点到直线距离公式 课件
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第二章§2.32.3.3点到直线的距离公式课件(人教版)
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8.经过两直线x＋3y－10＝0和3x－y＝0的交点，且和原点相距为1的直线 的条数为__2__. 解析 设所求直线l的方程为x＋3y－10＋λ(3x－y)＝0， 即(1＋3λ)x＋(3－λ)y－10＝0， 因为原点到直线的距离 d＝ 1＋3|－λ21＋0|3－λ2＝1，
10.已知某直线在两坐标轴上的截距相等，且点 A(3,1)到该直线的距离为 2， 求该直线的方程.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
解 当该直线在两坐标轴上的截距相等且为0， 即直线过原点时，设直线的方程为y＝kx， 即 kx－y＝0，由已知得|3kk2－＋11|＝ 2， 整理得7k2－6k－1＝0， 解得 k＝－17或 k＝1， 所以所求直线的方程为x＋7y＝0或x－y＝0. 当直线在两坐标轴上的截距相等且不为0时， 设直线的方程为x＋y＝a，
延伸探究 求过点P(2，－1)且与原点距离最大的直线l的方程，最大距离 是多少？
解 设原点为O，连接OP(图略)，
易知过点P且与原点距离最大的直线是过点P且与PO垂直的直线.
由l⊥OP，得kl·kOP＝－1， 所以 kl＝－k1OP＝2. 所以直线l的方程为y＋1＝2(x－2)，即2x－y－5＝0，
√A.4x＋3y－3＝0
C.4x－3y－3＝0
√B.4x＋3y＋17＝0
D.4x－3y＋17＝0
解析 设所求直线方程为4x＋3y＋C＝0. 则|4×－1＋423＋×32－1＋C|＝2，
即|C－7|＝10，解得C＝－3或C＝17. 故所求直线方程为4x＋3y－3＝0或4x＋3y＋17＝0.
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8.经过两直线x＋3y－10＝0和3x－y＝0的交点，且和原点相距为1的直线 的条数为__2__. 解析 设所求直线l的方程为x＋3y－10＋λ(3x－y)＝0， 即(1＋3λ)x＋(3－λ)y－10＝0， 因为原点到直线的距离 d＝ 1＋3|－λ21＋0|3－λ2＝1，
10.已知某直线在两坐标轴上的截距相等，且点 A(3,1)到该直线的距离为 2， 求该直线的方程.
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解 当该直线在两坐标轴上的截距相等且为0， 即直线过原点时，设直线的方程为y＝kx， 即 kx－y＝0，由已知得|3kk2－＋11|＝ 2， 整理得7k2－6k－1＝0， 解得 k＝－17或 k＝1， 所以所求直线的方程为x＋7y＝0或x－y＝0. 当直线在两坐标轴上的截距相等且不为0时， 设直线的方程为x＋y＝a，
延伸探究 求过点P(2，－1)且与原点距离最大的直线l的方程，最大距离 是多少？
解 设原点为O，连接OP(图略)，
易知过点P且与原点距离最大的直线是过点P且与PO垂直的直线.
由l⊥OP，得kl·kOP＝－1， 所以 kl＝－k1OP＝2. 所以直线l的方程为y＋1＝2(x－2)，即2x－y－5＝0，
√A.4x＋3y－3＝0
C.4x－3y－3＝0
√B.4x＋3y＋17＝0
D.4x－3y＋17＝0
解析 设所求直线方程为4x＋3y＋C＝0. 则|4×－1＋423＋×32－1＋C|＝2，
即|C－7|＝10，解得C＝－3或C＝17. 故所求直线方程为4x＋3y－3＝0或4x＋3y＋17＝0.
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点到直线的距离公式 PPT教学课件(高二数学人教A版 选必修一)
n
Q
l M(x, y)
由 PM (x x0, y y0) ，n
| PQ || (x x0, y y0) ( A, B) | A2 B2
( A, B) 知， A2 B2
| A(x x0) B( y y0) | A2 B2
| Ax Ax0 By By0 | A2 B2
AC
x0 )2
( ABx0 A2
A2 y0 B2
BC
y0 )2
(
A2
x0 A2
ABy0 B2
AC
)2
高中数学
高中数学
已知
P(x0 , y0 )
和 Q( B2 x0 ABy0 AC , ABx0 A2 y0 BC )，
A2 B2
A2 B2
则 | PQ |
(
B2 x0
ABy0 A2 B2
直线 l : Ax By C 0 的一个方向向量为 a (1, A) ,
B
与直线 l 垂直的一个方向向量可表示为
b (1, B ), 则 n b , 其中，| b |
A
|b|
1 B2 , A2
(1, B )
n A ,
1
B2 A2
( A, B)
所以，n
.
