2009考研数二真题及解析
考研数学二历年真题(2000-2012)
2 2
的极值.
(17)(本题满分 12 分) 过 (0,1) 点作曲线 L : y ln x 的切线,切点为 A ,又 L 与 x 轴交于 B 点,区域 D 由 L 与直线 A B 围成,求区域 D 的面积及 D 绕 x 轴旋转一周所得旋转体的体积. (18)(本题满分 10 分) 计算二重积分 xy d ，其中区域 D 为曲线 r 1 cos 0 与极轴围成.
D
(19)(本题满分 10 分) 已知函数 f ( x ) 满足方程 f ( x ) f ( x ) 2 f ( x ) 0 及 f ( x ) f ( x ) 2 e x , (I) 求 f ( x ) 的表达式; (II) 求曲线 y f ( x 2 ) f ( t 2 )d t 的拐点.
(6) 设区域 D 由曲线 y sin x , x
, y 1 围成，则 ( x y 1)d x d y
5 D
( (A) (B) 2 (C) -2 (D) -
)
0 0 1 1 (7) 设 α 1 0 , α 2 1 , α 3 1 , α 4 1 ,其中 c1 , c 2 , c 3 , c 4 为任意常数，则下列向量 c c c c 2 3 4 1
*
1 T （8）设 A ， P 均为 3 阶矩阵， P 为 P 的转置矩阵，且 P A P = 0 0
T
0 1 0
0 0 ，若 2
）
T ，则 Q A Q 为（ P= （ 1， 2， 3） ， Q = （ 1 + 2， 2， 3）
2 A . 1 0 2 C . 0 0
2009年考研数学二试题及答案解析
2009年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题及答案解析一、选择题：1～8小题,每小题4分,共32分,下列每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.(1) 函数()3sin x x f x xπ-=的可去间断点的个数为()A 1 ()B 2 ()C 3 ()D 无穷多个 【答案】C【解析】由于()3sin x x f x xπ-=,则当x 取任何整数时,()f x 均无意义.故()f x 的间断点有无穷多个,但可去间断点为极限存在的点,故应是30x x -=的解1,2,30,1x =±.320032113211131lim lim ,sin cos 132lim lim ,sin cos 132lim lim .sin cos x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ππππππππππππ→→→→→-→---==--==--== 故可去间断点为3个,即0,1±.(2) 当0x →时,()sin f x x ax =-与()()2ln 1g x x bx =-是等价无穷小,则()A 11,6a b ==-()B 11,6a b == ()C 11,6a b =-=- ()D 11,6a b =-= 【答案】A 【解析】 22000()sin sin limlim lim ()ln(1)()x x x f x x ax x ax g x x bx x bx →→→--==-⋅- 22002301cos sin lim lim 36sin lim 1,66x x x a ax a ax bx bxa ax ab b axa→→→---==-=-⋅洛洛 36a b ∴=-,故排除,B C .另外,201cos lim3x a axbx →--存在,蕴含了1cos 0a ax -→()0x →,故 1.a =排除D .所以本题选A .(3) 设函数(),z f x y =的全微分为dz xdx ydy =+,则点()0,0()A 不是(),f x y 的连续点 ()B 不是(),f x y 的极值点()C 是(),f x y 的极大值点 ()D 是(),f x y 的极小值点 【答案】D【解析】因dz xdx ydy =+可得,z zx y x y∂∂==∂∂. 2222221,0,1z z z zA B C x x y y x y∂∂∂∂== === ==∂∂∂∂∂∂,又在()0,0处,0,0z zx y∂∂==∂∂,210AC B -=>, 故()0,0为函数(,)z f x y =的一个极小值点. (4) 设函数(),f x y 连续,则()()222411,,yxydx f x y dy dy f x y dx -+=⎰⎰⎰⎰()A ()2411,xdx f x y dy -⎰⎰ ()B ()241,xxdx f x y dy -⎰⎰()C ()2411,ydy f x y dx -⎰⎰()D ()221,ydy f x y dx ⎰⎰ 【答案】C【解析】222211(,)(,)xxdx f x y dy dy f x y dx +⎰⎰⎰⎰的积分区域为两部分：{}1(,)12,2D x y x x y =≤≤≤≤,{}2(,)12,4D x y y y x y =≤≤≤≤-,将其写成一块{}(,)12,14D x y y x y =≤≤≤≤-, 故二重积分可以表示为2411(,)ydy f x y dx -⎰⎰,故答案为C .(5) 若()f x ''不变号,且曲线()y f x =在点()1,1上的曲率圆为222x y +=,则函数()f x 在区间()1,2内()A 有极值点,无零点 ()B 无极值点,有零点()C 有极值点,有零点 ()D 无极值点,无零点 【答案】B【解析】由题意可知,()f x 是一个凸函数,即()0f x ''<,且在点(1,1)处的曲率322||12(1())y y ρ''=='+,而(1)1f '=-,由此可得,(1)2f ''=-. 在[1,2] 上,()(1)10f x f ''≤=-<,即()f x 单调减少,没有极值点. 对于(2)(1)()1(1,2)f f f ξξ'-=<- , ∈ ,(拉格朗日中值定理)(2)0f ∴ <而(1)10f =>,由零点定理知,在[1,2] 上,()f x 有零点.故应选B .（6）设函数()y f x =在区间[]1,3-上的图形为：则函数()()0xF x f t dt =⎰的图形为()A ()B()C ()D【答案】D【解析】此题为定积分的应用知识考核，由()y f x =的图形可见，其图像与x 轴及y 轴、0x x =所围的图形的代数面积为所求函数()F x ，从而可得出几个方面的特征： ①[]0,1x ∈时，()0F x ≤，且单调递减。
2009—数二真题、标准答案及解析
工
( B ) ∫1 dx ∫x
2
f ( x, y )dy .
研
( C ) ∫1 dy ∫1
【答案】C 【解析】
4− y
f ( x, y )dx .
2 2
( D ) . ∫1 dy ∫y f ( x, y )dx
2
翔 考
∫
2
1
dx ∫ f ( x, y )dy + ∫ dy ∫ f ( x, y )dx 的积分区域为两部分：
( A ) 不是 f ( x, y ) 的连续点. ( C ) 是 f ( x, y ) 的极大值点.
【答案】 D 【解析】因 dz = xdx + ydy 可得
( B ) 不是 f ( x, y ) 的极值点. ( D ) 是 f ( x, y ) 的极小值点.
AC − B 2 = 1 > 0
故（0，0）为函数 z = f ( x, y ) 的一个极小值点.
sin 4 x
梦
飞
∫
1+ x )dx ( x > 0) . x
（17） （本题满分 10 分）
∂2 z . 设 z = f ( x + y , x − y, xy ) ，其中 f 具有 2 阶连续偏导数，求 dz 与 ∂x∂y
（18） （本题满分 10 分）设非负函数 y = y ( x
曲线 y = y ( x ) 过原点时， 其与直线 x = 1 及 y = 0 围成平面区域 D 的面积为 2， 求D绕 y轴 旋转所得旋转体体积.
.
16
∫ −∞e
+∞
kx
dx = 1 ,则 k =
.
59
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2009-1987年考研数学二真题及答案
历年考研数学真题解析及复习思路（数学二）（１９８７－２００９）考研数学命题研究组㊀编世纪高教编辑部１９８７年全国硕士研究生招生考试试题ʌ编者注ɔ１９８７年到１９９６年的数学试卷Ⅲ为现在的数学二．（试卷Ⅲ）一㊁填空题（本题共５小题，每小题３分，满分１５分）（１）设ｙ＝ｌｎ（１＋ａｘ），其中ａ为非零常数，则ｙᶄ＝，ｙᵡ＝．（２）曲线ｙ＝ａｒｃｔａｎｘ在横坐标为１的点处的切线方程是；法线方程是．（３）积分中值定理的条件是，结论是．（４）ｌｉｍｎңɕｎ－２ｎ＋１()ｎ＝．（５）ʏｆᶄ（ｘ）ｄｘ＝，ʏｂａｆᶄ（２ｘ）ｄｘ＝．二㊁（本题满分６分）求极限ｌｉｍｘң０１ｘ－１ｅｘ－１()．三㊁（本题满分７分）设ｘ＝５（ｔ－ｓｉｎｔ），ｙ＝５（１－ｃｏｓｔ），{求ｄｙｄｘ，ｄ２ｙｄｘ２．四㊁（本题满分８分）计算定积分ʏ１０ｘａｒｃｓｉｎｘｄｘ．五㊁（本题满分８分）设Ｄ是由曲线ｙ＝ｓｉｎｘ＋１与三条直线ｘ＝０，ｘ＝π，ｙ＝０围成的曲边梯形，求Ｄ绕Ｏｘ轴旋转一周所生成的旋转体的体积．六㊁证明题（本题满分１０分）（１）若ｆ（ｘ）在（ａ，ｂ）内可导，且导数ｆᶄ（ｘ）恒大于零，则ｆ（ｘ）在（ａ，ｂ）内单调增加．（２）若ｇ（ｘ）在ｘ＝ｃ处二阶导数存在，且ｇᶄ（ｃ）＝０，ｇᵡ（ｃ）＜０，则ｇ（ｃ）为ｇ（ｘ）的一个极大值．七㊁（本题满分１０分）计算不定积分ʏｄｘａ２ｓｉｎ２ｘ＋ｂ２ｃｏｓ２ｘ，其中ａ，ｂ是不全为０的非负常数．１１９８７年真题八㊁（本题满分１０分）（１）求微分方程ｘｄｙｄｘ＝ｘ－ｙ满足条件ｙｘ＝２＝０的特解．（２）求微分方程ｙᵡ＋２ｙᶄ＋ｙ＝ｘｅｘ的通解．九㊁选择题（本题共４小题，每小题４分，满分１６分）（１）ｆ（ｘ）＝ｘｓｉｎｘｅｃｏｓｘ（－ɕ＜ｘ＜＋ɕ）是（㊀㊀）（Ａ）有界函数．㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀（Ｂ）单调函数．（Ｃ）周期函数．（Ｄ）偶函数．（２）函数ｆ（ｘ）＝ｘｓｉｎｘ（㊀㊀）（Ａ）当ｘңɕ时为无穷大．（Ｂ）在（－ɕ，＋ɕ）内有界．（Ｃ）在（－ɕ，＋ɕ）内无界．（Ｄ）当ｘңɕ时有有限极限．（３）设ｆ（ｘ）在ｘ＝ａ处可导，则ｌｉｍｘң０ｆ（ａ＋ｘ）－ｆ（ａ－ｘ）ｘ等于（㊀㊀）（Ａ）ｆᶄ（ａ）．（Ｂ）２ｆᶄ（ａ）．（Ｃ）０．（Ｄ）ｆᶄ（２ａ）．（４）设Ｉ＝ｔʏｓｔ０ｆ（ｔｘ）ｄｘ，其中ｆ（ｘ）连续，ｓ＞０，ｔ＞０，则Ｉ的值（㊀㊀）（Ａ）依赖于ｓ，ｔ．（Ｂ）依赖于ｓ，ｔ，ｘ．（Ｃ）依赖于ｔ，ｘ，不依赖于ｓ．（Ｄ）依赖于ｓ，不依赖于ｔ．十㊁（本题满分１０分）在第一象限内求曲线ｙ＝－ｘ２＋１上的一点，使该点处的切线与所给曲线及两坐标轴所围成的图形面积为最小，并求此最小面积．２历年考研数学真题解析及复习思路（数学二）１９８８年全国硕士研究生招生考试试题（试卷Ⅲ）一㊁填空题（本题共５小题，每小题４分，满分２０分）（１）设ｆ（ｘ）＝２ｘ＋ａ，ｘɤ０，ｅｘ（ｓｉｎｘ＋ｃｏｓｘ），ｘ＞０{在（－ɕ，＋ɕ）内连续，则ａ＝．（２）设ｆ（ｔ）＝ｌｉｍｘңɕｔ１＋１ｘ()２ｔｘ，则ｆᶄ（ｔ）＝．（３）设ｆ（ｘ）连续，且ʏｘ３－１０ｆ（ｔ）ｄｔ＝ｘ，则ｆ（７）＝．（４）ｌｉｍｘң０＋１ｘæèçöø÷ｔａｎｘ＝．（５）ʏ４０ｅｘｄｘ＝．二㊁选择题（本题共５小题，每小题４分，满分２０分）（１）ｆ（ｘ）＝１３ｘ３＋１２ｘ２＋６ｘ＋１的图形在点（０，１）处的切线与ｘ轴交点的坐标是（㊀㊀）（Ａ）－１６，０()．（Ｂ）（－１，０）．（Ｃ）１６，０()．（Ｄ）（１，０）．（２）若ｆ（ｘ）与ｇ（ｘ）在（－ɕ，＋ɕ）上皆可导，且ｆ（ｘ）＜ｇ（ｘ），则必有（㊀㊀）（Ａ）ｆ（－ｘ）＞ｇ（－ｘ）．（Ｂ）ｆᶄ（ｘ）＜ｇᶄ（ｘ）．（Ｃ）ｌｉｍｘңｘ０ｆ（ｘ）＜ｌｉｍｘңｘ０ｇ（ｘ）．（Ｄ）ʏｘ０ｆ（ｔ）ｄｔ＜ʏｘ０ｇ（ｔ）ｄｔ．（３）若函数ｙ＝ｆ（ｘ），有ｆᶄ（ｘ０）＝１２，则当Δｘң０时，该函数在ｘ＝ｘ０处的微分ｄｙ是（㊀㊀）（Ａ）与Δｘ等价的无穷小．