7.4 Dirac符号
量子力学_7.1量子态的不同表象和幺正变换
(10)
0 1/ 2 ( pmn ) ia 0 0
1/ 2 0 2/2 0
0 2/2 0 3/ 2
0 3 / 2 0 0
(11)
7.1 量子态的不同表象，么正变换
量子力学教程(第二版)
而
( k , j ) kj (10)
ak k (11)
对于任意态矢量 ，可以用它们展开 其中
k
ak ( k , )
这一组数 （a1 , a2 ,）就是态(矢)在F表象中的表示， 它们分别是态矢与各基矢的标积. 与平常解析几何不同的是： ①这里的“矢量”(量子态)一般是复量； ②空间维数可以是无穷的，甚至不可数的. 现在考虑同一个态在另一组力学量完全集 F′中的表示. F′表象的基矢,即F′的本征态 'a ,它们满足正交归一性
四、不同表象中基矢的关系 量子态和力学量(算符)的不同表示形式,称为表象。
形式上与此类似，在量子力学中，按态叠加原理，任何一个量 子态，可以看成抽象的Hilbert空间中的一个“矢量”.体系的任何一 组对易力学量完全集F的共同本征态，可以用来构成此空间的一组 正交归一完备的基矢（称为F表象）
或记为
A1 A1 R ( ) A2 A2
cos R( ) sin sin cos (6)
把A在两坐标中的表示联系起来的变换矩阵 矩阵R的矩阵元是两个坐标系的基矢之间的标积， 它表示基矢之间的关系.故当R 给定，则任何一个矢 量 在 两 坐 标 系 间 的 关 系 也 随 之 确 定 .
(12)
是一个对角矩阵 任何力学量在自身表象中的表示都是对角矩阵.
狄拉克符号(Dirac)
狄拉克符号（Dirac ）1狄拉克符号量子体系状态的描述，前述波动力学和矩阵力学两种方法，其共同特点是：与体系有关的所有信息都有波函数给出；极为重要的是波函数可以写成各类力学量的本征函数的线性组合，而展开系数模平方具有力学量概率的含义。
问题：能否不从单一角度描述体系，而用统一的方式全面概括体系的所有性质及概念？狄拉克从数学理论方面，构造了一个抽象的、一般矢量--态矢，并引进了一套“狄拉克符号”，简洁、灵活地描述量子力学体系的状态。
1.1狄拉克符号的引入 1.1.1 态空间任何力学量完全集的本征函数系{})(x u n 作为基矢构成希尔伯特空间（以离散谱为例），微观体系的状态波函数ψ作为该空间的一个态矢，有∑=nn n u a ψ （1）n a 即为态矢ψ在基矢n u 上的分量，态矢ψ在所有基矢{}n u 上的分量{}n a 构成了态矢在{}n u 这个表象中的表示（矩阵）⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛= n a a a 21ψ (),,,,**2*1n a a a =+ψ （2）微观体系所有可以实现的状态都与此空间中某个态矢相对应，故称该空间为态空间注意：（1）式中的n u 只是表示某力学量的本征态，而抛开其具体表象；（2）式的右方是ψ的{}n u 表象1.1.2 态空间中内积（标积）的定义设态空间中两个任意态矢A ψ与B ψ在同一表象{}n u 中的分量表示各为{}n a 与{}n b ，则两态矢内积的定义为()∑=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=+n n n n n B Ab a b b b a a a *21**2*1,,,, ψψ （3） 注意：A B B A ψψψψ++≠1.1.3狄拉克符号的引入态空间中的ψ与+ψ在形式上具有明显的不对称性，狄拉克认为它们应该分属于两个不同的空间⇒伴随空间引入符号>，称为右矢 [Ket 矢，Bra 矢（Bracket 括号><）]微观体系的一个量子态ψ用>ψ表示，>ψ的集合构成右矢空间，>ψ在右矢空间中的分量表示可记为矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=> n a a a 21ψ （4）约定：右矢空间的态矢 ,,,B A ψψψ一律用字母 ,,,>>>B A ψψψ表示力学量的本征态矢一律用量子数 ,,,2,1>>>>nlm n ，或连续本征值>λ表示 引入符号 <，称为左矢 微观体系的一个量子态ψ也可用ψ<表示，但在同一表象中>ψ与ψ<的分量互为共轭复数(),,,,**2*1n a a a =<ψ （5）ψ<的集合构成左矢空间引入狄拉克符号后，任意两个态矢>>B A ,的内积定义为同一表象下伴随空间中相应分量之积的和∑=++>=<nnn n n b a b a b a A B ***11| （6） 这里*||>>=<<B A A B >>λ|,|n 仍为抽象的本征矢 1.2 基矢的狄拉克符号表示 1.2.1 离散谱力学量完全集的本征函数{}n u 具有离散的本征值{}n Q 时，对应的本征矢>>>n |,2|,1| 或>nlm |等，构成正交归一化的完全系，可以作为矢量空间的基矢，作为基矢可表示为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛>= 0011| ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛>= 0102| …… ←⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛>= 010|n 第n 行 （7）（1）基矢具有正交归一性 mn n m δ>=<| （8） （2）展开定理 ∑>>=nn n a ||ψ （9）两边同时左乘|m <得∑∑==><>=<nm mn n nn a a n m a m δψ|| （10）说明展开系数是态矢在基矢上的分量 （3）封闭性 把>=<ψ|n a n 代入>ψ|中得，><>>=∑ψψ|||n n n所以 1||=<>∑n n n（11）称为基矢的封闭性 ※狄拉克符号运算中非常重要的关系式 1.2.2 连续谱当力学量本征值构成连续谱λ时，对应的基矢记为{}>λ|（1）正交归一性 )(|λλδλλ'->='< （12） （2）展开定理 ⎰'>'>=λλψλd a || （13） >=<ψλλ|a （14） （3）封闭性 1||=<>⎰λλλd （15）注意： >>>λ|,|,|nlm n 只表示某力学量抽象的本征矢，例如>'x |只表示本征值为x '的力学量x 的本征矢，而具体的基矢形式为：x 表象中)()(|x x x u x x '-=>='<δ，动量表象中px ip e x u x p -=>=<2/1)2(1)(|π，同理 )(|x u n x n >=< )(|p u n p n >=< 1|>=<n n ),,(|ϕθψr nlm x nlm >=< px ie p x2/1)2(1|π>=< 1.3 态矢在基矢下的形式 1.3.1 离散谱基矢为{}>n |，态矢记为>ψ|或 ,|,|>>B A ，用基矢展开><>>=⋅>=∑ψψψ|||1|n n n（16）展开系数>=<ψ|n a n 构成>ψ|在>n |表象中的分量，也可写成⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛><><><=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛>= ψψψψ||2|1|21n a a a n （17） 相应的左矢 ∑><<=<nn n |||ψψ （18）()()><><><==<n a a a n |2|1||**2*1ψψψψ （19）1.3.2 连续谱⎰><>>=ψλλλψ|||d （20） 或 ⎰<><=<|||λλλψψd （21）1.3.3 注意：>ψ|只表示一个抽象的态矢，只有),(|t x x ψψ>=<为x 表象的波函数；n a n >=<ψ| 为>n |表象的波函数1.4 线性厄米算符的作用1.4.1 离散谱（1）算符作用在基矢上∑∑>>=><>=∧∧nnnm n F m F n n m F ||||| （22）算符矩阵元 >=<∧m F n F nm || （23） （2）算符作用在态矢上（算符方程）>>=∧ϕψ||F （24） 即有 >>=<<∧ϕψ|||n F n （25） 或 ∑∑><>=><<>=<∧mmnm m F m m F n n ψψϕ||||| （26）注意：（24）式是抽象的算符方程，（25），（26）式是具体表象中的算符方程，><><ϕψ|,|n m 是算符作用前、后的态矢在{}>n |表象中的分量，nm F 也是具体表象中的矩阵元。
量子力学中要用到的数学知识大汇总
量子力学中要用到的数学知识大汇总第一章矩阵1.1矩阵的由来、定义和运算方法1.矩阵的由来2.矩阵的定义3.矩阵的相等4.矩阵的加减法5.矩阵和数的乘法6.矩阵和矩阵的乘法7.转置矩阵8.零矩阵9.矩阵的分块1.2行矩阵和列矩阵1.行矩阵和列矩阵2.行矢和列矢3.Dirac符号4.矢量的标积和矢量的正交5.矢量的长度或模6.右矢与左矢的乘积1.3方阵1.方阵和对角阵2.三对角阵3.单位矩阵和纯量矩阵4.Hermite矩阵5.方阵的行列式，奇异和非奇异方阵6.方阵的迹7.方阵之逆8.酉阵和正交阵9.酉阵的性质10.准对角方阵11.下三角阵和上三角阵12.对称方阵的平方根13.正定方阵14.Jordan块和Jordan标准型1.4行列式求值和矩阵求逆1.行列式的展开/doc/4b14802796.html,place展开定理3.三角阵的行列式4.行列式的初等变换及其性质5.利用三角化求行列式的值6.对称正定方阵的平方根7.平方根法求对称正定方阵的行列之值8.平方根法求方阵之逆9.解方程组法求方阵之逆10.伴随矩阵11.伴随矩阵法求方阵之逆1.5线性代数方程组求解1.线性代数方程组的矩阵表示2.用Cramer法则求解线性代数方程组3.Gauss消元法解线性代数方程组4.平方根法解线性代数方程组1.6本征值和本征矢量的计算1.主阵的本征方程、本征值和本征矢量2.GayleyHamilton定理及其应用3.本征矢量的主定理4.Hermite方阵的对角化——计算本征值和本征矢量的Jacobi法1.7线性变换1.线性变换的矩阵表示2.矢量的酉变换3.相似变换4.等价矩阵5.二次型6.标准型7.方阵的对角化参考文献习题第二章量子力学基础2.1波动和微粒的矛盾统一1.从经典力学到量子力学2.光的波粒二象性3.驻波的波动方程4.电子和其它实物的波动性——de Broglie关系式5.de Broglie波的实验根据6.de Broglie波的统计意义7.态叠加原理8.动量的几率——以动量为自变量的波函数2.2量子力学基本方程——Schrdinger方程1.Schrdinger方程第一式2.Schrdinger方程第一式的算符表示3.Schrdinger方程第二式4.波函数的物理意义5.力学量的平均值(由坐标波函数计算)6.力学量的平均值(由动量波函数计算)2.3算符1.算符的加法和乘法2.算符的对易3.算符的平方4.线性算符5.本征函数、本征值和本征方程6.Hermite算符7.Hermite算符本征函数的正交性——非简并态8.简并本征函数的正交化9.Hermite算符本征函数的完全性10.波函数展开为本征函数的叠加11.连续谱的本征函数12.Dirac δ函数13.动量的本征函数的归一化14.Heaviside阶梯函数和δ函数2.4量子力学的基本假设1.公理方法2.基本概念3.假设Ⅰ——状态函数和几率4.假设Ⅱ——力学量与线性Hermite算符5.假设Ⅲ——力学量的本征状态和本征值6.假设Ⅳ——态随时间变化的Schrdinger方程7.假设Ⅴ——Pauli互不相容原理2.5关于定态的一些重要推论1.定态的Schrdinger方程2.力学量具有确定值的条件3.不同力学量同时具有确定值的条件4.动量和坐标算符的对易规律5.Hesienberg测不准关系式2.6运动方程1.Heisenberg运动方程——力学量随时间的变化2.量子Poisson括号3.力学量守恒的条件4.几率流密度和粒子数守恒定律5.质量和电荷守恒定律6.Ehrenfest定理2.7维里定理和HellmannFeynman定理1.超维里定理2.维里定理3.Euler齐次函数定理4.维里定理的某些简化形式5.HellmannFeynman定理2.8表示论1.态的表示2.算符的表示3.另一套量子力学的基本假设参考文献习题第三章简单体系的精确解3.1自由粒子1.一维自由粒子2.三维自由粒子3.2势阱中的粒子1.一维无限深的势阱2.多烯烃的自由电子模型3.三维长方势阱4.圆柱体自由电子模型3.3隧道效应——方形势垒1.隧道效应2.Schrdinger方程3.波函数中系数的确定(E＞V0)4.贯穿系数与反射系数(E＞V0)5.能量小于势垒的粒子(E＜V0)3.4二阶线性常微分方程的级数解法1.二阶线性常微分方程2.级数解法3.正则奇点邻域的级数解法4.若干二阶线性微分方程3.5线性谐振子和Hermite多项式1.线性谐振子2.幂级数法解U方程3.谐振子能量的量子化4.Hermite微分方程与Hermite多项式5.Hermite多项式的递推公式6.Hermite多项式的微分式定义——Rodrigues公式7.Hermite多项式的母函数展开式定义8.谐振子的波函数——Hermite正交函数9.矩阵元的计算参考文献习题第四章氢原子和类氢离子4.1Schrdinger方程1.氢原子质心的平移运动2.氢原子中电子对核的相对运动3.氢原子作为两个质点的体系4.坐标的变换5.变量分离6.球坐标系7.球坐标系中的变量分离8.Φ方程之解9.θ方程之解10.R方程之解11.能级4.2Legendre多项式1.微分式定义2.幂级数定义3.母函数展开式定义和递推公式4.母函数的展开5.正交性6.归一化4.3连带Legendre函数1.微分式定义2.递推公式3.正交性4.归一化4.4laguerre多项式和连带Laguerre函数1.母函数展开式定义2.微分式定义3.级数定义4.积分性质5.连带Laguerre多项式和连带Laguerre函数6.连带Laguerre多项式的母函数展开式定义7.连带Laguerre多项式的级数定义8.连带Laguerre函数的积分性质4.5类氢原子的波函数1.类氢原子的波函数2.氢原子的基态3.径向分布4.角度分布5.电子云的空间分布6.波函数的等值线图和立体表示图参考文献习题第五章角动量和自旋5.1角动量算符1.经典力学中的角动量2.角动量算符3.对易规则4.Hamilton算符与角动量算符的对易规则5.三??算符具有相同本征函数的条件6.角动量的本征函数5.2阶梯算符法求角动量的本征值1.角动量算符的对易规则2.阶梯算符的性质3.阶梯算符的作用4.角动量的本征值5.3多质点体系的角动量算符1.经典力学中多质点体系的角动量2.总角动量算符及其对易规则3.多电子原子的Hamilton算符的对易规则5.4电子自旋1.电子自旋2.假设Ⅰ——自旋角动量算符的对易规则3.假设Ⅱ——单电子自旋算符的本征态和本征值4.电子自旋的阶梯算符5.