A2 B2
P ( x0, y0 )
高中数学
高中数学
问题2 上述推导过程思路自然，但运算较繁，反思 求解过程，你能发现引起复杂运算的原因吗?
Ax By C 0,
(1)
Bx Ay Bx0 Ay0, (2)
A(x B( x
x0 ) x0 )
B( y A( y
y0 ) y0 )
C 0,
Ax0
Q
l M(x, y)
由 PM (x x0, y y0) ，n
| PQ || (x x0, y y0) ( A, B) | A2 B2
( A, B) 知， A2 B2
| A(x x0) B( y y0) | A2 B2
| Ax Ax0 By By0 | A2 B2
AC
x0 )2
( ABx0 A2
A2 y0 B2
BC
y0 )2
(
A2
x0 A2
ABy0 B2
AC
)2
高中数学
高中数学
已知
P(x0 , y0 )
和 Q( B2 x0 ABy0 AC , ABx0 A2 y0 BC )，
A2 B2
A2 B2
则 | PQ |
(
B2 x0
ABy0 A2 B2
直线 l : Ax By C 0 的一个方向向量为 a (1, A) ,
B
与直线 l 垂直的一个方向向量可表示为
b (1, B ), 则 n b , 其中，| b |
A
|b|
1 B2 , A2
(1, B )
n A ,
1
B2 A2
( A, B)
所以，n
.
A2 B2
P ( x0, y0 )
高中数学
高中数学
问题2 上述推导过程思路自然，但运算较繁，反思 求解过程，你能发现引起复杂运算的原因吗?
Ax By C 0,
(1)
Bx Ay Bx0 Ay0, (2)
A(x B( x
x0 ) x0 )
B( y A( y
y0 ) y0 )
C 0,
Ax0
点到直线的距离公式课件可编辑全文
1y 3 x 1 2x 4
44
答案:(1) 18/5 (2)7
二.求两平行直线3x+4y+2=0和 6x+8y-5=0的距离.
答案: 0.9
小结
1.今天我们学习了点到直线的距离公式,要 熟记公式的结构.应用时要注意直线的方程 化为一般式.
2.两条平行线间的距离可化为点到直线的距 离去求.
学以致用：
D 点P(2m，m2)到直线x＋y＋7＝0的距离 d＝|m2＋22m＋7|＝m＋122＋6≥ 62＝3 2， ∴d有最小值3 2，故选D．
学以致用：
3.垂直于直线
x＋3y－5＝0
且与点
P(－1,0)的距离是3
10的直线 5
l
的
方程为________．
3x－y＋9＝0或3x－y－3＝0 设与直线x＋3y－5＝0垂直的直线 的方程为3x－y＋m＝0，则由点到直线的距离公式知，
5 因为 m2＋n2 是点P(m，n)与原点O间的距离，所以根据直 线的性质，原点O到直线2x＋y＋5＝0的距离就是 m2＋n2 的最小 值．根据点到直线的距离公式可得d＝ 225＋12＝ 5．故答案为 5．
d
y0
C B
By C 0 B
y
P
d
x0
C A
Ax C 0 A
y
Q
P
Q
o
x
o
x
L
求点P（x0 ，y 0）到直线l：Ax+By+C=0的距 离。其中A ≠0且yB≠0
➢解题思路Ⅰ: ➢①求垂线方程
·Q l ' P·
➢②求交点坐标
o
x
➢③求两点间的距离
l
44
答案:(1) 18/5 (2)7
二.求两平行直线3x+4y+2=0和 6x+8y-5=0的距离.
答案: 0.9
小结
1.今天我们学习了点到直线的距离公式,要 熟记公式的结构.应用时要注意直线的方程 化为一般式.
2.两条平行线间的距离可化为点到直线的距 离去求.