（Ｂ）与Δｘ同阶的无穷小．（Ｃ）比Δｘ低阶的无穷小．（Ｄ）比Δｘ高阶的无穷小．（４）由曲线ｙ＝ｓｉｎ３２ｘ（０ɤｘɤπ）与ｘ轴围成的平面图形绕ｘ轴旋转而成的旋转体的体积为（㊀㊀）（Ａ）４３．（Ｂ）４３π．（Ｃ）２３π２．（Ｄ）２３π．（５）设函数ｙ＝ｆ（ｘ）是微分方程ｙᵡ－２ｙᶄ＋４ｙ＝０的一个解，且ｆ（ｘ０）＞０，ｆᶄ（ｘ０）＝０，则ｆ（ｘ）在点ｘ０处（㊀㊀）（Ａ）有极大值．（Ｂ）有极小值．（Ｃ）某邻域内单调增加．（Ｄ）某邻域内单调减少．３１９８８年真题三㊁（本题共３小题，每小题５分，满分１５分）（１）已知ｆ（ｘ）＝ｅｘ２，ｆ［φ（ｘ）］＝１－ｘ且φ（ｘ）ȡ０，求φ（ｘ）并写出它的定义域．（２）已知ｙ＝１＋ｘｅｘｙ，求ｙᶄｘ＝０，ｙᵡｘ＝０．（３）求微分方程ｙᶄ＋１ｘｙ＝１ｘ（ｘ２＋１）的通解（一般解）．四㊁（本题满分１２分）作函数ｙ＝６ｘ２－２ｘ＋４的图形，并填写下表．单调增加区间单调减少区间极值点极值凹（ɣ）区间凸（ɘ）区间拐点渐近线五㊁（本题满分８分）将长为ａ的一段铁丝截成两段，一段围成正方形，另一段围成圆形，问这两段铁丝各长为多少时，正方形与圆形的面积之和为最小？六㊁（本题满分１０分）设函数ｙ＝ｙ（ｘ）满足微分方程ｙᵡ－３ｙᶄ＋２ｙ＝２ｅｘ，且其图形在点（０，１）处的切线与曲线ｙ＝ｘ２－ｘ＋１在该点处的切线重合，求函数ｙ＝ｙ（ｘ）．七㊁（本题满分７分）设ｘȡ－１，求ʏｘ－１（１－ｔ）ｄｔ．八㊁（本题满分８分）设ｆ（ｘ）在（－ɕ，＋ɕ）上有连续导数，且ｍɤｆ（ｘ）ɤＭ．（１）求ｌｉｍａң０＋１４ａ２ʏａ－ａ［ｆ（ｔ＋ａ）－ｆ（ｔ－ａ）］ｄｔ；（２）证明：１２ａʏａ－ａｆ（ｔ）ｄｔ－ｆ（ｘ）ɤＭ－ｍ（ａ＞０）．４历年考研数学真题解析及复习思路（数学二）１９８９年全国硕士研究生招生考试试题（试卷Ⅲ）一㊁填空题（本题共７小题，每小题３分，满分２１分）（１）ｌｉｍｘң０ｘｃｏｔ２ｘ＝．（２）ʏπ０ｔｓｉｎｔｄｔ＝．（３）曲线ｙ＝ʏｘ０（ｔ－１）（ｔ－２）ｄｔ在点（０，０）处的切线方程是．（４）设ｆ（ｘ）＝ｘ（ｘ＋１）（ｘ＋２） （ｘ＋ｎ），则ｆᶄ（０）＝．（５）设ｆ（ｘ）是连续函数，且ｆ（ｘ）＝ｘ＋２ʏ１０ｆ（ｔ）ｄｔ，则ｆ（ｘ）＝．（６）设ｆ（ｘ）＝ａ＋ｂｘ２，ｘɤ０，ｓｉｎｂｘｘ，ｘ＞０{在ｘ＝０处连续，则常数ａ与ｂ应满足的关系是．（７）设ｔａｎｙ＝ｘ＋ｙ，则ｄｙ＝．二㊁（本题共５小题，每小题４分，满分２０分）（１）已知ｙ＝ａｒｃｓｉｎｅ－ｘ，求ｙᶄ．（２）求ʏｄｘｘｌｎ２ｘ．（３）求ｌｉｍｘң０（２ｓｉｎｘ＋ｃｏｓｘ）１ｘ．（４）已知ｘ＝ｌｎ（１＋ｔ２），ｙ＝ａｒｃｔａｎｔ，{求ｄｙｄｘ，ｄ２ｙｄｘ２．（５）已知ｆ（２）＝１２，ｆᶄ（２）＝０及ʏ２０ｆ（ｘ）ｄｘ＝１，求ʏ１０ｘ２ｆᵡ（２ｘ）ｄｘ．㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀三㊁选择题（本题共６小题，每小题３分，满分１８分）（１）当ｘ＞０时，曲线ｙ＝ｘｓｉｎ１ｘ（㊀㊀）（Ａ）有且仅有水平渐近线．（Ｂ）有且仅有铅直渐近线．（Ｃ）既有水平渐近线，也有铅直渐近线．（Ｄ）既无水平渐近线，也无铅直渐近线．（２）若３ａ２－５ｂ＜０，则方程ｘ５＋２ａｘ３＋３ｂｘ＋４ｃ＝０（㊀㊀）（Ａ）无实根．（Ｂ）有唯一实根．（Ｃ）有三个不同实根．（Ｄ）有五个不同实根．（３）曲线ｙ＝ｃｏｓｘ(－π２ɤｘɤπ２)与ｘ轴所围成的图形，绕ｘ轴旋转一周所成的旋转体的体积为（㊀㊀）（Ａ）π２．（Ｂ）π．（Ｃ）π２２．（Ｄ）π２．５１９８９年真题（４）设两函数ｆ（ｘ）和ｇ（ｘ）都在ｘ＝ａ处取得极大值，则函数Ｆ（ｘ）＝ｆ（ｘ）ｇ（ｘ）在ｘ＝ａ处（㊀㊀）（Ａ）必取极大值．（Ｂ）必取极小值．（Ｃ）不可能取极值．（Ｄ）是否取极值不能确定．（５）微分方程ｙᵡ－ｙ＝ｅｘ＋１的一个特解应具有形式（式中ａ，ｂ为常数）（㊀㊀）（Ａ）ａｅｘ＋ｂ．（Ｂ）ａｘｅｘ＋ｂ．（Ｃ）ａｅｘ＋ｂｘ．（Ｄ）ａｘｅｘ＋ｂｘ．（６）设ｆ（ｘ）在点ｘ＝ａ的某个邻域内有定义，则ｆ（ｘ）在ｘ＝ａ处可导的一个充分条件是（㊀㊀）（Ａ）ｌｉｍｈң＋ɕｈ［ｆ（ａ＋１ｈ）－ｆ（ａ）］存在．（Ｂ）ｌｉｍｈң０ｆ（ａ＋２ｈ）－ｆ（ａ＋ｈ）ｈ存在．（Ｃ）ｌｉｍｈң０ｆ（ａ＋ｈ）－ｆ（ａ－ｈ）２ｈ存在．（Ｄ）ｌｉｍｈң０ｆ（ａ）－ｆ（ａ－ｈ）ｈ存在．四㊁（本题满分６分）求微分方程ｘｙᶄ＋（１－ｘ）ｙ＝ｅ２ｘ（０＜ｘ＜＋ɕ）满足ｙ（１）＝０的特解．五㊁（本题满分７分）设ｆ（ｘ）＝ｓｉｎｘ－ʏｘ０（ｘ－ｔ）ｆ（ｔ）ｄｔ，其中ｆ为连续函数，求ｆ（ｘ）．六㊁（本题满分７分）证明方程ｌｎｘ＝ｘｅ－ʏπ０１－ｃｏｓ２ｘｄｘ在区间（０，＋ɕ）内有且仅有两个不同实根．七㊁（本题满分１１分）对函数ｙ＝ｘ＋１ｘ２填写下表．单调减少区间单调增加区间极值点极值凹区间凸区间拐点渐近线八㊁（本题满分１０分）设抛物线ｙ＝ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ过原点，当０ɤｘɤ１时，ｙȡ０．又已知该抛物线与ｘ轴及直线ｘ＝１所围图形的面积为１３．试确定ａ，ｂ，ｃ的值，使此图形绕ｘ轴旋转一周而成的旋转体的体积Ｖ最小．６历年考研数学真题解析及复习思路（数学二）１９９０年全国硕士研究生招生考试试题（试卷Ⅲ）一㊁填空题（本题共５小题，每小题３分，满分１５分）（１）曲线ｘ＝ｃｏｓ３ｔ，ｙ＝ｓｉｎ３ｔ{上对应于ｔ＝π６处的法线方程是．（２）设ｙ＝ｅｔａｎ１ｘｓｉｎ１ｘ，则ｙᶄ＝．（３）ʏ１０ｘ１－ｘｄｘ＝．（４）下列两个积分的大小关系是：ʏ－１－２ｅ－ｘ３ｄｘʏ－１－２ｅｘ３ｄｘ．（５）设函数ｆ（ｘ）＝１，ｘɤ１，０，㊀ｘ＞１，{则函数ｆ［ｆ（ｘ）］＝．二㊁选择题（本题共５小题，每小题３分，满分１５分）（１）已知ｌｉｍｘңɕｘ２ｘ＋１－ａｘ－ｂ()＝０，其中ａ，ｂ是常数，则（）（Ａ）ａ＝１，ｂ＝１．（Ｂ）ａ＝－１，ｂ＝１．（Ｃ）ａ＝１，ｂ＝－１．（Ｄ）ａ＝－１，ｂ＝－１．（２）设函数ｆ（ｘ）在（－ɕ，＋ɕ）上连续，则ｄʏｆ（ｘ）ｄｘ[]等于（）（Ａ）ｆ（ｘ）．（Ｂ）ｆ（ｘ）ｄｘ．（Ｃ）ｆ（ｘ）＋Ｃ．（Ｄ）ｆᶄ（ｘ）ｄｘ．（３）已知函数ｆ（ｘ）具有任意阶导数，且ｆᶄ（ｘ）＝［ｆ（ｘ）］２，则当ｎ为大于２的正整数时，ｆ（ｘ）的ｎ阶导数ｆ（ｎ）（ｘ）是（㊀）（Ａ）ｎ！［ｆ（ｘ）］ｎ＋１．（Ｂ）ｎ［ｆ（ｘ）］ｎ＋１．（Ｃ）［ｆ（ｘ）］２ｎ．（Ｄ）ｎ！［ｆ（ｘ）］２ｎ．（４）设ｆ（ｘ）是连续函数，且Ｆ（ｘ）＝ʏｅ－ｘｘｆ（ｔ）ｄｔ，则Ｆᶄ（ｘ）等于（㊀㊀）（Ａ）－ｅ－ｘｆ（ｅ－ｘ）－ｆ（ｘ）．（Ｂ）－ｅ－ｘｆ（ｅ－ｘ）＋ｆ（ｘ）．（Ｃ）ｅ－ｘｆ（ｅ－ｘ）－ｆ（ｘ）．（Ｄ）ｅ－ｘｆ（ｅ－ｘ）＋ｆ（ｘ）．（５）设Ｆ（ｘ）＝ｆ（ｘ）ｘ，ｘʂ０，ｆ（０），ｘ＝０，{其中ｆ（ｘ）在ｘ＝０处可导，ｆᶄ（０）ʂ０，ｆ（０）＝０，则ｘ＝０是Ｆ（ｘ）的（㊀㊀）（Ａ）连续点．（Ｂ）第一类间断点．（Ｃ）第二类间断点．（Ｄ）连续点或间断点不能由此确定．三㊁（本题共５小题，每小题５分，满分２５分）（１）已知ｌｉｍｘңɕｘ＋ａｘ－ａ()ｘ＝９，求常数ａ．（２）求由方程２ｙ－ｘ＝（ｘ－ｙ）ｌｎ（ｘ－ｙ）所确定的函数ｙ＝ｙ（ｘ）的微分ｄｙ．７１９９０年真题（３）求曲线ｙ＝１１＋ｘ２（ｘ＞０）的拐点．（４）计算ʏｌｎｘ（１－ｘ）２ｄｘ．（５）求微分方程ｘｌｎｘｄｙ＋（ｙ－ｌｎｘ）ｄｘ＝０满足条件ｙｘ＝ｅ＝１的特解．四㊁（本题满分９分）在椭圆ｘ２ａ２＋ｙ２ｂ２＝１的第一象限部分上求一点Ｐ，使该点处的切线，椭圆及两坐标轴所围图形面积为最小（其中ａ＞０，ｂ＞０）．五㊁（本题满分９分）证明：当ｘ＞０时，有不等式ａｒｃｔａｎｘ＋１ｘ＞π２．六㊁（本题满分９分）设ｆ（ｘ）＝ʏｘ１ｌｎｔ１＋ｔｄｔ，其中ｘ＞０，求ｆ（ｘ）＋ｆ１ｘ()．七㊁（本题满分９分）过点Ｐ（１，０）作抛物线ｙ＝ｘ－２的切线，该切线与上述抛物线及ｘ轴围成一平面图形．求此平面图形绕ｘ轴旋转一周所成旋转体的体积．八㊁（本题满分９分）求微分方程ｙᵡ＋４ｙᶄ＋４ｙ＝ｅａｘ的通解，其中ａ为实数．８历年考研数学真题解析及复习思路（数学二）１９９１年全国硕士研究生招生考试试题（试卷Ⅲ）一㊁填空题（本题共５小题，每小题３分，满分１５分）（１）设ｙ＝ｌｎ（１＋３－ｘ），则ｄｙ＝．（２）曲线ｙ＝ｅ－ｘ２的凸区间是．（３）ʏ＋ɕ１ｌｎｘｘ２ｄｘ＝．（４）质点以速度ｔｓｉｎ（ｔ２）米／秒作直线运动，则从时刻ｔ１＝π２秒到ｔ２＝π秒内质点所经过的路程等于米．（５）ｌｉｍｘң０＋１－ｅ１ｘｘ＋ｅ１ｘ＝．二㊁选择题（本题共５小题，每小题３分，满分１５分）（１）若曲线ｙ＝ｘ２＋ａｘ＋ｂ和２ｙ＝－１＋ｘｙ３在点（１，－１）处相切，其中ａ，ｂ是常数，则（㊀㊀）（Ａ）ａ＝０，ｂ＝－２．（Ｂ）ａ＝１，ｂ＝－３．（Ｃ）ａ＝－３，ｂ＝１．（Ｄ）ａ＝－１，ｂ＝－１．（２）设函数ｆ（ｘ）＝ｘ２，㊀０ɤｘɤ１，２－ｘ，１＜ｘɤ２，{记Ｆ（ｘ）＝ʏｘ０ｆ（ｔ）ｄｔ，０ɤｘɤ２，则（㊀㊀）（Ａ）Ｆ（ｘ）＝ｘ３３，㊀㊀㊀㊀０ɤｘɤ１，１３＋２ｘ－ｘ２２，１＜ｘɤ２．ìîíïïïï㊀㊀（Ｂ）Ｆ（ｘ）＝ｘ３３，㊀㊀㊀㊀㊀０ɤｘɤ１，－７６＋２ｘ－ｘ２２，１＜ｘɤ２．ìîíïïïï（Ｃ）Ｆ（ｘ）＝ｘ３３，㊀㊀㊀㊀０ɤｘɤ１，ｘ３３＋２ｘ－ｘ２２，１＜ｘɤ２．ìîíïïïï（Ｄ）Ｆ（ｘ）＝ｘ３３，㊀㊀０ɤｘɤ１，２ｘ－ｘ２２，１＜ｘɤ２．ìîíïïïï（３）设函数ｆ（ｘ）在（－ɕ，＋ɕ）内有定义，ｘ０ʂ０是函数ｆ（ｘ）的极大值点，则（㊀㊀）（Ａ）ｘ０必是ｆ（ｘ）的驻点．（Ｂ）－ｘ０必是－ｆ（－ｘ）的极小值点．（Ｃ）－ｘ０必是－ｆ（ｘ）的极小值点．（Ｄ）对一切ｘ都有ｆ（ｘ）ɤｆ（ｘ０）．（４）曲线ｙ＝１＋ｅ－ｘ２１－ｅ－ｘ２（㊀㊀）（Ａ）没有渐近线．（Ｂ）仅有水平渐近线．（Ｃ）仅有铅直渐近线．（Ｄ）既有水平渐近线又有铅直渐近线．（５）如图，ｘ轴上有一线密度为常数μ，长度为ｌ的细杆，若质量为ｍ的质点到杆右端的距离为ａ，已知引力系数为ｋ，则质点和细杆之间引力的大小为（㊀㊀）９１９９１年真题（Ａ）ʏ０－ｌｋｍμ（ａ－ｘ）２ｄｘ．０ｋｍμ（ａ－ｘ）２ｘ．（Ｃ）２ʏ０－ｌ２ｋｍμ（ａ＋ｘ）２ｄｘ．（Ｄ）２ʏｌ２０ｋｍμ（ａ＋ｘ）２ｄｘ．三㊁（本题共５小题，每小题５分，满分２５分）{求ｄ２ｙｄｘ２．（１）设ｘ＝ｔｃｏｓｔ，ｙ＝ｔｓｉｎｔ，（２）计算ʏ４１ｄｘｘ（１＋ｘ）．（３）求ｌｉｍｘң０ｘ－ｓｉｎｘｘ２（ｅｘ－１）．（４）求ʏｘｓｉｎ２ｘｄｘ．（５）求微分方程ｘｙᶄ＋ｙ＝ｘｅｘ满足ｙ（１）＝１的特解．四㊁（本题满分９分）利用导数证明：当ｘ＞１时，ｌｎ（１＋ｘ）ｌｎｘ＞ｘ１＋ｘ．五㊁（本题满分９分）求微分方程ｙᵡ＋ｙ＝ｘ＋ｃｏｓｘ的通解．六㊁（本题满分９分）曲线ｙ＝（ｘ－１）（ｘ－２）和ｘ轴围成一平面图形，求此平面图形绕ｙ轴旋转一周所成的旋转体的体积．七㊁（本题满分９分）如图，Ａ和Ｄ分别是曲线ｙ＝ｅｘ和ｙ＝ｅ－２ｘ上的点，ＡＢ和ＤＣ均垂直ｘ轴，且ＡＢʒＤＣ＝２ʒ１，ＡＢ＜１，求点Ｂ和Ｃ的横坐标，使梯形ＡＢＣＤ的面积最大．八㊁（本题满分９分）设函数ｆ（ｘ）在（－ɕ，＋ɕ）上满足ｆ（ｘ）＝ｆ（ｘ－π）＋ｓｉｎｘ，且ｆ（ｘ）＝ｘ，ｘɪ［０，π）．计算ʏ３ππｆ（ｘ）ｄｘ．０１１９９２年全国硕士研究生招生考试试题（试卷Ⅲ）一㊁填空题（本题共５小题，每小题３分，满分１５分）（１）设ｘ＝ｆ（ｔ）－π，ｙ＝ｆ（ｅ３ｔ－１），{其中ｆ可导，且ｆᶄ（０）ʂ０，则ｄｙｄｘｔ＝０＝．（２）函数ｙ＝ｘ＋２ｃｏｓｘ在[０，π２]上的最大值为．（３）ｌｉｍｘң０１－１－ｘ２ｅｘ－ｃｏｓｘ＝．（４）ʏ＋ɕ１ｄｘｘ（ｘ２＋１）＝．（５）由曲线ｙ＝ｘｅｘ与直线ｙ＝ｅｘ所围成的图形的面积Ｓ＝．二㊁选择题（本题共５小题，每小题３分，满分１５分）（１）当ｘң０时，ｘ－ｓｉｎｘ是ｘ２的（㊀㊀）（Ａ）低阶无穷小．（Ｂ）高阶无穷小．（Ｃ）等价无穷小．（Ｄ）同阶但非等价的无穷小．（２）设ｆ（ｘ）＝ｘ２，㊀㊀ｘɤ０，ｘ２＋ｘ，㊀ｘ＞０，{则（㊀㊀）（Ａ）ｆ（－ｘ）＝－ｘ２，㊀㊀㊀ｘɤ０，－（ｘ２＋ｘ），㊀ｘ＞０．{（Ｂ）ｆ（－ｘ）＝－（ｘ２＋ｘ），㊀ｘ＜０，－ｘ２，㊀㊀㊀ｘȡ０．{（Ｃ）ｆ（－ｘ）＝ｘ２，㊀㊀ｘɤ０，ｘ２－ｘ，㊀ｘ＞０．