样本平均数的方差的推导
样本均值的方差公式推导过程
先求出总体各单位变量值与其算术平均数的离差的平方，然后再对此变量取平均数，就叫做样本方差。
样本方差用来表示一列数的变异程度。
样本均值又叫样本均数。
即为样本的均值。
在许多实际情况下，人口的真实差异事先是不知道的，必须以某种方式计算。
当处理非常大的人口时，不可能对人口中的每个物体进行计数，因此必须对人口样本进行计算。
样本方差也可以应用于从该分布的样本的连续分布的方差的估计。
方差的概念与计算公式，例如两人的5次测验成绩如下：X：50，100，100，60，50，平均值E(X)=72；Y：73，70，75，72，70 平均值E(Y)=72。
平均成绩相同，但X 不稳定，对平均值的偏离大。
方差描述随机变量对于数学期望的偏离程度。
单个偏离是消除符号影响方差即偏离平方的均值，记为E(X)：直接计算公式分离散型和连续型。
推导另一种计算公式得到：“方差等于各个数据与其算术平均数的离差平方和的平均数”。
其中，分别为离散型和连续型计算公式。
称为标准差或均方差，方差描述波动程度。
揭秘平均数与方差的变化规律
揭秘平均数与方差的变化规律
当一组数据都扩大（缩小）a倍时，平均数也会扩大（缩小）a 倍；都增加（减少）b时，平均数也会增加（减少）b。
当一组都扩大（缩小）a倍时，方差会扩大（缩小）到原来的a²倍，都增加（减小）b时，方差不变。
样本同时乘以或除以一个数：方差乘以或除以该数的平方，平均数乘以或除以这个数，标准差乘以或除以这个数。
样本同时加上或减去一个数：方差不变，平均数加上或减去这个数，标准差不变。
设一组数据方差为m。
平均数为n。
1、当这组数据同时扩大两倍时，其方差为4m，其平均数为
2n。
2、当这组数据同时加2时，其方差为m，平均数为n+2。
数据都扩大x倍时，方差扩大x^2倍，平均数扩大x倍。
数据都加上a时，方差不变，平均数加a。
方差与平均数的变化规律公式
方差与平均数的变化规律公式
方差与平均数并没实质的联系，当然一般来说计算方差时要用到平均数（现多称作期望）。
比较稳定性，与平均数是没有关系的，只与方差有关，方差越大，稳定性越差。
方差越小，稳定性越高。
整组数据集体加上一个数字a，那么平均值为原值加上a，方差不变，集体乘以一个数字a，那么平均值为原值乘以a，方乘以a²，所以这里得到平均数、方差、标准差。
方差的变化规律
样本同时乘以或除以一个数，方差乘以或除以该数的平方，平均数乘以或除以这个数，标准差乘以或除以这个数。
样本同时加上或减去一个数，方差不变，平均数加上或减去这个数，标准差不变。
样本同时乘以一个数a，然后在加上一个数b，方差乘以a的平方，平均数加上b，标准差乘以a。
第5章 用样本推断总体 5.1 总体平均数与方差的估计
做一做
种菜能手李大叔种植了一批 株数
新品种的黄瓜，为了考察这 20
20 18
种黄瓜的生长情况，李大叔 15
15
10
抽查了部分黄瓜株上长出的 10
5
黄瓜根数，得到右面的条形 图，请估计这个新品种黄瓜 0 10 13 14 15 黄瓜根数
平均每株结多少根黄瓜.
解： x 10 10 15 13 20 14 18 15 16.25
变式：抽查某商场10月份7天的营业额(单位：万元)， 结果如下：
3.0，3.1，2.9，3.0，3.4，3.2，3.5. 试估计这个商场10月份的营业额(精确到0.01万元).
解：这7天营业额的平均数为：
x 3.0+3.1+2.9+3.0+3.4+3.2+3.5 3.157 7
10月份的营业额为：3.16×31＝97.87万元.
例1：某单位共有280位员工参加了社会公益捐款活动， 从中任意抽取了12位员工的捐款数额，记录如下：
捐款数额/元 员工人数
0 3 456 2 9 28 16 5
估计该单位的捐款总额. x= 30 2+50 5+80 3+100 2 =62.5(元) 12 捐款总金额约为：62.5 280=17500(元)
例2：老王家的鱼塘中放养了某种鱼1500条，若干年
后，准备打捞出售，为了估计鱼塘中这种鱼的总质
量，
平均每条鱼的 质量/千克
2.8
第2次
20
3.0
第3次
10
2.5
（1）鱼塘中这种鱼平均每条重约多少千克？
x= 15 2.8+20 3.0+10 2.5 =2.82(kg) 15 20 10
平均数方差的变化规律总结
平均数和方差是在数学当中的两个基础概念，那么平均数和方差的变化规律到底是怎样的呢？实际上，样本同时与一个相同的数相乘或者是相除，方差会乘以或者是除以这个数的平方，平均数乘以或者是除以这个数；样本同时加上或者减去一个数，方差不会发生数值的变化，平均数相应的会加上或者是减去这一个数字；样本同时乘以一个数再加上另一个数字，方差会乘以所乘数字的平方值，平均数会加上所加数字。
以上就是在计算过程当中平均数和方差的变化规律。
计量经济学β1方差推导
计量经济学β1方差推导
本文旨在推导计量经济学中的β1方差公式，该公式可用于计算线性回归模型中回归系数β1的标准误差。
首先，我们需要了解方差的定义及计算方法。
方差是指数据集中各个数据值与数据集平均数的偏离程度的平方和的平均数。
对于样本数据而言，方差的计算公式为： s^2=(∑(xi-x )^2)/(n-1)
其中，s^2表示样本方差，xi表示第i个数据值，x表示样本平均数，n表示样本容量。
接下来，我们考虑如何推导β1的方差公式。
回归系数β1表示自变量与因变量之间的线性关系的强度及方向，其计算公式为：β1=∑[(xi-x )(yi-)]/∑(xi-x )^2
其中，yi表示第i个因变量数据值，表示因变量的平均数。
为了计算β1的标准误差，我们需要首先计算方差。
由于β1可以表示为自变量与因变量之间协方差与自变量方差的比值，因此β1的方差可以通过以下公式进行计算：
Var(β1)=s^2/∑(xi-x )^2
其中，s^2表示因变量的样本方差，∑(xi-x )^2表示自变量的样本方差。
最后，我们可以使用标准误差的公式将β1的标准误差计算出来： SE(β1)=sqrt[Var(β1)]
综上所述，我们成功推导出了计量经济学中β1方差的计算公式，该公式可用于计算线性回归模型中回归系数β1的标准误差。
样本均值公式
样本均值公式
答案参考：
统计中的方差（样本方差）是每个样本值与全体样本值的平均数之差的平方值的平均数。
在许多实际问题中，研究方差即偏离程度有着重要意义。
方差是衡量源数据和期望值相差的度量。
样本均值：
样本方差与总体方差的关系公式是样本方差等于总体方差除以n，总体方差的计算公式分母是n，样本方差的计算公式分母是n-1，抽取样本的目的是推算出总体的信息。
先求出总体各单位变量值与其算术平均数的离差的平方，然后再对此变量取平均数，就叫做样本方差。
样本方差用来表示一列数的变异程度，样本均值又叫样本均数，即为样本的均值。
高中必修二数学方差公式
高中必修二数学方差公式方差是统计学中常用的一个概念，它用来描述一组数据的离散程度。
在高中数学必修二中，我们学习了方差的计算方法，即方差公式。
本文将围绕这一主题展开，详细介绍方差公式的含义、推导过程以及应用。
一、方差的含义和作用方差是用来衡量一组数据的离散程度，它描述了数据集中各个数据与其平均值之间的差异程度。
方差越大，说明数据的离散程度越大；方差越小，说明数据的离散程度越小。
通过计算方差，我们可以了解数据的分布情况，进而对数据进行分析和比较。