学以致用：
D 点P(2m，m2)到直线x＋y＋7＝0的距离 d＝|m2＋22m＋7|＝m＋122＋6≥ 62＝3 2， ∴d有最小值3 2，故选D．
学以致用：
3.垂直于直线
x＋3y－5＝0
且与点
P(－1,0)的距离是3
10的直线 5
l
的
方程为________．
3x－y＋9＝0或3x－y－3＝0 设与直线x＋3y－5＝0垂直的直线 的方程为3x－y＋m＝0，则由点到直线的距离公式知，
5 因为 m2＋n2 是点P(m，n)与原点O间的距离，所以根据直 线的性质，原点O到直线2x＋y＋5＝0的距离就是 m2＋n2 的最小 值．根据点到直线的距离公式可得d＝ 225＋12＝ 5．故答案为 5．
d
y0
C B
By C 0 B
y
P
d
x0
C A
Ax C 0 A
y
Q
P
Q
o
x
o
x
L
求点P（x0 ，y 0）到直线l：Ax+By+C=0的距 离。其中A ≠0且yB≠0
➢解题思路Ⅰ: ➢①求垂线方程
·Q l ' P·
➢②求交点坐标
o
x
➢③求两点间的距离
l
2.3.3点到直线的距离公式课件(人教版)
点P 直线l
0
No Image
No Image
x
合作探究
问题2： 已知任意点 P x0, y0 ，直线 l : Ax By C 0，
如何求点P 到直线 l 的距离？
yl
么？
点到直线的距离定义是什
Q
如何求 PQ 的长度 ？
如何求点Q 的坐标呢 ？
O
x
如何求垂线 PQ 的方程?
d = PQ x x0 2 y y0 2
AC
x0
= B2x0 ABy0 AC ( A2x0 B2x0 ) A2 B2
= A Ax0 By0 C
A2 B2
y
y0
A2 y0
ABx0 A2 B2
BC
y0
A2 y0
ABx0
BC (A2 y0 A2 B2
B2 y0 )
B
Ax0 A2
By0 B2
C
d = PQ x x0 2 y y0 2
直线 l 的距离相等,求直线 l 的方程.
(2) 用解析法证明：等腰三角形底边上任意一点到两腰
的距离之和等于一腰上的高.
(3) 求经过点 P 3，5 ,且与原点距离等于3的直线 l的方程.
(4) 已知直线过点 P 3，4且与点 A 2，2 ，B 4，-2等距离，
则直线 l的方程为.
(5) 直线 3x-4y-27=0上到点 P 2，1 距离最近的点的坐标
By0 B2
ห้องสมุดไป่ตู้
C
d = PQ x x0 2 y y0 2
=
A( Ax0 By0 （A２+B２）
C
)
2
B
Ax0 By0
两点之间的距离和点到直线的距离课件
与微积分知识的联系
微积分基本定理
极限思想
在地图绘制中的应用
总结词：精确测量
详细描述：在地图绘制中，两点之间的距离和点到直线的距离是关键参数。通过 使用距离公式，可以精确测量地理坐标之间的距离，为地图绘制提供准确的数据 支持。
在建筑设计中的应用
总结词
优化设计方案
详细描述
在建筑设计中，设计师需要精确计算两点之间的距离和点到直线的距离，以优化设计方案。例如，确定建筑物的 尺寸、位置和布局等，以确保建筑物的安全性和功能性。
在机器人路径规划中的应用
总结词
详细描述
THANKS
感谢观看
两点之间的距离和点到直线的距离 课件
• 距离公式与其他数学知识的联系 • 距离公式在实际问题中的应用案
定义 01 02
计算公式
这个公式可以用来计算二维平面中任 意两点之间的距离。
举例说明
定义
定义 几何意义
计算公式
公式 推导过程
举例说明
例子
求点 (2,3) 到直线 3x - 4y + 1 = 0 的距离。
解法
将点的坐标代入公式，得到 d = |3*2 - 4*3 + 1| / sqrt(3² + (-4)²) = |6 - 12 + 1| / sqrt(9 + 16) = |-5| / sqrt(25) = 1。
在几何学中的应用
两点间的距离公式
点到直线的距离公式
在物理学中的应用
质点间距离
电场强 度
在静电场中，点电荷到场源电荷的距 离可以通过库仑定律来计算，公式为： E = k*q1*q2 / r^2。
在日常生活中的应用
交通距离 建筑测量