{（Ｄ）ｆ（－ｘ）＝ｘ２－ｘ，㊀ｘ＜０，ｘ２，㊀㊀ｘȡ０．{（３）当ｘң１时，函数ｘ２－１ｘ－１ｅ１ｘ－１的极限（㊀㊀）（Ａ）等于２．（Ｂ）等于０．（Ｃ）为ɕ．（Ｄ）不存在但不为ɕ．（４）设ｆ（ｘ）连续，Ｆ（ｘ）＝ʏｘ２０ｆ（ｔ２）ｄｔ，则Ｆᶄ（ｘ）等于（㊀㊀）（Ａ）ｆ（ｘ４）．㊀㊀㊀㊀（Ｂ）ｘ２ｆ（ｘ４）．㊀㊀㊀㊀（Ｃ）２ｘｆ（ｘ４）．㊀㊀㊀㊀（Ｄ）２ｘｆ（ｘ２）．（５）若ｆ（ｘ）的导函数是ｓｉｎｘ，则ｆ（ｘ）有一个原函数为（㊀㊀）（Ａ）１＋ｓｉｎｘ．（Ｂ）１－ｓｉｎｘ．（Ｃ）１＋ｃｏｓｘ．（Ｄ）１－ｃｏｓｘ．三㊁（本题共５小题，每小题５分，满分２５分）（１）求ｌｉｍｘңɕ３＋ｘ６＋ｘ()ｘ－１２．（２）设函数ｙ＝ｙ（ｘ）由方程ｙ－ｘｅｙ＝１所确定，求ｄ２ｙｄｘ２ｘ＝０的值．１１（３）求ʏｘ３１＋ｘ２ｄｘ．（４）求ʏπ０１－ｓｉｎｘｄｘ．（５）求微分方程（ｙ－ｘ３）ｄｘ－２ｘｄｙ＝０的通解．四㊁（本题满分９分）{求ʏ３１ｆ（ｘ－２）ｄｘ．设ｆ（ｘ）＝１＋ｘ２，㊀ｘɤ０，ｅ－ｘ，㊀㊀ｘ＞０，五㊁（本题满分９分）求微分方程ｙᵡ－３ｙᶄ＋２ｙ＝ｘｅｘ的通解．六㊁（本题满分９分）计算曲线ｙ＝ｌｎ（１－ｘ２）上相应于０ɤｘɤ１２的一段弧的长度．七㊁（本题满分９分）求曲线ｙ＝ｘ的一条切线ｌ，使该曲线与切线ｌ及直线ｘ＝０，ｘ＝２所围成的平面图形面积最小．八㊁（本题满分９分）已知ｆᵡ（ｘ）＜０，ｆ（０）＝０，证明对任何ｘ１＞０，ｘ２＞０，有ｆ（ｘ１＋ｘ２）＜ｆ（ｘ１）＋ｆ（ｘ２）．２１１９９３年全国硕士研究生招生考试试题（试卷Ⅲ）一㊁填空题（本题共５小题，每小题３分，满分１５分）（１）ｌｉｍｘң０＋ｘｌｎｘ＝．（２）函数ｙ＝ｙ（ｘ）由方程ｓｉｎ（ｘ２＋ｙ２）＋ｅｘ－ｘｙ２＝０所确定，则ｄｙｄｘ＝．（３）设Ｆ（ｘ）＝ʏｘ１２－１ｔæèçöø÷ｄｔ（ｘ＞０），则函数Ｆ（ｘ）的单调减少区间是．（４）ʏｔａｎｘｃｏｓｘｄｘ＝．（５）已知曲线ｙ＝ｆ（ｘ）过点(０，－１２)，且其上任一点（ｘ，ｙ）处的切线斜率为ｘｌｎ（１＋ｘ２），则ｆ（ｘ）＝．二㊁选择题（本题共５小题，每小题３分，满分１５分）（１）当ｘң０时，变量１ｘ２ｓｉｎ１ｘ是（㊀㊀）（Ａ）无穷小．㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀（Ｂ）无穷大．（Ｃ）有界的，但不是无穷小．㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀（Ｄ）无界的，但不是无穷大．（２）设ｆ（ｘ）＝ｘ２－１ｘ－１，㊀ｘʂ１，２，㊀㊀㊀㊀ｘ＝１，{则在点ｘ＝１处函数ｆ（ｘ）（㊀㊀）（Ａ）不连续．（Ｂ）连续，但不可导．（Ｃ）可导，但导数不连续．（Ｄ）可导，且导数连续．（３）已知ｆ（ｘ）＝ｘ２，０ɤｘ＜１，１，１ɤｘɤ２，{设Ｆ（ｘ）＝ʏｘ１ｆ（ｔ）ｄｔ（０ɤｘɤ２），则Ｆ（ｘ）为（㊀㊀）（Ａ）１３ｘ３，㊀０ɤｘ＜１，ｘ，㊀㊀１ɤｘɤ２．{（Ｂ）１３ｘ３－１３，０ɤｘ＜１，ｘ，㊀㊀㊀１ɤｘɤ２．{（Ｃ）１３ｘ３，０ɤｘ＜１，ｘ－１，１ɤｘɤ２．{（Ｄ）１３ｘ３－１３，０ɤｘ＜１，ｘ－１，㊀１ɤｘɤ２．{（４）设常数ｋ＞０，函数ｆ（ｘ）＝ｌｎｘ－ｘｅ＋ｋ在（０，＋ɕ）内的零点个数为（㊀㊀）（Ａ）３．㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀（Ｂ）２．㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀（Ｃ）１．㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀（Ｄ）０．（５）若ｆ（ｘ）＝－ｆ（－ｘ），在（０，＋ɕ）内ｆᶄ（ｘ）＞０，ｆᵡ（ｘ）＞０，则ｆ（ｘ）在（－ɕ，０）内（㊀㊀）（Ａ）ｆᶄ（ｘ）＜０，ｆᵡ（ｘ）＜０．（Ｂ）ｆᶄ（ｘ）＜０，ｆᵡ（ｘ）＞０．（Ｃ）ｆᶄ（ｘ）＞０，ｆᵡ（ｘ）＜０．（Ｄ）ｆᶄ（ｘ）＞０，ｆᵡ（ｘ）＞０．３１三㊁（本题共５小题，每小题５分，满分２５分）（１）设ｙ＝ｓｉｎ［ｆ（ｘ２）］，其中ｆ具有二阶导数，求ｄ２ｙｄｘ２．（２）求ｌｉｍｘң－ɕｘ（ｘ２＋１００＋ｘ）．（３）求ʏπ４０ｘ１＋ｃｏｓ２ｘｄｘ．（４）求ʏ＋ɕ０ｘ（１＋ｘ）３ｄｘ．（５）求微分方程（ｘ２－１）ｄｙ＋（２ｘｙ－ｃｏｓｘ）ｄｘ＝０满足初值条件ｙ（０）＝１的特解．四㊁（本题满分９分）设二阶常系数线性微分方程ｙᵡ＋αｙᶄ＋βｙ＝γｅｘ的一个特解为ｙ＝ｅ２ｘ＋（１＋ｘ）ｅｘ，试确定常数α，β，γ，并求该方程的通解．五㊁（本题满分９分）设平面图形Ａ由ｘ２＋ｙ２ɤ２ｘ与ｙȡｘ所确定，求图形Ａ绕直线ｘ＝２旋转一周所得旋转体的体积．六㊁（本题满分９分）作半径为ｒ的球的外切正圆锥，问此圆锥的高ｈ为何值时，其体积Ｖ最小，并求出该最小值．七㊁（本题满分９分）设ｘ＞０，常数ａ＞ｅ．证明：（ａ＋ｘ）ａ＜ａａ＋ｘ．八㊁（本题满分９分）设ｆᶄ（ｘ）在［０，ａ］上连续，且ｆ（０）＝０，证明：ʏａ０ｆ（ｘ）ｄｘɤＭａ２２，其中Ｍ＝ｍａｘ０ɤｘɤａｆᶄ（ｘ）．４１１９９４年全国硕士研究生招生考试试题（试卷Ⅲ）一㊁填空题（本题共５小题，每小题３分，满分１５分）（１）若ｆ（ｘ）＝ｓｉｎ２ｘ＋ｅ２ａｘ－１ｘ，ｘʂ０，ａ，㊀㊀㊀㊀㊀㊀ｘ＝０{在（－ɕ，＋ɕ）上连续，则ａ＝．（２）设函数ｙ＝ｙ（ｘ）由参数方程ｘ＝ｔ－ｌｎ（１＋ｔ），ｙ＝ｔ３＋ｔ２{所确定，则ｄ２ｙｄｘ２＝．（３）ｄｄｘʏｃｏｓ３ｘ０ｆ（ｔ）ｄｔ()＝．（４）ʏｘ３ｅｘ２ｄｘ＝．（５）微分方程ｙｄｘ＋（ｘ２－４ｘ）ｄｙ＝０的通解为．二㊁选择题（本题共５小题，每小题３分，满分１５分）（１）设ｌｉｍｘң０ｌｎ（１＋ｘ）－（ａｘ＋ｂｘ２）ｘ２＝２，则（㊀㊀）（Ａ）ａ＝１，ｂ＝－５２．（Ｂ）ａ＝０，ｂ＝－２．（Ｃ）ａ＝０，ｂ＝－５２．（Ｄ）ａ＝１，ｂ＝－２．（２）设ｆ（ｘ）＝２３ｘ３，ｘɤ１，ｘ２，㊀ｘ＞１，{则ｆ（ｘ）在点ｘ＝１处的（㊀㊀）（Ａ）左㊁右导数都存在．（Ｂ）左导数存在，但右导数不存在．（Ｃ）左导数不存在，但右导数存在．（Ｄ）左㊁右导数都不存在．（３）设ｙ＝ｆ（ｘ）是满足微分方程ｙᵡ＋ｙᶄ－ｅｓｉｎｘ＝０的解，且ｆᶄ（ｘ０）＝０，则ｆ（ｘ）在（㊀㊀）（Ａ）ｘ０的某个邻域内单调增加．（Ｂ）ｘ０的某个邻域内单调减少．（Ｃ）ｘ０处取得极小值．（Ｄ）ｘ０处取得极大值．（４）曲线ｙ＝ｅ１ｘ２ａｒｃｔａｎｘ２＋ｘ＋１（ｘ－１）（ｘ＋２）的渐近线有（㊀㊀）（Ａ）１条．㊀㊀㊀㊀㊀㊀（Ｂ）２条．㊀㊀㊀㊀㊀㊀（Ｃ）３条．㊀㊀㊀㊀㊀㊀（Ｄ）４条．（５）设Ｍ＝ʏπ２－π２ｓｉｎｘ１＋ｘ２ｃｏｓ４ｘｄｘ，Ｎ＝ʏπ２－π２（ｓｉｎ３ｘ＋ｃｏｓ４ｘ）ｄｘ，Ｐ＝ʏπ２－π２（ｘ２ｓｉｎ３ｘ－ｃｏｓ４ｘ）ｄｘ，则有（㊀㊀）（Ａ）Ｎ＜Ｐ＜Ｍ．（Ｂ）Ｍ＜Ｐ＜Ｎ．（Ｃ）Ｎ＜Ｍ＜Ｐ．（Ｄ）Ｐ＜Ｍ＜Ｎ．５１三㊁（本题共５小题，每小题５分，满分２５分）（１）设ｙ＝ｆ（ｘ＋ｙ），其中ｆ具有二阶导数，且其一阶导数不等于１，求ｄ２ｙｄｘ２．（２）计算ʏ１０ｘ（１－ｘ４）３２ｄｘ．（３）计算ｌｉｍｎңɕｔａｎｎπ４＋２ｎ()．（４）计算ʏｄｘｓｉｎ２ｘ＋２ｓｉｎｘ．（５）如图，设曲线方程为ｙ＝ｘ２＋１２，梯形ＯＡＢＣ的面积为Ｄ，曲边梯形ＯＡＢＣ的面积为Ｄ１，点Ａ的坐标为（ａ，０），ａ＞０．证明：ＤＤ１＜３２．四㊁（本题满分９分）设当ｘ＞０时，方程ｋｘ＋１ｘ２＝１有且仅有一个解，求ｋ的取值范围．五㊁（本题满分９分）设ｙ＝ｘ３＋４ｘ２，（１）求函数的增减区间及极值；（２）求函数图形的凹凸区间及拐点；（３）求其渐近线；（４）作出其图形．六㊁（本题满分９分）求微分方程ｙᵡ＋ａ２ｙ＝ｓｉｎｘ的通解，其中常数ａ＞０．七㊁（本题满分９分）设ｆ（ｘ）在［０，１］上连续且递减，证明：当０＜λ＜１时，ʏλ０ｆ（ｘ）ｄｘȡλʏ１０ｆ（ｘ）ｄｘ．八㊁（本题满分９分）求曲线ｙ＝３－ｘ２－１与ｘ轴围成的封闭图形绕直线ｙ＝３旋转所得的旋转体体积．６１１９９５年全国硕士研究生招生考试试题（试卷Ⅲ）一㊁填空题（本题共５小题，每小题３分，满分１５分）（１）设ｙ＝ｃｏｓ（ｘ２）ｓｉｎ２１ｘ，则ｙᶄ＝．（２）微分方程ｙᵡ＋ｙ＝－２ｘ的通解为．（３）曲线ｘ＝１＋ｔ２，ｙ＝ｔ３{在ｔ＝２处的切线方程为．（４）ｌｉｍｎңɕ１ｎ２＋ｎ＋１＋２ｎ２＋ｎ＋２＋ ＋ｎｎ２＋ｎ＋ｎ()＝．（５）曲线ｙ＝ｘ２ｅ－ｘ２的渐近线方程为．二㊁选择题（本题共５小题，每小题３分，满分１５分）（１）设ｆ（ｘ）和φ（ｘ）在（－ɕ，＋ɕ）上有定义，ｆ（ｘ）为连续函数，且ｆ（ｘ）ʂ０，φ（ｘ）有间断点，则（㊀㊀）（Ａ）φ［ｆ（ｘ）］必有间断点．（Ｂ）［φ（ｘ）］２必有间断点．（Ｃ）ｆ［φ（ｘ）］必有间断点．（Ｄ）φ（ｘ）ｆ（ｘ）必有间断点．（２）曲线ｙ＝ｘ（ｘ－１）（２－ｘ）与ｘ轴所围图形的面积可表示为（㊀㊀）（Ａ）－ʏ２０ｘ（ｘ－１）（２－ｘ）ｄｘ．（Ｂ）ʏ１０ｘ（ｘ－１）（２－ｘ）ｄｘ－ʏ２１ｘ（ｘ－１）（２－ｘ）ｄｘ．（Ｃ）－ʏ１０ｘ（ｘ－１）（２－ｘ）ｄｘ＋ʏ２１ｘ（ｘ－１）（２－ｘ）ｄｘ．（Ｄ）ʏ２０ｘ（ｘ－１）（２－ｘ）ｄｘ．（３）设ｆ（ｘ）在（－ɕ，＋ɕ）内可导，且对任意ｘ１，ｘ２，当ｘ１＞ｘ２时，都有ｆ（ｘ１）＞ｆ（ｘ２），则（㊀㊀）（Ａ）对任意ｘ，ｆᶄ（ｘ）＞０．（Ｂ）对任意ｘ，ｆᶄ（－ｘ）ɤ０．（Ｃ）函数ｆ（－ｘ）单调增加．（Ｄ）函数－ｆ（－ｘ）单调增加．（４）设函数ｆ（ｘ）在［０，１］上ｆᵡ（ｘ）＞０，则ｆᶄ（１），ｆᶄ（０），ｆ（１）－ｆ（０）或ｆ（０）－ｆ（１）的大小顺序是（㊀㊀）（Ａ）ｆᶄ（１）＞ｆᶄ（０）＞ｆ（１）－ｆ（０）．（Ｂ）ｆᶄ（１）＞ｆ（１）－ｆ（０）＞ｆᶄ（０）．（Ｃ）ｆ（１）－ｆ（０）＞ｆᶄ（１）＞ｆᶄ（０）．（Ｄ）ｆᶄ（１）＞ｆ（０）－ｆ（１）＞ｆᶄ（０）．（５）设ｆ（ｘ）可导，Ｆ（ｘ）＝ｆ（ｘ）（１＋ｓｉｎｘ）．若Ｆ（ｘ）在ｘ＝０处可导，则必有（㊀㊀）（Ａ）ｆ（０）＝０．（Ｂ）ｆᶄ（０）＝０．（Ｃ）ｆ（０）＋ｆᶄ（０）＝０．（Ｄ）ｆ（０）－ｆᶄ（０）＝０．７１三㊁（本题共６小题，每小题５分，满分３０分）（１）求ｌｉｍｘң０＋１－ｃｏｓｘｘ（１－ｃｏｓｘ）．（２）设函数ｙ＝ｙ（ｘ）由方程ｘｅｆ（ｙ）＝ｅｙ确定，其中ｆ具有二阶导数，且ｆᶄʂ１，求ｄ２ｙｄｘ２．（３）设ｆ（ｘ２－１）＝ｌｎｘ２ｘ２－２，且ｆ［φ（ｘ）］＝ｌｎｘ，求ʏφ（ｘ）ｄｘ．（４）设ｆ（ｘ）＝ｘａｒｃｔａｎ１ｘ２，ｘʂ０，０，㊀㊀㊀ｘ＝０，{试讨论ｆᶄ（ｘ）在ｘ＝０处的连续性．（５）求摆线ｘ＝１－ｃｏｓｔ，ｙ＝ｔ－ｓｉｎｔ{一拱（０ɤｔɤ２π）的弧长Ｓ．（６）设单位质点在水平面内作直线运动，初速度ｖｔ＝０＝ｖ０．已知阻力与速度成正比（比例常数为１），问ｔ为多少时此质点的速度为ｖ０３？并求到此时刻该质点所经过的路程．四㊁（本题满分８分）求函数ｆ（ｘ）＝ʏｘ２０（２－ｔ）ｅ－ｔｄｔ的最大值和最小值．五㊁（本题满分８分）设ｙ＝ｅｘ是微分方程ｘｙᶄ＋ｐ（ｘ）ｙ＝ｘ的一个解，求此微分方程满足条件ｙｘ＝ｌｎ２＝０的特解．六㊁（本题满分８分）如图，设曲线Ｌ的方程为ｙ＝ｆ（ｘ），且ｙᵡ＞０．又ＭＴ，ＭＰ分别为该曲线在点Ｍ（ｘ０，ｙ０）处的切线和法线．已知线段ＭＰ的长度为（１＋ｙᶄ２０）３２ｙᵡ０（其中ｙᶄ０＝ｙᶄ（ｘ０），ｙᵡ０＝ｙᵡ（ｘ０）），试推导出点Ｐ（ξ，η）的坐标表达式．七㊁（本题满分８分）设ｆ（ｘ）＝ʏｘ０ｓｉｎｔπ－ｔｄｔ，计算ʏπ０ｆ（ｘ）ｄｘ．八㊁（本题满分８分）设ｌｉｍｘң０ｆ（ｘ）ｘ＝１，且ｆᵡ（ｘ）＞０，证明ｆ（ｘ）ȡｘ．８１１９９６年全国硕士研究生招生考试试题（试卷Ⅲ）一㊁填空题（本题共５小题，每小题３分，满分１５分）（１）设ｙ＝（ｘ＋ｅ－ｘ２）２３，则ｙᶄｘ＝０＝．（２）ʏ１－１（ｘ＋１－ｘ２）２ｄｘ＝．（３）微分方程ｙᵡ＋２ｙᶄ＋５ｙ＝０的通解为．（４）ｌｉｍｘңɕｘｓｉｎｌｎ１＋３ｘ()－ｓｉｎｌｎ１＋１ｘ()[]＝．（５）由曲线ｙ＝ｘ＋１ｘ，ｘ＝２及ｙ＝２所围图形的面积Ｓ＝．二㊁选择题（本题共５小题，每小题３分，满分１５分）（１）设当ｘң０时，ｅｘ－（ａｘ２＋ｂｘ＋１）是比ｘ２高阶的无穷小，则（㊀㊀）（Ａ）ａ＝１２，ｂ＝１．㊀㊀（Ｂ）ａ＝１，ｂ＝１．㊀㊀（Ｃ）ａ＝－１２，ｂ＝－１．㊀㊀（Ｄ）ａ＝－１，ｂ＝１．