自旋算符的矩阵表示6.假设Ⅲ——自由电子的g因子参考文献习题第六章变分法和微扰理论6.1多电子体系的Schrdinger方程1.原子单位2.多电子分子的Schrdinger方程3.BornOppenheimer原理4.多电子体系的Schrdinger方程举例5.多电子体系的Schrdinger方程的近似解法6.2变分法1.最低能量原理2.变分法3.氦原子和类氦离子的变分处理(一)4.氦原子和类氦离子的变分处理(二)5.激发态的变分原理6.线性变分法7.变分法的推广6.3定态微扰理论1.非简并能级的一级微扰理论2.基态氦原子或类氦离子3.简并能级的一级微扰理论4.微扰法在氢原子中的应用5.二级微扰理论6.4含时微扰理论与量子跃迁1.含时微扰理论2.光的吸收与发射3.激发态的平均寿命4.光谱选律5.偶极强度与吸收系数的关系参考文献习题第七章群论基础知识7.1群的定义和实例1.群的定义2.群的几个例子3.乘法表和重排定理4.同构和同态7.2子群、生成元和直积1.子群2.生成元3.直积7.3陪集、共轭元素和类1.陪集/doc/4b14802796.html,grange定理3.共轭元素和类4.置换群的类7.4共轭子群、正规子群和商群1.共轭子群2.正规子群(自轭子群)3.商群和同态定理7.5对称操作群1.对称操作2.操作的乘积3.对称操作群4.共轭对称元素系，同轭对称操作类和两个操作可对易的条件5.生成元、子群和直积7.6分子所属对称群的确定1.单轴群2.双面群3.立方体群4.分子对称群的生成元和生成关系5.晶体学点群6.分子所属对称群的确定参考文献习题第八章群表示理论8.1对称操作的矩阵表示1.基矢变换和坐标变换2.物体绕任意轴的旋转，Euler角3.对称操作的矩阵表示4.函数的变换8.2群的表示1.群表示的定义2.等价表示和特征标3.可约表示和不可约表示，不变子空间4.Schur引理5.正交关系6.正交关系示例7.投影算符和表示空间的约化8.直积群的表示9.实表示和复表示8.3表示的直积及其分解1.表示的直积2.对称积和反对称积3.直积表示的分解4.ClebschGordan系数8.4某些群的不可约表示1.循环群2.互换群3.点群4.回转群5.旋转群6.双值表示8.5群论在量子化学中的应用1.态的分类和谱项2.能级的分裂3.时间反演对称性和Kramers简并4.零矩阵元的鉴别和光谱选律5.矩阵元的计算，不可约张量方法6.久期行列式的劈因子7.不可约表示基的构成8.杂化轨道的构成9.轨道对称性守恒原理这些可是爱考的专业课老师（如果俺考研成功她可就是俺滴学姐啦）珍藏不外漏的当年的笔记啊。
slide-3
B, C来表示。假如体系中还有另一组与其相互作用的核，而这组核的化学 位移与原来的一组核很不相同，则用另一组字母X, Y, Z来表示，如果还有 第三组化学位移与之差别很大的核，则用K, L, M来表示。因此自旋体系的 一般表示为 （ABC…)(KLM…)(XYZ…)
3.2.2 化学等价和磁等价
化学等价：如果分子中两个或多个核（同类核）处于相同化学环境时，这些 核被称为化学等价的。化学等价的核有相同的化学位移。
参考文献：
有机化合物的波谱解析
Spectrometric Identification of Organic Compounds Robert M. Silverstein; Francis X. Webster; David J. Kiemle 药明康德新药开发有限公司分析部 译; 秦川 校 华东理工大学出版社
O
Cl2CHCHO AX
Cl2CHCH2NO2 AX2
H H3C O
CH3 H
CH 3 CH 3 O CH CH 3
AX3 CH AX CH2 AX2 CH3 AX3
AX6
若一个I = ½ 的核和n个等性的I = ½ 的核彼此发生J偶合，且偶合常数
相等，则该核的信号是n+1条多重线，谱线强度满足 ’宝塔式’ 规则：
3J
> 4J，nJ（n 4）很难观测到。
3.1.2 自旋偶合机制
Dirac矢量模型: 该模型由下列几条原则构成：
由于费米接触作用，核自旋和其核外电子自旋方向相反（为正）；
按照鲍利原理，在同一轨道上的一对电子其自旋方向相反； 按照洪特规则，占据不同轨道的围绕同一原子的几个电子其自旋方向相同。
局部磁场源，若核自旋A与核自旋X相邻，则核A所感受到的局部磁场为：
26个字母和数字符号ASCII码对照表
26个字母和数字符号ASCII码对照表目前计算机中用得最广泛的字符集及其编码，是由美国国家标准局(ANSI)制定的ASCII码（American Standard Code for Information Interchange，美国标准信息交换码），它已被国际标准化组织（ISO）定为国际标准，称为ISO 646标准。
适用于所有拉丁文字字母，ASCII码有7位码和8位码两种形式。
因为1位二进制数可以表示（21=）2种状态：0、1；而 2位二进制数可以表示（22）=4种状态：00、01、10、11；依次类推，7位二进制数可以表示（27=）128种状态，每种状态都唯一地编为一个7 位的二进制码，对应一个字符（或控制码），这些码可以排列成一个十进制序号0～127。
所以，7位ASCII码是用七位二进制数进行编码的，可以表示 128个字符。
第0～32号及第127号(共34个)是控制字符或通讯专用字符，如控制符：LF（换行）、CR （回车）、FF（换页）、DEL（删除）、BEL（振铃）等；通讯专用字符：SOH（文头）、EOT（文尾）、ACK（确认）等；第33～126号(共94个)是字符，其中第48～57号为0～9十个阿拉伯数字；65～90号为26个大写英文字母，97～122号为26个小写英文字母，其余为一些标点符号、运算符号等。
注意：在计算机的存储单元中，一个ASCII码值占一个字节(8个二进制位)，其最高位(b7)用作奇偶校验位。
所谓奇偶校验，是指在代码传送过程中用来检验是否出现错误的一种方法，一般分奇校验和偶校验两种。
奇校验规定：正确的代码一个字节中1的个数必须是奇数，若非奇数，则在最高位b7添1；偶校验规定：正确的代码一个字节中1的个数必须是偶数，若非偶数，则在最高位b7添1。
为了便于查询，以下列出ASCII码表：常用ASCII 码对照表。
Maple常用计算命令
Maple常用计算命令常用计算命令《Maple 指令》7.0版本第1xx xx数1.1 复数Re,Im - 返回复数型表达式的实部/虚部abs - 函数argument - 复数的幅角函数conjugate - 返回共轭复数csgn - 实数和复数表达式的符号函数signum - 实数和复数表达式的sign 函数5 1.2 MAPLE 常数已知的变量名称指数常数（以自然对数为底）I - x^2 = -1 的根infinity 无穷大1.3 整数函数! - 阶乘函数irem, iquo - 整数的余数/商isprime - 素数测试isqrfree - 无整数平方的因数分解max, min - 数的最大值/最小值mod, modp, mods - 计算对m 的整数模rand - 随机数生成器randomize - 重置随机数生成器1.4 素数Randpoly, Randprime - 有限域的随机多项式/首一素数多项式ithprime - 确定第i 个素数nextprime, prevprime - 确定下一个最大/最小素数1.5 数的进制转换convert/base - 基数之间的转换convert/binary - 转换为二进制形式convert/decimal - 转换为10 进制convert/double - 将双精度浮点数由一种形式转换为另一种形式convert/float - 转换为浮点数convert/hex - 转换为十六进制形式convert/metric - 转换为公制单位convert/octal - 转换为八进制形式1.6 数的类型检查type - 数的类型检查函数第2xx 初等数学2.1 初等函数product - 确定乘积求和不确定乘积exp - 指数函数sum - 确定求和不确定求和sqrt - 计算xx算术运算符+, -, *, /, ^add, mul - 值序列的加法/乘法2.2 三角函数arcsin, arcsinh, . - 反三角函数/反双曲函数sin, sinh, . - 三角函数/双曲函数2.3 LOGARITHMS 函数dilog - Dilogarithm 函数ln, log, log10 - 自然对数/一般对数，常用对数2.4 类型转换convert/`+`,convert/`*` - 转换为求和/乘积convert/hypergeom - 将求和转换为超越函数convert/degrees - 将弧度转换为度convert/expsincos - 将trig 函数转换为exp, sin, cos convert/Ei - 转换为指数积分convert/exp - 将trig 函数转换为指数函数convert/ln - 将arctrig 转换为对数函数polar - 转换为极坐标形式convert/radians - 将度转换为弧度convert/sincos - 将trig 函数转换为sin, cos, sinh, cosh convert/tan - 将trig 函数转换为tanconvert/trig - 将指数函数转换为三角函数和双曲函数第3xx 求值3.1 假设功能3.2 求值Eval - 对一个表达式求值eval - 求值evala - 在代数数（或者函数）域求值evalb - 按照一个求值evalc - 在复数域上符号求值evalf - 使用浮点算法求值evalhf - 用硬件浮点数算法对表达式求值evalm - 对矩阵表达式求值evaln - 求值到一个名称evalr, shake - 用区间算法求表达式的值和计算范围evalrC - 用复数区间算法对表达式求值value - 求值的惰性函数第4xx 求根，xx4.1 数值解fsolve - 利用浮点数算法求解solve/floats - 包含浮点数的表达式4.2 最优化extrema - 寻找一个表达式的相对极值minimize, maximize - 计算最小值/最大值maxnorm - 一个多项式无穷大范数4.3 求根allvalues -计算含有RootOfs的表达式的所有可能值isqrt, iroot - 整数的xx/第n 次根realroot - 一个多项式的实数根的隔离区间root - 一个代数表达式的第n 阶根RootOf - 方程根的表示surd - 非主根函数roots - 一个多项式对一个变量的精确根turm, sturmseq - 多项式在区间上的实数根数和实根序列4.4 xx eliminate - 消去一个方程组中的某些变量isolve - 求解方程的整数解solvefor - 求解一个方程组的一个或者多个变量isolate - 隔离一个方程左边的一个子表达式singular - 寻找一个表达式的极点solve/identity - 求解包含属性的表达式solve/ineqs - 求解不等式solve/linear - 求解线性方程组solve/radical - 求解含有未知量根式的方程solve/scalar - 标量情况（单变量和方程）solve/series - 求解含有一般级数的方程solve/system - 解方程组或不等式组第5xx 操作表达式5.1 处理表达式Norm - 代数数(或者函数) 的标准型Power - 惰性幂函数Powmod -带余数的惰性幂函数Primfield - 代数域的原始元素Trace - 求一个代数数或者函数的迹charfcn - 表达式和集合的特征函数Indets - 找一个表达式的变元invfunc - 函数表的逆powmod - 带余数的幂函数Risidue - 计算一个表达式的代数余expand - 表达式展开Expand - 展开表达式的惰性形式expandoff/expandon - 抑制/不抑制函数展开5.2 因式分解Afactor - 绝对因式分解的惰性形式Afactors - 绝对因式分解分解项列表的惰性形式Berlekamp - 因式分解的Berlekamp 显式度factor - 多元的多项式的因式分解factors - 多元多项式的因式分解列表Factor - 函数factor 的惰性形式Factors - 函数factors 的惰性形式polytools[splits] - 多项式的完全因式分解第6xx 化简6.1 表达式化简118simplify - 给一个表达式实施化简规则simplify/@ - 利用运算符化简表达式simplify/Ei - 利用指数积分化简表达式simplify/GAMMA - 利用GAMMA 函数进行化简simplify/RootOf - 用RootOf 函数化简表达式simplify/wronskian - 化简含wronskian 的表达式simplify/hypergeom - 化简超越函数表达式simplify/ln - 化简含有对数的表达式simplify/piecewise - 化简分段函数表达式simplify/polar - 化简含有极坐标形式的复数型表达式simplify/power - 化简含幂次的表达式simplify/radical - 化简含有根式的表达式simplify/rtable - 化简rtable 表达式simplify/siderels - 使用关系式进行化简simplify/sqrt - 根式化简simplify/trig - 化简trig 函数表达式simplify/zero - 化简含嵌入型实数和虚数的复数表达式6.2 其它化简操作Normal - normal 函数的惰性形式convert - 将一个表达式转换成不同形式radnormal - 标准化一个含有根号数的表达式rationalize - 分母有理化第7xx 操作多项式7.0 MAPLE 中的多项式简介7.1 提取coeff - 提取一个多项式的系数coeffs - 提取多元的多项式的所有系数coeftayl - 多元表达式的系数lcoeff, tcoeff - 返回多元多项式的首项和末项系数7.2 多项式约数和根gcd, lcm - 多项式的最大公约数/最小公倍数psqrt, proot - 多项式的xx和第n次根rem,quo - 多项式的余数/商7.3 操纵多项式convert/horner - 将一个多项式转换成Horner形式collect - 象幂次一样合并系数convert/polynom - 将级数转换成多项式形式convert/mathorner - 将多项式转换成Horner矩阵形式convert/ratpoly - 将级数转换成有理多项式sort - 将值的列表或者多项式排序sqrfree - 不含平方项的因数分解函数7.4 多项式运算discrim - 多项式的判别式fixdiv - 计算多项式的固定除数norm - 多项式的标准型resultant - 