点到直线的距离公式(94)课件
点到直线的距离 公式(94)课件
目录
• 引言 • 点到直线的距离公式 • 公式应用实例 • 公式与其他几何知识的关联 • 习题与解答
01
引言
课程背景
几何学是研究形状、大小、图 形的性质以及空间关系的学科 ，是数学的一个重要分支。
点到直线的距离公式是几何学 中的基本概念，是解决许多几 何问题的关键。
答案及解析
答案
$frac{7}{5}$
解析
首先将直线方程化为标准形式，得到 $y=-frac{1}{2}x+frac{1}{2}$。然后 代入点到直线距离公式，得到$frac{|2 - 3 + frac{1}{2}|}{sqrt{5}} = frac{7}{5}$。
THANKS
感谢观看
与解析几何的关联
解析几何是研究几何图形在坐标系中的表示和变换的数学 分支，通过建立点和直线的坐标表示，可以推导出点到直 线的距离公式。
在解析几何中，点和直线都可以用坐标来表示。通过设定 点的坐标和直线的方程，我们可以利用代数方法计算出点 到直线的最短距离，即点到直线的距离公式。这种方法具 有明确性和可操作性，广泛应用于实际问题中。
判断点是否在直线上
总结词
通过比较点到直线的距离与给定的阈值，可以判断点是否在直线上。
详细描述
如果点到直线的距离小于等于给定的阈值，则认为点在直线上或者在直线附近 。这种方法常用于判断点的位置关系，例如在图形识别、地理信息系统等领域 。
计算直线间的距离
总结词
利用点到直线的距离公式，可以推导出两条直线间的距离公式。
域划分等具有实际意义。
优化问题求解
在某些优化问题中，如最小二乘 法、线性回归等，该公式可以用 于确定最佳拟合直线的参数，以
目录
• 引言 • 点到直线的距离公式 • 公式应用实例 • 公式与其他几何知识的关联 • 习题与解答
01
引言
课程背景
几何学是研究形状、大小、图 形的性质以及空间关系的学科 ，是数学的一个重要分支。
点到直线的距离公式是几何学 中的基本概念，是解决许多几 何问题的关键。
答案及解析
答案
$frac{7}{5}$
解析
首先将直线方程化为标准形式，得到 $y=-frac{1}{2}x+frac{1}{2}$。然后 代入点到直线距离公式，得到$frac{|2 - 3 + frac{1}{2}|}{sqrt{5}} = frac{7}{5}$。
THANKS
感谢观看
与解析几何的关联
解析几何是研究几何图形在坐标系中的表示和变换的数学 分支，通过建立点和直线的坐标表示，可以推导出点到直 线的距离公式。
在解析几何中，点和直线都可以用坐标来表示。通过设定 点的坐标和直线的方程，我们可以利用代数方法计算出点 到直线的最短距离，即点到直线的距离公式。这种方法具 有明确性和可操作性，广泛应用于实际问题中。
判断点是否在直线上
总结词
通过比较点到直线的距离与给定的阈值，可以判断点是否在直线上。
详细描述
如果点到直线的距离小于等于给定的阈值，则认为点在直线上或者在直线附近 。这种方法常用于判断点的位置关系，例如在图形识别、地理信息系统等领域 。
计算直线间的距离
总结词
利用点到直线的距离公式，可以推导出两条直线间的距离公式。
域划分等具有实际意义。
优化问题求解
在某些优化问题中，如最小二乘 法、线性回归等，该公式可以用 于确定最佳拟合直线的参数，以
高中数学人教A版 选择性必修第一册 点到直线的距离公式 课件
=2 13 ，
32 +22
（2）直线 l : x y x y 0 ，
则 d 0 0 =0 12 +12
（3） C 1, 2， l : 4x 3y 0 ．
【答案】（1） 9 ； 5
【答案】（2）0； 【答案】（3） 2
5
8
例题精讲
例 2 已知 ABC 的三个顶点分别是A(1,3) ，B(3,1) ，
-1O 1 2 3 4 5 x
h | 1 0 4 | 5
12 12
2
1
5
因此， S△ABC
2 2
2
5． 2
9
例题精讲
例 2 已知 ABC 的三个顶点分别是A(1,3) ，B(3,1) ，
C(1,0) ，求 ABC 的面积．
解法二：利用坐标的定义，分割或组合三角形的各 部分求面积．
y 3 A.