（２）设函数ｆ（ｘ）在区间（－δ，δ）内有定义，若当ｘɪ（－δ，δ）时，恒有ｆ（ｘ）ɤｘ２，则ｘ＝０必是ｆ（ｘ）的（㊀㊀）（Ａ）间断点．（Ｂ）连续而不可导的点．（Ｃ）可导的点，且ｆᶄ（０）＝０．（Ｄ）可导的点，且ｆᶄ（０）ʂ０．（３）设ｆ（ｘ）处处可导，则（㊀㊀）（Ａ）当ｌｉｍｘң－ɕｆ（ｘ）＝－ɕ，必有ｌｉｍｘң－ɕｆᶄ（ｘ）＝－ɕ．（Ｂ）当ｌｉｍｘң－ɕｆᶄ（ｘ）＝－ɕ，必有ｌｉｍｘң－ɕｆ（ｘ）＝－ɕ．（Ｃ）当ｌｉｍｘң＋ɕｆ（ｘ）＝＋ɕ，必有ｌｉｍｘң＋ɕｆᶄ（ｘ）＝＋ɕ．（Ｄ）当ｌｉｍｘң＋ɕｆᶄ（ｘ）＝＋ɕ，必有ｌｉｍｘң＋ɕｆ（ｘ）＝＋ɕ．（４）在区间（－ɕ，＋ɕ）内，方程ｘ１４＋ｘ１２－ｃｏｓｘ＝０（㊀㊀）（Ａ）无实根．（Ｂ）有且仅有一个实根．（Ｃ）有且仅有两个实根．（Ｄ）有无穷多个实根．（５）设ｆ（ｘ），ｇ（ｘ）在区间［ａ，ｂ］上连续，且ｇ（ｘ）＜ｆ（ｘ）＜ｍ（ｍ为常数），由曲线ｙ＝ｇ（ｘ），ｙ＝ｆ（ｘ），ｘ＝ａ及ｘ＝ｂ所围平面图形绕直线ｙ＝ｍ旋转而成的旋转体体积为（㊀㊀）（Ａ）ʏｂａπ［２ｍ－ｆ（ｘ）＋ｇ（ｘ）］［ｆ（ｘ）－ｇ（ｘ）］ｄｘ．（Ｂ）ʏｂａπ［２ｍ－ｆ（ｘ）－ｇ（ｘ）］［ｆ（ｘ）－ｇ（ｘ）］ｄｘ．（Ｃ）ʏｂａπ［ｍ－ｆ（ｘ）＋ｇ（ｘ）］［ｆ（ｘ）－ｇ（ｘ）］ｄｘ．（Ｄ）ʏｂａπ［ｍ－ｆ（ｘ）－ｇ（ｘ）］［ｆ（ｘ）－ｇ（ｘ）］ｄｘ．９１三㊁（本题共６小题，每小题５分，满分３０分）（１）计算ʏｌｎ２０１－ｅ－２ｘｄｘ．（２）求ʏｄｘ１＋ｓｉｎｘ．（３）设ｘ＝ʏｔ０ｆ（ｕ２）ｄｕ，ｙ＝［ｆ（ｔ２）］２，{其中ｆ（ｕ）具有二阶导数，且ｆ（ｕ）ʂ０，求ｄ２ｙｄｘ２．（４）求函数ｆ（ｘ）＝１－ｘ１＋ｘ在点ｘ＝０处带拉格朗日型余项的ｎ阶泰勒展开式．（５）求微分方程ｙᵡ＋ｙᶄ＝ｘ２的通解．（６）设有一正椭圆柱体，其底面的长㊁短轴分别为２ａ，２ｂ，用过此柱体底面的短轴且与底面成α角０＜α＜π２()的平面截此柱体，得一楔形体（如图），求此楔形体的体积Ｖ．四㊁（本题满分８分）计算不定积分ʏａｒｃｔａｎｘｘ２（１＋ｘ２）ｄｘ．㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀五㊁（本题满分８分）设函数ｆ（ｘ）＝１－２ｘ２，ｘ＜－１，㊀㊀ｘ３，㊀㊀－１ɤｘɤ２，１２ｘ－１６，ｘ＞２．㊀㊀ìîíïïï（１）写出ｆ（ｘ）的反函数ｇ（ｘ）的表达式；（２）ｇ（ｘ）是否有间断点㊁不可导点，若有，指出这些点．六㊁（本题满分８分）设函数ｙ＝ｙ（ｘ）由方程２ｙ３－２ｙ２＋２ｘｙ－ｘ２＝１所确定，试求ｙ＝ｙ（ｘ）的驻点，并判别它是否为极值点．七㊁（本题满分８分）设ｆ（ｘ）在区间［ａ，ｂ］上具有二阶导数，且ｆ（ａ）＝ｆ（ｂ）＝０，ｆᶄ（ａ）ｆᶄ（ｂ）＞０．证明：存在ξɪ（ａ，ｂ）和ηɪ（ａ，ｂ），使ｆ（ξ）＝０及ｆᵡ（η）＝０．八㊁（本题满分８分）设ｆ（ｘ）为连续函数，（１）求初值问题ｙᶄ＋ａｙ＝ｆ（ｘ），ｙｘ＝０＝０{的解ｙ（ｘ），其中ａ是正常数；（２）若ｆ（ｘ）ɤｋ（ｋ为常数），证明：当ｘȡ０时，有ｙ（ｘ）ɤｋａ（１－ｅ－ａｘ）．０２１９９７年全国硕士研究生招生考试试题一㊁填空题（本题共５小题，每小题３分，满分１５分）（１）已知函数ｆ（ｘ）＝（ｃｏｓｘ）ｘ－２，ｘʂ０，ａ，㊀㊀㊀ｘ＝０{在ｘ＝０处连续，则ａ＝．（２）设ｙ＝ｌｎ１－ｘ１＋ｘ２，则ｙᵡｘ＝０＝．（３）ʏｄｘｘ（４－ｘ）＝．（４）ʏ＋ɕ０ｄｘｘ２＋４ｘ＋８＝．（５）已知向量组α１＝（１，２，－１，１），α２＝（２，０，ｔ，０），α３＝（０，－４，５，－２）的秩为２，则ｔ＝．二㊁选择题（本题共５小题，每小题３分，满分１５分）（１）设ｘң０时，ｅｔａｎｘ－ｅｘ与ｘｎ是同阶无穷小，则ｎ为（㊀㊀）（Ａ）１．㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀（Ｂ）２．㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀（Ｃ）３．㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀（Ｄ）４．（２）设在闭区间［ａ，ｂ］上ｆ（ｘ）＞０，ｆᶄ（ｘ）＜０，ｆᵡ（ｘ）＞０．记Ｓ１＝ʏｂａｆ（ｘ）ｄｘ，Ｓ２＝ｆ（ｂ）（ｂ－ａ），Ｓ３＝１２［ｆ（ａ）＋ｆ（ｂ）］（ｂ－ａ），则（㊀㊀）（Ａ）Ｓ１＜Ｓ２＜Ｓ３．（Ｂ）Ｓ２＜Ｓ１＜Ｓ３．（Ｃ）Ｓ３＜Ｓ１＜Ｓ２．（Ｄ）Ｓ２＜Ｓ３＜Ｓ１．（３）已知函数ｙ＝ｆ（ｘ）对一切ｘ满足ｘｆᵡ（ｘ）＋３ｘ［ｆᶄ（ｘ）］２＝１－ｅ－ｘ，若ｆᶄ（ｘ０）＝０（ｘ０ʂ０），则（㊀㊀）（Ａ）ｆ（ｘ０）是ｆ（ｘ）的极大值．（Ｂ）ｆ（ｘ０）是ｆ（ｘ）的极小值．（Ｃ）（ｘ０，ｆ（ｘ０））是曲线ｙ＝ｆ（ｘ）的拐点．（Ｄ）ｆ（ｘ０）不是ｆ（ｘ）的极值，（ｘ０，ｆ（ｘ０））也不是曲线ｙ＝ｆ（ｘ）的拐点．（４）设Ｆ（ｘ）＝ʏｘ＋２πｘｅｓｉｎｔｓｉｎｔｄｔ，则Ｆ（ｘ）（㊀㊀）（Ａ）为正常数．（Ｂ）为负常数．（Ｃ）恒为零．（Ｄ）不为常数．（５）设函数ｇ（ｘ）＝２－ｘ，㊀ｘɤ０，ｘ＋２，㊀ｘ＞０，{ｆ（ｘ）＝ｘ２，㊀ｘ＜０，－ｘ，㊀ｘȡ０，{则ｇ［ｆ（ｘ）］＝（㊀㊀）（Ａ）２＋ｘ２，㊀ｘ＜０，２－ｘ，㊀㊀ｘȡ０．{（Ｂ）２－ｘ２，㊀ｘ＜０，２＋ｘ，㊀㊀ｘȡ０．{（Ｃ）２－ｘ２，㊀ｘ＜０，２－ｘ，㊀㊀ｘȡ０．{（Ｄ）２＋ｘ２，㊀ｘ＜０，２＋ｘ，㊀㊀ｘȡ０．{三㊁（本题共６小题，每小题５分，满分３０分）（１）求极限ｌｉｍｘң－ɕ４ｘ２＋ｘ－１＋ｘ＋１ｘ２＋ｓｉｎｘ．１２（２）设函数ｙ＝ｙ（ｘ）由ｘ＝ａｒｃｔａｎｔ，２ｙ－ｔｙ２＋ｅｔ＝５{所确定，求ｄｙｄｘ．（３）计算ʏｅ２ｘ（ｔａｎｘ＋１）２ｄｘ．（４）求微分方程（３ｘ２＋２ｘｙ－ｙ２）ｄｘ＋（ｘ２－２ｘｙ）ｄｙ＝０的通解．（５）已知ｙ１＝ｘｅｘ＋ｅ２ｘ，ｙ２＝ｘｅｘ＋ｅ－ｘ，ｙ３＝ｘｅｘ＋ｅ２ｘ－ｅ－ｘ是某二阶线性非齐次微分方程的三个解，求此微分方程．（６）已知矩阵Ａ＝１１－１０１１００－１æèççöø÷÷，且Ａ２－ＡＢ＝Ｅ，其中Ｅ是３阶单位矩阵，求矩阵Ｂ．四㊁（本题满分８分）λ取何值时，方程组２ｘ１＋λｘ２－ｘ３＝１，λｘ１－ｘ２＋ｘ３＝２，４ｘ１＋５ｘ２－５ｘ３＝－１ìîíïïï无解，有唯一解或有无穷多解？并在有无穷多解时写出方程组的通解．五㊁（本题满分８分）设曲线Ｌ的极坐标方程为ｒ＝ｒ（θ），Ｍ（ｒ，θ）为Ｌ上任一点，Ｍ０（２，０）为Ｌ上一定点．若极径ＯＭ０，ＯＭ与曲线Ｌ所围成的曲边扇形面积值等于Ｌ上Ｍ０，Ｍ两点间弧长值的一半，求曲线Ｌ的方程．六㊁（本题满分８分）设函数ｆ（ｘ）在闭区间［０，１］上连续，在开区间（０，１）内大于零，并满足ｘｆᶄ（ｘ）＝ｆ（ｘ）＋３ａ２ｘ２（ａ为常数），又曲线ｙ＝ｆ（ｘ）与ｘ＝１，ｙ＝０所围的图形Ｓ的面积值为２，求函数ｙ＝ｆ（ｘ），并问ａ为何值时，图形Ｓ绕ｘ轴旋转一周所得的旋转体的体积最小．七㊁（本题满分８分）设函数ｆ（ｘ）连续，φ（ｘ）＝ʏ１０ｆ（ｘｔ）ｄｔ，且ｌｉｍｘң０ｆ（ｘ）ｘ＝Ａ（Ａ为常数），求φᶄ（ｘ）并讨论φᶄ（ｘ）在ｘ＝０处的连续性．八㊁（本题满分８分）就ｋ的不同取值情况，确定方程ｘ－π２ｓｉｎｘ＝ｋ在开区间(０，π２)内根的个数，并证明你的结论．２２１９９８年全国硕士研究生招生考试试题一㊁填空题（本题共５小题，每小题３分，满分１５分）（１）ｌｉｍｘң０１＋ｘ＋１－ｘ－２ｘ２＝．（２）曲线ｙ＝－ｘ３＋ｘ２＋２ｘ与ｘ轴所围成的图形的面积Ａ＝．（３）ʏｌｎ（ｓｉｎｘ）ｓｉｎ２ｘｄｘ＝．（４）设ｆ（ｘ）连续，则ｄｄｘʏｘ０ｔｆ（ｘ２－ｔ２）ｄｔ＝．（５）曲线ｙ＝ｘｌｎｅ＋１ｘ()（ｘ＞０）的渐近线方程为．二㊁选择题（本题共５小题，每小题３分，满分１５分）（１）设数列｛ｘｎ｝与｛ｙｎ｝满足ｌｉｍｎңɕｘｎｙｎ＝０，则下列断言正确的是（㊀㊀）（Ａ）若｛ｘｎ｝发散，则｛ｙｎ｝必发散．（Ｂ）若｛ｘｎ｝无界，则｛ｙｎ｝必有界．（Ｃ）若｛ｘｎ｝有界，则｛ｙｎ｝必为无穷小．（Ｄ）若１ｘｎ{}为无穷小，则｛ｙｎ｝必为无穷小．（２）函数ｆ（ｘ）＝（ｘ２－ｘ－２）ｘ３－ｘ的不可导点的个数为（㊀㊀）（Ａ）０．（Ｂ）１．（Ｃ）２．（Ｄ）３．（３）已知函数ｙ＝ｙ（ｘ）在任意点ｘ处的增量Δｙ＝ｙΔｘ１＋ｘ２＋α，其中α是比Δｘ（Δｘң０）高阶的无穷小，且ｙ（０）＝π，则ｙ（１）＝（㊀㊀）（Ａ）πｅπ４．（Ｂ）２π．（Ｃ）π．（Ｄ）ｅπ４．（４）设函数ｆ（ｘ）在ｘ＝ａ的某个邻域内连续，且ｆ（ａ）为其极大值，则存在δ＞０，当ｘɪ（ａ－δ，ａ＋δ）时，必有（㊀㊀）（Ａ）（ｘ－ａ）［ｆ（ｘ）－ｆ（ａ）］ȡ０．（Ｂ）（ｘ－ａ）［ｆ（ｘ）－ｆ（ａ）］ɤ０．（Ｃ）ｌｉｍｔңａｆ（ｔ）－ｆ（ｘ）（ｔ－ｘ）２ȡ０（ｘʂａ）．（Ｄ）ｌｉｍｔңａｆ（ｔ）－ｆ（ｘ）（ｔ－ｘ）２ɤ０（ｘʂａ）．（５）设Ａ是任一ｎ（ｎȡ３）阶方阵，Ａ∗是其伴随矩阵，又ｋ为常数，且ｋʂ０，ʃ１，则必有（ｋＡ）∗＝（㊀㊀）（Ａ）ｋＡ∗．（Ｂ）ｋｎ－１Ａ∗．（Ｃ）ｋｎＡ∗．（Ｄ）ｋ－１Ａ∗．三㊁（本题满分５分）求函数ｆ（ｘ）＝（１＋ｘ）ｘｔａｎ（ｘ－π４）在区间（０，２π）内的间断点，并判断其类型．３２四㊁（本题满分５分）确定常数ａ，ｂ，ｃ的值，使ｌｉｍｘң０ａｘ－ｓｉｎｘʏｘｂｌｎ（１＋ｔ３）ｔｄｔ＝ｃ（ｃʂ０）．五㊁（本题满分５分）利用代换ｙ＝ｕｃｏｓｘ将方程ｙᵡｃｏｓｘ－２ｙᶄｓｉｎｘ＋３ｙｃｏｓｘ＝ｅｘ化简，并求出原方程的通解．六㊁（本题满分６分）计算积分ʏ３２１２ｄｘｘ－ｘ２．七㊁（本题满分６分）从船上向海中沉放某种探测仪器，按探测要求，需确定仪器的下沉深度ｙ（从海平面算起）与下沉速度ｖ之间的函数关系．设仪器在重力作用下，从海平面由静止开始垂直下沉，在下沉过程中还受到阻力和浮力的作用．设仪器的质量为ｍ，体积为Ｂ，海水比重为ρ，仪器所受的阻力与下沉速度成正比，比例系数为ｋ（ｋ＞０）．试建立ｙ与ｖ所满足的微分方程，并求出函数关系式ｙ＝ｙ（ｖ）．八㊁（本题满分８分）设ｙ＝ｆ（ｘ）是区间［０，１］上的任一非负连续函数．（１）试证存在ｘ０ɪ（０，１），使得在区间［０，ｘ０］上以ｆ（ｘ０）为高的矩形面积，等于在区间［ｘ０，１］上以ｙ＝ｆ（ｘ）为曲边的曲边梯形面积；（２）又设ｆ（ｘ）在区间（０，１）内可导，且ｆᶄ（ｘ）＞－２ｆ（ｘ）ｘ，证明（１）中的ｘ０是惟一的．九㊁（本题满分８分）设有曲线ｙ＝ｘ－１，过原点作其切线，求由此曲线㊁切线及ｘ轴围成的平面图形绕ｘ轴旋转一周所得到的旋转体的表面积．十㊁（本题满分８分）设ｙ＝ｙ（ｘ）是一向上凸的连续曲线，其上任意一点（ｘ，ｙ）处的曲率为１１＋ｙᶄ２，且此曲线上点（０，１）处的切线方程为ｙ＝ｘ＋１，求该曲线的方程，并求函数ｙ＝ｙ（ｘ）的极值．十一㊁（本题满分８分）设ｘɪ（０，１），证明：（１）（１＋ｘ）ｌｎ２（１＋ｘ）＜ｘ２；４２（２）１ｌｎ２－１＜１ｌｎ（１＋ｘ）－１ｘ＜１２．十二㊁（本题满分５分）设（２Ｅ－Ｃ－１Ｂ）ＡＴ＝Ｃ－１，其中Ｅ是４阶单位矩阵，ＡＴ是４阶矩阵Ａ的转置矩阵，Ｂ＝１２－３－２０１２－３００１２０００１æèççççöø÷÷÷÷，㊀㊀Ｃ＝１㊀２㊀０㊀１０㊀１㊀２㊀００㊀０㊀１㊀２０㊀０㊀０㊀１æèççççöø÷÷÷÷．求Ａ．十三㊁（本题满分６分）已知α１＝（１，４，０，２）Ｔ，α２＝（２，７，１，３）Ｔ，α３＝（０，１，－１，ａ）Ｔ，β＝（３，１０，ｂ，４）Ｔ，问：（１）ａ，ｂ取何值时，β不能由α１，α２，α３线性表示？（２）ａ，ｂ取何值时，β可由α１，α２，α３线性表示？并写出此表示式．５２１９９９年全国硕士研究生招生考试试题一㊁填空题（本题共５小题，每小题３分，满分１５分）（１）曲线ｘ＝ｅｔｓｉｎ２ｔｙ＝ｅｔｃｏｓｔ{在点（０，１）处的法线方程为．（２）设函数ｙ＝ｙ（ｘ）由方程ｌｎ（ｘ２＋ｙ）＝ｘ３ｙ＋ｓｉｎｘ确定，则ｄｙｄｘｘ＝０＝㊀㊀㊀．（３）ʏｘ＋５ｘ２－６ｘ＋１３ｄｘ＝．（４）函数ｙ＝ｘ２１－ｘ２在区间１２，３２[]上的平均值为．（５）微分方程ｙᵡ－４ｙ＝ｅ２ｘ的通解为．二㊁选择题（本题共５小题，每小题３分，满分１５分）（１）设ｆ（ｘ）＝１－ｃｏｓｘｘ，ｘ＞０，ｘ２ｇ（ｘ），ｘɤ０，{其中ｇ（ｘ）是有界函数，则ｆ（ｘ）在ｘ＝０处（㊀㊀）（Ａ）极限不存在．（Ｂ）极限存在，但不连续．（Ｃ）连续，但不可导．（Ｄ）可导．