2014年春季学期-固体物理-第一章分析
固体物理_第一章（1.4晶向、晶面指数）
固体物理_第⼀章（1.4晶向、晶⾯指数）第1章晶体结构1.1 晶格的周期性1.2 典型晶格实例1.3 晶格的对称性1.4 晶向、晶⾯指数1.5 倒格⼦、布⾥渊区和晶体散射1.4.1 晶列指数（晶胞中）特别性质：所有平⾏晶列组成晶列族，包含所有格点晶列上的格点也是周期性的，且每⼀列格点分布⼀致同⼀个截⾯内，晶列是平⾏等距的晶列：连接任意格点的平⾏直线晶向：晶列的取向晶列指数：晶向的⽮量表达1.4.2 晶⾯指数（密勒指数）*平⾏的晶⾯组成晶⾯族，晶⾯族包含所有格点；* 晶⾯上的格点分布具有特定周期性，是⼆维格⼦* 同⼀族晶⾯中，每⼀个晶⾯的格点分布⼀致* 同⼀族晶⾯中，相邻晶⾯平⾏等距：系列平⾏等距晶⾯构成晶族晶⾯：晶格中任意三个不在同⼀直线上的格点决定的平⾯向与晶⾯正交（即为该晶⾯的法向⽮量）：⽤平⾯的法线式⽅程可证明若截距为负数，则对应指数头上加“-”号等效晶⾯常⽤⼤括号表⽰{hkl}，例如(100)，(010)统⼀⽤{100}表⽰，同样包括{110}、{111}晶⾯；晶⾯指数较⼩的⾯，⼀般为解理⾯晶⾯指数可⽤于计算两个⾯之间的夹⾓等效于法线⽮量的夹⾓：⼆者内积/模的乘积晶⾯指数可⽤于计算两个⾯之间的间距：等效于离原点最近的晶⾯上任意⼀点的格⽮长度，在法线⽅向的投影即，假设基⽮长度分别为a、b、c，晶⾯指数为(h, k, l)，则对应⽴体坐标系下的截距分别为a/h, b/k, c/l，继⽽，该晶⾯的法线⽮量为(h/a, k/b, l/c)，写成⽅向向量为(h/a, k/b, l/c)222选择在a轴上的截距，在法线的投影，即a/h在⽅向的投影d222。
固体物理(黄昆)第一章总结
固体物理(黄昆)第一章总结.doc固体物理（黄昆）第一章总结固体物理学是一门研究固体物质微观结构和宏观性质的学科。
黄昆教授的《固体物理》一书为我们提供了深入理解固体物理的基础。
本总结旨在概述第一章的核心内容，包括固体的分类、晶体结构、晶格振动和固体的电子理论。
一、固体的分类固体可以根据其结构特征分为晶体和非晶体两大类。
晶体具有规则的几何外形和有序的内部结构，而非晶体则没有长程有序性。
晶体又可以根据其内部原子排列的周期性分为单晶体和多晶体。
二、晶体结构晶体结构是固体物理学的基础。
黄昆教授详细讨论了晶格、晶胞、晶向和晶面等概念。
晶格是描述晶体内部原子排列的数学模型，而晶胞是晶格的最小重复单元。
晶向和晶面则分别描述了晶体中原子排列的方向和平面。
三、晶格振动晶格振动是固体物理中的一个重要概念，它涉及到晶体中原子的振动行为。
黄昆教授介绍了晶格振动的量子化描述，包括声子的概念。
声子是晶格振动的量子，它们与晶体的热传导和电导等性质密切相关。
四、固体的电子理论固体的电子理论是固体物理学的核心内容之一。
黄昆教授从自由电子气模型出发，介绍了固体中电子的行为和性质。
自由电子气模型假设电子在固体中自由移动，不受原子核的束缚。
这一模型可以解释金属的导电性和热传导性。
五、能带理论能带理论是固体电子理论的一个重要组成部分。
黄昆教授详细讨论了能带的形成、能隙的概念以及电子在能带中的分布。
能带理论可以解释不同固体材料的导电性差异，是现代半导体技术和电子器件设计的基础。
六、固体的磁性固体的磁性是固体物理中的另一个重要主题。
黄昆教授讨论了磁性的来源，包括原子磁矩和电子自旋。
磁性固体可以分为顺磁性、抗磁性和铁磁性等类型，它们的磁性行为与电子结构密切相关。
七、固体的光学性质固体的光学性质涉及到固体对光的吸收、反射和透射等行为。
黄昆教授介绍了固体的光学性质与电子结构之间的关系，包括光的吸收和发射过程。
八、固体的热性质固体的热性质包括热容、热传导和热膨胀等。
固体物理各章节知识点详细总结
3.1 一维晶格的振动
3.1.1 一维单原子链的振动
1. 振动方程及其解 (1)模型：一维无限长的单原子链，原子间距(晶格常量)为
a，原子质量为m。
模型 运动方程
试探解
色散关系
波矢q范围 B--K条件
波矢q取值
一维无限长原子链，m，a，
n-2 n-1 n mm
n+1 n+2
a
..
