模态分析理论

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模态分析

模态分析

[D()] 2[m] [c] [k] 0
(4)
2、模态分析理论和术语
2.2 有阻尼模态分析理论:
对于包含陀螺效应的旋转软化结构或需考虑阻尼的结构,则使用QR Damped法求解模态振型和复特征值。特征值 i 的表达式:
i i ji
i-复数特征值的实部; i -复数特征值的虚部
3、特征值和振型
特征值的平凡根等于结构的固 有频率(rad/s)
ANSYS Workbench输入和输出的 固有频率的单位为Hz,因为输入 和输出时候已经除以了2π。
模态计算中的特征向量表征了结构 的模态振型,如图所示该形状即为 假设结构按照频率249Hz振动时的 形状。
4、参与系数,有效质量
模态计算后除了能够获取结构的固有频率和振型外,还有参与 系数与有效质量,其中参与系数的计算公式:
M u Cu Ku 0 (1)
设其解为
{x} { }et
代入方程(1)得到
(2[m] [c] [k]){ } [D()]{ } {0}
(2) (3)
矩阵 [D()]称为系统的特征矩阵。方程(3)是一个“二次特征值”问题,
要(3)式有非零解的充要条件为
2、模态分析理论和术语
2.1式输出计算的固有频率:
fi

i 2
其中: fi的单位为Hz,即转/秒。 如果模型的约束不足导致产生刚体运动,则总体刚度矩阵[K]为半正
定型,则会出现固有频率为0的情况。
2、模态分析理论和术语
2.2 有阻尼模态分析理论:
有阻尼模态分析中假设结构没有外力作用,则控制方程变为
6、模态计算中接触设置
模态计算中可以定义不同结构之间的接触,但是因为模态计 算是一个纯线性分析,因此模态计算中接触定义与其他非线性 问题中定义中的接触不同,模态计算中接触的具体设置如下:

模态分析原理

模态分析原理

模态分析原理模态分析是指通过对物体或系统的振动特性进行分析,来确定其固有频率、振型和振动模态等相关参数的一种分析方法。

在工程领域中,模态分析被广泛应用于结构设计、振动控制、故障诊断等方面,具有重要的理论和实际意义。

本文将对模态分析的原理进行介绍,希望能够帮助读者更好地理解和应用模态分析技术。

模态分析的基本原理是通过对系统的动力学方程进行求解,得到系统的固有频率和振型。

在进行模态分析时,需要考虑系统的质量、刚度和阻尼等因素,这些因素将直接影响系统的振动特性。

在实际工程中,通常会采用有限元方法或者试验测量的方式来获取系统的动力学参数,然后利用模态分析的理论进行计算和分析。

在进行模态分析时,首先需要建立系统的动力学模型,这包括系统的质量矩阵、刚度矩阵和阻尼矩阵等参数。

然后利用模态分析的理论,可以求解系统的特征方程,从而得到系统的固有频率和振型。

通过对系统的固有频率和振型进行分析,可以了解系统的振动特性,包括主要振动模态、振动形式和振动幅值等信息。

在实际工程中,模态分析通常用于结构设计和振动控制方面。

通过对结构的模态进行分析,可以确定结构的主要振动模态和固有频率,从而指导结构设计和优化。

同时,还可以通过模态分析来评估结构的振动响应,为振动控制和减震设计提供依据。

除了在结构设计和振动控制方面的应用外,模态分析还被广泛应用于故障诊断和结构健康监测等领域。

通过对系统的模态进行分析,可以发现系统的异常振动模态和频率,从而判断系统的工作状态和健康状况。

这对于提前发现系统的故障和隐患,具有重要的意义。

总之,模态分析作为一种重要的振动分析方法,具有广泛的应用前景和理论价值。

通过对系统的振动特性进行分析,可以深入理解系统的动力学行为,为工程设计和故障诊断提供重要的依据。

希望本文的介绍能够帮助读者更好地理解和应用模态分析技术,推动其在工程领域的进一步发展和应用。

模态分析算法原理与实例

模态分析算法原理与实例

5.模态计算中接触设置
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模态计算中可以定义不同结构之间的接触,但是因为模态计 算是一个纯线性分析,因此模态计算中接触定义与其他非线性 问题中定义中的接触不同,模态计算中接触的具体设置如下:
6.预应力模态分析
• 具有预应力结构的模态分析; • 同样的结构在不同的应力状态下表现出不同的动力特性。
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i 2
其中: fi的单位为Hz,即转/秒。 如果模型的约束不足导致产生刚体运动,则总体刚度矩阵[K]为半正 定型,则会出现固有频率为0的情况。
3.模态计算的方法
在大多数情况下,建议用户选用 Program Controlled选项,程序会自 动优化进行选择算法。
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用户也可以设置输出应力和应变;
注意:模态计算中的应力和应变只是一个相对值,不是真实的应 力值;应力值并没有实际意义,但如果振型是相对于单位矩阵归 一的,则可以在给定的振型中比较不同点的应力,从而发现可能 存在的应力集中。
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(1)Direct-Block Lanczos
-能够处理对称矩阵; -是一种功能强大的方法,当提取中型到大型模型(50000 ~ 100000 个 自由度)的大量振型时(40+),这种方法很有效; -经常应用在具有实体单元或壳单元的模型中; -可以很好地处理刚体振型; -需要较高的内存。

