模态分析理论

模态分析指的是以振动理论为基础、以模态参数为目标的分析方法。

首先建立结构的物理参数模型，即以质量、阻尼、刚度为参数的关于位移的振动微分方程；其次是研究其特征值问题，求得特征对（特征值和特征矢量），进而得到模态参数模型，即系统的模态频率、模态矢量、模态阻尼比、模态质量、模态刚度等参数。

特征根问题
以图3所示的三自由度无阻尼系统为例，设123m =m =m =m ，123k =k =k =k ，
图 1 三自由度系统
其齐次运动方程为：
mz +kz =0 （8）
其中m ，k 分别为系统的质量矩阵和刚度矩阵，123m 0
0m 00m=0m 0=0m 000m 00m ⎡⎤⎡⎤
⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦
，1
12
1222
1k -k 0k -k 0k=-k k +k -k =-k 2k -k 0
-k k 0-k k ⎡⎤⎡⎤
⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦
，则运动方程展开式为： ¨1
1¨22¨33z m 00k k 0z 00m 0z k 2k k z 000m 0k k z 0z ⎡⎤
⎢⎥-⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤
⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥+--=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥
⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎣⎦
（9）
定义主振型
由于是无阻尼系统，因此系统守恒，系统存在振动主振型。

主振型意味着各物理坐标振动的相位角不是同相（相差0o ）就是反相位（相差180o ），即同时达到平衡位置和最大位置。

主振型定义如下：
()i i
j ωt+i i sin ωt+=Im(e
)φφi mi mi z =z z （10）
其中z i 为第i 阶频率下，各自有度的位移矢量，z mi 为第i 个特征矢量，表示第i 阶固有频率下的振型，i ω为第i 阶频率下的第i 个特征值，i φ为初始相位。

对于三自由度系统，在第i 阶频率下，等式可以写成
1m1i 2m2i i i 3m3i z z z =z sin(ωt+)z z φ⎡⎤⎡⎤
⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥
⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦
（11）
mki z 表示第k 个自由度在第i 阶模态下的模态矩阵。

特征值
对式（10）二次求导，得
2i i i =-ωsin(ω+)φ¨
i mi z z （12）
代入齐次运动方程得
m [−ωi 2z mi sin (ωi +∅i )]+k [z mi sin (ωi +∅i )]=0 （13）
去除sin (ωi +∅i )项化简得
(k −ωi 2m )z mi =0 （14）
以矩阵的形式展开得：
2i 2
i mi 2i k-ωm -k 0-k 2k-ωm -k z =00-k k-ωm ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦
（15） z mi 有非零解，则
2i 2
i 2i k-ωm -k 0-k 2k-ωm -k =00-k k-ωm ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦
（16） 即
()234222ω-m ω+4km ω-3k m =0 （17）
方程解如下：1ω=0
，2ω=±
，3ω=±。

三个解对应该系统的前三阶固有频率，
每一个特征根对应一个特征矢量z i ，表示对应模态下该系统的振型。

特征矢量
由式 (k −ωi 2m )z mi =0得矩阵展开形式：
2i m1i 2
i m2i 2i m3i k-ωm -k 0z -k 2k-ωm -k z =00-k k-ωm z ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥
⎢⎥⎢
⎥⎣⎦⎣⎦ （18） 展开第一行和第二行，忽略下脚标m 和i ，得
()()2i
1
2
21
i
3
k-ωm z -kz =0
-kz 2k-ωm kz
+-= （19）
得
22i 12
4
22
3i
i
2
1z k-ωm =z k z m ω-3km ω+k =z k （20）
如果设定了1z 值，则就可以求出三个特征根值下，2z 和3z 相对于1z 的位移。

假设m=k=1， 一阶模态，1ω=0：2
1z =1z ，31
z =1z ，即z 1=[111]； 二阶模态，2
23k ω=m ：2
1
z =0z ，31z =-1z ，即z 2=[10−1
]；
三阶模态，2
3k ω=m ：2
1
z =-2z ，31z =1z ，即z 3=[1−21
]。

模态矩阵
所谓模态矩阵就是指各列由各阶模态特征矢量构成的矩阵，如图4所示。

图 2 模态矩阵
对于前面提到的三自由度系统，模态矩阵如下：
z m =[11110−21−11
]
运动方程的解耦
对于一个复杂的系统，在物理坐标系统中建立的运动方程之间存在耦合关系，因此求解起来比较麻烦，因此需要进行坐标系转化，将耦合的运动方程变为非耦合的运动方程，再将求得的结果转化为物理坐标系下的结果，运动方程解耦过程如下图5：
图 3 运动方程解耦过程
在进行坐标变换之前需对刚度矩阵和质量矩阵进行归一化。