计算两个多项式的终结式bernoulli - Bernoulli 数和多项式bernstein - 用Bernstein多项式近似一个函数content, primpart - 一个多元的多项式的内容和主部degree, ldegree - 一个多项式的最高次方/最低次方divide - 多项式的精确除法euler - Euler 数和多项式icontent - 多项式的整数部分interp - 多项式的插值prem, sprem - 多项式的pseudo 余数和稀疏pseudo 余数randpoly - 随机多项式生成器spline - 计算自然样条函数第8xx 有理表达式8.0 有理表达式简介8.1 操作有理多项式numer,denom - 返回一个表达式的分子/分母frontend - 将一般的表达式处理成一个有理表达式normal - 标准化一个有理表达式convert/parfrac - 转换为部分分数形式convert/rational - 将浮点数转换为接近的有理数ratrecon - 重建有理函数第9xx 微积分9.1 取极限Limit, limit - 计算极限limit[dir] - 计算方向极限limit[multi] - 多重方向极限limit[return] - 极限的返回值9.2 连续性测试discont - 寻找一个函数在实数域上的间断点fdiscont - 用数值法寻找函数在实数域上的间断点iscont - 测试在一个区间上的连续性9.3 微分计算D - 微分算子D, diff - 运算符D 和函数diffdiff, Diff - 微分或者偏微分convert/D - 将含导数表达式转换为D运算符表达式convert/diff- 将D(f)(x)表达式转换为diff(f(x),x)的形式implicitdiff - 由一个方程定义一个函数的微分9.4 积分计算Si, Ci … - 三角和双曲积分Dirac, Heaviside - Dirac 函数/Heaviside阶梯函数Ei - 指数积分Elliptic -FresnelC, … - Fresnel 正弦,xx积分和辅助函数int, Int - 定积分和不定积分LegendreP, … - Legendre 函数及其第一和第二类函数Li - 对数积分student[changevar] - 变量代换dawson - Dawson 积分ellipsoid - 椭球体的表面积evalf(int) - 数值积分intat, Intat - 在一个点上积分求值第10xx 微分方程10.1 微分方程分类odeadvisor - ODE-求解分析器DESol - 表示微分方程解的pdetest - 测试pdsolve 能找到的偏微分方程(PDEs)解10.2 常微分方程求解dsolve - 求解常微方程(ODE)dsolve - 用给定的求解ODE 问题dsolve/inttrans - 用积分变换方法求解常微分方程dsolve/numeric - 常微方程数值解dsolve/piecewise - 带分段系数的常微方程求解dsolve - 寻找ODE 问题的级数解dsolve - 求解ODEs 方程组odetest - 从ODE 求解器中测试结果是显式或者隐式类型10.3 偏微分方程求解pdsolve - 寻找偏微分方程(PDEs) 的解析解第11xx 数值计算11.1 MAPLE 中的数值计算环境IEEE 标准和Maple数值计算数据类型特殊值环境变量11.2 算法标准算法复数算法含有0，无穷和未定义数的算法11.3 数据构造器254Float, … - 浮点数及其构造器Fraction - 分数及其的构造器integer - 整数和整数构造器11.4 MATLAB 简介11.5 “”区间类型表达式第12xx级数12.1 幂级数的阶数Order - 阶数项函数order - 确定级数的截断阶数12.2 常见级数展开series - 一般的级数展开taylor - Taylor 级数展开mtaylor - 多元Taylor级数展开poisson - Poisson级数展开.26812.3 其它级数eulermac - Euler-Maclaurin求和piecewise - 分段连续函数asympt - 渐进展开第13xx 特殊函数AiryAi, AiryBi - Airy 波动函数AiryAiZeros, AiryBiZeros - Airy函数的实数零点AngerJ,WeberE - Anger函数和Weber函数BesselI, HankelH1, … - Bessel 函数和Hankel函数BesselJZeros, … - Bessel函数实数零点Beta - Beta函数EllipticModulus - 模数函数k(q)GAMMA, lnGAMMA - 完全和不完全Gamma函数GaussAGM - Gauss 算术的几何平均数JacobiAM, ., - Jacobi 振幅函数和JacobiTheta1, JacobiTheta4 - Jacobi theta函数JacobiZeta - Jacobi 的Zeta函数KelvinBer, KelvinBei - Kelvin函数KummerM, - Kummer M函数和U函数LambertW - LambertW函数LerchPhi - 一般的Lerch Phi函数LommelS1, LommelS2 - Lommel函数MeijerG - 一个xx的Meijer G函数Psi - Digamma 和Polygamma函数StruveH, StruveL - Struve函数WeierstrassP - Weierstrass P函数及其导数WhittakerM - Whittaker 函数Zeta - Zeta 函数erf, … - 误差函数，补充的误差函数和虚数误差函数harmonic - 调和函数hypergeom - xx的超越函数pochhammer - 一般的pochhammer函数polylog - 一般的polylogarithm函数第14xx 线性代数14.1 ALGEBRA（代数）中矩阵，矢量和14.2 LINALG 软件包简介14.3 数据结构矩阵matrices（小写）矢量vectors（矢量）convert/matrix - 将数组，列表，Matrix 转换成matrixconvert/vector - 将列表，数组或Vector 转换成矢量vectorlinalg[matrix] - 生成矩阵matrix（小写）linalg[vector] - 生成矢量vector（小写）14.4 惰性函数Det - 惰性行列式运算符Eigenvals - 数值型矩阵的特征值和特征向量Hermite, Smith - 矩阵的Hermite 和Smith 标准型14.5 LinearAlgebra函数Matrix 定义矩阵Add 加/减矩阵Adjoint 伴随矩阵BackwardSubstitute 求解A . X = B，其中A 为上三角型行阶梯矩阵BandMatrix 带状矩阵Basis 返回向量空间的一组基SumBasis 返回向量空间直和的一组基IntersectionBasis 返回向量空间交的一组基BezoutMatrix 构造两个多项式的Bezout 矩阵BidiagonalForm 将矩阵约化为双对角型CharacteristicMatrix 构造特征矩阵CharacteristicPolynomial 构造矩阵的特征多项式CompanionMatrix 构造一个首一（或非首一）多项式或矩阵多项式的xx （xx）ConditionNumber 计算矩阵关于某范数的条件数ConstantMatrix 构造常数矩阵ConstantVector 构造常数向量Copy 构造矩阵或向量的一份复制CreatePermutation 将一个NAG 主元向量转换为一个置换向量或矩阵CrossProduct 向量的叉积`&x` 向量的叉积DeleteRow 删除矩阵的行DeleteColumn 删除矩阵的列Determinant 行列式Diagonal 返回从矩阵中得到的向量序列DiagonalMatrix 构造（分块）Dimension 行数和列数DotProduct 点积BilinearForm 向量的双线性形式EigenConditionNumbers 计算数值特征值制约问题的特征值或特征向量的条件数Eigenvalues 计算矩阵的特征值Eigenvectors 计算矩阵的特征向量Equal 比较两个向量或矩阵是否相等ForwardSubstitute 求解A . X = B，其中A 为下三角型行阶梯矩阵FrobeniusForm 将一个方阵约化为Frobenius 型（有理标准型）GaussianElimination 对矩阵作消元ReducedRowEchelonForm 对矩阵作xx－约当消元GetResultDataType 返回矩阵或向量运算的结果数据类型GetResultShape 返回矩阵或向量运算的结果形状GivensRotationMatrix 构造Givens 旋转的矩阵GramSchmidt 计算一个正交向量集HankelMatrix 构造一个Hankel 矩阵HermiteForm 计算一个矩阵的Hermite 正规型HessenbergForm 将一个方阵约化为上Hessenberg 型HilbertMatrix 构造xx Hilbert 矩阵HouseholderMatrix 构造Householder 反射矩阵IdentityMatrix 构造一个单位矩阵IsDefinite 检验矩阵的正定性，负定性或不定性IsOrthogonal 检验矩阵是否正交IsUnitary 检验矩阵是否为酉矩阵IsSimilar 确定两个矩阵是否相似JordanBlockMatrix 构造约当块矩阵JordanForm 将矩阵约化为约当型KroneckerProduct 构造两个矩阵的Kronecker xxLeastSquares 方程的最小二乘解LinearSolve 求解线性方程组A . x = bMap 将一个程序映射到一个表达式上，对矩阵和向量在原位置上进行处理MatrixAdd 计算两个矩阵的线性组合VectorAdd 计算两个向量的线性组合MatrixExponential 确定一个矩阵A 的矩阵指数exp(A)MatrixFunction 确定方阵A 的函数F(A)MatrixInverse 计算方阵的逆或矩阵的Moore-Penrose 伪逆MatrixMatrixMultiply 计算两个矩阵的乘积MatrixVectorMultiply 计算一个矩阵和一个列向量的乘积VectorMatrixMultiply 计算一个行向量和一个矩阵的乘积MatrixPower 矩阵的幂MinimalPolynomial 构造矩阵的最小多项式Minor 计算矩阵的子式Multiply 矩阵相乘Norm 计算矩阵或向量的p-范数MatrixNorm 计算矩阵的p-范数VectorNorm 计算向量的p-范数Normalize 向量正规化NullSpace 计算矩阵的零度零空间。
非对易几何导论
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§2 Riemann球 面上的谱三元组 (spectral triples) §2.1 线丛和旋量丛 . . . . . . . . . . . . . . . . §2.2 球面上的Dirac算子 . . . . . . . . . . . . . §2.3 旋量调和函数(spinor harmonics)和D / 的谱 §2.4 挠曲的旋量模(module) . . . . . . . . . . . §2.5 一个可约的谱三元组 . . . . . . . . . . . . §3 实 谱 三 元 组：公理基础 §3.1 数据集合 . . . . . . . . . . . §3.2 无穷小与维数 . . . . . . . . . §3.3 阶为一(order-one)条件 . . . . §3.4 代数的光滑性 . . . . . . . . . §3.5 Hochschild闭链(cycle)和定向 . §3.6 K -闭链的有限性 . . . . . . . §3.7 Poincar´ e对偶和K -理论 . . . . §3.8 实结构 . . . . . . . . . . . . . §4 非 对 易 环 面上的几何 §4.1 Weyl算子的代数 . §4.2 非对易环面的代数 §4.3 非对易环面纲要 . . §4.4 环面上的一族几何
磁矩与角动量
1 引论1.1 磁矩1.1.1 磁矩与角动量1.1.2 旋进1.1.3 Bohr磁子1.1.4 磁化强度与场1.2 经典力学与磁矩1.2.1 正则动量1.2.2 Bohr-vail Leeuwen定理1.3 自旋的量子力学1.3.1 轨道与自旋角动量1.3.2 Pauli自旋矩阵与旋量1.3.3 升降算子1.3.4 二自旋的耦合2 孤立磁矩2.1 磁场中的原子2.2 磁化率2.3 抗磁性2.4 顺磁性2.4.1 顺磁性的半经典处理2.4.2 J=1/2的顺磁性2.4.3 Brillouin函数2.4.4 Van Vleck顺磁性2.5 离子的基态与Hund规则2.5.1 精细结构2.5.2 Hund定则2.5.3 L-S与j-j耦合2.6 绝热去磁2.7 核自旋2.8 超精细结构3 环境3.1 晶体场3.1.1 晶体场的起源3.1.2 轨道猝灭3.1.3 Jahn-Teller效应3.2磁共振技术3.2.1 核磁共振3.2.2 电子自旋共振3.2.3 Mossbauer谱3.2.4 μ子自旋旋转4 相互作用4.1 磁偶极相互作用4.2 交换相互作用4.2.1 交换的起源4.2.2 直接交换4.2.3 离子固体中的间接交换：超交换作用4.2.4 金属中的间接交换4.2.5 双交换作用4.2.6 各向异性交换相互作用4.2.7 连续统近似5 序与磁性结构5.1 铁磁性5.1.1 铁磁体的Weiss模型5.1.2 磁化率5.1.3 磁场的作用5.1.4分子场的起源5.2 反铁磁性5.2.1 反铁磁体的Weiss模型5.2.2 磁化率5.2.3 强磁场的作用5.2.4 反铁磁序的类型5.3 亚铁磁性5.4 螺旋序5.5 自旋玻璃5.6 核有序5.7 磁序的测量5.7.1 磁化强度与磁化率5.7.2 中子散射5.7.3 其他技术6 序与破缺的对称性6.1 破缺的对称性6.2 模型6.2.1 铁磁性的Landau理论6.2.2 Heisenberg与Ising模型6.2.3 一维Ising模型（D=1，d=1）6.2.4 二维Ising模N（D=1，d=2）6.3 破缺对称性的后果6.4 相变6.5刚性6.6 激发6.6.1 磁子6.6.2 BlochT3/2定律6.6.3 Mermin-Wagner-Berezinskii定理6.6.4 自旋波的测量6.7 畴6.7.1 畴壁6.7.2 磁晶各向异性6.7.3 畴壁宽度6.7.4 畴形成6.7.5 磁化过程6.7.6 畴壁观测6.7.7 小磁性粒子6.7.8 Stoner-Wohlfarth模型6.7.9 软与硬材料7 金属中的磁性7.1 自由电子模型7.2 Pauli顺磁性7.2.1 基本推导7.2.2 与局域行为的交叠7.2.3 实验技术7.3 自发自旋分裂带7.4 自旋密度泛函理论7.5 Landau能级7.6 Landau抗磁性7.7 电子气体的磁性7.7.1 电子气体的顺磁响应7.7.2 电子气体的抗磁响应7.7.3 RKKY相互作用7.8 电子气体中的激发7.9 自旋密度波7.10 Kondo效应7.11 Hubbard模型7.12 中子星8 竞争相互作用与低维度8.1 阻挫8.2 自旋玻璃8.3 超顺磁性8.4 一维磁体8.4.1 自旋链8.4.2 自旋子8.4.3 Haldane链8.4.4 自旋Peierls转变8.4.5 自旋梯子8.5 二维磁体8.6 量子相变8.7 薄膜与多层8.8 磁一光学8.9 磁电阻8.9.1 铁磁体的磁电阻8.9.2 各向异性磁电阻8.9.3 巨磁电阻8.9.4 交换各向异性8.9.5 庞磁电阻8.9.6 Hall效应8.10 有机与分子磁体8.11 自旋电子学A 电磁学中的单位B 电磁学B.1 磁矩B.2 自由空间中的Maxwell方程B.3 自由与边界电流B.4 介质中的Maxwell方程B.5 边界条件C 量子与原子物理学C.1 量子力学C.2 Dirac左矢与右矢记号C.3 Bohr模型C.4 轨道角动量C.5 氢原子C.6 g因子C.7 d轨道C.8 自旋一轨道相互作用C.9 Lande g因子C.10 微扰理论D 磁学中的能量与退磁化场D.1 能量D.2 退磁化因子D.3 任意形状的铁磁体E 统计力学E.1 配分函数与热力学函数E.2 均分定理F 精选问题的答案与提示G 符号、常数与实用方程索引。
