《误差理论》课件第五章线性参数的最小二乘法处理
新05误差理论28页PPT
四、应用定律的注意事项 1、观测值只含偶然误差 2、观测值必须相互独立 3、中误差取两位有效数字 4、单位统一 5、
例6、设量得倾斜距离S=50.00m±0.05m，竖直 角α=15°00′00″±30″。求水平距离及其中误差。
n
n
m
2
m
2
m
2
m
2
3m 2
m
3n
例10 zxy y 3x
mz2mx 2my 2?
zx3x4x
mz 4mx
例11 x l1 2 l2 ,y x l3 ,z x y ,
例5、已知观测值的中误差m，求算术平均值的中 误差mx是多少?
11
1
x n l1 n l2 n ln
11
1
dx n dl 1 n dl 2 n dl n
m
2 x
1 n
2
m
2 l1
m
2 l2
m
2 ln
mx
m n
n 2 4 6 8 10 12 25 30 35 40
3、线性函数
zk1x1k2x2 knxn dzk1dx1k2dx2 kndxn mz2 k12m12 k22m22 kn2mn2
例1：已知读数中误差,求水准测量测一站高差 的中误差是多少?
hab
mh2 ma2mb2
例2、已知读数中误差,求水准路线高差总和的中 误差是多少?
h h1 h2 hn m2h mh21 mh22 mh2n
177 0.495
误差绝对值
K
K/n
91 0.254
误差理论第五章最小二乘法
12
2 1
22
2 2
L
2 n
2 n
最小
由于结果只是接近真值的估计值，因此上述条件又可
表示为：
v12 v22 L vn2 最小
2 1
22
n2
引入权的符号p，上式又可表示为：
n
p1v12 p2v22 L pnvn2 pivi2 最小
5
i 1
因此，等精度测量的最小二乘原理表示为：
解得：
y0 c 1999.97mm
d / y0 0.0000183/0 C
例5.2、由测量方程：3x y 2.9, x 2y 0.9, 2x 3y 1.9,试求x、y的最小二乘法处理。
见笔记P56
17
二、不等精度测量线性参数最小二乘处理的正规方程
不等精度测量时线性参数的误差方程仍如等精度，只 在进行最小二乘法处理时，要按加权残余误差平方和 为最小，即：
④求残余误差；
⑤计算直接测量量的精度（标准差）；
⑥求各估计量的标准差。
11
一、等精度测量线性参数最小二乘处理的正规方程
线性参数的误差方程为：
v1 l1 a11x1 a12x2 a1t xt
v2
l2
a21x1 a22x2
a2t
xt
vn ln an1x1 an2 x2 ant xt
y1 a11x1 a12 x2 L a1t xt
y2
a21x1 a22 x2 L M
a2t
xt
yn an1x1 an2 x2 L ant xt
其误差方程式为：
v1 l1 (a11x1 a12 x2 L a1t xt )
v2 l2 (a21x1 a22 x2 L M
线性参数的最小二乘法处理
W1、 +1″, +10″, +1″, +12″,
W2、 +6″, +4″,
W3、
W4„
Wn
+2″ , -3″ , +4″ +12″, +4″ +3″, +4″
+12″, +12″, +12″
W12
2
12
W22
2 2
W32
32
最小值
3
即 ∑（PW2）=（P1W21）+（P2W22）+（P3W32）
的测量结果 yi 最接近真值，最为可靠，即： yi=∠i+Wi 由于改正数 Wi 的二次方之和为最小，因此称为最小二乘法。 二 最小二乘法理 现在我们来证明一下，最小二乘法和概率论中最大似然方法（算术平均值方法） 是一致的。 （一）等精度测量时 （1）最大似然方法 设 x1,x2„xn 为某量 x 的等精度测量列，且服从正态分布，现以最大似然法和最小 二乘法分别求其最或是值（未知量的最佳估计量） 在概率论的大数定律与中心极限定理那一章我们讲过，随着测量次数的增加，测 量值的算术平均值也稳定于一个常数，即
2 i 1
n
曾给出： vi2
i 1
n
n n 1 n 2 ，由此可知 x vi2 / i2 为最小，这就是最小二乘法的基本 i n i 1 i 1
含义。引入权的符号 P ，最小二乘法可以写成下列形式：
Pv
i 1
n
2 i i
最小
在等精度测量中， 1 2 ... ， P1 P2 ... Pn 即： 最小二乘法可以写成下列形式：
误差理论课件
（5）认真记录测量数据，实验记录中的每 一个数据的位数都应符合有效数字的表达规 范，如发现记录的数据有错误，可在错误的 数据上画一直线或打叉。