m x n x n x n 1 x n x n 1
x M 2 n x 2 n 1 x 2 n 1 2 x 2 n
..
x m 2n1 x 2 n 2 x 2 n 2 x 2 n 1
x
Aei2n1aqt
2 n1
x
Bei2naqt
2n
相隔一个晶格常数2a的同种原子，相位差为2aq。
色散关系
2co as q A M 22B0 m 22A 2co as q B0
a h12 h22 h32
由
2π Kh
d h1h2h3
2π
d K 得： h1h2h3
h1h2h3
简立方：a 1 a i,a 2 aj,a 3 a k ,
b12πa2a3 2πi
Ω
a
b22πa3a1 2πj
Ω
a
b32πa1a2 2πk
Ω
a
b1 2π i a
b2 2π j a
2π b3 k
2n-1
2n
2n+1
2n+2
M
m
质量为M的原子编号为2n-2 、2n、2n+2、···
质量为m的原子编号为2n-1 、2n+1、2n+3、···
固体物理 chapter 1讲诉
k
)
a2
a 2
(i
k)
a
a3
(i 2
j)
a1
a2
a3
1 4
a3
惯用元胞
c ab
a ai b aj c ak
a3
1个原胞包含格点数 4
六角晶系布拉菲格子：简单六角
六角密集的 布拉菲格子 初基元胞
电子科大 微固学院 李竞春
c
初基元胞基矢
a1
a 2
3i j
a2 aj
c ck
a1
三、非晶体 宏观上看：没有晶体的宏观特征。 微观上看：原子排列无规律，长程无序。
Be2O3 单晶体
Be2O3 非晶体
1.2 晶体的微观特征
单晶模型：理论上研究一种原子排列 完整无限的理想晶体。
一、空间点阵与基元 1、空间点阵：晶体内部结构，可以看成 一些相同的点（格点或阵点），在空间 作有规律的、周期性的无限分布。
abc a b c 90 90
a b c 90 a b c 90 a b c 90 a b c 90 120
a b c 90
7大晶系的关系
立方晶系三种基本结构
立方晶系 a = b = c
第1章 晶体结构
本章主要内容：晶体的宏观特征、空间点阵和基元、 初基元胞、惯用元胞、W-S元胞。 常见晶体结构（NaCl、CsCl、金刚石、 闪锌矿，密堆积）。 晶体宏观和微观对称性、晶向和晶面、 倒格子和布里渊区。
本章的重点：晶体结构的周期性和对称性。
1.1 晶体的宏观特征
一、晶体宏观特征：规则的几何外形、解 理性、物理特性各向异性。
1、外形：凸多面体、外形对称、规则。
不同一品种的晶体，外形不一样
固体物理-第一章
•
ai
aj
ak
•
•
•
•
顶角8个格点→8×1/8=1个原 子；→平均包含1个原子
原胞的体积 V a1 (a2 a3 ) a3
➢晶体的周期性
面心立方晶胞
晶
胞
的
ABC ABC 排列（立方密堆）
选
取
a1
a 2
jk
顶角8个格点→8×1/8=1个原子；面心6个原 子→6×½=3个原子；→平均包含4个原子
1.1 晶体的周期性
1.1.1 常见的晶体
沸石晶体
方沸石
化学式：RR[Alx+2ySin-(x+2y)O2n]·mH2O含水架状结 构铝硅酸盐矿物，单斜和正交（斜方）晶系为主。 式中R代表碱金属离子，基本上为K+或Na+。
菱沸石
纯净的各种沸石均为无色或白色，但可因混入杂质而呈各种浅色。玻璃光泽。解 理随晶体结构而异。沸石的晶体结构是由硅（铝）氧四面体连成三维的格架，格架中 有各种大小不同的空穴和通道，具有很大的开放性。碱或碱土金属子和水分子均分布 在空穴和通道中，与格架的联系较弱。不同的离子交换对沸石结构影响很小，但使沸 石的性质发生变化。晶格中存在的大小不同空腔，可以吸取或过滤大小不同的其他物 质的分子。工业上常将其作为分子筛，以净化或分离混合成分的物质 ，如气体分离、 石油净化、处理工业污染等。此外沸石还具有独特的吸附性、催化性、离子交换性， 离子的选择性、耐酸性、热稳定性、多成份性、及很高的生物活性和抗毒性等。
1.1.3 基本概念
晶体的特点：晶体具有规则 的几何外形，固定的熔 点，某些晶体具有一定 的解理性。
周期性：晶体中 微粒的排列按照 一定的方式不断 的做周期性重复 的性质，称为晶 体结构的周期性。
固体物理 第一章 晶面和晶向
晶体结构1
晶向(crystal direction)
布拉维格子的格点可以看成分布在一系列相互平 行等距的直线族上，每一直线族定义一个方向， 称为晶向. 这些相互平行的直 线可以将所有的格 点包括无遗，称为 晶列(crystal array)； 在一个平面内，相 邻晶列之间的距离 相等。
晶向
晶面
{ }表示一组由于对称性而相互等价的晶面； 如对简单立方格子，{100}表示3个相互等价的晶 面，(100), (010), (001).
