大一高数课件第七章 7-6-1

x 2 y 2 1, 是一个圆, 则交线 C 在 xoy 面上的投影为 z 0.
2 2 所求立体在 xoy 面上的投影为 x y 1.
空 间 立 体
四、小结
空间曲线的一般方程、参数方程．
F ( x, y, z ) 0 G ( x , y , z ) 0
空 间 立 体
曲 面
例3
设一个立体,由上半球面 z 4 x 2 y 2 和 z 3( x 2 y 2 ) 锥面所围成, 求它在 xoy 面上的投影.
解
z 4 x2 y2 , 半球面和锥面的交线为 C : z 3( x 2 y 2 ),
消去 z 得投影柱面 x 2 y 2 1,
2 2 6 、旋转抛物面 z x y ( 0 z 4 )
在 xoy 面的投影为__________， 在 yoz 面的投影为____________， 在 zox 面上的投影为__________.
二、画出下列曲线在第一卦限的图形： z 4 x 2 y 2 1、 x y 0 x2 y2 a2 2、 2 2 2 x z a
3 x cos t 2 3 cos t ,( 0 t 2 ) . 三、 y 2 z 3 sin t y x 2 2 2 x y a z b arcsin z b arccos a , a. 四、 , z 0 x 0 y 0 2 2 2 2 五、 x y ax; z ax a , x 0, z 0 .
R( y , z ) 0 x0 T ( x , z ) 0 y0
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例如,
x2 y2 z2 1 C : 2 x ( y 1)2 ( z 1)2 1
在xoy 面上的投影曲线方程为
z
C
o x
1 y
x2 2 y2 2 y 0 z0
当给定 t t1 时， 就得到 曲线上的一个点( x1 , y1 , z1 ) ， 随着参数的变化可得到曲 线上的全部点.
例1
如果空间一点 M 在圆柱面 x 2 y 2 a 2 上以角
速度 绕 z 轴旋转，同时又以线速度v 沿平行于 z 轴的 正方向上升（其中 、 v 都是常数），那么点 M 构成 的图形叫做螺旋线．试建立其参数方程．
o x
1 y
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又如,方程组
z
表示上半球面与圆柱面的交线C.
ay x
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二、空间曲线的参数方程
将曲线 C 上的动点坐标 x , y , z 表示成参数t 的函数:
x x( t ) y y( t ) z z(t )
空间曲线的参数方程
一、空间曲线的一般方程
空间曲线可视为两曲面的交线, 其一般方程为方程组
G( x, y, z ) 0 L F ( x, y, z ) 0
S2
S1
空间曲线的一般方程 特点：
曲线上的点都满足
方程组，不在曲线上的点
z
S1 S1
C
不能同时满足两个方程.
o
x
S2 S2
y
例如,方程组
2
z
C
表示圆柱面与平面的交线 C.
解
z
取时间t为参数， 动点从A点出发，经 过t时间，运动到M 点
M 在 xoy 面的投影 M ( x, y,0)
x a cos t
y a sin t
t
o
x A
M

z vt
y
螺旋线的参数方程
M
螺旋线的参数方程还可以写为
x a cos y a sin z b
2 2
思考题解答
2 y 2 x 2 z 交线方程为 , 2 2 x z
x 2 y 2 1, 消去 z 得投影柱面
在
xoy 面上的投影为 x 2 y 2 1
z 0
.
练 习 题
一、 填空题： 1、 曲面 x 2 9 y 2 10z 与 yoz 平面的交线是_____； 2、 通过曲线 2 x 2 y 2 z 2 16 , x 2 z 2 y 2 0 ，且 母线平行于 y 轴的柱面方程是____________； 3、 曲线 x 2 z 2 3 yz 2 x 3 z 3 0, y z 1 0 在
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又如, 上半球面
和锥面
所围的
立体在 xoy 面上的投影区域为: 二者交线在 xoy 面上的投影曲线所围之域 . 二者交线
z
C
x
o
1
y
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在 xoy 面上的投影曲线
z
所围圆域: x 2 y 2 1 , z 0 .
C
x
o
1
y
补充: 空间立体或曲面在坐标面上的投影.
x x(t ) y y( t ) z z(t )
空间曲线在坐标面上的投影．
H ( x, y) 0 z 0 R( y , z ) 0 x 0 T ( x , z ) 0 y 0
思考题
求椭圆抛物面 2 y x z 与抛物柱面 2 x 2 z 的交线关于 xoy面的投影柱面和在 xoy面上的投影曲线方程.
解: (1) 根据第一方程引入参数 , 得所求为
(2) 将第二方程变形为
故所求为
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三、空间曲线在坐标面上的投影
F ( x, y, z ) 0 设空间曲线的一般方程： G ( x , y , z ) 0
消去变量z后得： H ( x, y ) 0 曲线关于
练习题答案
2 10 y z 2 2 2 2 一、1、 9 ； 2、 3 y z 16,3 x 2 z 16 ； x 0 x 2 4z 2 2 x 3 0 3、 ； y 0 4、两直线的交点,两平面的交线； x2 y2 5、椭圆与其一切线的交点,椭圆柱面 1与 4 9 其切平面 y 3的交线； 6、 x 2 y 2 4, y 2 z 4, x 2 z 4.
z
C
y
xoy
的投影柱面
x
投影柱面的特征： 以此空间曲线为准线，垂直于所投影的坐标面.
C
如图:投影曲线的研究过程.
投影曲线 空间曲线 投影柱面
H ( x, y) 0 称为C 在 xoy 面上的投影曲线方程 z0
同理
消去Hale Waihona Puke x 得C 在yoz 面上的投影曲线方程
消去y 得C 在zox 面上的投影曲线方程
x2 y2 z2 9 三、将曲线 化为参数方程． y x
x a cos 四、求螺旋线 y a sin 在三个坐标面上的投影曲线 z b 的直角坐标方程 . z a2 x2 y2 , 柱 面 五、求 由 上 半 球 面 x 2 y 2 ax 0 及 平面z 0 所 围成的 立体， 在 xoy 面和 xoz 面上的投影 .
xoz 平面上的投影方程是_______________；
y 5x 1 4、 方程组 在平面解析几何中表示______； y 2x 3
x2 y2 1 5、 方 程 组 4 在平面解析几何中表示 9 y 3
______，在空间解析几何中表示___________；
( t , b
x a cos t
v

)
y a sin t
z vt
螺旋线的重要性质： 上升的高度与转过的角度成正比． 即
: 0 0 ,
z : b 0 b 0 b ,
2 , 上升的高度
h 2b
螺距
例2. 将下列曲线化为参数方程表示: