1.1.1角的概念推广

新课内容
与 终边相同的角的一般形式为 ＋K ·3600，K ∈ Z
注:（1） K ∈ Z
（2） 是任意角
（3）K· 360°与 之间是“+”号，如 K· 360°-30 °，应看成K· 360 °+（-30°） （4）终边相同的角不一定相等，但相等的 角终边一定相同，终边相同的角有无数多个， 它们相差360°的整数倍
(2) S={β| β=k· －21º 360º (k∈Z) } S中在－360º ～720º 间的角是
0×360º －21º =－21º ；
1×360º －21º =339º ；
2×360º －21º =699º ． (3) β| β=k· + 363º 360º 14’ (k∈Z) } S中在－360º ～720º 间的角是 －2×360º +363º 14’=－356º 46’； －1×360º +363º 14’=3º 14’； 0×360º +363º 14’=363º 14’．
30 o
A
o
o
360 o
OB逆时针旋转一周后的角度：
390 o 330 o 750 o 690 o
=300 3600
OB顺时针旋转一周后的角度：
OB逆时针旋转两周后的角度： OB顺时针旋转两周后的角度：
=300 3600
=300 2 3600
=300 2 3600
新课内容
-3300
0
30 0
新课内容
角的运算
B
300
C
900
AOC AOB BOC 900 300 900 300 600
A
600
o
各角和的旋转量等于各角旋转量的和
- -
三.象限角（研究角的位置）
y 终边 终 边 x o 始边
为了研究 方便，我 们可以在 平面直角 坐标系中 讨论角：
1.1任意角和弧度制
问题引入
初中是如何定义角的？
B
一.角的概念
定义1：
O
A
从一个点出发引出的两条射线构成的几何图形.
这种概念的优点是形象、直观、容易理解，但它是从 图形形状来定义角.
角的范围：
00 ,3600
0
~
360
这种定义称为静态定义，其弊端在于“狭隘”.
问题引入
定义2：平面内一条射线绕着端点从一 个位置旋转到另一个位置所成的图形 叫做角。
1.任意角 的概念
正角：射线按逆时针方向旋转 形成的角 负角：射线按顺时针方向旋转 形成的角
零角：射线不作旋转形成的角
2.象限角
1)置角的顶点于原点
2)始边重合于X轴的非负半轴
终边落在第几象限就是第几象限角
3 . 终边与 角ａ相同的角
360 ＋K· 0，K∈Z

【巩固】

例3 写出终边落在y轴上的角的集合
终边落在坐标轴上的情形
900 +K
y
· 0 360
1800
+K·3600
o
x 或3600＋K · 0 360 +K·3600
00 +K ·3600
2700
新课内容
所以 终边落在ｙ轴上的角的集合为 S=S1∪S2 ={β| β=900+1800 的偶数倍}
新课内容 角的概念推广以后，它包括任意大小的正 角、负角和零角． 要注意，正角和负角是表示具有相反意义 的旋转量，它的正负规定纯属于习惯，就好象 与正数、负数的规定一样，零角无正负，就好 象数零无正负一样．
新课内容
注意： 1：角的正负由旋转方向决定 2：角可以任意大小，绝对值大小 由旋转次数及终边位置决定
3900
y
300
o
x
300 =300+0x3600 3900=300+3600 =300+1x3600 -3300=300-3600 =300 -1x3600 300+2x3600 , 300－2x3600 300+3x3600 , 300－3x3600
…, …,
与300终边相同的角的一般形式为300＋K· 0，K ∈ Z 360
新课内容
例1、在0到360度范围内，找出与下列各 角终边相同的角，并判断它是哪个象限的 角？ （1）-120°（2）640 ° 解（1）-120°=-360 °+240 ° 所以与-120 °角终边相同的角是240 ° 角，它是第三象限角。
新课内容
例1、在0到360度范围内，找出与下列各 角终边相同的角，并判断它是哪个象限的 角？ （1）-120°（2）640 ° 解（2）640°=360°+280°
B 终边
顶 点 A
始边
问题引入 生活中很多实例会不在范围[00 ,3600 )
实例一
体操运动中有转体两周，在这个动作中, 运动员转体多少度? 再比如,跳水运动员向内、向外转体三周, 运动员转体多少度?
问题引入
实例二
假如你的手表慢了5分钟,你将怎样把它调 整准确? 0 顺时针旋转30 假如你的手表快了1.25小时,你又将怎样 把它调整准确? 0
2、第一象限的角是否都是锐角？举例说明
答：第一象限的角并不都是锐角。
3、小于90°的角都是锐角吗？
答：小于90°的角并不都是锐角，它也 有可能是零角或负角。
问题：
一个角在直角坐标系中有唯一一条终边， 反之一条终边对应的角唯一吗？
新课内容
[练习]试在同一坐标系中，画出下列大小的角
(1)3900
(2)300
2.由α的象限得出结论
难点
例2. 写出与下列各角终边相同的角的集合S，
并把S中在－360º ~720º 间的角写出来：
(1) 60º ；(2) －21º ；(3) 363º 14′.
解：(1) S={β| β=k· +60º 360º (k∈Z) }, S中在－360º ～720º 间的角是 －1×360º =－280º +60º ； 0×360º =60º +60º ； 1×360º =420º +60º ．
新课内容
思考下面的角度如何表示？
（１）你的手表慢了５分钟，想将它校 准，分针应该旋转多少度？ -30° （２）假如你的手表快了2.5小时，想将它 校准，分针应该旋转多少度？ 900°
AOB 60 将射线OB绕O点顺时针旋转 (3)已知 到OC，则 AOC ? 逆时针呢？ 30° 90°
终边
终 边
终 边
Ⅰ
Ⅲ
Ⅱ
1)置角的顶点于原点
2)始边重合于X轴的正半轴

