第一章集合知识点整理
完整版)人教版高一数学必修一集合知识点以及习题
完整版)人教版高一数学必修一集合知识点以及习题高一数学必修第一章集合1.集合的概念集合是指一定范围内、确定的、可区别的事物，将其作为一个整体来看待，就叫做集合，简称集。
其中的各事物叫作集合的元素或简称元。
集合的元素具有三个特性：确定性、互异性和无序性。
确定性指元素是明确的，如世界上最高的山。
互异性指元素是不同的，如由HAPPY的字母组成的集合{H,A,P,Y}。
无序性指元素的排列顺序不影响集合的本质，如{a,b,c}和{a,c,b}是同一个集合。
集合可以用大括号{…}表示，如{我校的篮球队员}、{太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋}。
集合也可以用拉丁字母表示，如A={我校的篮球队员}，B={1,2,3,4,5}。
集合的表示方法有列举法和描述法。
常用的数集及其记法有：非负整数集（即自然数集）记作N，正整数集记作N*或N+，整数集记作Z，有理数集记作Q，实数集记作R。
2.集合间的关系集合间有包含关系和相等关系。
包含关系又称为“子集”，表示一个集合的所有元素都属于另一个集合。
如果集合A的所有元素都属于集合B，则称A是B的子集，记作A⊆B。
如果A和B是同一集合，则称A是B的子集，记作A⊆B。
反之，如果集合A不包含于集合B，或集合B不包含于集合A，则记作A⊈B或B⊈A。
相等关系表示两个集合的元素完全相同，记作A=B。
真子集是指如果A⊆B，且A≠B，则集合A是集合B的真子集，记作A⊂B（或B⊃A）。
如果XXX且B⊆C，则A⊆C。
如果XXX且B⊆A，则A=B。
空集是不含任何元素的集合，记为Φ。
规定空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集。
3.集合的运算集合的运算包括交集、并集和补集。
交集是由所有属于A 且属于B的元素所组成的集合，记作A∩B。
并集是由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，记作A∪B。
补集是由S中所有不属于A的元素所组成的集合，记作A的补集。
如果S是一个集合，A是S的一个子集，则A的补集为由S中所有不属于A的元素组成的集合。
高一数学必修一集合知识点梳理
高一数学必修一集合知识点梳理一、集合的概念：1.集合：由一些确定的事物按照一定的规则组成的整体。
2.元素：构成集合的单个事物。
3.集合的表示方法：枚举法、描述法。
4.空集：不包含任何元素的集合，用符号∅表示。
5.集合的相等：两个集合的元素完全相同，则称两个集合相等。
二、集合的运算：1.并集：包含两个集合中的所有元素的集合，用符号∪表示。
2.交集：包含两个集合中共有的元素的集合，用符号∩表示。
3.差集：包含第一个集合中有而第二个集合中没有的元素的集合，用符号\(A-B\)表示。
4.互斥集：两个集合没有相同的元素，即交集为空集。
5.补集：在一个全集中，除去一个集合的元素剩下的元素构成的集合，用符号A'表示。
三、集合的关系：1. 子集：如果集合A的所有元素都是集合B的元素，则称集合A是集合B的子集，用符号\( A \subseteq B \)表示。
2. 真子集：如果集合A是集合B的子集且集合A不等于集合B，则称集合A是集合B的真子集，用符号\( A \subset B \)表示。
3. 幂集：由原集合的所有子集构成的集合，用符号\(\mathcal{P}(A)\)表示。
四、集合的拓展：1.有限集与无限集：元素个数有限的集合称为有限集，元素个数不限的集合称为无限集。
2.嵌套集：集合中的元素本身也是集合的集合。
3.无序对：是由两个元素组成的二元关系，其中元素的顺序是不重要的。
4.索引集：用一个集合的所有元素作为索引的集合。
五、集合的运用：1.列举集合的元素。
2.解集合间的元素关系问题。
3.使用集合运算解决实际问题。
4.使用文氏图表示集合的关系。
六、集合的应用：1. Venn图：用圆形表示集合，用图示的方式描述集合间的关系和运算。
2.元素的分类：将一组事物按其中一种特征分类，构建一个集合。
3.基数计数：通过挑选元素，建立元素与集合间的一一对应关系，测量集合中元素的个数。
4.群体角度问题：确定集合元素满足其中一种性质的条件，并找出集合中所满足不同性质条件的元素个数。
高一上册数学必修《集合的基本关系》知识点梳理
高一上必修一第一章《集合与常用逻辑用语》知识点梳理1.1.2集合的基本关系学习目标1. 理解集合之间包含与相等的含义；2. 能识别给定集合的子集；3. 能判断给定集合间的关系. 重难点 重点：理解集合间包含与相等的含义．难点：包含关系的判断与证明．（空集与任意集合的关系）.学习新知1.子集一般地，如果集合的任意一个元素都是集合的元素，那么集合称为集合的子集.（1）记作(或);（2）读作“包含于”（或“包含”）；（3）不是的子集，记作(或).尝试与发现尝试(1)根据子集的定义判断，如果，那么吗？根据子集的定义，；发现(1)：非空集合都是它自身的子集，即成立.尝试（2）：是的子集吗？根据子集的定义，是的子集.发现(2)：成立尝试（3）:你认为可以规定空集是任意一个集合的子集吗？为什么？因为空集不包含任何元素，不会出现“内有元素不在集合”的可能，因此，这里的也可以是空集.发现(3)：空集是任意一个集合的子集.2.真子集一般地，如果集合是集合的子集，并且中至少有一个元素不属于，那么集合称为集合的真子集，（1）记作（或）；（2）读作“真包含于”（或“真包含”） .尝试与发现尝试(1)：分析集合,之间的关系。
发现(1)：.尝试(2):是任意任意一个集合的真子集吗？发现(2)：是任意任意一个非空集合的真子集 .尝试(3): 能否借助图形来形象地表示两个集合的真子集关系？，，发现（3）如果用平面上一条封闭曲线的内部来表示集合，那么我们就可以作出示意图来形象地表示集合之间的关系,这种示意图通常称为维恩图.尝试（4）：对于集合，，,如果，，那么， 之间有什么关系？发现（4）：对于集合，，,如果，，则.尝试（5）：对于集合，，,如果，，那么， 之间有什么关系？如何用维恩图来描述它们之间的关系？发现（5）：对于集合，，,如果，，则.尝试（6）：对于集合，，,如果，，那么， 之间有什么关系？发现（6）：对于集合，，,如果，，则.例题讲解：例1 写出集合的所有子集和真子集.分析：该集合有3个元素，可以考虑从元素个数的不同选取入手，形成不同的集合。
高中数学第一章集合与常用逻辑用语知识点总结全面整理(带答案)
高中数学第一章集合与常用逻辑用语知识点总结全面整理单选题1、设x∈R，则“1<x<2”是“−2<x<2”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要答案：A分析：根据集合{x|1<x<2}是集合{x|−2<x<2}的真子集可得答案.因为集合{x|1<x<2}是集合{x|−2<x<2}的真子集，所以“1<x<2”是“−2<x<2”的充分不必要条件.故选：A小提示：名师点评本题考查充分不必要条件的判断，一般可根据如下规则判断：（1）若p是q的必要不充分条件，则q对应集合是p对应集合的真子集；（2）p是q的充分不必要条件，则p对应集合是q对应集合的真子集；（3）p是q的充分必要条件，则p对应集合与q对应集合相等；（4）p是q的既不充分又不必要条件，q对的集合与p对应集合互不包含．2、集合M={2,4,6,8,10},N={x|−1<x<6}，则M∩N=（）A．{2,4}B．{2,4,6}C．{2,4,6,8}D．{2,4,6,8,10}答案：A分析：根据集合的交集运算即可解出．因为M={2,4,6,8,10}，N={x|−1<x<6}，所以M∩N={2,4}．故选：A.3、已知集合A={x|x2−2x≤0}，B={−1,0,3}，则(∁R A)∩B=（）A．∅B．{0,1}C．{−1,0,3}D．{−1,3}答案：D分析：先由一元二次不等式的解法求得集合A，再由集合的补集和交集运算可求得答案.因为A={x|x2−2x≤0}={x|0≤x≤2}，所以∁R A={x|x<0或x>2}，又B={−1,0,3}，所以(∁R A)∩B={−1,3}，故选：D．4、若集合U={0,1,2,3,4,5},A={0,2,4}，B={3,4}，则(∁U A)∩B=（）．A．{3}B．{5}C．{3,4,5}D．{1,3,4,5}答案：A分析：根据补集的定义和运算求出∁U A，结合交集的概念和运算即可得出结果.由题意知，∁U A={1,3,5}，又B={3,4}，所以(∁U A)∩B={3}.故选：A5、下列说法正确的是（）A．由1，2，3组成的集合可表示为{1,2,3}或{3,2,1}B．∅与{0}是同一个集合C．