模态分析的基础理论

模态分析的基础理论

模态分析的基础理论模态分析是一种研究系统中不同模式的分布、生成和演化规律的方法。

在这个理论中,模态是指系统中不同状态或形式的存在形式,例如质量分数、温度、湿度等。

模态分析的基础理论包括概率论、统计学和模态分析技术等。

概率论是模态分析的基础之一、它研究随机事件的发生概率和规律。

在模态分析中,我们可以利用概率论来描述不同模态出现的概率分布,并通过分析系统中的模式,得出不同模态的生成规律。

通过概率论的方法,我们可以预测不同模态的变化趋势,从而指导系统的优化设计和运行管理。

统计学也是模态分析的基础理论之一、统计学研究如何收集、处理、分析和解释数据,通过对大量数据的统计分析,揭示数据背后的规律和趋势。

模态分析中,统计学的方法可以用于分析模态数据的分布情况,寻找模态之间的相关性和影响因素,并建立相应的模型来预测和优化系统的运行情况。

在模态分析技术方面,主要包括聚类分析、主成分分析和模态分析方法等。

聚类分析是一种将相似的对象分组的方法,通过对模态数据进行聚类分析,我们可以将相似的模态归为一类,从而描述系统中的不同模态分布情况。

主成分分析是一种降维技术,它可以将高维的模态数据降低到低维,并保留大部分信息。

这可以帮助我们更好地理解系统模态之间的关系和重要性。

模态分析方法包括有限元模态分析、频响函数法和模态参数识别等。

通过这些方法,我们可以对系统的模态进行分析,包括振型、频率和阻尼等,并找出模态的摄动源和分布规律。

模态分析的基础理论对于理解和优化系统具有重要意义。

通过对模态的分析和研究,我们可以了解系统的特性和不同模态之间的关系,从而指导系统的设计和运行。

同时,模态分析也可以帮助我们发现和解决系统中存在的问题,提高系统的稳定性和可靠性。

因此,深入理解和应用模态分析的基础理论对于各个领域的研究和实践具有重要价值。

第3章 实验模态分析的基本理论

第3章 实验模态分析的基本理论

实验模态分析第三章:实验模态分析的基本理论振动系统的特性可以用模态来描述:固有频率、固有振型(主振型)、模态质量、模态刚度和模态阻尼等。

建立用模态参数表示的振动系统的运动方程并确定其模态参数的过程使称为模态分析。

—种理解可以认为,振动系统的物理模型、物理参数和以物理参数表示的运动方程都是已知的,引入模态参数、建立模态方程的目的是为了简化计算,解除方程耦合,缩减自由度。

另一种理解可以认为,通过对实际结构的振动测试,识别振动系统的模态参数,从而建立起系统的以模态参数表示的运动方程,供各种工程计算应用。

试验模态分析指的是后一种过程,即通过振动测试(称模态试验),识别模态参数,建立以模态参数表示的运动方程这样一个过程。

1 多自由度系统振动基础回顾&&&++=M x C x K x f t []{}[]{}[]{}{()} 2实模态理论一个n 自由度线性定常振动系统,其运动方程可以如下表示:现对两端作付氏变换得:[]{}[]{}[]{}{()}M x C xK x f t ++=&&&2([][][]){()}{()}M j C K X F ωωωω−++=式中和分别是x(t)和F(t)的付氏变换,并有()X ω()F ω()()j t X x t e dt ωω+∞−−∞=∫()()j t F f t e dtωω+∞−−∞=∫(){()}{()}Z X F ωωω=111212122212()()()()()()()()()()n n n n nn Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z ωωωωωωωωωω⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦L L L L L L L 1()[()]{()}{()}{()}X Z F H F ωωωωω−==2[][][]K M j C ωω=−+阻抗矩阵中各元素值无法在实际振动测试中获得,因为人们不可能在实际结构上固定其它坐标,令其不动,仪留下J坐标,待其作出响应;也不可能仅使某个坐标运动,在其余坐标上测量力。

_模态分析理论基础

_模态分析理论基础
有限元简化模型和计算的误差较大。通过对结构进行实验模态分 析,可以正确确定其动态特性,并利用动态实验结果修改有限元 模型,从而保证了在结构响应、寿命预计、可靠性分析、振动与 噪声控制分析与预估以及优化设计时获得有效而正确的结果。
IVE
Institute of Vibration Engineering, Northwestern Polytechnical University, China
Iration Engineering, Northwestern Polytechnical University, China
有限元分析软件(如ANSYS、NASTRAN、SAP、MAC等)在结 构设计中被普遍采用,但在设计中,由于计算模型和实
际结构的误差,而且受到边界条件很难准 确确定的影响,特别是结构的形状和动态特性很复杂时,
IVE
Institute of Vibration Engineering, Northwestern Polytechnical University, China
e. 为结构动力学优化设计提供目标函数或约束条件
动力学设计,即对主要承受动载荷而动特性又至关重要的结构,以 动态特性指标作为设计准则,对结构进行优化设计。它既可在常规静力 设计的结构上,运用优化技术,对结构的元件进行结构动力修改;也可 从满足结构动态性能指标出发,综合考虑其它因素来确定结构的形状, 乃至结构的拓扑(布局设计、开孔、增删元件)。动力学优化设计就是 在结构总体设计阶段就应对结构的模态参数提出要求,避免事后修补影 响全局。
•解的形式(s为复数)及拉氏 变换: x Xest (ms2 cs k ) x(s) f (s)
IVE
Institute of Vibration Engineering, Northwestern Polytechnical University, China

单自由度模态分析理论

单自由度模态分析理论

要点二
非线性模态分析的研 究
目前,大多数模态分析研究都集中在 线性系统上。然而,在许多工程应用 中,非线性因素对结构振动的影响是 不可忽视的。因此,未来可以进一步 研究非线性模态分析方法,以更准确 地描述这些非线性效应。
要点三
智能材料和结构的应 用
随着智能材料和结构的发展,它们在 许多领域的应用越来越广泛。这些材 料和结构具有独特的动态特性,需要 新的模态分析方法来描述。因此,未 来的研究可以探索适用于智能材料和 结构的模态分析方法。
背景
随着工程结构的日益复杂化,模态分析在结构健康监测、振 动控制、地震工程等领域的应用越来越广泛。单自由度模态 分析作为模态分析的基础,为多自由度模态分析提供了理论 支持。
模态分析的定义
模态
模态是结构的固有振动特性,包 括频率、阻尼比和振型。
模态分析
模态分析是通过试验或数值方法 识别结构的模态参数的过程。
模态振型之间具有正交性, 即不同模态的振动不会相 互干扰。
选择性
在实际工程中,可以根据需要 选择特定的模态进行分析,以 简化计算和提高分析效率。
Part
03
单自由度系统的01
激振器激励
STEP 02
自由衰减振动
通过激振器对系统施加激励 ,使其产生振动响应,然后 采集响应信号进行分析。
04
单自由度系统的模态特性分析
模态正交性分析
模态正交性是指在模态空间中,不同的模态之间相互独立, 没有耦合关系。在单自由度系统中,模态正交性表现为各模 态振型函数的正交性,即它们的内积为零。
模态正交性的意义在于,它使得各模态之间互不干扰,各自 独立地响应外部激励,从而使得系统的响应可以通过叠加各 模态的响应得到。