Ⅳ
终边落在第几象限就是第几象限角
新课内容
三．“象限角”
为了研究方便，我们往往在平面直角坐标系中来 讨论角。 角的顶点重合于坐标原点，角的始边重合于x轴的 正半轴，这样一来，角的终边落在第几象限，我们就 说这个角是第几象限的角（角的终边落在坐标轴上， 则此角不属于任何一个象限）
(3)-3300
观察它们的终边位置及数量关系是怎样的?
新课内容 (2)3900 (1)300 (3)-3300
y
O
Leabharlann Baidu
B
y x
O
B
y
O
B
x o
A
x o
A
o
A
新课内容 (2)3900 (1)300 (3)-3300
y
O O
B B B
x o
A
新课内容
四.终边相同的角
数量关系
30 o
B B +360 o A
所以与640°角终边相同的角是280°角， 它是第四象限角。
新课内容
在0到360度内找与已知角终边相同的角 方法是：用所给角除以3600。
所给角是正的：按通常的除法进行；余数就是。
所给角是负的：角度除以3600，余数加上3600
判断角的象限方法
1.写成α＋K×3600 （00≤α＜3600，ｋ∈Z）的形式
O
A
2.角的分类
习惯上规定：
新课内容
按照逆时针方向旋转而成的角叫做正角 按照顺时针方向旋转而成的角叫做负角
逆时针
顺时针 当射线没有旋转时，我们也把它看成一个角，零角
角
旋转角 记法：角 或 ，可简记为

正角 零角 负角
我们通常用带 箭头的弧来表 示旋转的方向 和旋转的绝对 量
新课内容 3.角的概念扩展的意义： 用“旋转”定义角之后，角的范围大大地扩大 了 ① 角有正负之分; 如：=210, = 150, =660. ② 角可以任意大; 实例：体操动作：旋转2周（360×2=720） 3周（360×3=1080） ③ 还有零角, 一条射线，没有旋转.
终边
y o
终边
x 始边 终边
Ⅰ Ⅱ Ⅲ Ⅳ
终边
要点 1)置角的顶点于原点 2)始边重合于X轴的非负半轴 终边落在第几象限就是第几象限角
坐标轴上的角：（轴线角）
如果角的终边落在了坐标轴上，就认为 这个角不属于任何象限 例如：角的终边落在X轴或Y轴上。
【练习】
1、锐角是第几象限的角？ 答：锐角是第一象限的角。
∪{β| β=900+1800 的奇数倍} ={β| β=900+1800 的整数倍}
={β| β=900+K∙1800 ，K∈Z}
小结：
（1）角的分类：正角、负角、零角
（2）旋转角的计算公式
（3）终边相同或在同一直线上的角 的 集合表示 （4）判断一个角所在的象限（坐标轴 上的角的集合表示）
【小结】
逆时针旋转450
问题引入
这些例子所提到的角不仅不在范 围[00 ,3600 ） 中，而且方向不同， 有必要将角的概念推广到任意角，想 想用什么办法才能推广到任意角？
新课内容
二.角的概念的推广 1.“旋转”形成角
一条射线由原来的位置OA， 绕着它的端点O按逆时针方向 B 旋转到另一位置OB，就形成角 α． 旋转开始时的射线OA叫做 角α的始边，旋转终止的射线 OB叫做角α的终边，射线的端 点O叫做角α的顶点．