（6）完成实验后要将实验数据交给教师审 查签字，达到要求后，再将实验仪器整理还 原，方可离开实验室。
（7）离开实验室后不允许修改记录的数据。
3．撰写实验报告
渡到t分布（即学生分
布）。
t分布曲线与正态分布曲线类似，两者的主要区别
是分布的峰值低于正态分布，而且上部较窄、下 部较宽，如图所示，在有限次测量的情况下，就 要将随机误差的估算值取大一些。即在贝塞尔公
式的基础上再乘以一个tp因子，tp与测量次数有关
，也与置信概率有关。
tpSx
tp因子与测量次数、置信概率的对应关系
§1.2.2 随机误差的处理
3、算术平均值和标准偏差
多次测量，x1、 x2、…、xn，测量列的算术平均值为：
1 n
x n i1 xi 其中 xi 为第 i 次测得值。
x
1 n
n i1
xi
1 n
n i1
x0 i
1 n
n i1
i
x0
n
n , i 0 误差的对称性和抵偿性 i1
1. 测量的基本概念
测量是利用仪器设备通过一定测量方法，将待测物理 量与一个选做为标准的同类物理量进行比较，确定待测物 理量大小的过程。
测量的目的：获得测量值(数据)。
例如：用最小刻度为mm的米尺测量 物体的长度。
90.70cm
测量三个要素
（1）测量方法；（2）仪器设备；（3）测量结果
比较法
米尺
90.70cm
物理实验报告一般应包括以下几项内容： （1）实验名称。 （2）实验目的。 （3）实验仪器。
(完整版)5线性参数的最小二乘法处理(精)
一、等精度测量线性参数的LSM处理的正规方 程。
❖ 线性参数的误差方程式为：
l1 a11x1 a12 x2 ... a1t xt v1
l2 a21x1 a22 x2 ... a2t xt v2
……
ln an1x1 an2 x2 ... ant xt vn
v2
第三节 精度估计
❖ 一、测量数据的精度估计
❖ （一）等精度测量数据的精度估计
❖ 对包含t个未知数的线性参数方程，进行n次独立的 等精度测量。
❖ 可以证明
❖
[V V ] ~ 2 n t
2
E[V V
2
]
n
t
❖取
s 2 v v
nt
s
v
2 i
nt
❖ V1=3-(1.28×1+0.418×2)=0.884 ❖ V2=5-(1.28×1+0.418×10)=-0.46 ❖ V3=8-(1.28×1+0.418×20)=-1.64 ❖ V4=15-(1.28×1+0.418×30)=1.18 ❖ V5=18-(1.28×1+0.418×40)=0
L
8
15
18
AT A 1052 3100024 AT L 134698
( AT
A)1
1 4616
3004 102
1502
X
( AT A)1 AT L
1 4616
3004 102
1502134698 01..42188
❖ 正规方程为： ❖ 5x+102y=49 ❖ 102x+3004y=1386 ❖ 解该方程得到 ❖ x=1.28 ❖ y=0.418
i
[误差理论与数据处理][第05章][最小二乘法]
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最可信赖值满足
i
2 w 1 权因子 i i
2 w 1 i 0
v i2 M in 2 i 2 w M i n iv i
2 2 v ( xx ) M i n i i
虽然是在正态分布下导出最小二乘法，实际上， 按误差或残差平方和为最小进行统计推断已形成 一种准则。
v1 L1 x1 v2 L2 x2 v3 L3 x3 v 4 L 4 x1 x 2 v5 L5 x2
x3
v 6 L 6 x1 x 2 x 3
1 0 0 A 1 0 1
0 1 0 1 1 1
s
残差
i
v i2
nt
s
i
w i v i2
nt
（加权）
未知量个数 方程个数
2、待求量的标准差估计
xj d jj
误差传播系数
T 1
A wA 对角元素
直接测量量的标准差
3、待求量的相关系数
ij
d ij
A wA 元素
T 1
d ii d jj
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
5-19
误差理论与数据处理
nt
s
i
w i v i2
nt
（加权）
未知量个数 方程个数
2、待求量的标准差估计
xj d jj
误差传播系数
A A
T T
1
对角元素
3、待求量与的相关系数
ij
d ij d ii d jj
直接测量量的标准差
A A
1
元素
5-10
误差理论与数据处理ppt课件
被测物 ---X；平衡物 --- T；砝码 --- P
