推导及图示一般固有洛伦兹变换

~
~
~
~ R Y R Z ，再将(1-1)，(2-2)及(1-2)依次代入得
7
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~ ~ ~ ~ Z W R R X R R R X
将(6-1)代入(6-2)，整理后得
(6-2)
~ ~ R R R D 1 R1 R1
其逆阵为
Z R R X
6
(5-1)
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将(1-2)式代入(2-2)式得
~ ~ ~ ~ Z R R X
(5-2)式的逆变换为
(5-2)
~ ~ ~ ~ X R1 R1Z
将(3-1)式的逆阵代入(5-3)式
(5-3)
~ ~ ~ 1 ~ X R1 R1 R W
~ ~ ~ Y R X
其中
(1-1) (1-2)
3
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cos sin R 0 0
sin cos 0 0
0 0 1 0 0 0 1 0
0 0 0 1 0 0 0 1
(1-3)
~ sin ~ cos ~ ~ ~ sin cos R 0 0 0 0
前
~
言
~
物理对象是客观的， 引入的惯性系 S 与 S 是主观的。 根据数学处理的需要，S 系相对 S 系的姿态也是人为认定的。为数学上的方便，大多数情况下都选择特殊洛伦兹变换条件。但 也有必须选择“无空间转动固有洛伦兹变换”或“一般固有洛伦兹变换”条件的情形。如笔 者在之前文章[1]所涉及的问题。 对一般固有洛伦兹变换的介绍，可参阅刘辽及郑庆璋等[2][3]书籍的相关章节。似乎仅 是一种结论性简介。仅提及“空间转动矩阵”，但没有给出数学表达，更没有相应的讨论。 本篇将尝试对“一般固有洛伦兹变换”给出详细的推导步骤及对应的图示，推导出“空间转 动矩阵”，并进行讨论（参见附件 1）。 探索之作，如有错误，恳请批评指正。
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推导及图示一般固有洛伦兹变换
邓晓明
2015 年 11 月 30 日 engineerdxm@sina.com 摘要： 给出一般固有洛伦兹变换详细的推导步骤和图示。 推导出空间转动矩阵， 并进行讨论。 关键词：狭义相对论，一般洛伦兹变换，普遍洛伦兹变换，一般固有洛伦兹变换 中国分类号：O412.1
~ ~ W R Z
其中
(3-1)
0 1 0 cos R 0 sin 0 0
0 sin cos 0
0 0 0 1 ~3 w ~4 T 为 w ~ 系的坐标。 w
(3-2)
~ ~1 为旋转矩阵。 W w

~2 w

第4步
~ 与相对速度常矢 v 的关系，完全符合特殊洛伦兹变换条件。 参见图 3，坐标系 z 及 w
~ ) (v ~ ) (v ~ ) ，如果设 因为 v ( v ) ( v ) ( v ) ( v
3 2
~ v v ~ v ， ， ， 1,2,3 c c c
2 2 2 2
(0-3)
其中 c 为光速。 自然有 1 2 3 1 2 3 。 将(0-3)式 v c ，v c 及

~ - - 旋转后所得到的 z 与 w ~ 系的对应坐标轴（在三维空间中）彼此平行。由于两惯
性系 S 及 S 一旦选定，它们之间的相对空间旋转“角度”则为常量，不随时间和距离而变。 因此，参见图 3，考虑两系在原点重合时有关系 Z W ，将(2-1)及(3-1)式代入得：
0 sin 1 0 0 cos 0 0 ~ 0 sin 1 0 ~ 0 cos 0 z3 0
0 0 0 1 0 0 0 1
(2-3)
(2-4)

z2
T ~ z4 及 Z ~ z1


~ z2
~ z3
T ~ z 4 为目标系的坐标。

第3步
5
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相对转动。 本篇将要讨论的“一般固有洛伦兹变换”其实质是“有空间转动固有洛伦兹变换”。参
1
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见图 1，所谓“有空间转动”是指在三维空间中两惯性系 S 与 S 以任意姿态，任意相对速度 常矢
~
~~ 1,2,3 v v e v e ，

