分时，结果是e^x 本身。
三角函数
不定积分涉及正弦、余弦等三角函 数时，需要根据具体的公式进行求 解。
对数函数
∫1/x dx = ln|x| + C，对数函数的 不定积分需要使用特定的公式。
换元法与分部积分法
1
分部积分法
2
将不定积分中的乘积表达式应用分部积分
公式，化简积分运算。
3
换元法
将不定积分中的自变量进行变换，通过代 换简化积分的计算。
技巧与窍门
熟练掌握换元法和分部积分法的常用技巧， 能够灵活运用于不定积分的求解。
《高数》不定积分》课件
《高数》不定积分》PPT 课件
本PPT课件详细介绍了《高数》中的不定积分，包括不定积分的定义、基本积 分公式、常用的不定积分法、分部积分法、三角函数的不定积分、倒代换法、 不定积分的应用以及综合例题。
不定积分的定义
1 什么是不定积分
不定积分是反导函数的概念，表示函数的原函数的集合。
2 符号表示
常用的符号表示为∫f(x)dx，其中f(x)为被积函数。
3
三角恒等变换
利用三角函数的基本恒等变换简化积分计算。
三角函数的不定积分
正弦函数的不定积分
正切函数的不定积分
对正弦函数积分得到负余弦函数。
对正切函数积分得到自然对数函 数的绝对值。
余切函数的不定积分
对余切函数积分得到自然对数函 数的绝对值的负数。
倒代换法
倒代换法是一种高级的积分方法，通过变量的倒代换将含有平方根或有理函数的积分转化为更容易求解的形式。
不定积分的应用
1 曲线的长度
通过对曲线方程求导然后 对导函数进行积分，可以 计算曲线的长度。
2 曲线下面积
通过不定积分计算曲线与 x轴之间的面积，可以得 到曲线下面积。
3 函数的平均值
通过对函数进行积分，可 以计算函数在一个区间上 的平均值。
综合例题
例题1
计算∫(2x^3+4x^2-6x+8)dx。
例题3
计算∫(1/x)dx，其中x不等于0。
例题2
计算∫(e^x+sinx+cosx)dx。源自基本积分公式常数积分
对常数函数积分得到一个与x无关的常数。
指数函数积分
对指数函数积分得到与指数函数相同的函数。
幂函数积分
对幂函数积分得到幂次数加一的函数。
本PPT课件详细介绍了《高数》中的不定积分，包括不定积分的定义、基本积 分公式、常用的不定积分法、分部积分法、三角函数的不定积分、倒代换法、 不定积分的应用以及综合例题。
不定积分的定义
1 什么是不定积分
不定积分是反导函数的概念，表示函数的原函数的集合。
2 符号表示
常用的符号表示为∫f(x)dx，其中f(x)为被积函数。
3
三角恒等变换
利用三角函数的基本恒等变换简化积分计算。
三角函数的不定积分
正弦函数的不定积分
正切函数的不定积分
对正弦函数积分得到负余弦函数。
对正切函数积分得到自然对数函 数的绝对值。
余切函数的不定积分
对余切函数积分得到自然对数函 数的绝对值的负数。
倒代换法
倒代换法是一种高级的积分方法，通过变量的倒代换将含有平方根或有理函数的积分转化为更容易求解的形式。
不定积分的应用
1 曲线的长度
通过对曲线方程求导然后 对导函数进行积分，可以 计算曲线的长度。
2 曲线下面积
通过不定积分计算曲线与 x轴之间的面积，可以得 到曲线下面积。
3 函数的平均值
通过对函数进行积分，可 以计算函数在一个区间上 的平均值。
综合例题
例题1
计算∫(2x^3+4x^2-6x+8)dx。
例题3
计算∫(1/x)dx，其中x不等于0。
例题2
计算∫(e^x+sinx+cosx)dx。源自基本积分公式常数积分
对常数函数积分得到一个与x无关的常数。
指数函数积分
对指数函数积分得到与指数函数相同的函数。
幂函数积分
对幂函数积分得到幂次数加一的函数。
高等数学(第三版)课件：不定积分的概念与性质
解 (3x 2sin x)dx 3xdx 2 sin xdx 3x 2 (cos x) C
ln 3
3x 2cos x C.
ln 3
例8 求 x (x1)2dx.
解
x
(x1)2
5
x2
(
x
1)
2dx
(
x
5 2
2
x
3 2
x
1 2
)dx
5
3
1
x 2dx 2 x 2dx x 2dx
1 x 2dx arctan x C.
例3
求
1dx. x
解 当x 0时，有(ln x)' 1 . x
1dx x
ln
x
C
(x 0)
当x 0时，有ln(x)' 1 (x)' 1 (1) 1 ,
x
x
x
又
1dx x
ln(
x)
C.
ln x 当x 0,
ln x ln( x)
当x 0,
[f (x) g(x)]dx f (x)dx g(x)dx
性质2可以推广到有限多个函数的情形，即
[
f
(x)
1
f
(x)
2
f (x)]dx n
f
(x)dx
1
f
(x)dx
2
f
(x)dx
n
例6 求 (2x3 5 x2 4x 3)dx. 解 (2x3 5 x2 4x 3)dx
2 x3dx 5 x2dx 4xdx 3dx
2 x3dx 5 x2dx 4 xdx 3 dx
1 2
x4
5 3
x3
2
x2
ln 3
3x 2cos x C.
ln 3
例8 求 x (x1)2dx.