32 02
3
7
课堂练习
1 . 求原点到下列直线的距离： 2. 求下列点到直线的距离：
（1）l : 3x 2y 26 0 （2）l : x y ．（1） A2,3 ， l : 3x 4y 3 0 ；
【解析】
（2） B1, 0 ， l : 3x y 3 0 ；
0 0 26
（1） d
+ =,
如图所示，设 M（x，y0）是直线 l 上与 P（x0， y
y0）纵坐标相同的点，N 是直线 l 与 x 轴的交点， P(x0, y0) M(x, y0)
PQ⊥l，垂足为 Q.
则
PM//x
轴，∠PMN=α。
x
1 A
(By0
C)
Q
ON
x
|
PM
点到直线的距离 课件
在今后的学习中会经常用到.
本题容易漏掉直线x=2,用直线的点斜式求方程时,一定要注意斜
率不存在的直线是否符合题意.
题型三
易错辨析
易错点:求点到直线的距离时直线方程没有化成一般式而致错
【例3】 点P(-1,4)到直线3x+4y=2的距离d=
.
错解:d=
|3×(-1)+4×4+2|
32 4 2
= 3. 故填3.
(4)直线方程Ax+By+C=0中A=0或B=0时,公式也成立,但由于直
线是特殊直线(与坐标轴垂直),故也可采用数形结合法求点到直线
的距离.
题型一
求点到直线的距离
【例1】 求点P0(-1,2)到下列直线的距离:
(1)2x+y-10=0;(2)x=2;(3)y-1=0.
解:(1)由点到直线的距离公式,知
d=
.
解析:d=
|2×1-(-5)-2|
2
22 +(-1)
答案: 5
= 5.
理解点到直线的距离公式
剖析:(1)点到直线的距离是直线上的点与直线外一点间的最短距
离.
(2)公式的形式是:分母是直线方程Ax+By+C=0的x,y项系数平方和
的算术平方根,分子是用x0,y0替换直线方程中x,y所得实数的绝对值.
要注意直线方程必须是一般式,若给出其他形式,应先化成一般式
再用公式.例如求P0(x0,y0)到直线y=kx+b的距离,应先把直线方程化
为kx-y+b=0,得
d=
| 0 -0 +|
2 +1
.
(3)当点P0在直线l上时,点到直线的距离为零,公式仍然适用,故应
本题容易漏掉直线x=2,用直线的点斜式求方程时,一定要注意斜
率不存在的直线是否符合题意.
题型三
易错辨析
易错点:求点到直线的距离时直线方程没有化成一般式而致错
【例3】 点P(-1,4)到直线3x+4y=2的距离d=
.
错解:d=
|3×(-1)+4×4+2|
32 4 2
= 3. 故填3.
(4)直线方程Ax+By+C=0中A=0或B=0时,公式也成立,但由于直
线是特殊直线(与坐标轴垂直),故也可采用数形结合法求点到直线
的距离.
题型一
求点到直线的距离
【例1】 求点P0(-1,2)到下列直线的距离:
(1)2x+y-10=0;(2)x=2;(3)y-1=0.
解:(1)由点到直线的距离公式,知
d=
.
解析:d=
|2×1-(-5)-2|
2
22 +(-1)
答案: 5
= 5.
理解点到直线的距离公式
剖析:(1)点到直线的距离是直线上的点与直线外一点间的最短距
离.
(2)公式的形式是:分母是直线方程Ax+By+C=0的x,y项系数平方和
的算术平方根,分子是用x0,y0替换直线方程中x,y所得实数的绝对值.
要注意直线方程必须是一般式,若给出其他形式,应先化成一般式
再用公式.例如求P0(x0,y0)到直线y=kx+b的距离,应先把直线方程化
为kx-y+b=0,得
d=
| 0 -0 +|
2 +1
.
(3)当点P0在直线l上时,点到直线的距离为零,公式仍然适用,故应
2.3.3点到直线的距离公式ppt课件新教材人教A版选择性必修第一册
第二章 直线和圆的方程
2.3 直线的交点坐标与距离公式
2.3.3 点到直线的距离公式
问题式预习
2.3.3 点到直线的距离公式
学习任务目标
1．掌握点到直线的距离公式．(直观想象)
2．能用公式求点到直线的距离．(数学运算)
任务型课堂
课后素养评价
问题式预习
2.3.3 点到直线的距离公式
01
问题式预习
任务型课堂
(1)直线方程应为一般式，若给出其他形式应先化为一般式．
(2)点在直线上时，点到直线的距离为0，公式仍然适用．
(3)直线方程Ax＋By＋C＝0中，A＝0或B＝0时公式也成立，但由于
直线是特殊直线(与坐标轴垂直)，故也可数形结合求解．
2.3.3 点到直线的距离公式
问题式预习
任务型课堂
课后素养评价
任务二 点到直线的距离公式的应用
1
31
1
31
≤ ≤ ，所以的取值范围是 ， .