实验模态分析基本理论

实验模态分析基本理论
电液伺服式(Hydro-Electric Servo):频带窄(0-500 Hz)、能量 大、推力大、行程大;
机械式(Mechanical):频带窄(10-100Hz)、行程一般数毫米、 噪音大、位移和波形控制不精确;
3.频响函数的测量
(2) 冲击激励(Impact Excitation): 力锤(Hammer),适用于小阻尼线性结构。还有夯锤、 落锤、摆式冲击锤、小火箭等;
(3) 脉动等(Enviromental Excitation): 利用大地、地震、人工爆炸模拟地震风等条件引起的振动。
3.频响函数的测量
1.3 测量系统(Measurement System): 传感器+放大器(Transducer+Amplifier) ICP传感器(内装IC放大电路) (Integrated Circuit Piezoelectric)
第8章 实验模态分析初步
1.结构动特性的建模方法
理论建模:动力学仿真分析
耦合的力平衡方程 Mx(t) Cx(t) Kx(t) f (t)
通过有限元离散模型,采用模态分析理论、特征值求解技术和矩阵变换 技术获得结构的动力学特性:频率、阻尼和振型;建立结构完整模态模 型(一组解耦的方程组)、系统的传递特性(传递函数或频响函数), 进一步建立结构的频域响应计算模型和时域响应计算模型。
3.频响函数的测量
4 测点布置与激振点的选择 测点布置 1.能够较好地反映结构物的构型 2.能够充分显示结构的模态振型 例:一个梁单元无法求解简支梁的10个模态。计算上一般要求至少 20个单元,计算出的20阶模态,只有前10阶准确。
激励点 应避开节点节线。多点激励进行校核。
激励力的选择 在不破坏试件的情况下,尽可能大的激励力,有助于提高信噪比。 不同大小的激励力,可以定性考查结构非线性的程度

多自由度模态分析理论

多自由度模态分析理论
量的数值计算,如何在保证计算精度的 前提下提高计算效率是一个重要的问题。
针对大规模系统,可以采用高效的数值算法和并行计算技术 来提高计算效率。同时,也可以采用适当的模型简化方法来 平衡计算效率和精度。
05 多自由度模态分析的未来 发展方向
混合模态分析方法
混合模态分析方法是一种结合了线性与非线性理论的分析方法,旨在更全面地描述系统的动态特性。 这种方法结合了线性模态分析的准确性和非线性模态分析的实用性,能够更好地处理复杂系统的振动 问题。
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感谢您的观看
通过建立系统的有限元模型,利用 数值方法求解特征方程得到模态参 数。
参数识别方法
包括频域法和时域法,其中频域法 通过频率响应函数识别模态参数, 时域法通过时间历程数据识别模态 参数。
03 多自由度模态分析在工程 中的应用
结构健康监测
结构损伤识别
01
多自由度模态分析能够通过比较结构在不同模态下的振动特性,
智能优化算法在模态分析中的应用
智能优化算法是一类基于人工智能的 优化算法,如遗传算法、粒子群算法 和蚁群算法等。这些算法在解决复杂 优化问题方面具有高效性和鲁棒性。
VS
在模态分析中,智能优化算法可以用 于求解系统的最优模态参数,如模态 频率、模态阻尼比和模态振型等。通 过智能优化算法,可以自动搜索系统 的最优模态参数,提高模态分析的效 率和准确性。
多自由度模态分析理论
目录
• 引言 • 多自由度模态分析理论概述 • 多自由度模态分析在工程中的应用 • 多自由度模态分析的局限性与挑战 • 多自由度模态分析的未来发展方向 • 结论
01 引言
背景介绍
机械系统振动分析
多自由度模态分析理论起源于机 械系统振动分析,用于研究复杂 机械结构的动态特性。

模态分析基本理论

模态分析基本理论

+ +
(C1 (C2
+ +
C2 C3
)x&1(t) - C2x&2 (t) )x&2 (t) - C2x&1(t)
+ +
(K1 (K2
+ K2 )x1(t) - K2x2 (t) + K3 )x2 (t) - K2x1(t)
= =
f1 (t) f2 (t)
第三节 多自由度振动系统举例
一 系统方程
写出矩阵形式:

\
eλ1 t


\
e∧t
\

=



O
0

eλN t

eλ*1 t

0
O

e
λ*N
t

第四节 多自由度系统相关模态概念
一 无阻尼系统
阻尼矩阵[C]为零矩阵的系统
系统阻尼因子σ r = 0 ,全为纯虚数极点 λ1 = jω,L , λ*N = − jωN
系统方程:

P2 + Pα Pβ+1
[M]
+
[K
]{x}
=
{0}
比例阻尼系统频响函数
\
或 [H( jω)] = [ψ]

[ ] ∑ { } { } H(jω)
=
N
j2ωr Qr
ψ
r
ψ
T
r
r =1

2
r
+
ω
2
r
-
ω
2
)
-

r

模态理论

模态理论

Tyler & Sofrin 模态分析理论非定常来流与叶片干涉产生的声波在风扇或涡轮中并非是任意形态存在的。

Goldstein 在假定平均流场有势的前提下,建立起了平均流场中任意一点的扰动量与远前方来流扰动量之间的相互关系,给出了下面的方程,()()00002000111I D D Dt c Dt ϕρϕρρρ⎛⎫-∇∇=∇ ⎪⎝⎭u (0-1)由以上方程可知,在非均匀平均流的情况下,来流扰动不仅通过边界条件与声扰动相互作用,而且在传播过程中也会与声扰动耦合,并形成如(2-2)右边所示声源[68]。

在航空发动机叶轮机内部,最重要的边界条件就是管道效应,由于管道边界的限制,声波在其中只能以特定的形态出现,也就是我们常说的模态。

在均匀平均流中,考虑一个环形管道,硬壁条件,对小扰动有下面的对流波动方程[12],2222222110i M p p x x r r r r ωυ⎛⎫∂∂∂∂∂⎛⎫+-+++= ⎪ ⎪∂∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭ (0-2)波动方程描述的特征值问题是可解的,环形管道中我们可以将它的一般解展开为傅里叶-贝塞尔形式的模态()()()1,,m m ik x ik x im m m m m p x r A e B e U r e μμθμμμμθ+-∞∞---=-∞==+∑∑ (0-3)这里径向模态和径向、轴向波数分别满足()22222210m m m m m m m m m U U U r r Mk k k μμμμμμμμααω±⎛⎫'''++-= ⎪⎝⎭=--= (0-4) 其中,径向特征模态()m U r μ以贝塞尔函数的形式出现,m 和μ分别表示周向和径向模态数。