北大量子力学教学大纲
C. 教学大纲（教学计划）掌握和理解量子力学的基本概念，新的数学方法（微积分、微分方程、线性代数、数理方程、复变等等）和能解决一些简单的量子力学问题。
第一章：定性了解经典困难的实例：微观粒子的波–粒的二重性； 第二章，第三章：要全面掌握：波函数与波动方程，一维定态问题，波函数的统计诠释，态叠加原理，薛定谔方程和定态；知0t =的波函数，给出t 时刻的波函数，几率流密度矢，反射系数，透射系数，完全透射。
第四章：算符运算规则，厄密算符定义，厄密算符的本征方程，观测值的可能值，几率振幅。
力学量完全集（包括H ˆ的，即为运动常数的完全集）。
共同本征态lm Y 的性质（lm m*lm Y )1(Y -=，宇称l )1(-）。
力学量平均值随时间变化，运动常数，维里定律。
第五章：变量可分离型的三维定态问有心势下，dinger o Schequation 解在 0r → 的渐近行为。
氢原子波函数，能量本征值的推导和结论要全面掌握。
三维各向同性谐振子在直角坐标和球坐标中的解，能级的结果和性质。
Hellmann-Feynman Theorem 。
电磁场下的n Hamiltonia，规范不变性，几率流密度矢。
正常塞曼效应及引起的原因。
均匀强场下的带电粒子的能量本征值磁通量量子化的现象。
第六章：量子力学的矩阵形式及表象理论算符本征方程，薛定谔方程和平均值的矩阵表示；求力学量在某表象中的矩阵表示；利用算符矩阵表示求本征值和本征函数。
表象变换。
dinger o SchPicture 和 Heisenberg Picture第七章：自旋自旋引入的实验证据。
电子自旋算符，本征值及表示。
泡利算符性质，泡利矩阵。
自旋存在下的波函数和算符的表示。
)j ,j ,l ˆ(r 2的共同本征态的矩阵形式。
自旋为1/2的两粒子总自旋波函数，Bell 不等式。
碱金属的双线结构及反常塞曼效应的现象及形成原因。
全同粒子的波函数结构，泡利原理 第八章：量子力学中的近似方法定态微扰论：非简并定态微扰论，能级的一级，二级修正，波函数的一级修正。
Maple常用计算命令
常用计算命令《Maple 指令》7.0版本第1xx xx数1.1 复数Re,Im - 返回复数型表达式的实部/虚部abs - 函数argument - 复数的幅角函数conjugate - 返回共轭复数csgn - 实数和复数表达式的符号函数signum - 实数和复数表达式的sign 函数5 1.2 MAPLE 常数已知的变量名称指数常数（以自然对数为底）I - x^2 = -1 的根infinity 无穷大1.3 整数函数! - 阶乘函数irem, iquo - 整数的余数/商isprime - 素数测试isqrfree - 无整数平方的因数分解max, min - 数的最大值/最小值mod, modp, mods - 计算对 m 的整数模rand - 随机数生成器randomize - 重置随机数生成器1.4 素数Randpoly, Randprime - 有限域的随机多项式/首一素数多项式ithprime - 确定第 i 个素数nextprime, prevprime - 确定下一个最大/最小素数1.5 数的进制转换convert/base - 基数之间的转换convert/binary - 转换为二进制形式convert/decimal - 转换为 10 进制convert/double - 将双精度浮点数由一种形式转换为另一种形式convert/float - 转换为浮点数convert/hex - 转换为十六进制形式convert/metric - 转换为公制单位convert/octal - 转换为八进制形式1.6 数的类型检查type - 数的类型检查函数第2xx 初等数学2.1 初等函数product - 确定乘积求和不确定乘积exp - 指数函数sum - 确定求和不确定求和sqrt - 计算xx算术运算符+, -, *, /, ^add, mul - 值序列的加法/乘法2.2 三角函数arcsin, arcsinh, . - 反三角函数/反双曲函数sin, sinh, . - 三角函数/双曲函数2.3 LOGARITHMS 函数dilog - Dilogarithm 函数ln, log, log10 - 自然对数/一般对数，常用对数2.4 类型转换convert/`+`,convert/`*` - 转换为求和/乘积convert/hypergeom - 将求和转换为超越函数convert/degrees - 将弧度转换为度convert/expsincos - 将trig 函数转换为exp, sin, cos convert/Ei - 转换为指数积分convert/exp - 将trig 函数转换为指数函数convert/ln - 将arctrig 转换为对数函数polar - 转换为极坐标形式convert/radians - 将度转换为弧度convert/sincos - 将trig 函数转换为sin, cos, sinh, cosh convert/tan - 将trig 函数转换为tanconvert/trig - 将指数函数转换为三角函数和双曲函数第3xx 求值3.1 假设功能3.2 求值Eval - 对一个表达式求值eval - 求值evala - 在代数数（或者函数）域求值evalb - 按照一个求值evalc - 在复数域上符号求值evalf - 使用浮点算法求值evalhf - 用硬件浮点数算法对表达式求值evalm - 对矩阵表达式求值evaln - 求值到一个名称evalr, shake - 用区间算法求表达式的值和计算范围evalrC - 用复数区间算法对表达式求值value - 求值的惰性函数第4xx 求根，xx4.1 数值解fsolve - 利用浮点数算法求解solve/floats - 包含浮点数的表达式4.2 最优化extrema - 寻找一个表达式的相对极值minimize, maximize - 计算最小值/最大值maxnorm - 一个多项式无穷大范数4.3 求根allvalues -计算含有RootOfs的表达式的所有可能值isqrt, iroot - 整数的xx/第n 次根realroot - 一个多项式的实数根的隔离区间root - 一个代数表达式的第n 阶根RootOf - 方程根的表示surd - 非主根函数roots - 一个多项式对一个变量的精确根turm, sturmseq - 多项式在区间上的实数根数和实根序列4.4 xxeliminate - 消去一个方程组中的某些变量isolve - 求解方程的整数解solvefor - 求解一个方程组的一个或者多个变量isolate - 隔离一个方程左边的一个子表达式singular - 寻找一个表达式的极点solve/identity - 求解包含属性的表达式solve/ineqs - 求解不等式solve/linear - 求解线性方程组solve/radical - 求解含有未知量根式的方程solve/scalar - 标量情况（单变量和方程）solve/series - 求解含有一般级数的方程solve/system - 解方程组或不等式组第5xx 操作表达式5.1 处理表达式Norm - 代数数 (或者函数) 的标准型Power - 惰性幂函数Powmod -带余数的惰性幂函数Primfield - 代数域的原始元素Trace - 求一个代数数或者函数的迹charfcn - 表达式和集合的特征函数Indets - 找一个表达式的变元invfunc - 函数表的逆powmod - 带余数的幂函数Risidue - 计算一个表达式的代数余combine - 表达式合并(对tan,cot不好用) expand - 表达式展开Expand - 展开表达式的惰性形式expandoff/expandon - 抑制/不抑制函数展开5.2 因式分解Afactor - 绝对因式分解的惰性形式Afactors - 绝对因式分解分解项列表的惰性形式Berlekamp - 因式分解的Berlekamp 显式度factor - 多元的多项式的因式分解factors - 多元多项式的因式分解列表Factor - 函数factor 的惰性形式Factors - 函数factors 的惰性形式polytools[splits] - 多项式的完全因式分解第6xx 化简6.1 表达式化简118simplify - 给一个表达式实施化简规则simplify/@ - 利用运算符化简表达式simplify/Ei - 利用指数积分化简表达式simplify/GAMMA - 利用GAMMA 函数进行化简simplify/RootOf - 用RootOf 函数化简表达式simplify/wronskian - 化简含wronskian 的表达式simplify/hypergeom - 化简超越函数表达式simplify/ln - 化简含有对数的表达式simplify/piecewise - 化简分段函数表达式simplify/polar - 化简含有极坐标形式的复数型表达式simplify/power - 化简含幂次的表达式simplify/radical - 化简含有根式的表达式simplify/rtable - 化简rtable 表达式simplify/siderels - 使用关系式进行化简simplify/sqrt - 根式化简simplify/trig - 化简trig 函数表达式simplify/zero - 化简含嵌入型实数和虚数的复数表达式6.2 其它化简操作Normal - normal 函数的惰性形式convert - 将一个表达式转换成不同形式radnormal - 标准化一个含有根号数的表达式rationalize - 分母有理化第7xx 操作多项式7.0 MAPLE 中的多项式简介7.1 提取coeff - 提取一个多项式的系数coeffs - 提取多元的多项式的所有系数coeftayl - 多元表达式的系数lcoeff, tcoeff - 返回多元多项式的首项和末项系数7.2 多项式约数和根gcd, lcm - 多项式的最大公约数/最小公倍数psqrt, proot - 多项式的xx和第n次根rem,quo - 多项式的余数/商7.3 操纵多项式convert/horner - 将一个多项式转换成Horner形式collect - 象幂次一样合并系数compoly - 确定一个多项式的可能合并的项数convert/polynom - 将级数转换成多项式形式convert/mathorner - 将多项式转换成Horner矩阵形式convert/ratpoly - 将级数转换成有理多项式sort - 将值的列表或者多项式排序sqrfree - 不含平方项的因数分解函数7.4 多项式运算discrim - 多项式的判别式fixdiv - 计算多项式的固定除数norm - 多项式的标准型resultant - 计算两个多项式的终结式bernoulli - Bernoulli 数和多项式bernstein - 用Bernstein多项式近似一个函数content, primpart - 一个多元的多项式的内容和主部degree, ldegree - 一个多项式的最高次方/最低次方divide - 多项式的精确除法euler - Euler 数和多项式icontent - 多项式的整数部分interp - 多项式的插值prem, sprem - 多项式的pseudo 余数和稀疏pseudo 余数randpoly - 随机多项式生成器spline - 计算自然样条函数第8xx 有理表达式8.0 有理表达式简介8.1 操作有理多项式numer,denom - 返回一个表达式的分子/分母frontend - 将一般的表达式处理成一个有理表达式normal - 标准化一个有理表达式convert/parfrac - 转换为部分分数形式convert/rational - 将浮点数转换为接近的有理数ratrecon - 重建有理函数第9xx 微积分9.1 取极限Limit, limit - 计算极限limit[dir] - 计算方向极限limit[multi] - 多重方向极限limit[return] - 极限的返回值9.2 连续性测试discont - 寻找一个函数在实数域上的间断点fdiscont - 用数值法寻找函数在实数域上的间断点iscont - 测试在一个区间上的连续性9.3 微分计算D - 微分算子D, diff - 运算符D 和函数diffdiff, Diff - 微分或者偏微分convert/D - 将含导数表达式转换为D运算符表达式convert/diff - 将D(f)(x)表达式转换为diff(f(x),x)的形式implicitdiff - 由一个方程定义一个函数的微分9.4 积分计算Si, Ci … - 三角和双曲积分Dirac, Heaviside - Dirac 函数/Heaviside阶梯函数Ei - 