3
3
3
3
3−4×4
32 +
−4
2
＝
≤ 3－16 ≤ 15，解得
问题式预习
2.3.3 点到直线的距离公式
任务型课堂
课后素养评价
2．设直线l1：3x－y－1＝0与直线l2：x＋2y－5＝0的交点为A，则点
A到直线l：x＋by＋2＋b＝0的距离的最大值为(
02
任务型课堂
任务一 点到直线的距离
任务二 点到直线的距离公式的应用
任务三 对称问题
任务型课堂
课后素养评价
问题式预习
2.3.3 点到直线的距离公式
任务型课堂
课后素养评价
任务一 点到直线的距离
2.3 直线的交点坐标与距离公式
2.3.3 点到直线的距离公式
问题式预习
2.3.3 点到直线的距离公式
学习任务目标
1．掌握点到直线的距离公式．(直观想象)
2．能用公式求点到直线的距离．(数学运算)
任务型课堂
课后素养评价
问题式预习
2.3.3 点到直线的距离公式
01
问题式预习
任务型课堂
(1)直线方程应为一般式，若给出其他形式应先化为一般式．
(2)点在直线上时，点到直线的距离为0，公式仍然适用．
(3)直线方程Ax＋By＋C＝0中，A＝0或B＝0时公式也成立，但由于
直线是特殊直线(与坐标轴垂直)，故也可数形结合求解．
2.3.3 点到直线的距离公式
问题式预习
任务型课堂
课后素养评价
任务二 点到直线的距离公式的应用
1
31
1
31
≤ ≤ ，所以的取值范围是 ， .
3
3
3
3
3−4×4
32 +
−4
2
＝
≤ 3－16 ≤ 15，解得
问题式预习
2.3.3 点到直线的距离公式
任务型课堂
课后素养评价
2．设直线l1：3x－y－1＝0与直线l2：x＋2y－5＝0的交点为A，则点
A到直线l：x＋by＋2＋b＝0的距离的最大值为(
02
任务型课堂
任务一 点到直线的距离
任务二 点到直线的距离公式的应用
任务三 对称问题
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问题式预习
2.3.3 点到直线的距离公式
任务型课堂
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任务一 点到直线的距离
数学人教A版选择性必修第一册2.3.3点到直线的距离公式课件
3
2
2
2
5
d | ( 1) |
3
3
典例解析
变式 1、求点 P(3，－2)到下列直线的距离：
3 1
(1)y＝ x＋ ；(2)y＝6；
4 4
[解]
3
1
(1)直线 y＝ x＋ 化为一般式为 3x－4y＋1＝0，由点到直线的距离
4
4
公式可得
|3×3－4×－2＋1| 18
d＝
＝ .
2
2
5
为x=-1,恰好A(2,3),B(-4,5)两点到直线l的距离相等,
故x=-1满足题意;
当过点M(-1,2)的直线l的斜率存在时,
设l的方程为y-2=k(x+1),即kx-y+k+2=0,
由A(2,3)与B(-4,5)两点到直线l的距离相等,得
|2-3++2|
2 +1
=
|-4-5++2|
0
x
分析思路二：向量法
我们知道，向量是解决距离、角度问题的有力工具。能否用
向量方法求点到直线的距离？
如图，点P到直线l的距离，就是向量的
模，设(, )是直线l上的任意一点， 是
与直线l的方向向量垂直的单位向量，则
是在上的投影向量, = ∙ 。
思考：如何利用直线l的方程得到与的方向向量垂直的单位向量 ？
如果向量 m 与直线l平行，则称向量 m 为直线l的方向向量.
A
可表示为：B (1 , k ) B (1 , ) ( B , A)，m ( B , A).
B
如果向量 n 与直线l垂直，则称向量 n 为直线l的法向量.