满足上述波动方程的声波解在环形或圆形管道中会以图2-4所示的螺旋波形式出现和传播。

Tyler 和Sofrin 是最早研究叶轮机内部叶片非定常气动力旋转模态特征的学者,他们的研究结果已经成为当代航空燃气涡轮发动机气动声学设计的主要理论基础之一。

模态分析理论

模态分析理论

e t
sin dt
就是脉冲响应函数。
很容易证明频响函数和脉冲响应函数是一对傅氏变换对:
H () Fh(t)
(1) 简谐激励
结构在简谐激励下的稳态响应也是同频率的简谐振动。但有相位差。
f (t) Fe j(t ) x(t) Xe j(t )
H() X e j( )
F
工程中,应变常常是非常重要的,而且易于测量。应变片体积小、质量小、成分低,对试验结
结构动力修改
模态分析的目的是了解系统的动态特性。在已知结构动态特性参数后,我们应该寻求改进系统动态 特性的方法。 有两种情况: 1) 由于制造和设计原因,不得不对现有结构进行局部修改。
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机械模态分析理论基础
假设:系统是线性、定常与稳定的线性时不变系统
线性:描述系统振动的微分方程为线性方程,其响应对激励具有叠加性;
定常:振动系统的动态特性(如质量、阻尼、刚度等)不随时间变化,即具有频率保持性;如系统受简谐 激励-响应的频率必定与激励一致。 稳定:系统对有限激励必将产生一个有限响应,即系统满足傅氏变换和拉氏变换的条件。 振动系统分类:
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ˆ
2 fx
()
1
GMM G ff ()
1 1
GNN Gxx ( )
输入存在噪声,会使估计的频响函数偏小;
输出存在噪声,会使估计的频响函数偏大;
还可用下面一些估计方法:
Hˆ 3 ()
Hˆ 1 ( )
2
Hˆ 2 ()
Hˆ 4 () Hˆ1() Hˆ 2 ()
K s2M φs 0
右乘 φs ,得到:
φsT KT s2MT φr 0

模态分析的理论介绍及目的

模态分析的理论介绍及目的

模态分析理论1模态分析简介1.1 模态简介模态是结构固有的振动特性,每一个模态具有一个特定的固有频率、阻尼比和模态振型。

这些模态参数可以由分析软件分析取得,也可以经过试验计算获得,这样一个软件或者试验分析过程称为模态分析。

这个分析结果如果是由有限元计算的方法取得的,则称为计算模态分析;如果结果是通过试验将采集的系统输入与输出信号经过参数识别获得模态参数,称为试验模态分析。

模态分析是研究结构动力特性一种近代方法,是系统辨别方法在工程振动领域中的应用。

1.2 固有频率简介固有频率是物体的一种物理特性,由它的结构、大小、形状等因素决定的。

这种物理特征不以物体是否处于振动状态而转移。

当物体在多个频率上振动时会渐渐固定在某个频率上振动,当他受到某一频率策动时,振幅会达到最大值,这个频率就是物体的固有频率。

1.3 振型简介振型是指体系的一种固有的特性。

它与固有频率相对应,即为对应固有频率体系自身振动的形态。

每一个物体实际上都会有无穷多个固有频率,每一阶固有频率相对应物体相对应的形状改变我们称之为振型。

理论上来说振型也有无穷多个,但是由于振型阶数越高,阻尼作用造成的衰减越快,所以高振型只有在振动初期才较明显,以后则衰减。

因此一般情况下仅考虑较低的几个振型.1.4模态分析的目的模态分析技术从上世纪60年代开始发展至今,已趋于成熟。

它和有限元分析技术一起,已成为结构动力学中的两大支柱。

到目前,这一技术已经发展成为解决工程振动问题的重要手段,在机械、航空航天、土木建筑、制造化工等工程领域被广泛的应用。

我国在这一方面的研究,在理论上和应用上都取得了很大的成果,处于世界前列。

模态分析的最终目标就是识别出系统的模态参数,为结构系统的振动特性的分析、振动故障的诊断和检测以及结构的优化提供依据。

模态分析技术的应用可归结为以下几个方面:1) 评价所求结构系统的动态特性;2) 在新产品设计中进行结构特性的预估,优化对结构的设计;3) 诊断及预报结构系统中的故障;4) 识别结构系统的载荷。

模态分析的理论介绍及目的

模态分析的理论介绍及目的

模态分析理论1模态分析简介1.1 模态简介模态是结构固有的振动特性,每一个模态具有一个特定的固有频率、阻尼比和模态振型。

这些模态参数可以由分析软件分析取得,也可以经过试验计算获得,这样一个软件或者试验分析过程称为模态分析。

这个分析结果如果是由有限元计算的方法取得的,则称为计算模态分析;如果结果是通过试验将采集的系统输入与输出信号经过参数识别获得模态参数,称为试验模态分析。

模态分析是研究结构动力特性一种近代方法,是系统辨别方法在工程振动领域中的应用。

1.2 固有频率简介固有频率是物体的一种物理特性,由它的结构、大小、形状等因素决定的。

这种物理特征不以物体是否处于振动状态而转移。

当物体在多个频率上振动时会渐渐固定在某个频率上振动,当他受到某一频率策动时,振幅会达到最大值,这个频率就是物体的固有频率。

1.3 振型简介振型是指体系的一种固有的特性。

它与固有频率相对应,即为对应固有频率体系自身振动的形态。

每一个物体实际上都会有无穷多个固有频率,每一阶固有频率相对应物体相对应的形状改变我们称之为振型。

理论上来说振型也有无穷多个,但是由于振型阶数越高,阻尼作用造成的衰减越快,所以高振型只有在振动初期才较明显,以后则衰减。

因此一般情况下仅考虑较低的几个振型.1.4模态分析的目的模态分析技术从上世纪60年代开始发展至今,已趋于成熟。

它和有限元分析技术一起,已成为结构动力学中的两大支柱。

到目前,这一技术已经发展成为解决工程振动问题的重要手段,在机械、航空航天、土木建筑、制造化工等工程领域被广泛的应用。

我国在这一方面的研究,在理论上和应用上都取得了很大的成果,处于世界前列。

模态分析的最终目标就是识别出系统的模态参数,为结构系统的振动特性的分析、振动故障的诊断和检测以及结构的优化提供依据。

模态分析技术的应用可归结为以下几个方面:1) 评价所求结构系统的动态特性;2) 在新产品设计中进行结构特性的预估,优化对结构的设计;3) 诊断及预报结构系统中的故障;4) 识别结构系统的载荷。

模态分析报告

模态分析报告

模态分析报告一、引言模态分析是研究结构动力特性的一种方法,通过对结构进行模态分析,可以了解结构的固有频率、振型等重要参数,为结构的设计、优化和故障诊断提供重要的依据。