a）X与P左右交换 --- 两次测量 的平均值 --- 消除系统误差
b）T与X 平衡 P与T平衡
X L2 T L1
P L2 T L1
测量结果
换位/替代法
② 抵消法 --- 异号相消法
改变测量条件（如方向）--- 两次测量结果的误差符号相反 --- 平均值消除带有间隙特性的定值系统误差
装置、环境、动力源变化、人为因素 再现性 --- 偏差（Deviation） 理论分析/实验验证 --- 原因和规律 --- 减少/消除 ② 随机误差（Random error） 因许多不确定性因素而随机发生 偶然性（不明确、无规律） 概率和统计性处理（无法消除/修正） ③ 粗大误差（Abnormal error） 检测系统各组成环节发生异常和故障等引起 异常误差 --- 混为系统误差和偶然误差 --- 测量结果失去意义 分离 --- 防止
1）分析系统误差产生的原因 --- 防止系统误差出现的最基本办法 测量前 --- 对可能产生的误差因素进行分析，采取相应措施
2）引入修正值进行校正 --- 已出现的系统误差 理论分析/专门的实验研究 --- 系统误差的具体数值和变化规律 --- 确定修正值（温度、湿度、频率修正等） --- 修正表格、修正曲线、修正公式 --- 按规律校正
估计
x
真值x0
^
x
n
n
样本中各测量数据相对样本平均的分散程度
(xi x)2
--- 样本标准偏差s
--- 总体标准偏差 的无偏估计
^
s
s i1 n 1
样本平均 --- 随机变量 --- 数学期望、标准偏差
数学期望 ---
误差理论误差线性参数的最小二乘法
第五章 线性参数的最小二乘法例 题例1 已知某一铜棒的电阻－温度的函数关系为R a bt =+，通过试验，得到在七种不同温度t 下的电阻值如下：序号 1 2 3 4 5 6 7 t/C 。
19.1 25.0 30.136.040.045.1 50.0R/Ω76.3077.8079.7580.8082.3583.9085.10试求公式中的a （单位Ω）和b （单位Ω/C 。
）。
解：测量数值方程为19.176.30a b += 40.082.35a b += 25.077.80a b += 45.183.90a b += 30.179.75a b += 50.085.10a b += 36.080.80a b += 建立正规方程[1×1]＝1×1+1×1+……+1×1＝7[1×i t ]＝1×1t +1×2t +……+1×7t ＝245.3 [i t ×i t ]＝1t ×1t +2t ×2t +……+7t ×7t ＝9325.83 [1×i R ]＝1×1R +1×2R +……+1×7R ＝566.0 [i t ×i R ]＝1t ×1R +2t ×2R +……+7t ×7R ＝20044.5则正规方程为7245.3566.0a b += 245.39325.820044.5a b +=解正规方程得a ＝70.76Ωb ＝0.288Ω/C 。
因此，铜棒的电阻－温度数值关系为70.760.288R t =+例2 试由下列测量方程组，求x 、y 、z 的最可信赖值及其权。
x＝0 权 1P ＝85 y＝0 2P ＝108 z＝0 3P ＝49x－y＝0.92 4P ＝165 z －y ＝1.35 5P ＝78 z －x ＝1.00 6P ＝60解：求正规方程组各系数，如下表所示。
《误差理论与数据处理(第7版)》费业泰习题答案
《误差理论与数据处理》(第七版)习题及参考答案第一章 绪论1－5 测得某三角块的三个角度之和为180o00’02”,试求测量的绝对误差和相对误差 解：绝对误差等于： 相对误差等于：1-8在测量某一长度时，读数值为2.31m ，其最大绝对误差为20m μ，试求其最大相对误差。
%108.66 %1002.311020 100%maxmax 4-6-⨯=⨯⨯=⨯=测得值绝对误差相对误差1-10检定2.5级（即引用误差为2.5%）的全量程为100V 的电压表，发现50V 刻度点的示值误差2V 为最大误差，问该电压表是否合格？%5.22%100%1002100%<=⨯=⨯=测量范围上限某量程最大示值误差最大引用误差该电压表合格1-12用两种方法分别测量L1=50mm ，L2=80mm 。
测得值各为50.004mm ，80.006mm 。
试评定两种方法测量精度的高低。
相对误差L 1:50mm 0.008%100%5050004.501=⨯-=IL 2:80mm 0.0075%100%8080006.802=⨯-=I 21I I > 所以L 2=80mm 方法测量精度高。