2
2
2
5
d | ( 1) |
3
3
典例解析
变式 1、求点 P(3，－2)到下列直线的距离：
3 1
(1)y＝ x＋ ；(2)y＝6；
4 4
[解]
3
1
(1)直线 y＝ x＋ 化为一般式为 3x－4y＋1＝0，由点到直线的距离
4
4
公式可得
|3×3－4×－2＋1| 18
d＝
＝ .
2
2
5
为x=-1,恰好A(2,3),B(-4,5)两点到直线l的距离相等,
故x=-1满足题意;
当过点M(-1,2)的直线l的斜率存在时,
设l的方程为y-2=k(x+1),即kx-y+k+2=0,
由A(2,3)与B(-4,5)两点到直线l的距离相等,得
|2-3++2|
2 +1
=
|-4-5++2|
0
x
分析思路二：向量法
我们知道，向量是解决距离、角度问题的有力工具。能否用
向量方法求点到直线的距离？
如图，点P到直线l的距离，就是向量的
模，设(, )是直线l上的任意一点， 是
与直线l的方向向量垂直的单位向量，则
是在上的投影向量, = ∙ 。
思考：如何利用直线l的方程得到与的方向向量垂直的单位向量 ？
如果向量 m 与直线l平行，则称向量 m 为直线l的方向向量.
A
可表示为：B (1 , k ) B (1 , ) ( B , A)，m ( B , A).
B
如果向量 n 与直线l垂直，则称向量 n 为直线l的法向量.
点到直线的距离公式(上课课件)
所以 d＝ 22x＋4x≥ 22×2
x·4x＝2 2(当且仅当 x＝2 时取等号)．所
以点 P 到直线 x＋y＝0 距离的最小值为 2 2.
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(2)求点 M( 3，sin θ)到直线 3x＋y－4＝0 的距离的最大值．
解 析 ： 点 M( 3 ， sin θ) 到 直 线 3 x ＋ y － 4 ＝ 0 的 距 离 为 d ＝ | 3× 33＋2s＋in1θ2－4|＝12|sin θ－1|＝12－12sin θ. 当 θ＝2kπ－π2(k∈Z)时，dmax＝1.所以点 M 到直线 3x＋y－4＝0 的距离 的最大值为 1.
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[ 例 1] 求点 P(3，－2)到下列直线的距离．（转化为一般式） (1)y＝3x＋1；(2)y＝6；(3)x＝4.
44 分析：应用点到直线的距离公式，首先要把直线方程转化为一般式方 程，再代入公式求值．
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1.在直线x＋3y＝0上求一点P，使点P到原点的距离和到 直线x＋3y－2＝0的距离相等．
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[例2] 已知直线方程为(2－m)x＋(2m＋1)y＋3m＋4＝0. (1)证明：直线恒过定点P； (2)当m为何值时，点Q(3,4)到直线的距离最大，最大值为多少？ (3)若直线分别与x轴，y轴的负半轴交于A，B两点，求△AOB面积的最小值 及此时直线的方程． 分析：本题是直线方程中含有参数的问题，要考虑直线过定点，点到直线的 距离最大值转化为已知点到定点之间的距离问题．本题的第3问求面积最小 值时转化为基本不等式的问题．
A2＋B2
.
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求出 | P0R |
y S
求出 | P0S |
利用勾股定理求出 | RS |
面积法求出 | P0Q |
O
Q
R
l
x
点到直线距离公式
y
S
x0,
Ax0 B
C
Q l : Ax By C 0
y0 O
d P0 (x0,y0) x0
R
By0 A
C
,
y0
x
1
2 | P0S || P0R |
1 d | SR | 2
d C1 C2 . A2 B2
思路一：直接法
y Q
思路简单 运算繁琐
直线 l 的方程 直线 l 的斜率
l
l P0Q
O
x
点P0的坐标 直线P0Q的斜率
直线 l 的方程 直线P0Q的方程
交点
点P0的坐标
点Q 的坐标
两点间距离公式
点P0、Q 之间的距离 P0Q（ P0 到l 的距离）
点到直线的距离
思路二：间接法
求出点R 的坐标 求出点S 的坐标
l1:2x-7y+8=0
O
l2:
2x-7y-6=0 x
d
8-(-6)
14 14 53
22 (7)2
53 53
练习2
1.平行线2x+3y-8=0和2x+3y+18=0的距离是______ 2.两平行线3x+4y=10和6x+8y=0的距离是____.