指数积分Elliptic -FresnelC, … - Fresnel 正弦,xx积分和辅助函数int, Int - 定积分和不定积分LegendreP, … - Legendre 函数及其第一和第二类函数Li - 对数积分student[changevar] - 变量代换dawson - Dawson 积分ellipsoid - 椭球体的表面积evalf(int) - 数值积分intat, Intat - 在一个点上积分求值第10xx 微分方程10.1 微分方程分类odeadvisor - ODE-求解分析器DESol - 表示微分方程解的pdetest - 测试pdsolve 能找到的偏微分方程(PDEs)解10.2 常微分方程求解dsolve - 求解常微方程 (ODE)dsolve - 用给定的求解ODE 问题dsolve/inttrans - 用积分变换方法求解常微分方程dsolve/numeric - 常微方程数值解dsolve/piecewise - 带分段系数的常微方程求解dsolve - 寻找ODE 问题的级数解dsolve - 求解ODEs 方程组odetest - 从ODE 求解器中测试结果是显式或者隐式类型10.3 偏微分方程求解pdsolve - 寻找偏微分方程 (PDEs) 的解析解第11xx 数值计算11.1 MAPLE 中的数值计算环境IEEE 标准和Maple数值计算数据类型特殊值环境变量11.2 算法标准算法复数算法含有0，无穷和未定义数的算法11.3 数据构造器254complex - 复数和复数构造器Float, … - 浮点数及其构造器Fraction - 分数及其的构造器integer - 整数和整数构造器11.4 MATLAB 简介11.5 “”区间类型表达式第12xx级数12.1 幂级数的阶数Order - 阶数项函数order - 确定级数的截断阶数12.2 常见级数展开series - 一般的级数展开taylor - Taylor 级数展开mtaylor - 多元Taylor级数展开poisson - Poisson级数展开.26812.3 其它级数eulermac - Euler-Maclaurin求和piecewise - 分段连续函数asympt - 渐进展开第13xx 特殊函数AiryAi, AiryBi - Airy 波动函数AiryAiZeros, AiryBiZeros - Airy函数的实数零点AngerJ, WeberE - Anger函数和Weber函数BesselI, HankelH1, … - Bessel函数和Hankel函数BesselJZeros, … - Bessel函数实数零点Beta - Beta函数EllipticModulus - 模数函数k(q)GAMMA, lnGAMMA - 完全和不完全Gamma函数GaussAGM - Gauss 算术的几何平均数JacobiAM, ., - Jacobi 振幅函数和JacobiTheta1, JacobiTheta4 - Jacobi theta函数JacobiZeta - Jacobi 的Zeta函数KelvinBer, KelvinBei - Kelvin函数KummerM, - Kummer M函数和U函数LambertW - LambertW函数LerchPhi - 一般的Lerch Phi函数LommelS1, LommelS2 - Lommel函数MeijerG - 一个xx的Meijer G函数Psi - Digamma 和Polygamma函数StruveH, StruveL - Struve函数WeierstrassP - Weierstrass P函数及其导数WhittakerM - Whittaker 函数Zeta - Zeta 函数erf, … - 误差函数，补充的误差函数和虚数误差函数harmonic - 调和函数hypergeom - xx的超越函数pochhammer - 一般的pochhammer函数polylog - 一般的polylogarithm函数第14xx 线性代数14.1 ALGEBRA（代数）中矩阵，矢量和14.2 LINALG 软件包简介14.3 数据结构矩阵matrices（小写）矢量vectors（矢量）convert/matrix - 将数组，列表，Matrix 转换成matrix convert/vector - 将列表，数组或Vector 转换成矢量vectorlinalg[matrix] - 生成矩阵matrix（小写）linalg[vector] - 生成矢量vector（小写）14.4 惰性函数Det - 惰性行列式运算符Eigenvals - 数值型矩阵的特征值和特征向量Hermite, Smith - 矩阵的Hermite 和Smith 标准型14.5 LinearAlgebra函数Matrix 定义矩阵Add 加/减矩阵Adjoint 伴随矩阵BackwardSubstitute 求解 A . X = B，其中 A 为上三角型行阶梯矩阵BandMatrix 带状矩阵Basis 返回向量空间的一组基SumBasis 返回向量空间直和的一组基IntersectionBasis 返回向量空间交的一组基BezoutMatrix 构造两个多项式的 Bezout 矩阵BidiagonalForm 将矩阵约化为双对角型CharacteristicMatrix 构造特征矩阵CharacteristicPolynomial 构造矩阵的特征多项式CompanionMatrix 构造一个首一（或非首一）多项式或矩阵多项式的xx（xx）ConditionNumber 计算矩阵关于某范数的条件数ConstantMatrix 构造常数矩阵ConstantVector 构造常数向量Copy 构造矩阵或向量的一份复制CreatePermutation 将一个 NAG 主元向量转换为一个置换向量或矩阵CrossProduct 向量的叉积`&x` 向量的叉积DeleteRow 删除矩阵的行DeleteColumn 删除矩阵的列Determinant 行列式Diagonal 返回从矩阵中得到的向量序列DiagonalMatrix 构造（分块）Dimension 行数和列数DotProduct 点积BilinearForm 向量的双线性形式EigenConditionNumbers 计算数值特征值制约问题的特征值或特征向量的条件数Eigenvalues 计算矩阵的特征值Eigenvectors 计算矩阵的特征向量Equal 比较两个向量或矩阵是否相等ForwardSubstitute 求解 A . X = B，其中 A 为下三角型行阶梯矩阵FrobeniusForm 将一个方阵约化为 Frobenius 型（有理标准型）GaussianElimination 对矩阵作消元ReducedRowEchelonForm 对矩阵作xx－约当消元GetResultDataType 返回矩阵或向量运算的结果数据类型GetResultShape 返回矩阵或向量运算的结果形状GivensRotationMatrix 构造 Givens 旋转的矩阵GramSchmidt 计算一个正交向量集HankelMatrix 构造一个 Hankel 矩阵HermiteForm 计算一个矩阵的 Hermite 正规型HessenbergForm 将一个方阵约化为上 Hessenberg 型HilbertMatrix 构造xx Hilbert 矩阵HouseholderMatrix 构造 Householder 反射矩阵IdentityMatrix 构造一个单位矩阵IsDefinite 检验矩阵的正定性，负定性或不定性IsOrthogonal 检验矩阵是否正交IsUnitary 检验矩阵是否为酉矩阵IsSimilar 确定两个矩阵是否相似JordanBlockMatrix 构造约当块矩阵JordanForm 将矩阵约化为约当型KroneckerProduct 构造两个矩阵的 Kronecker xx LeastSquares 方程的最小二乘解LinearSolve 求解线性方程组 A . x = bLUDecomposition 计算矩阵的 Cholesky，PLU 或 PLU1R 分解Map 将一个程序映射到一个表达式上，对矩阵和向量在原位置上进行处理MatrixAdd 计算两个矩阵的线性组合VectorAdd 计算两个向量的线性组合MatrixExponential 确定一个矩阵 A 的矩阵指数 exp(A)MatrixFunction 确定方阵 A 的函数 F(A)MatrixInverse 计算方阵的逆或矩阵的 Moore-Penrose 伪逆MatrixMatrixMultiply 计算两个矩阵的乘积MatrixVectorMultiply 计算一个矩阵和一个列向量的乘积VectorMatrixMultiply 计算一个行向量和一个矩阵的乘积MatrixPower 矩阵的幂MinimalPolynomial 构造矩阵的最小多项式Minor 计算矩阵的子式Multiply 矩阵相乘Norm 计算矩阵或向量的p-范数MatrixNorm 计算矩阵的p-范数VectorNorm 计算向量的p-范数Normalize 向量正规化NullSpace 计算矩阵的零度零空间OuterProductMatrix 两个向量的外积Permanent 方阵的不变量Pivot 矩阵元素的主元消去法PopovForm Popov 正规型QRDecomposition QR 分解RandomMatrix 构造RandomVector 构造随机向量Rank 计算Row 返回矩阵的一个行向量序列Column 返回矩阵的一个列向量序列RowOperation 对矩阵作初等行变换ColumnOperation 对矩阵作出等列变换RowSpace 返回矩阵行空间的一组基ColumnSpace 返回矩阵列空间的一组基ScalarMatrix 构造一个单位矩阵的数量倍数ScalarVector 构造一个单位向量的数量倍数ScalarMultiply 矩阵与数的乘积MatrixScalarMultiply 计算矩阵与数的乘积VectorScalarMultiply 计算向量与数的乘积SchurForm 将方阵约化为 Schur 型SingularValues 计算矩阵的奇异值SmithForm 将矩阵约化为 Smith 正规型StronglyConnectedBlocks 计算方阵的强连通块SubMatrix 构造矩阵的子矩阵SubVector 构造向量的子向量SylvesterMatrix 构造两个多项式的 Sylvester 矩阵ToeplitzMatrix 构造 Toeplitz 矩阵Trace 计算方阵的迹TransposeHermitianTranspose 共轭转置矩阵TridiagonalForm 将方阵约化为三对角型UnitVector 构造单位向量VandermondeMatrix 构造一个 Vandermonde 矩阵VectorAngle 计算两个向量的夹角ZeroMatrix 构造一个零矩阵ZeroVector 构造一个零向量Zip 将一个具有两个参数的程序作用到一对矩阵或向量上LinearAlgebra[Generic] 子函数包 [Generic] 子函数包提供作用在场，域，积分域和环上的线性代数算法。
课程大纲-西安建筑科技大学研究生院
课程大纲课程编号（理学院）课程名称随机规划学时40基本预备知识 1. 概率统计2. 最优化理论与算法3. 随机过程授课方式讲授、研讨基本要求掌握随机规划模型的类型。
（3TKH 主要类型），了解分布问题中参数LP 及其最优值得表达式，了解Z（3 ）的可测性及其概率分布，掌握简单分布问题的计算方法，了解逼近方法和最优值的数学期望的估计，掌握有补偿的二阶段问题和二阶段问题的数值解法，了解概率约束规划和随机拟次梯度法，了解上图收敛性。
教材及参考书《随机规划》，王全德编著，南京大学出版社，1990 年。
《随机线性规划》，Kall 著，王金德译，南京大学出版社。
讲授的主要内容：（每章后附学时数）1.随机规划的模型（6 学时）1.1分布问题，二阶段有补偿问题，概率约束问题；1.2多阶段有补偿问题和多阶段概率约束计划；1.3各类问题的统一形式与相互关系。
2.分布问题：（6 学时）2.1参数LP；2.2Z（3）的可测性；2.3最优化Z（3 ）的概率分布；2.4简单分布问题的计算方法；2.5逼近方法与最优值的数学期望的估计。
3.有补偿二阶段问题（8 学时）3.1一般有补偿二阶段的问题；3.2具有固定补偿矩阵的情形；3.3具有完备和简单补偿矩阵的二阶段问题。
4.二阶段问题的数值解法（8 学时）4.1具有离散随机变量的二阶段问题的解法；4.2简单补偿问题的解法。
5.概率约束规划（6 学时）可行解集合的特性，约束函数的分析性质，数值解法，逼近方法。
6.随机拟次梯度法（* ）（2 学时）7. 应用举例（2 学时）8. 上图收敛性（2 学时）注：（*）只做了解课程名称学时基本预备知识值代数601. 数学分析2. 线性代数3. 矩阵论4. 计算方法授课方式讲授基本要求1. 知道矩阵计算的基本工具，熟悉Vandermonde、Toeplitz 等方程组的解法及某些迭代法的收敛性，了解多项式加速技巧。
2.掌握不完全分解预先共轭梯度法，广义共轭剩余法，Lanczos 方法，求解特征值问题的同伦方法和分而治之法以及求解Jacobi 矩阵特征值反问题的正交约化法。
7.4 Dirac符号
则Schrö dinger方程为 i ( t ) H ( t ) ( 4 5 ) t 在x表象中的表示，可如下求之。用 x 左乘（45）式 取标积，得
i x ( t ) x H ( t ) d x ' x H x ' xt '( ) t
即
2 2 i ( x , t ) d x 2( x xV ) ( xx ) ( x )( x , t ) t 2 m x 2 2 2 ( x , t ) V ( x )( x , t ) ( 4 6 ) 2 m x
(4)式代入(3)式,得
k
k k k k
k
( 5 )
(5)式中 k
k 是一个投影算符，用 P 表示，即 k
P k k k
( 6 )
它对任何态矢 方向上的分量矢量 式(5)中
运算后，就得到态矢
在基矢 k
P k k a k k k
是任意的,因此
kk I
p p ( p p )
7.4.3 态矢在具体表象中的表示 1. 离散谱的情况 在F表象中(基矢记为 k ),任意态矢量 可用 k 展开，即
Hale Waihona Puke ak kk( 3 )
展开系数
a k k
( 4 )
它是
在 k 上的投影.用列矢表示为
a1 1 | a 2 2 |
7.4 Dirac符号 Dirac符号的优点 1. 毋需采用具体表象
2. 运算简捷 7.4.1 左矢(bra)和右矢(ket)
统计热力学 ppt课件
简并度（degeneration）
例如，气体分子平动能的公式为：