集合{x|y=x2−1}与集合{y|y=x2−1}是同一个集合D．集合{x|x2+5x+6=0}与集合{x2+5x+6=0}是同一个集合答案：A分析：根据集合的定义和性质逐项判断可得答案集合中的元素具有无序性，故A正确；∅是不含任何元素的集合，{0}是含有一个元素0的集合，故B错误；集合{x|y=x2−1}=R，集合{y|y=x2−1}={y|y≥−1}，故C错误；集合{x|x2+5x+6=0}={x|(x+2)(x+3)=0}中有两个元素−2,−3，集合{x2+5x+6=0}中只有一个元素，为方程x2+5x+6=0，故D错误.故选：A.6、2022年3月21日，东方航空公司MU5735航班在广西梧州市上空失联并坠毁．专家指出：飞机坠毁原因需要找到飞机自带的两部飞行记录器（黑匣子），如果两部黑匣子都被找到，那么就能形成一个初步的事故原因认定.3月23日16时30分左右，广西武警官兵找到一个黑匣子，虽其外表遭破坏，但内部存储设备完整，研究判定为驾驶员座舱录音器．则“找到驾驶员座舱录音器”是“初步事故原因认定”的（ ）A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件答案：C分析：因为两部黑匣子都被找到，就能形成一个初步的事故原因认定，根据充分与必要条件的定义即可判断出结果．因为两部黑匣子都被找到，就能形成一个初步的事故原因认定，则“找到驾驶员座舱录音器”不能形成“初步事故原因认定”；而形成“初步事故原因认定”则表示已经“找到驾驶员座舱录音器”，故“找到驾驶员座舱录音器”是“初步事故原因认定”的必要不充分条件，故选：C ．7、若a 、b 为实数，则“ab >1”是“b >1a ”的（ ） A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案：D分析：利用推理判断或举特例说明命题“若ab >1，则b >1a ”和“若b >1a ，则ab >1”的真假即可作答.若ab >1成立，取a =−1,b =−2，而−2<1−1，即命题“若ab >1，则b >1a ”是假命题， 若b >1a 成立，取a =−1,b =2，而(−1)⋅2<0，即命题“若b >1a ，则ab >1”是假命题，所以“ab >1”是“b >1a ”的既不充分也不必要条件.故选：D8、下列命题中正确的是（ ）①∅与{0}表示同一个集合②由1，2，3组成的集合可表示为{1,2,3}或{3,2,1}③方程(x −1)2(x −2)=0的所有解的集合可表示为{1,1,2}④集合{x∣4<x<5}可以用列举法表示A．只有①和④B．只有②和③C．只有②D．以上都对答案：C分析：由集合的表示方法判断①，④；由集合中元素的特点判断②，③．解：对于①，由于“0”是元素，而“{0}”表示含0元素的集合，而ϕ不含任何元素，所以①不正确；对于②，根据集合中元素的无序性，知②正确；对于③，根据集合元素的互异性，知③错误；对于④，由于该集合为无限集、且无明显的规律性，所以不能用列举法表示，所以④不正确.综上可得只有②正确.故选：C.多选题9、已知集合A={x|ax=1}，B={0，1，2}，若A⊆B，则实数a可以为（）A．12B．1C．0D．以上选项都不对答案：ABC解析：由子集定义得A=∅或A={1}或A={2}，从而1a 不存在，1a=1，1a=2，由此能求出实数a．解：∵集合A={x|ax=1}，B={0，1，2}，A⊆B，∴A=∅或A={1}或A={2}，∴1a 不存在，1a=1，1a=2，解得a=1，或a=1，或a=12．故选：ABC．小提示：本题主要考查集合的包含关系，属于基础题．10、以下满足{0,2,4}⊆A{0,1,2,3,4}的集合A有（）A．{0,2,4}B．{0,1,3,4}C．{0,1,2,4}D．{0,1,2,3,4}答案：AC分析：直接写出符合题意要求的所有集合A ，再去选项中选正确答案.由题意可知，集合A 包含集合{0,2,4}，同时又是集合{0,1,2,3,4}的真子集，则所有符合条件的集合A 为{0,2,4},{0,1,2,4},{0,2,3,4}.选项BD 均不符合要求，排除.故选：AC11、已知集合A ={x|x 2−x −6=0},B ={x|mx −1=0},A ∩B =B ，则实数m 取值为（ ）A ．13B ．−12C ．−13D ．0 答案：ABD解析：先求集合A ，由A ∩B =B 得B ⊆A ，然后分B =∅和B ≠∅两种情况求解即可解：由x 2−x −6=0，得x =−2或x =3，所以A ={−2,3}，因为A ∩B =B ，所以B ⊆A ，当B =∅时，方程mx −1=0无解，则m =0，当B ≠∅时，即m ≠0，方程mx −1=0的解为x =1m ， 因为B ⊆A ，所以1m =−2或1m =3，解得m =−12或m =13，综上m =0，或m =−12，或m =13，故选：ABD小提示：此题考查集合的交集的性质，考查由集合间的包含关系求参数的值，属于基础题12、已知关于x 的方程x 2+(m −3)x +m =0，下列结论正确的是（ ）A ．方程x 2+(m −3)x +m =0有实数根的充要条件是m ∈{m|m <1或m >9}B ．方程x 2+(m −3)x +m =0有一正一负根的充要条件是m ∈{m ∣0<m ≤1}C ．方程x 2+(m −3)x +m =0有两正实数根的充要条件是m ∈{m ∣0<m ≤1}D ．方程x 2+(m −3)x +m =0无实数根的必要条件是m ∈{m|m >1}答案：CD解析：根据充分条件和必要条件的定义对选项逐一判断即可.在A中，二次方程有实数根，等价于判别式Δ=(m−3)2−4m≥0，解得m≤1或m≥9，即二次方程有实数根的充要条件是m∈{m|m≤1或m≥9}，故A错误；在B中，二次方程有一正一负根，等价于{(m−3)2−4m>0m<0，解得m<0，方程有一正一负根的充要条件是m∈{m|m<0}，故B错误；在C中，方程有两正实数根，等价于{Δ=(m−3)2−4m≥03−m>0,m>0,解得0<m≤1，故方程有两正实数根的充要条件是m∈{m∣0<m≤1}，故C正确；在D中，方程无实数根，等价于Δ=(m−3)2−4m<0得1<m<9，而{m|1<m<9}⊆{m|m>1}，故m∈{m|m>1}是方程无实数根的必要条件，故D正确；故选：CD．小提示：名师点评关于充分条件和必要条件的判断，一般可根据如下规则判断：（1）若p是q的充分条件，则p可推出q，即p对应集合是q对应集合的子集；（2）若p是q的必要条件，则q可推出p，即q对应集合是p对应集合的子集；（3）若p是q的充要条件，则p，q可互推，即p对应集合与q对应集合相等.13、已知M为给定的非空集合，集合T={T1,T2,⋯,T n}，其中T i≠∅，T i⊆M，且T1∪T2∪⋯∪T n=M，则称集合T是集合M的覆盖；如果除以上条件外，另有T i∩T j=∅，其中i=1,2,3,⋯,n，j=1,2,3,⋯,n，且i≠j，则称集合T是集合M的划分.对于集合A={a,b,c}，下列命题错误的是（）A．集合S={{a,b},{b,c}}是集合A的覆盖B．集合Q={{a},{a,b},{a,c}}是集合A的划分C．集合E={{a},{b},{c}}不是集合A的划分D．集合F={{a},{a,c}}既不是集合A的覆盖，也不是集合A的划分答案：BC分析：根据集合新定义以及集合的交、并运算，逐一判断即可.对于A，集合S={{a,b},{b,c}}满足{a,b}⊆A，{b,c}⊆A，且{a,b}∪{b,c}=A，故集合S是集合A的覆盖，选项A正确；对于B，集合Q={{a},{a,b},{a,c}}中，{a,b}∩{a,c}≠∅，不满足题目定义中“T i∩T j=∅”，故集合Q={{a},{a,b},{a,c}}不是集合A的划分，选项B错误；对于C，集合E={{a},{b},{c}}是集合A的划分，因为{a}⊆A，{b}⊆A，{c}⊆A，且{a}∪{b}∪{c}=A，{a}∩{b}=∅，{b}∩{c}=∅，{a}∩{c}=∅，满足定义中的所有要求，选项C错误；对于D，集合F={{a},{a,c}}中，{a}∪{a,c}≠A，{a}∩{a,c}≠∅，故集合F={{a},{a,c}}既不是集合A的覆盖，也不是集合A的划分，选项D正确. 故选：BC.填空题14、命题“所有无理数的平方都是有理数”的否定是__________．答案：存在一个无理数，它的平方不是有理数分析：根据全称命题的否定形式，即可求解结论.存在一个无理数，它的平方不是有理数，全称性命题的否定是先改变量词，然后否定结论，故所求的否定是“存在一个无理数，它的平方不是有理数”．所以答案是：存在一个无理数，它的平方不是有理数小提示：本题考查命题的否定形式，要注意量词之间的转化，属于基础题. 