1－13 多级弹导火箭的射程为10000km 时，其射击偏离预定点不超过0.lkm ，优秀射手能在距离50m 远处准确地射中直径为2cm 的靶心，试评述哪一个射21802000180''=-'''o o %000031.010*********.00648002066018021802≈=''''''⨯⨯''=''＝o击精度高? 解：射手的相对误差为：多级火箭的射击精度高。
1-14若用两种测量方法测量某零件的长度L1=110mm ，其测量误差分别为m μ11±和m μ9±；而用第三种测量方法测量另一零件的长度L2=150mm 。
误差原理最小二乘法.pptx
式中
t li ——在温度
i 下铜捧长度的测得值；
——铜棒的线膨胀系数。
令 y0 x1, y0 x2为两个待求估计参数，则误差方程可写为
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根据误差方程，我们可列出正规方程 又
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将以上计算的相应系数值代入上面的正规方程得 解得 即 因此铜棒长度随温度的线性变化规律为
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则正规方程为 四、非线性参数最小二乘法
非线性转化为线性：
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为获得非线性函数的展开式．必须首先确定待求估计量的近似 值，其方法有二个：
(1)直接测量：若条件允许，可直接测量待求量，
即可作为其近似值。
x 所得结果 r
(2)利用部分方程式进行计算。
例4-3 将下面的非线性残余方程组化成线性的形式。
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三、不等精度测量线性参数最小二乘法处理 不等精度误差方程转化为等精度误差方程为
例4-2 已知测量方程
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对 Yi 的测量数据及其相应的标准差为
试列出最小二乘估计的正规方程。 解 列出残余误差方程
确定各测量数据的权。
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根据误差方程及各测量数据的权，我们写出正规方程 式中
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例4-5 试求例4-1中铜棒长度和线膨胀系数估计量的精度。 解 已知正规方程为
测量数据 li 的标准差为
求解不定乘数的方程为
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解得 估计量的标准差为 因 故
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例4-6 已知 x1 35.3 ，测得 xi x j 的值为 lij ，并已知 l12 69.5
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则测量数据标准差为
(完整版)5线性参数的最小二乘法处理(精)
一、等精度测量线性参数的LSM处理的正规方 程。
❖ 线性参数的误差方程式为：
l1 a11x1 a12 x2 ... a1t xt v1
l2 a21x1 a22 x2 ... a2t xt v2
……
ln an1x1 an2 x2 ... ant xt vn
v2
AT L A X 0
( AT A) X AT L
❖ 解上面方程组得
X AT A 1 AT L Nhomakorabea❖ 可以证明最小二乘估计值是无偏估计。
❖ 测量方程为：
❖
x+2y=3
❖
x+10y=5
❖
x+20y=8
❖
x+30y=15
❖
x+40y=18
1 2
1 10
A 1
20
1 30
1
40
3 5
ank [ln (an1 x1 an2 x2 ... ant xt )] 0 k 1,2, ,t
记
[ai ai ] a1i a1i a2i a2i ... ani ani i 1,2 ,t [ai a j ] a1i a1 j a2i a2 j ani anj (i, j 1,2, ,t) [ai L] a1il1 a2il2 ... aniln i 1,2 ,t
' i
.........