晶面
晶面
对于简单立方格子，晶向[h1, h2, h3]与晶面(h1, h2, h3)正交.
单胞(unit cell)
晶体学中，习惯用晶系的基矢a, b, c构成的 平行六面体作为周期性重复排列的基本单 元，称为单胞或惯用单胞(conventional unit cell). 原胞只含有一个格点，是体积最小的周期 性重复单元，单胞则不同，可含有一个或 者数个格点，体积是原胞的一倍或数倍。
更多见 /wiki/Crystallographic_database
网络学习资源
EDU-COD /search/edu/ CCDC Mercury http:// /products/mercury/ 晶体结构三维显示软件CrystalMaker, etc. / 分子结构三维显示软件Rastop, etc. /rastop/
如沿晶向方向的最短格矢为 l1a1 则该晶向可记为l l 1l 2 3
l a2 2 l a3 3
如右图中， a1轴方向记为[1 0 0]， a2轴方向记为[0 1 0]， a3轴方向记为[0 0 1]， a1轴和a2轴的夹角方向 记为[1 1 0]；
晶向
< >表示一组由于对称性而相互等价的晶向； 如对简单立方格子，<100>表示6个相互等价的方 向，[100],[1 00],[010],[0 1 0],[001],[00 1] 其中数字1上有负号，分别表示-a1, -a2, -a3方向；
固体物理第一章第二节 自由电子气体的热性质
2
6
Q( )(k BT ) 2
准确到二级近似，略去高次项得：
I Q( )+
2
6
Q( )(k BT ) 2
取：
H g ( )
则：I = n
此外,我们已知,化学势 和T0时的费米 能量0F非常接近,所以，我们可以将Q()在0F 附近展开，即
1 0 0 Q( ) Q( )+( - )Q( ) ( - F ) 2 Q( F )+ 2
0 F 0 F 0 F
此外,对于I=n有：
0 F
H ( ) g ( )
0 F
（1） 代入下式，并只取到一级近似
1 0 0 Q( ) Q( )+( - )Q( ) ( - F ) 2 Q( F )+ 2
0 F 0 F 0 F
0 0 0 Q F H ( F ) g ( F )
d Q( ) Q( ) ( g ( )) 0 F d
0 F
代入
I Q( )+
Q( )(k BT ) 2 得到： 6
2 0 F
2
其中
d 2 u u0 ( ) g ( ) [ g ] 0 (kBT ) F 6 d
0 F 0 F
1.计算单位体积电子的能量
自由电子气体在一般温度下单位体积的总能 量（内能）为：
u g ( ) f ( )d
０
这又是费米积分形式
I H ( ) f ( )d
０
且我们已知上式近似为
I Q( )+
0 F
2
6
0 F
Q( )(k BT ) 2
固体物理学第一章习题指导
2
2
4
因为对立方晶系，晶列 hkl 与晶面族 hkl 正交，所以
ABC面的密勒指数为 (13 1)。 固体物理学习题指导2014年3月
17/27
(2)
AC
OC
OA
c
1 2
ab
ab
可见 A C 与晶
列
a b 2c
平行。因此AC晶列的晶列指数为
由上式可知，AC晶列在原胞坐标系中的指数为
1
12
。
固体物理学习题指导2014年3月
18/27
15、试证面心立方的倒格子是体心立方；体心立方的倒格子是 面心立方。
解：设与晶轴 a,b,c 平行的单位矢量分别为i, j, k ，面心立方正
格子的原胞基矢可取为
a
a
a
a1 2 ( j k), a2 2 (k i), a3 2 (i j).
将体心立方正格子原胞基矢代入倒格矢公式
b1
2
a2 a3
,b2
2
a3 a1
, b3
2
a1 a2
,
可得其倒格矢为
2
b1 a
2
j k ,b2 a
2
k i ,b3 a
i j 。
可见体心立方的倒格子是面心立方。
9/27
11、以刚性原子球堆积模型，计算以下各结构的致密度分别为：
（1）六角密积
2
6
3
；（2）金刚石结构 1 6
。
解：设想晶体是由刚性原子球堆积而成。一个晶胞中刚性原子 球占据的体积与晶胞体积的比值称为结构的致密度。 设n为一个晶胞中的刚性原子球数，r表示刚性原子球半径， V表示晶胞体积，则致密度
固体物理-第一章
B
C
(3)金刚石晶格
金刚石和石墨 金刚石由碳原子构成，在一个面心立方 原胞内还有四个原子，这四个原子分别 位于四个空间对角线的 1／4处。一个碳 原子和其它四个碳原子构成一个正四面 体。
金刚石晶格
c
c
金刚石晶格是由两个面心晶格重叠相嵌而成。两个面心立方 子晶格沿体对角线位移1/4的长度套构而成,
ak
a1
aj
a2 a3
ai
典型的晶体结构
结构型 单胞中的 原子在单胞 最近邻 原子个数 中的位置 距离 配位数
(Cu)
fcc
4 2
Cs+ 1
bcc
11 ( (000) 0) 22 1 1 ( 0 ) (0 1 1 ) 2 2 22
2a 2 3a 2 3a 2
12
(W)
(000)
11 1 ( ) 22 2
§1.1
一些晶格的实例
一、晶格（晶体的格子）中原子排列的具体形式。
（1）考虑原子球层的正方排列形成的晶格结构
原子正方排列: 把原子看成原子球，一层层排列，一个原子与相邻原 子组成正方形，每层都为正方排列.