(0-2)

中对应的坐标轴彼此不平行。设两者的坐标变换为
~ X DX ~ ， 其中 D 为四维复欧氏时空中的空间转动矩阵，可由(0-2)式的速度空间分量 v 及 v

(6-1)
1,2,3 ，分别描述绕 2（及 4）及 3（及 4）轴的转动，由给定转角 描述绕 1（及 4）轴
的转动（后文将详细讨论）。 参见图 1，图 2 及图 3，如果仅考虑纯空间转动，初始坐标系 x 与 ~ x 分别经过 - 及
3 3
~ 角所在的平面也分别正交于时间轴 x ( e )及 进行的旋转。如果拓展到四维空间， 及 4
4
~ x4 (~ e4 )，即在绕空间轴 x 3 及 ~ x 3 旋转的同时，也在绕时间轴 x 4 及 ~ x 4 旋转。体现在旋转矩阵
(1-3)及(1-4)上， 就是两个坐标对应元素为 1， 即两个坐标在旋转中不变， 即 x = y ；~ x =~ y ；
(6-3)
~ ~ 1 1 1 R R R DR R
由(6-3)或(6-4)式，可得四维复欧氏时空中的空间转动矩阵
(6-4)
~ ~ 1 D R1 R1 R R R
3 3 3 3
x4 = ~ x4。
4
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此外，确保(1-1)，(1-2)及下文将要提及的旋转变换得以成立的先决条件为，四维复欧
j x j~ e j ， j 1,2,3,4 。 氏时空中的绝对矢量不变，例如时空间隔矢量不变 x e j ~
第2步
参见图 2-(a)及(b)，将过渡坐标系 y 及 ~ y 分别绕空间轴 y 及 ~ y 旋转 及 ，使两系

2 2
~
的 1 轴都与速度矢量 v 重合，此时得到目标坐标系 z 及 ~ z 。其坐标变换分别为

Z R Y
~ ~ ~ Z R Y
与上节同理， 及 角的旋转矩阵分别为
(2-1) (2-2)
~
cos 0 R sin 0 ~ cos ~ 0 R ~ sin 0 Z z1
x (~ e )彼此不平行。 作相对运动时， 对应的空间轴 x ( e )与 ~ 即两惯性系之间存在相对转动。
需要注意的是，这种相对“转动”不是力学意义上的物理转动，仅是数学推理过程中反
~ （等效 映在几何意义上的转动。该相对“转动”分别由 S 和 S 系的相对速度分量 v 和 v

~
~ ， ），及 S 系绕速度矢量 v （依次 于，依次绕 3 及 2 坐标轴旋转的角度参数 ， 及
参见图 2-(b)， 目标系 z 与 ~ 显然 z z 平面与 ~ z 的 1 轴共轴且与 v 重合。 z ~ z 平面

2 3 2 3
平行。但一般情况下，轴 z 与 ~ z 轴单独旋转 ~ z 系， z ，z 与~ z 并不平行。参见图 3，绕 ~
2 2 3 3
1

最终使两系的对应坐标轴平行，其坐标变换为
第1步Fra Baidu bibliotek
~ 使两系 参见图 1 及图 2-(a)，将初始坐标系 x 及 ~ x 分别绕空间轴 x 及 ~ x 旋转 及