15、若命题“∀x∈(3,+∞),x>a”是真命题，则a的取值范围是__________.答案：(−∞,3]分析：根据不等式恒成立求解即可.对于任意x>3,x>a恒成立，即大于3的数恒大于a,∴a⩽3.所以答案是：(−∞,3].16、若“x>3”是“x>m”的必要不充分条件，则m的取值范围是________．答案：m>3分析：由题，“x >3”是“x >m ”的必要不充分条件，则是(3,+∞)的真子集，可得答案. 因为“x >3”是“x >m ”的必要不充分条件，所以是(3,+∞)的真子集，所以m >3，故答案为m >3.小提示：本题考查了不要不充分条件，属于基础题.解答题17、在①A ∪B =B ；②“x ∈A ”是 “x ∈B ”的充分不必要条件；③A ∩B =∅这三个条件中任选一个，补充到本题第（2）问的横线处，求解下列问题：已知集合A ={x |a −1≤x ≤a +1}，B ={x |x 2−2x −3≤0}(1)当a =2时，求A ∪B ；(2)若______，求实数a 的取值范围.答案：(1)A ∪B ={x|−1≤x ≤3}(2)条件选择见解析，(−∞,−2)∪(4,+∞)分析：（1）化简集合A 与B 之后求二者的并集（2）先判断集合A 与B 的关系，再求a 的取值范围（1）当a =2时，集合A ={x|1≤x ≤3}，B ={x|−1≤x ≤3}，所以A ∪B ={x|−1≤x ≤3}；（2）若选择①A ∪B ＝B ，则A ⊆B ，因为A ={x|a −1≤x ≤a +1}，所以A ≠∅，又B ={x|−1≤x ≤3}，所以{a −1≥−1a +1≤3，解得0≤a ≤2， 所以实数a 的取值范围是[0,2]．若选择②，“x ∈A “是“x ∈B ”的充分不必要条件，则AB ，因为A ={x|a −1≤x ≤a +1}，所以A ≠∅， 又B ={x|−1≤x ≤3}，(),m +∞(),m +∞所以{a −1≥−1a +1≤3，解得0≤a ≤2， 所以实数a 的取值范围是[0,2]．若选择③，A ∩B =∅，因为A ={x|a −1≤x ≤a +1}，B ={x|−1≤x ≤3}，所以a −1>3或a +1<−1，解得a >4或a <−2，所以实数a 的取值范围是(−∞,−2)∪(4,+∞)．18、已知集合A ={x |x ≤−3或x ≥−1}，B ={x|2m <x <m −1}，且A ∪B =A ，求m 的取值范围． 答案：m ≤−2或m ≥−1分析：因为A ∪B =A ，所以B ⊆A ，分别讨论B =ϕ和B ≠ϕ两种情况然后求并集.解：因为A ∪B =A ，所以B ⊆A ，当B =ϕ时，2m ≥m −1，解得：m ≥−1；当B ≠ϕ时，{2m <m −1m −1≤−3或{2m <m −12m ≥−1解得：m ≤−2或m ∈ϕ 所以m ≤−2或m ≥−1.。
高中数学知识点总结(第一章 集合与常用逻辑用语)
第一章 集合与常用逻辑用语第一节 集 合一、基础知识1．集合的有关概念(1)集合元素的三个特性：确定性、无序性、互异性．元素互异性，即集合中不能出现相同的元素，此性质常用于求解含参数的集合问题中． (2)集合的三种表示方法：列举法、描述法、图示法． (3)元素与集合的两种关系：属于，记为∈；不属于，记为∉. (4)五个特定的集合及其关系图：N *或N ＋表示正整数集，N 表示自然数集，Z 表示整数集，Q 表示有理数集，R 表示实数集．2．集合间的基本关系(1)子集：一般地，对于两个集合A ，B ，如果集合A 中任意一个元素都是集合B 中的元素，则称A 是B 的子集，记作A ⊆B (或B ⊇A )．(2)真子集：如果集合A 是集合B 的子集，但集合B 中至少有一个元素不属于A ，则称A 是B 的真子集，记作A B 或B A .A B ⇔⎩⎪⎨⎪⎧A ⊆B ，A ≠B .既要说明A 中任何一个元素都属于B ，也要说明B 中存在一个元素不属于A .(3)集合相等：如果A ⊆B ，并且B ⊆A ，则A ＝B .两集合相等：A ＝B ⇔⎩⎪⎨⎪⎧A ⊆B ，A ⊇B .A 中任意一个元素都符合B 中元素的特性，B 中任意一个元素也符合A 中元素的特性．(4)空集：不含任何元素的集合．空集是任何集合A 的子集，是任何非空集合B 的真子集．记作∅.∅∈{∅}，∅⊆{∅}，0∉∅，0∉{∅},0∈{0}，∅⊆{0}．3．集合间的基本运算(1)交集：一般地，由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合，称为A与B的交集，记作A∩B，即A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}．(2)并集：一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合，称为A与B的并集，记作A∪B，即A∪B＝{x|x∈A，或x∈B}．(3)补集：对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，简称为集合A的补集，记作∁U A，即∁U A＝{x|x∈U，且x∉A}．求集合A的补集的前提是“A是全集U的子集”，集合A其实是给定的条件.从全集U中取出集合A的全部元素，剩下的元素构成的集合即为∁U A.二、常用结论(1)子集的性质：A⊆A，∅⊆A，A∩B⊆A，A∩B⊆B.(2)交集的性质：A∩A＝A，A∩∅＝∅，A∩B＝B∩A.(3)并集的性质：A∪B＝B∪A，A∪B⊇A，A∪B⊇B，A∪A＝A，A∪∅＝∅∪A＝A.(4)补集的性质：A∪∁U A＝U，A∩∁U A＝∅，∁U(∁U A)＝A，∁A A＝∅，∁A∅＝A.(5)含有n个元素的集合共有2n个子集，其中有2n－1个真子集，2n－1个非空子集．(6)等价关系：A∩B＝A⇔A⊆B；A∪B＝A⇔A⊇B.第二节命题及其关系、充分条件与必要条件一、基础知识1．命题的概念用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题.一个命题要么是真命题，要么是假命题，不能模棱两可.2．四种命题及其相互关系3．充分条件、必要条件与充要条件(1)如果p⇒q，则p是q的充分条件；①A是B的充分不必要条件是指：A⇒B且B A；②A的充分不必要条件是B是指：B⇒A且A B，在解题中要弄清它们的区别，以免出现错误．(2)如果q⇒p，则p是q的必要条件；(3)如果既有p⇒q，又有q⇒p，记作p⇔q，则p是q的充要条件．充要关系与集合的子集之间的关系设A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，①若A⊆B，则p是q的充分条件，q是p的必要条件．②若A B，则p是q的充分不必要条件，q是p的必要不充分条件．③若A＝B，则p是q的充要条件．二、常用结论1．四种命题中的等价关系原命题等价于逆否命题，否命题等价于逆命题，所以在命题不易证明时，往往找等价命题进行证明．2．等价转化法判断充分条件、必要条件p是q的充分不必要条件，等价于非q是非p的充分不必要条件．其他情况以此类推．第三节简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词一、基础知识1．简单的逻辑联结词(1)命题中的“且”“或”“非”❶叫做逻辑联结词．①用联结词“且”把命题p和命题q联结起来，得到复合命题“p且q”，记作p∧q；②用联结词“或”把命题p和命题q联结起来，得到复合命题“p或q”，记作p∨q；③对命题p的结论进行否定，得到复合命题“非p”，记作非p.❷❶“且”的数学含义是几个条件同时满足，“且”在集合中的解释为“交集”；“或”的数学含义是至少满足一个条件，“或”在集合中的解释为“并集”；“非”的含义是否定，“非p”只否定p的结论，“非”在集合中的解释为“补集”.❷“命题的否定”与“否命题”的区别(1)命题的否定只是否定命题的结论，而否命题既否定其条件，也否定其结论．(2)命题的否定与原命题的真假总是相对立的，即一真一假，而否命题与原命题的真假无必然联系．(2)命题真值表：命题真假的判断口诀p∨q→见真即真，p∧q→见假即假，p与非p→真假相反.2．全称量词与存在量词3.全称命题与特称命题4．全称命题与特称命题的否定二、常用结论含逻辑联结词命题真假的等价关系(1)p∨q真⇔p，q至少一个真⇔(非p)∧(非q)假．(2)p∨q假⇔p，q均假⇔(非p)∧(非q)真．(3)p∧q真⇔p，q均真⇔(非p)∨(非q)假．(4)p∧q假⇔p，q至少一个假⇔(非p)∨(非q)真．。
高一集合第一章知识点
高一集合第一章知识点随着新学年的开始，高一学生们进入了一个全新的学习阶段。
第一章是集合论，是高中数学的重要基础知识之一。
集合论是数学的一个分支，研究元素的组成和元素之间的关系。