二、方差公式的推导方差公式的推导过程相对简单，首先我们需要计算每个数据与其平均值的差异，然后将差异的平方值相加，最后再求平均数。
具体步骤如下：1. 计算每个数据与其平均值的差异：假设有n个数据，分别记为x1、x2、x3...xn，它们的平均值为x̄。
则每个数据与平均值的差异为(xi - x̄)。
2. 差异的平方值相加：将每个数据与平均值的差异分别平方，然后将它们相加，得到所有差异的平方和，记为S。
3. 求平均数：将差异的平方和S除以数据个数n，即可得到方差。
方差的计算公式为：方差 = S / n。
三、方差公式的应用方差公式在实际问题中有着广泛的应用，下面列举几个常见的例子：1. 统计学中的方差：方差常用于描述一组数据的离散程度，通过计算样本方差可以对样本的离散程度进行分析。
2. 股票投资中的方差：股票的价格波动是投资者普遍关注的问题，通过计算股票价格的方差，可以评估股票的风险大小。
3. 生产质量控制中的方差：在生产过程中，通过计算产品质量的方差，可以了解产品的稳定性和一致性，以便进行质量控制和改进。
4. 金融风险管理中的方差：金融市场的波动性是金融机构和投资者关注的重要问题，通过计算金融资产收益率的方差，可以评估风险水平，并采取相应的风险管理措施。
除了以上几个应用领域外，方差公式在其他统计学和实证研究中也有着重要的作用。
掌握了方差公式的计算方法，我们可以更好地理解和分析数据，为实际问题提供科学的解决方案。
样本方差公式推导
样本方差公式推导
样本方差是衡量样本离散程度的重要指标，是数据分析中重要的预测指标之一。
首先来看样本方差的定义：样本方差指“一组数据里各数据与其平均数之差”的平方和除以样本容量
减一，它代表一组数据的离散程度。
说明完样本方差的定义，接下来就要说明它的推导公式了。
假设一次实验有n个样本，x1，x2，x3，……，xn；其中，xi表示每个观测值，n表示样本个数，它们的算术平均值为x。
那么，样本的方差的公式为：
S^2={(x_1-x)^2+（x_2-x^2）+…+(x_n-x)^2 }/ (n-1)
也就是说，样本方差的计算公式包含了每个观测值与平均数之间的差的平方和，再除以样
本容量减一。
它能反映出样本整体离散程度，进而分析出各个观测值偏离整体分布的程度，也就是这些观测值可能会给总体均值造成的影响。
通过样本方差，我们可以很容易地计算出一组数据的离散程度，从而对数据进行分析，并
制定出科学的数据分析方法。
总的来说，样本方差是一项重要的数据指标，可以客观地反映出一组数据的离散程度。
通过它，我们不仅可以更好地分析和理解数据，还可以为后续的数据分析提供有用的信息。
平均数方差的变化规律顺口溜
平均数方差的变化规律顺口溜
平均数和方差是描述一组数据集中程度和离散程度的重要统计量，它们的变化规律可以用以下顺口溜来概括：
当一组数据都扩大（缩小）a倍时，平均数也会扩大（缩小）a倍；都增加（减少）b 时，平均数也会增加（减少）b。
当一组数据都扩大（缩小）a倍时，方差会扩大（缩小）到原来的a²倍，都增加（减少）b时，方差不变。
同时将样本乘以或除以一个数字时，方差乘以或除以数字的平方，把平均数乘以或除以这个数，标准偏差乘以或除以这个数字。
同时从样本中加上或减去一个数字时，方差不变，平均数加上或减去这个数字，标准差保持不变。
样本平均数的方差
样本平均数的方差是一种重要的统计概念，它可以帮助我们了解数据集中值的分布情况。
它可以用来衡量一组数据之间的变异程度，也可以用来衡量某种测量结果的可靠性。
本文将讨论样本平均数的方差的概念，以及如何使用它来评估数据集中值的分布情况。
首先，我们需要了解什么是样本平均数的方差。
样本平均数的方差可以定义为一组数据的均值与其他值的差异程度的度量。
它反映了一组数据的变异程度，以及数据离均值的距离。
公式中的“n”代表样本的大小，“x”表示样本中的每个值，“x（平均）”表示样本中所有值的平均值。