如此堆积而成的晶格分为两类：
（i） 简单立方晶格
原子球规则排列最简单的形式为正方排列，如果把这样的原子层叠起来，各层的 球完全对应，上下对称，为简单立方晶格。
(1 ,2 ,3 )为一组整数
对于金刚石晶格，面心立方顶点位置的原子的位置：
1 a1 2 a 2 3 a 3
面心立方体对角线1/4处位置的原子位置： 1 a1 2 a 2 3 a 3 r 一组 1 a1 2 a 2 3 a 3 可以包括所有的格点 布拉伐格子： 由 1 a1 2 a 2 3 a 3 确定的空间格子 任一点的位矢 r，V(r ) V(r 1 a1 2 a 2 3 a 3 )，
固体物理第一章总结
固体物理(黄昆)第一章总结(总5页)页内文档均可自由编辑，此页仅为封面第一章晶体结构1.晶格实例1.1面心立方（fcc）配位数12 格点等价格点数4 致密度0.74原胞基矢：()()()123222aa j kaa k iaa i j=+=+=+原胞体积3123()/4Ωa a a a=⋅⨯=NaCl: 两组面心立方格子平行穿套而成的复式格子基元= Na+ + Cl-具有面心立方：简单格子（Al、Cu、Ag； Ar Kr Xe Ne）、复式格子（Cao MgS 碱卤族等）1.2简单立方（SC）配位数6 格点等价格点数1 致密度0.52CsCl两组简单立方格子穿套而成的复式结构基元= Cs+ + Cl-钙钛矿结构：CaTiO3五个简单立方穿套而成基元：Ca、Ti、OI、OII、OIII (OI、OII、OIII 的化学环境各不相同，氧八面体) 典型晶体：BaTiO3、PbZrO3、LiNbO3、LiTaO3氯化铯型结构： CsCl, CsBr, CsI, TlCl, TlBr, TlI 等1.3体心立方（bcc）配位数8 格点等价格点数2 致密度0.68原胞基矢：123()2()2()2aa i j kaa i j kaa i j k=-++=-+=+-原胞体积：3123()/2Ωa a a a=⋅⨯=体心立方晶体: 碱金属、W、Mo、Nb、V、Fe等1.4六角密堆（hcp）配位数12 两种格点原子数6 基元数3 致密度0.74典型晶体举例：He, Be, Mg, Ti, Zn, Cd, Co, Y, Lu 等1.5金刚石结构最近邻原子数4 次近邻原子数12 致密度0.34晶体结构=布拉维格子（面心立方）+ 基元(A+B)*将金刚石结构中的基元置换成一对硫离子和锌离子，则为两个面心立方复合而成的复式结构，典型晶体：SiC, ZnSe, AlAs, GaP, GaAs 等2.晶体的周期性结构2.1基本概念晶体：1. 化学性质相同 2. 几何环境相同 基元：晶体结构中最小的重复单元布拉维点阵（布拉维格子）： 112233R n a n a n a =++ 晶体结构 = 布拉维格子+基元原胞：由基矢1a 、2a 、3a 确定的平行六面体，是体积最小的周期性结构单元，原胞只包含一个格点晶胞：同时计及周期性及对称性的尽可能小的重复单元，原胞实际上是体积最小的晶胞2.2维格纳-赛茨原胞（WS 原胞）1. 作某个格点与其它格点的连接矢量2. 作所有这些连接矢量的垂直平分面3. 这些垂直平分面围起的凸多面体就是维格纳-赛茨原胞3. 晶向、晶面及其标志 晶列（向）指数：[l m n]晶面指数（米勒指数）：( h k l )米勒指数是以晶胞基矢为基准，而面指数则以原胞基矢为基准标定4. 布里渊区倒格子空间中的维格纳-赛茨（WS ）原胞，即所谓的第一布里渊区,布里渊区包含了所有能在晶体上发生布拉格反射的波的波矢22h h k G G ⋅=4.1简单立方的倒格矢（简单立方——简单立方）基矢123a aia aj a ak ⎧=⎪=⎨⎪=⎩ 倒格矢123(2π/a)(2π/a)(2π/a)b i b j b k ⎧=⎪=⎨⎪=⎩4.2体心立方晶格的倒格子（体心立方——面心立方）基矢1231()21()21()2a a i j k a a i j k a a i j k ⎧=-++⎪⎪⎪=-+⎨⎪⎪=+-⎪⎩ 倒格矢1232π()2π()2π()b j k a b k i a b i j a ⎧=+⎪⎪⎪=+⎨⎪⎪=+⎪⎩倒格矢可以表示为：1122332331122π[()()()]h G h b h b h b h h i h h j h h k a=++=+++++ 其中（h1 h2 h3）是米勒指数，h G 垂直于米勒指数，其第一布里渊区是一个正十二面体4.3面心立方晶格的倒格子（面心立方——体心立方）基矢1231()21()21()2a a j k a a k i a a i j ⎧=+⎪⎪⎪=+⎨⎪⎪=+⎪⎩ 倒格矢1232π()2π()2π()b i j k a b i j k a b i j k a ⎧=-++⎪⎪⎪=-+⎨⎪⎪=+-⎪⎩第一布里渊区为截角八面体即5. 