t 8mhV22/3(nx2ny2nz2)
m－－分子质量；V－－容器体积；
h－－Planck常数；
nx,ny,nz分别是x,y,z 轴方向的平动量子数， =1，2，3……
当
t
h2 8mV 2/ 3
3
则
nx1,ny1,nz1, 只有一种
最早是由玻兹曼(Boltzmann)以经典力学为 基础建立的统计方法，称为经典统计热力学。
1900年Planck提出了量子论，Maxwell将能 量量子化的概念引入统计热力学，发展成为目前 的Boltzmann统计。
三种统计方法
1924年以后有了量子力学，使统计力学中力 学的基础发生改变，随之统计的方法也有改进， 从而形成了Bose-Einstein统计和Fermi-Dirac统计， 分别适用于不同系统。
定位系统的微态数
一个由 N 个可区分的独立粒子组成的宏观 系统，在量子化的能级上可以有多种不同的分 配方式。设其中的一种分配方式为：
能 级 ： 1 ， 2， ， i
一 种 分 配 方 式 ：N 1， N 2， ， N i
无论哪种分配都必须满足： Ni N i Nii U i
定位系统的微态数
统计系统的分类
定位系统（定域子系统） 粒子彼此可以分辨 如固体 非定位系统（离域子系统） 粒子之间不可区分 如气液体
近独立粒子系统(独立粒子系统) 粒子间相互作用可忽略
如理想气体
非独立粒子系统 (相依粒子系统) 粒子间相互作用不能忽略
如非理想气体
近独立粒子系统是本章主要的研究对象。
三种统计方法
一种是Maxwell--Boltzmann统计，通常称 为Boltzmann统计。
核磁共振-3
在一个乙基中，自由旋转使得相邻的氢可以经过所有这些角度， 自由旋转 但是它们在通常的交叉构象中会停留大部分时间，这时二面角分别 是60°、120°、180°。我们通常见到的偶合常数 6 ∼ 7 Hz 大致就是 这 三个角度的平均偶合常数。 平均偶合常数 在一个平均化不可能发生的刚性结构中，通常可以得到某一个固 刚性结构 定角度的偶合常数。 定角度的偶合常数
Ultimately, when Ha and Hb approach each other closely enough in chemical shift, the outer peaks disappear and the the two inner peaks
2.7 二级谱简介（Second-order spectra）
注意，对于等价的氢核来说，虽然它们之间存在偶合，但往往观 察不到自旋分裂的现象。
只有下面两种情况才能观察到同碳（等价）氢核的自旋分裂现象： • 刚性环上的CH2。比如，bicyclo [2.1.1] hexane。
H H
2J
= - 5 Hz
•
用氘置换其中一个等价的氢核时，可以观察到2JHD，再通过 2JHH = 6.55 2JHD 的关系式，得到 2JHH 。
乙酸乙烯酯的NMR谱图：
乙酸乙烯酯的偶合情况数状图解：
3J BC (trans)> 3J AC (cis)
>> 3JAB (geminal)
烯烃的偶合机制： 烯烃 烯烃中 cis, trans 和 gem 的偶合机理与前面所讲的邻位偶合和同 碳偶合相同。烯烃的 3J (H-C=C-H)，由于双键的关系，二面角α=0° ( cis ) 或 180 °( trans ) 两种，在任何化合物中，3Jtrans > 3Jcis 。同碳偶 合中∠HCH ≈ 120°，2J ≈ 最低值。
课件(PPT版)7.2_单位冲激函数
[ (t )]
(t
)
e
j
t
d
t
e j t
1.
t0
即 (t ) 与 1 构成Fourier变换对 (t) 1.
(t)
[ (t )]
1
1
t
由此可见，单位脉冲函数包含所有频率成份，且它们具有 相等的幅度，称此为均匀频谱或白色频谱。
三、单位脉冲函数的 Fourier 变换
(2) 由 cos0t
1 2
(e j 0 t e j 0 t ) ，
F2 ( )
π
有 F2() [ f2(t)]
1 ( [ e j 0 t ]
2
0
[ e j 0 t ] )
0
π ( 0 ) π ( 0 ).
四、周期函数的 Fourier 变换
解 已知 [ sgn t ] = 2 ,
iω
[ 1 ] 2π ( ) , 又 u(t) 1 (sgn t 1),
2
得 U ( ) 1 ( [ sgn t ]
2
u(t ) 1
t
[ 1] ) = 1 + π δ(ω) .
iω
注 称 u(t) 为单位阶跃函数，也称为 Heaviside 函数， 它是工程技术中最常用的函数之一。
由 f (t ) F (n0 )e jn0t 有
n
F ( )
F (n0 )
e jn0t
e jn tdt
n
2π F (n0 ) ( n0 ) .
n
休息一下 ……
最全ASCII对应码表-键值之欧阳化创编
OCT(八进制)最全ASCII码对应表—与键盘按键对应值(二进)Bin (十进)Dec (十六进)Hex 缩写/字符解释0000 0000 0 00 NUL (null) 空字符0000 0001 1 01 SOH (start of handin g) 标题开始0000 0010 2 02 STX (start of text) 正文开始0000 0011 3 03 ETX (end of text) 正文结束0000 0100 4 04 EOT (end of transmissio n) 传输结束0000 0101 5 05 ENQ (enquiry) 请求0000 0110 6 06 ACK (acknowledge) 收到通知0000 0111 7 07 BEL (bell) 响铃0000 1000 8 08 BS (backspace) 退格0000 1001 9 09 HT (horizontal tab) 水平制表符0000 1010 10 0A LF (NL line feed, new lin e) 换行键0000 1011 11 0B VT (vertical tab) 垂直制表符0000 1100 12 0C FF (NP form feed, new pag e) 换页键0000 1101 13 0D CR (carriage return) 回车键0000 1110 14 0E SO (shift out) 不用切换0000 1111 15 0F SI (shift in) 启用切换0001 0000 16 10 DLE (data link escape) 数据链路转义0001 0001 17 11 DC1 (device control1) 设备控制10001 0010 18 12 DC2 (device control2) 设备控制20001 0011 19 13 DC3 (device control3) 设备控制30001 0100 20 14 DC4 (device control4) 设备控制40001 0101 21 15 NAK (negative acknowledg e) 拒绝接收0001 0110 22 16 SYN (synchronous idle) 同步空闲0001 0111 23 17 ETB (end of trans. bloc k) 传输块结束0001 1000 24 18 CAN (cancel) 取消0001 1001 25 19 EM (end of medium) 介质中断0001 1010 26 1A SUB (substitute) 替补0001 1011 27 1B ESC (escape) 溢出0001 1100 28 1C FS (file separator) 文件分割符0001 1101 29 1D GS (group separator) 分组符0001 1110 30 1E RS (record separato r) 记录分离符0001 1111 31 1F US (unit separato r) 单元分隔符0010 0000 32 20 空格0010 0001 33 21 !0010 0010 34 22 "0010 0011 35 23 #0010 0100 36 24 $0010 0101 37 25 %0010 0110 38 26 &0010 0111 39 27 '0010 1000 40 28 (0010 1001 41 29 )0010 1010 42 2A *0010 1011 43 2B +0010 1100 44 2C ,0010 1101 45 2D -0010 1110 46 2E .0010 1111 47 2F /0011 0000 48 30 00011 0010 50 32 2 0011 0011 51 33 3 0011 0100 52 34 4 0011 0101 53 35 5 0011 0110 54 36 6 0011 0111 55 37 7 0011 1000 56 38 8 0011 1001 57 39 9 0011 1010 58 3A : 0011 1011 59 3B ; 0011 1100 60 3C < 0011 1101 61 3D = 0011 1110 62 3E > 0011 1111 63 3F ? 0100 0000 64 40 @0100 0001 65 41 A 0100 0010 66 42 B 0100 0011 67 43 C 0100 0100 68 44 D 0100 0101 69 45 E0100 0111 71 47 G 0100 1000 72 48 H 0100 1001 73 49 I 0100 1010 74 4A J 0100 1011 75 4B K 0100 1100 76 4C L 0100 1101 77 4D M 0100 1110 78 4E N 0100 1111 79 4F O 0101 0000 80 50 P 0101 0001 81 51 Q 0101 0010 82 52 R 0101 0011 83 53 S 0101 0100 84 54 T 0101 0101 85 55 U 0101 0110 86 56 V 0101 0111 87 57 W 0101 1000 88 58 X 0101 1001 89 59 Y 0101 1010 90 5A Z 0101 1011 91 5B [0101 1101 93 5D ] 0101 1110 94 5E ^ 0101 1111 95 5F _ 0110 0000 96 60 ` 0110 0001 97 61 a 0110 0010 98 62 b 0110 0011 99 63 c 0110 0100 100 64 d 0110 0101 101 65 e 0110 0110 102 66 f 0110 0111 103 67 g 0110 1000 104 68 h 0110 1001 105 69 i 0110 1010 106 6A j 0110 1011 107 6B k 0110 1100 108 6C l 0110 1101 109 6D m 0110 1110 110 6E n 0110 1111 111 6F o 0111 0000 112 70 p 0111 0001 113 71 q0111 0010 114 72 r0111 0011 115 73 s0111 0100 116 74 t0111 0101 117 75 u0111 0110 118 76 v0111 0111 119 77 w0111 1000 120 78 x0111 1001 121 79 y0111 1010 122 7A z0111 1011 123 7B {0111 1100 124 7C |0111 1101 125 7D }0111 1110 126 7E ~ 0111 1111 127 7F DEL (delet e) 删除键盘常用ASCII码（十进制表示值）ESC键 VK_ESCAPE (27)回车键： VK_RETURN (13)TAB键： VK_TAB (9)Caps Lock键： VK_CAPITAL (20)Shift键： VK_SHIFT (16)Ctrl键： VK_CONTROL (17)Alt键： VK_MENU (18)空格键： VK_SPACE (/32)退格键： VK_BACK (8)左徽标键： VK_LWIN (91)右徽标键： VK_LWIN (92)鼠标右键快捷键：VK_APPS (93) Insert键： VK_INSERT (45) Home键： VK_HOME (36) Page Up： VK_PRIOR (33) PageDown： VK_NEXT (34)End键： VK_END (35) Delete键： VK_DELETE (46)方向键(←)： VK_LEFT (37)方向键(↑)： VK_UP (38)方向键(→)： VK_RIGHT (39)方向键(↓)： VK_DOWN (40)F1键： VK_F1 (112)F2键： VK_F2 (113)F3键： VK_F3 (114)F4键： VK_F4 (115)F5键： VK_F5 (116)F6键： VK_F6 (117)F7键： VK_F7 (118)F8键： VK_F8 (119)F9键： VK_F9 (120)F10键： VK_F10 (121)F11键： VK_F11 (122)F12键： VK_F12 (123)Num Lock键： VK_NUMLOCK (144) 小键盘0： VK_NUMPAD0 (96) 小键盘1： VK_NUMPAD0 (97) 小键盘2： VK_NUMPAD0 (98) 小键盘3： VK_NUMPAD0 (99)小键盘4： VK_NUMPAD0 (100) 小键盘5： VK_NUMPAD0 (101) 小键盘6： VK_NUMPAD0 (102) 小键盘7： VK_NUMPAD0 (103) 小键盘8： VK_NUMPAD0 (104) 小键盘9： VK_NUMPAD0 (105) 小键盘.： VK_DECIMAL (110) 小键盘*： VK_MULTIPLY (106) 小键盘+： VK_MULTIPLY (107) 小键盘-： VK_SUBTRACT (109) 小键盘/： VK_DIVIDE (111) Pause Break键： VK_PAUSE (19)常见ASCII码的大小规则：0~9＜A~Z＜a~z1）数字比字母要小。
物理化学 07章_统计热力学基础
四.定位体系和非定位体系
1.定位体系（localized system） 定位体系又称为定域子体系，这种体系中的 粒子彼此可以分辨。例如，在晶体中，粒子在固 定的晶格位置上作振动，每个位置可以想象给予 编号而加以区分，所以定位体系的微观状态数是 很大的。
四.定位体系和非定位体系
2.非定位体系（non-localized system） 非定位体系又称为离域子体系，基本粒子之
i
所以最概然分布公式为：
i
- 1 kT
max
N! * N i!