其次，我们可以使用样本平均数的方差来评估数据集中值的分布情况。
如果样本的方差较小，则说明数据集中的值都接近均值，如果方差较大，则说明数据集中的值有较大的差异。
例如，在一次考试中，如果学生成绩的方差较小，则说明所有学生的成绩都比较接近，反之，如果学生成绩的方差较大，则说明学生成绩存在较大差异。
第三，样本平均数的方差也可以用来衡量某种测量结果的可靠性。
如果测量结果的方差越小，则说明测量结果的可靠性越高。
例如，在一次实验中，如果某种测量的方差较小，则说明这种测量的结果更可靠，而如果方差较大，则说明这种测量的结果不太可靠。
最后，我们可以使用计算机软件计算样本平均数的方差。
这样我们就可以很方便地计算出一组数据中值的分布情况，以及某种测量结果的可靠性。
总之，样本平均数的方差是一种重要的统计概念，它可以帮助我们了解数据集中值的分布情况，以及某种测量结果的可靠性。
它可以通过计算机软件来计算，这样我们就可以很方便地得出数据集中值的分布情况，以及某种测量结果的可靠性。
样本平均数的方差的推导
样本平均数的方差的推导:假定从任意分布的总体中抽选出一个相互独立的样本坷,则有E(x i) = X,cf；i=员即每一个样本单位都是与总体同分布的。
在此基础上，证明样本平均数以总体平均数为期望值。
11=丄£(西+禺+…+耳)n=：[E(xJ +Eg) E(兀j]= l(X + X+...+ X) = Xn接着，再以此为基础，推导样本平均数的方差。
在此，需要注意方差的计算公式为：曲=E(X—E( X))?以下需要反复使用这一定义:b； = E（x - E（元））2"（工人+心：…+兀収）2=—E（为（召+无+…+兀“一/庆）' rr=—7 E[（X] — X） + （尤2 - X）（X” 一X）]=—^E（A]~xy+（x2—X）2—（x n—X）2+y©—x）（Xj-x） n /X j =-4 E（x, -X）2 + E（X2一乂尸+ ••• + E（x n一天尸 +》E（x, -X）（x y - X）‘2 _/x j1 2=右・nb =—ir n在证明中，一个关键的步骤是工£3-斤）（®-无）= 0,其原i幻因在于这一项事实上是兀与勺的协方差。
由于任意两个样本都是相互独立的，因此其协方差均为（）。
如果采用的是无放回的抽样，则样本间具有相关性，协方差小于（）。
此时样本均值的方差为心乩二n N-1样本方差的期望：证明了样本平均数的方差公式后，我们可以来分析一下样本方差的情况。
乞（召-M先构造一个统计量为S'=---------- ,我们来求它的期望。
117 yx2‘十根据方差的简捷计算公式：心—-（X）-,可得E （S'）W E （工彳一品）冷正 g ） -处（元2）］ 其中，同样运用简捷计算公式，可以得到： £（召2）=或+（£（召））2=分+0； E （元2）= b ； + （E （x ））2 =^L+X 2 原式化为1 r _ 2E （S 、= — “C ：+0）一〃（丄L+乂 2）un等式的两端同除以右侧的系数项，得到 E( S') - 成 77-1令s — n s’— n77-1 7?-l r-1 )2工(兀-元)2 r-I n77-1则有 E(S) = b ；= «T ；+X 2)-(5L II + X 2) 6。
总体方差与样本方差的计算方法
总体方差与样本方差的计算方法宝子，今天咱们来唠唠总体方差和样本方差的计算方法呀。
先说说总体方差。
总体方差呢，是用来描述整个总体数据的离散程度的。
假如我们有一组数据，比如说有n个数据，分别是x₁，x₂，x₃……一直到xₙ。
那总体方差的计算公式就是：先算出这组数据的平均数，设这个平均数是μ，μ=(x₁ + x₂ + x₃+……+xₙ)/n。
然后总体方差σ² = [(x₁ - μ)²+(x₂ - μ)²+(x₃ - μ)²+……+(xₙ - μ)²]/n。
简单来说呢，就是每个数据与平均数的差的平方和，再除以数据的个数。