晶体的宏观对称性xx xy xz x x y yx yy yz y z zx zy zz z D E D E D E εεεεεεεεε⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭5.1对于所有立方对称的晶体中，介电常数是一个对角张量：0 (,,,)x y z αβαβεεδαβ==该结论适用于一切具有二阶张量形式的宏观性质 (如电导率、热导率)5.2六角对称的晶体中，若坐标轴选取在六角轴的方向和与它垂直的平面内，则介电常数有如下形式// 0 00 00 0 εεε⊥⊥⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ，//////D E ε=， D E ε⊥⊥⊥=，六角对称的晶体有双折射现象5.3对称操作（正交变换：旋转、中心反演、镜面反映） 1. 旋转绕 z 轴旋转 q 角的正交矩阵cos sin 0sin cos 0 0 0 1θθθθ-⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭，中心反演的正交矩阵1 0 0 0 1 0 0 0 1-⎛⎫⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭由于cost = (1 - m)/2 所以 m = -1 0 1 2 3，所以t = 0 2π/6 2π/4 2π/3 2π/2，没有所谓的5度轴和7度轴。
《固体物理》第一章 1第五节
1 0
0
A 0 cos sin
0 sin cos
A 1
②中心反演
取中心为原点，经过中心反演后，图形中任一点（x1,x2,x3) 变
为另一点（ -x1,-x2,-x3)，则变换关系如下
x1' x1 x2' x2 x3' x3
x
' 1
1 0
0 x 1
x
' 2
0
1
0 x 2
x
' 3
x1' x1
X3
x2' cxo2scos()x2(c ocsco o sssinsin )
x2co sx2t gsin x2co sx3sin
x3' cxo2ssin()x2(s ic nco o scso ssin ) X 1
x2sin x2t gco sx2sinx3cos
(x1’,x2’,x3’)
第六节 晶体的对称性
本节重点 1）基本的对称操作； 2）宏观对称类型； 3）微观对称类型
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聊城大学物理科学与信息工程学院
第六节 晶体的对称性
1、对称的概念
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第六节 晶体的对称性
镜像(面) 中心反演
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聊城大学物理科学与信息工程学院
旋转
第六节 晶体的对称性
面等对称要素保持不动。 点：中心点；线：旋转轴线；面：镜面
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聊城大学物理科学与信息工程学院
第六节 晶体的对称性
2、晶体对称性的判定 由于晶体的自限性，使得晶体内部的原子的规则排列反映在晶体 的宏观形态上，晶体表现出宏观对称性。 对于外表面具有很多晶面晶体，往往不能直接判别它对称特征， 必须经过测角和投影以后，才可对晶体对称规律进行分析研究。
14春-固体物理-第一章习题解答参考(教资优择)
各向异性 -- 晶体的性质与方向有关 对称性 -- 晶体性质在某些特定方向上完全相同
非晶体 没有固定熔点、没有固定几何形状、各项同性、没有解理性
多晶体 各项同性、具有固定熔点、没有固定的几何形状、没有解理性
准晶体
教资借鉴
22
1.9 画出体心立方和面心立方（100）、（110）和（111）面上的格点分布图
b1 )
c
1 2
(b1
b2 )
与晶面族(hlk垂)直的倒格矢：
Ghkl
ha
kb
lc
1 2
k
l b1
l
hb2
h k b3
1
2 p(h1b1 h2b2 h3b3 )
1 2 pGh1h2h3
是p k l , l h的,最h大公k约 数。
已知晶面密勒指数 (hl，k )可得到原胞坐标系下的晶面指数：
d a 3
格点体密度，
1 4
a3
最大面密度，
d
教资借鉴
4 a3
a 3
4 3a 2
12
1/2属于该等边三角形
2a
(111)
