2018-2020年中考几何综合(1)

2018年第22题

在菱形ABCD 中，60ABC ∠=，

点P 是射线BD 上一动点，以AP 为边向右侧作等边APE ∆，点E 的位置随着点P 的位置变化而变化．

（1）如图1，当点E 在菱形ABCD 内部或边上时，连接CE ，BP 与CE 的数量关系是 ，CE 与AD 的位置关系是 ；

（2）当点E 在菱形ABCD 外部时，（1）中的结论是否还成立？若成立，请予以证明；若不成立，请说明理由（选择图2，图3中的一种情况予以证明或说理）；

（3）如图4，当点P 在线段BD 的延长线上时，连接BE ，若AB =BE =边形ADPE

【考点要求】四边形综合题．对图形的选择变换，在动态中寻找不变量。

【解题技巧】（1）如图1中，结论：PB EC =，CE AD ⊥．

连接AC ，想办法证明BAP CAE ∆≅∆即可解决问题；（2）结论仍然成立．证明方法类似；

（3）首先证明BAP CAE ∆≅∆，解直角三角形求出AP ，DP ，OA 即可解决问题；

对于几何的综合问题，首先要清楚它的基本模型，是属于旋转类还是其他的模型问题如拉手模型、一线三等角模型等，一般而言都会涉及到全等证明，这也是一个得分点。其次在解题的思想方法上一般都是由特殊到一般的过程，在特殊情况下某个结论成立，那么在一般的情形一般也会成立。值的注意时，特殊情况的证明方法一般和一般情况的证明方法是雷同的。

【解答】解：（1）如图1中，结论：PB EC =，CE AD ⊥．

理由：连接AC ．

四边形ABCD 是菱形，60ABC ∠=，

∴ABC ∆，ACD ∆都是等边三角形，30ABD CBD ∠=∠=，

APE ∆是等边三角形，

∴AB AC =，AP AE =，60BAC PAE ∠=∠=，

∴BAP CAE ∆≅∆，

∴BP CE =，30BAP ACE ∠=∠=，

延长CE 交AD 于H ，

60CAH ∠=，

∴90CAH ACH ∠+∠=，

∴∠AHC =90°，即CE ⊥AD ．

故答案为PB =EC ，CE ⊥AD ．

（2）结论仍然成立．

理由：选图2，连接AC 交BD 于O ，设CE 交AD 于H ．

∵四边形ABCD 是菱形，∠ABC =60°，

∴△ABC ，△ACD 都是等边三角形，∠ABD =∠CBD =30°，

∵△APE 是等边三角形，

∴AB =AC ，AP =AE ，∠BAC =∠P AE =60°，

∴△BAP ≌△CAE ，

∴BP =CE ，∠BAP =∠ACE =30°，

∵∠CAH =60°，

∴∠CAH +∠ACH =90°，

∴∠AHC =90°，即CE ⊥AD ．

选图3，连接AC 交BD 于O ，设CE 交AD 于H ．

∵四边形ABCD 是菱形，∠ABC =60°，

∴△ABC ，△ACD 都是等边三角形，∠ABD =∠CBD =30°，

∵△APE 是等边三角形，

∴AB =AC ，AP =AE ，∠BAC =∠P AE =60°，

∴△BAP ≌△CAE ，

∴BP =CE ，∠BAP =∠ACE =30°，

∵∠CAH =60°，

∴∠CAH +∠ACH =90°，

∴∠AHC =90°，即CE ⊥AD ．

（3）∴△BAP ≌△CAE ，

由（2）可知EC ⊥AD ，CE =BP ，

在菱形ABCD 中，AD ∥BC ，

∴EC ⊥BC ，

∵BC =AB =32，BE =192，

在Rt △BCE 中，EC =22)32()192(-=8，

∴BP =CE =8，

∵AC 与BD 是菱形的对角线，

∴∠ABD =2

1∠ABC =30°，AC ⊥BD ， ∴BD =2BO =2AB •cos 30°=6，

∴2OA =AB =23，DP =BP ﹣BD =8﹣6=2，

∴OP =OD +DP =5，

在Rt △AOP 中，AP =22OP AO +=72，

∴S 四边形ADPE =S △ADP +S △AEP =38

【模拟训练】

模拟题1：如图1，点B 在线段CE 上，

Rt △ABC ≌Rt △CEF ，∠ABC =∠CEF =90°，∠BAC =30°，BC =1．

(1)点F 到直线CA 的距离是______；

(2)固定△ABC ，将△CEF 绕点C 按顺时针方向旋转30°，使得CF 与CA 重合，并停止旋转． ①请你在图1中用直尺和圆规画出线段EF 经旋转运动所形成的平面图形(用阴影表示，保留画图痕迹，不要求写画法).该图形的面积为______；

②如图2，在旋转过程中，线段CF 与AB 交于点O ，当OE =OB 时，求OF 的长．

模拟题2：将一副三角板中的两块直角三角尺的直角顶点C 按照如图①的方式叠放在一起)45,60,30(000=∠=∠=∠=∠EDC E ABC A ，且三角板ACB 的位置保持不动．

(1)将三角板DCE 绕点C 按顺时针方向旋转至图②，若060=∠ACE ，求∠DCB 的度数．

(2)将三角板DCE 绕点C 按顺时针方向旋转，当旋转到AB ED //时，求∠BCE 的度数(请先在备用图上补全相应的图形)．

(3)当0°<∠BCE <180°且点E 在直线BC 的上方时，这两块三角尺是否存在一组边互相平行？若存在，请直接写出∠BCE 所有可能的值；若不存在，请说明理由．