本文将从集合的概念、表示方式、运算以及一些常见的应用方面，探讨高一集合第一章的知识点。
一、集合的概念1. 集合是什么？集合是由一定对象组成的整体或类。
这些对象称为集合的元素。
例如，自然数集合{1, 2, 3, 4, ...}，是由自然数组成的一个集合。
2. 集合的表示方式集合可以用两种方式表示：（1）列举法：将集合中的元素逐个罗列出来。
例如，集合A={1, 2, 3}。
（2）描述法：用描述集合元素的特性或条件来表示。
例如，集合B={x | x是大于1小于等于4的整数}。
二、集合的运算高一集合第一章的重点之一是集合的运算。
集合的运算包括交集、并集、差集和补集。
1. 交集对于两个集合A和B，它们的交集是包含两个集合共有元素的新集合。
用符号∩表示。
例如，集合A={1, 2, 3}和集合B={2, 3, 4}的交集为A∩B={2, 3}。
2. 并集对于两个集合A和B，它们的并集是包含两个集合所有元素的新集合。
用符号∪表示。
例如，集合A={1, 2, 3}和集合B={2, 3, 4}的并集为A∪B={1, 2, 3, 4}。
3. 差集对于两个集合A和B，它们的差集是包含属于集合A但不属于集合B的元素的新集合。
用符号-表示。
例如，集合A={1, 2, 3}和集合B={2, 3, 4}的差集为A-B={1}。
4. 补集相对于一个给定的集合U，U中不在集合A中的元素构成了集合A 的补集。
用符号A'表示。
例如，如果U是全体自然数的集合，集合A={1, 2, 3}的补集为A'={4, 5, 6, ...}。
三、集合的应用集合论作为数学的基础理论，在实际生活中也有一些常见的应用。
1. 数据分析在统计学中，集合论被广泛应用于数据分析。
高一数学必修1 数学。第一章。完整知识点梳理大全(最全)
高一数学必修1 数学。
第一章。
完整知识点梳理大全(最全)集合与函数概念集合是数学中的基本概念之一，它包含了一些确定性、互异性和无序性的元素。
常见的数集有自然数集、正整数集、整数集、有理数集和实数集等。
集合中的元素与集合之间存在着一些关系，例如一个元素属于一个集合，可以表示为a∈M，而不属于则表示为a∉M。
集合的表示方法有自然语言法、列举法、描述法和图示法等。
其中，描述法是通过{x|x具有的性质}来表示集合，而图示法则是用数轴或XXX来表示集合。
集合还可以分为有限集、无限集和空集。
空集是不含有任何元素的集合，记为∅。
集合间的基本关系有子集、真子集和集合相等等。
子集指一个集合中的所有元素都属于另一个集合，而真子集则是指一个集合是另一个集合的子集，但不等于该集合。
如果两个集合中的元素完全相同，则它们是相等的。
集合的基本运算有交集、并集和补集等。
交集是指两个集合中共同存在的元素所组成的集合，而并集则是指两个集合中所有的元素所组成的集合。
补集是指一个集合中不属于另一个集合的所有元素所组成的集合。
最后，含有绝对值的不等式和一元二次不等式的解法也是数学中的重要知识点。
对于含有绝对值的不等式，可以通过分情况讨论来求解。
而对于一元二次不等式，则可以通过求解二次函数的根来确定其解集。
x|>a (a>0)x|c (c>0)XXX:x|-a<x<a}x|xa}We can treat ax+b as a whole and transform it into the form of |x|a (a>0) XXX.Summary of Knowledge Points in Chapter 1 of High School Mathematics2.Solving Quadratic InequalitiesDiscriminantΔ>0Δ=b-4acQuadratic ny=ax^2+bx+c (a>0) Δ=Δ<0XXXax^2+bx+c=0 (a>0) Ox=(-b±√Δ)/(2a)1,2where x1<x2)x|xx2}x|x1<x<x2}x1=x2=-b/2an of No Real Root ax^2+bx+c>0 (a>0) n setx|x≠-b/2a}Rax^2+bx+c0)n set1.2 n and Its XXX1.2.1 Concept of n1.A n is a correspondence een two non-empty sets A and B。
高一数学第一章知识点
第一章1.1.1、集合的含义与表示：（1）、定义：一般地，我们把研究的对象统称为“元素”，把一些元素组成的整体叫集合，简称集。
（2）、性质：1、确定性（主要用于判断是否是集合）2、无序性3、互异性（主要用于确定集合中元素）（3）、常用大写字母表示集，小写字母表示元素。
如果a是集合A的元素，则说a属于集合A，写作a∈A。
同理，如果a不是集合A的元素，则称a不属于A，写作aA（4）、常见的数集：1、非负整数集（自然数集）【记住最小自然数是0】N2、正整数集N*或N3、主体数集Z4、有理数集Q5、实数集R（5）、集合的表示法：1、(自然语言描述)2、列举法3、描述法4、图列法1.1.2、集合的基本关系：（1）、AB【A含于B或B包含A】用因式分解法〔两种情况2、3〕（2）、A=B [A集合与B集合相变](3）、【A真含于B或A是B的真子集，﹦〉意义：因存在元素x ∈A（4）、空集﹦＞不包含任何元素的集，叫空集结论：（1）、任何集分是它本身的子集（2）、传递性学生迅速口头做课后练习1.1.3、集合的基本运算：1、并集：定义，有所有属于A的元素结构组成的集合，为集合A于集合B的并集，记作A∨B2、交集：定义，所有属于集合A是属于集合B的元素，称为集合A与集合B的交集，记作A∧B3、全集：定义，一般地如果一个集合含有我们所研究问题中所涉及的所有元素，那么这个集合称为全集，常记作4、补集：定义，对于一个集合A，由全集中不属于集合A的所有元素组成的集合，称为集合A，相对于全集的补集，简称集合A的补集课后练习题1.2.1、函数及其表示（1）、函数的概念:一般的我们有设集合A、B是非空集数，如果按照确定的对应关系，使集合A中的任意一个数X，在集合B中都有唯一确定的数与之对应，那么就称f：A→B 为从集合A到集合B的一个函数，记作Y=f（x），（2）、函数三要素：定义域、值域、对应关系→相交的函数必须三要素均相同；定义域：由变量的取值范围A；值域：与X相对应得Y值叫做函数值，函数的集合叫函数的值域（3）、区间→开区间、闭区间、半开半闭区间、半闭半开区间区间在数轴上叫做实心点与虚心点课：练习1.2.2、函数表示法（1）、初中学过解析法、图像法和列表法（2）、分段函数（3）、实射：定义：一般的，设集合为A、B是两个非空集合，如果按照某确定的对应关系f，使对于集合中的任一个元素，在集合B中都有唯一确定的元素与之对应，那么就种对应f：A→B为集合B的实射做课后练习回家做练习1.3、函数的基本性质1.3.1、单调性与最大值、最小值（1）、曾函数定义：}注意定义域！（2）、减函数定义：（3）、最大值定义：（4）、最小值定义：2.奇偶性[定义域对称]（1）、偶函数定义：f（x）=f（-x）（2）、奇函数定义：f（x）=―f〔-x〕。
集合知识点总结第一章
集合知识点总结第一章一、集合的概念集合是指具有某种共同特征的事物的整体。
通常用大写字母A、B、C...表示，元素一般用小写字母a、b、c...表示。
集合可以是有限的，也可以是无限的。
例如：自然数集合N={1,2,3,4,5,...}，整数集合Z={...-3,-2,-1,0,1,2,3...}。
二、集合的表示方式1. 列举法：直接将集合中的元素一一列举出来。
如：A={1,2,3,4}。
2. 描述法：用适当的条件句描述集合的成员的性质和特征。
如：A={x|x为正整数，且x<5}。
三、集合间关系1. 包含关系：如果一个集合A中的所有元素都属于另一个集合B，则称A是B的子集，记作A⊆B。
2. 相等关系：如果两个集合A和B中的元素完全相同，那么称A和B是相等的，记作A=B。
四、常见集合1. 自然数集合N={1,2,3,4,5,...}2. 整数集合Z={...-3,-2,-1,0,1,2,3...}3. 有理数集合Q4. 实数集合R五、常见操作1. 并集：将两个集合中的所有元素放在一起，去除重复的元素所组成的集合。
记作A∪B。
2. 交集：将两个集合中共同的元素组成的集合。
记作A∩B。
3. 差集：从集合A中去除集合B中的元素所得的集合。
记作A-B。
六、集合的运算律1. 交换律：A∪B=B∪A；A∩B=B∩A2. 结合律：A∪(B∪C)=(A∪B)∪C；A∩(B∩C)=(A∩B)∩C3. 分配律：A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C)；A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C)七、集合的基本定理1. 包含关系的基本定理：对任意集合A，都有A⊆A。