本次模态分析的对象是一个机械结构,旨在评估其在不同工况下的动态性能。

二、模态分析的理论基础模态分析基于结构动力学的原理,假设结构在自由振动时的响应可以表示为一系列固有模态的线性组合。

每个固有模态具有特定的固有频率和振型,固有频率反映了结构的振动特性,振型则描述了结构在该频率下的振动形态。

三、实验设备与方法1、实验设备本次实验使用了加速度传感器、数据采集系统和模态分析软件。

加速度传感器用于测量结构在振动时的加速度响应,数据采集系统将传感器采集到的数据传输到计算机,模态分析软件则对数据进行处理和分析。

2、实验方法首先,在结构的关键位置安装加速度传感器,并对传感器进行校准。

然后,对结构施加激励,激励方式可以是锤击法或激振器法。

在激励过程中,同时采集传感器的数据。

最后,将采集到的数据导入模态分析软件进行处理和分析。

四、实验结果与分析1、固有频率通过模态分析,得到了结构的前若干阶固有频率。

固有频率的分布情况反映了结构的刚度特性。

较低的固有频率通常与结构的整体振动相关,而较高的固有频率则与局部结构的振动有关。

2、振型振型是结构在特定固有频率下的振动形态。

通过观察振型,可以了解结构在振动时的变形模式。

例如,某些振型可能表现为弯曲变形,而另一些振型可能表现为扭转变形。

3、模态参与因子模态参与因子反映了每个模态对结构总体响应的贡献程度。

通过分析模态参与因子,可以确定哪些模态对结构的动态性能影响较大。

五、结果讨论1、结构刚度评估根据固有频率的大小,可以对结构的刚度进行评估。

如果固有频率较低,可能表明结构的刚度不足,需要进行加强或改进。

2、共振风险分析当结构的工作频率接近其固有频率时,可能会发生共振现象,导致结构的振动加剧,甚至损坏。

通过模态分析,可以确定结构的共振频率范围,从而采取相应的措施避免共振的发生。

模态分析理论

模态分析理论

精心整理模态分析指的是以振动理论为基础、以模态参数为目标的分析方法。

首先建立结构的物理参数模型,即以质量、阻尼、刚度为参数的关于位移的振动微分方程;其次是研究其特征值问题,求得特征对(特征值和特征矢量),进而得到模态参数模型,即系统的模态频率、模态22¨330m 0z k 2k k z 000m 0k k z 0z +--=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎣⎦(9) 定义主振型由于是无阻尼系统,因此系统守恒,系统存在振动主振型。

主振型意味着各物理坐标振动的相位角不是同相(相差0o )就是反相位(相差180o ),即同时达到平衡位置和最大位置。

主振型定义如下:()i i j ωt+i i sin ωt+=Im(e )φφi mi mi z =z z (10)其中为第i 阶频率下,各自有度的位移矢量,为第i 个特征矢量,表示第i 阶固有频率下的振型,i ω为第i 阶频率下的第i 个特征值,i φ为(去除项化简得以矩阵的形式展开得:2i 2i mi 2i k-ωm -k 0-k 2k-ωm -k z =00-k k-ωm ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦(15)有非零解,则2i 2i 2i k-ωm -k 0-k 2k-ωm -k =00-k k-ωm ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦(16)即()234222ω-m ω+4km ω-3k m =0(17)阶固有频率,每一个特征根对应一个特征矢量,表示对应模态下该由式3i i 21=z k 如果设定了1z 值,则就可以求出三个特征根值下,2z 和3z 相对于1z 的位移。

假设m=k=1, 一阶模态,1ω=0:21z =1z ,31z =1z ,即;二阶模态,223kω=m :21z=0z,31z=-1z,即;三阶模态,23kω=m :21z=-2z,31z=1z,即。