(111)
a
2a
1/6属于该等边三角形
等边三角形面积，
S 1 2a 2a sin 600 3 a2
2
2
格点面密度，
2 4
S
教3资a借2 鉴
13
1.5 求立方晶系晶面族 h的k面l 间距；
教资借鉴
19
1.7 底心立方是否是布拉菲格子？如果是，写出它的基矢；
cb
a
底心格点与顶角格点周围情况完全相同， 构成简单立方布拉菲格子。
注意：立方晶系不存在底心立方点阵，因 为它失去四条3次轴，只保留一条4次轴，成 为简单立方晶格。
固体物理第一章总结
第一章晶体结构和X射线衍射1.1晶体的特征微观特征固体分类(按结构)晶体长程有序分为单晶体和多晶体准晶体有长程取向性,而没有长程的平移对称性。
非晶体不具有长程序的特点，短程有序。
长程有序：至少在微米量级范围内原子排列具有周期性。
宏观特征自限性、晶面角守恒、解理性、均匀性、晶体的各向异性、对称性、固定的熔点。
晶体的宏观特性是由晶体内部结构的周期性决定的，即晶体的宏观特性是微观特性的反映。
晶体结构及其描述一、晶体结构一个理想的晶体是由完全相同的结构单元在空间周期性重复排列而成的。
所有晶体结构可以用晶格来描述，这种晶格的每个格点上附有一群原子，这样的一个原子群称为基元,基元在空间周期性重复排列就形成晶体结构。
1.晶格+基元=晶体结构(1)晶格晶体的内部结构可以概括为是由一些相同的点子在空间有规则地做周期性无限分布，这些点子的总体称为晶格。
用矢量表示为：),,(321332211取整数nnnnnn++=所对应的点的排列。
晶格是晶体结构周期性的数学抽象。
(2)基元在晶体中适当选取某些原子作为一个基本结构单元，这个基本结构单元称为基元。
基元在空间周期性重复排列就形成晶体结构。
(3)格点晶格中的点子代表着晶体结构中相同的位置，称为格点。
一个格点代表一个基元，它可以代表基元重心的位置，也可以代表基元中任意的点子。
晶格+基元=晶体结构二、原胞的分类1.固体物理学原胞(简称原胞)构造：取一格点为顶点，由此点向近邻的三个格点作三个不共面的矢量，以此三个矢量为边作平行六面体即为固体物理学原胞。
特点：格点只在平行六面体的顶角上，面上和内部均无格点，平均每个固体物理学原胞包含1个格点。
它反映了晶体结构的周期性。
基矢：固体物理学原胞基矢通常用表示。
体积：()321aaaΩ⨯⋅=2.结晶学原胞（单胞、晶胞、惯用晶胞）构造：使三个基矢的主轴尽可能地沿空间对称轴的方向。
它具有明显的对称性和周期性。
特点：结晶学原胞不仅在平行六面体顶角上有格点，面上及内部亦可有格点。
固体物理第一章总结完全版
第一章 晶体的结构一、本章内容1、晶体的共性 ( crystal characters )2、晶格及其平移对称性（lattice and translation symmetry ）3、晶列和晶面（crystal array and plane ）4、晶体的宏观对称性（crystal symmetry ）二、本章要求1、掌握晶体的特征。
晶格周期性的描述方法：基元、布拉菲格子、原胞、基矢的概念。
简单格子与复式格子，原胞、晶胞的概念与选取。
常见晶格结构及其代表晶体。
2、掌握晶列与晶面，晶向指数与晶面指数（密勒指数）的含义与确定方法。
3、熟悉晶体的对称操作、对称素的概念，晶体点群的基本知识。
七大晶系与十四种布拉菲格子。
三、本章知识框图s bcc fcc ⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩⎧⎨⎩定义：内部质点在三维空间呈周期性重复排列的固体长程有序性自限性和晶面角守恒定律晶体的共性各向异性固定熔点晶格定义：晶体中原子排列的具体形式简立方结构（c ）体心立方结构（）（Li,Na,K,Rb,Cs,Fe ）六角密排结构（hcp ）（Be,Mg,Zn,Cd ）密堆积结构面心立方结构（）（Cu,Ag,Au,Al ）常见的晶体结构金刚石结构（Ge,Si ）NaCl 晶体晶体的结构C =ηη⎧⎪⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎧⎧⎪⎪⎨⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩⎩⎪⎪⎩结构sCl 结构闪锌矿结构钙钛矿结构一个原子的周围最近邻的原子数配位数：配位数反映原子排列的紧密程度，粒子排列越紧密，配位数越大描述晶体紧密程度的物理量致密度，或堆积因子是指晶胞中所有原子的体积与晶胞体积之比；致密度：晶胞中原子的体积之和公式表示：晶胞体积在整体范围单晶体分类⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎨⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎩⎩内原子排列都是规则的晶带：在晶体中有一些晶面的交线(晶棱)互相平行，这些晶面称为一个晶带带轴：相互平行的晶棱的共同方向称为带轴多晶体：由许多单晶体构成，在个晶粒范围内，原子排列是有序的点阵：晶体的内部结构，可以概括为有一些相同的化学质点在空间有规律地作周期性的无限分布。