（２）设α（ｘ）＝ʏ５ｘ０ｓｉｎｔｔｄｔ，β（ｘ）＝ʏｓｉｎｘ０（１＋ｔ）１ｔｄｔ，则当ｘң０时，α（ｘ）是β（ｘ）的（㊀㊀）（Ａ）高阶无穷小．（Ｂ）低阶无穷小．（Ｃ）同阶但不等价的无穷小．（Ｄ）等价无穷小．（３）设ｆ（ｘ）是连续函数，Ｆ（ｘ）是ｆ（ｘ）的原函数，则（㊀㊀）（Ａ）当ｆ（ｘ）是奇函数时，Ｆ（ｘ）必是偶函数．（Ｂ）当ｆ（ｘ）是偶函数时，Ｆ（ｘ）必是奇函数．（Ｃ）当ｆ（ｘ）是周期函数时，Ｆ（ｘ）必是周期函数．（Ｄ）当ｆ（ｘ）是单调增函数时，Ｆ（ｘ）必是单调增函数．（４） 对任意给定的εɪ（０，１），总存在正整数Ｎ，当ｎȡＮ时，恒有ｘｎ－ａɤ２ε 是数列｛ｘｎ｝收敛于ａ的（㊀㊀）（Ａ）充分条件但非必要条件．（Ｂ）必要条件但非充分条件．（Ｃ）充分必要条件．（Ｄ）既非充分条件又非必要条件．（５）记行列式ｘ－２ｘ－１ｘ－２ｘ－３２ｘ－２２ｘ－１２ｘ－２２ｘ－３３ｘ－３３ｘ－２４ｘ－５３ｘ－５４ｘ４ｘ－３５ｘ－７４ｘ－３为ｆ（ｘ），则方程ｆ（ｘ）＝０的根的个数为（㊀㊀）（Ａ）１．㊀㊀（Ｂ）２．㊀㊀（Ｃ）３．㊀㊀（Ｄ）４．６２三㊁（本题满分５分）求ｌｉｍｘң０１＋ｔａｎｘ－１＋ｓｉｎｘｘｌｎ（１＋ｘ）－ｘ２．四㊁（本题满分６分）计算ʏ＋ɕ１ａｒｃｔａｎｘｘ２ｄｘ．五㊁（本题满分７分）求初值问题（ｙ＋ｘ２＋ｙ２）ｄｘ－ｘｄｙ＝０（ｘ＞０），ｙｘ＝１＝０{的解．六㊁（本题满分７分）为清除井底的污泥，用缆绳将抓斗放入井底，抓起污泥后提出井口，已知井深３０ｍ，抓斗自重４００Ｎ，缆绳每米重５０Ｎ，抓斗抓起的污泥重２０００Ｎ，提升速度为３ｍ／ｓ．在提升过程中，污泥以２０Ｎ／ｓ的速率从抓斗缝隙中漏掉．现将抓起污泥的抓斗提升至井口，问克服重力需作多少焦耳的功？（说明：①１Ｎˑ１ｍ＝１Ｊ；ｍ，Ｎ，ｓ，Ｊ分别表示米，牛顿，秒，焦耳．②抓斗的高度及位于井口上方的缆绳长度忽略不计．）七㊁（本题满分８分）已知函数ｙ＝ｘ３（ｘ－１）２，求（１）函数的增减区间及极值；（２）函数图形的凹凸区间及拐点；（３）函数图形的渐近线．八㊁（本题满分８分）设函数ｆ（ｘ）在闭区间［－１，１］上具有三阶连续导数，且ｆ（－１）＝０，ｆ（１）＝１，ｆᶄ（０）＝０，证明：在开区间（－１，１）内至少存在一点ξ，使ｆ‴（ξ）＝３．九㊁（本题满分８分）设函数ｙ（ｘ）（ｘȡ０）二阶可导，且ｙᶄ（ｘ）＞０，ｙ（０）＝１．过曲线ｙ＝ｙ（ｘ）上任意一点Ｐ（ｘ，ｙ）作该曲线的切线及ｘ轴的垂线，上述两直线与ｘ轴所围成的三角形的面积记为Ｓ１，区间［０，ｘ］上以ｙ＝ｙ（ｘ）为曲边的曲边梯形面积记为Ｓ２，并设２Ｓ１－Ｓ２恒为１，求此曲线ｙ＝ｙ（ｘ）的方程．７２十㊁（本题满分７分）设ｆ（ｘ）是区间［０，＋ɕ）上单调减少且非负的连续函数，ａｎ＝ ｎｋ＝１ｆ（ｋ）－ʏｎ１ｆ（ｘ）ｄｘ（ｎ＝１，２， ），证明数列｛ａｎ｝的极限存在．十一㊁（本题满分６分）设矩阵Ａ＝１１－１－１１１１－１１æèççöø÷÷，矩阵Ｘ满足Ａ∗Ｘ＝Ａ－１＋２Ｘ，其中Ａ∗是Ａ的伴随矩阵，求矩阵Ｘ．十二㊁（本题满分８分）设向量组α１＝（１，１，１，３）Ｔ，α２＝（－１，－３，５，１）Ｔ，α３＝（３，２，－１，ｐ＋２）Ｔ，α４＝（－２，－６，１０，ｐ）Ｔ．（１）ｐ为何值时，该向量组线性无关？并在此时将向量α＝（４，１，６，１０）Ｔ用α１，α２，α３，α４线性表示；（２）ｐ为何值时，该向量组线性相关？并在此时求出它的秩和一个极大线性无关组．８２２０００年全国硕士研究生招生考试试题一㊁填空题（本题共５小题，每小题３分，满分１５分）（１）ｌｉｍｘң０ａｒｃｔａｎｘ－ｘｌｎ（１＋２ｘ３）＝．（２）设函数ｙ＝ｙ（ｘ）由方程２ｘｙ＝ｘ＋ｙ所确定，则ｄｙｘ＝０＝．（３）ʏ＋ɕ２ｄｘ（ｘ＋７）ｘ－２＝．（４）曲线ｙ＝（２ｘ－１）ｅ１ｘ的斜渐近线方程为．（５）设Ａ＝１０００－２３０００－４５０００－６７æèççççöø÷÷÷÷，Ｅ为４阶单位矩阵，且Ｂ＝（Ｅ＋Ａ）－１（Ｅ－Ａ），则（Ｅ＋Ｂ）－１＝．二㊁选择题（本题共５小题，每小题３分，满分１５分）（１）设函数ｆ（ｘ）＝ｘａ＋ｅｂｘ在（－ɕ，＋ɕ）内连续，且ｌｉｍｘң－ɕｆ（ｘ）＝０，则常数ａ，ｂ满足（㊀㊀）（Ａ）ａ＜０，ｂ＜０．（Ｂ）ａ＞０，ｂ＞０．（Ｃ）ａɤ０，ｂ＞０．（Ｄ）ａȡ０，ｂ＜０．（２）设函数ｆ（ｘ）满足关系式ｆᵡ（ｘ）＋［ｆᶄ（ｘ）］２＝ｘ，且ｆᶄ（０）＝０，则（㊀㊀）（Ａ）ｆ（０）是ｆ（ｘ）的极大值．（Ｂ）ｆ（０）是ｆ（ｘ）的极小值．（Ｃ）点（０，ｆ（０））是曲线ｙ＝ｆ（ｘ）的拐点．（Ｄ）ｆ（０）不是ｆ（ｘ）的极值，点（０，ｆ（０））也不是曲线ｙ＝ｆ（ｘ）的拐点．（３）设函数ｆ（ｘ），ｇ（ｘ）是大于零的可导函数，且ｆᶄ（ｘ）ｇ（ｘ）－ｆ（ｘ）ｇᶄ（ｘ）＜０，则当ａ＜ｘ＜ｂ时，有（㊀㊀）（Ａ）ｆ（ｘ）ｇ（ｂ）＞ｆ（ｂ）ｇ（ｘ）．（Ｂ）ｆ（ｘ）ｇ（ａ）＞ｆ（ａ）ｇ（ｘ）．（Ｃ）ｆ（ｘ）ｇ（ｘ）＞ｆ（ｂ）ｇ（ｂ）．（Ｄ）ｆ（ｘ）ｇ（ｘ）＞ｆ（ａ）ｇ（ａ）．（４）若ｌｉｍｘң０ｓｉｎ６ｘ＋ｘｆ（ｘ）ｘ３＝０，则ｌｉｍｘң０６＋ｆ（ｘ）ｘ２为（㊀㊀）（Ａ）０．㊀㊀（Ｂ）６．㊀㊀（Ｃ）３６．㊀㊀（Ｄ）ɕ．（５）具有特解ｙ１＝ｅ－ｘ，ｙ２＝２ｘｅ－ｘ，ｙ３＝３ｅｘ的３阶常系数齐次线性微分方程是（㊀㊀）（Ａ）ｙ‴－ｙᵡ－ｙᶄ＋ｙ＝０．（Ｂ）ｙ‴＋ｙᵡ－ｙᶄ－ｙ＝０．（Ｃ）ｙ‴－６ｙᵡ＋１１ｙᶄ－６ｙ＝０．（Ｄ）ｙ‴－２ｙᵡ－ｙᶄ＋２ｙ＝０．三㊁（本题满分５分）设ｆ（ｌｎｘ）＝ｌｎ（１＋ｘ）ｘ，计算ʏｆ（ｘ）ｄｘ．９２四㊁（本题满分５分）设ｘＯｙ平面上有正方形Ｄ＝｛（ｘ，ｙ）０ɤｘɤ１，０ɤｙɤ１｝及直线ｌ：ｘ＋ｙ＝ｔ（ｔȡ０）．若Ｓ（ｔ）表示正方形Ｄ位于直线ｌ左下方部分的面积，试求ʏｘ０Ｓ（ｔ）ｄｔ（ｘȡ０）．五㊁（本题满分５分）求函数ｆ（ｘ）＝ｘ２ｌｎ（１＋ｘ）在ｘ＝０处的ｎ阶导数ｆ（ｎ）（０）（ｎȡ３）．六㊁（本题满分６分）设函数Ｓ（ｘ）＝ʏｘ０ｃｏｓｔｄｔ，（１）当ｎ为正整数，且ｎπɤｘ＜（ｎ＋１）π时，证明：２ｎɤＳ（ｘ）＜２（ｎ＋１）；（２）求ｌｉｍｘң＋ɕＳ（ｘ）ｘ．七㊁（本题满分７分）某湖泊的水量为Ｖ，每年排入湖泊内含污染物Ａ的污水量为Ｖ６，流入湖泊内不含Ａ的水量为Ｖ６，流出湖泊的水量为Ｖ３．已知１９９９年底湖中Ａ的含量为５ｍ０，超过国家规定指标．为了治理污染，从２０００年初起，限定排入湖泊中含Ａ污水的浓度不超过ｍ０Ｖ．问至多需经过多少年，湖泊中污染物Ａ的含量才可降至ｍ０以内？（注：设湖水中Ａ的浓度是均匀的）．八㊁（本题满分６分）设函数ｆ（ｘ）在［０，π］上连续，且ʏπ０ｆ（ｘ）ｄｘ＝０，ʏπ０ｆ（ｘ）ｃｏｓｘｄｘ＝０．试证明：在（０，π）内至少存在两个不同的点ξ１，ξ２，使ｆ（ξ１）＝ｆ（ξ２）＝０．九㊁（本题满分７分）已知ｆ（ｘ）是周期为５的连续函数，它在ｘ＝０的某个邻域内满足关系式ｆ（１＋ｓｉｎｘ）－３ｆ（１－ｓｉｎｘ）＝８ｘ＋α（ｘ），其中α（ｘ）是当ｘң０时比ｘ高阶的无穷小，且ｆ（ｘ）在ｘ＝１处可导，求曲线ｙ＝ｆ（ｘ）在点（６，ｆ（６））处的切线方程．十㊁（本题满分８分）设曲线ｙ＝ａｘ２（ａ＞０，ｘȡ０）与ｙ＝１－ｘ２交于点Ａ，过坐标原点Ｏ和点Ａ的直线与曲线ｙ＝ａｘ２围成一平面图形．问ａ为何值时，该图形绕ｘ轴旋转一周所得的旋转体体积最大？最大体积是多少？十一㊁（本题满分８分）函数ｆ（ｘ）在［０，＋ɕ）上可导，ｆ（０）＝１，且满足等式０３历年考研数学真题解析及复习思路（数学二）ｆᶄ（ｘ）＋ｆ（ｘ）－１ｘ＋１ʏｘ０ｆ（ｔ）ｄｔ＝０．（１）求导数ｆᶄ（ｘ）；（２）证明：当ｘȡ０时，不等式ｅ－ｘɤｆ（ｘ）ɤ１成立．十二㊁（本题满分６分）设α＝１２１æèççöø÷÷，β＝１１２０æèççççöø÷÷÷÷，γ＝００８æèççöø÷÷，Ａ＝αβＴ，Ｂ＝βＴα，其中βＴ是β的转置，求解方程２Ｂ２Ａ２ｘ＝Ａ４ｘ＋Ｂ４ｘ＋γ．十三㊁（本题满分７分）已知向量组β１＝０１－１æèççöø÷÷，β２＝ａ２１æèççöø÷÷，β３＝ｂ１０æèççöø÷÷与向量组α１＝１２－３æèççöø÷÷，α２＝３０１æèççöø÷÷，α３＝９６－７æèççöø÷÷具有相同的秩，且β３可由α１，α２，α３线性表示，求ａ，ｂ的值．１３２０００年真题２００１年全国硕士研究生招生考试试题一㊁填空题（本题共５小题，每小题３分，满分１５分）（１）ｌｉｍｘң１３－ｘ－１＋ｘｘ２＋ｘ－２＝．（２）设函数ｙ＝ｆ（ｘ）由方程ｅ２ｘ＋ｙ－ｃｏｓ（ｘｙ）＝ｅ－１所确定，则曲线ｙ＝ｆ（ｘ）在点（０，１）处的法线方程为．（３）ʏπ２－π２（ｘ３＋ｓｉｎ２ｘ）ｃｏｓ２ｘｄｘ＝．（４）过点(１２，０)且满足关系式ｙᶄａｒｃｓｉｎｘ＋ｙ１－ｘ２＝１的曲线方程为．（５）设方程组ａ㊀１㊀１１㊀ａ㊀１１㊀１㊀ａæèççöø÷÷ｘ１ｘ２ｘ３æèçççöø÷÷÷＝１１－２æèççöø÷÷有无穷多解，则ａ＝．二㊁选择题（本题共５小题，每小题３分，满分１５分）（１）设ｆ（ｘ）＝１，㊀ｘɤ１，０，㊀ｘ＞１，{则ｆ｛ｆ［ｆ（ｘ）］｝等于（㊀㊀）（Ａ）０．㊀㊀㊀㊀㊀（Ｂ）１．㊀㊀㊀㊀㊀（Ｃ）１，㊀ｘɤ１，０，㊀ｘ＞１．{㊀㊀㊀㊀㊀（Ｄ）０，㊀ｘɤ１，１，㊀ｘ＞１．{（２）设当ｘң０时，（１－ｃｏｓｘ）ｌｎ（１＋ｘ２）是比ｘｓｉｎｘｎ高阶的无穷小，ｘｓｉｎｘｎ是比ｅｘ２－１高阶的无穷小，则正整数ｎ等于（㊀㊀）（Ａ）１．（Ｂ）２．（Ｃ）３．（Ｄ）４．（３）曲线ｙ＝（ｘ－１）２（ｘ－３）２的拐点个数为（㊀㊀）（Ａ）０．（Ｂ）１．（Ｃ）２．（Ｄ）３．（４）已知函数ｆ（ｘ）在区间（１－δ，１＋δ）内具有二阶导数，ｆᶄ（ｘ）严格单调减少，且ｆ（１）＝ｆᶄ（１）＝１，则（㊀㊀）（Ａ）在（１－δ，１）和（１，１＋δ）内均有ｆ（ｘ）＜ｘ．（Ｂ）在（１－δ，１）和（１，１＋δ）内均有ｆ（ｘ）＞ｘ．（Ｃ）在（１－δ，１）内，ｆ（ｘ）＜ｘ，在（１，１＋δ）内，ｆ（ｘ）＞ｘ．（Ｄ）在（１－δ，１）内，ｆ（ｘ）＞ｘ，在（１，１＋δ）内，ｆ（ｘ）＜ｘ．（５）已知函数ｙ＝ｆ（ｘ）在其定义域内可导，它的图形如右图所示，则其导函数ｙ＝ｆᶄ（ｘ）的图形为（㊀㊀）２３历年考研数学真题解析及复习思路（数学二）三㊁（本题满分６分）求ʏｄｘ（２ｘ２＋１）ｘ２＋１．四㊁（本题满分７分）求极限ｌｉｍｔңｘｓｉｎｔｓｉｎｘ()ｘｓｉｎｔ－ｓｉｎｘ，记此极限为ｆ（ｘ），求函数ｆ（ｘ）的间断点并指出其类型．五㊁（本题满分７分）设ρ＝ρ（ｘ）是抛物线ｙ＝ｘ上任一点Ｍ（ｘ，ｙ）（ｘȡ１）处的曲率半径，ｓ＝ｓ（ｘ）是该抛物线上介于点Ａ（１，１）与Ｍ之间的弧长，计算３ρｄ２ρｄｓ２－ｄρｄｓ()２的值．（在直角坐标系下曲率公式为Ｋ＝ｙᵡ（１＋ｙᶄ２）３２．）六㊁（本题满分７分）设函数ｆ（ｘ）在［０，＋ɕ）上可导，ｆ（０）＝０，且其反函数为ｇ（ｘ）．若ʏｆ（ｘ）０ｇ（ｔ）ｄｔ＝ｘ２ｅｘ，求ｆ（ｘ）．七㊁（本题满分７分）设函数ｆ（ｘ），ｇ（ｘ）满足ｆᶄ（ｘ）＝ｇ（ｘ），ｇᶄ（ｘ）＝２ｅｘ－ｆ（ｘ），且ｆ（０）＝０，ｇ（０）＝２，求ʏπ０ｇ（ｘ）１＋ｘ－ｆ（ｘ）（１＋ｘ）２[]ｄｘ．八㊁（本题满分９分）设Ｌ是一条平面曲线，其上任意一点Ｐ（ｘ，ｙ）（ｘ＞０）到坐标原点的距离恒等于该点处的切线在ｙ轴上的截距，且Ｌ经过点(１２，０)．（１）试求曲线Ｌ的方程；（２）求Ｌ位于第一象限部分的一条切线，使该切线与Ｌ以及两坐标轴所围图形的面积最小．九㊁（本题满分７分）一个半球体状的雪堆，其体积融化的速率与半球面面积Ｓ成正比，比例常数Ｋ＞０．假设在融化过程３３２００１年真题。
2009年数二真题、标准答案及解析
B 不是 f x, y 的极值点.
D 是 f x, y 的极小值点.
dx f x, y dy dy
x 1 2 2 4 y y
2
1
f x, y dx （
）
A 1 dx 1
2
2
4 x
f x, y dy . f x, y dx .
a 3 6b
故排除 B, C .
lim
a 2 sin ax a3 1 x 0 6b 6b ax a
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另外 lim
1 a cos ax 存在，蕴含了 1 a cos ax 0 x 0 故 a 1. 排除 D . x 0 3bx 2
（10）已知
.
e
1 x
+
kx
dx 1 ,则 k
.
y
.
（11） lim
n 0
e