解
x
(x1)2
5
x2
(
x
1)
2dx
(
x
5 2
2
x
3 2
x
1 2
)dx
5
3
1
x 2dx 2 x 2dx x 2dx
1 x 2dx arctan x C.
例3
求
1dx. x
解 当x 0时，有(ln x)' 1 . x
1dx x
ln
x
C
(x 0)
当x 0时，有ln(x)' 1 (x)' 1 (1) 1 ,
x
x
x
又
1dx x
ln(
x)
C.
ln x 当x 0,
ln x ln( x)
当x 0,
[f (x) g(x)]dx f (x)dx g(x)dx
性质2可以推广到有限多个函数的情形，即
[
f
(x)
1
f
(x)
2
f (x)]dx n
f
(x)dx
1
f
(x)dx
2
f
(x)dx
n
例6 求 (2x3 5 x2 4x 3)dx. 解 (2x3 5 x2 4x 3)dx
2 x3dx 5 x2dx 4xdx 3dx
2 x3dx 5 x2dx 4 xdx 3 dx
1 2
x4
5 3
x3
2
x2
高等数学(第二版)上册课件：不定积分
性质3可以推广到有限个函数的情形． 不定积分的性质以及基本积分公式是求不定积分的
基础，记忆常见函数的积分公式，便能熟练计算可化为 几个基本初等函数线性组合的积分．在应用这些公式时, 有时需要对被积函数作适当变形,化成能直接套用基本积 分公式的情况，一般称这种不定积分计算方法为直接积 分法.
现将常见的一些基本积分公式列表如下：
就简，略去设中间变量和换元的步骤，而直接凑成
基本积分公式的形式．
例4.2.5
求
x
1 ln
dx x
分析 将 1 作为 x ，将其凑成微分部分.
x
解：
x
1 ln
dx x
1 dln
ln x
x
lnlnxC
例4.2.6
求
1 a2 x2 dx
分析
凑微分，利用积分公式
1
1 x
2
dx
arc
tan
x
C
计算.
sin
udu
1cosu C 3
1 cos3x C 3
例4.2.3
求
1 dx. 2 x +7
解
被积函数
1 2x+7
可看成
1 u与
u 2x+7
构成的复合
函数，虽没有 u 2 这个因子，但我们可以凑出这个
因子： 1 1 1 2 1 1 (2x 7) 2x+7 2 2x+7 2 2x 7
xC，
例4.1.3 求
x 1 x 1 dx x
分析 首先把被积函数化为和式，然后再逐项积分.
解
x 1 x 1 dx x
x
x x 1
1 x
dx
不定积分的概念【高等数学PPT课件】
1)
dx
1
dx x
2
1 x3 x arctan x C 3
例8. 设
f ( x3 )
1 x2
求
f (x)
解: 令 x3 t x 3 t
f (t)
1
2
t3
f
(t )dt
1 2 dt
t3
1
即 f (t) 3t 3 c
例9. 质点在距地面 处以初速 垂直上抛 , 不计阻 力, 求它的运动规律.
v0t
x0
解:
y
所求曲线过点 ( 1 , 2 ) , 故有
(1, 2)
o
x
因此所求曲线为 y x2 1
从不定积分定义可知:
(1)
d dx
f (x)d x
f (x)
或 d
f (x)dx
f (x)dx
(2) F(x) dx F (x) C 或 d F (x) F (x) C
f (x)dx ki fi (x)dx i 1
例4. 求
解: 原式 = [(2e)x 5 2x )dx
(2e)x 5 2x C ln(2e) ln 2
2
x
ln
ex 2
1
5 ln 2
C
例5. 求
解: 原式 = (sec2x 1)dx sec2xdx dx tan x x C
f ( x)dx F( x) C
积 分 号
被 积 函 数
被 积 表 达
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- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
4. 求下列积分:
提示:
(1)
2 2 1 1 1 1 ( x ) x 2 2 2 2 2 2 x 1 x x (1 x ) x (1 x )
1 sin 2 x cos 2 x (2) 2 2 sin x cos x sin 2 x cos 2 x
sec x csc x
根据牛顿第二定律, 加速度
A 因此问题转化为: 已知 v(t ) sin t , 求 v(t ) ? m
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定义 1 . 若在区间 I 上定义的两个函数 F (x) 及 f (x) 满足 则称 F (x) 为f (x) 在区间 I 上的一个原函数 . 问题: 1. 在什么条件下, 一个函数的原函数存在 ? 2. 若原函数存在, 它如何表示 ?
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定理. 存在原函数 . 初等函数在定义区间上连续
初等函数在定义区间上有原函数
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定理.
原函数都在函数族 ( C 为任意常数 ) 内 .
定义 2.