运动方程的解耦图错误!未指定顺序。

运动方程解耦过程在进行坐标变换之前需对刚度矩阵和质量矩阵进行归一化。

模态分析理论

模态分析理论

模态分析指的是以振动理论为基础、以模态参数为目标的分析方法..首先建立结构的物理参数模型;即以质量、阻尼、刚度为参数的关于位移的振动微分方程;其次是研究其特征值问题;求得特征对特征值和特征矢量;进而得到模态参数模型;即系统的模态频率、模态矢量、模态阻尼比、模态质量、模态刚度等参数..特征根问题以图3所示的三自由度无阻尼系统为例;设123m =m =m =m ;123k =k =k =k ;图 1 三自由度系统其齐次运动方程为: 8其中分别为系统的质量矩阵和刚度矩阵;123m 00m 00m=0m 0=0m 000m 00m ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦;11212221k -k 0k -k 0k=-k k +k -k =-k 2k -k 0-k k 0-k k ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦;则运动方程展开式为:¨11¨22¨33z m 00k k 0z 00m 0z k 2k k z 000m 0k k z 0z ⎡⎤⎢⎥-⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥+--=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎣⎦9定义主振型由于是无阻尼系统;因此系统守恒;系统存在振动主振型..主振型意味着各物理坐标振动的相位角不是同相相差0o 就是反相位相差180o ;即同时达到平衡位置和最大位置..主振型定义如下:()i ij ωt+i i sin ωt+=Im(e)φφi mi mi z =z z 10其中为第i 阶频率下;各自有度的位移矢量;为第i 个特征矢量;表示第i 阶固有频率下的振型;i ω为第i 阶频率下的第i 个特征值;i φ为初始相位..对于三自由度系统;在第i 阶频率下;等式可以写成1m1i 2m2i i i 3m3i z z z =z sin(ωt+)z z φ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦11mki z 表示第k 个自由度在第i 阶模态下的模态矩阵..特征值对式10二次求导;得2i i i =-ωsin(ω+)φ¨i mi z z 12代入齐次运动方程得13去除项化简得14以矩阵的形式展开得:2i 2i mi 2i k-ωm -k 0-k 2k-ωm -k z =00-k k-ωm ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦15 有非零解;则2i 2i 2i k-ωm -k 0-k 2k-ωm -k =00-k k-ωm ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦16即()234222ω-m ω+4km ω-3k m =0 17方程解如下:1ω=0;23k ω=m ±;3kω=m±..三个解对应该系统的前三阶固有频率;每一个特征根对应一个特征矢量;表示对应模态下该系统的振型..特征矢量由式得矩阵展开形式:2i m1i 2i m2i 2i m3i k-ωm -k 0z -k 2k-ωm -k z =00-k k-ωm z ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ 18 展开第一行和第二行;忽略下脚标m 和i;得()()2i1221i3k-ωm z -kz =0-kz 2k-ωm kz+-= 19得22i 124223ii21z k-ωm =z k z m ω-3km ω+k =z k 20如果设定了1z 值;则就可以求出三个特征根值下;2z 和3z 相对于1z 的位移..假设m=k=1;一阶模态;1ω=0:21z =1z ;31z =1z ;即;二阶模态;223k ω=m :21z =0z ;31z =-1z ;即;三阶模态;23kω=m :21z =-2z ;31z =1z ;即..模态矩阵所谓模态矩阵就是指各列由各阶模态特征矢量构成的矩阵;如图4所示..图 2 模态矩阵对于前面提到的三自由度系统;模态矩阵如下:运动方程的解耦对于一个复杂的系统;在物理坐标系统中建立的运动方程之间存在耦合关系;因此求解起来比较麻烦;因此需要进行坐标系转化;将耦合的运动方程变为非耦合的运动方程;再将求得的结果转化为物理坐标系下的结果;运动方程解耦过程如下图5:图 3 运动方程解耦过程在进行坐标变换之前需对刚度矩阵和质量矩阵进行归一化..任意上面的三自由度系统为例;由式得2122 对式21左乘得23 又因为因为系统对称所以;;则:24 对式24右乘25 则式23—式25得26 当时;则27 当;即;则可以为任何值;令28 则对质量矩阵和刚度矩阵的归一化结果如下:2930特征矢量的归一化由于特征矢量只是位移之比;而不是绝对振幅;因此可以对其进行归一化处理..令;其中3132对于对角质量矩阵33则三自由度系统:343m 2m 6m 326=003m 6m m 363m2m6m 326n z 35 则归一化的质量矩阵为100010001⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦Tn n n m =z mz 36 同理归一化后的刚度矩阵为000k =010m003⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦n k 37可以看出归一化后的刚度矩阵对角线上的各项就是各阶模态固有频率的平方..运动方程解耦将物理坐标系下的运动方程¨11¨22¨33z m 00k -k 0z 0 0m 0z +-k 2k -k z =000m 0-k k z 0z ⎡⎤⎢⎥⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎣⎦按照前面介绍的归一化方法转化为主坐标系下的运动方程;其结果如下:¨p1p1¨p2p2¨p3p30z 00z 0k 00z +-k z =0m 00z 03k z 0-km 001101⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦38 可以看出在主坐标系中的运动方程之间没有耦合关系;分别单独描述各阶模态的运动特性..初始条件和激励的坐标转换物理坐标系中的非齐次运动方程为..mz+kz =F 39做如下变形..T -1T -1Tnn nn n n n z mz z z+z kz z z =z F 40 其中T n n z mz ;Tn n z kz 就是前面介绍的质量和刚度矩阵的对角化.. 令Tp n n m =z mz ;主坐标质量矩阵;Tp n n k =z kz ;主坐标刚度矩阵; ....-1p nz z =z ;主坐标系加速度矢量;-1n p z z =z ;主坐标系位移矢量; T n p z F =F ;主坐标系激励矢量..同样的关系也适用于初始位移和速度:-1op n o ..-1op n o z =z z z =z z 42两种坐标系的对比物理坐标系主坐标系物理坐标系中的运动方程的变量是速度和位移;在主坐标系中的变量是各阶振动模态下的位移和速度..由主坐标系转变为物理坐标系前面介绍了物理坐标系与主坐标系之间的关系为-1n p z z =z 43对式41左乘n z ;变为=-1n n n p z z z =z z z 44同理p =..n z z z 45非参数模型传递函数传递函数由系统的本质特性所决定;与系统的输入输出无关..知道了系统的传递函数就可以根据输入求输出或根据输出求输入..以图2的单自由度粘性阻尼系统为例;图 4 单自由度系统则该系统的运动方程为:...m z +c z +kz=F 1其中m 为质量;c 为阻尼系数;k 为刚度系数;z;分别为位移、速度和加速度..对二阶微分方程进行拉普拉斯变换;其中二阶导数项的拉普拉斯变换为:2假设初始位移和速度都为零;则3则经过拉普拉斯变换后的运动方程为:4求解拉氏方程得传递函数:22z(s)11/m==c k F(s)ms +cs+k s +s+m m5 其中定义2n kω=m为非阻尼系统的固有频率;rad/sec ;cr c 2km =阻尼值;ζ为阻尼比;一般为阻尼与临界阻尼的比值;cr c =c ζ;则n c 2ω=mζ.. 则传递函数又可以写成:22n nz(s)1/m=F(s)s +2ωs+ωζ 6 频响函数FRF用“j ω”代替s;得系统的频响函数;其中j 是虚数项:()()22n n 22n n z(j ω)1/m=F(j ω)j ω+2ζωj ω+ω1/m=-ω+2ζωωj+ω 7其中n kω=m ;=2kmζ则频响函数可以写成2z(j ω)1=F(j ω)-m ω+j ωc+k8 质量、阻尼、刚度对FRF 的影响刚度增大导致共振频率的增大;并且降低FRF 在低频段的幅值..增加阻尼会使共振频率略微减小;但它的主要作用是减小频响函数在共振点的幅值;同时使相位的改变较为平缓..如果阻尼为零;在共振点振动振幅将趋于无穷大;相位会突变180o ..增大质量会降低共振频率;同时也降低FRF 在高频段的幅值..。

模态分析理论基础PPT课件

模态分析理论基础PPT课件

v( ) f ()
• 三者之间的关系
H a ( )
a( ) f ()
Ha () jHv () ( j)2 Hd () 2Hd ()
• 动刚度(位移阻抗) Z (s) ms 2 cs k

动柔度(位移导纳)
H (s)
1 ms2 cs k
12/26
• 质量阻抗、阻尼阻抗、刚度阻抗(位移、速度、加速度) • 质量导纳、阻尼导纳、刚度导纳(位移、速度、加速度)
解析模态分析可用有限元计算实现,而试验模态分析则是对结构进行 可测可控的动力学激励,由激振力和响应的信号求得系统的频响函数 矩阵,再在频域或转到时域采用多种识别方法求出模态参数,得到结 构固有的动态特性,这些特性包括固有频率、振型和阻尼比等。
1/26
有限元分析软件(如ANSYS、NASTRAN、SAP、MAC等)在结
• 幅频图
20/26
+ 实频图与虚频图
21/26
•Nyquist图
22/26
• 不同激励下频响函数的表达式
– 要点 • 频响函数反映系统输入输出之间的关系 • 表示系统的固有特性 • 线性范围内它与激励的型式与大小无关 • 在不同类型激励力的作用下其表达形式常不相同
– 简谐激励 • 激励力 • 响应
HR 1, 2
(
)
4k
1
(1
)
2
1
g
2
半功率带宽反映阻尼大小 阻尼越大,半功率带宽
越大,反之亦然
16/26
• 虚频图

H
I
( )
g
k[(1 2 )2
g2]
(结构阻尼)

H
I
( )