i
i
Ni* N
e
i
e
i / kT i / kT
三.简并度（degeneration）
能量是量子化的，但每一个能级上可能有若 干个不同的量子状态存在，反映在光谱上就是代 表某一能级的谱线常常是由好几条非常接近的精
当转动和振动量子数都等于零时公共能量标度化学平衡系统中有多种物质而各物质的能量零点又各不相同所以要定义一个公共零点通常选取0k作为最低能级从粒子的能量零点到公共零点的能量差为粒子的能量零点和公共能量零点的关系按公共的能量零点计算的分子能量为按公共能量标度计算的配分函数为ktkt按公共能量零点用非定位系统的配分函数计算的热力学函数的表示式为lnlnnknklnlnpvnkt非定位采用公共零点后aghu的配分函数表达式中多了在统计热力学中常选择0k作为最低能级因此就是n个分子在0k时的能量当分子混合并且发生了化学变化时必须使用公共的能量表度
与不考虑简并度时的最概然分布公式相比， 只多了 g i 项。
五.非定位体系的最概然分布(Boltzmann公式)
非定位体系由于粒子不能区分，它在能级上 分布的微态数一定少于定位体系，所以对定位体 系微态数的计算式进行等同粒子的修正，即将计 算公式除以 N ! 。 则非定位体系在U、V、N一定的条件下，所 有的总微态数为：
Maple常用计算命令
常用计算命令版本7.0指令》Maple 《章数章1第复数1.1 虚部/返回复数型表达式的实部Re,Im - 函数绝对值abs - 复数的幅角函数argument - 返回共轭复数conjugate - 实数和复数表达式的符号函数csgn - 5 函数sign 实数和复数表达式的signum - 常数1.2 MAPLE 已知的变量名称指数常数（以自然对数为底）的根I - x^2= -1 无穷大infinity 整数函数1.3 阶乘函数!- 商/整数的余数irem, iquo - 素数测试isprime - 无整数平方的因数分解isqrfree - 最小值/数的最大值max, min - 的整数模 m 计算对mod, modp, mods - 随机数生成器rand - 重置随机数生成器randomize - 素数1.4 首一素数多项式/有限域的随机多项式Randpoly, Randprime - 个素数 i 确定第ithprime - 最小素数/确定下一个最大nextprime, prevprime - 数的进制转换1.5 基数之间的转换convert/base - 转换为二进制形式convert/binary - convert/decimal - 进制 10 转换为将双精度浮点数由一种形式转换为另一种形式convert/double - 转换为浮点数convert/float - 转换为十六进制形式convert/hex - 转换为公制单位convert/metric - 转换为八进制形式convert/octal - 数的类型检查1.6 数的类型检查函数type - 初等数学章2第初等函数2.1 确定乘积求和不确定乘积product - 指数函数exp - 确定求和不确定求和sum - 计算平方根sqrt - +, -, *, /, ^ 算术运算符乘法/值序列的加法add, mul - 三角函数2.2 反双曲函数/反三角函数arcsin, arcsinh, . - 双曲函数/三角函数sin, sinh, . - 函数2.3 LOGARITHMS 函数dilog - Dilogarithm 一般对数，常用对数/自然对数ln, log, log10 - 类型转换2.4 乘积/转换为求和convert/`+`,convert/`*` - 将求和转换为超越函数convert/hypergeom - 将弧度转换为度convert/degrees - exp, sin, cos 函数转换为trig 将convert/expsincos - 转换为指数积分convert/Ei - 函数转换为指数函数trig 将convert/exp - 转换为对数函数arctrig 将convert/ln - 转换为极坐标形式polar - 将度转换为弧度convert/radians - sin, cos, sinh, cosh 函数转换为trig 将convert/sincos - tan 函数转换为trig 将convert/tan - 将指数函数转换为三角函数和双曲函数convert/trig - 章3第求值假设功能3.1 求值3.2 对一个表达式求值Eval - 求值eval -在代数数（或者函数）域求值evala - 求值布尔表达式按照一个evalb - 在复数域上符号求值evalc - 使用浮点算法求值evalf - 用硬件浮点数算法对表达式求值evalhf - 对矩阵表达式求值evalm - 求值到一个名称evaln - 用区间算法求表达式的值和计算范围evalr, shake - 用复数区间算法对表达式求值evalrC - 求值的惰性函数value - 求根，解方程章4第数值解4.1 利用浮点数算法求解fsolve - 包含浮点数的表达式solve/floats - 最优化4.2 寻找一个表达式的相对极值extrema - 最大值/计算最小值minimize, maximize - 一个多项式无穷大范数maxnorm - 求根4.3 的表达式的所有可能值RootOfs计算含有allvalues - 次根n 第/整数的平方根isqrt, iroot - 一个多项式的实数根的隔离区间realroot - 阶根n一个代数表达式的第root - 方程根的表示RootOf- 非主根函数surd - 一个多项式对一个变量的精确根roots - 多项式在区间上的实数根数和实根序列turm, sturmseq - 解方程4.4 消去一个方程组中的某些变量eliminate - 求解方程的整数解isolve - 求解一个方程组的一个或者多个变量solvefor - 隔离一个方程左边的一个子表达式isolate - 寻找一个表达式的极点singular - 求解包含属性的表达式solve/identity - 求解不等式solve/ineqs - 求解线性方程组solve/linear - 求解含有未知量根式的方程solve/radical -标量情况（单变量和方程）solve/scalar - 求解含有一般级数的方程solve/series - 解方程组或不等式组solve/system - 操作表达式章5第处理表达式5.1 的标准型) 或者函数 (代数数Norm - 惰性幂函数Power - 带余数的惰性幂函数Powmod - 代数域的原始元素 Primfield - 求一个代数数或者函数的迹Trace - 表达式和集合的特征函数charfcn - 找一个表达式的变元Indets - 函数表的逆invfunc - 带余数的幂函数powmod - 计算一个表达式的代数余Risidue - ) 不好用tan,cot对(表达式合并combine - 表达式展开expand - 展开表达式的惰性形式Expand - 不抑制函数展开/抑制expandoff/expandon - 因式分解5.2 绝对因式分解的惰性形式Afactor - 绝对因式分解分解项列表的惰性形式Afactors - 显式度Berlekamp 因式分解的Berlekamp - 多元的多项式的因式分解factor - 多元多项式的因式分解列表factors - 的惰性形式factor 函数Factor - 的惰性形式factors 函数Factors - 多项式的完全因式分解polytools[splits] - 化简章6第 118 表达式化简6.1 给一个表达式实施化简规则simplify - 利用运算符化简表达式simplify/@ - 利用指数积分化简表达式simplify/Ei - 函数进行化简GAMMA利用simplify/GAMMA - 函数化简表达式RootOf用simplify/RootOf -的表达式标识符wronskian 化简含simplify/wronskian - 化简超越函数表达式simplify/hypergeom - 化简含有对数的表达式simplify/ln - 化简分段函数表达式simplify/piecewise - 化简含有极坐标形式的复数型表达式simplify/polar - 化简含幂次的表达式simplify/power - 化简含有根式的表达式simplify/radical - 表达式rtable 化简simplify/rtable - 使用关系式进行化简simplify/siderels - 根式化简simplify/sqrt - 函数表达式trig 化简simplify/trig - 化简含嵌入型实数和虚数的复数表达式simplify/zero - 其它化简操作6.2 函数的惰性形式Normal - normal 将一个表达式转换成不同形式convert - 标准化一个含有根号数的表达式radnormal - 分母有理化rationalize - 操作多项式章7第中的多项式简介7.0 MAPLE 提取7.1 提取一个多项式的系数coeff - 提取多元的多项式的所有系数coeffs - 多元表达式的系数coeftayl - 返回多元多项式的首项和末项系数lcoeff, tcoeff - 多项式约数和根7.2 最小公倍数/多项式的最大公约数gcd, lcm - 次根n多项式的平方根和第psqrt, proot - 商/多项式的余数rem,quo - 操纵多项式7.3 形式Horner将一个多项式转换成convert/horner - collect - 象幂次一样合并系数确定一个多项式的可能合并的项数compoly - 将级数转换成多项式形式convert/polynom - 矩阵形式Horner将多项式转换成convert/mathorner - 将级数转换成有理多项式convert/ratpoly - 将值的列表或者多项式排序sort- 不含平方项的因数分解函数sqrfree -多项式运算7.4 多项式的判别式discrim - 计算多项式的固定除数fixdiv - 多项式的标准型norm - 计算两个多项式的终结式resultant - 数和多项式bernoulli - Bernoulli 多项式近似一个函数Bernstein用bernstein - 一个多元的多项式的内容和主部content, primpart - 最低次方/一个多项式的最高次方degree, ldegree - 多项式的精确除法divide - 数和多项式euler - Euler 多项式的整数部分icontent - 多项式的插值interp - 余数pseudo 余数和稀疏pseudo 多项式的prem, sprem - 随机多项式生成器randpoly - 计算自然样条函数spline - 有理表达式章8第有理表达式简介8.0 操作有理多项式8.1 分母/返回一个表达式的分子numer,denom - 将一般的表达式处理成一个有理表达式frontend - 标准化一个有理表达式normal - 转换为部分分数形式convert/parfrac - 将浮点数转换为接近的有理数convert/rational - 重建有理函数ratrecon - 微积分章9第取极限9.1 计算极限Limit, limit - 计算方向极限limit[dir] - 多重方向极限limit[multi] - 极限的返回值limit[return] - 连续性测试9.2 寻找一个函数在实数域上的间断点discont - 用数值法寻找函数在实数域上的间断点fdiscont - 测试在一个区间上的连续性iscont -微分计算9.3 微分算子D - diff 和函数D 运算符D, diff - 微分或者偏微分diff, Diff - 运算符表达式D将含导数表达式转换为convert/D - 的形式diff(f(x),x)表达式转换为D(f)(x)将convert/diff - 由一个方程定义一个函数的微分implicitdiff - 积分计算9.4 三角和双曲积分- Si, C i … 阶梯函数/Heaviside函数Dirac, Heaviside - Dirac 指数积分Ei - 椭圆积分Elliptic - 余弦积分和辅助函数,正弦- Fresnel FresnelC, … 定积分和不定积分int, Int - 函数及其第一和第二类函数- Legendre eP, … Legendr 对数积分Li - 变量代换student[changevar] - 积分dawson - Dawson 椭球体的表面积ellipsoid - 数值积分evalf(int) - 在一个点上积分求值intat, Intat - 微分方程章10第微分方程分类10.1 求解分析器odeadvisor - ODE- 数据结构表示微分方程解的DESol - 解(PDEs)能找到的偏微分方程pdsolve 测试pdetest - 常微分方程求解10.2 (ODE) 求解常微方程dsolve - 问题ODE 求解初始条件用给定的dsolve - 用积分变换方法求解常微分方程dsolve/inttrans - 常微方程数值解dsolve/numeric - 带分段系数的常微方程求解dsolve/piecewise - 问题的级数解ODE 寻找dsolve - 方程组ODEs 求解dsolve - 求解器中测试结果是显式或者隐式类型ODE 从odetest - 偏微分方程求解10.3 的解析解 (PDEs) 寻找偏微分方程pdsolve -数值计算章11第中的数值计算环境11.1 MAPLE 数值计算Maple标准和IEEE 数据类型特殊值环境变量算法11.2 标准算法复数算法，无穷和未定义数的算法0含有数据构造器11.3 254 复数和复数构造器complex - 浮点数及其构造器- Float, … 分数及其的构造器Fraction- 整数和整数构造器integer - 简介软件包11.4 MATLAB 11.5 “”区间类型表达式12第章级数幂级数的阶数12.1 阶数项函数Order - 确定级数的截断阶数order - 常见级数展开12.2 一般的级数展开series - 级数展开taylor - Taylor 级数展开Taylor多元mtaylor - .268 级数展开poisson- Poisson 其它级数12.3 求和eulermac - Euler-Maclaurin 分段连续函数piecewise - 渐进展开asympt - 13第特殊函数章波动函数AiryAi, AiryBi- Airy 函数的实数零点AiryAiZeros, AiryBiZeros - Airy 函数Weber函数和AngerJ, WeberE - Anger 函数Hankel函数和- BesselBesselI, HankelH1, … 函数实数零点- BesselBesselJZeros, … 函数Beta - Beta k(q) 模数函数EllipticModulus - 函数Gamma完全和不完全GAMMA, lnGAMMA - 算术的几何平均数GaussAGM - Gauss 椭圆函数振幅函数和JacobiAM, ., - Jacobi 函数JacobiTheta1, JacobiTheta4 - Jacobi theta 函数Zeta的JacobiZeta- Jacobi 函数KelvinBer, KelvinBei - Kelvin 函数U函数和KummerM, - Kummer M 函数LambertW - LambertW 函数Lerch Phi一般的LerchPhi - 函数LommelS1, LommelS2 - Lommel 函数Meijer G一个修正的MeijerG - 函数Polygamma和Psi - Digamma 函数StruveH, StruveL - Struve 函数及其导数WeierstrassP - Weierstrass P 函数WhittakerM - Whittaker 函数Zeta - Zeta 误差函数，补充的误差函数和虚数误差函数- erf, … 调和函数harmonic - 广义的超越函数hypergeom -一般的pochhammer - 函数pochhammer 函数polylogarithm一般的polylog - 线性代数章14第数组（代数）中矩阵，矢量和14.1 ALGEBRA 软件包简介14.2 LINALG 14.3 数据结构（小写）matrices矩阵（矢量）vectors矢量 