《运筹学教程》第三章习题答案
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《运筹学教程》第三章习题答案
1.影子价格是根据资源在生产中作出的贡献而做的估价。它是一种边际价格，
其值相当于在资源得到最有效利用的生产条件下，资源每变化一个单位时目标函数的增量变化。又称效率价格。
影子价格是指社会处于某种最优状态下，能够反映社会劳动消耗、资源稀缺程度和最终产品需求状况的价格，是社会对货物真实价值的度量。
只有在完善的市场条件下才会出现，然而这种完善的市场条件是不存在的，因此现成的影子价格也是不存在的。市场价格是物品和服务在市场上销售的实际价格，是由供求关系决定的。
2.证明：当原问题约束条件右端变为b i′时，
原问题变为： maxz=∑C i X j
s.t. ∑a ij X i≤b i′(i=1,2,3,……,m)
X j≥0 (j=1,2,3,……,n)
对偶问题为： minp=∑b i′y i
s.t. ∑a ij y i≥C i
y i≥0
(i=1,2,3,……,m) (j=1,2,3,……,n) 设，当b i变为b i′原问题有最优解（X1′X2′X3′……X n-1′X n′）时，对偶问题的最优解为（y1′y2′y3′……y n-1′y n′）,则有：
又因为当原问题有最优解时，对偶问题也有最优解，且相等，则有：
所以
3（1）.minp=6y1 + 2y2
s.t. -y1+2y2≥-3
3y1+3y2≥4
y1,y2≥0
(2)解：令X2=X2′-X2〞，X4= X4′-X4〞，X2′，X2〞，X4′，X4〞≥0 ，原式化为：
maxz=2X1 +2X2′-2X2〞-5X3 +2X4′-2X4〞
s.t. 2X1 -X2′+X2〞+3X3 +3X4′-3X4〞≤-5
-2X1 +X2′-X2〞-3X3 -3X4′+3X4〞≤5
-6X1 -5X2′+5X2〞+X3 -5X4′+5X4〞≤-6
10X1 -9X2′+9X2〞+6X3 +4X4′-4X4〞≤12
X1, X2′，X2〞，X3, X4′，X4〞≥0
则对偶规划为：.
minp= -5y1′+ 5y1〞-6y2 + 12y3
s.t. 2y1′-2y1〞-6y2 + 10y3≥2
-y1′+y1〞-5y2 -9y3≥2
y1′-y1〞+5y2 + 9y3≥-2
3y1′-3y1〞+y2 + 6y3≥-5
3y1′-3y1〞-5y2 + 4y3≥2
-3y1′+3y1〞+5y2 -4y3≥-2
即：
minp= -5y1′+ 5y1〞-6y2 + 12y3
s.t. 2y1′-2y1〞-6y2 + 10y3≥2
-y1′+y1〞-5y2 -9y3=2
3y1′-3y1〞+y2 + 6y3≥-5
3y1′-3y1〞+5y2 + 4y3=2
令 y1〞- y1′= y1，得：
minp= 5y1 -6y2 + 12y3
s.t. -2y1-6y2 + 10y3≥2
y1-5y2 -9y3=2
-3y1+y2 + 6y3≥-5
-3y1-5y2 + 4y3=2
4、试用对偶理论讨论下列原问题与他们的对偶问题是否有最优解。
(1)
12
123
123
123
max35
..232 248 ,,0
z x x
s t x x x
x x x
x x x
=+⎫
⎪-++≤⎪
⎬-+-≤⎪
⎪
≥⎭
解：其对偶问题为：
12
12
12
12
12
min28 ..223 345
,0
p y y s t y y
y y
y y
y y
=+⎫
⎪--≥⎪
⎪+≥⎬
⎪-≥
⎪
≥⎪⎭
由图中可知，对偶问题无解，根据对偶理论，原问题也无解。
（2）12312312123min 225..322626,,0f x x x s t x x x x x x x x =-++⎫⎪-+≥-⎪⎬+=⎪
⎪≥⎭
解：其对偶问题为：121212112max 66..3222225
0,z y y s t y y y y y y y =-+⎫
⎪
+≤-⎪
⎪
-+≤⎬⎪≤⎪
⎪≥⎭
无约束
从图中可知，当（12,y y ）=（0，-2）时，目标函数有最优值，*
z =-12，根据对偶理论，原问题最优值与对偶问题相同，为
*f =-12。
5.考虑如下线性规划
1234141223341234min 2357
8..65,,,0
f x x x x x x x x s t x x x x x x x x =++++≥⎧⎪
+≥⎪⎪+≥⎨⎪+≥⎪⎪≥⎩
（1）写出对偶线性规划；（2）用单纯形法解对偶规划，并在最优表中给出原规划的最优解；（3）说明这样做比直接求解原规划的好处。 解：（1）对偶线性规划为：
1234122334141234max 786523..15,,,0
z y y y y y y y y s t y y y y y y y y =++++≤⎧⎪+≤⎪⎪+≤⎨⎪+≤⎪⎪≥⎩
（2）将原规划的对偶规划化为标准形式：
1234125236347148
128min 786523..15
,0
p y y y y y y y y y y s t y y y y y y y y y =----++=⎧⎪++=⎪⎪++=⎨⎪++=⎪⎪≥⎩
得到其初始单纯形表，经过两次旋转运算后得到最优表，最优解为
****1234(,,,)0y y y y =（,2,1,0），最优值为*22p =-，因此原规划的最优解为*8X =（,0,6,0），最优值为*f 22=。
（3）这样做的好处是不用引入人工变量，对偶规划中的约束条件均为非大于号，可以直接