2. 交集的基本定理：对任意两个集合A和B，都有A∩B⊆A和A∩B⊆B。
3. 并集的基本定理：对任意两个集合A和B，都有A⊆A∪B和B⊆A∪B。
八、集合的应用集合论在数学中有广泛的应用，如概率统计、逻辑推理、数学分析等领域。
同时在日常生活中，集合论也有着重要的作用，比如在数据库管理、编程算法设计、决策分析等方面都有着集合论的影子。
高一数学第一章知识点
高一数学第一章知识点一、集合1. 集合的概念集合是由一些确定的、互不相同的对象所组成的整体。
这些对象称为集合的元素。
例如，全体正整数组成一个集合，其中1、2、3等都是这个集合的元素。
元素与集合的关系：如果a是集合A中的元素，就说a∈ A（读作“a属于A”）；如果a不是集合A中的元素，就说a∉ A（读作“a不属于A”）。
2. 集合的表示方法列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内。
例如，{1,2,3}表示由1、2、3这三个元素组成的集合。
描述法：用集合所含元素的共同特征表示集合。
例如，{x|x > 0,x∈ R}表示所有大于0的实数组成的集合。
3. 集合的分类有限集：含有有限个元素的集合。
例如{1,2,3,4,5}。
无限集：含有无限个元素的集合。
例如{x|x∈ R}（全体实数组成的集合）。
空集：不含任何元素的集合，记作varnothing。
4. 集合间的基本关系子集：如果集合A的任意一个元素都是集合B的元素，那么集合A称为集合B 的子集，记作A⊂eq B（或B⊃eq A）。
例如，{1,2}⊂eq{1,2,3}。
真子集：如果A⊂eq B，且B中至少有一个元素不属于A，那么A是B的真子集，记作A⊂neqq B。
例如，{1,2}⊂neqq{1,2,3}。
相等：如果A⊂eq B且B⊂eq A，那么A = B。
5. 集合的基本运算交集：由所有属于集合A且属于集合B的元素所组成的集合，记作A∩ B，即A∩ B={x|x∈ A且x∈ B}。
例如，A = {1,2,3}，B={2,3,4}，则A∩ B = {2,3}。
并集：由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，记作A∪ B，即A∪ B={x|x∈ A或x∈ B}。
例如，A = {1,2,3}，B={2,3,4}，则A∪ B={1,2,3,4}。
补集：设U是一个全集，A是U的一个子集，由U中所有不属于A的元素组成的集合称为A在U中的补集，记作∁_U A，即∁_U A={x|x∈ U且x∉ A}。
高中数学必修一知识点整理
高中数学必修一知识点整理高中数学必修1知识点总结第一章集合与函数概念1.1 集合1.1.1 集合的含义与表示集合是由一些确定、互异、无序的元素组成。
常用的数集有自然数集N、正整数集N*或N+、整数集Z、有理数集Q、实数集R。
集合的表示法有自然语言法、列举法、描述法和图示法。
集合可以分为有限集、无限集和空集。
1.1.2 集合间的基本关系集合间有子集、真子集和集合相等的关系。
子集表示A 中的任一元素都属于B，真子集表示A是B的子集且B中至少有一个元素不属于A，集合相等表示A和B互为子集。
1.1.3 集合的基本运算集合的基本运算有交集、并集和补集。
交集表示同时属于A和B的元素组成的集合，并集表示属于A或B的元素组成的集合，补集表示不属于A的元素组成的集合。
补充：含绝对值的不等式的解法是将其化为|x|a的形式进行求解。
含有ax+b的绝对值不等式可以化为|ax+b|c的形式进行求解。
注意：文章中没有明显的格式错误和有问题的段落，因此不需要删除和改写。
一元二次不等式的解法：一元二次不等式的判别式为 $\Delta = b^2-4ac$，根据判别式的大小关系可以得到不等式的解集。
对于二次函数 $y=ax^2+bx+c(a>0)$，它的图象是一个开口朝上的抛物线。
对于一元二次方程 $ax^2+bx+c=0(a>0)$，它的根可以通过公式 $x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}$ 求得，其中$\Delta=b^2-4ac$，当 $\Delta>0$ 时，方程有两个不相等的实根；当 $\Delta=0$ 时，方程有两个相等的实根；当$\Delta<0$ 时，方程没有实根。
对于一元二次不等式 $ax^2+bx+c>0(a>0)$，它的解集为$\{x|xx_2\}$，其中 $x_1$ 和 $x_2$ 分别是方程$ax^2+bx+c=0$ 的两个实根，且 $x_10)$ 时，它的解集为$\{x|x_10)$ 时，它的解集为 $\{x|x\neq-\frac{b}{2a}\}$。
高一数学第一章知识点笔记
高一数学第一章知识点笔记一、集合的基本概念集合是由若干个确定的元素所组成的整体。
元素是可以单独列举出来的个体，而集合是由这些个体组成的整体。
1. 集合的表示方法（1）列举法：将集合中的元素一一列举出来，用大括号{}括起来。
例如：A = {1, 2, 3, 4}（2）描述法：用文字描述集合中的元素的特征。
例如：B = {x | x是整数，0 < x < 5}2. 集合间的关系（1）相等关系：集合A与集合B的元素完全一样时，记作A = B。
（2）包含关系：若集合A中的每个元素都属于集合B，则称集合A是集合B的子集，记作A ⊆ B。
（3）真子集关系：若集合A是集合B的子集且A ≠ B，则称集合A是集合B的真子集，记作A ⊂ B。
二、集合的运算1. 交集运算（∩）：给定两个集合A和B，A∩B 表示同时属于A和B的元素所组成的集合。
例如：A = {1, 2, 3, 4}，B = {3, 4, 5, 6}，则A∩B = {3, 4}。
2. 并集运算（∪）：给定两个集合A和B，A∪B 表示属于A或者属于B的元素所组成的集合。
例如：A = {1, 2, 3, 4}，B = {3, 4, 5, 6}，则 A∪B = {1, 2, 3, 4, 5, 6}。
3. 补集运算（-）：给定一个集合U作为全集，对于集合A，A的补集表示全集中不属于A的元素所组成的集合，记作A'或者A的补。
例如：A = {1, 2, 3, 4}，U = {1, 2, 3, 4, 5, 6}，则 A' = {5, 6}。
4. 差集运算：给定两个集合A和B，A - B 表示属于A但不属于B的元素所组成的集合。
例如：A = {1, 2, 3, 4}，B = {3, 4, 5, 6}，则 A - B = {1, 2}。
三、数列与数列的表示方法1. 数列的定义：数列是按一定顺序排列的数的集合。
2. 数列的表示方法：（1）通项公式表示法：通过给出数列的通项公式，可以确定数列中任意一项的值。
必修一数学第一章集合与函数概念知识点总结
必修一数学第一章集合与函数概念知识点总结一、集合有关概念1. 集合的含义2. 集合的中元素的三个特性：(1) 元素的确定性如：世界上最高的山(2) 元素的互异性如：由HAPPY 的字母组成的集合{H,A,P ,Y} (3) 元素的无序性: 如：{a,b,c}和{a,c,b}是表示同一个集合3.集合的表示：{ … } 如：{我校的篮球队员}，{太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋}(1) 用拉丁字母表示集合：A={我校的篮球队员},B={1,2,3,4,5} (2) 集合的表示方法：列举法与描述法。
◆ 注意：常用数集及其记法： 非负整数集（即自然数集） 记作：N正整数集 N*或 N+ 整数集Z 有理数集Q 实数集R1） 列举法：{a,b,c ……} 2） 描述法：将集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合的方法。
{x ∈R|x-3>2} ,{x| x-3>2}3） 语言描述法：例：{不是直角三角形的三角形} 4） Venn 图: 4、集合的分类：(1) 有限集 含有有限个元素的集合 (2) 无限集 含有无限个元素的集合(3) 空集 不含任何元素的集合 例：{x|x 2=－5｝二、集合间的基本关系 1.“包含”关系—子集注意：有两种可能（1）A 是B 的一部分，；（2）A 与B 是同一集合。
反之: 集合A 不包含于集合B,或集合B 不包含集合A,记作A B 或B A 2．“相等”关系：A=B (5≥5，且5≤5，则5=5)实例：设 A={x|x 2-1=0} B={-1,1} “元素相同则两集合相等” 即：① 任何一个集合是它本身的子集。
A ⊆A②真子集:如果A ⊆B,且A ≠ B 那就说集合A 是集合B 的真子集，记作A B(或B A)③如果 A ⊆B, B ⊆C ,那么 A ⊆C④ 如果A ⊆B 同时 B ⊆A 那么A=B3. 不含任何元素的集合叫做空集，记为Φ规定: 空集是任何集合的子集， 空集是任何非空集合的真子集。
集合知识点总结
必修1 第一章 集合与函数概念〖1.1〗集合【1.1.1】集合的含义与表示（1）集合的概念集合的含义：某些指定的对象集在一起就成为一个集合，其中每一个对象叫元素。
一般地，研究对象统称为元素，一些元素组成的总体叫集合，也简称集 集合中的元素具有确定性、互异性和无序性. （2）常用数集及其记法N 表示自然数集，N *或N +表示正整数集，Z 表示整数集，Q 表示有理数集，R 表示实数集.（3）集合与元素间的关系通常用大写拉丁字母A ，B ，C ···表示集合，用小写拉丁字母a ，b ，c ···表示集合中的元素 对象a 与集合M 的关系是a M ∈，或者a M ∉，两者必居其一. （4）集合的表示法①自然语言法：用文字叙述的形式来描述集合.②列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合. ③描述法：{x |x 具有的性质}，其中x 为集合的代表元素. ④图示法：用数轴或韦恩图来表示集合. （5）集合的分类①含有有限个元素的集合叫做有限集. ②含有无限个元素的集合叫做无限集.③不含有任何元素的集合叫做空集(∅).【1.1.2】集合间的基本关系（6）子集、真子集、集合相等集合 相等A B =A 中的任一元素都属于B ，B 中的任一元素都属于A(1)A ⊆B(2)B ⊆AA(B)（7）已知集合A 有(1)n n ≥个元素，则它有2n个子集，它有21n-个真子集，它有21n-个非空子集，它有22n -非空真子集.（8）空集是任何集合的子集， 空集是任何非空集合的真子集。
【1.1.3】集合的基本运算（8）交集、并集、补集 二．直击考点（一）、判断集合间的关系例1已知集合{}1,2,3M =，{}2,3,4N =，则（ ） A ．M N ⊆ B ．N M ⊆C ．{}2,3MN = D ．{}1,4MN =例2设}4|{},4|{2<=<=x x Q x x P 则 （ ）名称记号意义性质示意图交集A B{|,x x A ∈且}x B ∈（1）A A A = （2）A ∅=∅（3）A B A ⊆ A B B ⊆ BA并集A B{|,x x A ∈或}x B ∈（1）A A A = （2）AA ∅= （3）AB A ⊇ AB B ⊇BA补集A C u{|,}x x U x A ∈∉且 （1）=)(A C A u ø（2）=)(A C A u U（3）)()()(B C A C B A C u u u =（4）)()()(B C A C B A C u u u =（A ）Q P ⊆ （B ）P Q ⊆（C ）Q C P R ⊆ （D ）P C Q R ⊆（二）、集合间的运算例3．已知全集{0,1,2,3,4}U =,集合{1,2,3}A =,{2,4}B =,则B A C U )(为（ ） A ．{1,2,4} B ．{2,3,4} C ．{0,2,4} D ．{0,2,3,4}例4．已知A ，B 均为集合U={1,3,5,7,9}的子集，且A ∩B={3} , (C U B)∩A={9},则A= （A ）.{1,3} (B).{3,7,9} (C).{3,5,9} (D).{3,9} 例5. 已知集合A={}1,),(22=+y x y x y x 为实数，且，B={}1,),(=+y x y x y x 为实数，且，则A ⋂B 的元素个数为 （ ）A ．4B ．3C ．2D ．1例6．某班共30人，其中15人喜爱篮球运动，10人喜爱乒乓球运动，8人对这两项运都不喜爱，则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为 .（三）、由集合间的关系及运算求字母参数的值或范围例7．已知集合{{},1,,A B m A B A ==⋃=,则m =（ ）A ．0B ．0或3C ．1D ．1或3例8． 已知集合P=｛x ︱x 2≤1｝,M=｛a ｝.若P ∪M=P,则a 的取值范围是 A ．(-∞, -1] B ．[1, +∞）C ．[-1，1]D ．（-∞，-1] ∪[1，+∞）（四）集合中的新定义问题例9.定义集合运算：{}.,,B y A x xy z z B A ∈∈==*设{}{}2,0,2,1==B A ,则集合B A *的所有元素之和为 （ D ）A.0B. 2C. 3D. 6例10.在集合{}d c b a ,,,上定义两种运算○+和○*如下那么d ○*a (○+=)c （ ）A.aB.bC.cD.d 例11设{}{}{}等于则若且N M N M B x A x x B A -==∉∈=-,10,9,8,7,8,7,6,5,4, ( ) A ．{4，5，6，7，8，9，10}B ．{7，8}C ．{4，5，6，9，10}D ．{4，5，6}四． 课后作业1．设集合{,}A a b =,{,,}B b c d =,则AB =（ ）A ．{}bB ．{,,}b c dC ．{,,}a c dD ．{,,,}a b c d2．设全集U={1,2,3,4,5,6} ,设集合P={1,2,3,4} ,Q={3,4,5},则P∩(C U Q) =（ ）A ．{1,2,3,4,6}B ．{1,2,3,4,5}C ．{1,2,5}D ．{1,2}3. 已知全集U={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9},集合A={0,1,3},集合B={2,4,5,6,8},则()()U U C A C B ⋂=（ ）A ．{5,8}B ．{7,9}C ．{0,1,3}D ．{2,4,6}4．已知集合A={x |x 2-x -2<0},B={x |-1<x <1},则（ ）A ．A ⊂≠BB ．B ⊂≠AC ．A=BD ．A∩B=∅5．已知集合{}{}1,2,3,4,2,2M N ==-,下列结论成立的（ ）A ．N M ⊆B ．M N M ⋃=C ．M N N ⋂=D ．{}2M N ⋂=6．已知集合{}|A x x =是平行四边形,{}|B x x =是矩形, {}|C x x =是正方形,{}|D x x =是菱形,则（ ）A ．AB ⊆B ．C B ⊆C ．D C ⊆D ．A D ⊆7．已知集合{1,2,3,4,5}A =,{(,),,}B x y x A y A x y A =∈∈-∈;,则B 中所含元素的个数为 （ ） A ．3 B ．6 C ．8 D ．108．若集合A={-1,1},B={0,2},则集合{z ︱z=x+y,x∈A,y∈B}中的元素的个数为 （ ）A ．5B ．4C ．3D ．29．设集合M={-1,0,1},N={x|x 2≤x},则M∩N= （ ）A ．{0}B ．{0,1}C ．{-1,1}D ．{-1,0,0} 10. 设全集U 为R,，集合2{|50}A x x x q =-+=，2{|120}B x x px =++=，若{}{}4)(2)(==A C B B C A U U ，，求实数p 、q 的值及B A .。
高中数学必修一第一章集合知识点总结
高中数学必修一第一章集合一、集合的概念1、集合的含义：把一些能够确定的不同的对象看成一个整体，就说这个整体是由这些对象的全体构成的集合（或集），构成集合的每个对象叫做这个集合的元素（或成员）。
注意：在集合中，通常用小写字母表示点（元素），用大写字母表示点（元素）的集合，而在几何中，通常用大写字母表示点（元素），用小写字母表示点的集合，应注意区别。
2、空集的含义：不含任何元素的集合叫做空集，记为Ø。
3、集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性。
（1）对于一个给定的集合，集合中的元素是确定的，任何一个对象或者是或者不是这个给定的集合的元素，这叫集合元素的确定性。
（2）任何一个给定的集合中，任何两个元素都是不同的对象，相同的对象归入一个集合时，仅算一个元素，这叫集合元素的互异性。
集合中的元素互不相同。
例如：集合A={1，a}，则a不能等于1。
（3）集合中的元素是平等的，没有先后顺序，因此判定两个集合是否一样，仅需比较它们的元素是否一样，不需考查排列顺序是否一样，这叫集合元素的无序性。
例{0，1，2}有其它{0，2，1}、{1，0，2}、{1，2，0}、{2，0，1}、{2，1，0}等共六种表示方法。
4、元素与集合之间只能用“∈”或“∉”符号连接。
5、集合的分类：（1）有限集：含有有限个元素的集合。
（2）无限集：含有无限个元素的集合。
（3）空集：不含任何元素的集合。