i
L* A* X V *
最小 ❖
V *V
(L*
A*
^
X )T(L*
A*
^
X)
第二节 正规方程
❖ 为了得到可靠的测量结果，测量次数n总是要 多于未知数的数目t。因而直接用一般解代数 方程的方法求解这些未知数是不可能的。最 小二乘法可以将误差方程转化为有确定解的 代数方程，而且方程个数正好等于未知数的 个数，从而可求解这些未知数。
误差理论线性参数的最小二乘法处理实验报告
误差理论线性参数的最小二乘法处理实验报告一、实验目的1.掌握误差理论线性参数的最小二乘法处理原理；2.熟悉误差理论线性参数的最小二乘法处理过程；3.进一步理解误差源与观测量之间的关系。
二、实验原理1.误差理论线性参数的最小二乘法处理原理：最小二乘法是一种常见的数据处理方法，通过最小化观测值与估计值之间的残差，来求取未知参数的最优估计值。
对于误差理论线性参数的最小二乘法处理，可以根据观测值和其对应的误差，通过建立含有未知参数的线性方程组，然后通过最小化残差平方和的方法求解最优估计值。
2.误差理论线性参数的最小二乘法处理步骤：(1)确定线性关系的函数模型；(2)建立观测值与理论值之间的代数关系；(3)建立每个观测值与误差之间的代数关系；(4)构建误差方程；(5)求解未知参数的最优估计值；(6)分析残差，并进行精度评定。
三、实验内容及步骤1.实验准备：(1)阅读实验教材，了解实验原理；(2)确定实验使用的观测仪器和测量对象；(3)清洗、校准测量仪器。
2.实验步骤：(1)根据实验要求，确定需要测量的多个观测值，并为每个观测值确定一个相应的误差；(2)建立观测值与理论值之间的线性关系；(3)构造观测值和误差的方程，并对方程进行变换和简化；(4)解线性方程组，求解未知参数；(5)计算观测值的残差，并分析精度。
四、实验数据处理1.实验数据：假设有三个观测值，测量结果如下：观测值1：4，误差：0.1观测值2：7，误差：0.2观测值3：10，误差：0.32.实验数据处理：(1) 建立观测值与理论值之间的线性关系模型：y = ax + b；(2)构造观测值和误差的方程：观测值1：4=a*1+b+ε1观测值2：7=a*2+b+ε2观测值3：10=a*3+b+ε3(3)对方程进行变换和简化，得到：4=a+b+ε17=2a+b+ε210=3a+b+ε3(4)构建误差方程：ε1=4-a-bε2=7-2a-bε3=10-3a-b(5)将误差方程代入原方程组，并最小化残差平方和，得到最优解：2a+b=35a+b=6(6)解得未知参数的最优估计值为：a=1,b=1(7)计算观测值的残差：观测值1的残差：ε1=4-1-1=2观测值2的残差：ε2=7-2-1=4观测值3的残差：ε3=10-3-1=6五、结果分析1.通过最小二乘法处理，我们得到未知参数的最优估计值为：a=1,b=12.通过计算观测值的残差，我们可以评定估计结果的精度，其中残差ε1=2,ε2=4,ε3=6实验结果表明，通过误差理论线性参数的最小二乘法处理，我们可以准确地估计未知参数的值，并评价估计结果的精度。
误差理论分析课件
系统误差的统计特性
系统误差的定义
01
系统误差是指在测量过程中由于某些固定因素引起的误差，具
有系统性。
系统误差的性质
02
系统误差的大小和符号是确定的，可以通过改进测量方法和消
除误差源来减小。
系统误差的分布规律
03
系统误差的大小和符号通常是不变的，其分布规律取决于误差
源的性质。
误差的分布规律
误差分布的描述
误差理论分析课 件
contents
目录
• 误差理论概述 • 误差的表示与处理 • 误差的统计特性 • 误差的估计与检验 • 误差理论的应用 • 误差理论的展望与发展
01
CATALOGUE
误差理论概述
误差的定义与分类
误差的分类
系统误差、随机误差和过失误 差。
随机误差
由于随机因素引起的测量结果 的不确定性。
误差的检验方法
t检验
通过比较两组数据的均值是否存在显著差异，来判断误差是否存 在。
F检验
通过比较两组数据的方差是否存在显著差异，来判断误差是否存 在。
Z检验
通过比较数据的比例或概率是否存在显著差异，来判断误差是否 存在。
误差的置信区间
置信水平
表示我们对于估计的误差大小的信任程度，通常以百分比表示。
影响。
04
CATALOGUE
误差的估计与检验
