《误差理论》课件第五章线性参数的最小二乘法处理

《误差理论与数据处理》
广东工业大学信息工程学院
第一节 最小二乘法原理
既然测量值 l1,l2,已,ln经出现，有理由认为这n个 测量值出现于相应区间的概率P为最大。要使P最大，
应有
12 12
2 2
2 2
n2 n2
最小
结果只是接近真值的估计值，上述条件应表示为
v12
2 1
v22
2 2
vn 2
n2
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第一节 最小二乘法原理
思路二：不等精度 pi 等精度
v1 p1 l1 p1 a11 p1 x1 a12 p1 x2 a1t p1 xt
v2
p2 l2
p2 a21
p2 x1 a22
p2 x2 a2t
p2
xt
vn
pn ln
pn an1
最小二乘法原理* 等精度测量线性参数的最小二乘法处理* 不等精度测量线性参数的最小二乘法处理 最小二乘法估计量的精度估计▲ 组合测量的最小二乘法处理
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第一节 最小二乘法原理
一、引入
待测量（难以直接测量）：X1, X2, , Xt 直接测量量： Y1,Y2 , ,Yn
x1, x2, , xt
估计值
l1 Y1 f1( X1, X 2 , , X t )
l2
Y2
f2(X1, X 2,
,
X
t
)
ln Yn fn ( X1, X 2 , , X t )
(5 -1)
问题：如何根据 l1,l2, ,ln 和测量方程解得待测
量的估计值 x1, x2, , xt？
最小
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第一节 最小二乘法原理
①等精度测量的最小二乘法原理：
n
v12 v22 vn2 vi2 最小 i 1
②不等精度测量的最小二乘法原理：
n
p1v12 p2v22 pnvn2 pivi2 最小 i 1
最小二乘法原理（其他分布也适用）
四、不等精度测量的线性参数最小二乘法处理
思路一：
Pnn
p1 0
0 p2
0 0
2
2 1
0
0 2 22
0
0
0 0 pn 0 0 2 n2
权矩阵
不等精度测量最小二乘原理的矩阵形式：
V T PV 最小 （L AXˆ）T P（L AXˆ） 最小
(5 -13) (5 -14)
第五章
线性参数的最小二乘法处理
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教学目标
最小二乘法原理是一种在多学科领域中 获得广泛应用的数据处理方法。
如：组合测量的数据处理，用实验方法获得经验 公式以及回归分析等一系列问题。可解决这类参 数的最可信赖值的估计问题。
本章将重点阐述最小二乘法原理在线性 参数估计中的应用。
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第一节 最小二乘法原理
讨论：
n t : 直接求得 x1, x2, , xt 。 n t : 有利于减小随机误差，方程组
有冗余，采用最小二乘原理求 x1, x2,。, xt
最小二乘法原理指出：
最可信赖值应使残余误差平方和最小。
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v1 l1 f1(x1, x2 , , xt )
v2
l2
f2 (x1,
x2 ,
,
xt
)
vn ln fn (x1, x2 , , xt )
残差方程式
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第一节 最小二乘法原理
若 l1,l2不,存,ln在系统误差、相互独立并服从正态分布
，标准差分别为
1,， 2则, , n 出现在l1,相l2,应 ,真ln 值附近
区域内的概率为d1, d2, , dn
Pi
i
1
2
e i 2
d (2i2 ) i
(i 1,2, , n)
由概率论知，各测量数据同时出现在相应区域的概率为
n
n
1
P
i 1
Pi
1 2
n(
i2 (2 i2 )
e i1
2 )n
d1d2 dn
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教学目标 (续)
学生应掌握最小二乘法的基本思路和基 本原理，以及在等精度或不等精度测量中线 性参数的最小二乘法估计方法，并科学给出 估计精度。
最小二乘法分： 经典最小二乘法（即代数法）； 矩阵最小二乘法。
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基本内容与重点*、难点▲
pn x1 an2
pn x2 ant
v2
l2
(a21x1 a22x2
a2t
xtwenku.baidu.com
)
vn ln (an1x1 an2 x2 ant xt )
(5 - 9)
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第一节 最小二乘法原理
令
l1
x1
v1
a11 a12 a1t
L
l2
Xˆ
x2
V
v2
A a21 a22
测量结果的最可信赖值应使残余误差平方和 （或加权残余误差平方和）最小的条件下求出。
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第一节 最小二乘法原理
三、等精度测量的线性参数最小二乘法处理
线性参数的测量方程和相应的估计量为：
Y1 a11X1 a12 X 2 a1t X t
Y2
a21X1 a22 X 2
a2t
X
t
Yn an1X1 an2 X 2 ant X t
y1 a11x1 a12x2 a1t xt
y2
a21x1 a22x2
a2t
xt
yn an1x1 an2 x2 ant xt
残差方程为
v1 l1 (a11x1 a12x2 a1t xt )
第一节 最小二乘法原理
二、最小二乘法原理
设直接测量 Y1,Y2,的,Y估n 计值为
，y1则, y2有, , yn
y1 f1(x1, x2 , , xt )
y2
f2 (x1, x2 ,
,
xt
)
yn fn (x1, x2 , , xt )
(5 - 2)
而测量数据 l1, l2, 的, 残ln 余误差
a2t
ln
xn
vn
an1 an2 ant
则残差方程的矩阵表达式为
V L AXˆ
n×t阶系数矩阵
(5 -10)
等精度测量最小二乘法原理的矩阵形式：
V TV 最小 （L AXˆ）（T L AXˆ） 最小
(5 -11) (5 -12)
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