附录3 试验模态分析的数学原理及一般方法 - 副本

附录3  试验模态分析的数学原理及一般方法 - 副本

{x ′′(t )} {x ′(t )}
{x ( t )}
附录 3 试验模态分析的数学大原理及一般方法
{F(t)} n
为载荷力向量 为自由度数
(n×1) (n×1)
方程(3.3)左边三项分别代表惯性力、阻尼力及弹性恢复力,它们都是结构振动的内 力。 ( 3.3)式右边表示动载荷外力的作用。 位移向量{x ( t ) }中的每一个元素,表示结构物上某一特定点的一个特定方向的振动运 动。每一个点完全的振动具有六个方向(沿 X、Y、Z 三个轴的移动及绕这三个轴的转动振 动) ,也称为六个自由度 (DOF) 。通常由于测量上的困难,不计转动方向,只考虑三个移 动自由度甚至只考虑一个自由度的振动。只考虑一个方向振动的模态分析,称为一维模态 分析;同时考虑两个方向振动的模态分析,称为二维模态分析;同时考虑三个方向振动的 模态分析,称为三维模态分析。 速度及加速度向量是位移向量对时间的一次及二次微分。 某些结构可以简化为一些刚体质量,用线性弹簧及阻尼器相互联接起来。如附图(3.l) 等。这样的系统称为集中参数系统。N 个质量具有 N 个自由度(DOF) 。大量的机器、建筑 都由许多弹性元件或部件组成,称为分布参数系统。分布参数系统的振动方程是用偏微分 方程来表示的。有限元素法(FEM)将弹性系统离散化成适合计算机运算的方式,此时运 动方程也可表示为(3.3)的形式。区别在于:弹性系统具有无限个 DOF,理论上有无限阶 模态,在模态分析时不可能将它们全部搞清楚,只能考虑在某一频率范围内对结构影响最 大的若干阶主导模态。此外离散化了的弹性系统运动方程(3.3)中的系数矩阵[M]、 [ C]、 [K]用的物理意义比集中参数系统复杂得多。建立弹性系统动力学模型就是确定这三个 矩阵。目前,主要依靠有限元(FEM)法建模并通过试验模态分析进行验证。

模态分析理论范文

模态分析理论范文

模态分析理论范文模态分析理论的核心理念是,人们在特定的社会和文化情境下会表现出不同的态度和行为。

它认为,我们的态度、信念和行为不仅受到个体心理因素的影响,还受到社会和文化环境的影响。

因此,要全面了解一个人的态度或行为,就需要考虑到这个人所处的情境。

首先,模态指的是人们在特定情境下所采取的态度、信念和行为。

它可以通过探究个体的思考方式、观点和意见来理解。

例如,一些人可能会对一些产品持有积极的态度,这可能是因为他对产品的特点和功能有较高的认同。

其次,資源指的是人们在模态形成过程中所依赖的信息和知识。

在分析模态时,人们使用各种不同的资源来评估和形成自己的态度。

这些资源可以是个体的经验、心理特征、社会身份或文化价值观。

通过了解人们所依赖的资源,我们可以更好地理解他们的态度和行为。

最后,情境是指人们所处的社会和文化环境。

情境对个体的态度和行为具有重要的影响。

在不同的情境下,人们可能表现出不同的态度和行为。

例如,同一个人在工作时可能持有不同的观点和做法,而在家庭生活中可能又是另一种态度和行为。

模态分析理论的应用非常广泛。

在广告和市场营销领域,模态分析理论被用于理解消费者的态度和行为,从而更好地设计和推广产品。

在政治和公共政策领域,模态分析理论可以帮助政治家和政策制定者了解公众的意见和需求,有针对性地制定政策和决策。

在社会学和心理学领域,模态分析理论可以用来研究群体行为和态度的变化,揭示社会和文化因素对个体的影响。

然而,模态分析理论也存在一些限制。

首先,因为人们的态度和行为是受多个因素的影响,所以模态分析理论不能解释所有的情况。

其次,模态分析理论强调了情境对个体行为的影响,但情境本身也是由个体创造和改变的,所以情境也会受到个体行为的影响。

最后,模态分析理论对于一些复杂的社会和文化现象可能无法提供充分的解释,因为这些现象涉及多个层面和多个因素的交互作用。

总之,模态分析理论是一种有用的社会科学研究方法,可以帮助我们理解人们在特定情境下的态度和行为。

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模态分析指的是以振动理论为基础、以模态参数为目标的分析方法。

首先建立结构的物理参数模型,即以质量、阻尼、刚度为参数的关于位移的振动微分方程;其次是研究其特征值问题,求得特征对(特征值和特征矢量),进而得到模态参数模型,即系统的模态频率、模态矢量、模态阻尼比、模态质量、模态刚度等参数。

特征根问题以图3所示的三自由度无阻尼系统为例,设123m =m =m =m ,123k =k =k =k ,图 1 三自由度系统其齐次运动方程为:mz +kz =0 (8)其中m ,k 分别为系统的质量矩阵和刚度矩阵,123m 00m 00m=0m 0=0m 000m 00m ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦,11212221k -k 0k -k 0k=-k k +k -k =-k 2k -k 0-k k 0-k k ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦,则运动方程展开式为: ¨11¨22¨33z m 00k k 0z 00m 0z k 2k k z 000m 0k k z 0z ⎡⎤⎢⎥-⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥+--=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎣⎦(9)定义主振型由于是无阻尼系统,因此系统守恒,系统存在振动主振型。

主振型意味着各物理坐标振动的相位角不是同相(相差0o )就是反相位(相差180o ),即同时达到平衡位置和最大位置。

主振型定义如下:()i ij ωt+i i sin ωt+=Im(e)φφi mi mi z =z z (10)其中z i 为第i 阶频率下,各自有度的位移矢量,z mi 为第i 个特征矢量,表示第i 阶固有频率下的振型,i ω为第i 阶频率下的第i 个特征值,i φ为初始相位。

对于三自由度系统,在第i 阶频率下,等式可以写成1m1i 2m2i i i 3m3i z z z =z sin(ωt+)z z φ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦(11)mki z 表示第k 个自由度在第i 阶模态下的模态矩阵。

特征值对式(10)二次求导,得2i i i =-ωsin(ω+)φ¨i mi z z (12)代入齐次运动方程得m [−ωi 2z mi sin (ωi +∅i )]+k [z mi sin (ωi +∅i )]=0 (13)去除sin (ωi +∅i )项化简得(k −ωi 2m )z mi =0 (14)以矩阵的形式展开得:2i 2i mi 2i k-ωm -k 0-k 2k-ωm -k z =00-k k-ωm ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦(15) z mi 有非零解,则2i 2i 2i k-ωm -k 0-k 2k-ωm -k =00-k k-ωm ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦(16) 即()234222ω-m ω+4km ω-3k m =0 (17)方程解如下:1ω=0,2ω=±,3ω=±。