误差的估计方法
直接估计法
通过实验或观测数据直接计算误差的大小，如使 用标准差、平均差等统计量来估计误差。
间接估计法
利用已知的误差传递公式或函数关系，通过计算 间接得到误差的大小。
最小二乘法
通过最小化观测数据与真实数据之间的残差平方 和，来估计误差的大小。
《误差理论》课件第五章 线性参数的最小二乘法处理
vi '
则有：
li '
T
ai1 '
ai 2 '
ait '
(5 - 17) (5 - 18)
V * V * 最小 T ˆ（ ˆ （L * A * X） L * A * X） 最小
《误差理论与数据处理》
广东工业大学信息工程学院
第二节
法方程
正规方程
正规方程：误差方程按最小二乘法原理转化得到的 有确定解的代数方程组。 一、等精度测量线性参数最小二乘法处理的正规方程
vn
2 2
n
最小
《误差理论与数据处理》
广东工业大学信息工程学院
第一节
最小二乘法原理
n
①等精度测量的最小二乘法原理：
பைடு நூலகம்
v1 v2 vn vi 最小
2 2 2 2 i 1
②不等精度测量的最小二乘法原理：
p1v1 p2 v2 pn vn pi vi 最小
残差方程式
广东工业大学信息工程学院
第一节
最小二乘法原理
若 l1 , l2 ,, ln 不存在系统误差、相互独立并服从正态 分布，标准差分别为 1 , 2 ,, n ，则 l1 , l2 ,, ln 出现在 相应真值附近 d1 , d 2 ,, d n 区域内的概率为
1 i 2 Pi e i 2
(5 - 19)
特点： 主对角线分布着平方项系数，为正数 相对于主对角线对称分布的各系数两两相等
《误差理论与数据处理》 广东工业大学信息工程学院
第二节
a l [ a
i 1 ir i i 1 n n n ir i1 1
误差理论线性参数的最小二乘法处理实验报告
二、线性参数的最小二乘法处理一、实验目的最小二乘法原理是一种在多学科领域中获得广泛应用的数据处理方法。
利用最小二乘法可以解决参数的最可信赖值估计、组合测量的数据处理、用实验方法来拟定经验公式以及回归分析等一系列数据处理问题。
通过本次实验要求掌握等精度测量线性参数最小二乘法的处理，并能根据等精度线性参数理解不等精度线性参数及非线性参数情况下的最小二乘法处理。
二、实验原理1.最小二乘法原理指出，最可信赖值应在是残差误差平方和的条件下求得。
2.最小二乘法可以将误差方程转化为有确定解的代数方程组（其方程组的数目正好等于未知数的个数），从而可求解出这些未知参数。
这个有确定解的代数方程组称为最小二乘法的正规方程。
3.线性参数的最小二乘法处理程序为：首先根据具体问题列出误差方程式；再按最小二乘原理，利用求极值的方法将误差方程转化为正规方程；然后求解正规方程，得到代求的估计量；最后给出精度估计。
4.正规方程又转化为残差方程，残差方程可用矩阵方法求出方程的解。
因此可用Matlab 求解最小二乘法参数。
5.求出最小二乘法的参数后，还要对参数进行精度估计。
相应的标准差为⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫===tt xt x x d d d σσσσσσ::222111，其中tt d d d ..2211称为不定乘数。
三、实验内容采用最小二乘算法用matlab 编程实现下列题目的要求。
1）做散点图2）求铜棒电阻和温度的关系的回归方程b t a R +=*并作图。
3）最小二乘估计量的精度估计。
A 源程序代码四、实验结果（包括原程序和运行的截图）1），2）散点图及拟合直线方程函数方程为：76.70*29.0+=t R 。
3）最小二乘估计量的精度估计。
由于⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-0.00140.048-0.048-1.8251C ，从而有11d =1.825，22d =0.0014， 又t n v n i i-=∑=12σ=3.73*710-；因此参数a 的标准差为11d a σσ==5.04*710-；参数b 的标准差为22d b σσ==1.26*810-。
误差理论与数据处理课件(全)
个数K 46 41 33 21 16 13 5 2 0 177
+△ 频率K/n 0.128 0.115 0.092 0.059 0.045 0.036 0.014 0.006
0 0.495
(K/n)/d△ 0.640 0.575 0.460 0.295 0.225 0.180 0.070 0.030 0
（四）复杂规律变化的系统误差
（一）实验对比法 （二）残余误差观测法
（五）计算数据比较法
（一）从产生误差根源上消除系统误差 （二）用修正方法消除系统误差 （三）不变系统误差消除法 1。替代法 2。抵消发 3。交换法
一、粗大误差产生的原因 （1）测量人员的主观原因 （2）客观外界条件的原因
第一节：研究误差的意义 1、始终存在着误差 意义：
1）正确认识误差的性质，分析误差产生 的原因，以消除和减少误差。
2）正确处理测量和实验数据 3）正确组织实验过程
由于误差的存在，使测量数据之间产生矛 盾。
( )实际 180
( )理论 180
测量仪器：i角误差、2c误差 观测者：人的分辨力限制 外界条件：温度、气压、大气折光等
……
2.40~2.60 >2.60
和
个数K 40 34 31 25 20 16 …… 1 0 210
—△ 频率K/n 0.095 0.081 0.074 0.059 0.048 0.038
(4)( AT )1 ( A1)T
(5)对称矩阵的逆仍为对称矩阵。
(6)对角矩阵的逆仍为对角矩阵且：
A1 (diag (a11, a22,ann ))1 diag( 1 , 1 1 )
a11 a22 ann
（1）伴随矩阵法：
设Aij为A的第i行j列元素aij的代数余子式，则由 n*n个代数余子式构成的矩阵为A的伴随矩阵 的转置矩阵A*称为A的伴随矩阵。
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第一节 最小二乘法原理
既然测量值 l1,l2,已,ln经出现，有理由认为这n个 测量值出现于相应区间的概率P为最大。要使P最大，
应有
12 12
2 2
2 2
n2 n2
最小
结果只是接近真值的估计值，上述条件应表示为
v12
2 1
v22
2 2
vn 2
n2
v1 l1 f1(x1, x2 , , xt )
v2
l2
f2 (x1,
x2 ,
,
xt
)
vn ln fn (x1, x2 , , xt )
残差方程式
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第一节 最小二乘法原理
若 l1,l2不,存,ln在系统误差、相互独立并服从正态分布
，标准差分别为
a2t
ln
xn
vn
an1 an2 ant
则残差方程的矩阵表达式为
V L AXˆ
n×t阶系数矩阵
(5 -10)
等精度测量最小二乘法原理的矩阵形式：
V TV 最小 （L AXˆ）（T L AXˆ） 最小
(5 -11) (5 -12)
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第一节 最小二乘法原理
测量结果的最可信赖值应使残余误差平方和 （或加权残余误差平方和）最小的条件下求出。
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第一节 最小二乘法原理
三、等精度测量的线性参数最小二乘法处理
线性参数的测量方程和相应的估计量为：
Y1 a11X1 a12 X 2 a1t X t
Y2
a21X1 a22 X 2
第五章
线性参数的最小二乘法处理
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教学目标
最小二乘法原理是一种在多学科领域中 获得广泛应用的数据处理方法。
如：组合测量的数据处理，用实验方法获得经验 公式以及回归分析等一系列问题。可解决这类参 数的最可信赖值的估计问题。
本章将重点阐述最小二乘法原理在线性 参数估计中的应用。
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教学目标 (续)
学生应掌握最小二乘法的基本思路和基 本原理，以及在等精度或不等精度测量中线 性参数的最小二乘法估计方法，并科学给出 估计精度。
