样本平均数的方差的推导

样本平均数的方差的推导：

假定从任意分布的总体中抽选出一个相互独立的样本

1,,n x x ，则有

22

(),i

i x X E x X σσ== 即每一个样本单位都是与总体同分布的。 在此基础上，

证明样本平均数以总体平均数为期望值。

[]121212()()

1

()1

()()()1

()n

n n x x x E x E n

E x x x n

E x E x E x n X X X X n +++==+++=+++=+++=

接着，再以此为基础，推导样本平均数的方差。 在此，需要注意方差的计算公式为：

22(())X E X E X σ=-

以下需要反复使用这一定义：

22

2

122

122

2122222

122222

122(())()1(())1

()()()1()()()()()1()()()()()1x n

n n n i j i j n i j i j E x E x x x x E X n

E x x x nX n E x X x X x X n E x X x X x X x X x X n E x X E x X E x X E x X x X n σ≠≠=-++

+=-=

+++-⎡⎤=-+-++-⎣

⎦⎡⎤=-+-++-+--⎢⎥⎣⎦

⎡⎤=-+-++-+--⎢⎥⎣⎦=∑∑∑∑222n n n

σσ⋅=

在证明中，一个关键的步骤是()()0i j i j

E x X x X ≠--=∑，其原

因在于这一项事实上是i x 与j x 的协方差。由于任意两个样本都是相互独立的，因此其协方差均为0。

如果采用的是无放回的抽样，则样本间具有相关性，协方差小于0。此时样本均值的方差为22

1

X x

N n

n

N σσ-=

⋅

-

样本方差的期望：

证明了样本平均数的方差公式后，我们可以来分析一下样本方差的情况。

先构造一个统计量为2

1

()

n

i

i x x S n

=-'=

∑，我们来求它的期望。

根据方差的简捷计算公式：()2

2

2

X

X X n

σ=

-∑，可得

()222

11()()()i i E S E x nx E x nE x n n

'⎡⎤=

-=-⎣⎦∑∑ 其中，同样运用简捷计算公式，可以得到：

22222

()(())i

i x i X E x E x X σσ=+=+； 2

2

22

2()(())X

x

E x E x X n

σσ=+=

+

原式化为

2222222

221()()()()()

1X X X

X

X E S n X n X n n X X n

n n

σσσσσ⎡⎤'=+-+⎢⎥

⎣⎦

=+-+-=

等式的两端同除以右侧的系数项，得到

2

()1X

n E S n σ'=- 令2

2

1

1

()

()

11

1

n

n

i

i

i i x x x x n n S S n n n

n ==--'=

=⋅=

---∑∑

则有2

()X E S σ=