任意上面的三自由度系统为例，由式m [−ωi 2z mi sin (ωi +∅i )]+k [z mi sin (ωi +∅i )]=0 得
ωi 2mz mi =kz mi （21）
ωj 2mz mj =kz mj （22）
对式（21）左乘z mj T 得
ωi 2z mj T mz mi =z mj T
kz mi （23）
又因为
ωj 2z mj T m T =z mj T k T
因为系统对称所以，m T =m ，k T =k ，则：
ωj 2z mj T m =z mj T k （24） 对式（24）右乘z mi
ωj 2z mj T mz mi =z mj T kz mi （25）
则式（23）—式（25）得
(ωi 2−ωj 2)z mj T mz mi =0 （26）
当(ωi 2−ωj 2)≠0时，则
z mj T
mz mi =m ji =0 （27）
当(ωi 2−ωj 2)=0，即i =j ，则z mj T mz mi 可以为任何值，令
z mj T mz mi =m ii （28）
则对质量矩阵和刚度矩阵的归一化结果如下：
m n =z m T
mz m （29）
k n =z m T
kz m （30）
特征矢量的归一化
由于特征矢量只是位移之比，而不是绝对振幅，因此可以对其进行归一化处理。

令
z ni T mz ni =1.0，其中
z ni =z mi
[z mi T mz mi
]1
2
=
z mi q i
（31）
q i =
[∑z mji (∑m jk z mki n k=1)n j=1]1
2
（32）
对于对角质量矩阵
q i =
[∑m k z mki 2n j=1]1
2
（33）
则三自由度系统：
z m =[111
10−21−11
] （34）
=00n z （35） 则归一化的质量矩阵为
100010001⎡⎤
⎢⎥=⎢⎥
⎢⎥⎣⎦
T
n n n m =z mz （36） 同理归一化后的刚度矩阵为
000k =010m
003⎡⎤
⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦
n k （37）
可以看出归一化后的刚度矩阵对角线上的各项就是各阶模态固有频率的平方。

运动方程解耦
将物理坐标系下的运动方程¨1
1¨22¨33z m 00k -k 0z 0 0m 0z +-k 2k -k z =000m 0-k k z 0z ⎡⎤
⎢⎥⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤
⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥
⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎣⎦
按照前面
介绍的归一化方法转化为主坐标系下的运动方程，其结果如下：
¨p1
p1¨p2p2¨p3p30z 00z 0k 00z +-k z =0m 00z 03k z 0
-k
m 001101⎡⎤⎡⎤⎢⎥
⎢⎥⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢
⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥
⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣
⎦
38） 可以看出在主坐标系中的运动方程之间没有耦合关系，分别单独描述各阶模态的运动特性。

初始条件和激励的坐标转换
物理坐标系中的非齐次运动方程为
..
mz+kz =F （39）
做如下变形
..
T -1T -1T
n
n n
n n n n z mz z z+z kz z z =z F （40） 其中T n n z mz ，T
n n z kz 就是前面介绍的质量和刚度矩阵的对角化。

令T
p n n m =z mz ，主坐标质量矩阵；
T
p n n k =z kz ，主坐标刚度矩阵；
....
-1p n
z z =z ，主坐标系加速度矢量；
-1n p z z =z ，主坐标系位移矢量； T n p z F =F ，主坐标系激励矢量。

同样的关系也适用于初始位移和速度：
-1
op n o .
.
-1op n o z =z z z =z z （42）
两种坐标系的对比
移和速度。

由主坐标系转变为物理坐标系
前面介绍了物理坐标系与主坐标系之间的关系为
-1n p z z =z （43）
对式（41）左乘n z ，变为
=-1n n n p z z z =z z z （44）
同理
p =..
n z z z （45）
非参数模型
传递函数
传递函数由系统的本质特性所决定，与系统的输入输出无关。

知道了系统的传递函数就可以根据输入求输出或根据输出求输入。

以图2的单自由度粘性阻尼系统为例，
图 4 单自由度系统
则该系统的运动方程为：
...
m z+c z+kz=F（1）其中m为质量，c为阻尼系数，k为刚度系数，z，ż，z̈分别为位移、速度和加速度。

对二阶微分方程进行拉普拉斯变换，其中二阶导数项的拉普拉斯变换为：
ℒ{z̈(t)}=s2z(s)−sz(0)−ż(0)（2）
假设初始位移和速度都为零，则
ℒ{z̈(t)}=s 2z (s ) （3）
则经过拉普拉斯变换后的运动方程为：
ms 2z (s )+csz (s )+kz (s )=F(s) （4）
求解拉氏方程得传递函数：
22z(s)11/m
==
c k F(s)ms +cs+k s +s+m m
（5） 其中定义2n k
ω=
m
为非阻尼系统的固有频率，rad/sec
；cr c =阻尼值，ζ为阻尼比，一般为阻尼与临界阻尼的比值，cr
c
=
c ζ，则n c 2ω=
m
ζ。

则传递函数又可以写成：
22
n n z(s)1/m
=F(s)s +2ωs+ωζ （6） 频响函数FRF
用“j ω”代替s ，得系统的频响函数，其中j 是虚数项：
()()22n n 22
n n z(j ω)1/m
=
F(j ω)j ω+2ζωj ω+ω1/m
=
-ω+2ζωωj+ω （7）
其中n k
ω=
m
，ζ 2
z(j ω)1
=F(j ω)-m ω+j ωc+k
（8）
质量、阻尼、刚度对FRF的影响
刚度增大导致共振频率的增大，并且降低FRF在低频段的幅值。

增加阻尼会使共振频率略微减小，但它的主要作用是减小频响函数在共振点的幅值，同时使相位的改变较为平缓。

如果阻尼为零，在共振点振动振幅将趋于无穷大，相位会突变180o。

增大质量会降低共振频率，同时也降低FRF在高频段的幅值。