最小二乘法分： 经典最小二乘法（即代数法）； 矩阵最小二乘法。
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基本内容与重点*、难点▲
pn x1 an2
pn x2 ant
四、不等精度测量的线性参数最小二乘法处理
思路一：
Pnn
p1 0
0 p2
0 0
2
2 1
0
0 2 22
0
0
0 0 pn 0 0 2 n2
权矩阵
不等精度测量最小二乘原理的矩阵形式：
V T PV 最小 （L AXˆ）T P（L AXˆ） 最小
(5 -13) (5 -14)
最小
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第一节 最小二乘法原理
①等精度测量的最小二乘法原理：
n
v12 v22 vn2 vi2 最小 i 1
②不等精度测量的最小二乘法原理：
n
p1v12 p2v22 pnvn2 pivi2 最小 i 1
最小二乘法原理（其他分布也适用）
最小二乘法原理* 等精度测量线性参数的最小二乘法处理* 不等精度测量线性参数的最小二乘法处理 最小二乘法估计量的精度估计▲ 组合测量的最小二乘法处理
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第一节 最小二乘法原理
一、引入
待测量（难以直接测量）：X1, X2, , Xt 直接测量量： Y1,Y2 , ,Yn
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第一节 最小二乘法原理
讨论：
n t : 直接求得 x1, x2, , xt 。 n t : 有利于减小随机误差，方程组
有冗余，采用最小二乘原理求 x1, x2,。, xt
最小二乘法原理指出：
最可信赖值应使残余误差平方和最小。
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x1, x2, , xt
估计值
l1 Y1 f1( X1, X 2 , , X t )
l2
Y2
f2(X1, X 2,
,
X
t
)
ln Yn fn ( X1, X 2 , , X t )
(5 -1)
问题：如何根据 l1,l2, ,ln 和测量方程解得待测
量的估计值 x1, x2, , xt？
a2t
X
t
Yn an1X1 an2 X 2 ant X t
y1 a11x1 a12x2 a1t xt
y2
a21x1 a22x2
a2t
xt
yn an1x1 an2 x2 ant xt
残差方程为
v1 l1 (a11x1 a12x2 a1t xt )
1,， 2则, , n 出现在l1,相l2,应 ,真ln 值附近
区域内的概率为d1, d2, , dn
Pi
i
1
2
e i 2
d (2i2 ) i
(i 1,2, , n)
由概率论知，各测量数据同时出现在相应区域的概率为
n
n
1
P
i 1
Pi
1 2
n(
i2 (2 i2 )
e i1
2 )n
d1d2 dn
第一节 最小二乘法原理
二、最小二乘法原理
设直接测量 Y1,Y2,的,Y估n 计值为
，y1则, y2有, , yn
y1 f1(x1, x2 , , xt )
y2
f2 (x1, x2 ,
,
xt
)
yn fn (x1, x2 , , xt )
(5 - 2)
而测量数据 l1, l2, 的, 残ln 余误差
v2
l2
(a21x1 a22x2
a2t
xt
)
vn ln (an1x1 an2 x2 ant xt )
(5 - 9)
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第一节 最小二乘法原理
令
l1
x1
v1
a
V
v2
A a21 a22
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第一节 最小二乘法原理
思路二：不等精度 pi 等精度
v1 p1 l1 p1 a11 p1 x1 a12 p1 x2 a1t p1 xt
v2
p2 l2
p2 a21
p2 x1 a22
p2 x2 a2t
p2
xt
vn
pn ln
pn an1