固体物理第一章
3、 晶格分类
① 简单晶格：
性质：每个原胞有一个原子 → 所有原子完全“等价 ” 举例：具有体心立方晶格的碱金属具有面心立方结构 的 Au, Ag,Cu 晶体
② 复式晶格：
性质：每个原胞包含两个或更多的原子 → 实际上表示 晶格包含两种或更多种等价的原子或离子
结构：每一种等价原子形成一个简单晶格; 不同等价原子形成的简单晶格是相同的
3· 注意：复式晶格的原胞 = 相应的简单晶格的原胞 原胞中包含每种等价原子各一个 4· 原胞：B 原子组成的面心立方原胞 + 一个A原子
金刚石晶格的原胞
六、氯化钠(NaCl)结构
1· 特点：NaCl 结构的布拉伐格子是 fcc 格子 基元 = Na+ + Cl- (相距半个晶格常数) 2· 堆积方式: Na+ + 和 Cl-本身构成面心立方晶格 NaCl晶格 → Na 和 Cl- 的面心立方晶格穿套而成
非晶体
第二节 一些晶格的举例
学习内容：
定义 一、简单立方晶格（SC格子） 二、面心立方晶格 三、体心立方晶格 四、六角密排晶格 五、金刚石晶体结构 六、氯化钠结构
七、氯化铯晶格
了解几个定义：
1· 配位数：原子的最近邻（原子）数目 2· 致密度：晶胞中原子所占体积与晶胞体积之比 注：配位数和致密度 ↑→ 原子堆积成晶格时愈紧密 3· 密排面：原子球在一个平面内最紧密排列的方式 把密排面叠起来可以形成原子球最紧密堆积的晶格。
: 原胞内各种等价原子之间的相对位移 ra
1,2,.....,i
面心立方位置的原子 B 表示为：l1a1 l2a2 l3a3
立方单元体内对角线上的原子 A 表示为: l1a1 l2a2 l3a3
14春-固体物理-第一章练习题解答参考
a1
a2
b
a3
a
与晶胞坐标系对应的倒格子基矢：
a
2
i ,b
2
j,
c
2
k
a
a
a
原胞基矢
a1
a 2
(
j
k)
a2
a 2
(i
k)
a1 a2 a3
a3
a 2
(i
j)
与原胞坐标系对应的倒格子(体心立方)基矢：
k Gh
1 2
Gh
2
2 a
2h1k x h2 k y
2 2 a2
2h12 h22
2h1kx h2k y
a
2h12 h22
得到第一、第二布里渊界面方程,
h1 1, h2 0, k x
2
2
h1 0, h2 1, k y a
倒格子原胞基矢，
2
2 2
b1 d a2 a3 a i
j 3a
b2
2
d
a3 a1
2
a
i
2
a3
j
所以，倒格子也是正六方格子。
正六边形的对称操作： 绕中心转动：
1、 C１1个； 2、C2 1个； 3、C3 4个（60度、120度、240度、300度）；
绕对边中心的联线转180度，共3条；
晶体结构
sc
bcc
fcc
金刚石
配位数
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原子
体心立方晶体结构（bcc）
(bcc: body-centered cubic)
面心立方晶体结构、六角密堆积结构
A、密堆积结构 将原子看成同种等大刚性球，在同一平面上，一个球最多与 六个球相切，形成密排面，密排面按最紧密方式叠起来形成的 三维结构称为密堆积。
A
A
A
A
A
A
A
密排面
B、立方密堆积——面心立方晶体结构（fcc）
2
a1
a21a 1a2
k
a2
k
1
3
a1
a1a1a
2
k
a2
k
1
（8）晶胞（单胞、晶体学原胞） 以一格点为原点，以晶体三个不共面对称轴（晶轴） a、为b、坐c
标轴，坐标轴上原点到相邻格点距离为边长，构成的平行六面体 称为晶胞， a称、为b、晶c 胞基矢。
例、
第一章 晶体的几何（晶体的结构）
1.1 晶格及其周期性 1.2 晶列 晶面及其标识 1.3 倒格子 1.4 晶体的宏观对称和点群 1.5 晶格对称性 1.6 晶体的X射线衍射
§1.1 晶格及其周期性 1.1.1 一些晶体结构的实例
晶体结构—晶体中原子的具体排列形式
简单立方晶体结构（sc）
(sc：simple cubic)
Cl-
c
Cs+
b
a
Cs+和Cl-各自构成简立方晶格，沿体对角线相互移动1/2对 角线长套构而成。
钙钛矿( calsium titanate )（ABO3）晶体结构