sin nxdx
2 y （12）设 y y ( x ) 是由方程 xy e x 1 确定的隐函数，则 2 x
（13）函数 y x 在区间 0， 1 上的最小值为
2x
B 2.
C 3.
2
D 无穷多个.
）
（2）当 x 0 时， f x x sin ax 与 g x x ln 1 bx 是等价无穷小，则（
A a 1, b
1 . 6
B a 1, b
1 . 6
C a 1, b
故可去间断点为 3 个，即 0, 1 （2）当 x 0 时， f x x sin ax 与 g x x ln 1 bx 是等价无穷小，则（
2009年华中科技大学考研真题数学分析答案真题
2009年华中科技大学招收攻读硕士研究生入学考试自命题数学分析试题一、设(,)G s t 是二元连续可微函数满足0G G abst∂∂+≠∂∂，又设(,)z f x y =是由方程(,)0G cx za cy bz --=所确定的隐函数，其中,,a b c 为非零常数，求z z a bx y∂∂+∂∂。
解：(,)0G cx za cy bz --= 分别对,x y 求导，得()0()0G z G z c a b s x t xG z G z ac bs yty∂∂∂∂--=∂∂∂∂∂∂∂∂-+-=∂∂∂∂由0G G a b st∂∂+≠∂∂及上式解得,s t x y s ts tcG cG z z aG bG aG bG ==++从而z z abc xy∂∂+=∂∂二、计算曲线积分22()(4)4Cx y dx x y dyI x y-++=+⎰，其中积分路径C 为单位圆周221x y +=（逆时针方向）。
解：令22224(,),(,)44x y x y P x y Q x y x yx y-+==++则2222844P Q x xy yyxx y∂∂--+==∂∂+记222:4L x y εε+=（顺时针方向），则(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)CC L L L I P x y dx Q x y dyP x y dx Q x y dy P x y dx Q x y dy P x y dx Q x y dyεεε--+=+=+++=+⎰⎰⎰⎰令1cos ,sin 2x y εθεθ==，则201(,)(,)2L I P x y dx Q x y dy d επθπ-=+==⎰⎰三、计算三重积分()()()I x y z x y z y z x dxdydzΩ=+--++-⎰⎰⎰，其中{(,,)|0)1,01,01}x y z x y z x y z y z x Ω=≤+-≤≤-+≤≤+-≤解：令u x y z v x y z w y z x =+-⎧⎪=-+⎨⎪=+-⎩则积分区域变为{(,,)|01,01,01}D u v w u v w =≤≤≤≤≤≤111(,,)111411111(,,)(,,)4J x y z J u v w J x y z -=-=--∴==从而11101222014113232DI uvw dudvdw uvw dudvdwu v w====⎰⎰⎰⎰⎰⎰四、将函数()()f x x x π=-在区间[0,]π上展成余弦级数并求该级数在区间[,]ππ-上的和函数。
考研数学2009真题及分析
2009年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题一、选择题：1~8小题，每小题8分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内。
（1）当0x 时，()sin fxxax 与2()ln(1)gxxbx 等价无穷小，则（）（A ）11,6ab （B ）11,6ab （C ）11,6ab （D ）11,6ab 【解析与点评】考点：无穷小量比阶的概念与极限运算法则。
参见水木艾迪考研数学春季基础班教材《考研数学通用辅导讲义》（秦华大学出版社）例 4.67，强化班教材《大学数学强化 299》16、17 等例题。
【答案】A22220000sinsin1cossin limlimlimlim ln(1)()36xxxx xaxxaxaxaax xbxxbxbxbx230sin lim166.x aaxa b b axa 36ab 意味选项B ，C 错误。
再由201cos lim 3x aax bx存在，故有1cos0(0)aaxx ，故a=1，D 错误，所以选A 。
（2）如图，正方形{(,)|||1,||1}xyxy 被其对角线划分为四个区域，(1,2,3,4),cos KKKD DkIyxdxdy，则14max{}KK I =（）【解析与点评】本题利用二重积分区域的对称性及被积函数的奇偶性。
对称性与轮换对称性在几分钟的应用是水木艾迪考研数学重点打造的技巧之一。
参见水木艾迪考研数学春季班教材《考研数学通用辅导讲义----微积分》例 12.3、12.14、12.16、12.17，强化班教材《大学数学同步强化 299》117 题，以及《考研数学三十六技》例 18-4。
24,DD 关于x 轴对称，而cos yx 即被积函数是关于y 的奇函数，所以2413;,IIDD 两区域关于y 轴对称，cos()cos yxyx即被积函数是关于x 的偶函数，由积分的保号性，13{(,)|,01}{(,)|,01}2cos0,2cos0xyyxxxyyxx IyxdxdyIyxdxdy，所以正确答案为A 。
2009年全国硕士研究生入学考试数学二真题及答案
,
) 的光滑曲线，当
22
x 0 时，曲线上任一点处的发现都过原点，当 0 x 时，函数 y(x)满足
y y x 0 。求 y(x)的表达式。
（21）（本题满分 11 分）（I）证明拉格朗日中值定理：若函数 f (x) 在[a,b]上连续，在（a,b）
可导，则存在 (a,b) ，使得 f (b) f (a) f ( )(b a) 。（II）证明：若函数 f (x) 在 x=0
（A）
0 2 A
3B
0
（B）
0 3 A
2B
0
（C）
0 2B
3A
0
（D）
0 3B
2 A
0
100
（8）设
A，P
均为
3
阶矩阵，
PT
为
P
的转置矩阵，且
PT
AＰ＝
010
，若
002
P (1,2,3),Q (1 2,2,3) ，则 QT AQ 为（）
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tan
x)]
（16）（本题满分 10 分）计算不定积分 ln(1 1 x )dx(x 0)
x
（17）（本题满分 10 分）设 z f (x y, x y, xy) ，其中 f 具有 2 阶连续偏导数，求 dz 与
2z xy
（18）（本题满分 10 分）设非负函数 y=y(x)(x 0)，满足微分方程 xy y 2 0 ，当曲线
（23）（本题满分 11 分）设二次型 f (x1, x2, x3) ax12 ax22 (a 1)x32 2x1x3 2x2x3
（I）求二次型 f 的矩阵的所有特征值；（II）若二次型 f 的规范形为 y12 y22 ，求 a 的值。
考研数学历年真题(精典版)
考研数学二历年真题集合版(共计十套)2003年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题2004年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题2005年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题2006年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题2007年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题2008年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题2009年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题2010年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题2011年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题2012年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题2013年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题2013年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题一、选择题:1-8小题,每小题4分,共32分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. 1．设2)(),(sin 1cos παα<=-x x x x ，当0→x 时，()x α （ ）（A ）比x 高阶的无穷小 （B ）比x 低阶的无穷小（C ）与x 同阶但不等价无穷小 （D ）与x 等价无穷小2．已知()x f y =是由方程()1ln cos =+-x y xy 确定，则=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛∞→12lim n f n n （ ） （A ）2 （B ）1 （C ）-1 （D ）-23．设⎩⎨⎧∈∈=]2,[,2),0[,sin )(πππx x x x f ，⎰=x dt t f x F 0)()(则（ ） （Ａ）π=x 为)(x F 的跳跃间断点． （Ｂ）π=x 为)(x F 的可去间断点． （Ｃ）)(x F 在π=x 连续但不可导． （Ｄ）)(x F 在π=x 可导．4．设函数⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥<<-=+-e x xx e x x x f ,ln 11,)1(1)(11αα，且反常积分()dx x f ⎰∞+收敛，则（ ）（A ）2-<α （B ）2>a （C ）02<<-a （D ）20<<α5．设函数()xy f x y z =，其中f 可微，则=∂∂+∂∂yz x z y x （ ） （A ）)('2xy yf （B ）)('2xy yf -（C ）)(2xy f x （D ）)(2xy f x- 6．设k D 是圆域{}1|),(22≤+=y x y x D 的第k 象限的部分，记⎰⎰-=kD k dxdy x y I )(，则（ ） （A ）01>I （B ）02>I （C ）03>I （D ）04>I7．设Ａ，Ｂ，Ｃ均为n 阶矩阵，若ＡＢ＝Ｃ，且Ｂ可逆，则（A ）矩阵C 的行向量组与矩阵A 的行向量组等价．（B ）矩阵C 的列向量组与矩阵A 的列向量组等价．（C ）矩阵C 的行向量组与矩阵B 的行向量组等价．（D ）矩阵C 的列向量组与矩阵B 的列向量组等价．。
1987-2009考研数学二真题【共58页】(可直接打印)
）
(A)
lim
h---++oo
h
[J(a
+ — 1h )
-f(a)]存在．
(B) lim J(a 曰
+ 2h) -f(a
1
+ h)存在．
(C) 四 f(a + h)�勹 f(a - h)存在．
(D) 四f(a) -�(a - h)存在．
四、（本题满分6分） 求微分方程xy'+ (1 - X)y=产(O <x <+oo)满足y(l)=0的特解
+
2 l
=
，结论是
．
(5) ff'(x)dx =
, ff'(2x)dx =
.
二、（本题满分6分）
1). 求极限lim( x----t()
1 了-
ex
1
-
三、（本题满分7分）
设{ x =
y=
5 5
(t (1
-
sin t), cos t),
求d少x'心 dx2 ·
r。 四、（本题满分8分）
计算定积分 xarcsin xdx.