这就像是看这组数据里的每个数偏离平均数有多远，总体方差越大，说明这些数据越分散，就像一群调皮的小娃娃，跑得特别开。
再讲讲样本方差。
样本方差和总体方差有点像，但又有点小区别。
为啥要有样本方差呢？有时候我们没办法获取整个总体的数据，只能抽取一部分作为样本呀。
假如我们抽取的样本有m个数据，y₁，y₂，y₃……一直到yₙ，样本的平均数设为xₙ，xₙ=(y₁ + y₂ + y₃+……+yₙ)/m。
样本方差s² = [(y₁ - xₙ)²+(y₂ - xₙ)²+(y₃ - xₙ)²+……+(yₙ - xₙ)²]/(m - 1)。
注意哦，这里是除以m - 1而不是m。
为啥呢？这就像是给样本数据一点小小的“惩罚”，让样本方差能更好地估计总体方差，就像让样本这个小代表更谨慎地反映总体的情况。
宝子，你看总体方差和样本方差的计算方法也不是特别难理解吧。
总体方差是针对整个总体的，样本方差是针对样本的，它们就像两个小工具，能帮助我们了解数据是集中在一起呢，还是分散得乱七八糟的。
要是你在处理数据的时候呀，就能用这两个方差来分析数据的特征啦，是不是感觉自己又掌握了一个超酷的小技能呢？。
分层随机抽样的方差公式推导
分层随机抽样的方差公式推导
分层随机抽样的方差公式推导：若x1，x2，x3，xn的平均数为m则方差s^2=1/n［（x1-m）^2+（x2-m）^2+（xn-m）^2］方差即偏离平方的均值，称为标准差或均方差，方差描述波动程度。
分层抽样一般指分层抽样法。
分层抽样法也叫类型抽样法。
它是从一个可以分成不同子总体（或称为层）的总体中，按规定的比例从不同层中随机抽取样品（个体）的方法。
方差
是和中心偏离的程度，用来衡量一批数据的波动大小（即这批数据偏离平均数的大小）并把它叫做这组数据的方差，记作S2。
在样本容量相同的情况下，方差越大，说明数据的波动越大，越不稳定。
抽样分布与参数估计
2 x
（5.7）
（5.8）
x
n
（5.9）
【例 5-3】计算例 5-2 中 10 名推销员平均的任职年限 及其标准差， 并与例 5-2 求得的样本平均数的期望值与方差 作比较。 解： (1 2+3+4+5+6+7+8+9+10)/10=5.5
2
正态分布时，所需的样本容量 n 可以较小，反之则需 要较大的样本容量。通常将样本单位数不少于 30 的 称为大样本。
二、样本比例的抽样分布
(一)样本比例的期望值与方差
设随机变量 X 服从二点分布，其总体平均数为 ， 又
称为总体比例，总体方差 2 ( ) ( 1 ) 。现对其进行 n 次独立重复观测，得到下列样本：(X1，X 2，…，X n)，其中， 观测结果为“成功”的次数是 N1。 我们把样本中“成功”的次数所占比例定义作样本比例 P。
一、样本平均数的抽样分布
（一）样本平均数的期望值与方差
在放回抽样的情形下，设从总体中抽出的 样本为 x1 , x 2 , , x n ，其是相互独立的，并且 为 ，则可推导出样本平均数的期望值与方
2
与总体服从同一分布。设总体均值为 ，方差 差、标准差分别为：
X1 + X 2 + + X n E( X ) E( ) n 1 E ( X 1 ) E ( X 2 ) E ( X n ) n
0.45 0.40 0.35 0.30 0.25 0.20 0.15 0.10
样本平均数的方差推导
样本平均数的方差推导一、概念介绍方差是用于衡量数据离散程度的统计学指标，可以表示数据与平均值之间的差距。
样本平均数是指从总体中抽取的一组n个样本数据的平均值，表示总体的平均水平。
样本平均数的方差可以用来评估样本平均数的离散程度，反映了样本平均数与总体平均数之间的差异。
为了推导样本平均数的方差，需要先了解样本平均数和总体平均数的关系，以及方差的定义。
1.样本平均数和总体平均数的关系设总体的平均数为μ，样本的平均数为x̄，则有x̄=(x₁+x₂+...+x̄)/n，其中x₁，x₂，...，x̄表示样本中的数据。