在区间 I 上的原函数全体称为
其中
上的不定积分, 记作
— 积分号;
— 积分变量;
— 被积函数;
— 被积表达式. 常数C不能丢掉
注: 当
时
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例2. 求
解:
1 dx 2 x)2 a 1 (a x 1 令 u , 则 du d x a a 1 1 du arctan u C 2 a a 1 u
du 1 u2 arctan u C
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例3. 求
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例5. 求
2 (sec x 1)dx 解: 原式 =
sec 2 xdx dx tan x x C
例6. 求
x (1 x 2 ) dx 解: 原式 = 2 x(1 x ) 1 1 arctan x ln x C d x d x x 1 x2
则
n
推论: 若
ki f i ( x)dx f ( x)dx i 1
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例4. 求
解: 原式 =
[(2e)
x
x
5 2 )dx
x
(2e) 2x C 5 ln(2e) ln 2
x e 5 x 2 C ln 2 1 ln 2
公式
f (u )du
即
u ( x)
f [ ( x)] ( x)dx f ( ( x))d ( x)
(也称配元法 , 凑微分法)
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例1. 求
解: 令 u a x b , 则 d u adx , 故 原式 = u
m
1 1 1 m 1 du u C a a m 1
d( x a ) 1 d( x a ) xa 2a x a
1 ln x a ln x a 2a
1 xa C C ln 2a x a
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(6) (7 )
(8)
x x f ( e )e dx
(2)
F ( x) dx F ( x) C
或 d F ( x) F ( x) C
二、 基本积分表 p170-171
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例2. 求
例3. 求
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三、不定积分的性质
1.
k f ( x) dx k f ( x)dx (k 0) 2. [ f ( x) g ( x)] dx f ( x)dx g ( x) d x
1 f (ln x) dx x
f (tan x)sec 2 xdx
dtan x
de
x
dln x
例6. 求
dln x 1 d(1 2 ln x) 解: 原式 = 1 2 ln x 2 1 2 ln x
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例7. 求
e3
x
x
dx .
3 x
x
解: 原式 = 2 e
解:
a
dx
x)2 1 (a
x) d (a x )2 1 (a
du 1 u2
arcsin u C
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例4. 求 解:
sin x dcos x cos xdx cos x
类似
cos x dx d sin x sin x sin x
f ( x ) e C0 1 f (ln x) C0 x f (ln x) 1 C0 2 x x x
x
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3. 若
是( B ).
的导函数为
则
的一个原函数
( A) 1 sin x ; (C ) 1 cos x ;
提示: 已知 求 即
x x x
ln(1 e ) ln[e (e 1)] 两法结果一样
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例10. 求
cos x d sin x dx 2 cos x 1 sin 2 x 1 1 1 d sin x 2 1 sin x 1 sin x 1 ln 1 sin x ln 1 sin x C 2 1 1 sin x ln C 2 1 sin x
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例11. 求
x3 (x2 a2 )
3 2
dx .
1 1 (x2 a2 ) a2 2 x 2 dx 2 dx 解: 原式 = 3 3 2 ( x2 a2 ) 2 2 (x2 a 2 ) 2 1 2 2 2 2 12 ( x a ) d( x a ) 2 a2 2 2 2 2 3 2 d ( x a ) (x a ) 2
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dx . 例9. 求 x 1 e 解法1 x x x d ( 1 e ) (1 e ) e dx d x x 1 ex 1 e x x ln(1 e ) C
解法2
e x d(1 e x ) dx x x 1 e 1 e ln(1 e x ) C
dF [ ( x)] f [ ( x)] ( x)dx F [ ( x)] C F (u ) C
f (u )du
u ( x )
u ( x )
第一类换元法 第二类换元法
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一、第一类换元法
定理1. 设 f (u ) 有原函数 , u ( x) 可导 , 则有换元
若
则
( C 为任意常数 )
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不定积分的几何意义: 的原函数的图形称为 的积分曲线 . 的所有积分曲线组成 的平行曲线族.
f ( x) dx 的图形
y
o
x0
机动
x
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例1. 设曲线通过点( 1 , 2 ) ,且其上任一点处的切线
斜率等于该点横坐标的两倍, 求此曲线的方程.
B 1 x2
( A B) 2 Ax
1 x2 A B 0 2A 1
A 1 2 1 B 2
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第三节 换元积分法
一、第一类换元法 二、第二类换元法
第四章
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基本思路
设 F (u ) f (u ) , 可导, 则有
2 3 e 3
2 3 x d x e d(3 x ) 3 C
例8. 求 sec 6 xdx .
2 tan xd x 解: 原式 = (tan 2 x 1) 2 d sec
(tan 4 x 2 tan 2 x 1) dtan x
2 3 1 5 tan x tan x tan x C 3 5
1. 若
x
2
f (ln x) d x
1 2 x C 2
x e 提示: 1 ln x f (ln x) e x
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2. 若
是 e x 的原函数 , 则 1 f (ln x) C0 ln x C d x x x
提示: 已知 f ( x) e x
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例5. 求 解:
1 ( x a) ( x a) 1 1 1 1 ( ) 2 2 2a ( x a)( x a ) 2a x a x a x a
1 dx dx ∴ 原式 = 2a x a xa
cos x dx