6、常见的特殊集合：；（1）非负整数集（即自然数集）N（包括零）；（2）正整数集N*或N+（3）整数集Z（包括负整数、零和正整数）；（4）实数集R（包括所有有理数和无理数）；（5）有理数集Q（包括整数集Z和分数集→正负有限小数或无限循环小数）；（6）复数集C，虚数可以指不实的数字或并非表明具体数量的数字。
在数学中，虚数就是形如a+b*i 的数，其中a，b是任意实数，且b≠0，i²=-1。
二、集合的表示方式1、列举法：把集合中的元素一一列举出来，元素之间用逗号隔开，然后用一个花括号全部括上。
《集合》知识点总结
《集合》知识点总结一、集合的基本概念1、集合：一些指定的对象集在一起就成为一个集合，其中每一个对象称为元素。
2、集合的表示：用大括号{}或小括号()表示，元素与集合的关系为“属于”或“不属于”。
3、集合的特性：确定性、互异性、无序性。
二、常见集合的表示方法1、自然数集：N2、整数集：Z3、有理数集：Q4、实数集：R三、集合的运算1、交集：取两个集合的公共元素组成的集合，记作A∩B。
2、并集：把两个集合合并起来，记作A∪B。
3、补集：把属于一个集合但不在该集合的元素组成的集合，记作CuA。
四、集合间的关系1、子集：若一个集合A的每一个元素都是另一个集合B的元素，则称A是B的子集。
2、真子集：如果A是B的子集，且A≠B，则称A是B的真子集。
3、相等：当且仅当两个集合的元素完全相同，且不强调元素的顺序时，两个集合相等。
五、集合的基本运算性质1、若A、B为两个集合，有A∩B=B∩A。
2、若A、B为两个集合，有Cu(A∩B)=CuA∪CuB。
3、若A、B、C为三个集合，有(A∩B)∩C=A∩(B∩C)。
4、若A、B为两个集合，有(CuA)∪B=(A∪B)∩CuB。
5、若A、B、C为三个集合，有(A∪B)∩C=(A∩C)∪(B∩C)。
6、若A、B为两个集合，有(CuA)∩B=Cu(A∪B)。
7、若A、B为两个集合，有(CuA)∪(CuB)=Cu(A∩B)。
集合知识点总结一、集合、元素及其关系1、集合的基本概念：集合是一个不重复的元素的集合，常用大写字母表示集合，如A={1，2，3}，B={apple，banana，cherry}。
2、集合的表示方法：常用的表示方法有列举法和描述法。
列举法是把集合中的元素一一列举出来，适用于元素数量较少的集合；描述法是用集合中元素的共同特征来描述集合，如自然数集N={n|n是自然数}。
3、集合的元素关系：如果集合A中的任意一个元素都是集合B中的元素，那么称A是B的子集，记作A⊆B。
高中数学人教A版必修一第一章知识点总结及题型
高中数学人教A版必修一第一章知识点总结及题型高中数学必修一第一章知识点及题型一、第一章第一单元集合---知识点总结知识点一：集合的概念集合是研究对象的统称，用小写拉丁字母a，b，c等表示元素，一些元素的集合称为集合或集，用大写拉丁字母A，B，C等表示，不含任何元素的集合称为空集，记为∅。
知识点二：集合与元素的关系如果a是集合A的元素，就称a属于集合A，记作a∈A；如果a不是集合A中的元素，就称a不属于集合A，记作a∉A。
知识点三：集合的特性及分类集合元素具有唯一性、无序性和互异性。
集合可分为有限集和无限集，有限集含有有限个元素，无限集含有无限个元素。
知识点四：集合的表示方法集合的表示方法有列举法和描述法。
列举法是把集合的元素一一列举出来，并用花括号“{}”括起来表示集合的方法；描述法是用集合所含元素的特征表示集合的方法。
知识点五：集合与集合的关系集合A中的所有元素都是集合B中的元素时，称集合A是集合B的子集，记作A⊆B；如果A是B的子集，但存在元素不属于B，则称A是B的真子集，记作A⊂B。
子集的性质包括空集是任意集合的子集、任何集合都是它本身的子集、如果A是B的子集，B是C的子集，则A是C的子集。
知识点六：集合的运算集合的运算包括交集和并集。
集合A与B的并集是由A 和B中所有元素组成的集合，记作A∪B；集合A与B的交集是A和B中共有的元素组成的集合，记作A∩B。
3.交集与并集的性质交集的运算性质：A∩B = B∩A （交换律）A∩A = A （恒等律）A∩∅ = ∅（零律）A⊆B ⇔ A∩B = A （吸收律）并集的运算性质：A∪B = B∪A （交换律）A∪A = A （恒等律）A∪∅ = A （零律）A⊆B ⇔ A∪B = B （吸收律）A∪B = B∪A = {x | x∈A或x∈B} （定义）符号语言、图形语言和自然语言都可以用来表示集合的交集和并集。
4.全集在研究集合与集合之间的关系时，如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集，通常记作U。
第一章集合与常用逻辑用语知识点总结-2024-2025学年高一上学期数学人教A版必修第一册
第一章 集合与常用逻辑用语1.1集合的概念元素：研究对象。
常用小写字母a,b,c...表示。
集合：元素组成的总体。
常用大写字母A,B,C...表示。
集合相等：两个集合中所有元素都相等。
元素a 和集合A 的关系：要么是a ∈A ，要么是a ∉A 。
即元素和集合的关系是属于和不属于的关系。
列举法：集合中所有元素列举出来，用花括号“{ }”括起来。
描述法：A 是个集合，将A 集合中具有共同特征P （x ）的元素x 所组成的集合表示为)}(|{x P A xx 属于的大范围 x 被限制的具体范围，即集合A 中的共同特征集合中元素的性质：确定性，互异性，无序性。
常用数集：自然数集（非负整数集）：N正整数集：N *或N +整数集：Z有理数集：Q实数集：R【例】如图，说说元素a 、元素d 和集合A 的关系，并表示出集合A 。
解：a ∈A ，d ∉A 。
A={a ，b ，c}。
【例】用列举法把集合A={x ∈N |x <10}表示出来.解：A={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}【例】用描述法表示：方程x 2-2=0的所有实数根组成的集合A 。
解：A={x ∈R|x 2-2=0}。
1.2集合间的基本关系空集：不含任何元素的集合，记作∅。
空集是任何集合的子集。
集合间的关系 子集：集合A 任意一个元素都是集合B 中的元素，即A ⊆B 。
真子集：集合A 是B 的子集，且存在元素x ∈B ，且x ∉A ，即A ⊊B B A 集合A a b c d集合要的元素是x集合A={a,b,c,d...}有n 个元素，则集合A 的子集个数有2n 个，真子集个数有（2n-1）个。
【例】A={1,2,3,4,5}，B={1,2,3,4,5,6}，C={1,2,3,4,5}三个集合中，每两两集合的关系。
解：A 是B 的子集，A 是B 的真子集。
C 是B 的子集，C 是B 的真子集。
A 是C 的子集，A 不是C 的真子集。
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第一章集合§1．1集合基础知识点：⒈集合的定义：一般地，我们把研究对象统称为元素，一些元素组成的总体叫集合，也简称集。
2.表示方法：集合通常用大括号{ }或大写的拉丁字母A,B,C…表示，而元素用小写的拉丁字母a,b,c…表示。
3.集合相等：构成两个集合的元素完全一样。
4.常用的数集及记法：非负整数集（或自然数集），记作N；正整数集，记作N*或N+；N内排除0的集.整数集，记作Z；有理数集，记作Q；实数集，记作R；5.关于集合的元素的特征⑴确定性：给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了。
如：“地球上的四大洋”（太平洋,大西洋，印度洋，北冰洋）。
“中国古代四大发明”（造纸，印刷，火药，指南针）可以构成集合，其元素具有确定性；而“比较大的数”，“平面点P周围的点”一般不构成集合，因为组成它的元素是不确定的.⑵互异性：一个集合中的元素是互不相同的，即集合中的元素是不重复出现的。
.如:方程(x-2)(x-1)2=0的解集表示为{1, 2},而不是{1, 1, 2}⑶无序性：即集合中的元素无顺序,可以任意排列、调换。
练1：判断以下元素的全体是否组成集合，并说明理由：⑴大于3小于11的偶数；⑵我国的小河流；⑶非负奇数；⑷方程x2+1=0的解；⑸徐州艺校校2011级新生；⑹血压很高的人；⑺著名的数学家；⑻平面直角坐标系内所有第三象限的点6.元素与集合的关系：(元素与集合的关系有“属于∈”及“不属于∉”两种)⑴若a是集合A中的元素，则称a属于集合A，记作a∈A；⑵若a不是集合A的元素，则称a不属于集合A，记作a∉A。
例如，（1）A表示“1~20以内的所有质数”组成的集合，则有3∈A，4∉A，等等。
（2）A={2，4，8，16}，则4∈A，8∈A，32∉A.典型例题例1．用“∈”或“∉”符号填空：⑴8 N；⑵0 N；⑶-3 Z；；⑸设A为所有亚洲国家组成的集合，则中国 A，美国 A，印度 A，英国 A。