2.方差的定义总体方差可以定义为每个数据与总体平均数的差距的平方的平均值，即Var(X) = E[(X - μ)²]，其中E[·]表示期望。
3.样本平均数的方差的推导根据样本平均数的定义，可以将x̄展开为(x₁+x₂+...+x̄)/n，然后展开方差的计算式，得到：Var(x̄) = E[((x₁ + x₂ + ... + x̄)/n - μ)²]由于总体平均数μ是一个固定值，可以移到E的外面，得到：Var(x̄) = (1/n²) * E[(x₁ + x₂ + ... + x̄ - nμ)²]根据方差定义的展开式：Var(A + B) = E[(A + B - E(A+B))²] = E[(A - E(A))² + (B -E(B))² + 2(A - E(A))(B - E(B))]将A设为(x₁+x₂+...+x̄)和nμ，B设为-nμ，代入方差的展开式，可以得到：Var(x̄) = (1/n²) * E[(x₁ - μ)² + (x₂ - μ)² + ... + (x̄ - μ)² + 2(x₁ - μ)(-nμ) + 2(x₂ - μ)(-nμ) + ... + 2(x̄ - μ)(-nμ)]根据方差的定义，可以得到：Var(x̄) = (1/n²) * (n * Var(x) + 2 * n * (x₁ - μ)(-nμ) +2 * n * (x₂ - μ)(-nμ) + ... + 2 * n * (x̄ - μ)(-nμ))由于每个样本数据x₁，x₂，...，x̄是独立同分布的，它们与总体平均数μ的差距的期望是0，即E(x-μ)=0。
方差的公式
方差的公式计算公式如下：1、方差公式：2、标准方差公式（1)：3、标准方差公式（2)：例如两人的5次测验成绩如下：X：50，100，100，60，50，平均值E(X)=72；Y：73，70，75，72，70平均值E(Y)=72。
平均成绩相同，但X不稳定，对平均值的偏离大。
方差描述随机变量对于数学期望的偏离程度。
单个偏离是消除符号影响方差即偏离平方的均值，记为E(X)：直接计算公式分离散型和连续型。
推导另一种计算公式得到：“方差等于各个数据与其算术平均数的离差平方和的平均数”。
其中，分别为离散型和连续型计算公式。
称为标准差或均方差，方差描述波动程度。
方差的概念：方差是在概率论和统计方差衡量随机变量或一组数据时离散程度的度量。
概率论中方差用来度量随机变量和其数学期望（即均值）之间的偏离程度。
统计中的方差（样本方差）是每个样本值与全体样本值的平均数之差的平方值的平均数。
在许多实际问题中，研究方差即偏离程度有着重要意义。
方差是衡量源数据和期望值相差的度量值。
平均数：M=(x1+x2+x3+…+xn)/n （n表示这组数据个数，x1、x2、x3……xn表示这组数据具体数值）方差公式：S^2;=〈(M－x1)^2;+(M－x2)^2;+(M－x3)^2;+…+(M－xn)^2;〉╱nD(X)指方差,E（x）指期望.E(X)说简单点就是平均值,具体做法是求和然后除以数量.D(X)就是个体偏离期望的差,再对这个差值进行的平方,最后求这些平方的期望.具体操作是,（个体－期望）,然后平方,再对这些平方值求平均值.D(X)=E[X-E(X)]^2=E{X^2-2XE(X)+[E(X)]^2}=E(X^2)-2[E(X)]^2+[E(X)]^2 上边的有瑕丝方差的计算公式有几种方差描述随机变量对于数学期望的偏离程度。
单个偏离是消除符号影响方差即偏离平方的均值，记为E(X)，直接计算公式分离散型和连续型。
方差等于各个数据与其算术平均数的离差平方和的平均数。
样本方差的期望和方差公式
样本方差的期望和方差公式
方差：计算每一个变量（观察值）与总体均数之间的差异，是各个数据与平均数之差的平方的和的平均数，衡量随机变量或一组数据时离散程度的度量；
标准差：是离均差平方的算术平均数（即：方差）的算术平方根；
在现代社会，凡是工厂出厂的产品，基本上都离不开方差这个概念。
方差越低，说明工厂的生产能力越强，能够做到每一个产品都很精细，相反如果方差越大，则说明瑕疵很多，不够精细。
也就是说，方差衡量的是样本距离均值的期望。
它本来应该写成：E|X - E(X)|。
但是由于式子当中存在绝对值，我们通常会对它平方，从而将绝对值消掉。
写成：
这里的E表示期望，这是统计学当中的写法，如果看不明白，我们也可以把式子展开写成：
这里的N表示的是样本数量，X bar 是样本的均值。
Var是英文variance的缩写，我们也可以写成D(X)。
由于方差是通过平方计算得到的，我们也可以将它进行开方，得到标准差。
根号D(X)，也可以写成σ(X)。
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样本平均数的方差的推导：
假定从任意分布的总体中抽选出一个相互独立的样本
1,,n x x ，则有
22
(),i
i x X E x X σσ== 即每一个样本单位都是与总体同分布的。
在此基础上，
证明样本平均数以总体平均数为期望值。
[]121212()()
1
()1
()()()1
()n
n n x x x E x E n
E x x x n
E x E x E x n X X X X n +++==+++=+++=+++=
接着，再以此为基础，推导样本平均数的方差。
在此，需要注意方差的计算公式为：
22(())X E X E X σ=-
以下需要反复使用这一定义：
22
2
122
122
2122222
122222
122(())()1(())1
()()()1()()()()()1()()()()()1x n
n n n i j i j n i j i j E x E x x x x E X n
E x x x nX n E x X x X x X n E x X x X x X x X x X n E x X E x X E x X E x X x X n σ≠≠=-++
+=-=
+++-⎡⎤=-+-++-⎣
⎦⎡⎤=-+-++-+--⎢⎥⎣⎦
⎡⎤=-+-++-+--⎢⎥⎣⎦=∑∑∑∑222n n n
σσ⋅=
在证明中，一个关键的步骤是()()0i j i j
E x X x X ≠--=∑，其原
因在于这一项事实上是i x 与j x 的协方差。
由于任意两个样本都是相互独立的，因此其协方差均为0。
如果采用的是无放回的抽样，则样本间具有相关性，协方差小于0。
此时样本均值的方差为22
1
X x
N n
n
N σσ-=
⋅
-
样本方差的期望：
证明了样本平均数的方差公式后，我们可以来分析一下样本方差的情况。
先构造一个统计量为2
1
()
n
i
i x x S n
=-'=
∑，我们来求它的期望。
根据方差的简捷计算公式：()2
2
2
X
X X n
σ=
-∑，可得
()222
11()()()i i E S E x nx E x nE x n n
'⎡⎤=
-=-⎣⎦∑∑ 其中，同样运用简捷计算公式，可以得到：
22222
()(())i
i x i X E x E x X σσ=+=+； 2
2
22
2()(())X
x
E x E x X n
σσ=+=
+
原式化为
2222222
221()()()()()
1X X X
X
X E S n X n X n n X X n
n n
σσσσσ⎡⎤'=+-+⎢⎥
⎣⎦
=+-+-=
等式的两端同除以右侧的系数项，得到
2
()1X
n E S n σ'=- 令2
2
1
1
()
()
11
1
n
n
i
i
i i x x x x n n S S n n n
n ==--'=
=⋅=
---∑∑
则有2
()X E S σ=。