3 3
的 1 轴分别落在由矢量 e 3 及 v ； ~ e3 及 v （参见图 1）所确定的平面上，此时得到过渡坐标 系y 及~ y 。其坐标变换分别为：

Y R X
(0-5)
~
1
~
~
~ ；sin
12 22
~
~
2
~
~
(0-6)
12 22 ~ ；sin 3 cos
~
参见图 1，为推导一般固有洛伦兹变换，我们要进行的操作是：
(0-7)
（1）在三维空间中，分别旋转两惯性系 S 及 S 的空间标架（初始系） x ( e )及 ~ x ( e )，
将(4-1)式代入(5-4)式得
(5-4)
~ ~ ~ 1 X R1 R1 R LZ
将(5-1)式代入(5-5)式得
(5-5)
~ ~ ~ 1 X R1 R1 R LR R X
(5-6)式即为一般固有洛伦兹变换。
(5-6)
第6步
参见笔者前文对(0-2)式的描述，一般固有洛伦兹变换是指，在四维复欧氏时空中，一般 情况下，两初始坐标系 x 与 ~ x 之间存在空间转动，也即两者所对应的惯性系，在三维空间
2
~2
~2
~2

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~ ~ c v 分别代入上述三角函数有
cos
1 12 22
； sin
2 12 22
(0-4)
cos
~ cos
12 22 ； sin 3
12 22
~ ~
旋转后，绕 1 轴）相对 S 系的旋转角度 所描述。
~
~
~ ， 可由(0-2)式的速度空间分量确定。参见图 1，通过几何关 旋转角度参数 ， 及
系，我们容易得到：
~
cos
~ cos
2
v1 (v1 ) 2 (v 2 ) 2
~1 v ~1 ) 2 ( v ~ 2 )2 (v


~
使空间轴 x 及 ~ x 与速度常矢 v 方向一致；
1 1
（2）使旋转后的 S 系的标架 ~ x 轴旋转（也可以说绕 v 旋转），使 x 2 与 ~ x (~ x 2 ，x 与 e )绕 ~

1
3
~
~ x 3 轴都平行，得到类似于特殊洛伦兹变换条件；
（3）最终，在四维复欧氏时空中，进行特殊洛伦兹虚角旋转，得到一般固有洛伦兹变换。 为了使每一步变换都可辨认，下文将每次旋转后的坐标系用不同英文字母表示。
为旋转矩阵。
(1-4)
过度系及初始系的坐标为：
Y y1 ~ Y ~ y1

y2 ~ y2
y3 ~ y3
y 4 ； X x1
T ~ ~ y4 ； X ~ x1

T

x2 ~ x2
x3 ~ x3
x4 ；
T ~ x4 。

T




需要注意的是， 这种旋转不是单纯的三维空间的旋转， 事实上是四维复欧氏时空中的四 维正交坐标系的整体行为。在三维空间中，我们可以简单地理解为分别绕空间轴 x 及 ~ x 所
1 2 2 2
； sin
v2 (v1 ) 2 (v 2 ) 2
~2 v ~1 ) 2 ( v ~ 2 )2 (v
1 2 2 2
； cos
( v1 ) 2 ( v 2 ) 2 v3 ； sin 。 v v
~ ；sin
3 2
；cos
~
~1 ) 2 ( v ~ 2 )2 ~3 (v v ；sin 。 v v

2 ~ 2 ； z3 w ~ 3 。与该两系相对应的四维系的虚角旋转变换可写为我们所熟悉的 此时有 z w
形式
~ W LZ
其中
(4-1)
cos i 0 L 0 sin i
0 1 0 0
0 sin i 0 0 1 0 0 cos i
(4-2)
为常见的特殊洛伦兹变换矩阵。众所周知，其中
sin i i ；cos i
(4-3)
~ 2 及 z3 w ~3 其几何本质为，在四维复欧氏时空中，正交系 ~ z j （ j 1,2,3,4 ）绕 z 2 w
轴，旋转了虚角 i 。
第5步
将(1-1)式代入(2-1)式得
推导前的准备
笔者之前的文章[4][5]讨论过“无空间转动固有洛伦兹变换”，是指在三维空间中两惯 性系 S 与 S 以任意相对速度常矢
~
v v e v ~ e ， 1,2,3

(0-1)
x (~ e )， 1,2,3 ，即两惯性系之间没有 作相对运动时，对应的空间轴彼此平行 x ( e )// ~