1987年全国硕士研究生招生考试试题
（试卷皿）
-、填空题（本题共5小题，每小题3分，满分15分）
(1)设y= In(1 + ax),其中a为非零常数，则y'=
,y"=
(2)曲线y= arctan x在横坐标为1的点处的切线方程是
；法线方程是
．
r (3)积分中值定理的条件是
(4)
lim
n--+oc
(nn
(2)求山方程 2y -x=(x -y)ln(x -y)所确定的 函数y=y(x)的微分 dy. 7
2009考研数学二真题及答案
2009考研数学二真题及答案一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.（1）函数()3sin x x f x nx-=的可去间断点的个数，则（ ）()A 1.()B 2. ()C 3.()D 无穷多个.【答案】C 【解析】()3sin x x f x xπ-=则当x 取任何整数时，()f x 均无意义故()f x 的间断点有无穷多个，但可去间断点为极限存在的点，故应是30x x -=的解1,2,30,1x =±320032113211131lim lim sin cos 132lim lim sin cos 132lim lim sin cos x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ππππππππππππ→→→→→-→---==--==--== 故可去间断点为3个，即0,1±（2）当0x →时，()sin f x x ax =-与()()2ln 1g x x bx =-是等价无穷小，则（ ）()A 11,6a b ==-. ()B 11,6a b ==.()C 11,6a b =-=-.()D 11,6a b =-=.【答案】 A【解析】2()sin ,()(1)f x x ax g x x ln bx =-=-为等价无穷小，则222200000()sin sin 1cos sin lim lim lim lim lim ()ln(1)()36x x x x x f x x ax x ax a ax a ax g x x bx x bx bx bx→→→→→---==-⋅---洛洛230sin lim 166x a ax a b b axa→==-=-⋅ 36a b ∴=- 故排除,B C 。
另外201cos lim3x a axbx→--存在，蕴含了1cos 0a ax -→()0x →故 1.a =排除D 。
2009考研数学真题及答案详解
2009年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题答案解析一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内. （1）当0x ®时，()sin f x x ax =-与()()2ln 1g x x bx =-等价无穷小，则()A 11,6a b ==-.()B 11,6a b ==.()C 11,6a b =-=-.()D 11,6a b =-=.【答案】 A【解析】2()sin ,()ln(1)f x x ax g x x bx =-=-为等价无穷小，则222200000()sin sin 1cos sinlim lim lim lim lim ()ln(1)()36x x x x x f x x ax x ax a ax a ax g x x bx x bx bx bx ®®®®®---==-×---洛洛230sin lim 166x aax a b b ax a®==-=-× 36a b \=- 故排除,B C 。
另外201cos lim 3x a axbx ®--存在，蕴含了1cos 0a ax -®()0x ®故 1.a =排D 。
所以本题选A 。
（2）如图，正方形(){},1,1x y x y ££被其对角线划分为四个区域()1,2,3,4k D k =，cos kk D I y xdxdy =òò，则{}14max k k I ££=()A 1I .()B 2I . ()C 3I .()D 4I .【答案】A【解析】本题利用二重积分区域的对称性及被积函数的奇偶性。
24,D D 两区域关于x 轴对称，而(,)cos (,)f x y y x f x y -=-=-，即被积函数是关于y 的奇函数，所以240I I ==;13,D D 两区域关于y 轴对称，而(,)cos()cos (,)f x y y x y x f x y -=-==，即被积函数是-1 -1 1 1 xy 1D 2D3D4D关于x 的偶函数，所以{}1(,),012cos 0x y y x x I y xdxdy ³££=>òò；{}3(,),012cos 0x y y x x I y xdxdy £-££=<òò.所以正确答案为A. （3）设函数()y f x =在区间[]1,3-上的图形为：则函数()()0x F x f t dt =ò的图形为()A ()B()C ()D【答案】D【解析】此题为定积分的应用知识考核，由()y f x =的图形可见，其图像与x 轴及y 轴、0x x =所围的图形的代数面积为所求函数()F x ，从而可得出几个方面的特征：①[]0,1x Î时，()0F x £，且单调递减。
历年考研数学二真题与答案09~13年
历年考研数学二真题与答案09~13年2009年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题及答案解析一、选择题：1～8小题,每小题4分,共32分,下列每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内. (1) 函数()3sin x x f x xπ-=的可去间断点的个数为()A 1 ()B 2 ()C 3()D 无穷多个 【答案】C【解析】由于()3sin x x f x xπ-=,则当x 取任何整数时,()f x 均无意义.故()f x 的间断点有无穷多个,但可去间断点为极限存在的点,故应是3x x-=的解1,2,30,1x =±.320032113211131lim lim ,sin cos 132lim lim ,sin cos 132lim lim .sin cos x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ππππππππππππ→→→→→-→---==--==--==故可去间断点为3个,即0,1±.(2) 当0x →时,()sin f x x ax =-与()()2ln 1g x x bx =-是等价无穷小,则()A 11,6a b ==- ()B 11,6a b ==()C 11,6a b =-=-()D 11,6a b =-=【答案】A【解析】 22()sin sin lim lim lim ()ln(1)()x x x f x x ax x axg x x bx x bx →→→--==-⋅- 22002301cos sin lim lim 36sin lim 1,66x x x a ax a axbx bxa ax ab b axa→→→---==-=-⋅洛洛36a b∴=-,故排除,B C .另外,21cos lim 3x a axbx→--存在,蕴含了1cos 0a ax -→()0x →,故 1.a =排除D . 所以本题选A .(3) 设函数(),z f x y =的全微分为dz xdx ydy =+,则点()0,0()A 不是(),f x y 的连续点 ()B 不是(),f x y 的极值点()C 是(),f x y 的极大值点 ()D 是(),f x y 的极小值点 【答案】D【解析】因dz xdx ydy =+可得,z zx y x y∂∂==∂∂.2222221,0,1z z z z A B C x x y y x y∂∂∂∂== === ==∂∂∂∂∂∂,又在()0,0处,0,0z zx y∂∂==∂∂,210AC B -=>,故()0,0为函数(,)z f x y =的一个极小值点.(4) 设函数(),f x y 连续,则()()222411,,yxydx f x y dy dy f x y dx -+=⎰⎰⎰⎰()A ()2411,xdx f x y dy -⎰⎰ ()B ()241,xxdx f x y dy -⎰⎰()C ()2411,ydy f x y dx-⎰⎰()D ()221,ydy f x y dx⎰⎰【答案】C 【解析】222211(,)(,)xxdx f x y dy dy f x y dx+⎰⎰⎰⎰的积分区域为两部分：{}1(,)12,2D x y x x y =≤≤≤≤,{}2(,)12,4D x y y y x y =≤≤≤≤-,将其写成一块{}(,)12,14D x y y x y =≤≤≤≤-, 故二重积分可以表示为2411(,)ydy f x y dx-⎰⎰,故答案为C .(5) 若()f x ''不变号,且曲线()y f x =在点()1,1上的曲率圆为222xy +=,则函数()f x 在区间()1,2内()A 有极值点,无零点 ()B 无极值点,有零点()C 有极值点,有零点 ()D 无极值点,无零点 【答案】B【解析】由题意可知,()f x 是一个凸函数,即()0f x ''<,且在点(1,1)处的曲率322||2(1())y y ρ''=='+,而(1)1f '=-,由此可得,(1)2f ''=-.在[1,2] 上,()(1)10f x f ''≤=-<,即()f x 单调减少,没有极值点.对于(2)(1)()1(1,2)f f f ξξ'-=<- , ∈ ,(拉格朗日中值定理)(2)0f ∴ <而(1)10f =>,由零点定理知,在[1,2] 上,()f x 有零点.故应选B .（6）设函数()y f x =在区间[]1,3-上的图形为：则函数()()0xF x f t dt=⎰的图形为()A ()B()C ()D【答案】D【解析】此题为定积分的应用知识考核，由()y f x =的图形可见，其图像与x 轴及y 轴、0x x =所围的图形的代数面积为所求函数()F x ，从而可得出几个方面的特征： ①[]0,1x ∈时，()0F x ≤，且单调递减。
2009年考研数学二真题答案解析
2009年全国硕士研究生入学统一考试 数学二试题一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.（1）函数()3sin x x f x nx -=的可去间断点的个数，则（ ） ()A 1.()B 2. ()C 3.()D 无穷多个.【答案】C【解析】()3s i n x x f x x π-=则当x 取任何整数时，()f x 均无意义故()f x 的间断点有无穷多个，但可去间断点为极限存在的点，故应是30x x -=的解1,2,30,1x =±320032113211131lim lim sin cos 132lim lim sin cos 132lim lim sin cos x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ππππππππππππ→→→→→-→---==--==--==故可去间断点为3个，即0,1±（2）当0x →时，()sin f x x ax=-与()()2ln 1g x x bx =-是等价无穷小，则（ ）()A 11,6a b ==-.()B 11,6a b ==. ()C 11,6a b =-=-. ()D 11,6a b =-=.【答案】 A【解析】2()sin ,()(1)f x x ax g x x ln bx =-=-为等价无穷小，则 222200000()sin sin 1cos sin lim lim lim lim lim ()ln(1)()36x x x x x f x x ax x ax a ax a axg x x bx x bx bx bx→→→→→---==-⋅---洛洛230sin lim 166x a ax a b b ax a →==-=-⋅ 36a b ∴=- 故排除,B C 。
另外201cos lim3x a axbx →--存在，蕴含了1cos 0a ax -→()0x →故 1.a =排除D 。
2009年考研真题数二
数． 解方程 A 2ξ 3 = ξ 1 ，
2 0⎞ ⎛ 2 ⎜ ⎟ 2 A = ⎜ − 2 − 2 0⎟， ⎜ 4 ⎟ 4 0 ⎝ ⎠
1⎞ ⎛ 2 0 − 1⎞ ⎜ 1 1 0 − ⎟ ⎛ 2 2⎟ ⎟ ⎜ ⎜ ⎜ − 2 − 2 0 1 ⎟ → ⎜ 0 0 0 0 ⎟， ⎟ ⎜0 0 0 0 ⎟ ⎜ 4 4 0 2 − ⎠ ⎜ ⎝ ⎟ ⎝ ⎠
⎛ 1 − 1 − 1 − 1⎞ ⎟ ⎜ 1 1 ⎟ ⎜−1 1 ⎜ 0 − 4 − 2 − 2⎟ ⎠ ⎝ ⎛ 1 − 1 − 1 − 1⎞ ⎜ 1 1 ⎟ → ⎜0 1 ⎟ 2 2 ⎟ ⎜ 0 0 ⎠ ⎝0 0 1 1⎞ ⎛ − ⎟ ⎜1 0 − 2 2⎟ ⎜ ． 1 1 ⎟ → ⎜0 1 ⎜ 2 2 ⎟ 0 ⎟ ⎜0 0 0 ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎛ 1⎞ ⎛ 1 ⎞ ⎜− ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ 2⎟ ⎜ 2 ⎟ 1 ⎟ 1⎟ ⎜ ⎜ 故ξ 2 = + k 1 − ，其中 k1 为任意常 ⎜ 2 ⎟ ⎜ 2⎟ ⎜ 0 ⎟ ⎜ 1 ⎟ ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ ⎠ ⎠ ⎝ ⎝
⎛ 0 3B∗ ⎞ ⎟ （B） ⎜ ⎟ ⎜ 3 A∗ 0 ⎠ ⎝ ⎛ 0 3 A∗ ⎞ ⎟ （D） ⎜ ⎟ ⎜ 3B∗ 0 ⎠ ⎝
2B∗ ⎞ ⎟ 0 ⎟ ⎠ 2 A∗ ⎞ ⎟ 0 ⎟ ⎠
【答案】 （B）
⎛0 【解析】由于分块矩阵 ⎜ ⎝B 0 B A 0
A⎞ ⎟ 的行列式 0⎠
= ( −1) 2×2 A B = 2 × 3 = 6 ，即分块
2
= (λ − a )((λ − a ) 2 + (λ − a ) − 2 ) = (λ − a )(λ − a − 1)(λ − a + 2)
所以二次型的矩阵 A 的特征值为 a − 2, a , a + 1．
考研数学二(一元函数积分学)历年真题试卷汇编1(题后含答案及解析)
考研数学二（一元函数积分学）历年真题试卷汇编1(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．(2012年试题，一)设(k=1，2，3)，则有( )．A．l1先比较l1，l2，由于l2-l1=因此l2＜l1．再比较l2，l3，l3一l2=ξ2＞0，ξ2∈(2π，3π)．因此l3＞l2最后比较l1，l3．l2一l1=令t=x一2π，则l3一l1因此l3＞l1，综上有l3＞l1＞l2，选D．知识模块：一元函数积分学2．(2003年试题，二)设则极限等于( )．A．B．C．D．正确答案：B解析：由题设，所以由于所以选B．[评注]考查定积分的计算和求数列极限．知识模块：一元函数积分学3．(2002年试题，二)设函数f(x)连续，则下列函数中，必为偶函数的是( )．A．B．C．D．正确答案：D解析：由题设，逐一分析4个选项，设f1(x)=则,因此f(x)为奇函数．设f2(x)=则由于f(x)的奇偶性未给定，所以f2(x)的奇偶性不确定，设f3(x)=，则因此f(x)为奇函数．设f4(x)=则,因此f4(x)为偶函数，综上，选D．[评注]的奇偶性与f(x)奇偶性的关系是：若f(x)为奇函数，则为偶函数；若f(x)为偶函数，则为奇函数．知识模块：一元函数积分学4．(1999年试题，二)设则当x→0时，α(x)是β(x)的( )．A．高阶无穷小B．低阶无穷小C．同阶但不等价的无穷小D．等价无穷小正确答案：C解析：由题设，因此当x→0时，α(x)是β(x)的同阶但不等价无穷小，选C．[评注]考查无穷小量的比较及极限的计算．知识模块：一元函数积分学5．(1997年试题，二)设则F(x)( )．A．为正常数B．为负常数C．恒为零D．不为常数正确答案：A解析：由题设，被积函数f(x)=esinx.sinx具有周期2π，所以[评注]判定F(x)是否为常数，看F’(x)是否恒为0即可，然后再取特殊值即可判定F(x)是正常数，还是负常数或恒为0等．知识模块：一元函数积分学6．(2010年试题，4)设m，n是正整数，则反常积分的收敛性( )．A．仅与m的取值有关B．仅与n有关C．与mn取值都有关D．与m，n取值都无关正确答案：D解析：无界函数的反常积分有两个瑕点x=0和x=1，同理，x→0+时，In2(1一x)一x2，设q为一个常数，则又因为m，n是正整数，所以则必然存在q∈(0，1)，使得极限存在．同理，因x→1-时，对于任意小的δ∈(0，1)，有所以，根据无界函数的反常积分的审敛法2可知，该反常积分始终是收敛的，即它的敛散性与m，n均无关，故正确答案为D．知识模块：一元函数积分学7．(2009年试题，一)设函数y=f(x)在区间[一1，3]上的图形如图1—3—4所示，则函数的图形为( )．A．B．C．D．正确答案：D解析：由定积分的性质可知y=f(x)的图像与x轴、y轴及x=x所围图形面积的代数和为所求函数F(x)，观察图形可得出如下结论：(I)当x∈[一1，0]时，F(x)≤0，为线性函数，且单调递增，从而排除A,C选项；(Ⅱ)当x∈[0，1]时，F(x)≤0且单调递减；(Ⅲ)当x∈[1，2]时，F(x)单调递增；(Ⅳ)当x∈[23]时，F(x)为常数函数，且连续，从而排除B选项．综上可知，正确选项为D. 知识模块：一元函数积分学8．(2008年试题，一)如图1—3—5所示，设图中曲线方程为y=f(x)，函数f(x)在区间[0，a]上有连续导数，则定积分表示( )．A．曲边梯形ABOD的面积B．梯形ABOD的面积C．曲边三角形ACD的面积D．三角形ACD的面积正确答案：C解析：定积分因为af(a)是矩形ABOG的面积是曲边梯形ABOD的面积，二者之差就是曲边三角形ACD的面积．故应选C．知识模块：一元函数积分学9．(2007年试题，一)如图1—3—6所示，连续函数y=f(x)在区间[一3，一2]，[2，3]上的图形分别是直径为1的上、下半圆周，在区间[一2，0]，[0，2]上的图形分别是直径为2的上、下半圆周．设则下列结论正确的是( )．A．B．C．D．正确答案：C解析：的大小跟曲线y=f(x)与x轴所围面积大小有关．因为F(3)故应选C．[评注]应用定积分的几何意义做本题较为简便，若直接去计算定积分，则十分复杂．知识模块：一元函数积分学填空题10．(2001年试题，一)_________.正确答案：解析：已知f(x)为连续函数，若f(x)为奇函数，则若f(x)为偶函数，则知识模块：一元函数积分学11．(1999年试题，一)函数在区间上的平均值为__________.正确答案：由平均值的定义知解析：理解平均值的概念，像曲率、弧长等概念也值得注意．知识模块：一元函数积分学12．(2009年试题，二)已知，则k=_________．正确答案：因为，所以极限存在．故k从而k=一2．涉及知识点：一元函数积分学13．(2010年试题，12)当0≤0≤π时，对数螺线r=eθ的弧长为__________.正确答案：题设曲线的弧长涉及知识点：一元函数积分学14．(2003年试题，一)设曲线的极坐标方程为p=eπθ(a>0)，则该曲线上相应于θ，从0变到2π的一段弧与极轴所围成的图形的面积为__________．正确答案：由已知p=eπθ，则由极坐标下平面图形的面积公式知所求图形面积为解析：考查极坐标下平面图形的面积计算，极坐标下的面积微元为参数方程定义的曲线面积微元为dS=y(θ)x’(θ)dθ．知识模块：一元函数积分学15．(2002年试题，一)位于曲线y=xe-x(0≤x解析：无界图形的面积可由广义积分计算．知识模块：一元函数积分学16．(1998年试题，一)曲线y=一x3+x2+2x与x轴围成的图形的面积(不考虑负面积)S=__________．正确答案：先由已知y=一x3+x2+2x可得其与戈轴的三个交点，x1=一1，x2=0，x3=2，作出草图(见图1——11)可有助于用定积分表示面积S，因此涉及知识点：一元函数积分学解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