练习3
1、点A(a,6)到直线x+y+1=0的距离为4，求a的值.
P0 x0 ,
y0
P到l1的距离等于l1与l2的距离
d | Ax0 By0 C1 | A2 B2
直线到直线的距离转化为点到直线的距离
例2 求平行线2x-7y+8=0与2x-7y-6=0的距离。 y
l1:2x-7y+8=0
O
l2: P(3,0)
2x-7y-6=0 x
在l2上任取一点，例如P(3,0)
垂线段
P0Q的长度，y 其中
Q是垂足． l
Q
O
x
点到直线距离公式
y y0
O
|x0|
P0 (x0,y0)
|y0|
x0
x
点到直线距离公式
y
|y1-y0|
y y1
y1
|x1-x0|
y0 O
P0 (x0,y0)
x x1
x0
x1
x
点到直线的距离
试一试，你能求出 P0Q 吗？ yl
Q
O
x
点到直线的距离
点到直线距离公式
点 P0 x0 , y0 到直线 l : Ax By C 0 的距离
：
yl
Q
O
x
注意： 化为一般式．
例1 求点P(-1,2)到直线
①2x+y-10=0； ②3x=2 的距离。
解： ①根据点到直线的距离公式，得
2 1 1 2 10
d
2 5
22 12
y
②如图，直线3x=2平行于y轴，
点到直线的距离
复习回顾
两点间的距离公式是什么？
已知点 P1x1, y1 ，P2 x2, y2 ，则 P1P2 x2 x1 2 y2 y1 2 .
y
O
x
引入新课
已知点 P0 x0 , y0 ，直线 l : Ax By C 0，
如何求点 P0到直线 l的距离？ 点 P0 到直线 l 的距离，是指从点 P0到直线 l 的
例题分析
例2:已知点A(1,3),B(3,1),C(-1,0),求
AB的C 面积
解 : 如图, 设AB边上的高为h, 则
SABC
1 2
|
AB | h
| AB | (3 1)2 (1 3)2 2 2
y
A
h
AB边上的高h就是点C到AB的距离 C
AB边所在直线的方程为
O
B
x
y-3 x 1 1-3 31
P到l1的距离等于l1与l2的距离
2 3 7 0 8 14 14 53
d
22 (7)2
53 53
y P
l1
任意两条平行直线都 可以写成如下形式：
l2 l1 :Ax+By+C1=0
OQ x
l2 :Ax+By+C2=0
两条平行直线间的距离：
d C1 - C2 A2 B2
例2 求平行线2x-7y+8=0与2x-7y-6=0的距离。 y
即x y 4 0
h | 1 0 4 | 5
12 12
2
因此, SABC
12 2
2
5 5 2
小结
• 1.点到直线距离公式
d | Ax0 By0 C | A2 B2
注意： 化为一般式．
▪ 2.特殊情况
y
y y1 y1
x x1
|y1-y0|
y0 P0 (x0,y0)
|x1-x0|
2
2、求过点A（－1,2），且与原点的距离等于 2 的直线方程 .
3、求直线2x+11y+16=0关于点P（0,1）对称 的直线方程.
1.平面内一点P(x0,y0) 到直线Ax+By+C=0的距离公式是
d Ax0 By0 C A2 B2
当A=0或B=0时,公式仍然成立. 2.两条平行线Ax+By+C1=0与Ax+By+C2=0的距离是
O
x0
x1
x
两条平行直线间的距离：
两条平行直线间的距离是指夹在两条平行直条平行线
l2
l1:Ax+By+C1=0与 l2:Ax+By+C2=0
Q
o
x
的距离是？
两平行线间的
y
距离处处相等
l1:Ax+By+C1=0
l2:Ax+By+C2=0
O
P0 x0 , y0 x
在l2上任取一点，例如
P(-1,2)
d 2 (1) 5
3
3
O
x 思考：还有其他解法吗？ l:3x=2
练习1
1.求点A（-2，3）到直线3x+4y+3=0的距离. 2.求点C（1，-2）到直线4x+3y=0的距离. 3.点P(-1,2)到直线3x=2的距离是. 4.点P(-1,2)到直线3y=2的距离是. 5.点A(a,6)到直线x+y+1=0的距离为4，求a的值.