A O1
B OⅢ
OⅡ 氧八面体
A离子在立方顶角，B离子在立方体心(氧八面体中心），O1、 OⅡ、OⅢ分别在立方面心， A、B、O1、OⅡ、OⅢ各自组成简 单立方格子套构而成。
（9）威格纳-赛兹原胞（WS原胞、对称化原胞）
以一格点为中心，作该点与最邻近格点连线的中垂面，中垂面 围成的多面体称为WS原胞。
WS原胞含一个格点，体积与原胞体积相等。 WS原胞避免基矢选择，既反映晶体平移对称性又反映晶体宏 观对称性。
例、
一个二维点阵的WS原胞
面心立方的WS原胞
（fcc: face-centered cubic)
密排面按ABC\ABC\ABC…排列，
C、六角密堆积结构（hcp) (hcp：hexagonal close-packed)
密排面按AB\AB\AB…堆积，B层原子与A层原子取向相差 180度
A
B
A
O
O
1200
金刚石结构
面心
顶角
立方体8个顶角各有一个原子，立 方体6个面的面心各有一个原子， 立方体4条对角线上各有一个原子
c b a
体心立方晶胞
c
b
a
面心立方晶胞
c
b
a
简单立方晶胞
晶胞的性质
①
晶胞边长
a
、b
、 称c为晶格常数；
② 晶胞不一定是最小周期重复体积单元，体积是原胞的整
数倍；
③ 格点可能在晶胞非顶点位置；
④ 反映晶体的宏观对称性；
⑤ 晶胞不能按平移矢量无交迭填满整个空间，因而不能完
全反映点阵平移对称性；
原胞是晶体结构的最小体积重复单元，可以平行、无交叠、 无空隙地堆积成整个晶体。
例、
a3
a2
a1
a3
a2
a1
原胞的性质
① 有8个顶点，每个原胞含一个格点；
② 体积
a11 a12 a13
a1 (a2 a3 ) a21 a22 a23
a31 a32 a33
③ 不同原胞中对应点的性质相同（平移对称性）；
r r Rl
Rl
Rl l1a1 l2a2 l3a3
(l1,l2 ,l3 0, 1, 2, 3,)
点阵空间密度函数是晶格平移矢量的周期函数，
r Rl r
（7）原胞(元胞、固体物理学原胞) 以一个格点为顶点，以某一方向上相邻格点的距离为该方向
的周期，以三个不同方向的周期为边长，构成的最小体积平行 六面体。
以一个格点为起点，以三个独 立方向上的最近邻三个格点为 终点所形成的不共面矢量 a1, a2，, a称3 为基矢。
晶体由基元（格点）沿空间基矢方向重复堆积而成的性质称 为晶格周期性（平移对称性）。
基矢选择不是唯一的。
a3
a2
a1
a3
a2
a1
（5）晶格平移矢量 ( position vectors ) 基矢确定后，一个点阵可以用一个矢量表示，称为晶格平移矢量。
金刚石结构可以看成是体对角线上原子构成的面心立方晶格 与顶角、面心原子构成的面心立方晶格沿立方体对角线相互移 动1/4对角线长度套构形成。
对角线
闪锌矿（Zine Blende)结构（立方硫化锌结构）
Zn
c
S
1/4体对角线原子
b
a
体对角线上离子面心立方与顶角、面心离子面心立方沿体对 角线相互移动1/4对角线长套构而成。
V (r Rl ) V (r ) ④ 原胞选择不是唯一的，但不同原胞的体积相同；
例、
R11 a2 r
a1
a
2
a1
第一种基矢 a1, a2
第二种基矢
a1
a1
a2
2a1
a2
2a1
a2
第三种基矢
a1
a1
a2
a1
a2
a3 k
a3 k a3 k
a
2
a1
1 a1 a2 k
纤锌矿（六方硫化锌）型结构 六方轴 c
Ⅱ族锌离子 B
Ⅵ族硫离子 B A
A
六方硫离子和六方锌离子沿六方轴 C 移动3C/8长度套构形成
氯化钠(sodium chloride)晶体结构
Cl-
Na+
Na+和Cl-各自构成面心立方格子沿立方边长方向相互移动半 个边长套构形成。
氯化铯(cesium chloride )晶体结构
1.1.2 晶体结构及周期性 (平移对称性）的描述 （1） 基元—构成实际晶体的一个最小重复结构单元
基元为一个大分子
基元为一对钠离子-氯离子
Na+ Cl-
（2） 格点—用几何点代表基元，该几何点称为格点
分子
基元 分子
格点
基元 格点
（3） 点阵（空间点阵、正格子、晶格）
格点的集合称为点阵。
晶体结构= 点阵+基元 （4）基矢(basis vector）、晶格周期性（平移对称性）
Rl Rl1l2l3 l1a1 l2a2 l3a3 (l1, l2 , l3 0, 1, 2, 3,)
晶格只对离散值的平移具有对称性，称为破缺的平移对称性。
例、
R1,0,2 a1 2a3
R2,1,1 2a1 a2 a3
a3
a2
(0,0,0) a1
R2,0,0 2a1
（6）点阵空间密度函数 点阵空间密度分布的函数表示，