数学二历年考研真题(1990-2009)
2004年考硕数学（二）真题一. 填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上. ）（1）设2(1)()lim1n n xf x nx →∞-=+, 则()f x 的间断点为x = .（2）设函数()y x 由参数方程 333131x t t y t t ⎧=++⎪⎨=-+⎪⎩ 确定, 则曲线()y y x =向上凸的x 取值范围为____..（3）1+∞=⎰_____..（4）设函数(,)z z x y =由方程232x zz ey -=+确定, 则3z zx y∂∂+=∂∂______. （5）微分方程3()20y x dx xdy +-=满足165x y ==的特解为_______. （6）设矩阵210120001A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭, 矩阵B 满足2ABA BA E **=+, 其中A *为A 的伴随矩阵,E 是单位矩阵, 则B =______-.二. 选择题（本题共8小题，每小题4分，满分32分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求, 把所选项前的字母填在题后的括号内. ） （7）把0x +→时的无穷小量2cos xt dt α=⎰, 20x β=⎰, 30t dt γ=⎰排列起来,使排在后面的是前一个的高阶无穷小, 则正确的排列次序是（A ）,,.αβγ （B ）,,.αγβ（C ）,,.βαγ （D ）,,.βγα []（8）设()(1)f x x x =-, 则（A ）0x =是()f x 的极值点, 但(0,0)不是曲线()y f x =的拐点. （B ）0x =不是()f x 的极值点, 但(0,0)是曲线()y f x =的拐点.（C ）0x =是()f x 的极值点, 且(0,0)是曲线()y f x =的拐点. （D ）0x =不是()f x 的极值点, (0,0)也不是曲线()y f x =的拐点.[]（9）lim n →∞（A ）221ln xdx ⎰. （B ）212ln xdx ⎰.（C ）212ln(1)x dx +⎰. （D ）221ln (1)x dx +⎰[]（10）设函数()f x 连续, 且(0)0f '>, 则存在0δ>, 使得（A ）()f x 在(0,)δ内单调增加. （B ）()f x 在(,0)δ-内单调减小. （C ）对任意的(0,)x δ∈有()(0)f x f >.（D ）对任意的(,0)x δ∈-有()(0)f x f >.[]（11）微分方程21sin y y x x ''+=++的特解形式可设为（A ）2(sin cos )y ax bx c x A x B x *=++++. （B ）2(sin cos )y x ax bx c A x B x *=++++. （C ）2sin y ax bx c A x *=+++.（D ）2cos y ax bx c A x *=+++[]（12）设函数()f u 连续, 区域{}22(,)2D x y x y y =+≤, 则()Df xy dxdy ⎰⎰等于（A ）11()dx f xy dy -⎰⎰.（B ）2002()dy f xy dx ⎰⎰.（C ）2sin 200(sin cos )d f r dr πθθθθ⎰⎰.（D ）2sin 200(sin cos )d f r rdr πθθθθ⎰⎰ []（13）设A 是3阶方阵, 将A 的第1列与第2列交换得B , 再把B 的第2列加到第3列得C , 则满足AQ C =的可逆矩阵Q 为（A ）010100101⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭. （B ）010101001⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭.（C ）010100011⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭. （D ）011100001⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭.[]（14）设A ,B 为满足0AB =的任意两个非零矩阵, 则必有（A ）A 的列向量组线性相关,B 的行向量组线性相关. （B ）A 的列向量组线性相关,B 的列向量组线性相关. （C ）A 的行向量组线性相关,B 的行向量组线性相关.（D ）A 的行向量组线性相关,B 的列向量组线性相关.[]三. 解答题（本题共9小题，满分94分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. ）（15）（本题满分10分）求极限3012cos lim 13x x x x→⎡⎤+⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦.（16）（本题满分10分）设函数()f x 在（,-∞+∞）上有定义, 在区间[0,2]上, 2()(4)f x x x =-, 若对任意的x 都满足()(2)f x k f x =+, 其中k 为常数.(Ⅰ)写出()f x 在[2,0]-上的表达式; (Ⅱ)问k 为何值时, ()f x 在0x =处可导. （17）（本题满分11分） 设2()sin x xf x t dt π+=⎰,(Ⅰ)证明()f x 是以π为周期的周期函数;(Ⅱ)求()f x 的值域.（18）（本题满分12分）曲线2x x e e y -+=与直线0,(0)x x t t ==>及0y =围成一曲边梯形. 该曲边梯形绕x 轴旋转一周得一旋转体, 其体积为()V t , 侧面积为()S t , 在x t =处的底面积为()F t .(Ⅰ)求()()S t V t 的值; (Ⅱ)计算极限()lim ()t S t F t →+∞.（19）（本题满分12分）设2e a b e <<<, 证明2224ln ln ()b a b a e->-. （20）（本题满分11分）某种飞机在机场降落时,为了减小滑行距离,在触地的瞬间,飞机尾部张开减速伞,以增大阻力,使飞机迅速减速并停下来.现有一质量为9000kg 的飞机,着陆时的水平速度为700/km h .经测试,减速伞打开后,飞机所受的总阻力与飞机的速度成正比(比例系数为66.010k =⨯).问从着陆点算起,飞机滑行的最长距离是多少?注 kg 表示千克,/km h 表示千米/小时.（21）（本题满分10分）设22(,)xyz f x y e =-,其中f 具有连续二阶偏导数,求2,,z z z x y x y∂∂∂∂∂∂∂. （22）（本题满分9分） 设有齐次线性方程组1234123412341234(1)0,2(2)220,33(3)30,444(4)0,a x x x x x a x x x x x a x x x x x a x ++++=⎧⎪++++=⎪⎨++++=⎪⎪++++=⎩ 试问a 取何值时, 该方程组有非零解, 并求出其通解.（23）（本题满分9分）设矩阵12314315a -⎛⎫ ⎪-- ⎪ ⎪⎝⎭的特征方程有一个二重根, 求a 的值, 并讨论A 是否可相似对角化.2003年考研数学（二）真题一、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上）（1） 若0→x 时，1)1(412--ax 与x x sin 是等价无穷小，则a= .（2） 设函数y=f(x)由方程4ln 2y x xy =+所确定，则曲线y=f(x)在点(1,1)处的切线方程是 .（3） xy 2=的麦克劳林公式中nx 项的系数是__________.（4） 设曲线的极坐标方程为)0(>=a ea θρ ，则该曲线上相应于θ从0变到π2的一段弧与极轴所围成的图形的面积为__________.（5） 设α为3维列向量，Tα是α的转置. 若⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=111111111T αα，则ααT = .（6） 设三阶方阵A,B 满足E B A B A =--2，其中E 为三阶单位矩阵，若⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=102020101A ，则B =________.二、选择题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）（1）设}{},{},{n n n c b a 均为非负数列，且0lim =∞→n n a ,1lim =∞→n n b ,∞=∞→n n c lim ,则必有(A) n n b a <对任意n 成立. (B) n n c b <对任意n 成立.(C) 极限n n n c a ∞→lim 不存在. (D) 极限n n n c b ∞→lim 不存在. [ ]（2）设dx x xa n n nn n +=⎰+-123101, 则极限n n na ∞→lim 等于 (A) 1)1(23++e . (B) 1)1(231-+-e .(C) 1)1(231++-e . (D) 1)1(23-+e . [ ]（3）已知xxy ln =是微分方程)(y x x y y ϕ+='的解，则)(y x ϕ的表达式为（A ） .22xy - (B) .22x y(C) .22yx - (D) .22y x [ ]（4）设函数f(x)在),(+∞-∞内连续，其导函数的图形如图所示，则f(x)有(A) 一个极小值点和两个极大值点.(B) 两个极小值点和一个极大值点. (C) 两个极小值点和两个极大值点.(D) 三个极小值点和一个极大值点. [ ]（5）01x dx x02tan , 则(A) .121>>I I (B) .121I I >>(C) .112>>I I (D) .112I I >> [ ] （6）设向量组I ：r ααα,,,21Λ可由向量组II ：s βββ,,,21Λ线性表示，则 (A) 当s r <时，向量组II 必线性相关. (B) 当s r >时，向量组II 必线性相关.(C) 当s r <时，向量组I 必线性相关. (D) 当s r >时，向量组I 必线性相关. [ ]三 、（本题满分10分）设函数 ,0,0,0,4sin1,6,arcsin )1ln()(23>=<⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧--+-+=x x x xx ax x e xx ax x f ax问a 为何值时，f(x)在x=0处连续；a 为何值时，x=0是f(x)的可去间断点？四 、（本题满分9分）设函数y=y(x)由参数方程)1(,21ln 2112>⎪⎩⎪⎨⎧=+=⎰+t du u e y t x t u所确定，求.922=x dx y d五 、（本题满分9分）计算不定积分 .)1(232arctan dx x xe x ⎰+六 、（本题满分12分）设函数y=y(x)在),(+∞-∞内具有二阶导数，且)(,0y x x y =≠'是y=y(x)的反函数.(1) 试将x=x(y)所满足的微分方程0))(sin (322=++dy dxx y dyx d 变换为y=y(x)满足的微分方程；(2) 求变换后的微分方程满足初始条件23)0(,0)0(='=y y 的解. 七 、（本题满分12分）讨论曲线k x y +=ln 4与x x y 4ln 4+=的交点个数.八 、（本题满分12分）设位于第一象限的曲线y=f(x)过点)21,22(，其上任一点P(x,y)处的法线与y 轴的交点为Q ，且线段PQ 被x 轴平分. (1) 求曲线 y=f(x)的方程；(2) 已知曲线y=sinx 在],0[π上的弧长为l ，试用l 表示曲线y=f(x)的弧长s.九 、（本题满分10分）有一平底容器，其内侧壁是由曲线)0)((≥=y y x ϕ绕y 轴旋转而成的旋转曲面（如图），容器的底面圆的半径为2 m.根据设计要求，当以min /33m 的速率向容器内注入液体时，液面的面积将以min /2m π的速率均匀扩大（假设注入液体前，容器内无液体）.(1) 根据t 时刻液面的面积，写出t 与)(y ϕ之间的关系式； (2) 求曲线)(y x ϕ=的方程.(注：m 表示长度单位米，min 表示时间单位分.)十 、（本题满分10分）设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)内可导，且.0)(>'x f 若极限ax a x f ax --+→)2(lim 存在，证明：(1) 在(a,b)内f(x)>0; (2)在(a,b)内存在点ξ，使)(2)(22ξξf dxx f a b ba=-⎰； (3) 在(a,b) 内存在与(2)中ξ相异的点η，使⎰-=-'badx x f a a b f .)(2))((22ξξη十 一、（本题满分10分）若矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=60028022a A 相似于对角阵Λ，试确定常数a 的值；并求可逆矩阵P 使.1Λ=-AP P十二 、（本题满分8分）已知平面上三条不同直线的方程分别为:1l 032=++c by ax ， :2l 032=++a cy bx ， :3l 032=++b ay cx . 试证这三条直线交于一点的充分必要条件为.0=++c b aI、。
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一、选择题：1～8小题,每小题4分,共32分,下列每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的,把所选项前的字母填在答题纸指定位置上.
(1) 函数 的可去间断点的个数为 ( )
(A) 1.(B) 2.(C) 3.(D) 无穷多个.
(2) 当 时, 与 是等价无穷小,则 ( )
③ 时， 为常函数.
④ 时， 为线性函数，单调递增.
⑤由于F(x)为连续函数
结合这些特点，可见正确选项为 .
（7）设 ， 均为2阶矩阵， 分别为 ， 的伴随矩阵.若 ，则分块矩阵 的伴随矩阵为（ ）
. .
ห้องสมุดไป่ตู้. .
【答案】B
【解析】根据 若
分块矩阵 的行列式 即分块矩阵可逆
（8）设 均为3阶矩阵， 为 的转置矩阵，且 ，若
(17)(本题满分10分)
设 ,其中 具有二阶连续偏导数,求 与 .
(18)(本题满分10分)
设非负函数 满足微分方程 .当曲线 过原点时,其与直线 及 围成的平面区域 的面积为2,求 绕 轴旋转所得旋转体的体积.
(19)(本题满分10分)
计算二重积分 ,其中 .
(20)(本题满分12分)
设 是区间 内过点 的光滑曲线,当 时,曲线上任一点处的法线都过原点；当 时,函数 满足 .求函数 的表达式.
，则 为（ ）
. .
. .
【答案】A
【解析】 ，即：
二、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分.请将答案写在答题纸指定位置上.
（9）曲线 在 处的切线方程为.
【答案】
【解析】
所以
所以切线方程为 .
（10）已知 ,则 .
【答案】
【解析】
因为极限存在所以
（11） .
【答案】0
【解析】令
所以
即
（12）设 是由方程 确定的隐函数，则 .
（3）设函数 的全微分为 ，则点 （ ）
不是 的连续点. 不是 的极值点.
是 的极大值点. 是 的极小值点.
【答案】D
【解析】因 可得
又在（0，0）处，
故（0，0）为函数 的一个极小值点.
（4）设函数 连续，则 （ ）
. .
. .
【答案】C
【解析】 的积分区域为两部分：
，
将其写成一块
故二重积分可以表示为 ，故答案为C.
设二次型
(Ⅰ)求二次型 的矩阵的所有特征值；
(Ⅱ)若二次型 的规范形为 ,求 的值.
2009年全国硕士研究生入学统一考试
数学二试题答案
一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.
（1）函数 的可去间断点的个数为（ ）
由零点定理知，在 上， 有零点.故应选（B）.
（6）设函数 在区间 上的图形为
则函数 的图形为（ ）
. .
. .
【答案】D
【解析】此题为定积分的应用知识考核，由 的图形可见，其图像与 轴及 轴、 所围的图形的代数面积为所求函数 ，从而可得出几个方面的特征：
① 时， ，且单调递减.
② 时， 单调递增.
（5）若 不变号，且曲线 在点 上的曲率圆为 ，则 在区间 内（ ）
有极值点，无零点. 无极值点，有零点.
有极值点，有零点. 无极值点，无零点.
【答案】B
【解析】由题意可知， 是一个凸函数，即 ，且在点 处的曲率 ，而 ，由此可得，
在 上， ，即 单调减少，没有极值点.
对于 ，（拉格朗日中值定理）
而
(A) .(B) .
(C) .(D) .
(3) 设函数 的全微分为 ,则点 ( )
(A) 不是 的连续点.(B) 不是 的极值点.
(C) 是 的极大值点. (D) 是 的极小值点.
(4) 设函数 连续,则 ( )
(A) .(B) .
(C) .(D) .
(5) 若 不变号,且曲线 在点 处的曲率圆为 ,则函数
(14)设 为3维列向量， 为 的转置，若矩阵 相似于 ，则 .
【答案】
【解析】因为 相似于 ，根据相似矩阵有相同的特征值，得到 得特征值是 而 是一个常数，是矩阵 的对角元素之和，则
三、解答题：15－23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
在区间 内 ( )
(A) 有极值点,无零点.(B) 无极值点,有零点.
(C) 有极值点,有零点.(D) 无极值点,无零点.
(6) 设函数 在区间 上的图形为
则函数 的图形为 ( )
(A) (B)
(C) (D)
(7) 设 均为2阶矩阵, 分别为 的伴随矩阵,若 ,则分块矩阵
的伴随矩阵为 ( )
(A) .(B) .
(21)(本题满分11分)
(Ⅰ)证明拉格朗日中值定理：若函数 在 上连续,在 可导,则存在 ,使得 .
(Ⅱ)证明：若函数 在 处连续,在 内可导,且 ,则 存在,且 .
(22)(本题满分11分)
设
,
(Ⅰ)求满足 的所有向量 ；
(Ⅱ)对(Ⅰ)中的任意向量 ,证明： 线性无关.
(23)(本题满分11分)
1. 2. 3. 无穷多个.
【答案】C
【解析】
则当 取任何整数时， 均无意义
故 的间断点有无穷多个，但可去间断点为极限存在的点，故应是 的解
故可去间断点为3个，即
（2）当 时， 与 是等价无穷小，则（ ）
. . . .
【答案】A
【解析】 为等价无穷小，则
故排除 .
另外 存在，蕴含了 故 排除 .
所以本题选A.
【答案】
【解析】对方程 两边关于 求导有 ，得
对 再次求导可得 ，
得
当 时， ， ，代入 得
（13）函数 在区间 上的最小值为.
【答案】
【解析】因为 ，令 得驻点为 .
又 ，得 ，
故 为 的极小值点，此时 ，
又当 时， ； 时， ，故 在 上递减，在 上递增.
而 ， ，
所以 在区间 上的最小值为 .
(C) .(D) .
(8) 设 均为3阶矩阵, 为 的转置矩阵,且 .
若 ,则 为 ( )
(A) .(B) .
(C) .(D) .
二、填空题：9-14小题,每小题4分,共24分,请将答案写在答题纸指定位置上.
(9) 曲线 在点 处的切线方程为.
(10) 已知 ,则 .
(11) .
(12) 设 是由方程 确定的隐函数,则 .
(13) 函数 在区间 上的最小值为.
(14) 设 为3维列向量, 为 的转置,若矩阵 相似于 ,则
_____________.
三、解答题：15－23小题,共94分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
(15)(本题满分9分)
求极限
(16)(本题满分10 分)
计算不定积分 .