例2．已知集合P的元素为21,,3m m m--, 若2∈P且-1∉P，求实数m的值。
第二课时 基础知识点一、集合的表示方法⒈列举法：把集合中的元素一一列举出来, 并用花括号“{}”括起来表示集合的方法叫列举法。
如：{1，2，3，4，5}，{x 2，3x+2，5y 3-x ，x 2+y 2}，…；说明：⑴书写时，元素与元素之间用逗号分开；⑵一般不必考虑元素之间的顺序；⑶在表示数列之类的特殊集合时,通常仍按惯用的次序；⑷集合中的元素可以为数，点，代数式等；⑸列举法可表示有限集，也可以表示无限集。
当元素个数比较少时用列举法比较简单；若集合中的元素较多或无限，但出现一定的规律性，在不发生误解的情况下，也可以用列举法表示。
⑹对于含有较多元素的集合，用列举法表示时，必须把元素间的规律显示清楚后方能用省略号，象自然数集Ｎ用列举法表示为{}1,2,3,4,5,......例1．用列举法表示下列集合：(1) 小于5的正奇数组成的集合；(2) 能被3整除而且大于4小于15的自然数组成的集合；(3) 从51到100的所有整数的集合；(4) 小于10的所有自然数组成的集合；(5) 方程2x x =的所有实数根组成的集合；⑹ 由1~20以内的所有质数组成的集合。
⒉描述法：用集合所含元素的共同特征表示集合的方法，称为描述法。
方法：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值（或变化）范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征。
一般格式：{}()x A p x ∈如：{x|x-3>2}，{(x,y)|y=x 2+1}，{x|直角三角形}，…； 说明:描述法表示集合应注意集合的代表元素，如{(x,y)|y= x 2+3x+2}与 {y|y= x 2+3x+2}是不同的两个集合，只要不引起误解，集合的代表元素也可省略，例如：{整数}，即代表整数集Z 。
辨析：这里的{ }已包含“所有”的意思，所以不必写{全体整数}。
写法{实数集}，{R}也是错误的。
用符号描述法表示集合时应注意：1、弄清元素所具有的形式（即代表元素是什么）是数还是点、还是集合、还是其他形式？2、元素具有怎么的属性？当题目中用了其他字母来描述元素所具有的属性时，要去伪存真，而不能被表面的字母形式所迷惑。
例2．用描述法表示下列集合：(1) 由适合x 2-x-2>0的所有解组成的集合;（2）方程220x -=的所有实数根组成的集合（3）由大于10小于20的所有整数组成的集合。
说明：列举法与描述法各有优点，应该根据具体问题确定采用哪种表示法，要注意，一般集合中元素较多或有无限个元素时，不宜采用列举法。
练习：1.由方程x 2－2x －3＝0的所有实数根组成的集合；2.大于2且小于6的有理数；3.已知集合A ＝{x|-3<x<3，x ∈Z}，B ＝{(x,y)|y ＝x 2+1，x ∈A}，则集合B 用列举法表示是 3、文氏图集合的表示除了上述两种方法以外，还有文氏图法，即画一条封闭的曲线,用它的内部来表示一个集合，如下图所示：二、集合的分类 观察下列三个集合的元素个数1. {4.8, 7.3, 3.1, -9};2. {x ∈R ∣0<x<3};3. {x ∈R ∣x 2+1=0}由此可以得到集合的分类:::()empty set ⎧⎪⎨⎪∅-⎩有限集含有有限个元素的集合无限集含有无限个元素的集合空集不含有任何元素的集合典型例题【题型一】 元素与集合的关系1、设集合A ＝｛１，32+-a ｝,B=｛1,a ２｝,且A=B ，求实数a 的值。
2、已知集合A ＝｛a+2，（a+1)２｝若1∈A,求实数a 的值。
【题型二】 元素的特征1、已知集合M=｛x ∈N ∣x +16∈Z ｝,求M巩固练习：一选择题：1.给出下列四个关系式：①3∈R ；②π∉Q ；③0∈N ；④0∉φ其中正确的个数是( )A.1B.2C.3D.42.方程组 的解组成的集合是( )A.｛2,1｝B.｛-1,2｝C.（2,1）D.｛（2,1）｝3.把集合｛-3≤x ≤3,x ∈N ｝用列举法表示，正确的是( )A.｛3,2,1｝B.｛3,2,1,0｝C.｛-2,-1,0,1,2｝D.｛-3,-2,-1,0,1,2,3｝4. 已知A ＝{x|3－3x>0}，则下列各式正确的是( )A ．3∈AB ．1∈A⎩⎨⎧=-=+13y x y x A 表示任意一个集合A 3,9,27 表示{3，9，27}C ．0∈AD ．－1∉A二填空题：5．已知集合A ＝{1，a 2}，实数a 不能取的值的集合是________．6．已知P ＝{x|2＜x ＜a ，x ∈N }，已知集合P 中恰有3个元素，则整数a ＝________.7. 集合M=｛y ∈Z ∣y=x +38,x ∈Z ｝,用列举法表示是M ＝ 。
8. 已知集合A ＝｛2a,a 2-a ｝，则a 的取值范围是 。
三、解答题：9．已知集合A ＝{x|ax 2－3x －4＝0，x ∈R }．(1)若A 中有两个元素，求实数a 的取值范围；(2)若A 中至多有一个元素，求实数a 的取值范围．1.1.2 集合间的基本关系基础知识点比较下面几个例子，试发现两个集合之间的关系：（1）{1,2,3}A =，{1,2,3,4,5}B =；（2）{}C =北京一中高一一班全体女生，{}D =北京一中高一一班全体学生；观察可得：⒈子集：对于两个集合A ，B ，如果集合A 的任何一个元素都是集合B 的元素，我们说这两个集合有包含关系，称集合A 是集合B 的子集（subset ）。
记作：()A B B A ⊆⊇或 读作：A 包含于B ，或B 包含A当集合A 不包含于集合B 时，记作A ⊈B(或B ⊉A) 用Venn 图表示两个集合间的“包含”关系：⒉集合相等定义：如果A 是集合B 的子集，且集合B 是集合A 的子集，则集合A 与集合B中的元素是一样的，因此集合A 与集合B 相等，即若A B B A ⊆⊆且，则A B =。
如：A={x|x=2m+1，m ∈Z}，B={x|x=2n-1，n ∈Z}，此时有A=B 。
⒊真子集定义：若集合A B ⊆，但存在元素,x B x A ∈∉且，则称集合A 是集合B 的真子集。
记作：A B （或B A ） 读作：A 真包含于B （或B 真包含A ）4.几个重要的结论：⑴空集是任何集合的子集；对于任意一个集合A 都有φ⊆A 。
⑵空集是任何非空集合的真子集；⑶任何一个集合是它本身的子集；⑷对于集合A ，B ，C ，如果A B ⊆，且B C ⊆，那么A C ⊆。
练习：填空：⑴2 N ； {2} N ； φ A;⑵已知集合A ＝{x|x 2－3x ＋2＝0}，B ＝{1,2}，C ＝{x|x<8,x ∈N}，则A B ； A C ； {2} C ； 2 C说明：⑴注意集合与元素是“属于”“不属于”的关系，集合与集合是“包含于”“不包含于”的关系；⑵在分析有关集合问题时，要注意空集的地位。
典型例题【题型１】集合的子集问题1.写出集合｛a,b,c ｝的所有子集，并指出其中哪些是真子集，哪些是非空的真子集。
2.已知集合M 满足｛2,3｝⊆M ⊆｛1,2,3,4,5｝求满足条件的集合M 。
3.已知集合A ＝｛x|x 2-2x-3=0｝,B=｛x|ax=1｝，若B A ，则实数a 的值构成的集合是（ ）B A 表示：A B ⊆A.｛-1,0,31｝ B.｛-1,0｝ C.｛-1,31｝ D.｛31,0｝ 4.已知集合{}{}25,121A x x B x m x m =-<≤=-+≤≤-且A B ⊆，求实数m 的取值范围。
巩固练习1、判断下列集合的关系.(1) N_____Z; (2) N_____Q; (3) R_____Z; (4) R_____Q;(5) A={x| (x-1)2=0}，B={y|y 2-3y+2=0};(6) A={1,3}，B={x|x 2-3x+2=0};(7) A={-1,1}，B={x|x 2-1=0};2、设A={0，1}，B={-1,0,1,2,3}，问A 与B 什么关系？3、已知集合}5|{<<=x a x A ，x x B |{=≥}2，且满足B A ⊆，求实数a 的取值范围。
4、若集合{}==-+=N x x x M ,062}{0))(2(=--a x x x ，且N M ⊆,求实数a 的值.1.1.3 集合间的基本运算 基础知识点C 与集合A ，B 之间的关系：（1）{1,3,5}A =，{}{2,4,6},1,2,3,4,5,6B C ==； （2）{}A x x =是有理数，{}{},B x x C x x ==是无理数是实数；1.并集：一般地，由所有属于集合A 或属于集合B 的元素组成的集合，称为集合A 与集合B 的并集，即A 与B 的所有部分，记作A ∪B ， 读作：∈A 或x ∈B}。