matrix 转换成Matrix 将数组，列表，convert/matrix - vector转换成矢量Vector 将列表，数组或convert/vector - （小写）matrix生成矩阵linalg[matrix] - （小写）vector生成矢量linalg[vector] - 惰性函数14.4 惰性行列式运算符Det -数值型矩阵的特征值和特征向量Eigenvals - 标准型Smith 和Hermite 矩阵的Hermite, Smith - 函数14.5 LinearAlgebra 定义矩阵Matrix 减矩阵/加Add 伴随矩阵Adjoint 为上三角型行阶梯矩 A ，其中 A . X = B求解BackwardSubstitute 阵带状矩阵BandMatrix 返回向量空间的一组基Basis 返回向量空间直和的一组基SumBasis 返回向量空间交的一组基IntersectionBasis Bezout 构造两个多项式的BezoutMatrix 矩阵将矩阵约化为双对角型BidiagonalForm 构造特征矩阵CharacteristicMatrix 构造矩阵的特征多项式CharacteristicPolynomial 构造一个首一（或非首一）多项式或矩阵多项式的CompanionMatrix 友矩阵（束）计算矩阵关于某范数的条件数ConditionNumber 构造常数矩阵ConstantMatrix 构造常数向量ConstantVector 构造矩阵或向量的一份复制Copy NAG 将一个CreatePermutation 主元向量转换为一个置换向量或矩阵向量的叉积CrossProduct 向量的叉积`&x` 删除矩阵的行DeleteRow 删除矩阵的列DeleteColumn 行列式Determinant 返回从矩阵中得到的向量序列Diagonal 对角矩阵构造（分块）DiagonalMatrix 行数和列数Dimension 点积DotProduct 向量的双线性形式BilinearForm 计算数值特征值制约问题的特征值或特征向EigenConditionNumbers 量的条件数计算矩阵的特征值Eigenvalues 计算矩阵的特征向量Eigenvectors比较两个向量或矩阵是否相等Equal 为下三角型行阶梯矩阵 A ，其中 A . X = B求解ForwardSubstitute 型（有理标准型） Frobenius 将一个方阵约化为FrobeniusForm 消元高斯对矩阵作GaussianElimination 对矩阵作高斯－约当消元ReducedRowEchelonForm 返回矩阵或向量运算的结果数据类型GetResultDataType 返回矩阵或向量运算的结果形状GetResultShape 旋转的矩阵Givens 构造GivensRotationMatrix 计算一个正交向量集GramSchmidt 矩阵Hankel 构造一个HankelMatrix HermiteForm 正规型 Hermite 计算一个矩阵的型Hessenberg 将一个方阵约化为上HessenbergForm 矩阵Hilbert 构造广义HilbertMatrix 反射矩阵Householder 构造HouseholderMatrix 构造一个单位矩阵IdentityMatrix 检验矩阵的正定性，负定性或不定性IsDefinite 检验矩阵是否正交IsOrthogonal 检验矩阵是否为酉矩阵IsUnitary 确定两个矩阵是否相似IsSimilar 构造约当块矩阵JordanBlockMatrix 将矩阵约化为约当型JordanForm 张量积Kronecker 构造两个矩阵的KroneckerProduct 方程的最小二乘解LeastSquares A . x = b 求解线性方程组LinearSolve 分解PLU1R 或PLU ，Cholesky计算矩阵的LUDecomposition 将一个程序映射到一个表达式上，对矩阵和向量在原位置上进行Map 处理计算两个矩阵的线性组合MatrixAdd VectorAdd 计算两个向量的线性组合 exp(A) 的矩阵指数 A 确定一个矩阵MatrixExponential F(A) 的函数A 确定方阵MatrixFunction 伪逆Moore-Penrose 计算方阵的逆或矩阵的MatrixInverse 计算两个矩阵的乘积MatrixMatrixMultiply 计算一个矩阵和一个列向量的乘积MatrixVectorMultiply 计算一个行向量和一个矩阵的乘积VectorMatrixMultiply 矩阵的幂MatrixPower 构造矩阵的最小多项式MinimalPolynomial 计算矩阵的子式Minor矩阵相乘Multiply 范数p-计算矩阵或向量的Norm 范数p-计算矩阵的MatrixNorm 范数p-计算向量的VectorNorm 向量正规化Normalize 计算矩阵的零度零空间NullSpace 两个向量的外积OuterProductMatrix 方阵的不变量Permanent 矩阵元素的主元消去法Pivot 正规型PopovFormPopov 分解QRDecomposition QR 随机矩阵构造RandomMatrix 构造随机向量RandomVector 矩阵的秩计算Rank 返回矩阵的一个行向量序列Row 返回矩阵的一个列向量序列Column 对矩阵作初等行变换RowOperation 对矩阵作出等列变换ColumnOperation 返回矩阵行空间的一组基RowSpace 返回矩阵列空间的一组基ColumnSpace 构造一个单位矩阵的数量倍数ScalarMatrix 构造一个单位向量的数量倍数ScalarVector 矩阵与数的乘积ScalarMultiply 计算矩阵与数的乘积MatrixScalarMultiply VectorScalarMultiply 计算向量与数的乘积型Schur 将方阵约化为SchurForm 计算矩阵的奇异值SingularValues 正规型 Smith 将矩阵约化为SmithForm 计算方阵的强连通块StronglyConnectedBlocks 构造矩阵的子矩阵SubMatrix 构造向量的子向量SubVector 构造两个多项式的SylvesterMatrix 矩阵Sylvester 矩阵Toeplitz 构造ToeplitzMatrix 计算方阵的迹Trace 转置矩阵Transpose 共轭转置矩阵HermitianTranspose 将方阵约化为三对角型TridiagonalForm 构造单位向量UnitVector矩阵Vandermonde 构造一个VandermondeMatrix计算两个向量的夹角VectorAngle 构造一个零矩阵ZeroMatrix 构造一个零向量ZeroVector Zip 将一个具有两个参数的程序作用到一对矩阵或向量上子函数包提供作用在[Generic] 子函数包LinearAlgebra[Generic] 域，积分域和环上的线性代数算法。
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类似可以给出动量的本征方程和本征态的正交归一关系为
7.4 Dirac符号
量子力学教程(第二版)
ˆ p p p p ( p(实) ) (31)
p p ( p p)
p p ( p p)
坐标本征态(本征值为x') 表示为 1 ixp / x ( p ) p x e 2π
解： 在x表象中 V V dxdx x x V x x
dxdx * ( x)V ( x) ( x x) ( x)
dx * ( x)V ( x) ( x)
(41)
p2 1 2 T d x d x x x p x x 2m 2m
S k ak a
k
k
(20)
S k k
7.4 Dirac符号
(21)
是从F→F'表象的变换，描述两个表象的基矢之间的关系。
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写成矩阵的形式，有
S11 a1 a2 S 21
可以简写成
S12 S 22
7.4 Dirac符号
(32)
(33)
在动量表象中，动量本征态(本征值为p')表示为
(34)
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(2)坐标表象与动量表象的变换
( x) x dp x p p 1 dp eipx / ( p) 2π 1 dp eipx / ( p) (35) 2π ( p ) p dx p x x
我们称算符I 为单位算符，这是基矢完备性的表现， 通过以后的学习会发现它有着非常重要的意义. 2. 连续谱的情况 在这种情况下,上述的求和要用积分代替.比如：
7.4 Dirac符号
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dx ' x ' dp ' p '
x' I
p' I
(9)
3.两个态矢之间的积写法
7.4 Dirac符号
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2 2 i ( x, t ) dx ( x x) V ( x) ( x x) ( x, t ) 2 t 2m x 2 2 ( x, t ) V ( x) ( x, t ) (46) 2 2m x
*
( , ) ( , )*
7.4 Dirac符号
(1)
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若满足
与 正交。 若满足 1 则称 为归一化态矢。 若力学量完全集F的本征态(离散)记为 k 则其正交归一性可写为
0 则称
k j kj
(2)
对连续谱，比如坐标算符的本征态的正交归一性可写为
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7.4 Dirac符号 Dirac符号的优点 1. 毋需采用具体表象
2. 运算简捷 7.4.1 左矢(bra)和右矢(ket)
Hilbert空间：由量子体系的一切可能状态构成.
在这个空间中，态用右矢 表示，一般写为 也可以在右矢内填上相应的量子数或本征值来表示 相应的态，如
而
ˆ j L L
* S j L jk S k kj
kj
ˆ k k j L
S j L jk Sk
kj
SLS
(25)
7.4 Dirac符号
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写成矩阵的形式是
1 L SLS SLS
(25')
k
*
j
k j
k j kj
S S I
(24)
同理可证
SS I
7.4 Dirac符号
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2. 算符的表象变换
ˆ k ˆ 在F表象中的矩阵元为 L jk j L 算符 L
ˆ 在F'表象中的矩阵元为 L L
k
展开系数
ak k (4)
它是
在 k 上的投影.用列矢表示为
7.4 Dirac符号
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a1 1| a 2 | 2
(4)式代入(3)式,得
k k k k
x x ( x x)
而动量算符的本征态的正交归一性可写为
p p ( p p)
7.4 Dirac符号
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7.4.3 态矢在具体表象中的表示 1. 离散谱的情况 在F表象中(基矢记为 k ),任意态矢量 可用 k 展开，即 ak k (3)
(14)
是 在F表象的
j L' k ,
即
j
(L
j
kj
L ' kl )a j 0
7.4 Dirac符号
(15)
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式(15)写成矩阵的形式，有
b1 L11 b2 L21 L12 a1 L22 a2
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即
bk Lkj a j j bk k | ，
a j j | 分别是态矢 ,
(13)
在F表象中的表示
aj j ψ
力学量L的本征方程 ˆ L' L 在F表象中的表示为
ˆ k L ˆ j k L
基矢 j 方向的投影.
ˆ 在F'和F表象中的矩阵 L, L 分别为 L
以下讨论连续谱表象，特别是坐标表象和动量表象 (1)在x表象中x的矩阵元很容易写出 本征方程为
ˆ x x x x
( x(实) ) (26)
本征态的正交归一关系为
x x ( x x)
7.4 Dirac符号
a1 a2
(22)
a Sa
S S SS I
(22')
(23)
其中S为么正矩阵，即满足
下面用Dirac符号来证明上式
7.4 Dirac符号
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证明：在F表象中
* (S S )kj Sk S j S k S j
7.4.5 Schrö dinger方程 Schrö dinger方程可写为
ˆ i H t (16)
在F表象中表示如下：
7.4 Dirac符号
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ˆ k H ˆ j i k k H t j j
即
i ak H kj a j
j
(17)
ˆ 的平均值用Dirac符号表示为 在 | 态下，L
k
(10)
ˆ L
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7.4.4 算符在具体表象中的表示
ˆ 的作用后变成态矢 ,即 设态矢 经算符 L
ˆ L
ˆ 的矩阵元是 在F表象中，L
(11)
L
kj
ˆ j k L
(11)左乘 k 得
ˆ k L ˆ j k k L
j
j
(12)
7.4 Dirac符号
(37)
7.4 Dirac符号
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ˆ x ( p)x ' x '' x p
ˆ p p x dpdp x p p p
1 2π
i px i px
dpdpe
p ( p p) e
1 2
dpdpe
i
p ( x x )
i p ( x x ) 1 dpe i 2π x
i ( x x) x
(38)
7.4 Dirac符号
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与此类似,可计算出,在动量表象中动量的“矩阵”表示
ˆ p p ( p p) p p
*
dpdp ( p)V (i ) ( p p) ( p) p * dp ( p)V (i ) ( p) (43)
2
p p2 T dpdp p p p p 2m 2m
p
1 * 2 d p d p ( p ) p ( p p) ( p) 2m 1 * 2 d p ( p ) p ( p) (44) 2m
7.4 Dirac符号
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4. Schrödinger方程在不同表象中的表示 设粒子在势场V(x)中运动， H p2 / 2m V ( x),
则Schrö dinger方程为 i (t ) H (t ) (45) t 在x表象中的表示，可如下求之。用 x 左乘（45）式 取标积，得 i x (t ) x H (t ) dx ' x H x ' x ' (t ) t 即
2 1 * 2 d x d x ( x )( ) ( x x) ( x) 2 2m x 2 1 * 2 d x ( x )( ) ( x) (42) 2 2m x
7.4 Dirac符号
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在p表象中
V V dpdp p p V p p
而坐标x的“矩阵”表示为
(39)
ˆ p i p x ( p p) p
3. 力学量在不同表象中的平均值
(40)
在量子态 下(设已归一化),力学量的平均值可如下求之
7.4 Dirac符号