三个解对应该系统的前三阶固有频率,每一个特征根对应一个特征矢量z i ,表示对应模态下该系统的振型。

特征矢量由式 (k −ωi 2m )z mi =0得矩阵展开形式:2i m1i 2i m2i 2i m3i k-ωm -k 0z -k 2k-ωm -k z =00-k k-ωm z ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ (18) 展开第一行和第二行,忽略下脚标m 和i ,得()()2i1221i3k-ωm z -kz =0-kz 2k-ωm kz+-= (19)得22i 124223ii21z k-ωm =z k z m ω-3km ω+k =z k (20)如果设定了1z 值,则就可以求出三个特征根值下,2z 和3z 相对于1z 的位移。

假设m=k=1, 一阶模态,1ω=0:21z =1z ,31z =1z ,即z 1=[111]; 二阶模态,223k ω=m :21z =0z ,31z =-1z ,即z 2=[10−1];三阶模态,23k ω=m :21z =-2z ,31z =1z ,即z 3=[1−21]。

模态矩阵所谓模态矩阵就是指各列由各阶模态特征矢量构成的矩阵,如图4所示。

图 2 模态矩阵对于前面提到的三自由度系统,模态矩阵如下:z m =[11110−21−11]运动方程的解耦对于一个复杂的系统,在物理坐标系统中建立的运动方程之间存在耦合关系,因此求解起来比较麻烦,因此需要进行坐标系转化,将耦合的运动方程变为非耦合的运动方程,再将求得的结果转化为物理坐标系下的结果,运动方程解耦过程如下图5:图 3 运动方程解耦过程在进行坐标变换之前需对刚度矩阵和质量矩阵进行归一化。

任意上面的三自由度系统为例,由式m [−ωi 2z mi sin (ωi +∅i )]+k [z mi sin (ωi +∅i )]=0 得ωi 2mz mi =kz mi (21)ωj 2mz mj =kz mj (22)对式(21)左乘z mj T 得ωi 2z mj T mz mi =z mj Tkz mi (23)又因为ωj 2z mj T m T =z mj T k T因为系统对称所以,m T =m ,k T =k ,则:ωj 2z mj T m =z mj T k (24) 对式(24)右乘z miωj 2z mj T mz mi =z mj T kz mi (25)则式(23)—式(25)得(ωi 2−ωj 2)z mj T mz mi =0 (26)当(ωi 2−ωj 2)≠0时,则z mj Tmz mi =m ji =0 (27)当(ωi 2−ωj 2)=0,即i =j ,则z mj T mz mi 可以为任何值,令z mj T mz mi =m ii (28)则对质量矩阵和刚度矩阵的归一化结果如下:m n =z m Tmz m (29)k n =z m Tkz m (30)特征矢量的归一化由于特征矢量只是位移之比,而不是绝对振幅,因此可以对其进行归一化处理。

令z ni T mz ni =1.0,其中z ni =z mi[z mi T mz mi]12=z mi q i(31)q i =[∑z mji (∑m jk z mki n k=1)n j=1]12(32)对于对角质量矩阵q i =[∑m k z mki 2n j=1]12(33)则三自由度系统:z m =[11110−21−11] (34)=00n z (35) 则归一化的质量矩阵为100010001⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦Tn n n m =z mz (36) 同理归一化后的刚度矩阵为000k =010m003⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦n k (37)可以看出归一化后的刚度矩阵对角线上的各项就是各阶模态固有频率的平方。

运动方程解耦将物理坐标系下的运动方程¨11¨22¨33z m 00k -k 0z 0 0m 0z +-k 2k -k z =000m 0-k k z 0z ⎡⎤⎢⎥⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎣⎦按照前面介绍的归一化方法转化为主坐标系下的运动方程,其结果如下:¨p1p1¨p2p2¨p3p30z 00z 0k 00z +-k z =0m 00z 03k z 0-km 001101⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦38) 可以看出在主坐标系中的运动方程之间没有耦合关系,分别单独描述各阶模态的运动特性。

初始条件和激励的坐标转换物理坐标系中的非齐次运动方程为..mz+kz =F (39)做如下变形..T -1T -1Tnn nn n n n z mz z z+z kz z z =z F (40) 其中T n n z mz ,Tn n z kz 就是前面介绍的质量和刚度矩阵的对角化。

令Tp n n m =z mz ,主坐标质量矩阵;Tp n n k =z kz ,主坐标刚度矩阵;....-1p nz z =z ,主坐标系加速度矢量;-1n p z z =z ,主坐标系位移矢量; T n p z F =F ,主坐标系激励矢量。

同样的关系也适用于初始位移和速度:-1op n o ..-1op n o z =z z z =z z (42)两种坐标系的对比移和速度。

由主坐标系转变为物理坐标系前面介绍了物理坐标系与主坐标系之间的关系为-1n p z z =z (43)对式(41)左乘n z ,变为=-1n n n p z z z =z z z (44)同理p =..n z z z (45)非参数模型传递函数传递函数由系统的本质特性所决定,与系统的输入输出无关。

知道了系统的传递函数就可以根据输入求输出或根据输出求输入。

以图2的单自由度粘性阻尼系统为例,图 4 单自由度系统则该系统的运动方程为:...m z+c z+kz=F(1)其中m为质量,c为阻尼系数,k为刚度系数,z,ż,z̈分别为位移、速度和加速度。

对二阶微分方程进行拉普拉斯变换,其中二阶导数项的拉普拉斯变换为:ℒ{z̈(t)}=s2z(s)−sz(0)−ż(0)(2)假设初始位移和速度都为零,则ℒ{z̈(t)}=s 2z (s ) (3)则经过拉普拉斯变换后的运动方程为:ms 2z (s )+csz (s )+kz (s )=F(s) (4)求解拉氏方程得传递函数:22z(s)11/m==c k F(s)ms +cs+k s +s+m m(5) 其中定义2n kω=m为非阻尼系统的固有频率,rad/sec;cr c =阻尼值,ζ为阻尼比,一般为阻尼与临界阻尼的比值,crc=c ζ,则n c 2ω=mζ。

则传递函数又可以写成:22n n z(s)1/m=F(s)s +2ωs+ωζ (6) 频响函数FRF用“j ω”代替s ,得系统的频响函数,其中j 是虚数项:()()22n n 22n n z(j ω)1/m=F(j ω)j ω+2ζωj ω+ω1/m=-ω+2ζωωj+ω (7)其中n kω=m,ζ 2z(j ω)1=F(j ω)-m ω+j ωc+k(8)质量、阻尼、刚度对FRF的影响刚度增大导致共振频率的增大,并且降低FRF在低频段的幅值。

增加阻尼会使共振频率略微减小,但它的主要作用是减小频响函数在共振点的幅值,同时使相位的改变较为平缓。

如果阻尼为零,在共振点振动振幅将趋于无穷大,相位会突变180o。

增大质量会降低共振频率,同时也降低FRF在高频段的幅值。

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